UlazDijeljenje polinoma polinomskim horner dijagramom. Prezentacija na temu "horner krug"
Prilikom rješavanja jednačina i nejednačina često je potrebno faktorizirati polinom čiji je stepen tri ili veći. U ovom članku ćemo pogledati najlakši način da to učinite.
Kao i obično, okrenimo se teoriji za pomoć.
Bezoutova teorema navodi da je ostatak pri dijeljenju polinoma binomom .
Ali ono što nam je važno nije sama teorema, već zaključak iz toga:
Ako je broj korijen polinoma, tada je polinom djeljiv binomom bez ostatka.
Suočeni smo sa zadatkom da nekako pronađemo barem jedan korijen polinoma, a zatim podijelimo polinom sa , gdje je korijen polinoma. Kao rezultat, dobijamo polinom čiji je stepen za jedan manji od stepena prvobitnog. A onda, ako je potrebno, možete ponoviti postupak.
Ovaj zadatak se dijeli na dva: kako pronaći korijen polinoma i kako podijeliti polinom binomom.
Pogledajmo bliže ove tačke.
1. Kako pronaći korijen polinoma.
Prvo provjeravamo da li su brojevi 1 i -1 korijeni polinoma.
Ovdje će nam pomoći sljedeće činjenice:
Ako je zbir svih koeficijenata polinoma nula, tada je broj korijen polinoma.
Na primjer, u polinomu zbroj koeficijenata je nula: . Lako je provjeriti koji je korijen polinoma.
Ako je zbir koeficijenata polinoma na parnim stepenima jednak zbiru koeficijenata na neparnim stepenima, tada je broj korijen polinoma. Slobodni termin se smatra koeficijentom za paran stepen, jer je , a paran broj.
Na primjer, u polinomu zbir koeficijenata za parne stepene je: , a zbir koeficijenata za neparne stepene je: . Lako je provjeriti koji je korijen polinoma.
Ako ni 1 ni -1 nisu korijeni polinoma, idemo dalje.
Za polinom redukovanog stepena (tj. polinom u kojem je vodeći koeficijent koeficijent na - jednako jedan) Vrijedi Vietina formula:
Gdje su korijeni polinoma.
Postoje i Vietine formule za preostale koeficijente polinoma, ali nas zanima ova.
Iz ove Vietine formule slijedi da ako su korijeni polinoma cijeli brojevi, onda su oni djelitelji njegovog slobodnog člana, koji je također cijeli broj.
Na osnovu ovoga, trebamo rastaviti slobodni član polinoma na faktore, i uzastopno, od najmanjeg do najvećeg, provjeriti koji od faktora je korijen polinoma.
Razmotrimo, na primjer, polinom
Dijelitelji slobodnog pojma: ; ; ;
Zbir svih koeficijenata polinoma je jednak , dakle, broj 1 nije korijen polinoma.
Zbir koeficijenata za parne stepene:
Zbir koeficijenata za neparne stepene:
Dakle, broj -1 također nije korijen polinoma.
Provjerimo da li je broj 2 korijen polinoma: dakle, broj 2 je korijen polinoma. To znači, prema Bezoutovoj teoremi, polinom je djeljiv binomom bez ostatka.
2. Kako podijeliti polinom na binom.
Polinom se može podijeliti na binom pomoću stupca.
Podijelite polinom binomom koristeći stupac:
Postoji još jedan način da se polinom podijeli binomom - Hornerova shema.
Pogledajte ovaj video da shvatite kako podijeliti polinom binomom sa stupcem, i koristeći Hornerov dijagram.
Napominjem da ako, prilikom dijeljenja kolonom, nedostaje neki stepen nepoznate u originalnom polinomu, na njegovo mjesto upisujemo 0 - na isti način kao kada sastavljamo tablicu za Hornerovu shemu.
Dakle, ako trebamo podijeliti polinom binomom i kao rezultat dijeljenja dobijemo polinom, tada možemo pronaći koeficijente polinoma koristeći Hornerovu shemu:
Možemo i koristiti Horner shema kako bi se provjerilo je li dati broj korijen polinoma: ako je broj korijen polinoma, onda ostatak pri dijeljenju polinoma sa jednaka nuli, odnosno u posljednjoj koloni drugog reda Hornerove sheme dobijamo 0.
Koristeći Hornerovu shemu, "ubijamo dvije muhe jednim udarcem": istovremeno provjeravamo da li je broj korijen polinoma i dijelimo ovaj polinom binomom.
Primjer. Riješite jednačinu:
1. Zapišimo djelitelje slobodnog člana i potražimo korijene polinoma među djeliteljima slobodnog člana.
Delitelji 24:
2. Provjerimo da li je broj 1 korijen polinoma.
Zbir koeficijenata polinoma, dakle, broj 1 je korijen polinoma.
