Pretvaranje numeričkih trigonometrijskih izraza. Lekcija "Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza"

Lekcija 1

Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)

Pojednostavljenje trigonometrijski izrazi.

Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)

Ciljevi:

• Sistematizirati, generalizirati, proširiti znanja i vještine učenika u vezi sa upotrebom trigonometrijskih formula i rješavanjem jednostavnih trigonometrijskih jednačina.

Oprema za nastavu:

Struktura lekcije:

1. Organizacioni momenat
2. Testiranje na laptopovima. Diskusija o rezultatima.
3. Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza
4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi
5. Samostalan rad.
6. Sažetak lekcije. Objašnjenje domaćeg zadatka.

1. Organizacioni momenat. (2 minute.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa, podsjeća ih da su prethodno dobili zadatak da ponove trigonometrijske formule i priprema učenike za testiranje.

2. Testiranje. (15 min + 3 min diskusije)

Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima laptop sa verzijom testa.

Može biti bilo koji broj opcija, dat ću primjer jedne od njih:

I opcija.

Pojednostavite izraze:

a) osnovni trigonometrijski identiteti

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule sabiranja

3. sin5x - sin3x;

c) pretvaranje proizvoda u zbir

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvostrukog ugla

7. 2sin5x cos5x;

e) formule za poluuglove

f) formule trostrukog ugla

g) univerzalna supstitucija

h) smanjenje stepena

16. cos 2 (3x/7);

Učenici vide svoje odgovore na laptopu pored svake formule.

Rad se odmah provjerava kompjuterom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ga svi mogli vidjeti.

Takođe, po završetku rada, tačni odgovori se prikazuju na laptopovima učenika. Svaki učenik vidi gdje je napravljena greška i koje formule treba ponoviti.

3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)

Cilj je ponoviti, uvježbati i konsolidirati korištenje osnovnih trigonometrijskih formula. Rješavanje zadataka B7 sa Jedinstvenog državnog ispita.

U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih učenika (samostalan rad uz naknadno testiranje) i slabih učenika koji rade sa nastavnikom.

Zadatak za jake studente (unaprijed pripremljen na štampanoj osnovi). Glavni naglasak je na formulama redukcije i dvostrukog ugla, prema Jedinstvenom državnom ispitu 2011.

Pojednostavite izraze (za jake učenike):

Istovremeno, nastavnik radi sa slabim učenicima, raspravljajući i rješavajući zadatke na ekranu pod diktatom učenika.

Izračunati:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Pojednostavite:

Bilo je vrijeme da se razgovara o rezultatima rada jake grupe.

Odgovori se pojavljuju na ekranu, a uz pomoć video kamere se prikazuje rad 5 različitih učenika (po jedan zadatak za svakog).

Slaba grupa vidi stanje i način rješenja. Diskusija i analiza su u toku. Koristeći tehnička sredstva to se dešava brzo.

4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (30 min.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina i zapisati njihove korijene. Rješenje problema B3.

Bilo koja trigonometrijska jednadžba, bez obzira kako je riješimo, vodi do najjednostavnije.

Prilikom rješavanja zadatka učenici treba da obrate pažnju na zapisivanje korijena jednačina posebnih slučajeva i opšti pogled i o izboru korijena u posljednjoj jednadžbi.

Riješite jednačine:

Zapišite najmanji pozitivan korijen kao odgovor.

5. Samostalni rad (10 min.)

Cilj je testirati stečene vještine, identificirati probleme, greške i načine za njihovo otklanjanje.

Rad na više nivoa se nudi na izbor studenta.

Opcija "3"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Riješite jednačinu

Opcija za "4"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Riješite jednačinu Zapišite najmanji pozitivan korijen u svom odgovoru.

Opcija "5"

1) Pronađite tanα ako

2) Pronađite korijen jednačine Zapišite najmanji pozitivan korijen kao odgovor.

6. Sažetak lekcije (5 min.)

Nastavnik rezimira ono što je ponovljeno i pojačano u lekciji trigonometrijske formule, rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.

