Laboratorija za svemirska istraživanja. Šta znači riječ "fraktal"?

Fraktalni primjer

„Fraktal“ su matematičari uveli u upotrebu pre manje od pola veka, a ubrzo je, uz sinergiju i atraktor, postao jedan od „tri stuba“ mlade Teorije determinističkog haosa, a danas je već prepoznat kao jedan od osnovnih elemenata strukture univerzuma.

WITH latinska riječ fractus je prevedena kao "pokvaren", moderan latinski jezici dao mu značenje "pocepan". Fraktal je nešto što je identično cjelini/veći čiji je dio, a istovremeno kopira svaki svoj komponenta. Dakle, „fraktalnost“ je beskonačna sličnost „svega“ sa njegovim komponentama, odnosno to je samosličnost na bilo kom nivou. Svaki nivo fraktalne grane naziva se „iteracija“; što je razvijeniji opisani ili grafički prikazani sistem, posmatrač vidi više fraktalnih iteracija. U ovom slučaju, tačka u kojoj dolazi do podjele (na primjer, deblo na grane, rijeka na dva toka, itd.) naziva se točka bifurkacije.

Termin fraktus odabrao ga je matematičar Benoit Mandelbrot 1975. da opiše naučno otkriće i postao je popularan nekoliko godina kasnije nakon što je razvio temu za širu publiku u svojoj knjizi Fraktalna geometrija prirode.

Danas je fraktal nadaleko poznat kao fantastični obrasci takozvane “fraktalne umjetnosti” kreirane kompjuterskim programima. Ali uz pomoć kompjutera možete generirati ne samo prekrasne apstraktne slike, već i vrlo uvjerljive prirodne pejzaže - planine, rijeke, šume. Ovdje je, zapravo, točka prijelaza između nauke i stvarnog života, ili obrnuto, ako pretpostavimo da ih je općenito moguće razdvojiti.

Činjenica je da fraktalni princip pogodan ne samo za opisivanje otkrića u egzaktnim naukama. To je, prije svega, princip strukture i razvoja same prirode. Sve oko nas su fraktali! Najočitija grupa primera su reke sa pritokama, venski sistem sa kapilarima, munje, mrazovi, drveće... U novije vreme naučnici, testirajući fraktalna teorija, eksperimentalno su potvrdili da se na osnovu dijagrama jednog stabla može izvući zaključak o šumskom području na kojem to drveće raste. Drugi primjeri fraktalnih grupa: atom - molekula - planetarni sistem - Sunčev sistem - galaksije - univerzum... Minut - sat - dan - sedmica - mjesec - godina - vek... Čak se i zajednica ljudi organizuje prema principima fraktalnost: ja - porodica - klan - nacionalnost - nacionalnosti - rase... Pojedinac - grupa - stranka - država. Zaposleni - odjel - odjel - preduzeće - koncern... Čak su i božanski panteoni različitih religija izgrađeni na istom principu, uključujući i kršćanstvo: Bog Otac - Trojstvo - sveci - crkva - vjernici, a da ne spominjemo organizaciju božanskih panteona paganske religije.

Priča navodi da su samoslični skupovi prvi put uočeni u 19. veku u delima naučnika - Poincaréa, Fatoua, Julia, Cantora, Hausdorffa, ali istina je da su nam već paganski Sloveni ostavili dokaz da su ljudi individualno postojanje shvatali kao mali detalj u beskonačnosti univerzuma. Ovo je predmet narodne kulture nazvan "pauk", koji su proučavali istoričari umetnosti Belorusije i Ukrajine. On je svojevrsni prototip skulpture moderan stil"mobilni" (dijelovi su unutra stalno kretanje jedni prema drugima). “Pauk” je često napravljen od slame, sastoji se od malih, srednjih i velikih elemenata istog oblika, okačenih jedan na drugi tako da svaki manji dio tačno ponavlja veći i cijelu strukturu u cjelini. Ovaj dizajn je okačen u glavni kut kuće, kao da označava svoj dom kao element cijelog svijeta.

Teorija fraktalnosti danas funkcioniše svuda, uključujući i filozofiju, koja kaže da tokom svakog života, i bilo kog i čitavog života u celini, fraktala, dolazi do „tačaka bifurkacije“, kada više visoki nivoi razvoj može ići različitim putevima i trenutak kada se osoba „nađe pred izborom“ je prava „tačka bufurkacije“ u fraktalima njegovog života.

Teorija determinističkog haosa kaže da razvoj svakog fraktala nije beskonačan. Naučnici vjeruju da u određenom trenutku dolazi granica iza koje se zaustavlja rast iteracija i fraktal počinje da se „sužava“, postepeno dostižući svoju prvobitnu jediničnu meru, a zatim se proces ponovo odvija u krug – slično udisanju i izdisanju, promjene jutra i noći, zime i ljeta u prirodi.

Najviše briljantna otkrića u nauci može radikalno promijeniti ljudski život. Izmišljena vakcina može spasiti milione ljudi; stvaranje oružja, naprotiv, oduzima ove živote. U skorije vrijeme (na ljestvici ljudske evolucije) naučili smo "ukrotiti" električnu energiju - a sada ne možemo zamisliti život bez svih ovih zgodnih uređaja koji koriste električnu energiju. Ali postoje i otkrića kojima malo ko pridaje značaj, iako i ona uveliko utiču na naše živote.

Jedno od ovih “neupadljivih” otkrića su fraktali. Vjerovatno ste već čuli ovu privlačnu riječ, ali znate li šta ona znači i koliko se zanimljivih informacija krije u ovom pojmu?

Svaka osoba ima prirodnu radoznalost, želju da razumije svijet oko sebe. I u tom nastojanju osoba pokušava da se pridržava logike u prosudbama. Analizirajući procese koji se odvijaju oko njega, pokušava pronaći logiku onoga što se dešava i izvući neki obrazac. Najveći umovi na planeti zauzeti su ovim zadatkom. Grubo govoreći, naučnici traže obrazac tamo gdje ga ne bi trebalo biti. Ipak, čak i u haosu moguće je pronaći veze između događaja. A ova veza je fraktalna.

Naša kćerkica, stara četiri i po godine, sada je u onoj divnoj dobi kada se broj pitanja “Zašto?” višestruko premašuje broj odgovora koje odrasli uspijevaju dati. Ne tako davno, dok je ispitivala granu podignutu od zemlje, moja ćerka je iznenada primetila da ova grana sa svojim grančicama i granama liči na drvo. I, naravno, uslijedilo je uobičajeno pitanje “Zašto?”, na koje su roditelji morali tražiti jednostavno objašnjenje koje bi dijete moglo razumjeti.

Sličnost jedne grane sa cijelim stablom koju je otkrilo dijete vrlo je točno zapažanje, što još jednom svjedoči o principu rekurzivne samosličnosti u prirodi. Mnogi organski i neorganski oblici u prirodi nastaju na sličan način. Oblaci, morske školjke, puževa „kuća“, kora i krošnje drveća, cirkulatorni sistem i tako dalje – nasumični oblici svih ovih objekata mogu se opisati fraktalnim algoritmom.

⇡ Benoit Mandelbrot: otac fraktalne geometrije

Sama riječ "fraktal" pojavila se zahvaljujući briljantnom naučniku Benoit B. Mandelbrotu.

On je sam skovao taj termin 1970-ih, pozajmivši riječ fractus iz latinskog, gdje ona doslovno znači "slomljen" ili "zgnječen". Šta je? Danas riječ “fraktal” najčešće označava grafički prikaz strukture koja je u većoj mjeri slična samoj sebi.

Matematička osnova za nastanak teorije fraktala postavljena je mnogo godina prije rođenja Benoita Mandelbrota, ali se mogla razviti tek s pojavom računarskih uređaja. Na početku svog naučna djelatnost Benoit je radio u IBM istraživačkom centru. U to vrijeme zaposleni u centru radili su na prenošenju podataka na daljinu. Tokom istraživanja, naučnici su se suočili sa problemom velikih gubitaka koji nastaju zbog smetnji buke. Benoit je bio suočen s teškim i vrlo važnim zadatkom - razumjeti kako predvidjeti pojavu smetnji buke u elektronska kola kada se statistička metoda pokaže neefikasnom.

Gledajući rezultate mjerenja buke, Mandelbrot je primijetio jedan čudan obrazac - grafovi buke na različitim skalama izgledali su isto. Uočen je identičan obrazac bez obzira da li se radi o grafu buke za jedan dan, sedmicu ili sat. Bilo je potrebno promijeniti skalu grafikona, a slika se svaki put ponavljala.

Tokom svog života, Benoit Mandelbrot je više puta govorio da nije proučavao formule, već se jednostavno igrao slikama. Ovaj čovjek je razmišljao vrlo slikovito, i svaki algebarski problem preveo u oblast geometrije, gdje je, po njemu, tačan odgovor uvijek očigledan.

Nije iznenađujuće da je upravo čovjek s tako bogatom prostornom maštom postao otac fraktalne geometrije. Na kraju krajeva, svijest o suštini fraktala dolazi upravo kada počnete proučavati crteže i razmišljati o značenju čudnih vrtložnih obrazaca.