3. Podijelite originalni polinom na binom koristeći Hornerovu shemu.
A) Zapišimo koeficijente originalnog polinoma u prvom redu tabele.
Budući da nedostaje termin koji sadrži, u kolonu tabele u koju treba upisati koeficijent upisujemo 0. Na lijevoj strani upisujemo pronađeni korijen: broj 1.
B) Popunite prvi red tabele.
U posljednjoj koloni, očekivano, dobili smo nulu; originalni polinom podijelili smo binomom bez ostatka. Koeficijenti polinoma koji nastaju dijeljenjem prikazani su plavom bojom u drugom redu tabele:
Lako je provjeriti da brojevi 1 i -1 nisu korijeni polinoma
B) Nastavimo sa tabelom. Provjerimo da li je broj 2 korijen polinoma:
Dakle, stepen polinoma, koji se dobija kao rezultat dijeljenja sa jedan, manji je od stepena originalnog polinoma, dakle, broj koeficijenata i broj kolona su za jedan manji.
U posljednjoj koloni dobili smo -40 - broj koji nije jednak nuli, dakle, polinom je djeljiv binomom s ostatkom, a broj 2 nije korijen polinoma.
C) Provjerimo da li je broj -2 korijen polinoma. Budući da prethodni pokušaj nije uspio, da izbjegnem zabunu s koeficijentima, obrisati ću red koji odgovara ovom pokušaju:
Odlično! Dobili smo nulu kao ostatak, dakle, polinom je podijeljen na binom bez ostatka, dakle, broj -2 je korijen polinoma. Koeficijenti polinoma koji se dobijaju dijeljenjem polinoma binomom prikazani su zelenom bojom u tabeli.
Kao rezultat podjele smo dobili kvadratni trinom 
, čiji se korijeni lako mogu pronaći pomoću Vietine teoreme:
Dakle, korijeni originalne jednadžbe su:
{
}
Odgovor: ( 
}
Hornerova shema - metoda dijeljenja polinoma
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
na binomu $x-a$. Moraćete da radite sa tabelom, čiji prvi red sadrži koeficijente datog polinoma. Prvi element drugog reda bit će broj $a$, uzet iz binoma $x-a$:
Nakon dijeljenja polinoma n-tog stepena sa binomom $x-a$, dobijamo polinom čiji je stepen za jedan manji od prvobitnog, tj. jednako $n-1$. Direktnu primjenu Hornerove sheme najlakše je pokazati primjerima.
Primjer br. 1
Podijelite $5x^4+5x^3+x^2-11$ sa $x-1$ koristeći Hornerovu šemu.
Napravimo tabelu od dva reda: u prvom redu upisujemo koeficijente polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$, poređane u opadajućem redosledu stepena promenljive $x$. Imajte na umu da ovaj polinom ne sadrži $x$ do prvog stepena, tj. koeficijent od $x$ na prvi stepen je 0. Pošto dijelimo sa $x-1$, upisujemo jedan u drugi red:
Počnimo da popunjavamo prazne ćelije u drugom redu. U drugu ćeliju drugog reda upisujemo broj $5$, jednostavno ga pomjerajući iz odgovarajuće ćelije prvog reda:
Popunimo sljedeću ćeliju prema ovom principu: $1\cdot 5+5=10$:
Popunimo četvrtu ćeliju drugog reda na isti način: $1\cdot 10+1=11$:
Za petu ćeliju dobijamo: $1\cdot 11+0=11$:
I konačno, za posljednju, šestu ćeliju, imamo: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Problem je rešen, preostaje samo da zapišete odgovor:
Kao što vidite, brojevi koji se nalaze u drugom redu (između jedan i nule) su koeficijenti polinoma koji se dobije nakon dijeljenja $5x^4+5x^3+x^2-11$ sa $x-1$. Naravno, pošto je stepen originalnog polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ bio jednak četiri, stepen rezultujućeg polinoma $5x^3+10x^2+11x+11$ je jedan manje, tj. jednako tri. Posljednji broj u drugom redu (nula) znači ostatak pri dijeljenju polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ sa $x-1$. U našem slučaju, ostatak je nula, tj. polinomi su jednako djeljivi. Ovaj rezultat se takođe može okarakterisati na sledeći način: vrednost polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ za $x=1$ jednaka je nuli.
Zaključak se također može formulirati u ovom obliku: budući da je vrijednost polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ na $x=1$ jednaka nuli, tada je jedinica korijen polinoma $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Primjer br. 2
Podijelite polinom $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ sa $x+3$ koristeći Hornerovu šemu.