Domaća zadaća se zadaje (unaprijed pripremljena na štampanoj osnovi) sa nasumičnom provjerom na sljedećem času.

Riješite jednačine:

9)

10) U svom odgovoru navedite najmanji pozitivni korijen.

Lekcija 2

Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Odabir korijena. (2 sata)

Ciljevi:

• Uopštiti i sistematizirati znanja o rješavanju trigonometrijskih jednačina različitih tipova.
• Promovirati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnost zapažanja, poređenja, generalizacije i klasifikacije.
• Podsticati učenike na prevazilaženje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu i introspekciju svojih aktivnosti.

Oprema za nastavu: KRMu, laptop za svakog učenika.

Struktura lekcije:

1. Organizacioni momenat
2. Diskusija o d/z i sebi. rad od prosle lekcije
3. Pregled metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
5. Izbor korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
6. Samostalan rad.
7. Sažetak lekcije. Zadaća.

1. Organizacioni trenutak (2 min.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa i plan rada.

2. a) Analiza zadaća(5 minuta.)

Cilj je provjeriti izvršenje. Jedan rad se prikazuje na ekranu pomoću video kamere, a ostali se selektivno prikupljaju za provjeru nastavnika.

b) Analiza samostalan rad(3 min.)

Cilj je analizirati greške i ukazati na načine za njihovo prevazilaženje.

Odgovori i rješenja su na ekranu, a učenicima se unaprijed daje rad. Analiza se odvija brzo.

3. Pregled metoda rješavanja trigonometrijskih jednačina (5 min.)

Cilj je prisjetiti se metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednačina znaju. Naglasite da postoje takozvane osnovne (često korištene) metode:

• varijabilna zamjena,
• faktorizacija,
• homogene jednadžbe,

a primjenjuju se i metode:

• koristeći formule za pretvaranje sume u proizvod i proizvoda u zbir,
• prema formulama smanjenje stepena,
• univerzalna trigonometrijska supstitucija
• uvođenje pomoćnog ugla,
• množenje nekim trigonometrijska funkcija.

Također treba podsjetiti da se jedna jednačina može riješiti na različite načine.

4. Rješavanje trigonometrijskih jednačina (30 min.)

Cilj je generalizacija i konsolidacija znanja i vještina na ovu temu, priprema za C1 rješenje iz Jedinstvenog državnog ispita.

Smatram da je preporučljivo rješavati jednačine za svaku metodu zajedno sa učenicima.

Učenik diktira rješenje, nastavnik ga zapisuje na tablet, a cijeli proces se prikazuje na ekranu. Ovo će vam omogućiti da se brzo i efikasno prisjetite prethodno obrađenog materijala u vašem sjećanju.

Riješite jednačine:

1) zamjenom varijable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene jednačine sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvaranje sume u proizvod cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvaranje proizvoda u zbir 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) smanjenje stepena sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe treba napomenuti da korištenje ove metode dovodi do sužavanja raspona definicije, jer su sinus i kosinus zamijenjeni sa tg(x/2). Stoga, prije nego što napišete odgovor, trebate provjeriti da li su brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.

8) uvođenje pomoćnog ugla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)

Budući da u uslovima žestoke konkurencije pri upisu na fakultete nije dovoljno samo rješavanje prvog dijela ispita, većina studenata treba da obrati pažnju na zadatke drugog dijela (C1, C2, C3).

Stoga je cilj ove faze lekcije zapamtiti prethodno proučeno gradivo i pripremiti se za rješavanje zadatka C1 sa Jedinstvenog državnog ispita 2011.

Postoji trigonometrijske jednačine, u kojem je potrebno odabrati korijene prilikom pisanja odgovora. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz pod parnim korijenom nije negativan, izraz pod predznakom logaritma je pozitivan, itd.

Takve jednačine se smatraju jednadžbama povećane složenosti i in verzija Jedinstvenog državnog ispita nalaze se u drugom dijelu, odnosno C1.

