Meni
Besplatno
Registracija
Dom  /  Ječam/ Kako izračunati aritmetičku sredinu. Zamke povezane s deskriptivnom statistikom. Kako izračunati prosjek za heterogene podatke

Kako izračunati aritmetičku sredinu. Zamke povezane s deskriptivnom statistikom. Kako izračunati prosjek za heterogene podatke

Najviše u ek. U praksi moramo koristiti aritmetičku sredinu, koja se može izračunati kao jednostavna i ponderisana aritmetička sredina.

aritmetički prosjek (SA)-n Najčešći tip prosjeka. Koristi se u slučajevima kada je volumen promjenljive karakteristike za cijelu populaciju zbir vrijednosti karakteristika njenih pojedinačnih jedinica. Društvene pojave karakterizira aditivnost (ukupnost) volumena različite karakteristike; to određuje obim primjene SA i objašnjava njegovu rasprostranjenost kao opći pokazatelj, na primjer: opšti fond plata je zbir plata svih zaposlenih.

Da biste izračunali SA, trebate podijeliti zbir svih vrijednosti karakteristika njihovim brojem. SA se koristi u 2 oblika.

Hajde da prvo razmotrimo jednostavnu aritmetičku sredinu.

1-CA jednostavan (početni, definirajući oblik) jednak je jednostavnom zbroju pojedinačnih vrijednosti karakteristike koja se u prosjeku dijeli s ukupnim brojem ovih vrijednosti (koristi se kada postoje negrupirane vrijednosti indeksa karakteristike):

Napravljeni proračuni mogu se generalizirati u sljedeću formulu:

(1)

Gdje - prosječna vrijednost varijabilne karakteristike, odnosno prosječne aritmetičke sredine;

znači sumiranje, odnosno dodavanje individualnih karakteristika;

x- pojedinačne vrijednosti varijabilne karakteristike, koje se nazivaju varijante;

n - broj jedinica stanovništva

Primjer 1, potrebno je pronaći prosječan učinak jednog radnika (mehaničara), ako se zna koliko je dijelova proizveo svaki od 15 radnika, tj. s obzirom na seriju ind. vrijednosti atributa, kom.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Jednostavni SA izračunava se pomoću formule (1), kom.:

Primjer 2. Izračunajmo SA na osnovu uslovnih podataka za 20 prodavnica uključenih u trgovačko preduzeće (tabela 1). Tabela 1

Distribucija lokala trgovačkog preduzeća "Vesna" po prodajnoj površini, kv. M

Prodavnica br.

Prodavnica br.

Za izračunavanje prosječne površine trgovine ( ) potrebno je zbrojiti površine svih trgovina i dobiveni rezultat podijeliti s brojem trgovina:

Tako je prosječna prodajna površina za ovu grupu maloprodajnih preduzeća 71 m2.

Stoga, da biste odredili jednostavan SA, trebate podijeliti zbroj svih vrijednosti datog atributa s brojem jedinica koje posjeduju ovaj atribut.

2

Gdje f 1 , f 2 , … ,f n – težina (učestalost ponavljanja identičnih znakova);

– zbir proizvoda veličine karakteristika i njihovih frekvencija;

– ukupan broj populacijskih jedinica.

- SA ponderisan - Sa Sredina opcija koje se ponavljaju različit broj puta, ili, kako kažu, imaju različite težine. Ponderi su brojevi jedinica u različitim grupama stanovništva (identične opcije se kombinuju u grupu). SA ponderisan – prosjek grupisanih vrijednosti x 1 , x 2 , .., x n, – izračunato: (2)

Gdje X- opcije;

f- frekvencija (težina).

Ponderisani SA je količnik dijeljenja zbira proizvoda opcija i njihovih odgovarajućih frekvencija zbirom svih frekvencija. Frekvencije ( f) koji se pojavljuju u SA formuli obično se nazivaju vage, zbog čega se SA izračunat uzimajući u obzir pondere naziva ponderiranim.

Ilustrovaćemo tehniku ​​izračunavanja ponderisanog SA koristeći gore opisani primer 1. Da bismo to uradili, grupisaćemo početne podatke i staviti ih u tabelu.

Prosjek grupisanih podataka određuje se na sljedeći način: prvo se opcije množe sa frekvencijama, zatim se sabiraju proizvodi i rezultirajuća suma se dijeli zbirom frekvencija.

Prema formuli (2), ponderisani SA je jednak, kom.:

Raspodjela radnika za proizvodnju dijelova

P

Podaci prikazani u prethodnom primjeru 2 mogu se kombinovati u homogene grupe, koje su prikazane u tabeli. Table

Raspodjela prodavnica Vesna po prodajnim površinama, kv. m

Dakle, rezultat je bio isti. Međutim, ovo će već biti ponderisana aritmetička srednja vrednost.

U prethodnom primjeru izračunali smo aritmetički prosjek pod uvjetom da su poznate apsolutne frekvencije (broj trgovina). Međutim, u velikom broju slučajeva apsolutne frekvencije izostaju, ali su relativne frekvencije poznate, ili, kako se obično nazivaju, frekvencije koje pokazuju proporciju ili udio frekvencija u cijelom setu.

Prilikom izračunavanja SA ponderisane upotrebe frekvencije omogućava vam da pojednostavite proračune kada je frekvencija izražena velikim, višecifrenim brojevima. Izračun se vrši na isti način, međutim, budući da se prosječna vrijednost poveća za 100 puta, rezultat treba podijeliti sa 100.

Tada će formula za aritmetički ponderirani prosjek izgledati ovako:

Gdje d– frekvencija, tj. udio svake frekvencije u ukupnom zbiru svih frekvencija.

(3)

U našem primjeru 2 prvo utvrđujemo udio trgovina po grupama u ukupnom broju radnji kompanije Vesna. Dakle, za prvu grupu specifična težina odgovara 10%
. Dobijamo sljedeće podatke Tabela3

Svaka osoba unutra savremeni svet Kada planirate da podignete kredit ili napravite zalihe povrća za zimu, povremeno nailazite na koncept kao što je "prosječna vrijednost". Hajde da saznamo: šta je to, koje vrste i klase postoje i zašto se koristi u statistici i drugim disciplinama.

