Brzi simulator mentalne aritmetike. Kako brzo pomnožiti dvocifrene brojeve u svojoj glavi

Nije tajna da postoje ljudi koji zavidnom brzinom mogu obavljati umjereno složene aritmetičke operacije u svojim glavama. Nije im teško, na primjer, pomnožiti dva dvocifrena broja ili podijeliti nekoliko trocifrenih veličina jedna s drugom. Oni to rade brzo i bez pomoći dodatnih uređaja i čak ne koriste bilješke, odnosno vrše proračune u glavi! Jasno je da mnogima nije teško shvatiti kako naučiti brzo brojati u glavi - to je svakodnevna praksa, prinudni rad ili vrstu aktivnosti. Ali to ne znači da je svako od nas koji želi naučiti kako da nauči računati u glavi dužan završiti matematički fakultet. Dakle, danas ćemo pričati o tome kako naučiti računati. Brojite brzo!

Učenje brzog brojanja, neophodna priprema

Bez sumnje, vaše iskustvo i obuka sposobnosti će igrati ulogu važnu ulogu u razvijanju takvih sposobnosti. Ali to ni na koji način ne znači da je vještina brzo brojanje Dostupno samo osobama sa iskustvom. Mentalna aritmetika je način racionalizacije koji se oslanja na osnovnu aritmetiku. Slijedeći naše savjete kako brzo naučiti računati, moći ćete iznenaditi druge brzim rješenjima primjera koje ne može svatko riješiti čak ni uz pomoć kalkulatora.

Šta vam je potrebno da brzo savladate tehniku ​​trenutnog izračunavanja "u svojoj glavi"? Glavne komponente uspjeha mogu se podijeliti u tri grupe:

• Predispozicije i sposobnosti. Vaš analitički um će vam biti od dobre pomoći. Sposobnost istovremenog zadržavanja nekoliko količina u memoriji je obavezna.
• Direktno algoritmi vašeg razmišljanja. Možete naučiti računati brzo samo kroz strogu algoritmizaciju svojih radnji, njihovu racionalizaciju i mogućnost odabira potrebna metoda u konkretnoj situaciji. O situacijama i drugim stvarima ćemo malo kasnije.
• Obuka i uvježbavanje vještina. Niko nije poricao važnost ovih radnji u bilo kojoj oblasti aktivnosti, a posebno u mentalnoj aktivnosti. Što više vježbate i izvodite razne proračune, to ćete biti bolji u tome.

Treba obratiti pažnju na treći faktor u razvoju sposobnosti brzog brojanja. Čak i ako ste dobro upućeni u sve postojeće algoritme, malo je vjerovatno da ćete moći brzo naučiti računati ako nemate dovoljno vježbe.

Trikovi i osnovni algoritmi za brzo brojanje

Pogledajmo nekoliko općenito prihvaćenih pojednostavljenja brojanja; uz njihovu pomoć ćete moći brzo naučiti brojati. Takođe bih želeo da vam skrenem pažnju da vam niko ne brani da improvizujete – ono što je izvanredno kod matematike je to što vam, uz svu njenu tačnost i strogost, ne brani da se ponašate lepo, kao umetnost. A sposobnost brzog brojanja je umjetnost! Dakle, nekoliko trikova kako brzo naučiti računati.

Recimo da trebate dodati viševrijedne termine. Lako! Dodaj po ciframa: većem broju dodajte najznačajniju cifru manjeg broja, a zatim sa nižim znamenkama. Recimo da trebate dodati 361 i 523. Neće biti lako zapamtiti odmah, slažete li se? Stoga će naš tok djelovanja biti sljedeći:

1. Utvrđen je manji broj - 361.
2. Šta je 361? Ovo je 300+60+1. Teško je raspravljati ako težite da budete racionalni.
3. Na 523 prvo dodamo 300. Dobijamo 823.
4. Zatim dodajte 60 i dobijemo 883.
5. I konačno, naša, dodana prethodno dobivenoj količini, dat će nam rezultat 884.

Vidite, bilo je mnogo lakše držati 3 broja u glavi nego zbrajati dva trocifrena broja odjednom! Počinjemo da brzo brojimo u svojim glavama!

Uradite isto sa oduzimanjem, ali samo uzastopnim oduzimanjem cifara nećemo postići potrebnu brzinu! Možemo malo varati dodavanjem još jedne vještine u naš arsenal - povećanje/oduzimanje u krug (pogodan broj).

Na primjer, trebate oduzeti 93 od 250. Pa, to je nezgodno!

Šta je 93? Tako je, 100-7!

250 – 100 = 150.

Pravimo dodatke za našu "ispravku" broja. Ako smo dodali, moramo dodati količniku, i obrnuto. U našem slučaju, broj 93 smo “povećali” na 100 dodavanjem 7. To znači da smo dodali 7 količniku.

Provjerite na svom kalkulatoru. Jeste li potrošili primjetno više vremena na kucanje brojeva nego na kalkulacije? Ovo je znak da ste već prilično dobri u brzom brojanju u glavi!

Sada sa množenjem. Možete ubrzati svoje brojanje na različite načine. Na primjer, kada množite brojeve, razdvojite faktore na faktore drugog nivoa.

Na primjer:

Mnogo načina do rješenja! I ovdje se vaš algoritam može razlikovati od puteva drugih ljudi - ne brinite, zato smo mi ljudi genijalni i jedinstveni =)

To možete učiniti: 12 = 3x4. Pomnožite 150 x 4 = 600, a zatim 600 x 3 = 1800.

Bez razmišljanja sam počeo da brojim ovako: 12 = 10 + 2. A sada je elementarno: (150 x 10) + (150 x2). Sve je osnovno školska pravila koje, nažalost, zaboravljamo. Lako je vidjeti da u ovom slučaju praktički nema potrebe za brojanjem - dodajte nulu na 150, dobijete hiljadu i po, i pomnožite 150 sa 2, dobijete 300. Rezultat je isti, 1800.

Na osnovu iskustva brzog množenja, nije teško pogoditi kako brzo podijeliti brojeve u svojoj glavi. Opet možete ići na različite načine, od paralelnog dijeljenja pojednostavljenim djeliteljem dividende do zaokruživanja dividende do elementarizacije dijeljenja s amandmanom.

