Okomitost ravni u prostoru prezentacije. Okomitost pravih i ravni u prostoru, prezentacija za čas geometrije (10. razred) na temu. Okomite prave na ravni

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Okomitost pravih i ravnina

Okomite prave u prostoru Dvije prave se nazivaju okomiti ako je ugao između njih 90 o a b c a  b c  b α

Lema Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na treću pravu, onda je i druga prava okomita na ovu pravu. A C a α M b c Zadano: a || b, a  c Dokazati: b  c Dokaz:

Prava se naziva okomita na ravan ako je okomita na bilo koju pravu koja leži u ovoj ravni α a a  α

Teorema 1. Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na ravan, onda je i druga prava okomita na ovu ravan. α x Zadano: a || a 1 ; a  α Dokažite: a 1  α Dokaz: a a 1

Teorem 2 α Dokazati: a || b Dokaz: a Ako su dvije prave okomite na ravan, onda su paralelne. β b 1 Dato je: a  α ; b  α b M s

Znak okomitosti prave i ravni Ako je prava okomita na dvije prave koje se seku u ravni, onda je okomita na ovu ravan. α q Dokazati: a  α Dokaz: a p m O Dato: a  p ; a  q p  α ; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q Dokaz: L a) poseban slučaj A

α q a p m O Dokaz: a) opšti slučaj a 1

Teorema 4 Kroz bilo koju tačku u prostoru prolazi prava okomita na datu ravan, i, osim toga, samo jedna. α a β M b s Dokazati: 1) ∃ s, s  α, M  s; 2) sa – ! Dokaz: Dato: α ; M  α

Pronalaženje problema: MD A B D M Rješenje: Dato je:  ABC ; MB  BC; MB  BA; MB = BD = a Dokazati: M B  BD C a a

Zadatak 128 Dokazati: O M  (ABC) Dato je: ABCD je paralelogram; AC ∩ BD = O; M  (ABC); MA = MS, MB = MD A B D C O M Dokaz:

Problem 12 2 Pronađite: AD; BD; AK; B.K. A B D C O K Rješenje: Dato je:  ABC – r/s; O – centar  ABC CD  (ABC); OK || CD A B = 16  3, OK = 12; CD = 16 12 16

Okomita i nagnuta M A B N α MN  α A  α B  α MA i MV – nagnuta N  α AN i VN – projekcije kosih MN – okomica M  α

Teorema o tri okomice Prava linija povučena u ravni kroz osnovu nagnute ravni koja je okomita na njenu projekciju na ovu ravan okomita je na nagnutu. A N M α β a Dato: a  α, AN  α, AM – koso, a  NM, M  a Dokazati: a  AM Dokaz:

Teorema inverzna teoremi o tri okomice Prava linija povučena u ravni kroz osnovu nagnute ravni koja je okomita na nju je također okomita na njenu projekciju. A N M α β a Dato: a  α, AN  α, AM – koso, a  AM, M  a Dokazati: a  NM Dokaz:

Ugao između prave i ravni A N α β a O φ (a; α) =  AO = φ

Na temu: metodološke izrade, prezentacije i bilješke

Prezentacija na temu “Perpendikularnost prave i ravni” odgovara teorijskom materijalu koji se proučava u ovom dijelu stereometrije....

Predstavljena je izrada lekcije u 10. razredu o geometriji za nastavna gradiva: Geometrija za 10-11 razred, autori L.S. Atanasyan, V.F.Butuzov, S.B. Kadomtsev i drugi. Ovo je lekcija u učenju novog materijala koristeći...

Okomito

pravo na

prostor

Definicija.

Dvije prave se nazivaju okomiti ako se sijeku pod pravim uglom.

Okomite prave na ravni

Koliko okomica se može povući na datu pravu kroz datu tačku A koja ne leži na pravoj ili tačku B koja leži na pravoj?

Kroz svaku tačku možete crtati jedna prava linija , okomito na ovu.

