Kako izgleda Pitagorina teorema? Dokaz metodom kompletiranja. Praktična primjena teoreme

Potencijal za kreativnost obično se pripisuje humanističkim naukama, ostavljajući prirodne nauke analizi, praktičnom pristupu i suhoparnom jeziku formula i brojeva. Matematika se ne može svrstati u humanistički predmet. Ali bez kreativnosti nećete dogurati daleko u "kraljici svih nauka" - ljudi to već dugo znaju. Od Pitagorinog vremena, na primjer.

Školski udžbenici, nažalost, obično ne objašnjavaju da je u matematici važno ne samo nagurati teoreme, aksiome i formule. Važno je razumjeti i osjetiti njegove osnovne principe. I u isto vrijeme pokušajte osloboditi svoj um od klišea i elementarnih istina - samo u takvim uvjetima se rađaju sva velika otkrića.

Takva otkrića uključuju ono što danas poznajemo kao Pitagorinu teoremu. Uz nju ćemo pokušati pokazati da matematika ne samo da može, već i treba da bude uzbudljiva. I da ova avantura ne odgovara samo štreberima sa debelim naočalama, već i svima koji su jaki umom i jaki duhom.

Iz istorije problema

Strogo govoreći, iako se teorema naziva "Pitagorina teorema", sam Pitagora je nije otkrio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su mnogo prije njega. Postoje dva polarna gledišta po ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pitagora je bio prvi koji je pronašao potpuni dokaz teoreme. Prema drugom, dokaz ne pripada Pitagorinom autorstvu.

Danas više ne možete provjeriti ko je u pravu, a ko nije. Ono što se zna je da Pitagorin dokaz, ako je ikada postojao, nije preživio. Međutim, postoje sugestije da poznati dokaz iz Euklidovih elemenata možda pripada Pitagori, a Euklid ga je samo zabilježio.

Danas je također poznato da se problemi o pravokutnom trokutu nalaze u egipatskim izvorima iz vremena faraona Amenemhata I, na babilonskim glinenim pločama iz vladavine kralja Hamurabija, u staroindijskoj raspravi “Sulva Sutra” i starokineskom djelu “ Zhou-bi suan jin”.

Kao što vidite, Pitagorina teorema je zaokupljala umove matematičara od davnina. To potvrđuje oko 367 različitih dokaza koji danas postoje. U tome se nijedna druga teorema ne može takmičiti s njom. Među poznatim autorima dokaza možemo se prisjetiti Leonarda da Vincija i dvadesetog američkog predsjednika Jamesa Garfielda. Sve ovo govori o izuzetnoj važnosti ove teoreme za matematiku: većina teorema geometrije je izvedena iz nje ili je na neki način povezana s njom.

Dokazi Pitagorine teoreme

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali suština teoreme je u geometriji, pa hajde da prvo razmotrimo one dokaze čuvene teoreme koji se zasnivaju na ovoj nauci.

Dokazi 1

Za najjednostavniji dokaz Pitagorine teoreme za pravougli trokut, potrebno je postaviti idealnim uslovima: neka trokut nije samo pravougaonik, već i jednakokračan. Postoji razlog za vjerovanje da su drevni matematičari prvobitno razmatrali upravo ovakav trokut.

Izjava "Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na njegovim katetama" može se ilustrovati sledećim crtežom:

Pogledajte jednakokraki pravougaoni trougao ABC: Na hipotenuzi AC možete konstruisati kvadrat koji se sastoji od četiri trokuta jednaka originalnom ABC. A na stranama AB i BC izgrađen je kvadrat, od kojih svaki sadrži dva slična trokuta.

Inače, ovaj crtež je bio osnova brojnih šala i karikatura posvećenih Pitagorinoj teoremi. Najpoznatija je vjerovatno "Pitagorine pantalone su jednake u svim pravcima":

Dokazi 2

Ova metoda kombinuje algebru i geometriju i može se smatrati varijantom drevnog indijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

Konstruirajte pravougao trokut sa stranicama a, b i c(Sl. 1). Zatim konstruirajte dva kvadrata sa stranicama jednakim zbroju dužina dva kraka - (a+b). U svakom od kvadrata napravite konstrukcije kao na slikama 2 i 3.

U prvom kvadratu izgradite četiri trokuta slična onima na slici 1. Rezultat su dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu, konstruirana četiri slična trokuta formiraju kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi c.

Zbir površina konstruisanih kvadrata na slici 2 jednak je površini kvadrata koji smo konstruisali sa stranicom c na slici 3. To se lako može provjeriti izračunavanjem površine kvadrata na Sl. 2 prema formuli. A površina upisanog kvadrata na slici 3. oduzimanjem površina četiri jednaka pravokutna trokuta upisana u kvadrat od površine velikog kvadrata sa stranicom (a+b).

Zapisujući sve ovo, imamo: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Otvorite zagrade, izvršite sve potrebne algebarske proračune i dobijete to a 2 +b 2 = a 2 +b 2. U ovom slučaju, područje upisano na sl. 3. kvadrat se također može izračunati korištenjem tradicionalne formule S=c 2. One. a 2 +b 2 =c 2– dokazali ste Pitagorinu teoremu.

Dokazi 3

Sam drevni indijski dokaz opisan je u 12. veku u raspravi „Kruna znanja“ („Siddhanta Shiromani“), a kao glavni argument autor koristi apel upućen matematičkim talentima i veštinama zapažanja učenika i sledbenika: „ Pogledaj!”

Ali ovaj dokaz ćemo detaljnije analizirati:

Izgradite četiri unutar kvadrata pravougaonog trougla kako je prikazano na crtežu. Označimo stranu velikog kvadrata, također poznatu kao hipotenuza, With. Nazovimo noge trougla A I b. Prema crtežu, stranica unutrašnjeg kvadrata je (a-b).

Koristite formulu za površinu kvadrata S=c 2 za izračunavanje površine vanjskog kvadrata. I u isto vrijeme izračunajte istu vrijednost dodavanjem površine unutrašnjeg kvadrata i površina sva četiri pravokutna trokuta: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Možete koristiti obje opcije za izračunavanje površine kvadrata kako biste bili sigurni da daju isti rezultat. I ovo vam daje pravo da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kao rezultat rješenja, dobit ćete formulu Pitagorine teoreme c 2 =a 2 +b 2. Teorema je dokazana.