Na primjer:

Prvo, odbacite isti broj nula. U ovom primjeru je jednostavno - 39:4. Naš mozak je mnogo spremniji da radi sa malim brojevima nego sa višecifrenim vrednostima.

Verovatno ste primetili da samo želite da zaokružite broj 39 na 40. Dakle, šta nas sprečava? (39+1):4 = 10.

Ali pošto smo promijenili dividendu, moramo prilagoditi odgovor. Dakle, očito je da će to biti manje od 10, pošto smo dividendi dodali određeni broj 1. Sada od 10 trebamo oduzeti rezultat dijeljenja korektornog broja djeliteljem (4). Da smo oduzeli, procedura bi bila obrnuta, to se podrazumeva.

Dakle 1:4 = 0,25

Odgovor: 9,75 (9 3 / 4)

Našem mozgu je mnogo lakše da percipira prirodne razlomke, odnosno zamišljamo 0,25 kao 1/4 (jedna četvrtina, četvrtina), i tada će nam biti vrlo lako brzo izračunati rezultat u mislima!

Zapamtite, nije tako teško shvatiti kako brzo naučiti računati. Mnogo je teže brzo odabrati metodu za konkretnu situaciju, ali to se može riješiti uz pomoć ogromne prakse.

Naučiti brzo brojati u glavi nije teško; potrebno je samo iskustvo i obuka. Sposobnost rada sa složenim brojevima povećava nivo kontrole nad mnogim životnim procesima i čini osobu sabranijom i organizovanijom. Također, brza mentalna aritmetika vam omogućava da se odvojite od tužnih misli, poboljšava pamćenje, pažnju i osjećaj samopouzdanja.

Karakteristike i prednosti brze mentalne aritmetike

Trenutno, gotovo svaka obrazovana osoba može u svom umu operirati brojevima do 20. Međutim, već je teško napraviti mentalne proračune sa vrijednostima koje imaju tri ili više brojeva. To mogu samo oni koji redovno obavljaju matematičke operacije u svom umu; to su matematičari, naučnici, računovođe itd.

Kako možete steći iste vještine brzog brojanja kao ovi stručnjaci? Ovo nije nemoguće. Svako od nas po prirodi ima sposobnost da to učini. Za neke su razvijenije, drugima treba malo vježbe. Vježbe za obuku mogu se naći besplatno na internetu. Možete razviti vlastitu metodologiju koja će uzeti u obzir sve lične karakteristike i pomoći vam da brzo ovladate potrebnim vještinama.

Da biste uspjeli u ovom poslu morate slijediti sljedeća osnovna pravila:

• redovnim treninzima

Prvo morate razviti vlastiti režim treninga, a zatim, ako zaista želite postići impresivne rezultate, striktno ga se pridržavajte. Tokom prvog mjeseca trening treba izvoditi jednom dnevno u trajanju od 10-15 minuta. Ne preporučuje se da ih radite duže, jer se od ove aktivnosti možete jako umoriti i ohladiti.

Ako vam postane teško, možete napraviti pauzu od jednog ili dva dana. Uzmite si vremena, savladajte tehniku ​​vlastitim tempom. Savladavanje brzog brojanja je poput učenja poezije. Ako nešto ne uspije odmah, onda ne odustajte, nastavite trenirati i uspjeh će uslijediti.

• pažnje i koncentracije

Ovo je veoma važna tačka prilikom proučavanja tehnike brzog brojanja. Prije svega, morate zapamtiti algoritam za rad sa kompleksnim brojevima. Zatim, tokom procesa treninga, to će biti zapamćeno i neće biti teško izvršiti radnju u svom umu čak ni sa trocifrenim i četvorocifrenim brojevima.

Pokušajte da vas ne ometaju strane stvari kako ne biste preopteretili mozak nepotrebnim informacijama i brzo savladali potrebne vještine.

• pridržavanje režima treninga

Ovo je jedan od temelja uspjeha. Samo strpljenje i redovan rad na sebi omogućiće vam da dobijete ono što želite. Napravite raspored u koje vreme će se časovi održavati. Možete čak i označiti informacije o vježbi koju ste tamo izvodili svaki dan.

• motivacija

To je i jedan od ključeva uspjeha, kada čovjek pred sobom vidi cilj, nastojat će ga postići, čak i ako to zahtijeva stjecanje određenih vještina i sposobnosti.

• strpljenje

U svakom poslu, da biste postigli uspjeh, potrebni su vam strpljenje i upornost, čak i ako sve ne uspije odmah. Svi ljudi su različiti, nekima je potrebno više vremena da steknu ove vještine, drugima manje. Glavna stvar je ne odustati nakon prvih neuspjeha.

Također, prije početka treninga, morate uzeti u obzir sljedeće osnovne tačke:

• prirodne sposobnosti

Nisu svi ljudi prirodno nadareni matematičkim umom, pa će im trebati malo više vremena da savladaju brze algoritme za brojanje. Samo nemojte ovu činjenicu učiniti glavnim izgovorom za neučenje tehnike.

• poznavanje i razumijevanje matematičkih algoritama

Ovo je neophodno kako bi se naknadno izvršili brzi proračuni u umu prema prethodno naučenom obrascu.

• ishrana

Tokom perioda intenzivnog mentalnog treninga, trebali biste u svoju prehranu uključiti hranu koja hrani mozak, na primjer, orasi, med, voće.

Koristeći ove vještine, bit će vrlo ugodno izvoditi mentalne računske operacije bez pribjegavanja upotrebi kalkulatora i drugih sredstava za izračunavanje.

Osnovne tehnike

Postoji mnogo načina za razvoj mentalnih aritmetičkih vještina. Svako može izabrati za sebe najpogodniji. Postoje četiri operacije sa brojevima: sabiranje, množenje, oduzimanje, deljenje.

Dovoljno je jednom razumjeti algoritam da biste razvili potrebne vještine. Biće dovoljno trenirati 10-15 minuta dnevno, a zatim povremeno održavati stečene sposobnosti uz povremene treninge. Prvi rezultati će biti vidljivi za pola mjeseca, a nakon dva do tri mjeseca moći ćete da dosegnete pristojan nivo računa.

• tehnika za brzo dodavanje

Ovo je najlakši nivo za početak tokom treninga. Najbolje je početi s dvocifrenim brojevima. Na primjer, trebate sabrati brojeve 23 i 51. Prvo dodajte desetice: 20+50 = 70, a zatim dodajte ostatak 3+1=4 rezultirajućem zbroju. Kao rezultat, dobijamo broj 74.