Prosječna vrijednost - šta je to?

Sličan naziv (SV) je generalizovana karakteristika skupa homogenih pojava, određena bilo kojom jednom kvantitativno promenljivom karakteristikom.

Međutim, ljudi koji su daleko od takvih nejasnih definicija ovaj koncept shvataju kao prosječnu količinu nečega. Na primjer, prije podizanja kredita, službenik banke će svakako tražiti od potencijalnog klijenta podatke o prosječnim prihodima za godinu dana, odnosno o ukupnom iznosu novca koji osoba zaradi. Izračunava se tako što se zarada za cijelu godinu zbroji i podijeli sa brojem mjeseci. Tako će banka moći da utvrdi da li će njen klijent moći da otplati dug na vreme.

Zašto se koristi?

U pravilu, prosječne vrijednosti se široko koriste za davanje sažetog opisa određenih društvenih pojava masovne prirode. Mogu se koristiti i za proračune manjeg obima, kao u slučaju kredita u gornjem primjeru.

Međutim, najčešće se prosječne vrijednosti i dalje koriste u globalne svrhe. Primjer jednog od njih je obračun količine električne energije koju građani utroše tokom jednog kalendarskog mjeseca. Na osnovu dobijenih podataka dalje se utvrđuje maksimalni standardi za kategorije stanovništva koje uživaju beneficije od države.

Takođe, koristeći prosječne vrijednosti, razvija se garantni vijek trajanja pojedinih kućanskih aparata, automobila, zgrada itd. Na osnovu ovako prikupljenih podataka svojevremeno su razvijeni savremeni standardi rada i odmora.

Praktično bilo koji fenomen savremeni život, koji je masovne prirode, na ovaj ili onaj način nužno je povezan sa konceptom koji se razmatra.

Područja primjene

Ovaj fenomen se široko koristi u gotovo svim egzaktnim naukama, posebno eksperimentalnim.

Pronalaženje prosjeka je od velike važnosti u medicini, inženjerstvu, kuhanju, ekonomiji, politici itd.

Na osnovu podataka dobijenih ovakvim generalizacijama razvijaju terapijske lijekove, obrazovne programe, utvrđuju minimalne egzistencijalne razine i plate, grade rasporedi treninga, proizvodimo namještaj, odjeću i obuću, sredstva za higijenu i još mnogo toga.

U matematici se ovaj izraz naziva “prosječna vrijednost” i koristi se za rješavanje različitih primjera i problema. Najjednostavniji su sabiranje i oduzimanje običnim razlomcima. Uostalom, kao što znate, za rješavanje takvih primjera potrebno je oba razlomka dovesti na zajednički nazivnik.

Takođe u kraljici egzaktnih nauka često se koristi termin „prosečna vrednost slučajne varijable“, koji je sličan po značenju. Većini je poznatije kao „matematičko očekivanje“, koje se češće razmatra u teoriji vjerovatnoće. Vrijedi napomenuti da se sličan fenomen primjenjuje i kod izvođenja statističkih proračuna.

Prosječna vrijednost u statistici

Međutim, koncept koji se proučava najčešće se koristi u statistici. Kao što je poznato, sama ova nauka specijalizovana je za izračunavanje i analizu kvantitativnih karakteristika masovnih društvenih pojava. Stoga se prosječna vrijednost u statistici koristi kao specijalizirana metoda za postizanje njenih glavnih ciljeva – prikupljanja i analize informacija.

Suština ove statističke metode je zamijeniti pojedinačne jedinstvene vrijednosti karakteristike koja se razmatra određenom uravnoteženom prosječnom vrijednošću.

Primjer je poznati vic o hrani. Dakle, u nekoj fabrici utorkom za ručak njeni gazde obično jedu mesne tepsije, a obični radnici... pirjani kupus. Na osnovu ovih podataka možemo zaključiti da osoblje fabrike u prosjeku jede sarmice utorkom.

Iako je ovaj primjer malo pretjeran, on ilustruje glavni nedostatak metode pretraživanja prosječne veličine- nivelisanje individualnih karakteristika objekata ili ličnosti.

U prosječnim vrijednostima koriste se ne samo za analizu prikupljenih informacija, već i za planiranje i predviđanje daljnjih akcija.

Koristi se i za ocjenu postignutih rezultata (npr. realizacija plana uzgoja i žetve pšenice za proljetno-ljetnu sezonu).

Kako pravilno izračunati

Iako u zavisnosti od tipa SV postoje različite formule za njegovo izračunavanje, u opšta teorija statistika se po pravilu koristi samo jednom metodom za izračunavanje prosječne vrijednosti neke karakteristike. Da biste to učinili, prvo morate zbrojiti vrijednosti svih pojava, a zatim podijeliti rezultirajuću sumu s njihovim brojem.

Kada pravite takve proračune, vrijedi zapamtiti da prosječna vrijednost uvijek ima istu dimenziju (ili jedinice) kao pojedinačna jedinica populacije.

Uslovi za ispravan obračun

Formula o kojoj smo gore govorili je vrlo jednostavna i univerzalna, tako da je gotovo nemoguće pogriješiti s njom. Međutim, uvijek je vrijedno razmotriti dva aspekta, inače dobijeni podaci neće odražavati stvarno stanje.


SV klase

Nakon što smo pronašli odgovore na osnovna pitanja: "Koja je prosječna vrijednost?", "Gdje se koristi?" i "Kako to možete izračunati?", vrijedi saznati koje klase i tipovi SV postoje.

Prije svega, ovaj fenomen je podijeljen u 2 klase. Ovo su strukturni i prosjeci snage.

Vrste SV-ova snage

Svaka od gore navedenih klasa, zauzvrat, podijeljena je na tipove. Klasa smirenosti ima četiri.