Definicija. Dvije prave se nazivaju okomiti ako se sijeku pod pravim uglom.

Dokažite da kroz bilo koju tačku u prostoru možete povući pravu okomitu na datu.

1. Direktno A i tačka IN nacrtajmo avion 

2. Kroz tačku IN u avionu  napravimo direktan sa, okomito na liniju A.

Prave linije koje

Dva ravno nazivaju se okomiti ako se seku pod pravim uglom.

ne seku i

leže u istoj ravni

nazivaju se paralelnim

Zaključak. Okomite linije mogu ležati u različitim ravnima.

Nađi 2 okomito prave linije koje leže u istoj ravni iu različitim ravnima.

Lema: Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na treću, onda je i druga prava okomita na treću.

Dato:

Doc:

dokument:

1. Kroz proizvoljnu tačku M koja ne leži na ovim pravima crtamo MA ||a i MC || With. Jer a ┴ c, tada AMC = 90˚

3. b|| A.M.

2. b || a (prema uslovu)

a || AM (po izgradnji)

№ 116(a) (stranica 38)

Dato:

Doc:

1). DC ┴ B 1 C 1

2). AB ┴ A 1 D 1

Dato:

DABC - tetraerd

Doc:

• Dajte definiciju okomitih linija u prostoru.

2. Navedite dokazanu lemu.

Zadaća:

• Teorija (str. 34, podučava)
• № 116 (b), 117

Slajd 2

Okomite u prostoru Dvije prave u prostoru nazivaju se okomiti (međusobno okomite) ako je ugao između njih 90°. Okomitost pravih a i b označava se na sljedeći način: ab. Okomite prave se mogu seći i mogu biti nagnute Na slici 1, okomite prave a i b seku, a okomite prave a i c su nagnute. a b c 90° Sl. 1

Slajd 3

Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na treću pravu, onda je druga prava okomita na ovu pravu. Dokažimo lemu o okomitosti dvije paralelne prave na treću pravu Lema: Dokaz: Neka je a || b i ab. Dokažimo da je b  c. Kroz proizvoljnu tačku M prostora koja ne leži na ovim pravima, povlačimo prave MA i MC, paralelne sa pravima a i c, redom. Pošto je a  c, tada je AMC = 90°. Po uvjetu b || a,a po konstrukciji a|| MA, dakle b ||MA. Dakle, prave b i c su paralelne sa pravim MA i MC, ugao između kojih je 90°. To znači da je i ugao između pravih b i c jednak 90°, tj. b  c. Rice. 2 b a C A M c

Slajd 4

Paralelne prave okomite na ravan Prava se naziva okomita na ravan ako je okomita na bilo koju pravu koja leži u ovoj ravni. Okomitost prave a i ravni α označava se na sljedeći način: a  α. Ako je prava a okomita na ravan α, onda siječe ovu ravan. U stvari, ako prava ane siječe ravan α, tada bi ili ležala u ovoj ravni ili bi bila paralelna s njom. Ali tada bi u ravni α postojale prave koje nisu okomite na pravu a, na primjer, prave paralelne s njom, što je u suprotnosti sa definicijom okomitosti prave i ravni. To znači da prava a siječe ravan α.

Slajd 5

Na slici 3 prikazana je prava linija a, okomita na ravan α. Okruženje oko nas pruža mnogo primjera koji ilustruju okomitost prave i ravni. Nagnuti telegrafski stup stoji pravo, odnosno okomito na ravan zemlje. Stubovi zgrade se takođe nalaze u odnosu na ravan temelja, presečne linije zidova u odnosu na ravan poda itd. α a Sl. 3

Slajd 6

Dokažemo dvije teoreme u kojima je uspostavljena veza između paralelizma pravih i njihove okomitosti na ravan.Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na ravan, onda je i druga prava okomita na ovu ravan. Razmotrimo dvije paralelne prave a i b i ravan α takvu da je aα. Dokažimo da je b  α. Nacrtajmo neku pravu liniju x u α ravni (slika 4). Pošto je a α, onda je a x. Prema lemi o okomitosti dvije paralelne prave na treću b  x. Dakle, prava b je okomita na bilo koju pravu koja leži u ravni α, tj. b  α. Dokaz: Sl. 4 α a b x

