Перпендикулярность плоскостей в пространстве презентация. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему. Перпендикулярные прямые на плоскости

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 о а b с а  b c  b α

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. A C a α M b c Дано: а || b, a  c Доказать: b  c Доказательство:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости α а а  α

Теорема 1 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. α х Дано: а || а 1 ; a  α Доказать: а 1  α Доказательство: a а 1

Теорема 2 α Доказать: а || b Доказательство: a Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. β b 1 Дано: а  α ; b  α b M с

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. α q Доказать: а  α Доказательство: a p m O Дано: а  p ; a  q p  α ; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q Доказательство: L а) частный случай A

α q a p m O Доказательство: а) общий случай a 1

Теорема 4 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. α а β М b с Доказать: 1) ∃ с, с  α , М  с; 2) с – ! Доказательство: Дано: α ; М  α

Задача Найти: MD А В D M Решение: Дано:  ABC ; MB  BC; MB  BA; MB = BD = a Доказать: М B  BD C a a

Задача 128 Доказать: O М  (ABC) Дано: ABCD - параллелограмм; AC ∩ BD = O ; М  (ABC); МА = МС, MB = MD А В D C O М Доказательство:

Задача 12 2 Найти: AD; BD; AK; BK. А В D C O К Решение: Дано:  ABC – р/с; О – центр  ABC CD  (ABC); ОК || CD А B = 16  3 , OK = 12; CD = 16 12 16

Перпендикуляр и наклонные М А В Н α МН  α А  α В  α МА и МВ – наклонные Н  α АН и ВН – проекции наклонных МН – перпендикуляр М  α

Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной. А Н М α β а Дано: а  α , АН  α , АМ – наклонная, а  НМ, М  а Доказать: а  АМ Доказательство:

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А Н М α β а Дано: а  α , АН  α , АМ – наклонная, а  АМ, М  а Доказать: а  НМ Доказательство:

Угол между прямой и плоскостью А Н α β а О φ (а; α) =  АОН = φ

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости" соответствует теоритическому материалу, изучаемому в этом разделе стереометрии....

Представлена разработка урока в 10 классе, по геометрии к УМК: Геометрия для 10--11 кл., авторы Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.. Это урок изучения нового материала с использова...

Перпендикулярные

прямые в

пространстве

Определение.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Перпендикулярные прямые на плоскости

Сколько перпендикуляров можно провести к данной прямой через данную точку А не лежащую на прямой или точку В, лежащую на прямой?

Через каждую точку можно провести одну прямую , перпендикулярную данной.

Определение . Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Доказать, что через любую точку в пространстве можно провести прямую, перпендикулярную данной.

1. Через прямую а и точку В проведем плоскость 

2. Через точку В в плоскости  проведем прямую с, перпендикулярную прямой а.

Прямые, которые

Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом.

не пересекаются и

лежат в одной плоскости,

называются параллельными

Вывод . Перпендикулярные прямые могут лежать в разных плоскостях.

Найти 2 перпендикулярные прямые, лежащие в одной плоскости и в разных плоскостях.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна третьей.

Дано:

Док-ть:

Док-во:

1. Через произвольную точку M, не лежащую на данных прямых, проведем МА ||a и MC || с. Т.к. a ┴ c, то АМС= 90˚

3. b|| AM

2. b || a (по условию)

a || AM (по построению)

№ 116 (а) (стр. 38)

Дано:

Док-ть:

1). DC ┴ B 1 C 1

2). AB ┴ A 1 D 1

Дано:

DABC - тетраэрд

Док-ть:

• Дайте определение перпендикулярных прямых в пространстве.

2. Сформулируйте доказанную лемму.

Домашнее задание:

• Теория (стр. 34, учить)
• № 116 (б), 117

Слайд 2

Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) , если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых aи b обозначается так: ab. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.На рисунке 1 перпендикулярные прямые a и b пересекаются, а перпендикулярные прямые a и c скрещивающиеся. a b c 90° Рис. 1

Слайд 3

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой Лемма: Доказательство: Пусть a || b и ab. Докажем, что b  c. Через произвольную т. М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым a и c. Так как a  c, то AMC = 90°. По условию b || а,а по построению а|| МА,поэтому b ||МА.Итак,прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС,угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми bи с также равен 90°, т. е.b  c. Рис. 2 b a C A M c

Слайд 4

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается так: а  α. Если прямая а перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая ане пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости α имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая а пересекает плоскость α.

Слайд 5

На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости α. Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д. α a Рис. 3

Слайд 6

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Рассмотрим две параллельные прямые а и b и плоскость α, такую, что аα. Докажем, что и b  α. Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рисунок 4). Так как а α, то а х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b  х. Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. b  α. Доказательство: Рис. 4 α a b x

Слайд 7

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости α (рисунок 5,a). Докажем, что а || b. Через какую-нибудь т.M прямой b проведем прямую q, параллельную прямойа. По предыдущей теореме q  α. Докажем, что прямая q совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а|| b. Допустим, что прямые b и q не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и q, через т. M проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости α и β(рисунок 5, б). Но это невозможно, следовательно а || b. Доказательство: Рис. 5, а α a q Рис. 5, b α a M c b b

Посмотреть все слайды

Разделы: Математика

Цели урока:

• выявить уровень овладения комплексом знаний и умений решать задачи по данной теме,
• развивать пространственное воображение, логическое мышление, внимание и память,
• воспитывать активность, умение слушать.

Оборудование урока:

• учебник Л.С. Атанасян и др. «Геометрия 10-11»;
• рабочая тетрадь;
• персональный компьютер;
• мультимедийный проектор;
• интерактивная доска;
• авторская презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power Point (Приложение 1 )

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний обучающихся по теме.
3. Закрепление ранее полученных знаний и отработка умений и навыков применения этих знаний при решении задач.
4. Подведение итогов урока.
5. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент урока : приветствие, проверка готовности к уроку.

2. Актуализация знаний , полученных учащимися на предыдущем уроке:

– понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
– перпендикулярность прямой и плоскости;
– свойств параллельных прямых, перпендикулярных плоскости.

С целью актуализации знаний один ученик выходит к доске и записывает решение задачи №119а), второй ученик – доказательство теоремы о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости.

Пока они готовятся, фронтальный опрос класса:

– Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве?
– В каких пределах измеряется угол между прямыми в пространстве?
– Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
– Сформулируйте лемму о двух параллельных прямых, перпендикулярных третьей.
– Установите правильную последовательность действий в доказательстве леммы.

После выполнения оперативная проверка правильности.

Учитель: Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

Учитель: Сформулируйте обратную теорему.

Проверка правильности решения домашней задачи №119а (с использованием равенства треугольников).

3.Отработка умений и навыков применения теоретических знаний к решению задач

1) Устные упражнения.

№1 Прямая АВ перпендикулярна плоскости, точки М и К принадлежат этой плоскости. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой МК.

2) Письменные упражнения.

№2 В квадрате ABCD т.О – точка пересечения его диагоналей. Прямая МО перпендикулярна плоскости квадрата. Докажите, что MA = MB = MC = MD.

№3 Сторона AB параллелограмма ABCD перпендикулярна плоскости. Найдите BD, если АС = 10 см.

4. Проверка усвоения полученных знаний при выполнении теста

5. Подведение итогов урока

Записать задание на дом: п.15-16, № 118 № 120