Riješite jednačinu:

Razlomak je jednak nuli ako je tada korišćenjem jedinični krug izaberimo korijene (vidi sliku 1)

Slika 1.

dobijamo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na ekranu je izbor korena prikazan u krugu u slici u boji.

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk ne gubi svoje značenje. Onda

Koristeći jedinični krug, biramo korijene (vidi sliku 2)

Na Vaš zahtjev.

6. Pojednostavite izraz:

Jer kofunkcije uglova koji se međusobno nadopunjuju do 90° su jednake, tada zamjenjujemo sin50° u brojiocu razlomka sa cos40° i primjenjujemo formulu za sinus dvostrukog argumenta na brojnik. Dobijamo 5sin80° u brojiocu. Zamenimo sin80° sa cos10°, što će nam omogućiti da smanjimo razlomak.

Primijenjene formule: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. IN aritmetička progresija, čija je razlika 12, a osmi član 54, pronađite broj negativnih članova.

Plan rješenja. Napravimo formulu za opći član ove progresije i saznamo pri kojim vrijednostima n negativnih članova će se dobiti. Da bismo to učinili, morat ćemo pronaći prvi član progresije.

Imamo d=12, a 8 =54. Koristeći formulu a n =a 1 +(n-1)∙d pišemo:

a 8 =a 1 +7d. Zamijenimo dostupne podatke. 54=a 1 +7∙12;

a 1 =-30. Zamijenite ovu vrijednost u formulu a n =a 1 +(n-1)∙d

a n =-30+(n-1)∙12 ili a n =-30+12n-12. Hajde da pojednostavimo: a n =12n-42.

Tražimo broj negativnih članova, pa moramo riješiti nejednakost:

a n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Pronađite raspon vrijednosti sljedeće funkcije: y=x-|x|.

Otvorimo modularne zagrade. Ako je x≥0, tada je y=x-x ⇒ y=0. Grafikon će biti osa Ox desno od početka. Ako je x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Nađite površinu bočne površine pravog kružnog konusa ako je njegova generatriksa 18 cm, a površina njegove osnove 36 cm 2 .

Dat je konus aksijalnog presjeka MAV. Generator VM=18, S glavni. =36π. Izračunavamo površinu bočne površine konusa koristeći formulu: S strana. =πRl, gdje je l generator i prema uvjetu jednak 18 cm, R je polumjer baze, naći ćemo ga pomoću formule: S cr. = πR 2 . Imamo S cr. = S osnovni = 36π. Dakle, πR 2 =36π ⇒ R=6.

Zatim S strana. =π∙6∙18 ⇒ S strana. =108π cm 2.

12. Rješavanje logaritamske jednadžbe. Razlomak je jednak 1 ako mu je brojilac jednak nazivniku, tj.

log(x 2 +5x+4)=2logx za logx≠0. Na desnu stranu jednakosti primjenjujemo svojstvo stepena broja pod predznakom logaritma: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. Ovi decimalni logaritmi su jednaki, pa su brojevi ispod predznaka logaritma jednaki , dakle:

x 2 +5x+4=x 2, dakle 5x=-4; dobijamo x=-0,8. Međutim, ova vrijednost se ne može uzeti, jer samo pozitivni brojevi mogu biti pod znakom logaritma, pa ova jednačina nema rješenja. Bilješka. ODZ ne biste trebali pronaći na početku odluke (gubite vrijeme!), bolje je provjeriti (kao što radimo sada) na kraju.

13. Pronađite vrijednost izraza (x o – y o), gdje je (x o; y o) rješenje sistema jednačina:

14. Riješite jednačinu:

Ako podijelite po 2 i brojnik i nazivnik razlomka, naučit ćete formulu za tangentu dvostrukog ugla. Rezultat je jednostavna jednadžba: tg4x=1.