Savladavanje sabiranja višecifrenih brojeva također nije teško. Na primjer, dodajmo 342 i 741. Da bismo to učinili, podijelimo ove brojeve na cifre 300, 40, 2 i 700, 40 i 1, redom. Zatim, po analogiji sa dvocifrenim brojevima, počinjemo sabirati u našim glavama: 300 + 700 = 1000, 40+40 = 80, 2+1 = 3, a zatim sabrati 1000+80+3 = 1083.

• tehnika za brzo oduzimanje

Baš kao i kod sabiranja, oduzimanje dvije vrijednosti neće zbrajati. puno posla. Počnimo s dvocifrenim brojevima, na primjer, trebamo oduzeti broj 23 od 35. Počnimo i sa znamenkama: 30-20 = 10, 5-3 = 2, a zatim dodajte rezultirajuće vrijednosti 10 + 2 i dobijete željeni broj 12.

Oduzimanje višecifrenih brojeva također nije teško, na primjer, oduzmite broj 154 od 377. Da bismo to učinili, dijelimo digitalne vrijednosti na znamenke 300, 70, 7 i 100, 50 i 4.

Oduzmimo 300-100 = 200, 70-50 = 20, 7-4 = 3, a zatim dodamo rezultirajuće brojeve: 200+20+3 = 223.

Na isti način možete oduzeti cifre l u svojoj glavi sa većom dubinom bita.

• tehnika za brzo množenje

Ovaj postupak se može uvelike olakšati učenjem tablice množenja. Poznato je da je množenje pojednostavljenje operacije sabiranja. Na primjer, 3 * 6 = 18, ali u stvari ovo je zbir tri šestice. Prilikom množenja možete koristiti i metodu dubine bita, na primjer, trebate pronaći proizvod 42 * 3. Prvo, 2*3 = 6, 4*3 =12, zatim kombinujemo ove brojeve, stavljajući zadnji ispred prvog, tj. dobijamo broj 126. Ovaj algoritam je pogodan za izračunavanje proizvoda dvocifrenih brojeva.

Prilikom množenja trocifrenih brojeva u glavi, tehnika će biti malo drugačija. Na primjer, trebamo pomnožiti 421 i 372. Ovdje ćemo morati koristiti zbrajanje. Pomnožimo 421 redom sa svakom cifrom drugog broja: 421*2 = 842, 421*7= 2942, 421*3 = 1263, a zatim saberemo ove brojeve, posmatrajući pomak cifara: 2000+1000 = 120000, 800+90 +200 = 29800 , 40+40+60=6440, 2+7+3 = 372, kao rezultat dobijamo broj 156612.

Kada množite trocifrene brojeve, morate biti posebno oprezni kako ne biste pogriješili u sabiranju cifara u glavi.

• tehnika za brzu podjelu

Dijeljenje jednocifrenih i dvocifrenih brojeva u umu se provodi prema jednostavnom principu pomoću tablice množenja. Na primjer, trebamo podijeliti 35 sa 5, sjećajući se tablice množenja, unaprijed znamo da će rezultat biti 7.

Dijeljenje višecifrenih brojeva je malo teže. Na primjer, podijelimo 345 sa 5, to također radimo uzimajući u obzir dubinu bita: 300/5 = 60, 45/5 = 9, zatim dodamo 60+9 i dobijemo željeni broj 69.

Koliko se vidi, princip izvođenja bilo kakvih mentalnih proračuna zasniva se na principu cifarskog kapaciteta.

Trebam znati

Stjecanje brzih mentalnih aritmetičkih sposobnosti je značajna prednost za pojedinca, jer samo ograničen broj ljudi posjeduje takve vještine. Međutim, naknadno se moraju uzeti u obzir sljedeće točke:

• redovno održavati stečene vještine;
• recitovati matematičke operacije naglas tokom treninga;
• ne pretjerujte.

Onaj ko hoda savladaće put. Samo uz dužno strpljenje i motivaciju moguće je zadržati sposobnost brzog izvođenja matematičkih proračuna u svojoj glavi. dugo vremena.

Naučiti brzo brojati u glavi nije nemoguć zadatak. Svako može savladati tehniku ​​brzih matematičkih proračuna, za to je potrebna upornost, koncentracija i redovan trening. Postoji mnogo načina za stjecanje ove vještine, svako može izabrati onaj koji mu se najviše sviđa. Izvođenje brzih računskih operacija u umu zasniva se na principu dubine bita.

Roditelji moderne dece sa zavišću gledaju čuda od dece - učesnike televizijskih emisija „Najbolje od svih“ i „ Nevjerovatni ljudi"- i brinu se da se njihova djeca ne odlikuju svojom izvanrednom inteligencijom i superpametnošću: ne savladavaju dobro program osnovna škola, ne vole da naprežu mozak i plaše se časova matematike.

Od prvog razreda broje na prste i štapiće, ne poznaju tehnike mentalnog brojanja, pa imaju velike probleme u svim predmetima školskog kursa.

Tehnike brzog mentalnog brojanja su jednostavne i lake za učenje, ali treba imati na umu da uspješno ovladavanje njima pretpostavlja ne mehaničko, već sasvim svjesno korištenje tehnika i, uz to, manje ili više dugotrajno treniranje.

Ovladavši elementarnim tehnikama mentalnog računanja, oni koji ih koriste moći će ispravno i brzo izvršiti trenutne proračune u svojim glavama s istom preciznošću kao i u pismenim proračunima.

Posebnosti

Postoje mnoge tehnike koje vam pomažu da brzo naučite mentalnu aritmetiku. Uprkos svim vidljivim razlikama, oni imaju važnu sličnost - baziraju se na tri „stuba“:

• Obuka i sticanje iskustva. Redovno vježbanje i rješavanje zadataka od jednostavnih do složenih kvalitativno i kvantitativno mijenjaju vještinu mentalnog proračuna.
• Algoritam. Poznavanje i primjena “tajnih” tehnika i zakona uvelike pojednostavljuje proces brojanja.
• Sposobnosti i prirodni talenat. Razvijena kratkoročna memorija i njen znatan obim, kao i visoka koncentracija pažnje, od velike su pomoći u uvježbavanju brze mentalne aritmetike. Definitivni plus je prisustvo matematičkog uma i predispozicija za logičko razmišljanje.