Fraktalni uzorak nema identične elemente, ali je sličan na bilo kojoj skali. Konstruirajte takvu sliku sa visok stepen Ručno detaljiranje je ranije bilo jednostavno nemoguće; zahtijevalo je ogromnu količinu proračuna. Na primjer, francuski matematičar Pierre Joseph Louis Fatou opisao je ovaj skup više od sedamdeset godina prije otkrića Benoita Mandelbrota. Ako govorimo o principima samosličnosti, oni su spomenuti u radovima Leibniza i Georga Cantora.

Jedan od prvih fraktalnih crteža bila je grafička interpretacija Mandelbrotovog skupa, koja je nastala zahvaljujući istraživanju Gastona Maurice Julia.

Gaston Julia (uvijek nosi masku - povreda iz Prvog svjetskog rata)

Ovaj francuski matematičar se pitao kako bi skup izgledao da je konstruisan iz jednostavne formule koja se ponavlja kroz povratnu petlju. Ako to objasnimo "na prstima", to znači da za određeni broj pronalazimo novu vrijednost pomoću formule, nakon čega je ponovo zamjenjujemo u formulu i dobivamo drugu vrijednost. Rezultat je veliki niz brojeva.

Da biste dobili potpunu sliku o takvom skupu, potrebno je izvršiti ogroman broj proračuna - stotine, hiljade, milione. To je bilo jednostavno nemoguće uraditi ručno. Ali kada su moćni računarski uređaji postali dostupni matematičarima, mogli su iznova pogledati formule i izraze koji su dugo bili interesantni. Mandelbrot je prvi koristio kompjuter za izračunavanje klasičnog fraktala. Nakon obrade niza koji se sastoji od velikog broja vrijednosti, Benoit je rezultate iscrtao na graf. To je ono što je dobio.

Nakon toga, ova slika je obojena (na primjer, jedna od metoda bojanja je po broju iteracija) i postala je jedna od najpopularnijih slika koje je čovjek ikada stvorio.

Kao što kaže drevna izreka koja se pripisuje Heraklitu iz Efeza: "Ne možete dvaput ući u istu rijeku." Savršeno je prikladan za tumačenje geometrije fraktala. Bez obzira koliko detaljno pogledamo fraktalnu sliku, uvijek ćemo vidjeti sličan obrazac.

Oni koji žele vidjeti kako bi slika Mandelbrotovog prostora izgledala kada je uvećana više puta, mogu to učiniti preuzimanjem animiranog GIF-a.

⇡ Lauren Carpenter: umjetnost koju je stvorila priroda

Teorija fraktala ubrzo je našla praktičnu primjenu. Budući da je usko povezan sa vizualizacijom samosličnih slika, nije iznenađujuće što su prvi usvojili algoritme i principe konstrukcije. neobičnih oblika, bilo je umjetnika.

Budući suosnivač legendarnog studija Pixar, Loren C. Carpenter, počeo je da radi 1967. u kompaniji Boeing Computer Services, koja je bila jedna od divizija poznate korporacije koja je razvijala nove avione.

Godine 1977. kreirao je prezentacije sa prototipovima letećih modela. Lorenove odgovornosti uključivale su razvoj slika aviona koji se dizajnira. Morao je da kreira slike novih modela, prikazujući buduće avione iz različitih uglova. U nekom trenutku, budući osnivač Pixar Animation Studios došao je na kreativnu ideju da koristi sliku planina kao pozadinu. Danas svaki školarac može riješiti takav problem, ali kasnih sedamdesetih godina prošlog stoljeća kompjuteri se nisu mogli nositi sa tako složenim proračunima - nije bilo grafičkih uređivača, a da ne spominjemo aplikacije za 3D grafiku. Godine 1978. Lauren je slučajno u radnji vidjela knjigu Benoita Mandelbrota Fraktali: Forma, slučajnost i dimenzija. U ovoj knjizi njegovu pažnju privukla je činjenica da je Benoit dao mnogo primjera fraktalnih oblika u pravi zivot i tvrdili da se mogu opisati matematičkim izrazom.

Ovu analogiju matematičar nije slučajno izabrao. Činjenica je da se, čim je objavio svoje istraživanje, morao suočiti sa čitavom salvom kritika. Glavna stvar koju su mu kolege zamjerile je beskorisnost teorije koja se razvija. „Da“, rekli su, „ovo su prelepe slike, ali ništa više. Teorija fraktala nema praktičnu vrijednost.” Bilo je i onih koji su općenito vjerovali da su fraktalni obrasci jednostavno nusproizvod rada “đavolskih mašina”, koji su se u kasnim sedamdesetim mnogima činili kao nešto previše složeno i neistraženo da bi im se moglo u potpunosti vjerovati. Mandelbrot je pokušao pronaći očigledne primjene za teoriju fraktala, ali u velikoj shemi stvari nije mu trebao. Tokom narednih 25 godina, sljedbenici Benoita Mandelbrota dokazali su ogromne prednosti takve "matematičke radoznalosti", a Lauren Carpenter je bila jedna od prvih koja je isprobala fraktalni metod u praksi.

Nakon proučavanja knjige, budući animator ozbiljno je proučavao principe fraktalne geometrije i počeo tražiti način da je implementira u kompjutersku grafiku. Za samo tri dana rada, Lauren je na svom kompjuteru uspeo da prikaže realističnu sliku planinskog sistema. Drugim riječima, formulama je naslikao potpuno prepoznatljiv planinski pejzaž.

Princip kojim je Lauren postigla svoj cilj bio je vrlo jednostavan. Sastojao se od dijeljenja većeg geometrijska figura na male elemente, a oni se pak dijele na slične manje figure.

Koristeći veće trouglove, Carpenter ih je podijelio na četiri manja, a zatim je ponavljao ovaj proces iznova i iznova dok nije dobio realističan planinski pejzaž. Tako je uspio postati prvi umjetnik koji je koristio fraktalni algoritam za konstruiranje slika u kompjuterskoj grafici. Čim se pročulo o djelu, entuzijasti širom svijeta preuzeli su tu ideju i počeli koristiti fraktalni algoritam za imitiranje realističnih prirodnih oblika.

Jedna od prvih 3D vizualizacija koristeći fraktalni algoritam

Samo nekoliko godina kasnije, Lauren Carpenter je bila u mogućnosti da svoje razvoje primeni u mnogo većem projektu. Animator je od njih napravio dvominutni demo Vol Libre, koji je prikazan na Siggraphu 1980. godine. Ovaj video je šokirao sve koji su ga vidjeli, a Lauren je dobila poziv od Lucasfilma.

Animacija je prikazana na VAX-11/780 kompjuteru kompanije Digital Equipment Corporation sa taktom od pet megaherca, a za svaki kadar je bilo potrebno oko pola sata.

Radeći za Lucasfilm Limited, animator je kreirao 3D pejzaže koristeći istu shemu za drugi cjelovečernji film u sagi Star Trek. U Khanovom gnjevu, Carpenter je uspio stvoriti cijelu planetu koristeći isti princip modeliranja fraktalne površine.

Trenutno sve popularne aplikacije za kreiranje 3D pejzaža koriste sličan princip za generiranje prirodnih objekata. Terragen, Bryce, Vue i drugi 3D uređivači oslanjaju se na fraktalni algoritam za modeliranje površina i tekstura.

⇡ Fraktalne antene: manje je više

U poslednjih pola veka život se ubrzano počeo menjati. Većina nas napredak moderne tehnologije uzima zdravo za gotovo. Vrlo brzo se naviknete na sve što čini život ugodnijim. Rijetko ko postavlja pitanja „Odakle je ovo došlo?“ i "Kako to funkcionira?" Mikrovalna pećnica zagrijava doručak - odlično, pametni telefon vam daje priliku da razgovarate s drugom osobom - odlično. Ovo nam se čini kao očigledna mogućnost.

Ali život je mogao biti potpuno drugačiji da osoba nije tražila objašnjenje za događaje koji se dešavaju. Uzmimo, na primjer, mobilne telefone. Sjećate li se uvlačivih antena na prvim modelima? Ometali su se, povećavali veličinu uređaja i na kraju često lomili. Vjerujemo da su zauvijek potonuli u zaborav, a dio razloga za to su... fraktali.

Fraktalni obrasci fasciniraju svojim šarama. Definitivno podsjećaju na slike kosmičkih objekata - magline, jata galaksija i tako dalje. Stoga je sasvim prirodno da kada je Mandelbrot iznio svoju teoriju fraktala, njegovo istraživanje je izazvalo povećan interes među onima koji su proučavali astronomiju. Jedan od ovih amatera po imenu Nathan Cohen, nakon što je prisustvovao predavanju Benoita Mandelbrota u Budimpešti, bio je inspiriran idejom ​​praktične primjene stečenog znanja. Istina, učinio je to intuitivno, a slučaj je odigrao važnu ulogu u njegovom otkriću. Kao radio-amater, Nathan je nastojao stvoriti antenu sa najvećom mogućom osjetljivošću.