15. Pronađite izvod funkcije: f(x)=(6x 2 -4x) 5.

Zadata nam je složena funkcija. Definišemo ga jednom rečju - ovo je stepen. Stoga, prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije, nalazimo derivaciju stepena i množimo je sa derivacijom baze ovog stepena prema formuli:

(u n)’ = n ∙ u n -1 ∙ u'.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)’ = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Potrebno je pronaći f ‘(1) ako je funkcija

17. U jednakostraničnom trokutu zbir svih simetrala je 33√3 cm. Nađite površinu trokuta.

Simetrala jednakostraničnog trougla je i medijana i visina. Dakle, dužina visine BD ovog trougla je jednaka

Nađimo stranicu AB iz pravougaonika Δ ABD. Pošto sin60° = BD : AB, zatim AB = BD : sin60°.

18. U jednakostranični trokut čija je visina 12 cm upisan je krug. Nađite površinu kružnice.

Krug (O; OD) je upisan u jednakostranični Δ ABC. Visina BD je također simetrala i medijana, a centar kružnice, tačka O, leži na BD.

O – tačka presjeka visina, simetrala i medijana dijeli medijanu BD u omjeru 2:1, računajući od temena. Dakle, OD=(1/3)BD=12:3=4. Poluprečnik kružnice R=OD=4 cm Površina kružnice S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Bočne ivice pravilne četvorougaone piramide su 9 cm, a stranica osnove 8 cm. Pronađite visinu piramide.

Osnova pravilne četvorougaone piramide je kvadrat ABCD, osnova visine MO je centar kvadrata.

20. Pojednostavite:

U brojniku je kvadrat razlike presavijen.

Faktoriziramo imenilac metodom grupisanja pojmova.

21. Izračunati:

Da bi se mogao izdvojiti aritmetički kvadratni korijen, radikalni izraz mora biti savršen kvadrat. Predstavimo izraz pod znakom korijena u obliku kvadratne razlike dva izraza prema formuli:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, uz pretpostavku da je a 2 +b 2 =10.

22. Riješite nejednačinu:

Predstavimo lijevu stranu nejednakosti kao proizvod. Zbir sinusa dvaju uglova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbira ovih uglova i kosinusa polurazlike ovih uglova:

Dobijamo:

Rešimo ovu nejednačinu grafički. Odabiremo one tačke y=grafa troškova koje leže iznad prave linije i odredimo apscise tih tačaka (prikazanih senčenjem).

23. Naći sve antiderivate za funkciju: h(x)=cos 2 x.

Transformirajmo ovu funkciju spuštanjem njenog stepena koristeći formulu:

1+cos2α=2cos 2 α. Dobijamo funkciju:

24. Pronađite koordinate vektora

25. Umjesto zvjezdica umetnite aritmetičke znakove tako da dobijete tačnu jednakost: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.

Razumemo: broj bi trebao biti 25 (31 – 6 = 25). Kako dobiti ovaj broj od dvije "trojke" i dvije "četvorke" koristeći akcione znakove?

Naravno da jeste: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25. Odgovor E).

Video lekcija “Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza” je osmišljena da razvije vještine učenika u rješavanju trigonometrijskih problema koristeći osnovne trigonometrijske identitete. Tokom video lekcije razmatraju se vrste trigonometrijskih identiteta i primjeri rješavanja zadataka pomoću njih. Upotrebom vizuelnih pomagala nastavniku je lakše postići ciljeve časa. Živopisna prezentacija materijala pomaže pri pamćenju važnih tačaka. Korištenje efekata animacije i glasa na ekranu omogućava vam da potpuno zamijenite nastavnika u fazi objašnjavanja materijala. Dakle, korišćenjem ovog vizuelnog pomagala na časovima matematike, nastavnik može povećati efikasnost nastave.

