Kako riješiti jednadžbe s razlomcima. Eksponencijalne jednadžbe. Rješenja

primjeri:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Prilikom rješavanja bilo koje eksponencijalne jednadžbe nastojimo da je dovedemo u oblik \(a^(f(x))=a^(g(x))\), a zatim izvršimo prijelaz na jednakost eksponenata, odnosno:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na primjer:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Bitan! Iz iste logike, slijede dva zahtjeva za takvu tranziciju:
- broj u lijevo i desno trebaju biti iste;
- stepeni sa leve i desne strane moraju biti "čisti", odnosno ne bi trebalo biti množenja, dijeljenja itd.

Na primjer:

Da bi se jednačina svela na oblik \(a^(f(x))=a^(g(x))\) koriste se i.

Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Rješenje:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Znamo da je \(27 = 3^3\). Uzimajući to u obzir, transformiramo jednačinu.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Svojstvom korijena \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dobijamo da je \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Zatim, koristeći svojstvo stepena \((a^b)^c=a^(bc)\), dobijamo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Također znamo da je \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Primjenjujući ovo na lijevu stranu, dobijamo: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Sada zapamtite to: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ova formula se takođe može koristiti u poleđina: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tada je \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Primjenjujući svojstvo \((a^b)^c=a^(bc)\) na desnu stranu, dobijamo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		A sada su nam baze jednake i nema interferentnih koeficijenata itd. Tako da možemo napraviti tranziciju.
		Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Rješenje: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Ponovo koristimo svojstvo snage \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) u suprotnom smjeru. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Sada zapamtite da je \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) Koristeći svojstva stupnjeva, transformiramo: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Pažljivo gledamo jednačinu i vidimo da se zamjena \(t=2^x\) nameće sama od sebe. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Međutim, pronašli smo vrijednosti \(t\), i treba nam \(x\). Vraćamo se na X, praveći obrnutu zamjenu. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformirajmo drugu jednačinu koristeći svojstvo negativne snage... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...i odlučujemo do odgovora. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odgovori : \(-1; 1\). Ostaje pitanje - kako razumjeti kada koristiti koju metodu? Ovo dolazi sa iskustvom. Dok ga ne dobijete, koristite ga opšta preporuka za rješavanje složenih problema - "ako ne znaš šta da radiš, uradi ono što možeš." Odnosno, potražite kako možete transformisati jednačinu u principu i pokušajte to učiniti - šta ako se dogodi? Glavna stvar je napraviti samo matematički zasnovane transformacije. Eksponencijalne jednadžbe bez rješenja Pogledajmo još dvije situacije koje često zbunjuju učenike: - pozitivan broj na stepen je jednak nuli, na primjer, \(2^x=0\); - pozitivan broj je jednak stepenu negativnog broja, na primjer, \(2^x=-4\). Pokušajmo riješiti grubom silom. Ako je x pozitivan broj, onda kako x raste, cijela snaga \(2^x\) će se samo povećavati: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Takođe od strane. Negativni X-ovi ostaju. Sjećajući se svojstva \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), provjeravamo: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Uprkos činjenici da se broj svakim korakom smanjuje, nikada neće dostići nulu. Dakle, negativan stepen nas nije spasio. Dolazimo do logičnog zaključka: Pozitivan broj u bilo kom stepenu će ostati pozitivan broj. Dakle, obje gornje jednačine nemaju rješenja. Eksponencijalne jednadžbe s različitim bazama U praksi se ponekad susrećemo s eksponencijalnim jednadžbama s različitim bazama koje nisu svodive jedna na drugu, a u isto vrijeme sa istim eksponentima. Oni izgledaju ovako: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdje su \(a\) i \(b\) pozitivni brojevi. Na primjer: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takve jednadžbe se lako mogu riješiti dijeljenjem s bilo kojom stranom jednačine (obično podijeljenom desnom stranom, odnosno sa \(b^(f(x))\). Možete podijeliti na ovaj način jer je pozitivan broj je pozitivan na bilo koji stepen (tj. ne dijelimo sa nulom) Dobijamo: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Rješenje: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Ovdje nećemo moći pretvoriti peticu u trojku, ili obrnuto (barem bez korištenja ). To znači da ne možemo doći do oblika \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Međutim, pokazatelji su isti. Podijelimo jednačinu desnom stranom, odnosno sa \(3^(x+7)\) (to možemo učiniti jer znamo da tri neće biti nula ni u kom stepenu). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Sada zapamtite svojstvo \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i koristite ga s lijeve strane u suprotnom smjeru. S desne strane jednostavno smanjujemo razlomak. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Činilo se da stvari nisu krenule na bolje. Ali zapamtite još jedno svojstvo snage: \(a^0=1\), drugim riječima: "bilo koji broj na nultom stepenu jednak je \(1\)." Obratno je također istinito: "jedan se može predstaviti kao bilo koji broj na nultu potenciju." Iskoristimo ovo tako što ćemo napraviti bazu na desnoj strani kao i na lijevoj. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Otarasimo se baza. Pišemo odgovor. Odgovori : \(-7\). Ponekad “istost” eksponenata nije očigledna, ali vješto korištenje svojstava eksponenata rješava ovaj problem. Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Rješenje: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Jednačina izgleda veoma tužno... Ne samo da se baze ne mogu svesti na isti broj (sedam ni na koji način neće biti jednako \(\frac(1)(3)\)), već su i eksponenti različiti. .. Međutim, upotrijebimo lijevu eksponentnu dvojku. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sjećajući se svojstva \((a^b)^c=a^(b·c)\) , transformiramo s lijeve strane: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sada, prisjećajući se svojstva negativnog stepena \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformiramo s desna: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Indikatori su isti! Djelujući prema shemi koja nam je već poznata, rješavamo prije odgovora. Odgovori : \(2\).

Ova lekcija je namenjena onima koji tek počinju da uče eksponencijalne jednačine. Kao i uvijek, počnimo s definicijom i jednostavnim primjerima.

Ako čitate ovu lekciju, onda pretpostavljam da već imate barem minimalno razumijevanje najjednostavnijih jednačina - linearnih i kvadratnih: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, itd. Sposobnost rješavanja ovakvih konstrukcija je apsolutno neophodna kako se ne bi „zaglavili“ u temi o kojoj će se sada raspravljati.

Dakle, eksponencijalne jednadžbe. Dozvolite mi da vam dam par primjera:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Neki od njih vam mogu izgledati složeniji, dok su drugi, naprotiv, previše jednostavni. Ali svi imaju jednu zajedničku stvar važan znak: njihova notacija sadrži eksponencijalnu funkciju $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Dakle, hajde da uvedemo definiciju:

Eksponencijalna jednačina je svaka jednačina koja sadrži eksponencijalnu funkciju, tj. izraz oblika $((a)^(x))$. Osim naznačene funkcije, takve jednadžbe mogu sadržavati bilo koje druge algebarske konstrukcije - polinome, korijene, trigonometriju, logaritme itd.