Jedini način da se poboljšaju parametri antene, koji je tada bio poznat, bio je povećanje njenih geometrijskih dimenzija. Međutim, vlasnik nekretnine u centru Bostona koju je Nathan iznajmio bio je kategorički protiv postavljanja velikih uređaja na krov. Tada je Nathan počeo eksperimentirati s različitim oblicima antena, pokušavajući postići maksimalni rezultat uz minimalnu veličinu. Inspiriran idejom fraktalnih formi, Cohen je, kako kažu, nasumično napravio jedan od najpoznatijih fraktala od žice - "Koch pahuljicu". Švedski matematičar Helge von Koch osmislio je ovu krivu još 1904. godine. Dobiva se podjelom segmenta na tri dijela i zamjenom srednjeg segmenta jednakostraničnim trouglom bez stranice koja se poklapa s tim segmentom. Definiciju je malo teško razumjeti, ali na slici je sve jasno i jednostavno.

Postoje i druge varijacije Kochove krive, ali približan oblik krivulje ostaje sličan

Kada je Nathan spojio antenu na radio prijemnik, bio je veoma iznenađen - osjetljivost se dramatično povećala. Nakon niza eksperimenata, budući profesor na Univerzitetu u Bostonu shvatio je da antena napravljena po fraktalnom uzorku ima visoku efikasnost i pokriva mnogo širi frekventni opseg u odnosu na klasična rješenja. Osim toga, oblik antene u obliku fraktalne krivulje omogućava značajno smanjenje geometrijskih dimenzija. Nathan Cohen je čak smislio teoremu koja dokazuje da je za stvaranje širokopojasne antene dovoljno dati joj oblik samoslične fraktalne krive.

Autor je patentirao svoje otkriće i osnovao kompaniju za razvoj i dizajn fraktalnih antena Fractal Antenna Systems, s pravom vjerujući da će se u budućnosti, zahvaljujući njegovom otkriću, mobiteli moći riješiti glomaznih antena i postati kompaktniji.

U principu, to se dogodilo. Istina, Nathan je do danas u pravnoj bitci s velikim korporacijama koje nezakonito koriste njegovo otkriće za proizvodnju kompaktnih komunikacijskih uređaja. Neki poznati proizvođači mobilnih uređaja, kao što je Motorola, već su postigli prijateljski sporazum sa izumiteljem fraktalne antene.

⇡ Fraktalne dimenzije: ne možete to razumjeti svojim umom

Benoit je ovo pitanje posudio od poznatog američkog naučnika Edwarda Kasnera.

Potonji je, kao i mnogi drugi poznati matematičari, volio komunicirati s djecom, postavljati im pitanja i dobijati neočekivane odgovore. Ponekad je to dovelo do iznenađujućih posljedica. Na primjer, devetogodišnji nećak Edwarda Kasnera smislio je sada već dobro poznatu riječ "googol", što znači jedan iza kojeg slijedi sto nula. No, vratimo se fraktalima. Američki matematičar volio je da postavlja pitanje koliko je duga američka obala. Nakon što je saslušao mišljenje svog sagovornika, sam Edvard je izgovorio tačan odgovor. Ako mjerite dužinu na karti koristeći izlomljene segmente, rezultat će biti netačan, jer obala ima veliki broj nepravilnosti. Šta se događa ako izmjerimo što je moguće preciznije? Morat ćete uzeti u obzir dužinu svake neravnine - morat ćete izmjeriti svaki rt, svaku uvalu, stijenu, dužinu stjenovite platforme, kamena na njoj, zrno pijeska, atom i tako dalje. Budući da broj nepravilnosti teži beskonačnosti, izmjerena dužina obalne linije će se povećavati do beskonačnosti prilikom mjerenja svake nove nepravilnosti.

Što je manja mjera pri mjerenju, to je izmjerena dužina duža

Zanimljivo je da su, slijedeći Edwardove upute, djeca govorila mnogo brže od odraslih. ispravno rješenje, dok je ovaj imao problema da prihvati ovako nevjerovatan odgovor.

Koristeći ovaj problem kao primjer, Mandelbrot je predložio korištenje novi pristup do merenja. Budući da je obalna linija blizu fraktalne krivulje, to znači da se na nju može primijeniti karakterizirajući parametar - takozvana fraktalna dimenzija.

Svakome je jasno šta je regularna dimenzija. Ako je dimenzija jednaka jedan, dobijamo ravnu liniju, ako je dvije - ravna figura, tri - volumen. Međutim, ovo razumijevanje dimenzije u matematici ne funkcionira s fraktalnim krivuljama, gdje ovaj parametar ima frakcijsku vrijednost. Fraktalna dimenzija u matematici se konvencionalno može smatrati „hrapavošću“. Što je veća hrapavost krivulje, veća je njena fraktalna dimenzija. Kriva koja, prema Mandelbrotu, ima fraktalnu dimenziju veću od svoje topološke dimenzije, ima približnu dužinu koja ne zavisi od broja dimenzija.

Trenutno naučnici pronalaze sve više oblasti za primjenu teorije fraktala. Koristeći fraktale, možete analizirati fluktuacije berzanskih cijena, proučavati sve vrste prirodnih procesa, kao što su fluktuacije u broju vrsta, ili simulirati dinamiku tokova. Fraktalni algoritmi se mogu koristiti za kompresiju podataka, kao što je kompresija slike. I usput, da biste dobili prekrasan fraktal na ekranu vašeg kompjutera, ne morate imati doktorat.

⇡ Fraktal u pretraživaču

Možda je jedan od najlakših načina da dobijete fraktalni uzorak korištenje online vektorskog uređivača mladog talentiranog programera Tobyja Schachmana. Alati ovog jednostavnog grafičkog uređivača zasnovani su na istom principu samosličnosti.

Na raspolaganju su vam samo dva najjednostavnija oblika - četverokut i krug. Možete ih dodati na platno, skalirati (za skaliranje duž jedne od osi, držite pritisnutu tipku Shift) i rotirati ih. Preklapajući se prema principu Booleovih operacija sabiranja, ovi najjednostavniji elementi formiraju nove, manje trivijalne forme. Ovi novi oblici se zatim mogu dodati projektu, a program će ponavljati generisanje ovih slika do beskonačnosti. U bilo kojoj fazi rada na fraktalu, možete se vratiti na bilo koju komponentu složenog oblika i urediti njen položaj i geometriju. Zabavna aktivnost, posebno ako uzmete u obzir da je jedini alat koji trebate kreirati pretraživač. Ako ne razumijete princip rada s ovim rekurzivnim uređivačem vektora, savjetujemo vam da pogledate video na službenoj web stranici projekta koji detaljno prikazuje cijeli proces stvaranja fraktala.

⇡ XaoS: fraktali za svaki ukus

Mnogi grafički uređivači imaju ugrađene alate za kreiranje fraktalnih uzoraka. Međutim, ovi alati su obično sekundarni i ne dozvoljavaju fino podešavanje generiranog fraktalnog uzorka. U slučajevima kada je potrebno konstruisati matematički tačan fraktal, u pomoć će priskočiti cross-platform editor XaoS. Ovaj program omogućava ne samo izgradnju samoslične slike, već i obavljanje raznih manipulacija s njom. Na primjer, u realnom vremenu možete napraviti „šetnju“ duž fraktala mijenjajući njegovu skalu. Animirano kretanje duž fraktala može se sačuvati kao XAF datoteka i zatim reproducirati u samom programu.

XaoS može učitati nasumični skup parametara, a također može koristiti različite filtere za naknadnu obradu slike - dodati efekat zamućenog pokreta, izgladiti oštre prijelaze između fraktalnih tačaka, simulirati 3D sliku i tako dalje.

⇡ Fraktalni zumer: kompaktni fraktalni generator

U poređenju sa drugim generatorima fraktalnih slika, ima nekoliko prednosti. Prvo, vrlo je male veličine i ne zahtijeva instalaciju. Drugo, implementira mogućnost određivanja palete boja slike. Možete birati nijanse u RGB, CMYK, HVS i HSL modelima boja.

Također je vrlo zgodno koristiti opciju nasumičnog odabira nijansi boja i funkciju invertiranja svih boja na slici. Za podešavanje boje postoji funkcija cikličkog odabira nijansi - kada uključite odgovarajući način rada, program animira sliku, ciklički mijenjajući boje na njoj.

Fractal Zoomer može vizualizirati 85 različitih fraktalnih funkcija, a formule su jasno prikazane u meniju programa. U programu postoje filteri za naknadnu obradu slike, iako u malim količinama. Svaki dodijeljeni filter može se otkazati u bilo kojem trenutku.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktalni uređivač

Kada se koristi izraz "fraktal", najčešće se odnosi na ravnu, dvodimenzionalnu sliku. Međutim, fraktalna geometrija prevazilazi 2D dimenziju. U prirodi možete pronaći i primjere ravnih fraktalnih oblika, recimo, geometrija munje, i trodimenzionalne volumetrijske figure. Fraktalne površine mogu biti trodimenzionalne, a jedna vrlo jasna ilustracija 3D fraktala u svakodnevnom životu je glavica kupusa. Možda je najbolji način da vidite fraktale u sorti Romanesco, hibridu karfiola i brokule.