Prednosti mentalnog brojanja

Ljudi nisu gvozdeni roboti, ali činjenica da stvaraju pametne mašine govori o njihovoj intelektualnoj superiornosti. Osoba treba stalno održavati svoj mozak u dobroj formi, što se aktivno olakšava treniranjem vještine mentalne aritmetike.

Za svakodnevni život:

• uspješna mentalna aritmetika pokazatelj je analitičkog načina razmišljanja;
• redovna mentalna aritmetika će vas zaštititi od rane demencije i senilnog ludila;
• vaša sposobnost dobrog sabiranja i oduzimanja neće dozvoliti da budete prevareni u radnji.

Za uspješne studije:

• aktivira se mentalna aktivnost;
• razvijaju se pamćenje, govor, pažnja, sposobnost percipiranja izgovorenog na uho, brzina reakcije, brza pamet i sposobnost pronalaženja najracionalnijih načina za rješavanje datog problema;
• jača se povjerenje u vlastite sposobnosti.

Kada treba da počnete sa treningom?

Prema naučnicima (psiholozima i nastavnicima), do 4 godine dijete već može sabirati i oduzimati. A do 5. godine beba može slobodno rješavati primjere i jednostavni zadaci. Ali to su statistike i djeca im se ne prilagođavaju uvijek. Zbog toga Ovdje je sve čisto individualno.

Pravila

Kraljica nauka - matematika - brinula se o školarcima i sastavila set zakona, algoritmi i pravila, koje će djeca, savladavši i vješto upotrebljavajući, zavoljeti matematiku i mentalni rad:

• Komutativno svojstvo sabiranja: zamjenom komponenti akcije dobivamo isti rezultat.
• Kombinativno svojstvo sabiranja: Prilikom sabiranja tri ili više brojeva, bilo koje dvije (ili više) numeričke vrijednosti mogu se zamijeniti njihovim zbrojem.
• Zbrajanje i oduzimanje sa prelaskom na deset: dovršite veću komponentu
• Do zaokružite desetice, a zatim dodajte ostatak od druge komponente.

• Prvo oduzimamo pojedinačne jedinice od broja do znaka akcije, a zatim oduzimamo ostatak oduzetog od okruglih desetica.
• Zamislivši minuend kao zbir desetica i jedinica, od desetica većeg ćemo ukloniti manji i odgovoru dodati jedinice minuenda.
• Prilikom sabiranja i oduzimanja okruglih desetica (oni se nazivaju i „okrugli“ brojevi), desetice se mogu brojati na isti način kao i jedinice.
• Sabiranje i oduzimanje desetica i jedinica. Pogodnije je dodati desetice deseticama, a jedinice jedinicama.

Dodavanje broja zbiru

Metode su sljedeće:

• Izračunamo njegovu vrijednost, a zatim joj dodamo ovu vrijednost.
• Dodamo ga prvom članu, a zatim dodamo drugi član rezultatu.
• Drugom članu dodajemo broj, a odgovoru dodajemo prvi član.

Dodavanje sume broju

Metode su sljedeće:

• Izračunajmo njegovo očitanje i dodajmo ga broju.
• Broju dodajemo prvi član, a rezultatu dodajemo drugi član.
• Broju dodajemo drugi član, a rezultatu dodajemo prvi član.

Sabiranje dva iznosa. Sabiranjem dva zbroja biramo najpogodniji način izračuna.

Korištenje glavnih svojstava množenja

Metode su:

• Komutativno svojstvo množenja. Ako zamijenite faktore, njihov proizvod se ne mijenja.
• Kombinativna osobina množenja. Prilikom množenja tri ili više brojeva, bilo koja dva (ili više) brojeva mogu se zamijeniti njihovim umnoškom.
• Distributivno svojstvo množenja. Da biste zbroj pomnožili brojem, trebate svaku njegovu komponentu pomnožiti s ovim brojem i dodati rezultirajuće proizvode.

Množenje i dijeljenje brojeva sa 10 i 100

• Da biste povećali bilo koji broj za 10 puta, trebate dodati jednu nulu s njegove desne strane.
• Da biste istu stvar učinili 100 puta, trebate dodati dvije nule desno.
• Da biste broj smanjili za 10 puta, trebate odbaciti jednu nulu s desne strane, a da biste podijelili sa 100, trebate ukloniti dvije nule.

Množenje sume brojem

• 1. metoda. Izračunajmo iznos i pomnožimo ga ovom vrijednošću.
• 2. metoda. Pomnožimo broj sa svakim od pojmova i dodajmo dobijene odgovore.

Množenje broja sa zbrojem

• 1. metoda. Hajde da pronađemo zbir i pomnožimo broj sa onim što dobijemo.
• 2. metoda. Pomnožimo broj sa svakim od pojmova i dodajmo dobijene proizvode.

Deljenje zbira brojem

• 1. metoda. Izračunajmo zbir i podijelimo ga brojem.
• 2. metoda. Podijelite svaki pojam brojem i dodajte dobijene količnike.

Dijeljenje broja proizvodom

Opcije:

• 1. metoda. Podijelite broj s prvim faktorom, a zatim rezultat podijelite s drugim faktorom.
• 2. metoda. Podijelite broj s drugim faktorom, a zatim podijelite rezultat s prvim faktorom.

Vrste

Tokom nastave, malo vremena se izdvaja za usmenu aritmetiku, ali to ne umanjuje njen značaj za razvoj mentalne aktivnosti djece. Vještine mentalnog računanja razvijaju se na časovima matematike u osnovnoj školi prilikom izvođenja različitih vrsta zadataka i vježbi.

Pronađite vrijednost matematičkog izraza

Uporedite matematičke izraze

Takvi se zadaci razlikuju po varijabilnosti:

• utvrditi jednakost ili nejednakost dva data izraza (prvo pronalaženjem i upoređivanjem njihovih vrijednosti);
• na dati znak relacije i jedan od izraza sastaviti drugi izraz ili dopuniti nedovršeni prijedlog;
• u takvim vježbama izrazi mogu koristiti jednoznačne, dvostruke vrijednosti, trocifrenim brojevima i magnitude i sve četiri aritmetičke operacije. Glavna svrha ovakvih zadataka je solidna asimilacija teorijskog materijala i razvoj računskih vještina.