Uredu onda. Sredili smo definiciju. Sada se postavlja pitanje: kako riješiti svo ovo sranje? Odgovor je i jednostavan i složen.

Počnimo s dobrim vijestima: iz mog iskustva podučavanja mnogih učenika, mogu reći da većina njih nalazi eksponencijalne jednačine mnogo lakše nego iste logaritme, a još više trigonometriju.

Ali ima loših vijesti: ponekad pisce zadataka za sve vrste udžbenika i ispita pogodi "inspiracija", a njihov mozak napaljen drogom počinje proizvoditi tako brutalne jednačine da njihovo rješavanje postaje problematično ne samo za studente - čak i za mnoge nastavnike zaglavite na takvim problemima.

Međutim, da ne pričamo o tužnim stvarima. I vratimo se na one tri jednačine koje su date na samom početku priče. Pokušajmo riješiti svaki od njih.

Prva jednadžba: $((2)^(x))=4$. Pa, na koji stepen morate podići broj 2 da biste dobili broj 4? Verovatno drugi? Uostalom, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - i dobili smo tačnu numeričku jednakost, tj. zaista $x=2$. Pa, hvala, Cap, ali ova jednačina je bila toliko jednostavna da je čak i moja mačka mogla da je riješi. :)

Pogledajmo sljedeću jednačinu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ali ovdje je sve malo komplikovanije. Mnogi učenici znaju da je $((5)^(2))=25$ tablica množenja. Neki također sumnjaju da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ u suštini definicija negativnih snaga (slično formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Konačno, samo nekolicina odabranih shvata da se ove činjenice mogu kombinovati i daju sledeći rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Dakle, naša originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ali ovo je već potpuno rješivo! S lijeve strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, s desne strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, nigdje osim njih nema ničega drugog. Stoga možemo "odbaciti" baze i glupo izjednačiti indikatore:

Dobili smo najjednostavniju linearnu jednačinu koju svaki učenik može riješiti u samo nekoliko redova. U redu, u četiri reda:

\[\početak(poravnati)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

Ako ne razumijete šta se dešavalo u zadnja četiri reda, svakako se vratite na temu “ linearne jednačine“i ponovi. Jer bez jasnog razumijevanja ove teme, prerano je da se bavite eksponencijalnim jednadžbama.

\[((9)^(x))=-3\]

Pa kako to možemo riješiti? Prva pomisao: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tako da se originalna jednačina može prepisati na sljedeći način:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Zatim se prisjetimo da se pri podizanju stepena na stepen eksponenti množe:

\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Strelica desno ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\početak(poravnati)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

A za takvu odluku dobićemo pošteno zasluženu dvojku. Jer, sa smirenošću Pokemona, poslali smo znak minus ispred trojke na snagu ove trojice. Ali to ne možete učiniti. I zato. Pogledajte različite moći troje:

\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Kada sam sastavljao ovu tabletu, nisam ništa izopačio: gledao sam pozitivne snage, i negativne, pa čak i razlomke... pa, gdje je ovdje barem jedan negativan broj? Otišao je! A ne može biti, jer eksponencijalna funkcija $y=((a)^(x))$, prvo, uvijek uzima samo pozitivne vrijednosti(bez obzira koliko pomnožite jedan ili podijelite sa dva, to će i dalje biti pozitivan broj), a drugo, baza takve funkcije - broj $a$ - je po definiciji pozitivan broj!

Pa, kako onda riješiti jednačinu $((9)^(x))=-3$? Ali nema šanse: nema korijena. I u tom smislu, eksponencijalne jednadžbe su vrlo slične kvadratnim jednadžbama - možda i nema korijena. Ali ako je u kvadratnim jednadžbama broj korijena određen diskriminantom (pozitivan diskriminant - 2 korijena, negativan - bez korijena), onda u eksponencijalnim jednačinama sve ovisi o tome što je desno od znaka jednakosti.

Dakle, hajde da formulišemo ključni zaključak: najjednostavnija eksponencijalna jednačina oblika $((a)^(x))=b$ ima koren ako i samo ako je $b>0$. Znajući ovu jednostavnu činjenicu, lako možete odrediti da li jednadžba koja vam je predložena ima korijen ili ne. One. Vrijedi li to uopće rješavati ili odmah zapisati da nema korijena.

Ovo znanje će nam mnogo puta pomoći kada budemo morali rješavati složenije probleme. Za sada dosta tekstova - vrijeme je da proučimo osnovni algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Dakle, hajde da formulišemo problem. Potrebno je riješiti eksponencijalnu jednačinu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Prema „naivnom“ algoritmu koji smo ranije koristili, potrebno je broj $b$ predstaviti kao potenciju broja $a$:

Osim toga, ako umjesto varijable $x$ postoji bilo koji izraz, dobićemo novu jednačinu koja se već može riješiti. Na primjer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(3))\Strelica desno x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strelica desno ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strelica desno -x=4\Strelica desno x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Strelica desno ((5)^(2x))=((5)^(3))\Strelica desno 2x=3\Strelica desno x=\frac(3)( 2). \\\end(poravnati)\]

I što je čudno, ova shema funkcionira u oko 90% slučajeva. Šta je onda sa preostalih 10%? Preostalih 10% su blago "šizofrene" eksponencijalne jednadžbe oblika:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Pa, na koji stepen trebate podići 2 da biste dobili 3? Prvi? Ali ne: $((2)^(1))=2$ nije dovoljno. Sekunda? Nijedno: $((2)^(2))=4$ je previše. Koji onda?

Upućeni učenici su vjerovatno već pogodili: u takvim slučajevima, kada se to ne može riješiti “lijepo”, u igru ​​dolazi “teška artiljerija” – logaritmi. Dozvolite mi da vas podsjetim da se korištenjem logaritma svaki pozitivan broj može predstaviti kao stepen bilo kojeg drugog pozitivan broj(osim jednog):

Sjećate se ove formule? Kada svojim studentima govorim o logaritmima, uvijek upozoravam: ova formula (koja je ujedno i osnovni logaritamski identitet ili, ako želite, definicija logaritma) će vas dugo proganjati i „iskakati“ u većini slučajeva. neočekivana mjesta. Pa, isplivala je. Pogledajmo našu jednačinu i ovu formulu:

\[\begin(poravnaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(poravnaj) \]

Ako pretpostavimo da je $a=3$ naš originalni broj na desnoj strani, a $b=2$ sama baza eksponencijalne funkcije na koju želimo svesti desnu stranu, dobićemo sljedeće:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strelica desno x=( (\log )_(2))3. \\\end(poravnati)\]

Dobili smo pomalo čudan odgovor: $x=((\log )_(2))3$. U nekom drugom zadatku mnogi bi imali nedoumice s takvim odgovorom i počeli bi još jednom provjeravati svoje rješenje: šta ako se negdje uvukla greška? Požurim da vas zadovoljim: tu nema greške, a logaritmi u korijenima eksponencijalnih jednačina su sasvim tipična situacija. Pa navikni se. :)

Sada analogno riješimo preostale dvije jednadžbe:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Strelica desno ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strelica desno ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strelica desno 2x=( (\log )_(4))11\Strelica desno x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Inače, zadnji odgovor se može napisati drugačije:

Uveli smo množitelj u argument logaritma. Ali niko nas ne brani da dodamo ovaj faktor bazi:

Štaviše, sve tri opcije su tačne - jednostavno je različitih oblika evidencije istog broja. Koje ćete odabrati i zapisati u ovo rješenje, na vama je da odlučite.