Takođe možete jesti ovaj fraktal

Program Mandelbulb3D može kreirati trodimenzionalne objekte sličnog oblika. Da bi dobili 3D površinu koristeći fraktalni algoritam, autori ove aplikacije, Daniel White i Paul Nylander, pretvorili su Mandelbrotov skup u sferne koordinate. Program Mandelbulb3D koji su kreirali je pravi trodimenzionalni uređivač koji modelira fraktalne površine različitih oblika. Budući da često promatramo fraktalne obrasce u prirodi, umjetno stvoreni fraktalni trodimenzionalni objekt izgleda nevjerovatno realistično, pa čak i „živo“.

Može ličiti na biljku, može ličiti na čudnu životinju, planetu ili nešto drugo. Ovaj efekat je poboljšan naprednim algoritmom za renderovanje, koji omogućava dobijanje realističnih refleksija, izračunavanje transparentnosti i senki, simulaciju efekta dubine polja itd. Mandelbulb3D ima ogroman broj postavki i opcija renderiranja. Možete kontrolirati nijanse izvora svjetlosti, odabrati pozadinu i nivo detalja simuliranog objekta.

Incendia fraktal editor podržava dvostruko izglađivanje slike, sadrži biblioteku od pedeset različitih trodimenzionalnih fraktala i ima poseban modul za uređivanje osnovnih oblika.

Aplikacija koristi fraktalne skripte, pomoću kojih možete samostalno opisati nove tipove fraktalnih dizajna. Incendia ima uređivače tekstura i materijala, a mehanizam za renderiranje vam omogućava da koristite volumetrijske efekte magle i razne shadere. Program implementira opciju čuvanja bafera tokom dugotrajnog renderovanja i podržava kreiranje animacije.

Incendia vam omogućava da izvezete fraktalni model u popularne 3D grafičke formate - OBJ i STL. Incendia uključuje mali uslužni program pod nazivom Geometrica, poseban alat za podešavanje izvoza fraktalne površine u 3D model. Koristeći ovaj uslužni program, možete odrediti rezoluciju 3D površine i odrediti broj fraktalnih iteracija. Izvezeni modeli se mogu koristiti u 3D projektima kada radite sa 3D uređivačima kao što su Blender, 3ds max i drugi.

IN U poslednje vreme rad na projektu Incendia je donekle usporen. On ovog trenutka autor traži sponzore koji će mu pomoći da razvije program.

Ako nemate dovoljno mašte da nacrtate prekrasan trodimenzionalni fraktal u ovom programu, nema veze. Koristite biblioteku parametara koja se nalazi u folderu INCENDIA_EX\parameters. Koristeći PAR datoteke, možete brzo pronaći najneobičnije fraktalne oblike, uključujući i animirane.

⇡ Slušni: kako fraktali pjevaju

Obično ne govorimo o projektima na kojima se tek radi, ali u ovom slučaju moramo napraviti izuzetak, jer se radi o vrlo neobičnoj aplikaciji. Projekat, nazvan Aural, izmislila je ista osoba koja je stvorila Incendia. Međutim, ovaj put program ne vizualizuje fraktalni skup, već ga ozvučuje, pretvarajući ga u elektronsku muziku. Ideja je vrlo interesantna, posebno s obzirom na neobična svojstva fraktala. Aural je audio uređivač koji generiše melodije pomoću fraktalnih algoritama, odnosno u suštini je audio sintisajzer-sekvencer.

Redoslijed zvukova koji proizvodi ovaj program je neobičan i... lijep. Može biti korisno za pisanje modernih ritmova i, čini nam se, posebno je pogodno za kreiranje zvučnih zapisa za screensaver televizijskih i radijskih programa, kao i "petlje" pozadinske muzike za kompjuterske igrice. Ramiro još nije dao demo svog programa, ali obećava da kada to učini, da biste radili sa Auralom, nećete morati da proučavate teoriju fraktala - samo ćete se morati igrati s parametrima algoritma za generiranje niza nota. Poslušajte kako fraktali zvuče i.

Fraktali: muzička pauza

Zapravo, fraktali vam mogu pomoći da pišete muziku čak i bez softvera. Ali to može učiniti samo neko ko je istinski prožet idejom prirodnog sklada i ko se nije pretvorio u nesretnog "šmokljana". Ima smisla slijediti primjer muzičara po imenu Jonathan Coulton, koji, između ostalog, piše kompozicije za časopis Popular Science. I za razliku od drugih izvođača, Colton objavljuje sva svoja djela pod Creative Commons Attribution-Nekomercijalna licenca, koja (kada se koristi u nekomercijalne svrhe) omogućava besplatno kopiranje, distribuciju, prijenos djela na druge, kao i njegovu modifikaciju ( stvaranje izvedenih radova) tako da ga prilagodite svojim zadacima.

Jonathan Colton, naravno, ima pjesmu o fraktalima.

⇡ Zaključak

U svemu što nas okružuje često vidimo haos, ali u stvari to nije slučajnost, već idealna forma, koju nam fraktali pomažu da razaznamo. Priroda je najbolji arhitekta, idealan graditelj i inženjer. Strukturiran je vrlo logično, a ako negdje ne vidimo obrazac, to znači da ga trebamo tražiti u drugoj skali. Ljudi to sve bolje razumiju, pokušavajući na mnogo načina oponašati prirodne oblike. Inženjeri dizajniraju sisteme zvučnika u obliku školjke, kreiraju antene u obliku pahuljice i tako dalje. Sigurni smo da fraktali i dalje sadrže mnoge tajne, a mnoge od njih ljudi tek treba da otkriju.

Opštinski budžet obrazovne ustanove

„Siverskaya prosek sveobuhvatne škole br. 3"

Istraživanja

matematike.

Obavljen posao

Učenik 8-1 razreda

Emelin Pavel

Naučni direktor

nastavnik matematike

Tupitsyna Natalya Alekseevna

Siversky village

godina 2014

Matematika je sva prožeta lepotom i harmonijom,

Samo treba da vidite ovu lepotu.

B. Mandelbrot

Uvod________________________________________________3-4str.

Poglavlje 1.istorija nastanka fraktala._______5-6pp.

Poglavlje 2. Klasifikacija fraktala ______6-10pp.

Geometrijski fraktali

Algebarski fraktali

Stohastički fraktali

Poglavlje 3. "Fraktalna geometrija prirode"______11-13str.

Poglavlje 4. Primjena fraktala_______________13-15pp.

Poglavlje 5 Praktični rad_______________16-24str.

Zaključak________________________________25.str

Spisak referenci i Internet resursa________26 strana.

Uvod

matematika,

ako dobro pogledaš,

ne odražava samo istinu,

ali i neuporedivu lepotu.

Bertrand Russell

Riječ "fraktal" je nešto o čemu mnogi ljudi pričaju ovih dana, od naučnika do studenata srednja škola. Pojavljuje se na naslovnicama mnogih udžbenika matematike, naučnih časopisa i kompjuterskih kutija. softver. Slike fraktala u boji danas se mogu naći svuda: od razglednica, majica do slika na desktopu personalnog računara. Dakle, koji su to obojeni oblici koje vidimo okolo?

Matematika je najstarija nauka. Većina ljudi je mislila da je geometrija u prirodi ograničena na jednostavne figure kao što su linija, krug, poligon, sfera, itd. Kako se ispostavilo, mnogi prirodni sistemi su toliko složeni da korištenje samo poznatih objekata obične geometrije za njihovo modeliranje izgleda beznadežno. Kako, na primjer, možete napraviti model planinskog lanca ili krošnje drveta u smislu geometrije? Kako opisati tu raznolikost biološka raznolikost koje opažamo u svijetu biljaka i životinja? Kako zamisliti složenost cirkulacijskog sistema, koji se sastoji od mnogih kapilara i žila i koji isporučuje krv u svaku ćeliju ljudskog tijela? Zamislite građu pluća i bubrega, koja po strukturi podsjeća na drveće s razgranatom krošnjom?

Fraktali su pogodni alati za istraživanje ovih pitanja. Često nas ono što vidimo u prirodi zaintrigira beskonačnim ponavljanjem istog obrasca, uvećanog ili smanjenog za nekoliko puta. Na primjer, drvo ima grane. Na ovim granama se nalaze manje grane itd. Teoretski, element grananja se ponavlja beskonačno, postajući sve manji i manji. Ista stvar se može vidjeti kada se pogleda fotografija planinskog terena. Pokušajte da zumirate malo bliže planinskom lancu --- ponovo ćete vidjeti planine. Tako se manifestuje svojstvo samosličnosti karakteristično za fraktale.

Proučavanje fraktala otvara divne mogućnosti, kako u proučavanju beskonačnog broja primjena, tako i na polju matematike. Primene fraktala su veoma opsežne! Uostalom, ovi predmeti su toliko lijepi da ih koriste dizajneri, umjetnici, uz pomoć njih se crtaju mnogi elementi u grafici: drveće, oblaci, planine itd. Ali fraktali se čak koriste i kao antene u mnogim mobilnim telefonima.

Za mnoge haologe (naučnike koji proučavaju fraktale i haos) ovo nije samo novo polje znanja koje kombinuje matematiku, teorijsku fiziku, umjetnost i kompjutersku tehnologiju – to je revolucija. Ovo je otkriće nove vrste geometrije, geometrije koja opisuje svijet oko nas i koja se može vidjeti ne samo u udžbenicima, već iu prirodi i svuda u bezgraničnom svemiru.