Dokaz 4

Ovaj neobični drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestina stolica" - zbog figure nalik stolici koja proizlazi iz svih konstrukcija:

Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. A unutrašnji kvadrat sa stranom c konstruiran je na isti način kao u drevnom indijskom dokazu koji je dat gore.

Ako mentalno odsiječete dva zelena pravokutna trokuta sa crteža na slici 1, pomaknete ih na suprotne strane kvadrata sa stranom c i pričvrstite hipotenuze na hipotenuze lila trokuta, dobit ćete figuru koja se zove “mladenčina stolica” (Sl. 2). Radi jasnoće, isto možete učiniti s papirnim kvadratima i trokutima. Pobrinut ćete se da "mladenkina stolica" bude formirana od dva kvadrata: malih sa stranom b i veliki sa stranom a.

Ove konstrukcije omogućile su drevnim kineskim matematičarima i nama, prateći ih, da dođemo do zaključka da c 2 =a 2 +b 2.

Dokazi 5

Ovo je još jedan način da se pomoću geometrije nađe rješenje Pitagorine teoreme. Zove se Garfildova metoda.

Konstruišite pravougao trougao ABC. Moramo to dokazati BC 2 = AC 2 + AB 2.

Da biste to učinili, nastavite nogu AC i konstruisati segment CD, što je jednako kraku AB. Spustite okomicu AD linijski segment ED. Segmenti ED I AC su jednaki. Povežite tačke E I IN, i E I WITH i dobijete crtež kao na slici ispod:

Da bismo dokazali toranj, ponovo pribjegavamo metodi koju smo već isprobali: nalazimo površinu rezultirajuće figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedni s drugima.

Pronađite površinu poligona KREVET može se uraditi sabiranjem površina tri trougla koji ga čine. i jedan od njih, ERU, nije samo pravougaona, već i jednakokračna. Ne zaboravimo ni to AB=CD, AC=ED I BC=SE– ovo će nam omogućiti da pojednostavimo snimanje i ne preopterećujemo ga. dakle, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2VS 2.

Istovremeno, očigledno je da KREVET- Ovo je trapez. Stoga izračunavamo njegovu površinu pomoću formule: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Za naše proračune je zgodnije i jasnije predstaviti segment AD kao zbir segmenata AC I CD.

Zapišimo oba načina izračunavanja površine figure, stavljajući znak jednakosti između njih: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Koristimo jednakost segmenata koji su nam već poznati i gore opisani da pojednostavimo desnu stranu notacije: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Sada otvorimo zagrade i transformirajmo jednakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nakon što smo završili sve transformacije, dobili smo upravo ono što nam je potrebno: BC 2 = AC 2 + AB 2. Teoremu smo dokazali.

Naravno, ova lista dokaza je daleko od potpune. Pitagorina teorema se također može dokazati korištenjem vektora, kompleksnih brojeva, diferencijalnih jednadžbi, stereometrije itd. Pa čak i fizičari: ako se, na primjer, tekućina izlije u kvadratne i trokutaste zapremine slične onima prikazanim na crtežima. Ulivanjem tekućine možete dokazati jednakost površina i samu teoremu kao rezultat.

Nekoliko riječi o Pitagorinim trojkama

Ovo pitanje se malo ili uopšte ne proučava u školskom programu. U međuvremenu, on je vrlo zanimljiv i ima veliki značaj u geometriji. Pitagorine trojke se koriste za rješavanje mnogih matematičkih problema. Njihovo razumijevanje može vam biti od koristi u daljem obrazovanju.

Dakle, šta su pitagorine trojke? Tako to zovu cijeli brojevi, sakupljeno u troje, od kojih je zbir dvaju kvadrata jednak trećem broju u kvadratu.

Pitagorine trojke mogu biti:

• primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
• nije primitivno (ako se svaki broj trojke pomnoži sa istim brojem, dobićete novu trojku, koja nije primitivna).

Još prije naše ere, stari Egipćani su bili fascinirani manijom za brojevima pitagorejskih trojki: u problemima su smatrali pravougli trokut sa stranicama od 3, 4 i 5 jedinica. Usput, svaki trougao čije su stranice jednake brojevima iz Pitagorine trojke je po defaultu pravougaonik.

Primjeri pitagorinih trojki: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična primjena teoreme

Pitagorina teorema se koristi ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo o konstrukciji: Pitagorina teorema se široko koristi u problemima različitim nivoima teškoće. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Označimo širinu prozora kao b, tada se radijus glavnog polukruga može označiti kao R i izraziti kroz b: R=b/2. Poluprečnik manjih polukrugova može se izraziti i kroz b: r=b/4. U ovom problemu nas zanima radijus unutrašnjeg kruga prozora (nazovimo ga str).

Pitagorina teorema je samo korisna za izračunavanje R. Da bismo to učinili, koristimo pravokutni trokut, koji je na slici označen isprekidanom linijom. Hipotenuza trougla sastoji se od dva poluprečnika: b/4+p. Jedna noga predstavlja poluprečnik b/4, druga b/2-p. Koristeći Pitagorinu teoremu, pišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Zatim otvaramo zagrade i dobivamo b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Hajde da transformišemo ovaj izraz u bp/2=b 2 /4-bp. I onda podijelimo sve pojmove sa b, predstavljamo slične za nabavku 3/2*p=b/4. I na kraju to nađemo p=b/6- što nam je trebalo.

Koristeći teoremu, možete izračunati dužinu rogova za zabatni krov. Odredite koliko je visok toranj mobilnog telefona potreban da bi signal dosegao određenu vrijednost naselje. Pa čak i postojano instalirati božićno drvce na gradskom trgu. Kao što vidite, ova teorema ne živi samo na stranicama udžbenika, već je često korisna u stvarnom životu.

Pitagorina teorema je u književnosti inspirisala pisce još od antike i nastavlja da to čini i u naše vreme. Na primjer, njemački pisac iz devetnaestog vijeka Adelbert von Chamisso bio je inspiriran da napiše sonet:

Svjetlo istine neće uskoro nestati,
Ali, nakon što je zablistao, malo je vjerovatno da će se raspršiti
I, kao i pre hiljadama godina,
Neće izazvati sumnju ili kontroverzu.