Dakle, naučili smo rješavati sve eksponencijalne jednadžbe oblika $((a)^(x))=b$, gdje su brojevi $a$ i $b$ striktno pozitivni. kako god surova realnost naš svet je takav da je takav jednostavni zadaci sretaćete se veoma, veoma retko. Češće nego ne naići ćete na nešto poput ovoga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Pa kako to možemo riješiti? Može li se ovo uopće riješiti? I ako da, kako?

Ne paničite. Sve ove jednadžbe se brzo i lako svode na jednostavne formule koje smo već razmatrali. Samo treba da zapamtite nekoliko trikova iz kursa algebre. I naravno, ne postoje pravila za rad sa diplomama. Sad ću ti ispričati sve ovo. :)

Pretvaranje eksponencijalnih jednadžbi

Prva stvar koju treba zapamtiti: svaka eksponencijalna jednadžba, ma koliko složena bila, na ovaj ili onaj način mora se svesti na najjednostavnije jednadžbe - one koje smo već razmatrali i koje znamo riješiti. Drugim riječima, shema za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe izgleda ovako:

1. Zapišite originalnu jednačinu. Na primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Uradi neka čudna sranja. Ili čak neko sranje zvano "pretvori jednačinu";
3. Na izlazu dobijete najjednostavnije izraze oblika $((4)^(x))=4$ ili nešto slično. Štaviše, jedna početna jednačina može dati nekoliko takvih izraza odjednom.

Sve je jasno sa prvom tačkom - čak i moja mačka može da napiše jednačinu na komadu papira. Čini se da je i treća tačka manje-više jasna - već smo riješili čitavu gomilu takvih jednačina iznad.

Ali šta je sa drugom tačkom? Kakve transformacije? Pretvoriti šta u šta? I kako?

Pa, hajde da saznamo. Prije svega, želio bih napomenuti sljedeće. Sve eksponencijalne jednadžbe su podijeljene u dvije vrste:

1. Jednačina je sastavljena od eksponencijalnih funkcija sa istom bazom. Primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula sadrži eksponencijalne funkcije sa različitim razlozima. Primjeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Počnimo s jednadžbama prvog tipa - njih je najlakše riješiti. A u njihovom rješavanju pomoći će nam takva tehnika kao što je isticanje stabilnih izraza.

Izolacija stabilnog izraza

Pogledajmo ponovo ovu jednačinu:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

šta vidimo? Četiri su podignuta na različite stepene. Ali sve ove potencije su jednostavne sume varijable $x$ sa drugim brojevima. Stoga je potrebno zapamtiti pravila za rad sa diplomama:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(poravnati)\]

Jednostavno rečeno, sabiranje se može pretvoriti u proizvod stepena, a oduzimanje se može lako pretvoriti u dijeljenje. Pokušajmo primijeniti ove formule na stupnjeve iz naše jednadžbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(poravnati)\]

Prepišimo originalnu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu, a zatim sakupimo sve članove s lijeve strane:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedanaest; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(poravnati)\]

Prva četiri pojma sadrže element $((4)^(x))$ - izvadimo ga iz zagrade:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(poravnati)\]

Ostaje podijeliti obje strane jednadžbe razlomkom $-\frac(11)(4)$, tj. u suštini pomnoži sa obrnutim razlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobijamo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \lijevo(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Originalnu jednačinu smo sveli na njen najjednostavniji oblik i dobili konačni odgovor.

Istovremeno, u procesu rješavanja otkrili smo (pa čak i izvadili iz zagrade) zajednički faktor $((4)^(x))$ - to je stabilan izraz. Može se označiti kao nova varijabla ili je jednostavno možete pažljivo izraziti i dobiti odgovor. U svakom slučaju, ključni princip rješenja je sljedeći:

Pronađite u originalnoj jednadžbi stabilan izraz koji sadrži varijablu koja se lako razlikuje od svih eksponencijalnih funkcija.

Dobra vest je da vam skoro svaka eksponencijalna jednačina omogućava da izolujete tako stabilan izraz.

Ali loša vijest je da ovi izrazi mogu biti prilično zeznuti i da ih je prilično teško identificirati. Pa pogledajmo još jedan problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možda će neko sada imati pitanje: „Paša, jesi li kamenovan? Ovdje postoje različite baze – 5 i 0,2.” Ali hajde da pokušamo pretvoriti snagu u bazu 0,2. Na primjer, riješimo se decimalnog razlomka tako što ćemo ga svesti na običan:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Kao što vidite, broj 5 se ipak pojavio, iako u nazivniku. Istovremeno, indikator je prepisan kao negativan. A sada da se prisjetimo jednog od njih najvažnija pravila rad sa diplomama:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \desno))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ovdje sam, naravno, malo lagao. Jer za potpuno razumijevanje, formula za otklanjanje negativnih pokazatelja morala je biti napisana ovako:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

S druge strane, ništa nas nije spriječilo da radimo samo sa razlomcima:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((5)^(-1)) \ desno))^(-\left(x+1 \desno)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Ali u ovom slučaju, morate biti u mogućnosti da povećate snagu na drugu snagu (da vas podsjetim: u ovom slučaju, indikatori se zbrajaju). Ali nisam morao da "preokrećem" razlomke - možda će nekome ovo biti lakše. :)

U svakom slučaju, originalna eksponencijalna jednačina će biti prepisana kao:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(poravnati)\]

Tako se ispostavilo da se originalna jednadžba može riješiti još jednostavnije od one koja je prethodno razmatrana: ovdje čak ni ne morate odabrati stabilan izraz - sve je smanjeno samo od sebe. Ostaje samo zapamtiti da je $1=((5)^(0))$, od čega dobijamo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Dobili smo konačni odgovor: $x=-2$. U isto vrijeme, želio bih napomenuti jednu tehniku ​​koja nam je uvelike pojednostavila sve proračune:

U eksponencijalnim jednačinama, obavezno ih se riješite decimale, pretvorite ih u obične. To će vam omogućiti da vidite iste baze stupnjeva i uvelike pojednostavite rješenje.

Prijeđimo sada na složenije jednadžbe u kojima postoje različite baze koje se uopće ne mogu svesti jedna na drugu korištenjem potencija.

Korištenje svojstva stupnjeva

Da vas podsjetim da imamo dvije posebno oštre jednadžbe:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Glavna poteškoća je u tome što nije jasno šta dati i na osnovu čega. Gdje su stabilni izrazi? Gdje su iste osnove? Nema ništa od ovoga.

Ali hajde da pokušamo da idemo drugim putem. Ako nema gotovih identičnih baza, možete ih pokušati pronaći faktoringom postojećih baza.