U svom radu odlučila sam i da „dodirnem“ svet lepote i odredila za sebe...

Cilj rada: stvaranje objekata čije su slike vrlo slične prirodnim.

Metode istraživanja: komparativna analiza, sinteza, modeliranje.

Zadaci:

upoznavanje sa konceptom, istorijom nastanka i istraživanja B. Mandelbrota,

G. Koch, V. Sierpinsky i drugi;

upoznavanje sa razne vrste fraktalni skupovi;

proučavanje naučnopopularne literature o ovoj problematici, upoznavanje sa

naučne hipoteze;

pronalaženje potvrde teorije fraktalnosti okolnog svijeta;

proučavanje upotrebe fraktala u drugim naukama i praksi;

provođenje eksperimenta za stvaranje vlastitih fraktalnih slika.

Osnovno pitanje rada:

Pokazati da matematika nije suha, bezdušna tema, ona može izraziti duhovni svijet čovjeka pojedinačno i društva u cjelini.

Predmet studija: Fraktalna geometrija.

Predmet proučavanja: fraktali u matematici i stvarnom svijetu.

Hipoteza: Sve što postoji u stvarnom svijetu je fraktal.

Metode istraživanja: analitička, pretraga.

Relevantnost Navedenu temu određuje, prije svega, predmet istraživanja, a to je fraktalna geometrija.

Očekivani rezultati: U toku rada moći ću da proširim svoja znanja iz oblasti matematike, uvidim ljepotu fraktalne geometrije i počnem raditi na stvaranju vlastitih fraktala.

Rezultat rada će biti izrada kompjuterske prezentacije, biltena i knjižice.

Poglavlje 1. Istorija

B kada Mandelbrot

Koncept "fraktala" izmislio je Benoit Mandelbrot. Riječ dolazi od latinskog fractus, što znači "slomljen, slomljen".

Fraktal (lat. fractus - zgnječen, slomljen, slomljen) je pojam koji označava složenu geometrijsku figuru koja ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastavljena od više dijelova od kojih je svaki sličan cijeloj figuri.

Matematički objekti na koje se odnosi odlikuju se izuzetno zanimljivim svojstvima. U običnoj geometriji, linija ima jednu dimenziju, površina ima dvije dimenzije, i prostorna figura trodimenzionalni. Fraktali nisu linije ili površine, već, ako možete to zamisliti, nešto između. Kako se veličina povećava, volumen fraktala se također povećava, ali njegova dimenzija (eksponent) nije cjelina, već fraktalna vrijednost, pa stoga granica fraktalne figure nije linija: pri velikom povećanju postaje jasno da je je zamagljen i sastoji se od spirala i kovrča, koji se ponavljaju pri malom uvećanju same figure. Ova geometrijska pravilnost naziva se invarijantnost skale ili samosličnost. To je ono što određuje frakcijsku dimenziju fraktalnih figura.

Prije pojave fraktalne geometrije, nauka se bavila sistemima sadržanim u tri prostorne dimenzije. Zahvaljujući Ajnštajnu, postalo je jasno da je trodimenzionalni prostor samo model stvarnosti, a ne sama stvarnost. U stvari, naš svijet se nalazi u četverodimenzionalnom prostor-vremenskom kontinuumu.
Zahvaljujući Mandelbrotu, postalo je jasno kako izgleda četverodimenzionalni prostor, figurativno rečeno, fraktalno lice Haosa. Benoit Mandelbrot je otkrio da četvrta dimenzija uključuje ne samo prve tri dimenzije, već i (ovo je vrlo važno!) intervale između njih.

Rekurzivna (ili fraktalna) geometrija zamjenjuje euklidsku geometriju. Nova nauka je u stanju da opiše pravu prirodu tela i pojava. Euklidska geometrija se bavila samo vještačkim, imaginarnim objektima koji pripadaju tri dimenzije. Samo ih četvrta dimenzija može pretvoriti u stvarnost.

Tečnost, gas, čvrsta - tri poznata psihičko stanje supstanca koja postoji u trodimenzionalnom svetu. Ali koja je dimenzija oblaka dima, oblaka, tačnije, njihovih granica, neprestano nagrizanih turbulentnim kretanjem zraka?

U osnovi, fraktali se dijele u tri grupe:

Algebarski fraktali

Stohastički fraktali

Geometrijski fraktali

Pogledajmo pobliže svaki od njih.

Poglavlje 2. Klasifikacija fraktala

Geometrijski fraktali

Benoit Mandelbrot je predložio fraktalni model, koji je već postao klasičan i često se koristi za demonstriranje kako tipičnog primjera samog fraktala, tako i za demonstraciju ljepote fraktala, što također privlači istraživače, umjetnike i jednostavno zainteresirane ljude.

Tu je počela istorija fraktala. Ova vrsta fraktala se dobija jednostavnim geometrijskim konstrukcijama. Obično, kada konstruišu ove fraktale, oni rade ovo: uzimaju "sjeme" - aksiom - skup segmenata na osnovu kojih će se fraktal graditi. Zatim se na ovo "sjeme" primjenjuje skup pravila, koji ga pretvara u neku vrstu geometrijske figure. Zatim se isti skup pravila ponovo primjenjuje na svaki dio ove figure. Svakim korakom figura će postajati sve složenija, a ako izvršimo (barem u mislima) beskonačan broj transformacija, dobit ćemo geometrijski fraktal.

Fraktali ove klase su najvizuelniji, jer je samosličnost u njima odmah vidljiva na bilo kojoj skali posmatranja. U dvodimenzionalnom slučaju, takvi se fraktali mogu dobiti specificiranjem neke izlomljene linije koja se zove generator. U jednom koraku algoritma, svaki od segmenata koji čine poliliniju zamjenjuje se generatorskom polilinijom, u odgovarajućoj skali. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka (ili, preciznije, kada se ide do granice), dobija se fraktalna kriva. Unatoč prividnoj složenosti rezultirajuće krive, njen opći izgled određuje samo oblik generatora. Primjeri takvih krivulja su: Kochova kriva (slika 7), Peano kriva (slika 8), kriva Minkowskog.

Početkom dvadesetog veka matematičari su tražili krivulje koje ni u jednoj tački nemaju tangentu. To je značilo da je kriva naglo promijenila smjer, i to enormno velikom brzinom (izvod je bio jednak beskonačnosti). Potraga za ovim krivuljama nije bila uzrokovana samo praznim zanimanjem matematičara. Činjenica je da se početkom dvadesetog veka kvantna mehanika razvijala veoma brzo. Istraživač M. Brown je skicirao putanju kretanja suspendiranih čestica u vodi i objasnio ovaj fenomen na sljedeći način: nasumično pokretni atomi tekućine udaraju u suspendirane čestice i time ih pokreću. Nakon ovog objašnjenja Brownovo kretanje Naučnici su bili suočeni sa zadatkom da pronađu krivu koja bi najbolje pokazala kretanje Brownovih čestica. Da bi se to postiglo, kriva je morala zadovoljiti sljedeća svojstva: da nema tangente ni u jednoj tački. Matematičar Koch je predložio jednu takvu krivu.

TO Kochova kriva je tipičan geometrijski fraktal. Proces konstruisanja je sljedeći: uzimamo jedan segment, dijelimo ga na tri jednaka dijela i zamjenjujemo srednji interval jednakostraničnim trouglom bez ovog segmenta. Kao rezultat, formira se isprekidana linija koja se sastoji od četiri karike dužine 1/3. U sljedećem koraku ponavljamo operaciju za svaku od četiri rezultirajuće veze, itd...

Granična kriva je Kochova kriva.

Snowflake Koch. Izvođenjem sličnih transformacija na stranama jednakostranični trougao možete dobiti fraktalnu sliku Kochove pahulje.

T
Još jedan jednostavan predstavnik geometrijskog fraktala je Sierpinski trg. Konstruisan je prilično jednostavno: kvadrat je podijeljen pravim linijama paralelnim sa njegovim stranicama na 9 jednakih kvadrata. Centralni trg je uklonjen sa trga. Rezultat je skup koji se sastoji od 8 preostalih kvadrata "prvog ranga". Čineći potpuno isto sa svakim od kvadrata prvog ranga, dobijamo skup koji se sastoji od 64 kvadrata drugog ranga. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo beskonačan niz ili kvadrat Sierpinskog.

Algebarski fraktali

Ovo je najveća grupa fraktala. Algebarski fraktali su dobili ime jer su konstruisani pomoću jednostavnih algebarskih formula.

Dobijaju se nelinearnim procesima u n-dimenzionalni prostori. Poznato je da nelinearni dinamički sistemi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem se dinamički sistem nalazi nakon određenog broja iteracija zavisi od njegovog početnog stanja. Dakle, svako stabilno stanje (ili, kako se kaže, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sistem nužno pasti u konačna stanja koja se razmatraju. Tako je fazni prostor sistema podijeljen na područja privlačnosti atraktori. Ako je fazni prostor dvodimenzionalan, onda se bojanjem područja privlačnosti različitim bojama može dobiti fazni portret u boji ovaj sistem (iterativni proces). Promjenom algoritma za odabir boja, možete dobiti složene fraktalne uzorke s bizarnim višebojnim uzorcima. Ono što je iznenadilo matematičare je sposobnost generiranja vrlo složenih struktura korištenjem primitivnih algoritama.

Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup. Oni ga grade koristeći kompleksne brojeve.

Dio granice Mandelbrotovog skupa, uvećan 200 puta.

Mandelbrotov skup sadrži tačke koje tokombeskonačno broj iteracija ne ide u beskonačnost (tačke koje su crne). Tačke koje pripadaju granici skupa(tu nastaju složene strukture) idu u beskonačnost u konačnom broju iteracija, a tačke koje leže izvan skupa idu u beskonačnost nakon nekoliko iteracija (bijela pozadina).

P



Primjer drugog algebarskog fraktala je Julia skup. Postoje 2 varijante ovog fraktala. Iznenađujuće, Julia skupovi se formiraju koristeći istu formulu kao Mandelbrotov skup. Julia skup je izumio francuski matematičar Gaston Julia, po kome je skup i dobio ime.

I
zanimljiva činjenica, neki algebarski fraktali upadljivo podsjećaju na slike životinja, biljaka i drugih bioloških objekata, zbog čega se nazivaju biomorfi.

Stohastički fraktali

Druga dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobijaju ako se neki od njegovih parametara nasumično mijenjaju u iterativnom procesu. U ovom slučaju, rezultirajući objekti su vrlo slični prirodnim - asimetrična stabla, hrapava obale itd.

Tipičan predstavnik ove grupe fraktala je „plazma“.

D
Da biste ga konstruirali, uzmite pravougaonik i dodijelite boju svakom njegovom kutu. Zatim se pronađe središnja tačka pravougaonika i boji se bojom koja je jednaka aritmetičkoj sredini boja na uglovima pravougaonika plus neki slučajni broj. Što je veći nasumični broj, to će crtež biti „raščupaniji“. Ako pretpostavimo da je boja tačke visina iznad nivoa mora, umjesto plazme dobijamo planinski lanac. Na ovom principu su planine modelirane u većini programa. Koristeći algoritam sličan plazmi, gradi se visinska karta, na nju se primjenjuju razni filteri, nanosi se tekstura i spremne su fotorealistične planine

E
Ako pogledamo ovaj fraktal u poprečnom presjeku, vidjet ćemo da je ovaj fraktal volumetričan, i ima “hrapavost”, upravo zbog te “hrapavosti” postoji vrlo važna primjena ovog fraktala.

Recimo da trebate opisati oblik planine. Obične figure iz euklidske geometrije ovdje neće pomoći, jer ne uzimaju u obzir topografiju površine. Ali kada kombinujete konvencionalnu geometriju sa fraktalnom geometrijom, možete dobiti samu „hrapavost“ planine. Treba da nanesemo plazmu na pravilan konus i dobićemo reljef planine. Takve se operacije mogu izvoditi s mnogim drugim objektima u prirodi; zahvaljujući stohastičkim fraktalima, sama priroda se može opisati.

Hajde sada da pričamo o geometrijskim fraktalima.

.

Poglavlje 3 "Fraktalna geometrija prirode"

" Zašto se geometrija često naziva "hladna" i "suva"? Jedan od razloga je taj što ne može opisati oblik oblaka, planine, obale ili drveta. Oblaci nisu kugle, planine nisu stošci, obale nisu krugovi, kora drveta nije glatko, munja ne putuje pravolinijski. Općenito, tvrdim da su mnogi objekti u prirodi toliko nepravilni i fragmentirani da u poređenju sa Euklidom - izraz koji u ovom radu označava svu standardnu ​​geometriju - priroda nije samo složenija , ali kompleksnost na potpuno drugom nivou. Broj različitih dužinskih skala prirodnih objekata je, za sve praktične svrhe, beskonačan."

(Benoit Mandelbrot "Fraktalna geometrija prirode" ).

TO Ljepota fraktala je dvostruka: oduševljava oko, o čemu svjedoči svjetska izložba fraktalnih slika, koju je organizirala grupa bremenskih matematičara pod vodstvom Peitgena i Richtera. Kasnije su eksponati ove grandiozne izložbe uslikani ilustracijama za knjigu istih autora „Ljepota fraktala“. Ali postoji još jedan, apstraktniji ili uzvišeniji, aspekt ljepote fraktala, otvoren, prema R. Feynmanu, samo mentalnom pogledu teoretičara; u tom smislu, fraktali su lijepi zbog ljepote teškog matematičkog problema. . Benoit Mandelbrot je svojim savremenicima (i, po svoj prilici, potomcima) ukazao na dosadnu prazninu u Euklidovim elementima, kroz koju je, ne primjećujući propust, gotovo dva milenijuma čovječanstva shvatila geometriju okolnog svijeta i naučila matematičku strogost prikaza. Naravno, oba aspekta ljepote fraktala su usko povezana i ne isključuju, već se nadopunjuju, iako je svaki od njih sam sebi dovoljan.

Fraktalna geometrija prirode prema Mandelbrotu je prava geometrija koja zadovoljava definiciju geometrije koju je u Erlangenskom programu predložio F. Klein. Činjenica je da je prije pojave neeuklidske geometrije N.I. Lobačevskog - L. Bolyaia, postojala je samo jedna geometrija - ona koja je postavljena u "Principima", a pitanje šta je geometrija, a koja od geometrija geometrija stvarnog sveta nije se postavljalo, niti moglo nastati. Ali sa pojavom još jedne geometrije, postavilo se pitanje šta je geometrija uopšte i koja od mnogih geometrija odgovara stvarnom svetu. Prema F. Kleinu, geometrija se bavi proučavanjem takvih svojstava objekata koja su invarijantna prema transformacijama: Euklidske - invarijante grupe kretanja (transformacije koje ne mijenjaju udaljenost između bilo koje dvije tačke, tj. predstavljaju superpoziciju paralelnih translacija i rotacije sa ili bez promene orijentacije), geometrija Lobačevskog-Boljaja - invarijante Lorencove grupe. Fraktalna geometrija se bavi proučavanjem invarijanti grupe samoafinih transformacija, tj. svojstva izražena zakonima moći.

Što se tiče korespondencije sa realnim svijetom, fraktalna geometrija opisuje vrlo široku klasu prirodnih procesa i pojava, te stoga možemo, slijedeći B. Mandelbrota, s pravom govoriti o fraktalnoj geometriji prirode. Novo - fraktalni objekti imaju neobična svojstva. Dužine, površine i zapremine nekih fraktala su nula, dok se drugi okreću u beskonačnost.

Priroda često stvara nevjerovatne i lijepe fraktale, idealne geometrije i takvog sklada da se jednostavno smrznete od divljenja. A evo i njihovih primjera:

Morske školjke

Munja diviti se njihovom lepotom. Fraktali stvoreni munjom nisu proizvoljni ili pravilni

Fraktalni oblik podvrsta karfiola(Brassica cauliflora). Ova posebna vrsta je posebno simetričan fraktal.

P paprat je također dobar primjer fraktala među florom.

Paunovi svi su poznati po svom šarenom perju, u kojem se kriju čvrsti fraktali.

Led, smrznuti uzorci na prozorima su i to fraktali

O
t uvećana slika list, prije grane drveća- fraktali se mogu naći u svemu

Fraktali su svuda i svuda u prirodi oko nas. Čitav Univerzum izgrađen je prema nevjerovatno skladnim zakonima s matematičkom preciznošću. Da li je nakon ovoga moguće misliti da je naša planeta slučajna konkatenacija čestica? Teško.

Poglavlje 4. Primjena fraktala

Fraktali nalaze sve više primjena u nauci. Glavni razlog za to je što oni opisuju stvarni svijet ponekad čak i bolje od tradicionalne fizike ili matematike. Evo nekoliko primjera:

O
leže dani najmoćnijih primjena fraktala kompjuterska grafika. Ovo je fraktalna kompresija slike. Moderna fizika i mehanika tek počinju proučavati ponašanje fraktalnih objekata.

Prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina upakovane datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Fraktalno upakovane slike mogu se skalirati bez pojave pikselizacije (loš kvalitet slike - veliki kvadrati). Ali proces kompresije traje dugo i ponekad traje satima. Algoritam pakovanja fraktalnih gubitaka omogućava vam da postavite nivo kompresije, slično jpeg formatu. Algoritam se temelji na traženju velikih dijelova slike koji su slični nekim malim dijelovima. I samo koji komad je sličan kojem se upisuje u izlaznu datoteku. Prilikom kompresije obično se koristi kvadratna mreža (komadići su kvadrati), što dovodi do blagog ugla prilikom vraćanja slike; heksagonalna mreža nema ovaj nedostatak.

Iterated je razvio novi format slike, "Sting", koji kombinuje fraktalnu i "talasnu" (kao što je jpeg) kompresiju bez gubitaka. Novi format omogućava kreiranje slika s mogućnošću naknadnog visokokvalitetnog skaliranja, a volumen grafičkih datoteka je 15-20% volumena nekomprimiranih slika.