  • Aritmetički prosjek je najčešći tip SV. To je prosječni pojam, pri određivanju kojeg se ukupan volumen razmatrane karakteristike u skupu podataka jednako raspoređuje na sve jedinice ovog skupa.

    Ovaj tip se dijeli na podtipove: jednostavna i ponderirana aritmetička SV.

  • Harmonička sredina je indikator koji je inverzan od proste aritmetičke sredine, izračunate iz recipročnih vrijednosti karakteristike koja se razmatra.

    Koristi se u slučajevima kada su pojedinačne vrijednosti atributa i proizvoda poznate, ali podaci o učestalosti nisu.

  • Geometrijski prosjek se najčešće koristi kada se analiziraju stope rasta ekonomskih pojava. Omogućuje očuvanje nepromijenjenog proizvoda pojedinačnih vrijednosti date količine, a ne zbroja.

    Takođe može biti jednostavan i uravnotežen.

  • Prosjek kvadratna količina koristi se u proračunu pojedinačni indikatori indikatori, kao što je koeficijent varijacije, koji karakteriše ritam proizvodnje, itd.

    Također se koristi za izračunavanje prosječnih promjera cijevi, kotača, prosječnih stranica kvadrata i sličnih figura.

    Kao i sve druge vrste prosjeka, srednji kvadrat može biti jednostavan i ponderiran.

Vrste strukturnih veličina

Pored prosječnih SV-a, strukturni tipovi se često koriste u statistici. Oni su prikladniji za izračunavanje relativnih karakteristika vrijednosti različite karakteristike i unutrašnja struktura redovi distribucije.

Postoje dvije takve vrste.


Za potrebe analize i dobijanja statističkih zaključaka na osnovu rezultata sumiranja i grupisanja, izračunavaju se generalizujući indikatori - prosječne i relativne vrijednosti.

Problem sa prosjecima – okarakterizirati sve jedinice statističke populacije jednom karakterističnom vrijednošću.

Prosječne vrijednosti karakteriziraju pokazatelje kvalitete preduzetničku aktivnost: troškovi distribucije, profit, profitabilnost itd.

prosječna vrijednost- ovo je generalizirajuća karakteristika jedinica stanovništva prema nekim varijabilnim karakteristikama.

Prosječne vrijednosti vam omogućavaju da uporedite nivoe iste osobine u različitim populacijama i pronađete razloge za ova odstupanja.

U analizi fenomena koji se proučavaju, uloga prosječnih vrijednosti je ogromna. Engleski ekonomista W. Petty (1623-1687) je široko koristio prosječne vrijednosti. V. Petty je želio da koristi prosječne vrijednosti kao meru troškova troškova za prosječnu dnevnu ishranu jednog radnika. Stabilnost prosječne vrijednosti je odraz pravilnosti procesa koji se proučavaju. Vjerovao je da se informacije mogu transformirati, čak i ako nema dovoljno originalnih podataka.

Engleski naučnik G. King (1648-1712) koristio je prosječne i relativne vrijednosti kada je analizirao podatke o stanovništvu Engleske.

Teorijski razvoj belgijskog statističara A. Queteleta (1796-1874) zasniva se na nekonzistentnosti prirode društvenih pojava– visoko stabilan u masi, ali čisto individualan.

Prema A. Queteletu trajni razlozi jednako djeluju na svaki fenomen koji se proučava i čine te pojave sličnim jedni drugima, stvarajući obrasce zajedničke za sve njih.

Posljedica učenja A. Queteleta bila je identifikacija prosječnih vrijednosti kao glavne tehnike statističke analize. On je rekao da statistički prosjeci ne predstavljaju kategoriju objektivne realnosti.

A. Quetelet je izrazio svoje stavove o prosjeku u svojoj teoriji prosječnog čovjeka. Prosječan čovjek je osoba koja ima sve kvalitete prosječne veličine (prosječan mortalitet ili natalitet, prosječna visina i težina, prosječna brzina trčanja, prosječna sklonost braku i samoubistvu, dobrim djelima itd.). Za A. Quetelet prosjecna osoba- Ovo je ideal čoveka. Nedosljednost teorije A. Quetelet-a o prosječnom čovjeku dokazana je u ruskoj statističkoj literaturi godine. krajem XIX-XX vekovima

Čuveni ruski statističar Yu E. Yanson (1835-1893) napisao je da A. Quetelet pretpostavlja postojanje u prirodi tipa prosječne osobe kao nečeg datog, od čega je život odstupio od prosječnih ljudi. ove kompanije i dato vrijeme, a to ga dovodi do potpuno mehaničkog pogleda na zakone kretanja drustveni zivot: kretanje je postepeno povećanje prosječnih osobina osobe, postupno obnavljanje tipa; sledstveno tome, takvo nivelisanje svih manifestacija života društvenog tela, iza koje prestaje svako kretanje napred.

Suština ove teorije je pronašla svoje dalji razvoj u radovima brojnih statističkih teoretičara kao teorija pravih veličina. A. Quetelet je imao sljedbenike - njemačkog ekonomistu i statističara V. Lexisa (1837-1914), koji je teoriju pravih vrijednosti prenio na ekonomske pojave javni život. Njegova teorija je poznata kao teorija stabilnosti. Druga verzija idealističke teorije prosjeka zasnovana je na filozofiji

Njen osnivač je engleski statističar A. Bowley (1869–1957) - jedan od najistaknutijih teoretičara novijeg vremena u oblasti teorije prosjeka. Njegov koncept prosjeka izložen je u njegovoj knjizi Elementi statistike.

A. Boley razmatra prosječne vrijednosti samo s kvantitativne strane, odvajajući na taj način kvantitet od kvaliteta. Određujući značenje prosječnih vrijednosti (ili "njihove funkcije"), A. Boley iznosi makovski princip mišljenja. A. Boley je napisao da funkcija prosječnih vrijednosti treba da izražava kompleksnu grupu

koristeći nekoliko prostih brojeva. Statističke podatke treba pojednostaviti, grupisati i svesti na prosjek.Ova gledišta: dijele R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892) itd.