Počnimo s prvom jednačinom:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Strelica desno ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(poravnati)\]

Ali možete učiniti suprotno - napravite broj 21 od brojeva 7 i 3. Ovo je posebno lako učiniti s lijeve strane, jer su indikatori oba stepena isti:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Uzeli ste eksponent izvan proizvoda i odmah dobili prekrasnu jednadžbu koja se može riješiti u nekoliko redaka.

Pogledajmo sada drugu jednačinu. Ovde je sve mnogo komplikovanije:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

U ovom slučaju, razlomci su se pokazali nesvodljivim, ali ako se nešto može smanjiti, svakako to smanjite. Često će se pojaviti zanimljivi razlozi s kojima već možete raditi.

Nažalost, za nas se ništa posebno nije pojavilo. Ali vidimo da su eksponenti na lijevoj strani u proizvodu suprotni:

Da vas podsjetim: da biste se riješili znaka minus u indikatoru, samo trebate "okrenuti" razlomak. Pa, hajde da prepišemo originalnu jednačinu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\lijevo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(poravnati)\]

U drugom redu smo jednostavno izveli opšti indikator iz proizvoda van zagrada prema pravilu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, a u potonjem je jednostavno pomnožio broj 100 s razlomkom.

Sada imajte na umu da su brojevi na lijevoj strani (u osnovi) i na desnoj strani donekle slični. Kako? Da, očigledno je: to su moći istog broja! Imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \desno))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]

Dakle, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\desno))^(2))\]

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \desno))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

U ovom slučaju, na desnoj strani također možete dobiti diplomu s istom bazom, za koju je dovoljno jednostavno "preokrenuti" razlomak:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Naša jednačina će konačno poprimiti oblik:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(poravnati)\]

To je rešenje. Njegova glavna ideja se svodi na činjenicu da čak i sa različite baze x mi pokušavamo, na udicu ili na prevaru, svesti ove osnove na istu stvar. U tome nam pomažu elementarne transformacije jednadžbi i pravila za rad sa potencijama.

Ali koja pravila i kada koristiti? Kako shvatiti da u jednoj jednadžbi trebate obje strane podijeliti s nečim, a u drugoj morate rastaviti bazu eksponencijalne funkcije?

Odgovor na ovo pitanje doći će s iskustvom. Isprva se okušaj jednostavne jednačine, a zatim postepeno komplikujte zadatke - i vrlo brzo će vaše vještine biti dovoljne za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe sa istog Jedinstvenog državnog ispita ili bilo kojeg samostalnog/testnog rada.

I da vam pomognem u ovoj teškoj stvari, predlažem da preuzmete skup jednadžbi za nezavisna odluka. Sve jednačine imaju odgovore, tako da se uvijek možete testirati.

U fazi pripreme za završni test srednjoškolci treba da usavrše svoje znanje o temi „ Eksponencijalne jednadžbe" Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Dakle, srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose s ovom vrstom problema, maturanti mogu računati na visoke ocjene prilikom polaganja Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.

Pripremite se za ispitno testiranje sa Shkolkovom!

Prilikom pregleda materijala koji su obradili, mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.

Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. U potpunosti implementiramo nova metoda priprema za završni test. Učenjem na našoj web stranici moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.

Nastavnici Školkova prikupili su, sistematizovali i predstavili sve što je potrebno za uspeh polaganje Jedinstvenog državnog ispita materijala u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.

Osnovne definicije i formule su predstavljene u odeljku „Teorijska pozadina“.

Kako biste bolje razumjeli gradivo, preporučujemo da vježbate ispunjavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina s rješenjima predstavljenim na ovoj stranici da biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga, nastavite sa izvršavanjem zadataka u odjeljku “Direktoriji”. Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u „Favorite“. Na ovaj način možete ih brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim učiteljem.

Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!

Prvi nivo

Eksponencijalne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zdravo! Danas ćemo s vama razgovarati o tome kako riješiti jednadžbe koje mogu biti ili elementarne (i nadam se da će nakon čitanja ovog članka gotovo sve biti takve za vas), i one koje se obično daju „za popunjavanje“. Očigledno da konačno zaspim. Ali pokušat ću učiniti sve što je moguće da sada ne upadnete u nevolje kada se suočite s ovom vrstom jednačina. Neću više da lupetam po grmu, ali ću vam odmah odati malu tajnu: danas ćemo učiti eksponencijalne jednačine.

Prije nego što pređem na analizu načina za njihovo rješavanje, odmah ću vam iznijeti niz pitanja (prilično malih) koja biste trebali ponoviti prije nego što požurite da napadnete ovu temu. Dakle, dobiti najbolji rezultat, molim, ponoviti:

1. Svojstva i
2. Rješenje i jednačine

Ponovljeno? Nevjerovatno! Tada vam neće biti teško primijetiti da je korijen jednadžbe broj. Da li razumete tačno kako sam to uradio? Da li je istina? Onda nastavimo. Sada odgovorite na moje pitanje, šta je jednako trećem stepenu? Potpuno si u pravu: . Koji je stepen dvojke osam? Tako je – treći! Jer. Pa, hajde sada da pokušamo da rešimo sledeći problem: Dozvolite mi da jednom pomnožim broj sam po sebi i dobijem rezultat. Pitanje je koliko sam puta sam pomnožio? Naravno, ovo možete direktno provjeriti:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( poravnati)

Onda možete zaključiti da sam pomnožio sa sobom puta. Kako drugačije možete ovo provjeriti? Evo kako: direktno po definiciji stepena: . Ali, priznajte, kada bih vas pitao koliko puta dva treba pomnožiti samo sa sobom da dobijete, recimo, rekli biste mi: neću se zavaravati i množiti samo od sebe dok ne budem plav u licu. I bio bi potpuno u pravu. Jer kako možeš ukratko zapišite sve korake(a kratkoća je sestra talenta)

gde - to su isti "puta", kada množite samo po sebi.

Mislim da znate (a ako ne znate, hitno, vrlo hitno ponovite stepene!) da će onda moj problem biti napisan u obliku:

Kako možete razumno zaključiti da:

Tako sam, neprimjetno, zapisao najjednostavnije eksponencijalna jednačina:

I čak sam ga našao root. Ne mislite li da je sve potpuno trivijalno? Ja mislim potpuno isto. Evo još jednog primjera za vas:

Ali šta učiniti? Na kraju krajeva, ne može se napisati kao stepen (razumnog) broja. Ne očajavajmo i primijetimo da su oba ova broja savršeno izražena kroz snagu istog broja. Koji? Desno: . Tada se originalna jednadžba pretvara u oblik:

Gdje, kao što ste već shvatili, . Nemojmo više odlagati i zapisati definicija:

U našem slučaju: .

Ove jednadžbe se rješavaju svođenjem na oblik:

nakon čega slijedi rješavanje jednačine

Zapravo, u prethodnom primjeru smo uradili upravo to: dobili smo sljedeće: I riješili smo najjednostavniju jednačinu.