Najmudriji kada dotakne tvoj pogled
Svetlost istine, hvala bogovima;
I sto bikova, zaklanih, lažu -
Povratni poklon od srećnog Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek je uzbunio pleme bikova
Ovdje se spominje događaj.

Čini im se da će doći vrijeme,
I oni će ponovo biti žrtvovani
Neka sjajna teorema.

(prevod Viktor Toporov)

A u dvadesetom veku, sovjetski pisac Jevgenij Veltistov, u svojoj knjizi „Avanture elektronike“, posvetio je čitavo jedno poglavlje dokazima Pitagorine teoreme. I još pola poglavlja priče o dvodimenzionalnom svijetu koji bi mogao postojati kada bi Pitagorina teorema postala temeljni zakon, pa čak i religija za jedan svijet. Živjeti tamo bi bilo mnogo lakše, ali i mnogo dosadnije: na primjer, tamo niko ne razumije značenje riječi „okruglo“ i „puhasto“.

A u knjizi “Avanture elektronike” autor, kroz usta nastavnika matematike Taratara, kaže: “Glavna stvar u matematici je kretanje misli, novih ideja.” Upravo taj kreativni let misli dovodi do Pitagorine teoreme – nema zalud što ima toliko različitih dokaza. Pomaže vam da pređete granice poznatog i sagledate poznate stvari na novi način.

Zaključak

Ovaj članak je kreiran tako da možete pogledati dalje od školskog nastavnog plana i programa matematike i naučiti ne samo one dokaze Pitagorine teoreme koji su dati u udžbenicima "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i "Geometrija 7" - 11” (A.V. Pogorelov), ali i druge zanimljive načine dokazivanja čuvene teoreme. I također pogledajte primjere kako se Pitagorina teorema može primijeniti u svakodnevnom životu.

Prvo, ove informacije će vam omogućiti da se kvalificirate za više ocjene na časovima matematike - informacije o ovoj temi iz dodatnih izvora su uvijek visoko cijenjene.

Drugo, željeli smo da vam pomognemo da steknete dojam o matematici zanimljiva nauka. Budi siguran konkretni primjeri da u njemu uvek ima mesta za kreativnost. Nadamo se da će vas Pitagorina teorema i ovaj članak inspirisati da samostalno istražujete i donosite uzbudljiva otkrića u matematici i drugim naukama.

Recite nam u komentarima da li su vam dokazi predstavljeni u članku bili zanimljivi. Da li vam je ova informacija bila korisna u vašim studijama? Napišite nam šta mislite o Pitagorinoj teoremi i ovom članku - rado ćemo o svemu tome razgovarati s vama.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

One koje zanima istorija Pitagorine teoreme, koja se izučava u školskom programu, zanimaće i činjenica kao što je objavljivanje knjige sa tri stotine sedamdeset dokaza ove naizgled jednostavne teoreme 1940. godine. Ali zaintrigirao je umove mnogih matematičara i filozofa različitih epoha. U Ginisovoj knjizi rekorda upisana je kao teorema sa maksimalnim brojem dokaza.

Istorija Pitagorine teoreme

Povezana s Pitagorinim imenom, teorema je bila poznata mnogo prije rođenja velikog filozofa. Tako je u Egiptu, prilikom izgradnje konstrukcija, omjer pravougaonog trougla uzet u obzir prije pet hiljada godina. Vavilonski tekstovi pominju isti omjer pravouglog trougla 1200 godina prije Pitagorinog rođenja.

Postavlja se pitanje, zašto onda istorija kaže da poreklo Pitagorine teoreme pripada njemu? Može postojati samo jedan odgovor - dokazao je omjer strana u trouglu. Učinio je ono što oni koji su jednostavno koristili omjer i hipotenuzu utvrđene iskustvom nisu učinili prije nekoliko stoljeća.

Iz Pitagorinog života

Budući veliki naučnik, matematičar, filozof rođen je na ostrvu Samos 570. godine pre nove ere. Istorijski dokumenti sačuvali su podatke o Pitagorinom ocu, koji je bio rezbar drago kamenje, ali nema podataka o majci. Za rođenog dečaka rekli su da je bio izuzetno dete koje se pokazalo djetinjstvo strast prema muzici i poeziji. Povjesničari uključuju Hermodamu i Ferekida sa Sirosa kao učitelje mladog Pitagore. Prvi je dječaka uveo u svijet muza, a drugi, kao filozof i osnivač italijanske filozofske škole, uputio je mladićev pogled na logos.

U dobi od 22 godine (548 pne), Pitagora je otišao u Naukratis da proučava jezik i religiju Egipćana. Dalje, njegov put je ležao u Memphisu, gdje je, zahvaljujući sveštenicima, koji je prošao kroz njihove genijalne testove, shvatio egipatsku geometriju, što je, možda, nagnalo radoznalog mladića da dokaže Pitagorinu teoremu. Istorija će kasnije dodijeliti ovo ime teoremi.

Zarobljeništvo kralja Babilona

Na putu kući u Heladu, Pitagoru je zarobio babilonski kralj. Ali zatočeništvo je koristilo radoznalom umu ambicioznog matematičara; imao je mnogo toga da nauči. Zaista, tih je godina matematika u Babilonu bila razvijenija nego u Egiptu. Proveo je dvanaest godina proučavajući matematiku, geometriju i magiju. A, možda je upravo babilonska geometrija bila uključena u dokaz omjera strana trougla i povijest otkrića teoreme. Pitagora je za to imao dovoljno znanja i vremena. Ali ne postoji dokumentarna potvrda ili opovrgavanje da se to dogodilo u Babilonu.

Godine 530. pne. Pitagora bježi iz zatočeništva u svoju domovinu, gdje živi na dvoru tiranina Polikrata u statusu poluroba. Pitagora nije zadovoljan takvim životom, te se povlači u pećine Samosa, a zatim odlazi na jug Italije, gdje se u to vrijeme nalazila grčka kolonija Kroton.

Tajni monaški red

Na osnovu ove kolonije Pitagora je organizovao tajni monaški red, koji je istovremeno bio verska zajednica i naučno društvo. Ovo društvo je imalo svoju povelju, u kojoj je pisalo da se pridržava posebna slikaživot.