Odmah odredimo da izraz $x+3$ mora biti predstavljen u obliku $x-(-3)$. Hornerova šema će uključivati tačno $-3$. Pošto je stepen originalnog polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ jednak četiri, onda kao rezultat dijeljenja dobijamo polinom trećeg stepena:
Rezultat to znači
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
U ovoj situaciji, ostatak pri dijeljenju $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ sa $x+3$ je $4$. Ili, što je isto, vrijednost polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ za $x=-3$ je jednaka $4$. Usput, ovo je lako provjeriti direktnom zamjenom $x=-3$ u dati polinom:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
One. Hornerova shema se može koristiti ako trebate pronaći vrijednost polinoma za datu vrijednost varijable. Ako je naš cilj pronaći sve korijene polinoma, tada se Hornerova shema može primijeniti nekoliko puta zaredom dok ne iscrpimo sve korijene, kao što je objašnjeno u primjeru br. 3.
Primjer br. 3
Pronađite sve cjelobrojne korijene polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ koristeći Hornerovu šemu.
Koeficijenti dotičnog polinoma su cijeli brojevi, a koeficijent najveće snage varijable (tj. $x^6$) jednak je jedan. U ovom slučaju, cjelobrojni korijeni polinoma moraju se tražiti među djeliteljima slobodnog člana, tj. među djeliteljima broja 45. Za dati polinom, takvi korijeni mogu biti brojevi $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ i -45$; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Provjerimo, na primjer, broj $1$:
Kao što vidite, vrijednost polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ sa $x=1$ je jednaka $192$ (posljednji broj u drugom redu), a ne $0 $, stoga jedinica nije korijen ovog polinoma. Pošto provjera za jedan nije uspjela, provjerimo vrijednost $x=-1$. Nećemo kreirati novu tabelu za ovo, ali ćemo nastaviti da koristimo tabelu. br. 1, dodajući mu novi (treći) red. Drugi red, u kojem je označena vrijednost od $1$, bit će označen crvenom bojom i neće se koristiti u daljim raspravama.
Možete, naravno, jednostavno ponovo napisati tabelu, ali ručno popunjavanje će oduzeti dosta vremena. Štaviše, može postojati nekoliko brojeva čija provjera neće uspjeti, a teško je svaki put napisati novu tabelu. Kada se računa "na papiru", crvene linije se mogu jednostavno precrtati.
Dakle, vrijednost polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pri $x=-1$ jednaka je nuli, tj. broj $-1$ je korijen ovog polinoma. Nakon dijeljenja polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ sa binomom $x-(-1)=x+1$ dobijamo polinom $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, čiji su koeficijenti uzeti iz trećeg reda tabele. br. 2 (vidi primjer br. 1). Rezultat proračuna se također može predstaviti u ovom obliku:
\begin(jednačina)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\kraj (jednačina)
Nastavimo potragu za cjelobrojnim korijenima. Sada trebamo potražiti korijene polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Opet, cjelobrojni korijeni ovog polinoma traže se među djeliteljima njegovog slobodnog člana, brojeva $45$. Pokušajmo ponovo provjeriti broj $-1$. Nećemo kreirati novu tabelu, ali ćemo nastaviti da koristimo prethodnu tabelu. br. 2, tj. Dodajmo mu još jednu liniju:
Dakle, broj $-1$ je korijen polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ovaj rezultat se može napisati ovako:
\begin(jednačina)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(jednačina)
Uzimajući u obzir jednakost (2), jednakost (1) se može prepisati u sljedećem obliku:
\begin(jednačina)\begin(usklađeno) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\kraj(poravnano)\kraj(jednačina)
Sada moramo tražiti korijene polinoma $x^4-22x^2+24x+45$ - naravno, među djeliteljima njegovog slobodnog člana (brojevi $45$). Provjerimo ponovo broj $-1$:
Broj $-1$ je korijen polinoma $x^4-22x^2+24x+45$. Ovaj rezultat se može napisati ovako:
\begin(jednačina)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(jednačina)
Uzimajući u obzir jednakost (4), prepisujemo jednakost (3) u sljedećem obliku:
\begin(jednačina)\begin(poravnano) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\kraj (poravnano)\kraj (jednačina)
Sada tražimo korijene polinoma $x^3-x^2-21x+45$. Provjerimo ponovo broj $-1$:
Provjera je završila neuspjehom. Označimo šesti red crvenom bojom i pokušajmo provjeriti drugi broj, na primjer, broj $3$:
Ostatak je nula, stoga je broj $3$ korijen polinoma o kojem je riječ. Dakle, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Sada se jednakost (5) može prepisati na sljedeći način.