Čini se da ništa nije komplikovano, zar ne? Vježbajmo prvo na najjednostavnijim primjeri:

Opet vidimo da desnu i lijevu stranu jednačine treba predstaviti kao stepene jednog broja. Istina, lijevo je to već urađeno, ali desno je broj. Ali u redu je, jer će se moja jednačina čudesno transformirati u ovo:

Šta sam morao da koristim ovde? Koje pravilo? Pravilo "stepeni unutar stepeni" koji glasi:

Šta ako:

Prije nego odgovorimo na ovo pitanje, popunimo sljedeću tabelu:

Lako nam je primijetiti da što manje, to manje vrijednosti, ali svejedno su sve ove vrijednosti veće od nule. I UVIJEK ĆE BITI TAKO!!! Isto svojstvo vrijedi ZA BILO KOJU OSNOVU SA BILO KAKIM INDIKATOROM!! (za bilo koji i). Šta onda možemo zaključiti o jednačini? Evo šta je to: to nema korijena! Kao i svaka jednadžba nema korijen. Sada vježbajmo i Hajde da riješimo jednostavne primjere:

provjerimo:

1. Ovdje se od vas neće tražiti ništa osim poznavanje svojstava stupnjeva (što sam, usput rečeno, zamolio da ponovite!) Po pravilu, sve vodi do najmanje baze: , . Tada će originalna jednadžba biti ekvivalentna sljedećem: Sve što mi treba je da koristim svojstva potencija: Prilikom množenja brojeva sa istim osnovama, stupnjevi se sabiraju, a pri dijeljenju se oduzimaju. Onda ću dobiti: Pa, sada ću mirne savjesti preći sa eksponencijalne jednadžbe na linearnu: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(poravnaj)

2. U drugom primjeru, moramo biti oprezniji: problem je u tome što na lijevoj strani nikako ne možemo predstaviti isti broj kao stepen. U ovom slučaju ponekad je korisno predstavljaju brojeve kao proizvod potencija s različitim bazama, ali istim eksponentima:

Lijeva strana jednačine će izgledati ovako: Šta nam je ovo dalo? Evo šta: Mogu se množiti brojevi s različitim osnovama, ali istim eksponentima.U ovom slučaju, baze se množe, ali indikator se ne mijenja:

U mojoj situaciji ovo će dati:

\begin (poravnati)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(poravnaj)

Nije loše, zar ne?

3. Ne volim kada, nepotrebno, imam dva člana na jednoj strani jednačine, a nijedan na drugoj (ponekad je, naravno, to opravdano, ali sada nije tako). Pomeriću minus član udesno:

Sada ću, kao i ranije, sve napisati u smislu stepena tri:

Dodajem stepene na lijevoj strani i dobijem ekvivalentnu jednačinu

Možete lako pronaći njegov korijen:

4. Kao u primjeru tri, minus član ima mjesto na desnoj strani!

Sa moje lijeve strane je skoro sve u redu, osim čega? Da, "pogrešan stepen" od njih dvojice me muči. Ali ovo mogu lako popraviti tako što ću napisati: . Eureka - na lijevoj strani su sve baze različite, ali su svi stepeni isti! Hajde da se množimo odmah!

Ovde je opet sve jasno: (ako ne razumete kako sam magično dobio poslednju jednakost, napravite pauzu na minut, udahnite i ponovo pažljivo pročitajte svojstva stepena. Ko je rekao da možete preskočiti stepen sa negativnim eksponentom? Pa evo ja sam otprilike ista stvar kao niko). Sada ću dobiti:

\begin (poravnati)
& ((2)^(4\levo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(poravnaj)

Evo nekoliko problema za uvježbavanje, na koje ću samo dati odgovore (ali u „mješovitom“ obliku). Riješite ih, provjerite, a vi i ja ćemo nastaviti naše istraživanje!

Spreman? Odgovori poput ovih:

1. bilo koji broj

Ok, ok, šalio sam se! Evo nekoliko skica rješenja (neke vrlo kratke!)

Ne mislite li da nije slučajno da je jedan razlomak lijevo drugi "obrnut"? Bio bi greh ne iskoristiti ovo:

Ovo pravilo se vrlo često koristi pri rješavanju eksponencijalnih jednadžbi, dobro ga zapamtite!

Tada će originalna jednačina postati ovakva:

Odlučivši ovo kvadratna jednačina, dobićete ove korijene:

2. Još jedno rješenje: dijeljenje obje strane jednačine izrazom lijevo (ili desno). Podijelim sa onim što je desno, onda dobijem:

Gdje (zašto?!)

3. Ne želim ni da se ponavljam, sve je već toliko "sažvakano".

4. ekvivalentno kvadratnoj jednadžbi, korijeni

5. Trebate koristiti formulu datu u prvom zadatku, tada ćete dobiti sljedeće:

Jednačina se pretvorila u trivijalni identitet koji je istinit za sve. Tada je odgovor bilo koji realan broj.

Pa, sada ste vježbali rješavanje jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Sada vam želim dati nekoliko životnih primjera koji će vam pomoći da shvatite zašto su u principu potrebni. Ovdje ću dati dva primjera. Jedna od njih je sasvim svakodnevna, ali je veća vjerovatnoća da će druga biti od naučnog, a ne praktičnog interesa.

Primjer 1 (merkantilno) Neka imate rubalja, ali želite da ih pretvorite u rublje. Banka vam nudi da uzmete ovaj novac od vas po godišnjoj stopi sa mjesečnom kapitalizacijom kamate (mjesečno obračunavanje). Postavlja se pitanje koliko mjeseci je potrebno da otvorite depozit da biste dostigli traženi konačni iznos? Prilično običan zadatak, zar ne? Ipak, njeno rešenje je povezano sa konstrukcijom odgovarajuće eksponencijalne jednačine: Neka - početni iznos, - konačni iznos, - kamatna stopa za period, - broj perioda. onda:

U našem slučaju (ako je stopa godišnja, onda se obračunava mjesečno). Zašto je podijeljeno po? Ako ne znate odgovor na ovo pitanje, sjetite se teme “”! Tada dobijamo ovu jednačinu:

Ova eksponencijalna jednadžba se može riješiti samo pomoću kalkulatora (njegova izgled nagovještava ovo, a za to je potrebno poznavanje logaritama, sa kojima ćemo se upoznati malo kasnije), što ću i učiniti: ... Dakle, da bismo dobili milion, morat ćemo uplatiti depozit na mjesec ( ne baš brzo, zar ne?).

Primjer 2 (prilično naučni). Uprkos izvesnoj „izolaciji“, preporučujem da obratite pažnju na njega: redovno „sklizne na Jedinstveni državni ispit!! (problem je preuzet iz “prave” verzije) Tokom raspada radioaktivnog izotopa, njegova masa se smanjuje prema zakonu, gdje je (mg) početna masa izotopa, (min.) vrijeme proteklo od početni trenutak, (min.) je vrijeme poluraspada. U početnom trenutku vremena, masa izotopa je mg. Njegovo poluvrijeme je min. Nakon koliko minuta će masa izotopa biti jednaka mg? U redu je: samo uzimamo i zamjenjujemo sve podatke u formulu koja nam je predložena:

Podijelimo oba dijela sa, "u nadi" da ćemo s lijeve strane dobiti nešto svarljivo:

Pa, mi smo veoma srećni! Nalazi se na lijevoj strani, onda idemo na ekvivalentnu jednačinu:

Gdje je min.