30-ih godina XX vijek i naredne godine prosječna vrijednost se smatra društvenom značajna karakteristika, čiji sadržaj informacija zavisi od homogenosti podataka.

Najistaknutiji predstavnici italijanske škole R. Benini (1862-1956) i C. Gini (1884-1965), smatrajući statistiku granom logike, proširili su obim primjene statističke indukcije, ali su povezali kognitivne principe logike. i statistike sa prirodom fenomena koji se proučavaju, prateći tradiciju sociološkog tumačenja statistike.

U djelima K. Marxa i V. I. Lenjina prosječnim vrijednostima se daje posebna uloga.

K. Marx je tvrdio da prosjek kompenzuje pojedinačna odstupanja od opšteg nivoa i prosječan nivo postaje generalizirajuća karakteristika fenomena mase.Prosječna vrijednost postaje takva karakteristika fenomena mase samo ako se uzme značajan broj jedinica i te jedinice su kvalitativno homogene. Marx je napisao da bi prosječna pronađena vrijednost trebala biti prosjek "...mnogih različitih pojedinačnih vrijednosti iste vrste".

Prosječna vrijednost dobija poseban značaj u tržišnoj ekonomiji. Pomaže da se odredi neophodna i opšta tendencija obrasca ekonomski razvoj direktno kroz singularno i slučajno.

Prosječne vrijednosti su generalizirajući indikatori u kojima se izražava djelovanje općih uslova i obrazac fenomena koji se proučava.

Statistički prosjeci se izračunavaju na osnovu masovnih podataka iz statistički ispravno organiziranog masovnog posmatranja. Ako se statistički prosjek izračuna iz masovnih podataka za kvalitativno homogenu populaciju (masovne pojave), onda će biti objektivan.

Prosječna vrijednost je apstraktna, jer karakterizira vrijednost apstraktne jedinice.

Iz raznolikosti osobina pojedinačnih objekata prosjek je apstrahovan. Apstrakcija je korak naučno istraživanje. U prosječnoj vrijednosti ostvaruje se dijalektičko jedinstvo pojedinačnog i opšteg.

Prosječne vrijednosti treba primijeniti na osnovu dijalektičkog razumijevanja kategorija pojedinačno i općenito, pojedinačno i masovno.

Srednji prikazuje nešto zajedničko što je sadržano u određenom pojedinačnom objektu.

Za identifikaciju obrazaca u masovnim društvenim procesima, prosječna vrijednost je od velike važnosti.

Odstupanje pojedinca od opšteg je manifestacija procesa razvoja.

Prosječna vrijednost odražava karakterističan, tipičan, stvarni nivo fenomena koji se proučava. Zadatak prosječnih vrijednosti je karakterizirati ove razine i njihove promjene u vremenu i prostoru.

Prosjek je uobičajena vrijednost jer se formira u normalnom, prirodnom, opšti uslovi postojanje specifičnog masovnog fenomena posmatranog kao celine.

Objektivno svojstvo statističkog procesa ili fenomena odražava se kroz prosječnu vrijednost.

Pojedinačne vrijednosti statističkog atributa koji se proučavaju različite su za svaku jedinicu populacije. Prosječna vrijednost pojedinačnih vrijednosti jedne vrste je proizvod nužde, koji je rezultat zajedničkog djelovanja svih jedinica populacije, manifestiranog u masi ponavljajućih nezgoda.

Neki pojedinačni fenomeni imaju karakteristike koje postoje u svim pojavama, osim u različite količine je visina ili starost osobe. Ostali znakovi individualnog fenomena, kvalitativno različiti u razne pojave, odnosno kod nekih su prisutne, a kod drugih se ne primjećuju (muškarac neće postati žena). Prosječna vrijednost se izračunava za karakteristike koje su kvalitativno homogene i različite samo kvantitativno, koje su svojstvene svim pojavama u datom skupu.

Prosječna vrijednost je odraz vrijednosti karakteristike koja se proučava i mjeri se u istoj dimenziji kao i ova karakteristika.

Teorija dijalektičkog materijalizma uči da se sve na svijetu mijenja i razvija. A također se mijenjaju karakteristike koje karakteriziraju prosječne vrijednosti, a shodno tome i sami prosjeci.

U životu postoji kontinuirani proces stvaranja nečeg novog. Nosilac novog kvaliteta su pojedinačni objekti, tada se broj tih objekata povećava, a novi postaje masovni, tipični.

Prosječna vrijednost karakterizira populaciju koja se proučava prema samo jednoj osobini. Za potpuni i sveobuhvatan prikaz proučavane populacije u nizu određene znakove Neophodno je imati sistem prosječnih vrijednosti koji može opisati fenomen iz različitih uglova.

2. Vrste prosjeka

U statističkoj obradi materijala javljaju se različiti problemi koje je potrebno riješiti, te se stoga u statističkoj praksi koriste različite prosječne vrijednosti. Math statistics koristi različite proseke, kao što su: aritmetički prosek; geometrijska sredina; harmonijska sredina; srednji kvadrat.

Da bi se primijenio jedan od navedenih tipova prosjeka, potrebno je analizirati populaciju koja se proučava, utvrditi materijalni sadržaj fenomena koji se proučava, a sve se to radi na osnovu zaključaka izvedenih iz principa smislenosti rezultata kada se vaganje ili zbrajanje.

U proučavanju prosjeka koriste se sljedeći indikatori i oznake.

Znak po kojem se nalazi prosjek naziva se prosečna karakteristika i označava se sa x; naziva se vrijednost prosječne karakteristike za bilo koju jedinicu statističke populacije njegovo individualno značenje, ili opcije, i označeno kao x 1 , X 2 , x 3 ,… X P ; frekvencija je ponovljivost pojedinačnih vrijednosti karakteristike, označene slovom f.