Pomoću ovog matematičkog programa možete podijeliti polinome po stupcima.
Program za dijeljenje polinoma polinomom ne daje samo odgovor na problem, on daje detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješenja za testiranje znanja iz matematike i/ili algebre.
Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.
Na taj način možete sami voditi svoju obuku i/ili obuku. mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti problema koji se rješavaju povećava.
Ako trebate ili pojednostaviti polinom ili množi polinome, onda za ovo imamo poseban program Simplifikacija (množenje) polinoma
Podijelite polinome Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.
Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...
Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Dijeljenje polinoma na polinom (binom) pomoću stupca (ugla)
U algebri dijeljenje polinoma sa stupcem (ugao)- algoritam za dijeljenje polinoma f(x) polinomom (binomom) g(x), čiji je stepen manji ili jednak stepenu polinoma f(x).
Algoritam podjele polinom po polinom je generalizirani oblik podjele brojeva u stupcima koji se lako može implementirati ručno.
Za bilo koje polinome \(f(x) \) i \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), postoje jedinstveni polinomi \(q(x) \) i \(r( x ) \), takav da
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
i \(r(x)\) ima niži stepen od \(g(x)\).
Cilj algoritma za podjelu polinoma u stupac (ugao) je pronaći kvocijent \(q(x) \) i ostatak \(r(x) \) za datu dividendu \(f(x) \) i djelitelj koji nije nula \(g(x) \)
Primjer
Podijelimo jedan polinom drugim polinomom (binomom) koristeći stupac (ugao):
\(\veliki \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)
Kvocijent i ostatak ovih polinoma mogu se pronaći izvođenjem sljedećih koraka:
1. Podijelite prvi element dividende sa najvišim elementom djelitelja, stavite rezultat ispod linije \((x^3/x = x^2)\)
|
3. Od dividende oduzmite polinom dobijen nakon množenja, rezultat upišite ispod linije \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)
|
|
4. Ponovite prethodna 3 koraka, koristeći polinom napisan ispod linije kao dividendu.
|
|
5. Ponovite korak 4.
|
|
6. Kraj algoritma.
Dakle, polinom \(q(x)=x^2-9x-27\) je količnik podjele polinoma, a \(r(x)=-123\) je ostatak podjele polinoma.
Rezultat dijeljenja polinoma može se zapisati u obliku dvije jednakosti:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
ili
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)
Web stranica „Profesionalni tutor matematike“ nastavlja seriju metodičkih članaka o nastavi. Objavljujem opise metoda svog rada sa najsloženijim i najproblematičnijim temama školskog programa. Ovaj materijal će biti od koristi nastavnicima i nastavnicima matematike koji rade sa učenicima 8-11 razreda kako u redovnom programu tako iu programu nastave matematike.
Nastavnik matematike ne može uvijek objasniti materijal koji je loše predstavljen u udžbeniku. Nažalost, takve teme su sve brojnije, a masovno se prave greške u prezentaciji prateći autore priručnika. Ovo se ne odnosi samo na početnike i honorarne tutore (tutori su studenti i univerzitetski tutori), već i na iskusne nastavnike, profesionalne tutore, tutore sa iskustvom i kvalifikacijama. Nemaju svi nastavnici matematike talenat da kompetentno ispravljaju grube ivice u školskim udžbenicima. Ne razumiju svi da su ove ispravke (ili dodaci) neophodne. Malo djece je uključeno u prilagođavanje materijala za njegovu kvalitetnu percepciju od strane djece. Nažalost, prošlo je vrijeme kada su nastavnici matematike, zajedno sa metodicima i autorima publikacija, masovno raspravljali o svakom slovu udžbenika. Prethodno su, prije puštanja udžbenika u škole, vršene ozbiljne analize i studije ishoda učenja. Došlo je vrijeme za amatere koji nastoje da udžbenike učine univerzalnim, prilagođavajući ih standardima jakih časova matematike.
Trka za povećanjem količine informacija samo dovodi do smanjenja kvaliteta njihove asimilacije i, kao posljedicu, smanjenja nivoa stvarnog znanja iz matematike. Ali na ovo niko ne obraća pažnju. A naša deca su primorana, već u 8. razredu, da uče ono što smo mi učili na institutu: teoriju verovatnoće, rešavanje jednačina visoki stepeni i još nešto. Prilagođavanje gradiva u knjigama za djetetovu potpunu percepciju ostavlja mnogo da se poželi, a učitelj matematike je prisiljen nekako se nositi s tim.