U mehanici i fizici fraktali se koriste zahvaljujući jedinstvena nekretnina ponavljaju obrise mnogih prirodnih objekata. Fraktali vam omogućavaju da aproksimirate drveće, planinske površine i pukotine sa većom preciznošću od aproksimacija koristeći skupove segmenata ili poligona (sa istom količinom pohranjenih podataka). Fraktalni obrasci, kao prirodni objekti, imaju „hrapavost“, a ovo svojstvo je očuvano bez obzira na veliko povećanje modela. Prisutnost uniformne mjere na fraktalima omogućava primjenu integracije, teorije potencijala i njihovo korištenje umjesto standardnih objekata u već proučavanim jednačinama.

T
Fraktalna geometrija se također koristi za projektovanje antenskih uređaja. Ovo je prvi koristio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je bilo zabranjeno postavljanje vanjskih antena na zgrade. Cohen je izrezao oblik Kochove krivulje od aluminijske folije, a zatim ga zalijepio na komad papira i potom pričvrstio na prijemnik. Ispostavilo se da takva antena ne radi ništa lošije od obične. I iako fizički principi takve antene još nisu proučeni, to nije spriječilo Cohena da osnuje vlastitu kompaniju i pokrene njihovu serijsku proizvodnju. Trenutno je američka kompanija “Fractal Antenna System” razvila novi tip antene. Sada možete prestati koristiti isturene vanjske antene u mobilnim telefonima. Takozvana fraktalna antena nalazi se direktno na glavnoj ploči unutar uređaja.

Postoje i mnoge hipoteze o upotrebi fraktala - na primjer, limfni i cirkulatorni sustavi, pluća i još mnogo toga također imaju fraktalna svojstva.

Poglavlje 5. Praktični rad.

Prvo, pogledajmo fraktale “Ogrlica”, “Pobjeda” i “Kvadrat”.

Prvo - "Ogrlica"(Sl. 7). Pokretač ovog fraktala je krug. Ovaj krug se sastoji od određenog broja istih krugova, ali manjih veličina, a sam je jedan od nekoliko istih krugova, ali većih veličina. Dakle, proces obrazovanja je beskrajan i može se odvijati i u jednom i u suprotnom smjeru. One. lik se može povećati uzimanjem samo jednog malog luka, ili se može smanjiti razmatranjem njegove konstrukcije od manjih.

pirinač. 7.

Fraktal "Ogrlica"

Drugi fraktal je "pobjeda"(Sl. 8). Ovo ime je dobio jer izgleda kao latinično slovo "V", odnosno "pobjeda". Ovaj fraktal se sastoji od određenog broja malih „vs“ koji čine jedno veliko „V“, a u lijevoj polovini, u kojoj su male smještene tako da njihove lijeve polovine čine jednu pravu liniju, desni dio je izgrađen u isti put. Svaki od ovih "v" je izgrađen na isti način i nastavlja ovo do beskonačnosti.

Fig.8. Fraktal "Pobjeda"

Treći fraktal je "Kvadrat" (sl. 9). Svaka njegova strana sastoji se od jednog reda ćelija, u obliku kvadrata, čije stranice takođe predstavljaju redove ćelija itd.

Slika 9. Fraktal “Kvadrat”

Fraktal je nazvan “Ruža” (slika 10), zbog vanjske sličnosti sa ovim cvijetom. Konstrukcija fraktala uključuje konstrukciju niza koncentričnih krugova, čiji radijus varira proporcionalno datom omjeru (u ovom slučaju R m / R b = ¾ = 0,75.). Nakon toga, u svaki krug se upisuje pravilan šesterokut čija je stranica jednaka polumjeru kružnice opisane oko nje.

Rice. 11. Fraktal “Ruža*”

Zatim, okrenimo se pravilnom pentagonu, u kojem crtamo njegove dijagonale. Zatim, u rezultirajućem pentagonu na sjecištu odgovarajućih segmenata, ponovo crtamo dijagonale. Nastavimo ovaj proces beskonačno i dobićemo fraktal „Pentagram“ (slika 12).

Hajde da uvedemo element kreativnosti i naš fraktal će poprimiti oblik vizuelnijeg objekta (slika 13).

R
je. 12. Fraktal “Pentagram”.

Rice. 13. Fraktal “Pentagram *”

Rice. 14 fraktal "crna rupa"

Eksperiment br. 1 “Drvo”

Sada kada sam shvatio šta je fraktal i kako da ga izgradim, pokušao sam da kreiram sopstvene fraktalne slike. U Adobe Photoshopu sam napravio mali potprogram ili akciju, posebnost ove akcije je da ponavlja radnje koje ja radim i tako dobijem fraktal.

Za početak, napravio sam pozadinu za naš budući fraktal sa rezolucijom 600 x 600. Zatim sam nacrtao 3 linije na ovoj pozadini - osnovu našeg budućeg fraktala.

WITH Sljedeći korak je pisanje skripte.

duplirajte sloj ( sloj > duplikat) i promijenite vrstu miješanja u " Ekran" .

nazovimo ga" fr1". Kopirajte ovaj sloj (" fr1") još 2 puta.

Sada se moramo prebaciti na posljednji sloj (fr3) i spoji ga dvaput sa prethodnim ( Ctrl+E). Smanjite svjetlinu sloja ( Slika > Podešavanja > Svjetlina/kontrast , podešena svjetlina 50% ). Ponovo spojite s prethodnim slojem i odrežite rubove cijelog crteža kako biste uklonili nevidljive dijelove.

Posljednji korak je bio kopiranje ove slike i zalijepiti je u manjoj veličini i rotirati. Ovo je konačni rezultat.

Zaključak

Ovaj rad predstavlja uvod u svijet fraktala. Razmotrili smo samo najmanji dio onoga što su fraktali i na osnovu kojih principa su građeni.

Fraktalna grafika nije samo skup slika koje se samo ponavljaju, ona je model strukture i principa bilo koje postojeće stvari. Cijeli naš život predstavljen je fraktalima. Sva priroda oko nas sastoji se od njih. Nemoguće je ne primijetiti raširenu upotrebu fraktala u kompjuterskim igrama, gdje su reljefi terena često fraktalne slike zasnovane na trodimenzionalnim modelima složenih skupova. Fraktali uvelike olakšavaju crtanje kompjuterske grafike, uz pomoć fraktala nastaju mnogi specijalni efekti, razne fantastične i nevjerovatne slike itd. Također, drveće, oblaci, obale i sva ostala priroda crtaju se fraktalnom geometrijom. Fraktalna grafika je svuda potrebna, a razvoj “fraktalnih tehnologija” jedan je od važnih zadataka današnjice.

U budućnosti planiram naučiti kako konstruirati algebarske fraktale nakon što detaljnije proučim kompleksne brojeve. Takođe želim da pokušam da napravim sopstvene fraktalne slike u programskom jeziku Pascal koristeći petlje.

Vrijedi napomenuti korištenje fraktala u kompjuterskoj tehnologiji, pored jednostavnog konstruiranja prekrasnih slika na ekranu računara. Fraktali u računarskoj tehnici koriste se u sledećim oblastima:

1. Kompresija slika i informacija

2. Skrivanje informacija u slici, zvuku,…

3. Šifriranje podataka korištenjem fraktalnih algoritama

4. Pravljenje fraktalne muzike

5. Modeliranje sistema

Naš rad ne navodi sve oblasti ljudskog znanja u kojima je teorija fraktala našla svoju primenu. Želimo samo reći da nije prošlo više od trećine stoljeća od nastanka teorije, ali za to vrijeme fraktali su za mnoge istraživače postali iznenadna jarka svjetlost u noći, koja je obasjavala do sada nepoznate činjenice i obrasce u određenim područjima podataka. . Uz pomoć teorije fraktala počeli su da objašnjavaju evoluciju galaksija i razvoj ćelija, nastanak planina i formiranje oblaka, kretanje cena na berzi i razvoj društva i porodice. Možda je u početku ta strast za fraktalima bila čak previše intenzivna i pokušaji da se sve objasni korištenjem teorije fraktala bili su neopravdani. Ali bez sumnje ovu teoriju ima pravo na postojanje, i žalimo što je u posljednje vrijeme nekako zaboravljeno i ostalo na sudu elite. U pripremi ovog rada bilo nam je veoma interesantno pronaći primjenu TEORIJE u PRAKSI. Jer vrlo često postoji osjećaj da teorijsko znanje stoji odvojeno od životne stvarnosti.

Dakle, koncept fraktala postaje ne samo dio “čiste” nauke, već i element univerzalne ljudske kulture. Fraktalna nauka je još uvek veoma mlada i pred njom je velika budućnost. Ljepota fraktala još nije iscrpljena i još će nam dati mnoga remek-djela – ona koja oduševljavaju oko, i ona koja donose istinsko zadovoljstvo umu.

10. Reference

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktali i multifraktali. RHD 2001 .

Vitolin D. Primena fraktala u kompjuterskoj grafici. // Computerworld-Russia.-1995

Mandelbrot B. Samoafini fraktalni skupovi, “Fraktali u fizici”. M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fraktalna geometrija prirode. - M.: "Institut za kompjuterska istraživanja", 2002.

Morozov A.D. Uvod u teoriju fraktala. N. Novgorod: Izdavačka kuća Nižnji Novgorod. Univerzitet 1999

Peitgen H.-O., Richter P. H. Ljepota fraktala. - M.: "Mir", 1993.