• Riješite jednačine. Oni pomažu razumjeti veze između komponenti i rezultata aritmetičkih operacija.
• Riješi problem. To mogu biti jednostavni ili složeni zadaci. Uz njihovu pomoć jačaju se teorijska znanja, razvijaju računske vještine i aktivira se mentalna aktivnost djece.

Tehnike mentalnog brojanja

Znakovi djeljivosti brojeva:

• po 2: sve što ga prevazilazi, i u numeričke serije proći kroz jedan;
• za 3 i 9: ako je zbir cifara višekratnik ovih indikatora bez ostatka;
• sa 4: ako posljednje dvije cifre u unosu sukcesivno formiraju broj koji je podijeljen sa 4;
• na 5: okrugle desetice i one sa 5 na kraju;
• sa 6: dijele se brojevi koji su višekratnici dva i tri;
• sa 10: numeričke vrijednosti koje se završavaju na 0;
• sa 12: dijele se brojevi koji se mogu podijeliti na tri i četiri u isto vrijeme;
• sa 15: brojevi koji su istovremeno djeljivi na cijele jednocifrene komponente ovog brojnog faktora.

Oblici brojanja u osnovnoj školi

Poznato je da je osnovna aktivnost predškolaca i osnovnoškolaca igra, koju je korisno uključiti u sve faze časa. Ispod su neki oblici usmenog brojanja.

Igra "Tišina"

Pomaže u razvoju pažnje i discipline. Tišina se može sastojati od primjera u jednoj radnji, dva ili više. Igra se u svim razredima osnovne škole i sa apstraktnim cijelim i imenovanim brojevima.

Učenici broje u svojim glavama i u tišini, na poziv nastavnika, zapisuju odgovore na date primjere na tabli. Tačne odgovore susrećemo laganim pljeskanjem, a netačne šutnjom.

Loto igra

Može postojati nekoliko tipova koji odgovaraju onim dijelovima matematike koji su proučavani i koje treba konsolidirati. Na primjer, loto s primjerima množenja i dijeljenja unutar "stotine".

Da bi igra bila zanimljivija, gume sa odgovorima mogu se napraviti od izrezane slike. Ako su svi primjeri točno riješeni, od guma se pravi slika.

Igra aritmetičkih labirinta

Izgledaju kao koncentrični krugovi sa kapijama sa brojevima na njima. Da biste došli do centra, morate birati broj u centru. Labirinti mogu zahtijevati ili jednu radnju (sabiranje) ili nekoliko za rješavanje. Treba imati u vidu da ovi problemi imaju nekoliko rješenja.

Igra "Uhvati pilota" (varijacija "Ljestve")

Na ploči je crtež: avion s petljama s primjerima. Pozivaju se dva učenika da zapišu odgovore lijevo i desno od petlji. Ko se ispravno i brzo odluči sustići će pilota.

Igra "Primjeri krugova"

Didaktički materijal je skup kartica položenih u koverte; svaka od njih ima 8 kartica, od kojih svaka ima napisan po jedan primjer.

Numerički primjeri u svakoj koverti su različiti po sadržaju i odabrani su po principu samokontrole: pri njihovom rješavanju rezultat jednog primjera će biti početak sljedećeg.

Kružni primjeri mogu se ponuditi u obliku ljestava.

Metode i tehnike razvoja

Uzimajući u obzir načine za podučavanje djece od 6 godina brzoj mentalnoj aritmetici, nemoguće je ne primijetiti jedinstvenost i jednostavnost japanske "Soroban" metode brojanja. Soroban metoda vam omogućava da podučavate djecu u dobi od 4 do 11 godina, razvijajući njihove mentalne sposobnosti i proširujući njihov opseg intelektualne sposobnosti klinci. Lako je naučiti svakog učenika da u glavi broji matematičke primjere koristeći japansku metodu brojanja na soroban. Vježbanjem mentalne mentalne aritmetike uključujemo cijeli mozak u svoj rad., čime se istovara leva hemisfera, koji je odgovoran za rješavanje matematičkih problema.

Mentalna aritmetika omogućava da se čak i "figurativna" hemisfera zainteresuje za računske operacije, što povećava efikasnost mozga.

Veliki brojevi zahtijevaju pismene tehnike izračunavanja, iako ima pojedinaca koji usavršavaju svoje vještine u radu s njima.

Brojanje primjera iz matematike u glavi je vitalna potreba, budući da se ispiti u školi sada održavaju bez upotrebe kalkulatora, a sposobnost brojanja u glavi je uvrštena na listu potrebnih vještina za maturante 9. i 11. razreda.

Osnovno pravilo za mentalno sabiranje:

Značajke oduzimanja: svođenje na okrugle brojeve

Jednocifrena oduzimanja se zaokružuju na 10, dvocifrena oduzimanja se zaokružuju na 100. Oduzmite 10 ili 100 i dodajte ispravku. Tehnika je relevantna za male izmjene.

Oduzmite trocifrene brojeve u svojoj glavi

Na osnovu dobrog poznavanja sastava brojeva prve desetice, možete oduzimati dijelove po dijelovima ovim redoslijedom: stotine, desetice, jedinice.

Možete bez problema množiti i dijeliti ako znate tablicu množenja - "čarobni štapić" za brzo savladavanje mentalne aritmetike. Važno je napomenuti da seoska djeca predrevolucionarna Rusija znali su nastavak takozvane Pitagorine tabele - od 11 do 19, a bilo bi lepo da savremeni studenti znaju tabelu do 19 * 9 napamet.

Da bi se deca zainteresovala za matematiku, a teške trenutke u školskom programu približili i učinili dostupnijim, postoje načini i metodičke tehnike koje pretvaranje složenosti u zabavno i zanimljivo:

• Za množenje bilo koje jednocifreni broj u 9, pokažimo svima naše prazne dlanove. Savijte prst odgovarajućim redom (brojeći od thumb lijeva ruka) na broj prvog faktora. Gledamo koliko je prstiju lijevo od zakrivljenog - to će biti desetine željenog proizvoda, a desno - vlastite jedinice.
• Množenje sa 11 bilo kojeg dvocifrenog broja, čiji zbroj cifara ne dostiže 10, izvodi se na zabavan i jednostavan način: mentalno odvojite znamenke ovog broja i stavite njihov zbroj između njih - odgovor je spreman.
• Ako se ispostavi da je zbroj znamenki broja pomnoženog sa 11 jednak 10 ili veći od 10, tada između mentalno proširenih cifara ovog broja treba staviti njihov zbir i dodati prve dvije znamenke s lijeve strane, ostavljajući druga dva nepromijenjena - dobijate proizvod.