Aritmetička sredina

Jedna od najčešćih vrsta medija je aritmetička sredina, koji se izračunava kada se obim prosječne karakteristike formira kao zbir njenih vrijednosti u pojedinačnim jedinicama statističke populacije koja se proučava.

Da bi se izračunao aritmetički prosjek, zbir svih nivoa atributa dijeli se s njihovim brojem.


Ako se neke opcije javljaju nekoliko puta, tada se zbroj nivoa atributa može dobiti množenjem svakog nivoa s odgovarajućim brojem jedinica u populaciji i zatim dodavanjem rezultirajućih proizvoda; aritmetička sredina izračunata na ovaj način naziva se ponderirana aritmetička sredina.

Formula za ponderisani aritmetički prosjek je sljedeća:


gdje su h i opcije,

f i – frekvencije ili težine.

Ponderisani prosjek treba koristiti u svim slučajevima kada opcije imaju različite brojeve.

Aritmetička sredina, takoreći, jednako raspoređuje između pojedinačnih objekata ukupnu vrijednost atributa, koja u stvarnosti varira za svaki od njih.

Izračunavanje prosječnih vrijednosti vrši se pomoću podataka grupiranih u obliku nizova intervalne distribucije, kada su varijante karakteristike iz kojih se izračunava prosjek prikazane u obliku intervala (od - do).

Svojstva aritmetičke sredine:

1) prosek aritmetički zbir različite količine jednake su zbiru aritmetičkih prosjeka: Ako je x i = y i +z i, tada


Ovo svojstvo pokazuje u kojim slučajevima je moguće sumirati prosječne vrijednosti.

2) algebarski zbir odstupanja pojedinačnih vrijednosti promjenjive karakteristike od prosjeka jednak je nuli, jer se zbir odstupanja u jednom smjeru kompenzira zbirom odstupanja u drugom smjeru:


Ovo pravilo pokazuje da je prosjek rezultanta.

3) ako se sve opcije u nizu povećaju ili smanje za isti broj?, hoće li se prosjek povećati ili smanjiti za isti broj?:


4) ako se sve varijante serije povećaju ili smanje za A puta, tada će se i prosječna također povećati ili smanjiti za A puta:


5) peto svojstvo prosjeka nam pokazuje da ono ne zavisi od veličine skale, već zavisi od odnosa između njih. Ne samo relativne, već i apsolutne vrijednosti mogu se uzeti kao skale.

Ako se sve frekvencije serije podijele ili pomnože sa istim brojem d, tada se prosjek neće promijeniti.


Harmonična sredina. Za određivanje aritmetičke sredine potrebno je imati niz opcija i frekvencija, tj. X I f.

Pretpostavimo da su pojedinačne vrijednosti karakteristike poznate X i radi X/, i frekvencije f su nepoznati, tada za izračunavanje prosjeka označavamo proizvod = X/; gdje:



Prosjek u ovom obliku naziva se harmonijski ponderirani prosjek i označava se x šteta. gore

Shodno tome, harmonijska sredina je identična aritmetičkoj sredini. Primjenjivo je kada su stvarne težine nepoznate f, a rad je poznat fx = z

Kada radi fx identične ili jednake jedinice (m = 1), koristi se harmonijska prosta sredina izračunata po formuli:


Gdje X– odvojene opcije;

n- broj.

Geometrijska sredina

Ako postoji n koeficijenata rasta, onda je formula za prosječni koeficijent:


Ovo je formula geometrijske sredine.

Geometrijska sredina jednaka je korijenu stepena n iz proizvoda koeficijenata rasta koji karakterišu odnos vrednosti svakog narednog perioda prema vrednosti prethodnog.

Ako su vrijednosti izražene u obrascu podložne usrednjavanju kvadratne funkcije, primjenjuje se srednji kvadrat. Na primjer, koristeći srednji kvadrat, možete odrediti promjere cijevi, kotača itd.

Jednostavan srednji kvadrat se određuje uzimanjem kvadratnog korijena količnika dijeljenja zbira kvadrata pojedinačnih vrijednosti atributa njihovim brojem.


Ponderisani srednji kvadrat je jednak:

3. Strukturni prosjeci. Mod i medijan

Za karakterizaciju strukture statističke populacije koriste se indikatori koji se nazivaju strukturni proseci. To uključuje mod i medijan.

Moda (M O ) - najčešća opcija. Moda je vrijednost atributa koja odgovara maksimalnoj tački teorijske krivulje distribucije.

Moda predstavlja najčešće javljano ili tipično značenje.

Moda se koristi u komercijalnoj praksi za proučavanje potražnje potrošača i rekordnih cijena.

U diskretnoj seriji, mod je varijanta sa najvećom frekvencijom. U nizu intervalne varijacije, mod se smatra centralnom varijantom intervala, koja ima najveću frekvenciju (posebnost).

Unutar intervala morate pronaći vrijednost atributa koji je način rada.


Gdje X O– donja granica modalnog intervala;

h– vrijednost modalnog intervala;

f m– frekvencija modalnog intervala;

f t-1 – frekvencija intervala koji prethodi modalnom;

f m+1 – frekvencija intervala nakon modalnog.

Način rada zavisi od veličine grupa i od tačnog položaja granica grupe.

Moda– broj koji se zapravo najčešće javlja (određena je vrijednost), u praksi ima najširu primjenu (najčešći tip kupca).

Medijan (M e je veličina koja dijeli broj uređenog varijantnog niza na dva jednaka dijela: jedan dio ima vrijednosti varijabilne karakteristike koje su manje od prosječne varijante, a drugi veće vrijednosti.

Medijan je element koji je veći ili jednak i istovremeno manji ili jednak polovini preostalih elemenata serije raspodjele.

Svojstvo medijane je da je zbir apsolutnih odstupanja vrijednosti atributa od medijane manji nego od bilo koje druge vrijednosti.

Korištenje medijane vam omogućava da dobijete preciznije rezultate od korištenja drugih oblika prosjeka.