Slajd 7

Ako su dvije prave okomite na ravan, onda su paralelne. Razmotrimo prave a i b, okomite na ravan α (slika 5,a). Dokažimo da je || b. Kroz neku tačku M prave b povlačimo pravu q paralelnu pravoj. Prema prethodnoj teoremi, q  α. Dokažimo da se pravac q poklapa sa pravom b. Ovo će dokazati da a|| b. Pretpostavimo da se prave b i q ne poklapaju. Tada u ravni β, koja sadrži prave b i q, dvije prave prolaze kroz tačku M, okomitu na pravu c, duž koje se sijeku ravni α i β (slika 5, b). Ali to je nemoguće, dakle || b. Dokaz: Sl. 5, a α a q Sl. 5, b α a M c b b

Pogledajte sve slajdove

Odjeljci: Matematika

Ciljevi lekcije:

• identificirati nivo savladavanja kompleksa znanja i vještina za rješavanje problema na ovu temu,
• razvijati prostornu maštu, logičko razmišljanje, pažnju i pamćenje,
• razvijati aktivnost i vještine slušanja.

Oprema za nastavu:

• udžbenik L.S. Atanasyan i ostali “Geometrija 10-11”;
• radna sveska;
• PC;
• multimedijalni projektor;
• interaktivna ploča;
• autorska prezentacija pripremljena pomoću Microsoft Power Pointa ( Aneks 1 )

Struktura lekcije:

1. Organiziranje vremena.
2. Ažuriranje znanja učenika o temi.
3. Učvršćivanje prethodno stečenih znanja i razvijanje vještina primjene ovih znanja pri rješavanju problema.
4. Sumiranje lekcije.
5. Zadaća.

TOKOM NASTAVE

1. Organizacioni momenat časa: pozdrav, provjera spremnosti za nastavu.

2. Ažuriranje znanja koje su učenici dobili na prethodnom času:

– pojam okomitih linija u prostoru;
– okomitost prave i ravni;
– svojstva paralelnih pravih okomitih na ravan.

U cilju ažuriranja znanja jedan učenik ide do ploče i zapisuje rješenje zadatka br. 119a), drugi učenik - dokaz teoreme o paralelnim pravima okomitim na ravan.

Dok se pripremaju, frontalni pregled razreda:

– Koliki je relativni položaj dvije linije u prostoru?
– U kojim granicama se meri ugao između pravih linija u prostoru?
– Koje se prave u prostoru nazivaju okomiti?
– Formulirajte lemu o dvije paralelne prave okomite na treću.
– Uspostaviti ispravan slijed radnji u dokazu leme.

Nakon izvršenja, operativna provjera ispravnosti.

Učitelj: Definisati okomitost prave i ravni.

Učitelj: Navedite obrnutu teoremu.

Provjera ispravnosti rješenja domaćeg zadatka br. 119a (pomoću jednakosti trouglova).

3. Razvijanje vještina i sposobnosti primjene teorijskih znanja u rješavanju problema

1) Oralne vježbe.

№1 Prava AB je okomita na ravan, tačke M i K pripadaju ovoj ravni. Dokazati da je prava AB okomita na pravu MK.

2) Pisane vježbe .

№2 U kvadratu ABCD, t.O je tačka preseka njegovih dijagonala. Prava MO je okomita na ravan kvadrata. Dokazati da je MA = MB = MC = MD.

№3 Strana AB paralelograma ABCD je okomita na ravan. Pronađite BD ako je AC = 10 cm.

4. Provjera usvajanja stečenog znanja pri izvođenju testa

5. Sumiranje lekcije

Zapišite domaći zadatak: str.15-16, br.118 br.120