Vrlo malo ljudi može brzo da broji. Velika većina odraslih izračunati potrebne troškove koristeći kalkulator. Zbog činjenice da većina ljudi ne zna da broji u glavi, prevare se u prodavnicama kada daju kusur. Danas ćemo vas naučiti brzoj mentalnoj aritmetici. Kada naučite kako se to radi, možete i svoje dijete naučiti ovoj vještini.

Šta treba da razvijete da biste brzo brojali

Unatoč činjenici da gotovo svi ljudi broje pomoću kalkulatora, rijetki su ljudi koji su u stanju da broje u svojim glavama. Za to je po pravilu sposobna jedna osoba iz razreda, pa čak i iz paralelne grupe. Malo je ljudi koji mogu bez problema da broje u glavi. Međutim, to ne znači da su genijalci, i obdaren supermoći. Ovi ljudi jednostavno su u stanju da urade sljedeće:

1. Koncentrišite se na nekoliko stvari odjednom. Zahvaljujući tome, lako mogu množiti dvocifrene i trocifrene brojeve.
2. Radite s malim brojevima. Veliki se sastoje od malih. I, stoga, dovoljno je poznavanje tablice množenja, a onda je stvar tehnike.

Po pravilu, sposobnost mentalnog brojanja kod djece se javlja sa rano djetinjstvo. Ako je dete znalo da operiše velikim brojevima, daleko ispred školskog programa, onda će u zrelijim godinama računati bez razmišljanja.

Da biste naučili kako lako računati u glavi, potrebno je da uradite sljedeće:

1. Razvijajte pamćenje.
2. Naučite raditi s brojevima od 0 do 9.
3. Trenirajte stalno.
4. Naučite neke tehnike koje mnogo olakšavaju brojanje.

Da biste razvili kratkoročno pamćenje, potrebno je raditi razne vježbe. Većina Najbolji način- stavite nekoliko predmeta na sto i zapamtite ih. Zatim se morate okrenuti, a vaš prijatelj mora ukloniti neke predmete. Nakon toga morate imenovati stavke koje nedostaju. Trebalo bi biti najmanje deset stavki, jer je takav broj prilično teško zapamtiti.

Također, možete naučiti jedan katren dnevno. Ovo vrlo dobro razvija pamćenje i, shodno tome, neće biti suvišno pri savladavanju brze mentalne aritmetike.

Naučiti raditi s brojevima od 0 do 9 znači naučiti kako se to radi zbrajati, množiti, oduzimati i dijeliti. Ako želite da naučite svoje dijete da to radi, onda će vam vaši prsti pomoći u tome. Možete naučiti oduzimati i sabirati koristeći prste. Prilikom oduzimanja, morate saviti prst, a kada zbrajate, morate ga ispraviti.

Što se tiče dijeljenja i množenja brojeva, dovoljno je naučiti tablicu množenja. Štaviše, nije lako zapamtiti, već razumjeti. Takve operacije djeca uče u trećem razredu. Dakle, tu nema ništa komplikovano. Međutim, ljudi koji lako računaju u glavi bili su znatno ispred školskog programa aritmetike u djetinjstvu.

Ključ uspjeha u svakom poslu je stalna obuka. I učenje brzog brojanja u glavi nije izuzetak. Ako želite da zadivite svoje prijatelje davanjem tačan odgovor u trenu, - voz! Vremenom će vam sve uspjeti!

Kako brzo oduzimati i sabirati

Sabiranje i oduzimanje su neke od njih jednostavne aritmetičke operacije. Možete naučiti da ih brzo izvodite u svojoj glavi za nekoliko dana. Sada, koristeći primjere, vidjet ćete kako je lako sabirati i oduzimati.

Primjer 1. Trebamo oduzeti 79 od 213. Na prvi pogled može izgledati da je primjer zaista komplikovan, ali u stvari nije. Šta je 79? Ovo je zbir 70 i 9. Prema tome, ove brojeve trebamo oduzeti odvojeno. Prvo oduzmemo 70 od 213 i dobijemo 143. Brojeve koji su višekratni deset je mnogo lakše oduzimati i sabirati. Zato smo podijelili 79 na dva broja. Nakon toga od 143 oduzimamo 9 i dobijemo 134. Sve je elementarno!

Primjer 2. Trebamo pronaći zbir 23 i 41. Pratimo isti algoritam. Podijelimo 41 na 40 i 1. Dodamo jedan na 23, i dobijemo 24. Zatim ovom broju dodamo 40 i dobijemo 64. Kao što razumijete, za izvođenje tako jednostavnih operacija treba vam p sortiraj brojeve na mjesta. A onda će sve biti mnogo jednostavnije.

Kako se brzo umnožiti

Kada množite brojeve, razmotrite 4 slučaja:

1. Jednostavno množenje dva broja.
2. Kvadratura.
3. Pomnožite sa 11.
4. Uzimajući procenat.

Kada množite dva broja, morate ga podijeliti i na dva broja. Primjer - trebamo pomnožiti 43 sa 18. Šta da radimo? Podijelimo 43 na 40 i 3. Zatim pomnožimo 18 sa svakim od ovih brojeva i dodamo proizvode. Ako pomnožimo 18 sa 40, dobijamo 720. A množenjem 18 sa 3 dobijamo 54. Sabiranjem rezultata množenja dobijamo 774. Važno je razumeti strukturu sistema. Ako ste imali poteškoća s množenjem 40 sa 18, tada biste također trebali podijeliti 18 na 10 i 8. I onda, množenjem i sabiranjem svega što je potrebno, dobili biste 720.

Prilikom kvadrature broj se množi sam sa sobom. Potrebno je brojati po istom sistemu, podijeliti broj na dva i izvesti sve daljim operacijama, o čemu smo pričali gore.

Nema potrebe da se mučite kada množite sa jedanaest. Postoji jedan vrlo jednostavan način, zahvaljujući kojem će vam trebati samo nekoliko sekundi da izračunate odgovor. Primjer - trebate pomnožiti 15 sa 11. Šta da radimo? Zbiramo brojeve koji čine broj 15. To jest, sabiranjem 1 i 5, dobijamo 6. Ova šestica mora biti napisana između jedan i pet. Dobijamo rezultat - 165.