Redoslijed pronalaženja medijane u nizu varijacija intervala je sljedeći: raspoređujemo pojedinačne vrijednosti karakteristike prema rangiranju; određujemo akumulirane frekvencije za datu rangiranu seriju; Koristeći akumulirane podatke o frekvenciji, nalazimo srednji interval:


Gdje x me– donja granica srednjeg intervala;

i Ja– vrijednost srednjeg intervala;

f/2– polovični zbir frekvencija serije;

S Ja-1 – zbir akumuliranih frekvencija koje prethode srednjem intervalu;

f Ja– frekvencija srednjeg intervala.

Medijan dijeli broj serije na pola, dakle, to je mjesto gdje je akumulirana frekvencija polovina ili više od polovine ukupnog zbira frekvencija, a prethodna (akumulirana) frekvencija je manja od polovine broja populacije.


Prosječna vrijednost je opšti pokazatelj koji karakteriše tipičan nivo pojave. Izražava vrijednost karakteristike po jedinici populacije.

Prosječna vrijednost je:

1) najtipičniju vrijednost atributa za populaciju;

2) obim atributa populacije, ravnomjerno raspoređen među jedinicama stanovništva.

Karakteristika za koju se izračunava prosječna vrijednost se u statistici naziva „prosječnom“.

Prosek uvek generalizuje kvantitativnu varijaciju osobine, tj. u prosječnim vrijednostima eliminiraju se individualne razlike između jedinica u populaciji zbog slučajnih okolnosti. Za razliku od prosjeka, apsolutna vrijednost koja karakterizira nivo karakteristike pojedine jedinice populacije ne dopušta da se uporede vrijednosti karakteristike među jedinicama koje pripadaju različitim populacijama. Dakle, ako treba da uporedite nivoe zarada radnika u dva preduzeća, onda ne možete porediti dva radnika različitih preduzeća po ovom osnovu. Naknada radnika odabranih za poređenje možda nije tipična za ova preduzeća. Ako uporedimo veličinu fondova zarada u preduzećima koja se razmatraju, broj zaposlenih se ne uzima u obzir i stoga je nemoguće utvrditi gde je nivo zarada veći. U konačnici se mogu porediti samo prosječni pokazatelji, tj. Koliko u svakom preduzeću u proseku zarađuje jedan zaposleni? Dakle, postoji potreba da se izračuna prosječna vrijednost kao generalizirajuća karakteristika populacije.

Važno je napomenuti da tokom procesa usrednjavanja ukupna vrijednost nivoa atributa ili njegova konačna vrijednost (u slučaju izračunavanja prosječnih nivoa u dinamičkoj seriji) mora ostati nepromijenjena. Drugim riječima, prilikom izračunavanja prosječne vrijednosti, volumen proučavane karakteristike ne bi trebao biti iskrivljen, a izrazi koji se sastavljaju prilikom izračunavanja prosjeka moraju nužno imati smisla.

Izračunavanje prosjeka je jedna od uobičajenih tehnika generalizacije; prosječni indikator negira ono što je zajedničko (tipično) svim jedinicama populacije koja se proučava, dok istovremeno zanemaruje razlike pojedinačnih jedinica. U svakoj pojavi i njenom razvoju postoji kombinacija slučajnosti i nužnosti. Prilikom izračunavanja prosjeka, na osnovu zakona veliki brojevi nezgode su poništene, izbalansirane, pa je moguće apstrahovati od nebitnih karakteristika fenomena, od kvantitativnih vrednosti atributa u svakom konkretnom slučaju. Sposobnost apstrahiranja od slučajnosti pojedinačnih vrijednosti i fluktuacija leži u naučnoj vrijednosti prosjeka kao generalizirajućih karakteristika agregata.

Da bi prosjek bio zaista reprezentativan, mora se izračunati uzimajući u obzir određene principe.

Pogledajmo neke opšti principi primjena prosječnih vrijednosti.

1. Prosjek se mora odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.

2. Prosjek se mora izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.

3. Prosjek se mora izračunati za populaciju čije su jedinice u normalnom, prirodnom stanju.

4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj indikatora koji se proučava.

5.2. Vrste prosjeka i metode za njihovo izračunavanje

Razmotrimo sada vrste prosječnih vrijednosti, karakteristike njihovog izračunavanja i područja primjene. Prosječne vrijednosti podijeljene su u dvije velike klase: prosječne snage, strukturne prosječne vrijednosti.

Srednje vrijednosti snage uključuju najpoznatije i najčešće korištene tipove, kao što su geometrijska sredina, aritmetička sredina i kvadratna sredina.

Mod i medijan se smatraju strukturnim prosjecima.

Hajde da se fokusiramo na proseke snage. Prosjeci snage, u zavisnosti od prezentacije izvornih podataka, mogu biti jednostavni ili ponderisani. Jednostavan prosek Izračunava se na osnovu negrupisanih podataka i ima sljedeći opći oblik:

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) karakteristike koja se usrednjuje;

n – opcija broja.

Prosjećna težina izračunava se na osnovu grupisanih podataka i ima opšti izgled

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) karakteristike koja se prosječuje ili srednja vrijednost intervala u kojem se varijanta mjeri;

m – indeks prosječnog stepena;

f i – frekvencija koja pokazuje koliko se puta javlja tj. vrijednost karakteristika usrednjavanja.

Ako izračunate sve vrste prosjeka za iste početne podatke, tada će se njihove vrijednosti pokazati različitim. Ovdje se primjenjuje pravilo većine prosjeka: kako eksponent m raste, raste i odgovarajuća prosječna vrijednost:

U statističkoj praksi, aritmetičke sredine i harmonijske ponderisane sredine se koriste češće od drugih vrsta ponderisanih prosjeka.