Kao što vidite, eksponencijalne jednačine imaju vrlo stvarne primjene u praksi. Sada želim da vam pokažem još jedan (jednostavan) način rešavanja eksponencijalnih jednačina, koji se zasniva na vađenju zajedničkog faktora iz zagrada, a zatim grupisanju pojmova. Nemojte se plašiti mojih riječi, na ovu metodu ste se već susreli u 7. razredu kada ste učili polinome. Na primjer, ako ste trebali faktorisati izraz:

Grupirajmo: prvi i treći termin, kao i drugi i četvrti. Jasno je da su prvi i treći razlika kvadrata:

a drugi i četvrti imaju zajednički faktor tri:

Tada je originalni izraz ekvivalentan ovome:

Odakle izvući zajednički faktor više nije teško:

dakle,

Otprilike ovako ćemo raditi pri rješavanju eksponencijalnih jednačina: tražiti “zajedništvo” među pojmovima i izvlačiti to iz zagrada, a onda – šta bude, vjerujem da ćemo imati sreće =)) Na primjer:

Desno je daleko od stepena sedmice (provjerio sam!) A lijevo - malo je bolje, možete, naravno, "odsjeći" faktor a iz drugog iz prvog člana, pa onda dijeliti sa onim što imate, ali budimo oprezniji prema vama. Ne želim da se bavim razlomcima koji se neizbežno formiraju prilikom "selektiranja", pa zar ne bih trebao radije da ga izvadim? Onda neću imati razlomaka: kako kažu, vukovi su hranjeni i ovce su sigurne:

Izračunajte izraz u zagradama. Magično, magično, ispada da (iznenađujuće, mada šta drugo da očekujemo?).

Zatim smanjujemo obje strane jednadžbe za ovaj faktor. Dobijamo: , od.

Evo kompliciranijeg primjera (zaista pomalo):

Kakav problem! Ovde nemamo ni jednu zajedničku osnovu! Nije sasvim jasno šta sada učiniti. Hajde da uradimo šta možemo: prvo pomerimo „četvorke“ na jednu stranu, a „petice“ na drugu:

Sada izvadimo "general" s lijeve i desne strane:

Pa, šta sad? Koja je korist od tako glupe grupe? Na prvi pogled se uopšte ne vidi, ali pogledajmo dublje:

Pa, sada ćemo se pobrinuti da na lijevoj strani imamo samo izraz c, a na desnoj - sve ostalo. Kako da ovo uradimo? Evo kako: prvo podijelite obje strane jednačine sa (tako da se riješimo stepena na desnoj strani), a zatim obje strane podijelite sa (tako da ćemo se riješiti numerički množitelj lijevo). Konačno dobijamo:

Nevjerovatno! Na lijevoj strani imamo izraz, a na desnoj imamo jednostavan izraz. Onda to odmah zaključujemo

Evo još jednog primjera za pojačanje:

Ja ću ga dovesti kratko rešenje(a da se baš ne zamarate objašnjenjima), pokušajte sami da shvatite sve „suptilnosti“ rešenja.

Sada za konačnu konsolidaciju obrađenog materijala. Pokušajte sami riješiti sljedeće probleme. Samo ću dati kratke preporuke i savjete za njihovo rješavanje:

1. Izvadimo zajednički faktor iz zagrada: Gdje:
2. Predstavimo prvi izraz u obliku: , podijelimo obje strane sa i dobijemo to
3. , onda se originalna jednadžba transformira u oblik: Pa, sad nagoveštaj - potražite gdje smo ti i ja već riješili ovu jednačinu!
4. Zamislite kako, kako, ah, pa, onda podijelite obje strane sa, tako da dobijete najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.
5. Izvadite ga iz zagrada.
6. Izvadite ga iz zagrada.

EKSPONENTARNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Pretpostavljam da nakon čitanja prvog članka o kojem se govori šta su eksponencijalne jednadžbe i kako ih riješiti, savladali ste potreban minimum znanja potrebna za rješavanje jednostavnih primjera.

Sada ću pogledati drugu metodu za rješavanje eksponencijalnih jednačina, a to je

“metoda uvođenja nove varijable” (ili zamjene). On rješava većinu „teških“ problema na temu eksponencijalnih jednačina (i ne samo jednačina). Ova metoda je jedna od najčešće korištenih u praksi. Prije svega, preporučujem da se upoznate s temom.

Kao što ste već shvatili iz naziva, suština ove metode je uvođenje takve promjene varijable da će se vaša eksponencijalna jednačina čudesno transformirati u onu koju možete lako riješiti. Sve što vam preostaje nakon rješavanja ove vrlo “pojednostavljene jednačine” je da napravite “obrnutu zamjenu”: odnosno da se vratite sa zamijenjenog na zamijenjeno. Ilustrirajmo ono što smo upravo rekli vrlo jednostavnim primjerom:

Primjer 1:

Ova jednačina je riješena korištenjem "jednostavne zamjene", kako je matematičari omalovažavajuće nazivaju. Zapravo, zamjena je ovdje najočitija. To treba samo vidjeti

Tada će se originalna jednačina pretvoriti u ovo:

Ako dodatno zamislimo kako, onda je potpuno jasno šta treba zamijeniti: naravno, . Šta onda postaje originalna jednačina? Evo šta:

Njegove korijene možete lako pronaći sami: . Šta da radimo sada? Vrijeme je da se vratimo na originalnu varijablu. Šta sam zaboravio da napomenem? Naime: prilikom zamjene određenog stepena novom varijablom (tj. prilikom zamjene tipa) zanimat će me samo pozitivni koreni! I sami možete lako odgovoriti zašto. Dakle, vi i ja nismo zainteresirani, ali drugi korijen je sasvim prikladan za nas:

Odakle onda.

odgovor:

Kao što možete vidjeti, u prethodnom primjeru, zamjena je samo tražila naše ruke. Nažalost, to nije uvijek slučaj. Međutim, ne idemo odmah na tužne stvari, već vježbajmo s još jednim primjerom s prilično jednostavnom zamjenom

Primjer 2.

Jasno je da ćemo najvjerovatnije morati napraviti zamjenu (ovo je najmanja od potencija uključenih u našu jednačinu), ali prije nego što uvedemo zamjenu, našu jednačinu treba „pripremiti“ za nju, i to: , . Tada možete zamijeniti, kao rezultat dobijam sljedeći izraz:

Oh, užas: kubična jednadžba sa apsolutno strašnim formulama za njeno rješavanje (pa, govoreći u opšti pogled). Ali nemojmo odmah očajavati, nego razmislimo šta da radimo. Predlažem varanje: znamo da da bismo dobili “lijep” odgovor, moramo ga dobiti u obliku nekog stepena trojke (zašto bi to bilo, a?). Pokušajmo pogoditi barem jedan korijen naše jednadžbe (počeću nagađati sa stepenom tri).