Razgovarajmo o metodologiji za podučavanje takve specifične teme kao što je "dijeljenje polinoma polinomom uglom", poznatije u matematici za odrasle kao "Bezoutova teorema i Hornerova shema". Prije samo nekoliko godina, pitanje nije bilo toliko goruće za nastavnika matematike, jer nije bilo dio osnovnog školskog programa. Sada su uvaženi autori udžbenika, koji je uredio Teljakovski, uneli izmene u najnovije izdanje najbolji udžbenik, po mom mišljenju, i, pošto ga je potpuno upropastio, samo je dodao nepotrebne brige nastavniku. Nastavnici škola i odeljenja koja nemaju status matematike, fokusirajući se na inovacije autora, počeli su sve češće da uključuju dodatne paragrafe u svoje lekcije, a radoznala deca, gledajući prelepe stranice svog udžbenika matematike, sve češće pitaju nastavnik: „Kakva je ovo podjela po uglu? Hoćemo li proći kroz ovo? Kako podijeliti kutak? Od takvih direktnih pitanja više se ne može sakriti. Učitelj će morati djetetu nešto reći.
Ali kao? Vjerovatno ne bih opisao način rada na temi da je kompetentno predstavljena u udžbenicima. Kako sve ide kod nas? Udžbenike treba štampati i prodavati. A za to ih je potrebno redovno ažurirati. Žale li se profesori na fakultetima da im djeca dolaze prazne glave, bez znanja i vještina? Da li se povećavaju zahtjevi za matematičkim znanjem? Odlično! Uklonimo neke vježbe i umjesto toga ubacimo teme koje se proučavaju u drugim programima. Zašto je naš udžbenik lošiji? Uključićemo neka dodatna poglavlja. Školarci ne znaju pravilo podjele ugla? Ovo je osnovna matematika. Ovaj paragraf bi trebao biti fakultativan, pod naslovom „za one koji žele znati više“. Tutori protiv toga? Zašto nam je uopšte stalo do tutora? Protiv su i metodolozi i nastavnici? Nećemo komplicirati materijal i razmotrit ćemo njegov najjednostavniji dio.
I tu počinje. Jednostavnost teme i kvalitet njene asimilacije leže, prije svega, u razumijevanju njene logike, a ne u izvođenju, prema uputama autora udžbenika, određenog skupa operacija koje nisu jasno povezane jedna s drugom. . U suprotnom će biti magle u glavi učenika. Ako autori ciljaju na relativno jake studente (ali koji studiraju po redovnom programu), onda ne biste trebali predstavljati temu u komandnoj formi. Šta vidimo u udžbeniku? Djeco, moramo se podijeliti po ovom pravilu. Dobiti polinom pod uglom. Dakle, originalni polinom će biti faktorizovan. Međutim, nije jasno zašto su pojmovi ispod ugla odabrani upravo na ovaj način, zašto se moraju pomnožiti polinomom iznad ugla, a zatim oduzeti od trenutnog ostatka. I što je najvažnije, nije jasno zašto se odabrani monomi na kraju moraju dodati i zašto će rezultirajuće zagrade biti ekspanzija originalnog polinoma. Svaki kompetentan matematičar staviće podebljan upitnik iznad objašnjenja datih u udžbeniku.
Predavačima i nastavnicima matematike ukazujem svoje rješenje zadatka, koje učeniku praktično čini očiglednim sve što je navedeno u udžbeniku. Zapravo, dokazat ćemo Bezoutovu teoremu: ako je broj a korijen polinoma, onda se ovaj polinom može razložiti na faktore, od kojih je jedan x-a, a drugi se iz originalnog dobiva na jedan od tri načina: izolacijom linearnog faktora kroz transformacije, dijeljenjem uglom ili Hornerovom shemom. Sa ovom formulacijom će učitelju matematike biti lakše raditi.
Šta je metodika nastave? Prije svega, ovo je jasan redoslijed u nizu objašnjenja i primjera na osnovu kojih se izvode matematički zaključci. Ova tema nije izuzetak. Veoma je važno da nastavnik matematike upozna dijete sa Bezoutovom teoremom prije podjele uglom. Veoma je važno! Najbolji način da se postigne razumijevanje je da konkretan primjer. Uzmimo neki polinom s odabranim korijenom i pokažimo tehniku rastavljanja na faktore pomoću metode poznate školarcima od 7. razreda transformacije identiteta. Uz odgovarajuća popratna objašnjenja, naglaske i savjete nastavnika matematike, sasvim je moguće prenijeti gradivo bez ikakvih općih matematičkih proračuna, proizvoljnih koeficijenata i potencija.
Važan savjet za nastavnika matematike- slijedite upute od početka do kraja i ne mijenjajte ovaj niz.