Vrste energetskih sredstava

Vrsta moći
prosjek

Indeks
stepen (m)

Formula za izračun

Jednostavno

Weighted

Harmonic

Geometrijski

Aritmetika

Kvadratno

Cubic

Harmonska sredina ima više složen dizajn nego aritmetička sredina. Harmonička sredina se koristi za proračune kada se kao težine ne koriste jedinice populacije - nosioci karakteristike, već proizvod tih jedinica sa vrijednostima karakteristike (tj. m = Xf). Prosječnom harmonskom jednostavnom treba pribjeći u slučajevima određivanja npr. prosječne cijene rada, vremena, materijala po jedinici proizvodnje, po jednom dijelu za dva (tri, četiri, itd.) preduzeća, radnika koji se bave proizvodnjom. iste vrste proizvoda, istog dijela, proizvoda.

Glavni zahtjev za formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti je da sve faze proračuna imaju stvarno smisleno opravdanje; rezultirajuća prosječna vrijednost treba zamijeniti pojedinačne vrijednosti atributa za svaki objekt bez narušavanja veze između pojedinačnih i zbirnih pokazatelja. Drugim riječima, prosječna vrijednost se mora izračunati tako da kada se svaka pojedinačna vrijednost prosječnog indikatora zamijeni njegovom prosječnom vrijednošću, neki konačni zbirni indikator ostane nepromijenjen, srodna tema ili na drugi način sa prosječnim. Ovaj zbroj se zove definisanje budući da priroda njegovog odnosa sa pojedinačnim vrijednostima određuje specifičnu formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti. Pokažimo ovo pravilo na primjeru geometrijske sredine.

Formula geometrijske sredine

najčešće se koristi prilikom izračunavanja prosječne vrijednosti na osnovu individualne relativne dinamike.

Geometrijska sredina se koristi ako je dat niz relativne dinamike lanca, što ukazuje na, na primjer, povećanje obima proizvodnje u odnosu na nivo prethodne godine: i 1, i 2, i 3,…, i n. Očigledno je da je obim proizvodnje u prošle godine je određena njegovim početnim nivoom (q 0) i naknadnim povećanjem tokom godina:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Uzimajući q n kao određujući indikator i zamjenjujući pojedinačne vrijednosti indikatora dinamike prosječnim, dolazimo do relacije

Odavde



Posebna vrsta prosječnih vrijednosti - strukturni prosjeci - koristi se za proučavanje unutrašnje strukture distributivnog niza vrijednosti atributa, kao i za procjenu prosječne vrijednosti (vrste snage), ako je, prema dostupnim statističkim podacima, njena kalkulacija se ne može izvršiti (na primjer, ako u razmatranom primjeru ne postoje podaci i o obimu proizvodnje i o visini troškova po grupama preduzeća).

Indikatori se najčešće koriste kao strukturni prosjeci moda - najčešće ponavljana vrijednost atributa – i medijane - vrijednost karakteristike koja dijeli uređeni niz njegovih vrijednosti na dva jednaka dijela. Kao rezultat toga, za jednu polovinu jedinica u populaciji vrijednost atributa ne prelazi srednji nivo, a za drugu polovinu nije manja od njega.

Ako karakteristika koja se proučava ima diskretne vrijednosti, onda nema posebnih poteškoća u izračunavanju modusa i medijana. Ako se podaci o vrijednostima atributa X prezentiraju u obliku uređenih intervala njegove promjene (intervalne serije), izračunavanje moda i medijana postaje nešto složenije. Budući da vrijednost medijane dijeli cijelu populaciju na dva jednaka dijela, ona završava u jednom od intervala karakteristike X. Interpolacijom se vrijednost medijane nalazi u ovom srednjem intervalu:

,

gdje je X Me donja granica srednjeg intervala;

h Me – njegova vrijednost;

(Zbir m)/2 – polovina ukupnog broja posmatranja ili polovina volumena indikatora koji se koristi kao ponder u formulama za izračunavanje prosječne vrijednosti (u apsolutnom ili relativnom iznosu);

S Me-1 – zbir zapažanja (ili volumen atributa ponderiranja) akumuliranih prije početka srednjeg intervala;

m Me – broj zapažanja ili obim težinske karakteristike u srednjem intervalu (također u apsolutnom ili relativnom smislu).

Prilikom izračunavanja modalno značenje karakteristiku prema podacima intervalne serije, potrebno je obratiti pažnju na to da su intervali identični, jer od toga zavisi pokazatelj ponovljivosti vrijednosti karakteristike X. Za intervalni niz sa jednakim intervalima, veličina moda je određena kao

,

gdje je X Mo donja vrijednost modalnog intervala;

m Mo – broj zapažanja ili zapremina težinske karakteristike u modalnom intervalu (u apsolutnom ili relativnom smislu);

m Mo-1 – isto za interval koji prethodi modalnom;

m Mo+1 – isto za interval koji slijedi nakon modalnog;

h – vrijednost intervala promjene karakteristike u grupama.

ZADATAK 1

Za grupu industrijskih preduzeća za izvještajnu godinu dostupni su sljedeći podaci

№

preduzeća

Količina proizvoda, milion rubalja.

Prosječan broj zaposlenih, ljudi.

Dobit, hiljada rubalja

197,7

10,0

13,5

22,8

1500

136,2

465,5

18,4

1412

97,6

296,2

12,6

1200

44,4

584,1

22,0

1485

146,0

480,0

119,0

1420

110,4

57805

21,6

1390

138,7

204,7

30,6

466,8

19,4

1375

111,8

292,2

113,6

1200

49,6

423,1

17,6

1365

105,8

192,6

30,7

360,5

14,0

1290

64,8

280,3

10,2

33,3

Za razmjenu proizvoda potrebno je grupirati preduzeća u sljedećim intervalima:

    do 200 miliona rubalja

    od 200 do 400 miliona rubalja.

  1. od 400 do 600 miliona rubalja.

    Za svaku grupu i za sve zajedno odrediti broj preduzeća, obim proizvodnje, prosječan broj zaposlenih, prosječan učinak po zaposlenom. Rezultate grupisanja predstaviti u obliku statističke tabele. Formulirajte zaključak.