Pitagora je tvrdio da, da bi razumio Boga, osoba mora poznavati nauke kao što su algebra i geometrija, poznavati astronomiju i razumjeti muziku. Istraživanja svodio na poznavanje mistične strane brojeva i filozofije. Treba napomenuti da načela koja je u to vrijeme propovijedao Pitagora imaju smisla u oponašanju u današnje vrijeme.

Njemu su pripisana mnoga otkrića Pitagorinih učenika. Međutim, ukratko, povijest stvaranja Pitagorine teoreme od strane antičkih povjesničara i biografa tog vremena direktno je povezana s imenom ovog filozofa, mislioca i matematičara.

Pitagorino učenje

Možda je ideju o povezanosti teoreme i Pitagorinog imena potaknula izjava velikog Grka da su svi fenomeni našeg života šifrirani u ozloglašenom trokutu s nogama i hipotenuzom. A ovaj trougao je „ključ“ za rješavanje svih novih problema. Veliki filozof je rekao da treba da vidite trougao, onda možete smatrati da je problem dve trećine rešen.

Pitagora je o svom učenju govorio samo svojim učenicima usmeno, bez ikakvih beleški, držeći to u tajnosti. Nažalost, nastava najveći filozof nije opstala do danas. Nešto je iscurilo iz toga, ali nemoguće je reći koliko je istinito, a koliko lažno u onome što se saznalo. Čak i sa istorijom Pitagorine teoreme, nije sve sigurno. Povjesničari matematike sumnjaju u Pitagorino autorstvo; po njihovom mišljenju, teorema je korištena mnogo stoljeća prije njegovog rođenja.

Pitagorina teorema

Možda izgleda čudno, ali istorijske činjenice nema dokaza o teoremi od samog Pitagore - ni u arhivima ni u bilo kojim drugim izvorima. U modernoj verziji vjeruje se da pripada nikom drugom nego samom Euklidu.

Postoje dokazi jednog od najvećih istoričara matematike, Moritza Kantora, koji je otkrio na papirusu pohranjenom u Berlinskom muzeju, a koji su zapisali Egipćani oko 2300. godine prije Krista. e. jednakosti, koja glasi: 3² + 4² = 5².

Kratka istorija Pitagorine teoreme

Formulacija teoreme iz euklidskih “Principa”, u prijevodu, zvuči isto kao u modernoj interpretaciji. U njenom čitanju nema ničeg novog: kvadrat stranice nasuprot pravog ugla, jednak zbiru kvadrati stranica susednih pravom uglu. Činjenica da su drevne civilizacije Indije i Kine koristile teoremu potvrđuje rasprava „Zhou - bi suan jin“. Sadrži informacije o egipatskom trouglu, koji opisuje omjer stranica kao 3:4:5.

Ništa manje zanimljiva je još jedna kineska matematička knjiga, "Chu Pei", koja također spominje pitagorejski trokut s objašnjenjima i crtežima koji se poklapaju sa crtežima hinduističke geometrije od Bašare. O samom trokutu, knjiga kaže da ako se pravi ugao može rastaviti na njegove sastavne dijelove, tada će prava koja spaja krajeve stranica biti jednaka pet ako je osnova jednaka tri, a visina četiri .

Indijska rasprava "Sulva Sutra", koja datira otprilike iz 7.-5. vijeka prije nove ere. e., govori o izgradnji pravi ugao koristeći egipatski trokut.

Dokaz teoreme

U srednjem vijeku učenici su smatrali da je dokazivanje teoreme preteško. Slabi učenici su naučili teoreme napamet, a da nisu shvatili značenje dokaza. S tim u vezi, dobili su nadimak “magarci”, jer je Pitagorina teorema za njih bila nepremostiva prepreka, poput mosta za magarca. U srednjem vijeku učenici su smislili šaljivi stih na temu ove teoreme.

Da biste na najlakši način dokazali Pitagorinu teoremu, trebali biste jednostavno izmjeriti njene stranice, bez korištenja koncepta površina u dokazu. Dužina stranice nasuprot pravog ugla je c, a uz nju a i b, kao rezultat dobijamo jednačinu: a 2 + b 2 = c 2. Ova tvrdnja, kao što je gore spomenuto, potvrđuje se mjerenjem dužina stranica pravokutnog trougla.

Ako počnemo dokaz teoreme razmatranjem površine pravokutnika izgrađenih na stranicama trokuta, možemo odrediti površinu cijele figure. Ona će biti jednaka površini kvadrata sa stranicom (a+b), a s druge strane, zbiru površina četiri trokuta i unutrašnjeg kvadrata.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , što je trebalo dokazati.

Praktični značaj Pitagorine teoreme je da se može koristiti za pronalaženje dužina segmenata bez njihovog mjerenja. Prilikom izgradnje konstrukcija izračunavaju se razmaci, postavljanje nosača i greda, te određuju težišta. Pitagorina teorema se primjenjuje na sve moderne tehnologije. Nisu zaboravili na teoremu prilikom kreiranja filmova u 3D-6D dimenzijama, gdje se pored tri dimenzije na koje smo navikli uzimaju u obzir: visina, dužina, širina, vrijeme, miris i ukus. Pitate se kako su ukusi i mirisi povezani sa teoremom? Sve je vrlo jednostavno – prilikom prikazivanja filma treba izračunati gdje i kakve mirise i okuse režirati u gledalištu.

To je samo početak. Neograničen prostor za otkrivanje i stvaranje novih tehnologija čeka radoznale umove.

Pitagorina teorema: Zbir površina kvadrata oslonjenih na noge ( a I b), jednak površini kvadrata izgrađenog na hipotenuzi ( c).

Geometrijska formulacija:

Teorema je prvobitno bila formulirana na sljedeći način:

Algebarska formulacija:

To jest, označavajući dužinu hipotenuze trokuta sa c, i dužine nogu kroz a I b :

a 2 + b 2 = c 2

Obje formulacije teoreme su ekvivalentne, ali druga formulacija je elementarnija; ne zahtijeva koncept površine. To jest, drugi iskaz se može provjeriti bez poznavanja površine i mjerenjem samo dužina stranica pravouglog trougla.

Obratna Pitagorina teorema:

Dokaz

On ovog trenutka U naučnoj literaturi je zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno je Pitagorina teorema jedina teorema sa tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost se može objasniti samo fundamentalnim značajem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi (na primjer, korištenjem diferencijalnih jednadžbi).