Dakle, recimo da imamo polinom. Ako zamijenimo broj 1 umjesto njegovog X, tada će vrijednost polinoma biti jednaka nuli. Stoga je x=1 njegov korijen. Pokušajmo ga razložiti na dva člana tako da je jedan od njih proizvod linearnog izraza i nekog monoma, a drugi ima stupanj jedan manji od . Odnosno, predstavimo ga u obliku
Odabiremo monom za crveno polje tako da kada se pomnoži sa vodećim članom, potpuno se poklapa sa vodećim članom originalnog polinoma. Ako učenik nije najslabiji, onda će biti sasvim sposoban da nastavniku matematike kaže traženi izraz: . Treba odmah zamoliti nastavnika da ga ubaci u crveno polje i pokaže šta će se desiti kada se otvore. Najbolje je da se ovaj virtuelni privremeni polinom potpiše ispod strelica (ispod male fotografije), istakavši ga nekom bojom, na primer plavom. Ovo će vam pomoći da odaberete termin za crveno polje, koji se zove ostatak odabira. Savjetovao bih učiteljima da ovdje istaknu da se ovaj ostatak može naći oduzimanjem. Izvođenjem ove operacije dobijamo:
Nastavnik matematike treba učeniku skrenuti pažnju na činjenicu da zamjenom jedinice u ovu jednakost zagarantovano dobivamo nulu na njenoj lijevoj strani (pošto je 1 korijen originalnog polinoma), a na desnoj strani, očito, takođe će poništiti prvi član. To znači da bez ikakve provjere možemo reći da je jedan korijen „zelenog ostatka“.
Hajde da se pozabavimo njime na isti način kao što smo uradili sa originalnim polinomom, izolujući od njega isti linearni faktor. Nastavnik matematike crta dva okvira ispred učenika i traži od njih da popune s lijeva na desno.
Student bira za nastavnika monom za crveno polje tako da, kada se pomnoži sa vodećim članom linearnog izraza, dobije vodeći član ekspanzivnog polinoma. Uklopimo ga u okvir, odmah otvorimo zagradu i istaknemo plavom bojom izraz koji treba oduzeti od preklopnog. Izvođenjem ove operacije dobijamo
I na kraju, uradite isto sa zadnjim ostatkom
konačno ćemo to dobiti
Sada izvadimo izraz iz zagrade i vidjet ćemo dekompoziciju originalnog polinoma na faktore, od kojih je jedan „x minus odabrani korijen“.
Kako bi spriječio učenika da pomisli da je posljednji "zeleni ostatak" slučajno razložen na tražene faktore, nastavnik matematike treba da istakne važna imovina svih zelenih ostataka - svaki od njih ima korijen 1. Pošto se stupnjevi ovih ostataka smanjuju, onda koji god nam se stupanj početnog polinoma dao, prije ili kasnije, dobićemo linearni "zeleni ostatak" sa korijenom 1, i stoga će nužno razložiti u proizvod neki broj i izraz.
Nakon takvog pripremnog rada, nastavniku matematike neće biti teško objasniti učeniku šta se dešava kada se dijeli uglom. Ovo je isti proces, samo u kraćem i kompaktnijem obliku, bez znakova jednakosti i bez ponovnog pisanja istih istaknutih pojmova. Polinom iz kojeg se izdvaja linearni faktor ispisuje se lijevo od ugla, odabrani crveni monomi se skupljaju pod uglom (sada postaje jasno zašto se zbrajaju), da bi se dobili "plavi polinomi", "crveni ” jedinice se moraju pomnožiti sa x-1, a zatim oduzeti od trenutno odabranog kako se to radi uobičajenom podjelom brojeva u kolonu (ovdje je analogija s onim što je prethodno proučavano). Rezultirajući “zeleni ostaci” podliježu novoj izolaciji i selekciji “crvenih monoma”. I tako sve dok ne dobijete nultu „zelenu bilancu“. Najvažnije je da učenik razumije dalje sudbine napisani polinomi iznad i ispod ugla. Očigledno je riječ o zagradama čiji je proizvod jednak originalnom polinomu.