Prva pretpostavka. Ne korijen. jao i ah...

.
Lijeva strana je jednaka.
Desni dio: !
Jedi! Pogodio prvi korijen. Sada će stvari postati lakše!

Znate li za shemu podjele "ugao"? Naravno da imate, koristite ga kada dijelite jedan broj drugim. Ali malo ljudi zna da se isto može učiniti i s polinomima. Postoji jedna divna teorema:

Primjenjujući se na moju situaciju, ovo mi govori da je bez ostatka djeljivo sa. Kako se vrši podjela? Tako:

Gledam sa kojim monomom treba da pomnožim da dobijem Clearly, onda:

Oduzmem rezultirajući izraz od, dobijem:

Sada, sa čime trebam pomnožiti da bih dobio? Jasno je da na, onda ću dobiti:

i ponovo oduzmite rezultirajući izraz od preostalog:

Pa, posljednji korak je da pomnožite sa i oduzmete od preostalog izraza:

Ura, podjela je gotova! Šta smo privatno nakupili? Samo po sebi: .

Tada smo dobili sljedeću ekspanziju originalnog polinoma:

Rešimo drugu jednačinu:

Ima korijene:

Tada je originalna jednadžba:

ima tri korijena:

Mi ćemo, naravno, odbaciti posljednji korijen, jer je manji od nule. A prva dva nakon obrnute zamjene dat će nam dva korijena:

Odgovor: ..

Uopšte nisam htio da vas uplašim ovim primjerom, već mi je cilj bio pokazati da iako smo imali prilično jednostavnu zamjenu, ona je ipak dovela do prilično složena jednačina, čije je rješenje od nas zahtijevalo neke posebne vještine. Pa, niko nije imun od ovoga. Ali zamjena je u ovom slučaju bila sasvim očigledna.

Evo primjera s malo manje očitom zamjenom:

Uopće nije jasno što bismo trebali učiniti: problem je u tome što u našoj jednadžbi postoje dvije različite baze i jedna baza se ne može dobiti od druge podizanjem na bilo koju (razumnu, prirodnu) snagu. Međutim, šta vidimo? Obje baze se razlikuju samo po predznaku, a njihov proizvod je razlika kvadrata jednaka jedan:

definicija:

Dakle, brojevi koji su baze u našem primjeru su konjugirani.

U ovom slučaju, pametan korak bi bio pomnožite obje strane jednačine konjugiranim brojem.

Na primjer, na, tada će lijeva strana jednadžbe postati jednaka, a desna. Ako izvršimo zamjenu, onda će naša originalna jednadžba postati ovakva:

njegove korene, dakle, i sećajući se toga, dobijamo to.

Odgovor: , .

Po pravilu, metoda zamjene je dovoljna za rješavanje većine „školskih“ eksponencijalnih jednačina. Sljedeći zadaci preuzeti su sa Jedinstvenog državnog ispita C1 ( povećan nivo teškoće). Već ste dovoljno pismeni da sami riješite ove primjere. Dat ću samo potrebnu zamjenu.

1. Riješite jednačinu:
2. Pronađite korijene jednačine:
3. Riješite jednačinu: . Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu:

A sada neka kratka objašnjenja i odgovori:

1. Ovde je dovoljno da primetimo da... Tada će originalna jednačina biti ekvivalentna ovoj: Ova jednačina se može riješiti zamjenom Izvršite dalje proračune sami. Na kraju, vaš zadatak će se svesti na rješavanje jednostavnih trigonometrijskih problema (ovisno o sinusima ili kosinusima). Pogledat ćemo rješenja sličnih primjera u drugim odjeljcima.
2. Ovdje možete čak i bez zamjene: samo pomaknite oduzetak udesno i predstavite obje baze kroz stepene dva: , a zatim idite pravo na kvadratnu jednačinu.
3. Treća jednačina je također riješena sasvim standardno: zamislimo kako. Zatim, zamjenom, dobijamo kvadratnu jednačinu: tada,

   Vi već znate šta je logaritam, zar ne? Ne? Onda hitno procitaj temu!

   Prvi korijen očito ne pripada segmentu, ali drugi je nejasan! Ali saznaćemo vrlo brzo! Pošto je, dakle, (ovo je svojstvo logaritma!) uporedimo:

   Oduzmite sa obe strane, onda dobijamo:

   Lijeva strana se može predstaviti kao:

   pomnožite obje strane sa:

   onda se može pomnožiti sa

   Zatim uporedi:

   od tada:

   Tada drugi korijen pripada traženom intervalu

   odgovor:

Kao što vidiš, odabir korijena eksponencijalnih jednadžbi zahtijeva prilično duboko poznavanje svojstava logaritama, pa vam savjetujem da budete što je moguće pažljiviji pri rješavanju eksponencijalnih jednačina. Kao što razumijete, u matematici je sve međusobno povezano! Kao što je moj profesor matematike rekao: „Matematika, kao i istorija, ne može se čitati preko noći.

Po pravilu, sve Poteškoća u rješavanju zadataka C1 je upravo odabir korijena jednačine. Vježbajmo sa još jednim primjerom:

Jasno je da se sama jednačina rješava prilično jednostavno. Izvođenjem zamjene našu originalnu jednačinu svodimo na sljedeće:

Prvo pogledajmo prvi korijen. Uporedimo i: od tada. (svojstvo logaritamske funkcije, at). Tada je jasno da prvi korijen ne pripada našem intervalu. Sada drugi korijen: . Jasno je da (pošto funkcija at raste). Ostaje da uporedimo i...

od tada, u isto vreme. Na ovaj način mogu "zabiti klin" između i. Ovaj klin je broj. Prvi izraz je manji, a drugi veći. Tada je drugi izraz veći od prvog i korijen pripada intervalu.

Odgovor: .

Na kraju, pogledajmo još jedan primjer jednačine gdje je zamjena prilično nestandardna:

Počnimo odmah sa onim što se može učiniti i šta se - u principu može učiniti, ali bolje je ne raditi. Sve možete zamisliti kroz stepene tri, dva i šest. Gdje to vodi? To neće dovesti ni do čega: hrpu stepeni, od kojih će se nekih biti teško riješiti. Šta je onda potrebno? Zapazimo da a šta će nam ovo dati? I činjenica da rješenje ovog primjera možemo svesti na rješenje prilično jednostavne eksponencijalne jednadžbe! Prvo, prepišimo našu jednačinu kao:

Sada podijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa:

Eureka! Sada možemo zamijeniti, dobijamo:

E, sad je na vama red da rješavate demonstracione probleme, a ja ću ih samo kratko komentirati da ne zalutate! Sretno!