Kroz slične trouglove

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji dokaz, konstruiran direktno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravougaoni trougao sa pravim uglom C. Nacrtajmo visinu iz C i označimo njegovu bazu sa H. Trougao ACH slično trokutu ABC na dva ugla. Isto tako, trougao CBH slično ABC. Uvođenjem notacije

dobijamo

Šta je ekvivalentno

Sabirajući to, dobijamo

Dokaz korištenjem metode površine

Dokazi u nastavku, uprkos njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopšte nisu tako jednostavni. Svi oni koriste svojstva površine, čiji je dokaz složeniji od dokaza same Pitagorine teoreme.

Dokaz putem ekvikomplementacije

1. Rasporedimo četiri jednaka pravougla trougla kao što je prikazano na slici 1.
2. Četvorougao sa stranicama c je kvadrat, budući da je zbir dva oštri uglovi 90°, a rasklopljeni ugao je 180°.
3. Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom (a + b), as druge strane zbiru površina četiri trokuta i dva unutrašnja kvadrata.

Q.E.D.

Dokazi kroz ekvivalenciju

Elegantan dokaz pomoću permutacije

Primjer jednog takvog dokaza prikazan je na crtežu desno, gdje je kvadrat izgrađen na hipotenuzi preuređen u dva kvadrata izgrađena na stranicama.

Euklidov dokaz

Crtež za Euklidov dokaz

Ilustracija za Euklidov dokaz

Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovina površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovina površina kvadrata izgrađenih na katovima, a zatim površina veliki i dva mala kvadrata su jednaki.

Pogledajmo crtež lijevo. Na njemu smo konstruisali kvadrate na stranicama pravouglog trougla i povukli zrak s iz vrha pravog ugla C okomito na hipotenuzu AB, on seče kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravougaonika - BHJI i HAKJ, respektivno. Ispada da su površine ovih pravougaonika tačno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim kracima.

Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravougaonika AHJK. Da bismo to učinili, koristit ćemo pomoćno zapažanje: Površina trokuta sa istom visinom i osnovom kao dati pravougaonik jednak je polovini površine datog pravougaonika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao pola proizvoda osnove i visine. Iz ovog zapažanja proizilazi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazano na slici), što je zauzvrat jednako polovini površine pravokutnika AHJK.

Dokažimo sada da je površina trougla ACK jednaka polovini površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (pošto je površina trokuta BDA jednaka polovini površine kvadrata prema gornjoj osobini). Jednakost je očigledna, trokuti su jednaki sa obe strane i ugao između njih. Naime - AB=AK,AD=AC - jednakost uglova CAK i BAD lako je dokazati metodom kretanja: trougao CAK rotiramo za 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je očigledno da su odgovarajuće stranice dva trokuta u pitanje će se poklopiti (zbog činjenice da je ugao na vrhu kvadrata 90°).

Obrazloženje za jednakost površina kvadrata BCFG i pravougaonika BHJI je potpuno slično.

Tako smo dokazali da se površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi sastoji od površina kvadrata izgrađenih na katetama. Ideja koja stoji iza ovog dokaza dodatno je ilustrovana gornjom animacijom.

Dokaz o Leonardu da Vinčiju

Dokaz o Leonardu da Vinčiju

Glavni elementi dokaza su simetrija i kretanje.

Razmotrimo crtež, kao što se može vidjeti iz simetrije, segment CI seče kvadrat ABHJ na dva identična dijela (pošto trouglovi ABC I JHI jednaka u konstrukciji). Koristeći rotaciju od 90 stepeni suprotno od kazaljke na satu, vidimo jednakost osenčenih figura CAJI I GDAB . Sada je jasno da je površina figure koju smo zasjenili jednaka zbroju polovice površina kvadrata izgrađenih na nogama i površine originalnog trokuta. S druge strane, jednaka je polovini površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi, plus površina originalnog trokuta. Poslednji korak u dokazivanju prepušten je čitaocu.

Dokaz infinitezimalnom metodom

Sljedeći dokaz korištenjem diferencijalnih jednačina često se pripisuje poznatom engleskom matematičaru Hardiju, koji je živio u prvoj polovini 20. stoljeća.

Gledajući crtež prikazan na slici i promatrajući promjenu strane a, možemo napisati sljedeću relaciju za beskonačno male bočne priraštaje With I a(koristeći sličnost trokuta):

Dokaz infinitezimalnom metodom

Koristeći metodu razdvajanja varijabli, nalazimo

Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju priraštaja na obje strane

Integracijom ove jednadžbe i korištenjem početni uslovi, dobijamo

c 2 = a 2 + b 2 + konstanta.

Tako dolazimo do željenog odgovora

c 2 = a 2 + b 2 .

Kao što je lako vidjeti, kvadratna zavisnost u konačnoj formuli nastaje zbog linearne proporcionalnosti između stranica trougla i prirasta, dok je zbir povezan sa nezavisnim doprinosima prirasta različitih kateta.

Jednostavniji dokaz se može dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživljava prirast (u ovom slučaju krak b). Tada za integracijsku konstantu dobijamo

Varijacije i generalizacije

• Ako umjesto kvadrata konstruiramo druge slične figure na stranicama, tada je tačna sljedeća generalizacija Pitagorine teoreme: U pravokutnom trokutu, zbir površina sličnih figura izgrađenih na stranicama jednak je površini figure izgrađene na hipotenuzi. posebno:
  • Zbir površina pravilnih trouglova izgrađenih na katetama jednak je površini pravilnog trougla izgrađenog na hipotenuzi.
  • Zbir površina polukrugova izgrađenih na kracima (kao na prečniku) jednak je površini polukruga izgrađenog na hipotenuzi. Ovaj primjer se koristi za dokazivanje svojstava figura omeđenih lukovima dvije kružnice i nazvanih Hipokratova lunula.

Priča

Chu-pei 500–200 pne. Na lijevoj strani je natpis: zbir kvadrata dužina visine i osnove je kvadrat dužine hipotenuze.

Drevna kineska knjiga Chu-pei govori o pitagorinom trouglu sa stranicama 3, 4 i 5: Ista knjiga nudi crtež koji se poklapa s jednim od crteža hinduističke geometrije Bašare.

