Главная / Чесотка / «История возникновения квадратных уравнений. История развития квадратных уравнений

«История возникновения квадратных уравнений. История развития квадратных уравнений

Главная > Доклад

МОУ СОШ имени Героев Советского Союза
Сотникова А.Т. и Шепелёва Н. Г. с.Урицкое

Доклад на тему:

«История возникновения

квадратных уравнений»

Подготовили: Изотова Юлия,
Амплеева Елена,
Шепелёв Николай,

Дяченко Юрий.

О математика. В веках овеяна ты славой,

Светило всех земных светил.

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил.

Строга, логична, величава,

Стройна в полете, как стрела,

Твоя немеркнущая слава

В веках бессмертье обрела.

Мы славим разум человека,

Дела его волшебных рук,

Надежду нынешнего века,

Царицу всех земных наук.

Поведать мы сегодня вам хотим

Историю возникновения

Того, что каждый школьник должен знать –

Историю квадратных уравнений.

Евклид, в III век до н. э. отвел геометрической алгебре в своих «Началах» всю вторую книгу, где собран весь необходимый материал для решения квадратных уравнений.

Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике

Ведения о Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы. Его главная работа «Начала» (в латинизированной форме – «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Герон – греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения.

Герон Александрийский; Heron, I в. н. э., греческий механик и математик. Время его жизни неопределенно, известно только, что он цитировал Архимеда (который умер в 212 г. до н. э.), его же самого цитировал Папп (ок. 300 г. н. э.). В настоящее время преобладает мнение, что он жил в I в. н. э. Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой; изобрел прототип паровой машины и точные нивелировочные инструменты. Наибольшей популярностью пользовались такие автоматы Г., как автоматизированный театр, фонтаны и др. Г. описал теодолит, опираясь на законы статики и кинетики, привел описание рычага, блока, винта, военных машин. В оптике сформулировал законы отражения света, в математике - способы измерения важнейших геометрических фигур. Основные произведения Г. - это Иетрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (фр.; произведение сохранилось целиком по-арабски), Катоптика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. Г. использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Его стиль простой и ясный, хотя порой бывает чересчур лаконичен или нестроен. Интерес к сочинениям Г. возник в III в. н. э. Греческие, а затем византийские и арабские ученики комментировали и переводили его произведения.

Диофант – греческий ученый в III век н.э., не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путем решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме

«Я расскажу вам, как составлял и решал квадратные уравнения греческий математик Диофант. Вот, к примеру, одна из его задач: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а их произведение 96».

1. Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.

2. Т.о. одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – х.

3. Разность между ними 2х.

4. Отсюда уравнение (10 + x) * (10 – x) = 96

100 – х 2 = 96 х 2 – 4 = 0

5. Ответ x = 2 . Одно из искомых чисел равно 12,
другое - 8. Решение x = - 2 для Диофанта не существует, т.к. гре-ческая математика знала только положительные числа.» Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычисления, использовал сокращения слов. Бхаскаре – Акариа – индийский математик в XII век н.э. открыл общий метод решения квадратных уравнений.

Разберём одну из задач индийских математиков, например, задачу Бхаскары:

«Стая обезьян забавляется: восьмая часть всего числа их в квадрате резвится в лесу, остальные двенадцать кричат на вершине холмика. Скажите мне, сколько всех обезьян?»

Комментируя задачу, хочется сказать, что задаче соответствует уравнение (х/8) 2 + 12 = x . Бхаскара пишет под видом x 2 – 64х = - 768. Прибавляя к обеим частям квадрат 32, уравнение примет вид:

x 2 – 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x – 32) 2 = 256

После извлечения квадратного корня получаем: x – 32 =16.

«В данном случае, говорит Бхаскара, - отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй части меньше их, а потому последние можно считать и положительными и отрицательными, и получаем двойное значение неизвестного: 48 и 16».

Необходимо сделать вывод: решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Предлагается решить старинную индийскую задачу Бхаскары:

«Квадрат пятой части обезьян, уменьшенный на три, спрятался в гроте, одна обезьяна влезла на дерево, была видна. Сколько было обезьян?» Следует заметить, что данная задача решается элементарно, сводясь к квадратному уравнению.