Na početku video lekcije najavljuje se njegova tema. Zatim se prisjećamo trigonometrijskih identiteta koje smo ranije proučavali. Na ekranu se prikazuju jednakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdje je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, ispravno za t≠πk, gdje je kϵZ, tg t· ctg t=1, za t≠πk/2, gdje je kϵZ, nazvani osnovnim trigonometrijskim identitetima. Primjećuje se da se ovi identiteti često koriste u rješavanju problema gdje je potrebno dokazati jednakost ili pojednostaviti izraz.

U nastavku razmatramo primjere primjene ovih identiteta u rješavanju problema. Prvo, predlaže se razmatranje rješavanja problema pojednostavljivanja izraza. U primjeru 1 potrebno je pojednostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Da biste riješili primjer, prvo izvadite zajednički faktor cos 2 t iz zagrada. Kao rezultat ove transformacije u zagradi, dobija se izraz 1- cos 2 t, čija je vrijednost iz glavnog identiteta trigonometrije jednaka sin 2 t. Nakon transformacije izraza, očigledno je da se još jedan zajednički faktor sin 2 t može izvaditi iz zagrada, nakon čega izraz dobija oblik sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Iz istog osnovnog identiteta izvodimo vrijednost izraza u zagradama jednaku 1. Kao rezultat pojednostavljenja, dobijamo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

U primjeru 2, izraz trošak/(1- sint)+ trošak/(1+ sint) treba biti pojednostavljen. Kako brojnici oba razlomka sadrže izraz trošak, on se može izvaditi iz zagrada kao zajednički faktor. Tada se razlomci u zagradama svode na zajednički nazivnik množenjem (1- sint)(1+ sint). Nakon donošenja sličnih članova, brojilac ostaje 2, a nazivnik 1 - sin 2 t. Na desnoj strani ekrana se prisjeća osnovni trigonometrijski identitet sin 2 t+cos 2 t=1. Koristeći ga, nalazimo imenilac razlomka cos 2 t. Nakon smanjenja razlomka, dobijamo pojednostavljeni oblik izraza trošak/(1- sint)+ trošak/(1+ sint)=2/trošak.

Zatim ćemo razmotriti primjere dokaza identiteta koji koriste stečeno znanje o osnovnim identitetima trigonometrije. U primjeru 3 potrebno je dokazati identičnost (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Desna strana ekrana prikazuje tri identiteta koji će biti potrebni za dokaz - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t i tg t=sin t/cos t sa ograničenjima. Za dokazivanje identiteta prvo se otvaraju zagrade, nakon čega se formira proizvod koji odražava izraz glavnog trigonometrijskog identiteta tg t·ctg t=1. Tada se, prema istovjetnosti iz definicije kotangensa, ctg 2 t transformira. Kao rezultat transformacija dobija se izraz 1-cos 2 t. Koristeći glavni identitet, pronalazimo značenje izraza. Dakle, dokazano je da (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

U primjeru 4, potrebno je pronaći vrijednost izraza tg 2 t+ctg 2 t ako je tg t+ctg t=6. Da biste izračunali izraz, prvo kvadrirajte desnu i lijevu stranu jednakosti (tg t+ctg t) 2 =6 2. Skraćena formula za množenje se poziva na desnoj strani ekrana. Nakon otvaranja zagrada na lijevoj strani izraza, formira se zbir tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, za transformaciju kojeg možete primijeniti jedan od trigonometrijskih identiteta tg t·ctg t=1 , čiji se oblik poziva na desnoj strani ekrana. Nakon transformacije dobija se jednakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Lijeva strana jednakosti se poklapa sa uslovom zadatka, pa je odgovor 34. Zadatak je riješen.

Video lekcija “Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza” preporučuje se za korištenje u tradicionalnoj školskoj lekciji matematike. Materijal će biti koristan i nastavnicima koji uče na daljinu. U cilju razvijanja vještina rješavanja trigonometrijskih zadataka.

DEKODIRANJE TEKSTA:

"Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza."