Cantor (najveći njemački istoričar matematike) vjeruje da je jednakost 3² + 4² = 5² bila poznata Egipćanima već oko 2300. godine prije Krista. e., u vrijeme kralja Amenemheta I (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonaptes, ili "vlagači užeta", gradili su prave uglove koristeći pravokutne trouglove sa stranicama 3, 4 i 5.

Vrlo je lako reproducirati njihov način gradnje. Uzmimo konopac dužine 12 m i za njega vežemo traku u boji na udaljenosti od 3 m. sa jednog kraja i 4 metra od drugog. Pravi ugao će biti zatvoren između stranica dužine 3 i 4 metra. Harpedonaptima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se koristi, na primjer, drveni kvadrat, koji koriste svi stolari. Zaista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolarsku radionicu.

Nešto više se zna o Pitagorinoj teoremi kod Babilonaca. U jednom tekstu koji datira iz vremena Hamurabija, odnosno 2000. godine prije Krista. e., dat je približan proračun hipotenuze pravouglog trougla. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi proračune s pravokutnim trokutima, barem u nekim slučajevima. Na osnovu, s jedne strane, sadašnjeg nivoa znanja o egipatskoj i babilonskoj matematici, as druge, na kritičkom proučavanju grčkih izvora, Van der Waerden (holandski matematičar) došao je do sljedećeg zaključka:

Književnost

Na ruskom

• Skopets Z. A. Geometrijske minijature. M., 1990
• Elensky Shch. Tragom Pitagore. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Awakening Science. Matematika Drevni Egipat, Babilona i Grčke. M., 1959
• Glazer G.I. Istorija matematike u školi. M., 1982
• W. Litzman, “Pitagorina teorema” M., 1960.
  • Stranica o Pitagorinoj teoremi sa velikim brojem dokaza, materijal preuzet iz knjige V. Litzmanna, veliki broj crteži su predstavljeni u obliku zasebnih grafičkih datoteka.
• Pitagorina teorema i Pitagorine trostruke poglavlje iz knjige D. V. Anosova "Pogled na matematiku i nešto iz nje"
• O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokazivanja G. Glaser, akademik Ruske akademije obrazovanja, Moskva

Na engleskom

• Pitagorina teorema na WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, dio o Pitagorinoj teoremi, oko 70 dokaza i opsežne dodatne informacije (engleski)

Wikimedia fondacija. 2010.

Pitagorina teorema je najvažnija izjava geometrije. Teorema je formulirana na sljedeći način: površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na njegovim kracima.

Otkriće ove izjave obično se pripisuje starogrčki filozof i matematičar Pitagora (VI vek pne). Ali proučavanje babilonskih klinopisnih ploča i drevnih kineskih rukopisa (kopije još starijih rukopisa) pokazalo je da je ova izjava bila poznata mnogo prije Pitagore, možda milenijum prije njega. Pitagorina zasluga je u tome što je otkrio dokaz ove teoreme.

Vjerovatno je da je činjenica navedena u Pitagorinoj teoremi prvo ustanovljena za jednakokračne pravokutne trougle. Pogledajte samo mozaik crnih i svijetlih trouglova prikazan na Sl. 1, da se provjeri valjanost teoreme za trokut: kvadrat izgrađen na hipotenuzi sadrži 4 trokuta, a kvadrat koji sadrži 2 trokuta izgrađen je na svakoj strani. Da dokažem opšti slučaj u Ancient India postavljeni su na dva načina: u kvadratu sa stranicom prikazali su četiri pravougaona trougla sa kracima dužine i (sl. 2, a i 2, b), nakon čega su napisali jednu riječ "Pogledaj!" I zaista, gledajući ove crteže, vidimo da se na lijevoj strani nalazi lik bez trokuta, koji se sastoji od dva kvadrata sa stranicama i, shodno tome, njegova površina je jednaka , a desno je kvadrat sa stranom - njegova površina je jednaka . To znači da ovo predstavlja izjavu Pitagorine teoreme.

Međutim, dve hiljade godina nije se koristio ovaj vizuelni dokaz, već složeniji dokaz koji je izmislio Euklid, a koji se nalazi u njegovoj čuvenoj knjizi "Elementi" (vidi Euklid i njegovi "Elementi"), Euklid je spustio visinu iz vrha pravog ugla na hipotenuzu i dokazao , da njegov nastavak dijeli kvadrat izgrađen na hipotenuzi na dva pravokutnika, čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na katetama (slika 3). Crtež koji se koristi za dokazivanje ove teoreme u šali se naziva "pitagorine pantalone". Dugo se smatrao jednim od simbola matematičke nauke.

Danas je poznato nekoliko desetina različitih dokaza Pitagorine teoreme. Neki od njih se zasnivaju na podjeli kvadrata, u kojoj se kvadrat izgrađen na hipotenuzi sastoji od dijelova uključenih u pregrade kvadrata izgrađenih na katetama; ostali - na dopuni jednakim brojkama; treći - na činjenici da visina spuštena od vrha pravog ugla do hipotenuze dijeli pravokutni trokut na dva njemu slična trokuta.

Pitagorina teorema leži u osnovi većine geometrijskih proračuna. Čak se i u starom Vavilonu koristio za izračunavanje dužine visine jednakokračnog trokuta iz dužine osnove i stranice, strelice segmenta iz prečnika kruga i dužine tetive i uspostavljanje odnosa između elemenata nekih pravilnih poligona. Koristeći Pitagorinu teoremu, dokazujemo njegovu generalizaciju, koja nam omogućava da izračunamo dužinu stranice koja leži nasuprot oštrom ili tupom kutu:

Iz ove generalizacije proizilazi da prisustvo pravog ugla u nije samo dovoljan, već i neophodan uslov da bi jednakost bila zadovoljena. Iz formule (1) slijedi relacija između dužina dijagonala i stranica paralelograma, uz pomoć kojih je lako pronaći dužinu medijane trokuta iz dužina njegovih stranica.

Na osnovu Pitagorine teoreme, izvedena je formula koja izražava površinu bilo kojeg trokuta kroz dužine njegovih stranica (vidi Heronovu formulu). Naravno, Pitagorina teorema je također korištena za rješavanje raznih praktičnih problema.