Sljedeća faza rada nastavnika matematike je formulacija Bezoutove teoreme. Zapravo, njegova formulacija s ovim pristupom nastavnika postaje očigledna: ako je broj a korijen polinoma, onda se može faktorizirati, od kojih je jedan , a drugi se dobiva iz originalnog na jedan od tri načina :
- direktna dekompozicija (analogno metodi grupisanja)
- dijeljenje uglom (u koloni)
- preko Hornerovog kola
Mora se reći da ne pokazuju svi nastavnici matematike učenicima horner dijagram, a ne svi nastavnici (na sreću samih nastavnika) ne ulaze toliko duboko u temu tokom nastave. Međutim, za učenika iz razreda matematike, ne vidim razlog da se zaustavi na dugom dijeljenju. Štoviše, najprikladniji i brzo Tehnika dekompozicije zasniva se upravo na Hornerovoj shemi. Da bi se djetetu objasnilo odakle dolazi, dovoljno je na primjeru dijeljenja uglom pratiti pojavu viših koeficijenata u zelenim ostacima. Postaje jasno da se vodeći koeficijent početnog polinoma prenosi u koeficijent prvog "crvenog monoma", a dalje od drugog koeficijenta trenutnog gornjeg polinoma oduzeto rezultat množenja trenutnog koeficijenta "crvenog monoma" sa . Stoga je moguće dodati rezultat množenja sa . Nakon što učenikovu pažnju usmjeri na specifičnosti radnji s koeficijentima, nastavnik matematike može pokazati kako se te radnje obično izvode bez bilježenja samih varijabli. Da biste to učinili, prikladno je unijeti korijen i koeficijente originalnog polinoma po redoslijedu u sljedeću tablicu:
Ako neki stepen nedostaje u polinomu, njegov nulti koeficijent se unosi u tabelu. Koeficijenti "crvenih polinoma" se redom zapisuju u donjem redu prema pravilu "kuke": 
Korijen se množi posljednjim crvenim koeficijentom, dodaje sljedećem koeficijentu u gornjem redu, a rezultat se zapisuje u donji red. U posljednjoj koloni garantovano ćemo dobiti najveći koeficijent posljednjeg „zelenog ostatka“, odnosno nulu. Nakon što je proces završen, brojevi u sendviču između podudarnog korijena i nultog ostatka ispadaju kao koeficijenti drugog (nelinearnog) faktora.
Pošto korijen a daje nulu na kraju donjeg reda, Hornerova shema se može koristiti za provjeru brojeva za naslov korijena polinoma. Ako je posebna teorema o izboru racionalnog korijena. Svi kandidati za ovu titulu dobijeni uz njegovu pomoć jednostavno se redom ubacuju s lijeve strane u Hornerov dijagram. Čim dobijemo nulu, testirani broj će biti korijen, a istovremeno ćemo dobiti koeficijente faktorizacije originalnog polinoma na njegovoj liniji. Vrlo udobno.
U zaključku, želio bih napomenuti da za precizno uvođenje Hornerove sheme, kao i za praktičnu konsolidaciju teme, nastavnik matematike mora imati dovoljan broj sati na raspolaganju. Tutor koji radi po režimu „jednom sedmično“ ne bi trebao da se bavi podjeli u ćošku. Na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike i na Državnoj matematičkoj akademiji iz matematike, malo je vjerovatno da ćete u prvom dijelu ikada naići na jednačinu trećeg stepena koja se može riješiti na takav način. Ako nastavnik priprema dijete za ispit iz matematike na Moskovskom državnom univerzitetu, proučavanje teme postaje obavezno. Univerzitetski nastavnici, za razliku od sastavljača Jedinstvenog državnog ispita, zaista vole da testiraju dubinu znanja kandidata.
Kolpakov Aleksandar Nikolajevič, nastavnik matematike Moskva, Strogino
Nazad napred
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Vrsta lekcije: Čas savladavanja i učvršćivanja osnovnog znanja.
Svrha lekcije:
- Upoznati učenike s konceptom korijena polinoma i naučiti ih kako ih pronaći. Poboljšati vještine korištenja Hornerove sheme za proširenje polinoma po stepenu i dijeljenje polinoma binomom.
- Naučite pronaći korijene jednadžbe koristeći Hornerov dijagram.
- Razvijati apstraktno razmišljanje.
- Negujte računarsku kulturu.
- Razvoj interdisciplinarnih veza.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat.
Informirajte temu lekcije, formulirajte ciljeve.
2. Provjera domaćeg zadatka.
3. Proučavanje novog gradiva.
Neka Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polinom za x stepena n, gde su a 0 , a 1 ,...,a n dati brojevi, a 0 nije jednako 0. Ako se polinom F n (x) podeli sa ostatkom binomom x-a , tada je količnik (nepotpuni količnik) polinom Q n-1 (x) stepena n-1, ostatak R je broj, a jednakost je tačna F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Polinom F n (x) je djeljiv sa binomom (x-a) samo u slučaju R=0.
Bezoutov teorem: Ostatak R pri dijeljenju polinoma F n (x) binomom (x-a) jednaka vrijednosti polinom F n (x) za x=a, tj. R=Pn(a).