Аль – Хорезми - арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения. В трактате Хорезми насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1.«Квадраты равны корням», т.е. ах 2 = вх.

2.«Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3.«Корни равны числу», т.е. ах = с.

4.«Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = вх.

5.«Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + вх = с.

6.«Корни и числа равны квадратам», т.е. вх +с = ах 2 .

Разберём задачу аль – Хорезми, которая сводится к решению квадратного уравнения. «Квадрат и число равны корням.» Например, один квадрат и число 21 равны 10 корням того же квадрата, т.е. спрашивается, из чего образуется квадрат, который после прибавления к нему 21 делается равным 10 корням того же квадрата?»

Используя 4-ю формулу аль – Хорезми, ученики должны записать: х 2 + 21 = 10х

Франсуа Виет - французский мате-матик, сформулировал и доказал теорему о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения.

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.

Франсуа Виет

Иет Франсуа (1540-13.12. 1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.

Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики.

Информационные ресурсы:

http:// som . fio . ru / Resources / Karpuhina /2003/12/ Complited %20 work / Concert / index 1. htm

http:// pages . marsu . ru / iac / school / s 4/ page 74. html

1.1. Из истории возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

(10+x)(10-x) =96,

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решению уравнения:

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax 2 + bх = с, а> 0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 3 уравнение:

Бхаскара пишет под видом:

x 2 - 64x = - 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

x 2 - б4х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах 2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах 2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах 2 .

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x 2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид..

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX-VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI-Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI-XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Итак, ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.

Из истории квадратных уравнений Автор: обучающаяся 9 «А» класса Радченко Светлана Руководитель: Алабугина И.А. учитель математики МБОУ “CОШ №5 г.Гурьевска” Кемеровской области Предметная область презентации: математика Выполнена в помощь учителю Всего 20 слайдов Содержание Введение…………………………………………………………………………3 Из истории возникновения квадратных уравнений Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………………….4 Квадратные уравнения в Индии………………………………………………...5 Квадратные уравнения у Аль-Хорезми…………………………………………6 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………….....7 Квадратные уравнения в Европе Xll – XVll вв.………………………………...8 3. Квадратные уравнения в наши дни…………………………………………….10 Методика изучения квадратных уравнений……………………………………11 10 способов решения квадратных уравнений………………………………….12 Алгоритм решения неполных квадратных уравнений…………………………13 Алгоритм решения полного квадратного уравнения…………………………..14 Решение приведенных квадратных уравнений…………………………………15 4.Практические применения квадратных уравнений для решения прикладных задач…………………………………………………………………………………….16 5.Заключение. …………………………………………………………………………18 1. 2. 6.Список используемой литературы…………………………………………….19 2 Введение Считать несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию. Ян Амос Коменский 3 Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они широко применяются при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Квадратные уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится много времени школьного курса математики. В основном квадратные уравнения служат конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений, в том числе квадратных. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники. Из истории возникновения квадратных уравнений Древний Вавилон: уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Например, в Древнем Вавилоне, решали такие квадратные уравнения: 4 Индия Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии "Ариабхаттиам", написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Другим индийским учёным, Брахмагуптой, было изложено универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду:ax2+bx=c; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме «a» могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным. 5 Квадратные уравнения у Аль-Хорезми: В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т.е. ах2 = bх.; «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с; «Корни равны числу», т. е. ах = с; «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх; «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с; «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2. 6 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения: Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в III в. н.э. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. 7 Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.: Итальянский математик Леонард Фибоначчи разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. Михаэлем Штифелем. 8 Франсуа Виет Французский математик Ф. Виет (1540-1603), ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. 9 Квадратные уравнения в наши дни Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем. Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа обуславливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных уравнений 10 Методика изучения квадратных уравнений С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. 11 10 способов решения квадратных уравнений: Разложение левой части уравнения на множители. Метод выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений по формуле. Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Решение уравнений способом «переброски» Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Графическое решение квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. 12 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Геометрический способ решения квадратных уравнений. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений 1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0; 2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = 3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = - с и далее х2.= В случае, когда - < 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - > 0, т.е. - = m , где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня. 13 Алгоритм решения полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное. Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассматриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0. 1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; 14 Решение приведенных квадратных уравнений Теорема Ф.Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Иначе говоря, если x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0, то x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Теорема обратная теореме Виета: Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (*), то x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0. 15 Практические применения квадратных уравнений для решения прикладных задач Бхаскара (1114-1185) - крупнейший индийский математик и астроном XII века. Возглавлял астрономическую обсерваторию в Удджайне. Бхаскара написал трактат «Сиддханта-широмани» («Венец учения»), состоящий из четырёх частей: «Лилавати» посвящена арифметике, «Биждаганита» - алгебре, «Голадхайя» - сферике, «Гранхаганита» - теории планетных движений. Бхаскара получал отрицательные корни уравнений, хотя и сомневался в их значимости. Ему принадлежит один из самых ранних проектов вечного двигателя. 16 Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары: Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. 17 Заключение Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло длинный и тернистый путь. Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид. Значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений. Изучая литературу и Интернет ресурсы, связанные с историей развития квадратных уравнений, я спрашивала себя: «Что же двигало ученых, живших в такое непростое время, заниматься наукой, даже под угрозой смерти?» Наверное, прежде всего, это – пытливость человеческого ума, которая является ключом к развитию науки. Вопросы о сущности Мира, о месте человека в этом мире не дают покоя во все времена людям мыслящим, любознательным, разумным. Понять себя, свое место в мире люди стремились во все времена. Загляните и Вы в себя, может, страдает Ваша природная любознательность, потому что Вы уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых – 18 примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны. Задумайтесь: каков я для окружающих меня близких людей? Но самое главное – как я сам к себе отношусь, достоин ли уважения? Подумайте об этом… Список литературы 1. Звавич Л.И. “Алгебра 8 класс”, М., 2002. 2. Савин Ю.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, М., 1985. 3. Ю.Н.Макарычев “Алгебра 8 класс”, М, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Спасибо за внимание 20