Umjesto kvadrata, možete izgraditi bilo koje slične figure na stranicama pravokutnog trokuta ( jednakostranični trouglovi, polukrugovi, itd.). U ovom slučaju, površina figure izgrađene na hipotenuzi jednaka je zbroju površina figura izgrađenih na nogama. Još jedna generalizacija povezana je s prijelazom iz ravni u prostor. Formulira se na sljedeći način: kvadrat dužine dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbroju kvadrata njegovih dimenzija (dužine, širine i visine). Slična teorema je istinita u višedimenzionalnim, pa čak i beskonačno-dimenzionalnim slučajevima.

Pitagorina teorema postoji samo u euklidskoj geometriji. Ne javlja se ni u geometriji Lobačevskog ni u drugim neeuklidskim geometrijama. Ne postoji analog Pitagorine teoreme o sferi. Dva meridijana koji formiraju ugao od 90°, a ekvator na sferi vezuje jednakostranični sferni trougao, od kojih su sva tri ugla pravi uglovi. Za njega, ne kao u avionu.

Koristeći Pitagorinu teoremu, izračunajte udaljenost između tačaka i koordinatne ravni koristeći formulu

.

Nakon što je otkrivena Pitagorina teorema, postavilo se pitanje kako pronaći sve trojke prirodnih brojeva koji mogu biti stranice pravokutnih trougla (vidi Fermatov posljednji teorem). Otkrili su ih Pitagorejci, ali neke opće metode za pronalaženje takvih trojki brojeva već su poznavali Babilonci. Jedna od klinastih tableta sadrži 15 trojki. Među njima ima trojki koje se sastoje od toliko mnogo veliki brojevi, da ne može biti govora o njihovom pronalaženju odabirom.

Hipokratova jama

Hipokratove lune su figure omeđene lukovima dva kruga, i, osim toga, takve da se pomoću poluprečnika i dužine zajedničke tetive ovih krugova, pomoću šestara i ravnala, mogu konstruisati kvadrati jednake veličine.

Iz generalizacije Pitagorine teoreme na polukrugove, slijedi da je zbir površina ružičastih grudica prikazanih na slici lijevo jednak površini plavog trokuta. Stoga, ako uzmete jednakokraki pravokutni trokut, dobit ćete dvije rupe, od kojih će površina svake biti jednaka polovini površine trokuta. Pokušavajući da reši problem kvadrature kruga (vidi Klasični problemi antike), starogrčki matematičar Hipokrat (5. vek pre nove ere) pronašao je još nekoliko rupa, čije su površine izražene kao površine pravolinijskih figura.

Potpuna lista hipomarginalnih lunula dobijena je tek u 19.-20. stoljeću. zahvaljujući upotrebi metoda Galoisove teorije.

Jedna stvar u koju možete biti stopostotno sigurni je da će na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze, svaka odrasla osoba hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata nogu." Ova teorema je čvrsto ukorijenjena u glavama svake obrazovane osobe, ali samo treba zamoliti nekoga da to dokaže i mogu nastati poteškoće. Pa setimo se i razmotrimo Različiti putevi dokaz Pitagorine teoreme.

Kratka biografija

Pitagorina teorema poznata je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ju je donijela na svijet nije toliko popularna. Ovo se može popraviti. Stoga, prije nego što istražite različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme, morate nakratko upoznati njegovu ličnost.

Pitagora - filozof, matematičar, mislilac porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikog čovjeka. Ali, kao što slijedi iz djela njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na ostrvu Samos. Otac mu je bio običan kamenorezac, ali majka je bila iz plemićke porodice.

Sudeći po legendi, Pitagorino je rođenje predskazala žena po imenu Pitija, u čiju je čast dečak i dobio ime. Prema njenom predviđanju, rođeni dečak je trebalo da donese mnogo koristi i dobra čovečanstvu. To je upravo ono što je on uradio.

Rođenje teoreme

U mladosti, Pitagora se preselio u Egipat kako bi tamo upoznao poznate egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, dozvoljeno mu je studiranje, gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Vjerovatno je u Egiptu Pitagora bio inspiriran veličanstvom i ljepotom piramida i stvorio svoje velika teorija. Ovo može šokirati čitaoce, ali savremeni istoričari veruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Ali svoje znanje je samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije izvršili sve potrebne matematičke proračune.

Kako god bilo, danas nije poznata jedna metoda dokazivanja ove teoreme, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su tačno stari Grci izvodili svoje proračune, pa ćemo ovdje pogledati različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.

Pitagorina teorema

Prije nego počnete s bilo kakvim proračunima, morate shvatiti koju teoriju želite dokazati. Pitagorina teorema glasi ovako: "U trokutu u kojem je jedan od uglova 90°, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Postoji ukupno 15 različitih načina da se dokaže Pitagorina teorema. Ovo je prilično velik broj, pa ćemo obratiti pažnju na najpopularnije od njih.

Prvi metod

Prvo, hajde da definišemo šta nam je dato. Ovi podaci će se primijeniti i na druge metode dokazivanja Pitagorine teoreme, pa je vrijedno odmah zapamtiti sve dostupne notacije.

Pretpostavimo da nam je dat pravougli trokut sa katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokaza temelji se na činjenici da trebate nacrtati kvadrat iz pravokutnog trokuta.

Da biste to učinili, trebate dodati segment jednak kraku b dužini noge a, i obrnuto. Ovo bi trebalo rezultirati dvije jednake strane kvadrata. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije i kvadrat je spreman.

Unutar rezultirajuće figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova as i sv morate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka s. Tako dobijamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza prvobitnog pravokutnog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.

Na osnovu rezultirajuće figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da pored unutrašnjeg kvadrata postoje četiri pravokutna trougla. Površina svake je 0,5av.

Dakle, površina je jednaka: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Dakle (a+c) 2 =2ab+c 2

I, prema tome, c 2 =a 2 +b 2

Teorema je dokazana.

Drugi metod: slični trouglovi

Ova formula za dokazivanje Pitagorine teoreme izvedena je na osnovu iskaza iz odeljka geometrije o sličnim trouglovima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta prosjek proporcionalan njegovoj hipotenuzi i segmentu hipotenuze koji izlazi iz vrha ugla od 90°.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo segment CD okomit na stranicu AB. Na osnovu gornje tvrdnje, stranice trokuta su jednake:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Da bi se odgovorilo na pitanje kako dokazati Pitagorinu teoremu, dokaz se mora završiti kvadriranjem obje nejednačine.