1. Najteže! Tako je teško vidjeti zamjenu ovdje! Ali ipak, ovaj primjer se može u potpunosti riješiti korištenjem pražnjenje pun kvadrat . Da biste ga riješili, dovoljno je napomenuti da:

Onda evo vaše zamjene:

(Imajte na umu da ovdje tokom naše zamjene ne možemo odbaciti negativni korijen!!! Što mislite zašto?)

Sada da biste riješili primjer morate riješiti samo dvije jednadžbe:

I jedno i drugo se može riješiti "standardnom zamjenom" (ali drugom u jednom primjeru!)

2. Primijetite to i napravite zamjenu.

3. Dekomponujte broj na koprime faktore i pojednostavite rezultujući izraz.

4. Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa (ili, ako želite) i napravite zamjenu ili.

5. Obratite pažnju da su brojevi i konjugirani.

EKSPONENTARNE JEDNAČINE. NAPREDNI NIVO

Uz to, pogledajmo na drugi način - rješavanje eksponencijalnih jednadžbi metodom logaritma. Ne mogu reći da je rješavanje eksponencijalnih jednadžbi ovom metodom jako popularno, ali samo u nekim slučajevima može nas dovesti do ispravna odluka naša jednačina. Posebno se često koristi za rješavanje tzv. mješovite jednačine": to jest one u kojima se javljaju funkcije različitih tipova.

Na primjer, jednadžba oblika:

u općem slučaju, to se može riješiti samo uzimanjem logaritma obje strane (na primjer, na bazu), u kojem će se originalna jednadžba pretvoriti u sljedeće:

Pogledajmo sljedeći primjer:

Jasno je da nas prema ODZ-u logaritamske funkcije samo zanima. Međutim, to ne proizlazi samo iz ODZ logaritma, već iz još jednog razloga. Mislim da vam neće biti teško pogoditi koji je to.

Uzmimo logaritam obje strane naše jednadžbe na bazu:

Kao što vidite, uzimanje logaritma naše originalne jednadžbe brzo nas je dovelo do tačnog (i lijepog!) odgovora. Vježbajmo sa još jednim primjerom:

Ni tu nema ništa loše: uzmimo logaritam obje strane jednadžbe na bazu, onda ćemo dobiti:

Napravimo zamjenu:

Međutim, nešto smo propustili! Jeste li primijetili gdje sam napravio grešku? Uostalom, onda:

koji ne zadovoljava zahtjev (razmislite odakle je došao!)

odgovor:

Pokušajte zapisati rješenje eksponencijalnih jednačina u nastavku:

Sada uporedite svoju odluku sa ovim:

1. Logaritujmo obje strane baze, uzimajući u obzir da:

(drugi korijen nam nije prikladan zbog zamjene)

2. Logaritam na bazu:

Transformirajmo rezultirajući izraz u sljedeći oblik:

EKSPONENTARNE JEDNAČINE. KRATAK OPIS I OSNOVNE FORMULE

Eksponencijalna jednačina

Jednačina oblika:

pozvao najjednostavnija eksponencijalna jednadžba.

Svojstva stepeni

Pristupi rješenju

• Svođenje na istu osnovu
• Redukcija na isti eksponent
• Varijabilna zamjena
• Pojednostavljivanje izraza i primjena jednog od gore navedenih.

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na rješavanje složenijih eksponencijalnih jednadžbi i podsjetiti se osnovnih teorijskih principa u vezi s eksponencijalnom funkcijom.

1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije, metode rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih jednačina

Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Rješenje svih eksponencijalnih jednačina i nejednačina zasniva se na ovim svojstvima.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stepen, a ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y je zavisna varijabla, funkcija.

Rice. 1. Grafikon eksponencijalne funkcije

Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrujući eksponencijalnu funkciju s bazom većom od jedan i manjom od jedan, ali većom od nule.

Obje krive prolaze kroz tačku (0;1)

Svojstva eksponencijalne funkcije:

Domena: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona, raste sa, opada sa.

Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti zadanu vrijednost jednog argumenta.

Kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija se povećava sa nule uključujući na plus beskonačno. Naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, ne uključujući.

2. Rješavanje standardnih eksponencijalnih jednačina

Podsjetimo vas kako riješiti najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje je bazirano na monotonosti eksponencijalne funkcije. Gotovo sve složene eksponencijalne jednadžbe mogu se svesti na takve jednačine.

Jednakost eksponenata pri na ravnopravnoj osnovi zbog svojstva eksponencijalne funkcije, odnosno njene monotonosti.

Metoda rješenja:

Izjednačiti osnove stepeni;

Izjednačite eksponente.

Idemo dalje na razmatranje složenijih eksponencijalnih jednadžbi; naš cilj je svaku od njih svesti na najjednostavniju.

Riješimo se korijena s lijeve strane i dovedemo stupnjeve na istu bazu:

Da bi se složena eksponencijalna jednačina svela na najjednostavniju, često se koristi zamjena varijabli.

Koristimo svojstvo snage:

Predstavljamo zamjenu. Neka bude onda

Pomnožimo rezultirajuću jednačinu sa dva i pomjerimo sve članove na lijevu stranu:

Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, pa ga odbacujemo. Dobijamo:

Smanjimo stepene na isti indikator:

Hajde da predstavimo zamjenu:

Neka bude onda . Sa takvom zamjenom, očito je da y poprima striktno pozitivne vrijednosti. Dobijamo:

Znamo kako riješiti takve kvadratne jednadžbe, možemo zapisati odgovor:

Da biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, možete provjeriti pomoću Vietine teoreme, tj. pronaći zbroj korijena i njihovog proizvoda i usporediti ih s odgovarajućim koeficijentima jednadžbe.

Dobijamo:

3. Metodologija rješavanja homogenih eksponencijalnih jednačina drugog stepena

Proučimo sljedeće važne vrste eksponencijalnih jednačina:

Jednačine ovog tipa nazivaju se homogenima drugog stepena u odnosu na funkcije f i g. Na njegovoj lijevoj strani nalazi se kvadratni trinom u odnosu na f sa parametrom g ili kvadratni trinom u odnosu na g sa parametrom f.

Metoda rješenja:

Ova jednačina se može riješiti kao kvadratna jednačina, ali je lakše to učiniti drugačije. Postoje dva slučaja za razmatranje:

U prvom slučaju dobijamo

U drugom slučaju, imamo pravo podijeliti najvećim stepenom i dobiti:

Potrebno je uvesti promjenu varijabli, dobijamo kvadratnu jednačinu za y:

Napomenimo da funkcije f i g mogu biti bilo koje, ali nas zanima slučaj kada su to eksponencijalne funkcije.

4. Primjeri rješavanja homogenih jednačina

Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednačine:

Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednačinu sa , bez razmatranja slučaja kada:

Dobijamo:

Hajde da predstavimo zamjenu: (prema svojstvima eksponencijalne funkcije)

Dobili smo kvadratnu jednačinu:

Određujemo korijene pomoću Vietine teoreme:

Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, odbacujemo ga, dobijamo:

Koristimo svojstva stupnjeva i sve stepene svesti na jednostavne baze:

Lako je uočiti funkcije f i g:

Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednadžbu sa , bez razmatranja slučaja kada .