Из истории возникновения квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне . Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96».

(10+x)(10-x) =96,

Квадратные уравнения в Индии

ax2 + bх = с, а>

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 3 уравнение:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

x2 - б4х + 322 = -768 + 1024,

(х - 32)2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Приведем пример.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Квадратные уравнения в Европе XII - XVII в.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, надо знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

· делать проверку.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»:

I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап – «Решение полных квадратных уравнений».

III этап – «Решение приведенных квадратных уравнений».

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с = 0, где с≠ 0, ах2 + bх = 0, где b ≠ 0. Рассмотрим решение несколько таких уравнений:

1. Если ах2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) найти х2;

2) найти х.

Например, 5х2 = 0 . Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2 = 0, откуда х = 0.

2. Если ах2 + с = 0, с≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:

1) перенести слагаемые в правую часть;

2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.

Например, х2 - 5 = 0,Это уравнение равносильно уравнению х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5..gif" width="16" height="19">..gif" width="16" height="19 src="> и других корней не имеет.

3. Если ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) перенести общий множитель за скобки;

2) найти x1, x2.

Например, х2 - 3х = 0. Перепишем уравнение х2 – 3х = 0 в виде х (х – 3) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0, x2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х (х – 3) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0..gif" width="16" height="41"> В случае, когда - < 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - > 0, т. е. - = m, где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (в этом случае допускается более короткая запись = .

Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a, b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0.

1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Например, 2х2 + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7.

D = b2 – 4ас = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет один корень, который находится по формуле .

Например, 4х – 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = - 20, с = 25.

D = b2 – 4ас = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2 + bx + c = 0.

1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 – 4ас.

2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

4..gif" width="101" height="45">.

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.

Математики – люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">, имеющее тот же знак, что и D..gif" width="89" height="49"> то уравнение (3) имеет два корня;

2) если то уравнение имеет два совпадающих корня;

3) если то уравнение не имеет корней.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Иначе говоря, если x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0, то

Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф. Виета (), который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Например, приведенное уравнение х2 - 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (5), то x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0 .

Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.

Например. Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.

По формулам Виета

– p = x1 + x2 = - 2,

Следовательно, искомое уравнение имеет вид х2 + 2х – 3 = 0.

Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Ковальчук Кирилл

Проект "Квадратные уравнения через века и страны" знакомит учащихся с учеными математики, открытия которых являются основой научно-технического прогресса, развивает интерес к математике как к предмету на основе знакомства с историческим материалом, расширяет кругозор учащихся, стимулирует их познавательную активность и творчество.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Проектная работа ученика 8 класса МОУ СОШ №17 с.Борисовка Ковальчука Кирилла Руководитель Мулюкова Г.В.

Квадратные уравнения через века и страны

Цель проекта: Познакомить учащихся с учеными математики, открытия которых являются основой научно-технического прогресса. Показать значимость работ ученых для развития геометрии и физики.??????????? Наглядно продемонстрировать применение научных открытий в жизни. Развивать интерес к математике как к предмету на основе знакомства с историческим материалом. Расширять кругозор учащихся, стимулировать их познавательную активность и творчество

Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений, изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

. (ок. 365 - 300 г. до н.э.) - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Евклид, или Эвклид

Евклид Начала Там, где с морем Сливается Нил, В древнем жарком краю Пирамид Математик греческий жил - Многознающий, Мудрый Эвклид. Геометрию он изучал, Геометрии он обучал. Написал он великий труд. Эту книгу «Начала» зовут.

Евклид 3 век до н.э. Евклид решал квадратные уравнения, применяя геометрический способ. Вот одна из задач из древнегреческого трактата: «Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20бу(1бу=1,6м) от северных ворот стоит столб. Если пройти от южных ворот 14бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города? »

Чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение x ² +(k+l)x-2kd =0 . В данном случае уравнение имеет вид x ² +34x-71000=0 , откуда х=250бу l x d k

Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате « Ариабхаттиам », составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax ² +bx=c , a>0 В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать повисая… Сколько было обезьянок Ты скажи мне, в этой стае?.

Решение. () 2 +12 = х, х 2 - 64х +768 = 0, а =1, в = -64, с = 768, тогда Д = (-64) 2 -4·1·768 = 1024 > 0. Х 1 , 2 = , х 1 = 48, х 2 = 16. Ответ.Обезьян было 16 или 48. Давайте решим её.

Формула корней квадратного уравнения « переоткрывалась » неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте. Среднеазиатский ученый ал-Хорезми в трактате « Китаб аль-джерб валь-мукабала » получил эту формулу методом выделения полного квадрата.

Как же решал ал-Хорезми это уравнение. Он писал: "Правило таково: раздвои число корней, х=2х · 5 получите в этой задаче пять, 5 умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5 · 5=25 прибавь это к тридцати девяти, 25+39 будет шестьдесят четыре, 64 извлеки из этого корень, будет восемь, 8 и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8- 5 останется три- это и 3 Будет корень квадрата, который ты искал." А второй корень? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны. х 2 +10 х = 39

Квадратные уравнения в Европе 13-17вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники 16-17вв. и частично 18.

Франсуа Виет – крупнейший математик 16 века

До Ф. Виета решение квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение не могли записать, для этого требовалось довольно длинное и сложное словесное описание. Он ввел термин «коэффициент». Предложил искомые величины обозначать гласными, а данные – согласными. Благодаря символике Виета можно записать квадратное уравнение в виде: ax 2 + bx + c =0 . Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Несмотря на то, что эта теорема называется «Теорема Виета», она была известна и до него, а он только преобразовал ее в современный вид. Виета называют «отцом алгебры»

Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным. Заключительное слово

Нас, живущих в начале XXI века, влечет старина. В своих предках мы замечаем прежде всего то, чего им не хватает с современной точки зрения, и обычно не замечаем того, что нам самим не хватает по сравнению с ними.

Не будем и мы забывать о них…

СПАСИБО ЗА внимание!

«История возникновения квадратных уравнений. История развития квадратных уравнений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Восстановление пароля