Jednakosti

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plus kosinus kvadrat te jednako jedan)

2)tgt =, za t ≠ + πk, kϵZ (tangenta te je jednaka omjeru sinusa te i kosinusa te pri čemu te nije jednako pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3)ctgt = , za t ≠ πk, kϵZ (kotangens te je jednak omjeru kosinusa te i sinusa te pri čemu te nije jednako pi ka, ka pripada zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ (proizvod tangente te sa kotangensom te jednak je jedan kada te nije jednako vrhuncu ka, podijeljeno sa dva, ka pripada zet)

nazivaju se osnovnim trigonometrijskim identitetima.

Često se koriste za pojednostavljivanje i dokazivanje trigonometrijskih izraza.

Pogledajmo primjere korištenja ovih formula za pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz kosinus na kvadrat te minus kosinus četvrtog stepena te plus sinus četvrtog stepena te).

Rješenje. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(izvlačimo zajednički faktor kosinus kvadrat te, u zagradama dobijamo razliku između jedinice i kvadratnog kosinusa te, koji je jednak kvadratnom sinusu te po prvom identiku. Dobijamo zbir četvrtog sinusa te na kvadrat umnožak kosinus kvadrat te i sinus kvadrat te Izvadimo zajednički faktor sinus kvadrat te van zagrada, u zagradama dobijemo zbir kvadrata kosinusa i sinusa koji je, prema osnovnom trigonometrijskom identitetu, jednak 1 Kao rezultat, dobijamo kvadrat sinusa te).

PRIMJER 2. Pojednostavite izraz: + .

(izraz je zbir dva razlomka u brojiocu prvog kosinusa te u nazivniku jedan minus sinus te, u brojniku drugog kosinusa te u nazivniku drugog plus sinus te).

(Izvadimo zajednički faktor kosinus te iz zagrada, a u zagradama ga dovedemo do zajedničkog nazivnika, koji je proizvod jedan minus sin te sa jedan plus sinus te.

U brojiocu dobijamo: jedan plus sinus te plus jedan minus sin te, dajemo slične, brojilac je jednak dva nakon donošenja sličnih.

U nazivniku možete primijeniti skraćenu formulu množenja (razlika kvadrata) i dobiti razliku između jedinice i kvadrata sinusa te, koji prema osnovnom trigonometrijskom identitetu

jednak kvadratu kosinusa te. Nakon smanjenja kosinusom te dobijamo konačni odgovor: dva podijeljena kosinusom te).

Pogledajmo primjere korištenja ovih formula pri dokazivanju trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 3. Dokazati identičnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (proizvod razlike kvadrata tangente te i sinus te kvadrata kotangensa te jednak je kvadratu sine te).

Dokaz.

Transformirajmo lijevu stranu jednakosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 2 t = sin 2 t

(Otvorimo zagrade; iz prethodno dobijenog odnosa poznato je da je proizvod kvadrata tangente te sa kotangensom te jednak jedan. Podsjetimo da je kotangens te jednak omjeru kosinusa te prema sinusu te, koji znači da je kvadrat kotangensa omjer kvadrata kosinusa te i kvadrata sinusa te.

Nakon redukcije za sinus kvadrat te dobijamo razliku između jedinice i kosinus kvadrata te, koja je jednaka sinusnom kvadratu te). Q.E.D.

PRIMJER 4. Pronađite vrijednost izraza tg 2 t + ctg 2 t ako je tgt + ctgt = 6.

(zbir kvadrata tangente te i kotangensa te, ako je zbir tangente i kotangensa šest).

Rješenje. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Kvadirajmo obje strane izvorne jednakosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat zbira tangente te i kotangensa te jednak je šest na kvadrat). Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: Kvadrat zbira dvije veličine jednak je kvadratu prve plus dvostruki umnožak prve na drugu plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobijamo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangenta na kvadrat te plus dvostruki proizvod tangente te sa kotangensom te plus kotangens na kvadrat te jednako je trideset i šest) .

Pošto je proizvod tangente te i kotangensa te jednak jedan, tada je tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (zbir kvadrata tangente te i kotangensa te i dva jednak je trideset šest),