Malo istorije. Bezoutova teorema, uprkos svojoj prividnoj jednostavnosti i očiglednosti, jedna je od fundamentalnih teorema teorije polinoma. Ova teorema povezuje algebarska svojstva polinoma (koji omogućavaju da se polinomi tretiraju kao cijeli brojevi) sa njihovim funkcionalnim svojstvima (koja omogućavaju da se polinomi tretiraju kao funkcije). Jedan od načina za rješavanje jednačina višeg stepena je faktoriranje polinoma na lijevoj strani jednačine. Izračun koeficijenata polinoma i ostatka zapisuje se u obliku tabele koja se zove Hornerova šema.
Hornerova shema je algoritam za dijeljenje polinoma, napisan za poseban slučaj kada je količnik jednak binomu x–a.
Horner William George (1786-1837), engleski matematičar. Osnovna istraživanja se odnose na teoriju algebarske jednačine. Razvio metodu za približno rješenje jednačina bilo kojeg stepena. Godine 1819. uveo je važnu metodu za algebru dijeljenja polinoma binomom x - a (Hornerova shema).
Zaključak opšta formula za Hornerovu šemu.
Dijeliti polinom f(x) sa ostatkom binomom (x-c) znači pronaći polinom q(x) i broj r tako da je f(x)=(x-c)q(x)+r
Zapišimo ovu jednakost detaljno:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Izjednačimo koeficijente na istim stepenima:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Demonstracija Hornerovog kola na primjeru.
Vježba 1. Koristeći Hornerovu šemu, dijelimo polinom f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 sa ostatkom binomom x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, gdje je g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 ostatak.
Proširenje polinoma po stepenu binoma.
Koristeći Hornerovu šemu, polinom f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 proširujemo u stepene binoma (x+2).
Kao rezultat, trebali bismo dobiti ekspanziju f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Hornerova shema se često koristi pri rješavanju jednačina trećeg, četvrtog i višeg stepena, kada je zgodno proširiti polinom u binom x-a. Broj a pozvao korijen polinoma F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ako je na x=a vrijednost polinoma F n (x) jednaka je nuli: F n (a)=0, tj. ako je polinom djeljiv binomom x-a.
Na primjer, broj 2 je korijen polinoma F 3 (x)=3x 3 -2x-20, pošto je F 3 (2)=0. to znači. Da faktorizacija ovog polinoma sadrži faktor x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Bilo koji polinom F n(x) stepena n 1 ne mogu imati više n pravim korenima.
Svaki cjelobrojni korijen jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima je djelitelj njenog slobodnog člana.
Ako je vodeći koeficijent jednačine 1, onda je sve racionalni koreni jednadžbe, ako postoje, su cijeli brojevi.
Konsolidacija proučenog materijala.
Za konsolidaciju novog gradiva učenici se pozivaju da popune brojeve iz udžbenika 2.41 i 2.42 (str. 65).
(2 učenika rješavaju na tabli, a ostali, nakon odluke, provjeravaju zadatke u svesci sa odgovorima na tabli).
Rezimirajući.
Shvativši strukturu i princip rada Hornerove sheme, može se koristiti i na časovima informatike, kada se razmatra pitanje pretvaranja cijelih brojeva iz decimalnog u binarni sistem i obrnuto. Osnova za prelazak iz jednog brojevnog sistema u drugi je sljedeća opšta teorema
Teorema. Za pretvaranje cijelog broja Ap od str-aran brojni sistem na osnovni brojni sistem d neophodno Ap sekvencijalno podijeliti s ostatkom brojem d, napisano u istom str-arnog sistema sve dok rezultujući količnik ne postane jednak nuli. Ostaci od podjele će biti d-numeričke cifre Ad, počevši od najmlađe kategorije do najstarije. Sve radnje se moraju izvršiti u str-ari sistem brojeva. Za osobu je ovo pravilo zgodno samo kada str= 10, tj. prilikom prevođenja od decimalni sistem. Što se računara tiče, naprotiv, za njega je „zgodnije“ da obavlja proračune u binarnom sistemu. Stoga, za pretvaranje "2 u 10", koristi se sekvencijalno dijeljenje sa deset u binarnom sistemu, a "10 u 2" je sabiranje stepena desetice. Da bi optimizovao proračune procedure „10 u 2“, računar koristi Hornerovu ekonomičnu računarsku šemu.
Zadaća. Predlaže se da se završe dva zadatka.
1st. Koristeći Hornerovu šemu, podijelite polinom f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 sa binomom (x-3).
2nd. Pronađite cjelobrojne korijene polinoma f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (uzimajući u obzir da je bilo koji cjelobrojni korijen jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima djelitelj njenog slobodnog člana)
Književnost.
- Kurosh A.G. “Kurs više algebre.”
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. i dr. 10. razred “Algebra i počeci matematičke analize.”
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.