    RJEŠENJE

    Grupisaćemo preduzeća po razmjeni proizvoda, izračunati broj preduzeća, obim proizvodnje i prosječan broj zaposlenih koristeći jednostavnu prosječnu formulu. Rezultati grupisanja i proračuna sumirani su u tabeli.

    Grupacije prema količini proizvoda

    №

    preduzeća

    Količina proizvoda, milion rubalja.

    Prosječni godišnji trošak osnovnih sredstava, miliona rubalja.

    Srednji san

    sočan broj zaposlenih, ljudi.

    Dobit, hiljada rubalja

    Prosječan učinak po zaposlenom

    1 grupa

    do 200 miliona rubalja

    1,8,12

    197,7

    204,7

    192,6

    10,0

    9,4

    8,8

    900

    817

    13,5

    30,6

    30,7

    28,2

    2567

    74,8

    0,23

    Prosječan nivo

    198,3

    24,9

    2. grupa

    od 200 do 400 miliona rubalja.

    4,10,13,14

    196,2

    292,2

    360,5

    280,3

    12,6

    113,6

    14,0

    10,2

    1200

    1200

    1290

    44,4

    49,6

    64,8

    33,3

    1129,2

    150,4

    4590

    192,1

    0,25

    Prosječan nivo

    282,3

    37,6

    1530

    64,0

    3 grupa

    od 400 do

    600 miliona

    2,3,5,6,7,9,11

    592

    465,5

    584,1

    480,0

    578,5

    466,8

    423,1

    22,8

    18,4

    22,0

    119,0

    21,6

    19,4

    17,6

    1500

    1412

    1485

    1420

    1390

    1375

    1365

    136,2

    97,6

    146,0

    110,4

    138,7

    111,8

    105,8

    3590

    240,8

    9974

    846,5

    0,36

    Prosječan nivo

    512,9

    34,4

    1421

    120,9

    Ukupno ukupno

    5314,2

    419,4

    17131

    1113,4

    0,31

    U prosjeku

    379,6

    59,9

    1223,6

    79,5

    Zaključak. Dakle, u razmatranoj populaciji najveći broj preduzeća po proizvodnji spadaju u treću grupu - sedam, odnosno polovina preduzeća. U ovu grupu spada i prosječna godišnja cijena osnovnih sredstava velika vrijednost Prosječan broj zaposlenih je 9974 ljudi, a najmanje profitabilna su preduzeća iz prve grupe.

    ZADATAK 2

    Dostupni su sljedeći podaci o preduzećima kompanije

    Broj preduzeća uključenih u kompaniju

    I četvrtina

    II kvartal

    Proizvodnja proizvoda, hiljada rubalja.

    Čovjek-dana odrađenih od strane radnika

    Prosječan učinak po radniku dnevno, rub.

    59390,13

Najčešći tip prosjeka je aritmetička sredina.

Jednostavna aritmetička sredina

Prosta aritmetička sredina je prosječan pojam, pri određivanju kojeg se ukupan volumen datog atributa u podacima jednako raspoređuje na sve jedinice uključene u datu populaciju. dakle, prosječna godišnja proizvodnja proizvoda po radniku - to je vrijednost obima proizvoda koja bi pala na svakog radnika da je cjelokupni obim proizvodnje u u istom stepenu distribuiraju svim zaposlenima u organizaciji. Prosta aritmetička srednja vrijednost izračunava se pomoću formule:

Jednostavni aritmetički prosjek— Jednako omjeru zbira pojedinačnih vrijednosti karakteristike i broja karakteristika u zbiru

Primjer 1 . Tim od 6 radnika prima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 hiljada rubalja mjesečno.

Pronađite prosječnu platu
Rješenje: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 hiljade rubalja.

Ponderisan aritmetički prosjek

Ako je volumen skupa podataka velik i predstavlja seriju distribucije, tada se izračunava ponderirana aritmetička sredina. Ovako se utvrđuje ponderisana prosečna cena po jedinici proizvodnje: ukupni trošak proizvodnje (zbir proizvoda njegove količine sa cenom jedinice proizvodnje) se deli sa ukupnom količinom proizvodnje.

Zamislimo ovo u obliku sljedeće formule:

Ponderisani aritmetički prosjek— jednak omjeru (zbir proizvoda vrijednosti neke karakteristike i učestalosti ponavljanja ove karakteristike) prema (zbir frekvencija svih karakteristika). Koristi se kada se pojave varijante populacije koja se proučava nejednak broj puta.

Primjer 2 . Pronađite prosječnu mjesečnu platu radnika radionice

Prosječna plata se može dobiti dijeljenjem ukupnog iznosa plate za ukupan broj radnika:

Odgovor: 3,35 hiljada rubalja.

Aritmetička sredina za intervalne serije

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine za niz intervalnih varijacija, prvo odredite srednju vrijednost za svaki interval kao polovinu zbroja gornje i donje granice, a zatim srednju vrijednost cijelog niza. U slučaju otvorenih intervala, vrijednost donjeg ili gornjeg intervala određena je veličinom intervala koji se nalaze uz njih.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni.

Primjer 3. Definiraj prosečne starosti večernji studenti.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni. Stepen njihove aproksimacije zavisi od toga koliko se stvarna distribucija jedinica stanovništva unutar intervala približava ravnomernoj raspodeli.

Prilikom izračunavanja prosjeka, ne samo apsolutne, već i relativne vrijednosti (učestalost) mogu se koristiti kao težine:

Aritmetička sredina ima niz svojstava koja potpunije otkrivaju njenu suštinu i pojednostavljuju proračune:

1. Proizvod prosjeka zbirom frekvencija uvijek je jednak zbiru proizvoda varijante po frekvencijama, tj.

2. Aritmetička sredina zbira različitih veličina jednaka je zbiru aritmetičkih sredina ovih veličina:

3. Algebarski zbir odstupanja pojedinačnih vrijednosti karakteristike od prosjeka jednak je nuli:

4. Zbir kvadrata odstupanja opcija od prosjeka manji je od zbira kvadrata odstupanja od bilo koje druge proizvoljne vrijednosti, tj.