Ako je zbir dviju znamenki veći od 9, na primjer, jednak je 12, tada morate onu s lijeve strane dodati najznačajnijoj cifri, a dvije upisati između ove dvije cifre. Primjer - množimo 39 sa 11. Zbir 3 i 9 je 12. Najvišoj cifri dodamo jedan i dobijemo 4. I zapišemo dva između 4 i 9. Dobijamo rezultat - 429.

Šta je procenat? Ovo je stoti dio broja. Odnosno, ako trebamo uzeti 30 posto broja, onda ga trebamo pomnožiti sa 30 i podijeliti sa 100. Gore smo vam rekli kako množite brojeve, a mi ćemo vam reći kako dalje dijeliti.

Kako brzo podijeliti brojeve

Prvo ćemo vam objasniti kako dijelite male brojeve. Na primjer, majka ima 3 sina i 6 slatkiša, morate ih podijeliti na jednake dijelove. Šta treba da uradim? Tako je, svakom dječaku treba dati jedan slatkiš dok ne ponestane. U ovom slučaju, svi će dobiti 2 bombona. Prema tome, ako podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Isto je i sa velikim brojevima. Na primjer, poslodavac je izdvojio 82 hiljade rubalja za plate svojih zaposlenih. U svom timu ima pet radnika. U skladu s tim, da biste saznali platu svakog od njih, trebate podijeliti 82 hiljade sa 5. Da biste to uradili, podijelimo 82 hiljade sa 80 i 2. Podijelimo 80 sa 5, dobijemo 16. I podijelimo 2 hiljade sa 5, dobijamo 400. Sumirajući rezultate, dobijamo rezultat - plata zaposlenog je 16.400 rubalja.

Šta učiniti ako se ne podijeli u potpunosti? Čak i ljudima koji su sposobni za brzu mentalnu aritmetiku je prilično teško izračunati rezultat ako nije cijeli. U ovom slučaju, e ako su brojevi dvocifreni ili više, bolje je ne razbijati glavu i koristiti kalkulator. Šta učiniti ako su brojevi mali, pomoći će vam tehnike o kojima ćemo govoriti u sljedećem odjeljku.

Tehnike vezane za brojeve koji su višestruki od 10

Ako naučite koristiti ove tehnike, bit će vam mnogo lakše savladati brze mentalne proračune. Potrebni su za lakše množenje i dijeljenje. Predugo bi trebalo da se sve objašnjava, pa ćemo vam dati primjere i sami ćete sve razumjeti.

Primjer 1. Trebamo podijeliti 90 hiljada sa 5. Da bismo to učinili, jednostavno trebamo podijeliti 90 sa 5, a zatim dodati tri nule rezultirajućem rezultatu.

Primjer 2. Trebamo podijeliti 3 sa 5. Da bismo to učinili, trebamo pomnožiti 3 sa 10, a zatim podijeliti 30 sa pet. A onda, trebate podijeliti šest sa 10. Da biste to učinili, samo trebate staviti zarez ispred šestice. Rezultat je nula poena šest.

Kao što ste mogli pretpostaviti, kada dijelite sa 10, decimalni zarez stavljate jednu cifru lijevo. To je, koliko nula ima u broju, višestruko od 10, toliko cifara lijevo da dodijelite zarez. Na primjer, ako podijelite 5 sa hiljadu, rezultat će biti 0,005. A prilikom množenja, dodjeljujete nule desno. To jest, kada se pomnoži sa 5 sa hiljadu, rezultat će biti 5000.

Primjer 3. Množenje brojevima blizu 100. To jest, sa 98 ili 99. Na primjer, trebate pomnožiti 54 sa 98. Da biste to učinili, pomnožite 54 sa 100 i dobijete 5400. Nakon toga morate oduzeti 98 od 100. Dobijamo dva, koja se moraju pomnožiti sa 54. Dobiveni rezultati su 108. Ovaj broj se mora oduzeti od 5400. Rezultat je 5292.

Sada možete lako savladati brze mentalne proračune. Glavna stvar je da stalno trenirate, a za nekoliko sedmica moći ćete zadiviti svoje prijatelje neverovatna brzina brojanja u umu.

Čista matematika je, na svoj način, poezija logičke ideje. Albert Einstein

U ovom članku nudimo vam izbor jednostavnih matematičkih tehnika, od kojih su mnoge prilično relevantne u životu i omogućavaju vam brže brojanje.

1. Brzi obračun kamate

Možda se u eri kredita i otplate najrelevantnija matematička vještina može nazvati majstorskim proračunom kamata u umu. Najbrži način da izračunate određeni postotak broja je da pomnožite dati postotak sa tim brojem, a zatim odbacite posljednje dvije znamenke u rezultatu, jer postotak nije ništa više od jedne stote.

Koliko je 20% od 70? 70 × 20 = 1400. Odbacujemo dvije cifre i dobijamo 14. Prilikom preuređivanja faktora proizvod se ne mijenja, a ako pokušate izračunati 70% od 20, odgovor će također biti 14.

Ova metoda je vrlo jednostavna u slučaju okruglih brojeva, ali što ako trebate izračunati, na primjer, postotak broja 72 ili 29? U takvoj situaciji morat ćete žrtvovati preciznost radi brzine i zaokružiti broj (u našem primjeru 72 je zaokruženo na 70, a 29 na 30), a zatim istu tehniku ​​množenja i odbacivanja posljednja dva cifre.

2. Brza provjera djeljivosti

Da li je moguće podijeliti 408 bombona podjednako na 12 djece? Lako je odgovoriti na ovo pitanje bez pomoći kalkulatora, ako se sjećate jednostavnih znakova djeljivosti koje su nas učili u školi.

• Broj je djeljiv sa 2 ako je njegova zadnja znamenka djeljiva sa 2.
• Broj je djeljiv sa 3 ako je zbir cifara koje čine broj djeljiv sa 3. Na primjer, uzmite broj 501, zamislite ga kao 5 + 0 + 1 = 6. 6 je djeljiv sa 3, što znači sam broj 501 je djeljiv sa 3.
• Broj je djeljiv sa 4 ako je broj koji čine njegove posljednje dvije cifre djeljiv sa 4. Na primjer, uzmite 2340. Zadnje dvije cifre čine broj 40, koji je djeljiv sa 4.
• Broj je djeljiv sa 5 ako mu je zadnja cifra 0 ili 5.
• Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv sa 2 i 3.
• Broj je djeljiv sa 9 ako je zbir cifara koje čine broj djeljiv sa 9. Na primjer, uzmite broj 6 390, zamislite ga kao 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 je djeljivo sa 9, što znači da je sam broj 6 390 djeljiv sa 9.
• Broj je djeljiv sa 12 ako je djeljiv sa 3 i 4.