AC 2 = AB * AD i CB 2 = AB * DV

Sada moramo sabrati rezultirajuće nejednakosti.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), gdje je AD + DV = AB

Ispada da:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

I zbog toga:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorine teoreme i razne načine njegova rješenja zahtijevaju višestrani pristup ovom problemu. Međutim, ova opcija je jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda proračuna

Opisi različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme možda neće ništa značiti dok sami ne počnete vježbati. Mnoge tehnike uključuju ne samo matematičke proračune, već i konstrukciju novih figura iz originalnog trougla.

U ovom slučaju potrebno je popuniti još jedan pravokutni trokut VSD sa stranice BC. Dakle, sada postoje dva trougla sa zajedničkim krakom BC.

Znajući da površine sličnih figura imaju omjer kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, tada:

S avs * c 2 - S avd * u 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Budući da od različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme za 8. razred, ova opcija nije prikladna, možete koristiti sljedeću metodu.

Najlakši način da se dokaže Pitagorina teorema. Recenzije

Prema istoričarima, ova metoda je prvi put korištena za dokazivanje teoreme antičke Grčke. Najjednostavniji je, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve proračune. Ako pravilno nacrtate sliku, onda će se jasno vidjeti dokaz tvrdnje da a 2 + b 2 = c 2.

Uslovi za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodne. Da bismo dokazali teoremu, pretpostavimo da je pravougli trokut ABC jednakokrak.

Uzimamo hipotenuzu AC kao stranu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne linije u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trougla.

Također morate nacrtati kvadrat na katete AB i CB i nacrtati po jednu dijagonalnu ravnu liniju u svakoj od njih. Crtamo prvu liniju iz temena A, drugu iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Kako na hipotenuzi AC postoje četiri trokuta jednaka originalnom, a na stranicama dva, to ukazuje na istinitost ove teoreme.

Inače, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorine teoreme, poznata fraza: “Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima.”

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio trag u istoriji kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadareni samodidakt.

Na početku svoje karijere bio je običan nastavnik u javnoj školi, ali je ubrzo postao direktor jedne od najviših obrazovne institucije. Želja za samorazvojom omogućila mu je da predloži novu teoriju za dokazivanje Pitagorine teoreme. Teorema i primjer njenog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhovi ovih trouglova moraju biti povezani da bi se na kraju formirao trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih baza i visine.

S=a+b/2 * (a+b)

Ako dobijeni trapez smatramo figurom koja se sastoji od tri trokuta, tada se njegova površina može naći na sljedeći način:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Sada treba da izjednačimo dva originalna izraza

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokazivanja moglo bi se napisati više od jedne knjige. nastavno pomagalo. Ali ima li smisla u tome kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorine teoreme

Nažalost, savremeni školski programi predviđaju upotrebu ove teoreme samo u geometrijski problemi. Maturanti će uskoro napustiti školu ne znajući kako svoje znanje i vještine primijeniti u praksi.

U stvari, koristite Pitagorinu teoremu u svom Svakodnevni život svi mogu. I ne samo u profesionalna aktivnost, ali i u običnim kućnim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorina teorema i metode njenog dokazivanja mogu biti izuzetno potrebni.

Odnos između teoreme i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trouglovi na papiru mogu povezati. Zapravo, astronomija je naučna oblast u kojoj se Pitagorina teorema široko koristi.

Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosnog snopa u prostoru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Nazovimo putanju AB duž koje se svjetlosni zrak kreće l. I nazovimo pola vremena koje je potrebno svjetlosti da stigne od tačke A do tačke B t. I brzinu zraka - c. Ispada da: c*t=l

Ako pogledate ovu istu zraku iz druge ravni, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će se pri promatranju tijela na ovaj način njihova brzina promijeniti. U ovom slučaju, čak i nepokretni elementi će se početi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da strip brod plovi udesno. Tada će se tačke A i B, između kojih snop juri, početi pomicati ulijevo. Štaviše, kada se snop kreće od tačke A do tačke B, tačka A ima vremena da se pomeri i, shodno tome, svetlost će već stići u novu tačku C. Da biste pronašli polovinu udaljenosti za koju se tačka A pomerila, morate pomnožiti brzina košuljice za polovinu vremena putovanja snopa (t").

A da biste pronašli koliko daleko zrak svjetlosti može putovati za to vrijeme, trebate označiti pola puta novim slovom s i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne tačke C i B, kao i linija prostora, vrhovi jednakokračnog trougla, tada će ga odsječak od tačke A do linije podijeliti na dva pravokutna trougla. Stoga, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi, možete pronaći udaljenost koju zrak svjetlosti može prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo rijetki mogu imati sreće da ga isprobaju u praksi. Stoga, razmotrimo uobičajenije primjene ove teoreme.

Domet prijenosa mobilnog signala

Savremeni život se više ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali kolika bi im bila korist da ne mogu povezati pretplatnike putem mobilnih komunikacija?!

Kvaliteta mobilnih komunikacija direktno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena mobilnog operatera. Da biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorinu teoremu.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja kako bi mogao distribuirati signal u radijusu od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Primjenom Pitagorine teoreme saznajemo da bi minimalna visina tornja trebala biti 2,3 kilometra.

Pitagorina teorema u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorina teorema može biti korisna čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih proračuna, jer možete jednostavno mjeriti pomoću mjerne trake. Ali mnogi ljudi se pitaju zašto nastaju određeni problemi tokom procesa montaže ako su sva mjerenja uzeta više nego precizno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u horizontalnom položaju, a tek onda podiže i postavlja uza zid. Stoga, tokom procesa podizanja konstrukcije, strana ormara mora se slobodno kretati i po visini i po dijagonali prostorije.

Pretpostavimo da postoji ormar dubine 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja će reći da visina ormarića treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

Sa idealnim dimenzijama ormara, provjerimo rad Pitagorine teoreme:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - sve odgovara.

Recimo da visina ormarića nije 2474 mm, već 2505 mm. onda:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije pogodan za ugradnju u ovu prostoriju. Jer podizanje u vertikalni položaj može oštetiti njegovo tijelo.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme od strane različitih naučnika, možemo zaključiti da je ona i više nego istinita. Sada možete koristiti primljene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi proračuni biti ne samo korisni, već i ispravni.