3. Brzo izračunavanje kvadratnog korijena

Kvadratni korijen od 4 je 2. Svako to može izračunati. Šta je sa kvadratnim korijenom od 85?

Za brzo približno rješenje, nalazimo kvadratni broj najbliži datom, u ovom slučaju to je 81 = 9^2.

Sada nalazimo sljedeći najbliži kvadrat. U ovom slučaju to je 100 = 10^2.

Kvadratni korijen od 85 je negdje između 9 i 10, a pošto je 85 bliže 81 nego 100, onda Kvadratni korijen ovaj broj će biti 9-nešto.

4. Brzo izračunavanje vremena nakon kojeg će se gotovinski depozit u određenom procentu udvostručiti

Želite li brzo saznati vrijeme koje je potrebno da se vaš novčani depozit uz određenu kamatnu stopu udvostruči? Ni ovdje vam ne treba kalkulator, samo znajte "pravilo 72".

Broj 72 podijelimo sa našom kamatnom stopom, nakon čega dobijemo okvirni period nakon kojeg će se depozit udvostručiti.

Ako se ulaganje vrši po stopi od 5% godišnje, onda će trebati nešto više od 14 godina da se udvostruči.

Zašto baš 72 (ponekad uzimaju 70 ili 69)? Kako radi? Wikipedia će detaljno odgovoriti na ova pitanja.

5. Brzo izračunavanje vremena nakon kojeg će se gotovinski depozit u određenom procentu utrostručiti

U tom slučaju kamata na depozit treba da postane djelitelj broja 115.

Ako se investira sa 5% godišnje, biće potrebno 23 godine da se utrostruči.

6. Brzo izračunajte svoju satnicu

Zamislite da idete na razgovore sa dva poslodavca koji ne daju plate u uobičajenom formatu „rubalji mesečno“, već govore o godišnjim platama i satnicama. Kako brzo izračunati gdje plaćaju više? Gdje je godišnja plata 360.000 rubalja, ili gdje plaćaju 200 rubalja po satu?

Da biste izračunali uplatu za jedan sat rada prilikom objavljivanja godišnje plate, potrebno je da odbacite poslednje tri cifre iz navedenog iznosa, a zatim dobijeni broj podelite sa 2.

360.000 pretvara se u 360 ÷ 2 = 180 rubalja po satu. Uz sve ostale stvari, ispada da je drugi prijedlog bolji.

7. Napredna matematika na prstima

Vaši prsti su sposobni za mnogo više od jednostavnog sabiranja i oduzimanja.

Prstima možete lako pomnožiti sa 9 ako iznenada zaboravite tablicu množenja.

Numerimo prste s lijeva na desno od 1 do 10.

Ako želimo da pomnožimo 9 sa 5, onda savijamo peti prst ulijevo.

Pogledajmo sada ruke. Ispada četiri nesavijena prsta prije savijenog. Oni predstavljaju desetke. I pet nesavijenih prstiju nakon savijenog. Oni predstavljaju jedinice. Odgovor: 45.

Ako želimo da pomnožimo 9 sa 6, onda savijamo šesti prst ulijevo. Dobijamo pet nesavijenih prstiju prije savijenog prsta i četiri poslije. Odgovor: 54.

Na ovaj način možete reproducirati cijeli stupac množenja sa 9.

8. Brzo pomnožite sa 4

Postoji izuzetno jednostavan način za razmnožavanje čak i brzinom munje veliki brojevi sa 4. Da biste to učinili, dovoljno je rastaviti operaciju na dvije akcije, pomnožiti željeni broj sa 2, a zatim ponovo sa 2.

Uvjerite se sami. Ne može svako pomnožiti 1.223 sa 4 u svojoj glavi. Sada radimo 1223 × 2 = 2446, a zatim 2446 × 2 = 4892. Ovo je mnogo jednostavnije.

9. Brzo odredite potrebni minimum

Zamislite da polažete seriju od pet testova za koje vam je potreban minimalni rezultat od 92 da biste položili. poslednji test, a prema prethodnim rezultatima: 81, 98, 90, 93. Kako izračunati potreban minimum, koji treba dobiti u posljednjem testu?

Da bismo to učinili, brojimo koliko smo bodova ispod/prestigli u testovima koje smo već prošli, što ukazuje na nedostatak negativni brojevi, a rezultati su više nego pozitivni.

Dakle, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.

Sabiranjem ovih brojeva dobijamo prilagodbu za traženi minimum: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.

Rezultat je deficit od 6 bodova, što znači da se traženi minimum povećava: 92 + 6 = 98. Stvari su loše. :(

10. Brzo predstavite vrijednost razlomka

Približna vrijednost običan razlomak može se vrlo brzo predstaviti u obliku decimalni, ako prvo svedete na jednostavne i razumljive omjere: 1/4,1/3, 1/2 i 3/4.

Na primjer, imamo razlomak 28/77, što je vrlo blizu 28/84 = 1/3, ali pošto smo povećali nazivnik, prvobitni broj će biti nešto veći, odnosno nešto više od 0,33.

11. Trik za pogađanje brojeva

Možete se igrati malo Davida Blainea i iznenaditi svoje prijatelje zanimljivim, ali vrlo jednostavnim matematičkim trikom.

1. Zamolite prijatelja da pogodi bilo koji cijeli broj.
2. Neka ga pomnoži sa 2.
3. Zatim će rezultatu dodati 9.
4. Sada neka oduzme 3 od rezultirajućeg broja.
5. Sada neka podijeli dobiveni broj na pola (u svakom slučaju, podijelit će se bez ostatka).
6. Na kraju, zamolite ga da od dobijenog broja oduzme broj koji je pogodio na početku.

Odgovor će uvijek biti 3.

Da, veoma je glupo, ali često efekat prevazilazi sva očekivanja.

Bonus

I, naravno, nismo mogli a da ne ubacimo u ovaj post tu istu sliku sa vrlo kul metodom množenja.