Internet resursi

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Fraktal

Fraktal (lat. fractus- zdrobljen, slomljen, slomljen) je geometrijska figura koja ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastavljena od više dijelova od kojih je svaki sličan cijeloj figuri. U matematici se fraktali shvataju kao skupovi tačaka u Euklidu prostora koji imaju frakcijsku metričku dimenziju (u smislu Minkowskog ili Hausdorffa), ili metričku dimenziju različitu od topološke. Fraktazam je nezavisna egzaktna nauka o proučavanju i komponovanju fraktala.

Drugim riječima, fraktali su geometrijski objekti s frakcionom dimenzijom. Na primjer, dimenzija linije je 1, površina je 2, a volumen je 3. Za fraktal, vrijednost dimenzije može biti između 1 i 2 ili između 2 i 3. Na primjer, fraktalna dimenzija zgužvanog papirna kuglica je otprilike 2,5. U matematici postoji posebna složena formula za izračunavanje dimenzije fraktala. Grane trahealnih cijevi, lišće na drveću, vene u ruci, rijeka - to su fraktali. Jednostavno rečeno, fraktal je geometrijska figura, čiji se određeni dio ponavlja iznova i iznova, mijenjajući veličinu - to je princip samosličnosti. Fraktali su slični sebi, slični su sebi na svim nivoima (tj. na bilo kojoj skali). Postoji mnogo različitih vrsta fraktala. U principu, može se tvrditi da je sve što postoji u stvarnom svijetu fraktal, bilo da je u pitanju oblak ili molekul kisika.

Riječ "haos" navodi na razmišljanje o nečemu nepredvidivom, ali u stvari, haos je prilično uredan i podliježe određenim zakonima. Cilj proučavanja haosa i fraktala je predviđanje obrazaca koji na prvi pogled mogu izgledati nepredvidljivi i potpuno haotični.

Pionir u ovoj oblasti znanja bio je francusko-američki matematičar, profesor Benoit B. Mandelbrot. Sredinom 1960-ih razvio je fraktalnu geometriju, čija je svrha bila da analizira izlomljene, naborane i nejasne oblike. Mandelbrotov skup (prikazan na slici) prva je asocijacija koja se javlja kod osobe kada čuje riječ “fraktal”. Inače, Mandelbrot je utvrdio da je fraktalna dimenzija engleske obale 1,25.

Fraktali se sve više koriste u nauci. Oni opisuju stvarni svijet čak i bolje od tradicionalne fizike ili matematike. Brownovo kretanje je, na primjer, nasumično i haotično kretanje čestica prašine suspendiranih u vodi. Ova vrsta kretanja je možda aspekt fraktalne geometrije koji ima najpraktičniju upotrebu. Nasumično Brownovo kretanje ima frekvencijski odziv koji se može koristiti za predviđanje pojava koje uključuju velike količine podataka i statistike. Na primjer, Mandelbrot je predvidio promjene cijena vune koristeći Brownovo kretanje.

Riječ "fraktal" može se koristiti ne samo kao matematički termin. U štampi i popularnoj naučnoj literaturi fraktalom se može nazvati figura koja ima bilo koje od sljedećih svojstava:

Ima netrivijalnu strukturu na svim skalama. Ovo je u suprotnosti s regularnim figurama (kao što su krug, elipsa, graf glatke funkcije): ako uzmemo u obzir mali fragment pravilne figure u vrlo velikoj mjeri, izgledat će kao fragment prave linije. Za fraktal, povećanje skale ne dovodi do pojednostavljenja strukture; na svim skalama ćemo vidjeti jednako složenu sliku.

Je li sebi sličan ili približno sebi sličan.

Ima frakcijsku metričku dimenziju ili metričku dimenziju koja premašuje topološku.

Najkorisnija upotreba fraktala u kompjuterskoj tehnologiji je fraktalna kompresija podataka. Istovremeno, slike se kompresuju mnogo bolje nego što se to radi konvencionalnim metodama - do 600:1. Još jedna prednost fraktalne kompresije je da kada se uveća, nema efekta pikselizacije, što dramatično pogoršava sliku. Štaviše, fraktalno komprimirana slika često izgleda još bolje nakon povećanja nego prije. Kompjuterski naučnici takođe znaju da se fraktali beskonačne složenosti i lepote mogu generisati jednostavnim formulama. Filmska industrija naširoko koristi tehnologiju fraktalne grafike za kreiranje realističnih pejzažnih elemenata (oblaci, stijene i sjene).

Proučavanje turbulencije u tokovima se vrlo dobro prilagođava fraktalima. To nam omogućava da bolje razumijemo dinamiku složenih tokova. Koristeći fraktale također možete simulirati plamen. Porozni materijali su dobro zastupljeni u fraktalnom obliku zbog činjenice da imaju vrlo složenu geometriju. Za prijenos podataka na udaljenosti koriste se antene fraktalnih oblika, što uvelike smanjuje njihovu veličinu i težinu. Fraktali se koriste za opisivanje zakrivljenosti površina. Neravnu površinu karakterizira kombinacija dva različita fraktala.

Mnogi objekti u prirodi imaju fraktalna svojstva, na primjer, obale, oblaci, krošnje drveća, snježne pahulje, cirkulatorni sistem i alveolarni sistem ljudi ili životinja.

Fraktali, posebno u avionu, popularni su zbog kombinacije ljepote s lakoćom konstrukcije pomoću kompjutera.

Prvi primjeri samosličnih skupova s ​​neobičnim svojstvima pojavili su se u 19. stoljeću (na primjer, Bolzanova funkcija, Weierstrassova funkcija, Cantorov skup). Termin "fraktal" skovao je Benoit Mandelbrot 1975. godine i stekao je široku popularnost objavljivanjem njegove knjige "Fraktalna geometrija prirode" 1977. godine.

Slika lijevo prikazuje jednostavan primjer fraktala Darer Pentagona, koji izgleda kao gomila peterokuta zgnječenih zajedno. Zapravo, formira se korištenjem petougla kao pokretača i jednakokračnih trokuta, u kojima je omjer veće i manje strane tačno jednak takozvanom zlatnom rezu (1,618033989 ili 1/(2cos72°)) kao generator. Ovi trokuti su izrezani iz sredine svakog petougla, što rezultira oblikom koji izgleda kao 5 malih peterokuta zalijepljenih za jedan veliki.

Teorija haosa kaže da su složeni nelinearni sistemi nasledno nepredvidivi, ali istovremeno tvrdi da se način izražavanja takvih nepredvidivih sistema ispostavlja ispravnim ne u tačnim jednakostima, već u prikazima ponašanja sistema - u grafovima čudnih atraktora. , koji izgledaju kao fraktali. Tako se teorija haosa, koju mnogi smatraju nepredvidljivošću, pokazuje kao nauka o predvidljivosti čak iu najnestabilnijim sistemima. Proučavanje dinamičkih sistema pokazuje da jednostavne jednačine mogu dovesti do haotičnog ponašanja u kojem se sistem nikada ne vraća u stabilno stanje i ne pojavljuje se obrazac. Često se takvi sistemi ponašaju sasvim normalno do određene vrijednosti ključnog parametra, zatim doživljavaju tranziciju u kojoj postoje dvije mogućnosti za dalji razvoj, zatim četiri i na kraju haotičan skup mogućnosti.

Šeme procesa koji se odvijaju u tehničkim objektima imaju jasno definisanu fraktalnu strukturu. Struktura minimalnog tehničkog sistema (TS) podrazumeva pojavu u okviru TS dve vrste procesa - glavnog i pratećih, a ova podela je uslovna i relativna. Svaki proces može biti glavni u odnosu na prateće procese, a bilo koji od pratećih procesa može se smatrati glavnim u odnosu na „svoje“ prateće procese. Krugovi na dijagramu označavaju fizičke efekte koji osiguravaju nastanak onih procesa za koje nije potrebno posebno kreirati „vlastita“ vozila. Ovi procesi su rezultat interakcije između supstanci, polja, supstanci i polja. Da budemo precizniji, fizički efekat je vozilo na čiji princip rada ne možemo da utičemo, a ne želimo ili nemamo mogućnost da ometamo njegov dizajn.

Tok glavnog procesa prikazanog na dijagramu osiguran je postojanjem tri prateća procesa, koji su glavni za TS koji ih generiše. Iskreno rečeno, napominjemo da za funkcioniranje čak i minimalnog TS-a tri procesa očito nisu dovoljna, tj. Shema je vrlo, vrlo pretjerana.

Daleko od toga da sve nije tako jednostavno kao što je prikazano na dijagramu. Proces koji je koristan (potreban čoveku) ne može se obaviti sa stopostotnom efikasnošću. Rasipana energija se troši na stvaranje štetnih procesa - zagrijavanje, vibracije itd. Kao rezultat toga, štetni nastaju paralelno s korisnim procesom. Nije uvijek moguće “loš” proces zamijeniti “dobrim”, pa je potrebno organizovati nove procese koji imaju za cilj kompenzaciju štetnih posljedica po sistem. Tipičan primjer je potreba za borbom protiv trenja, koja prisiljava da organiziramo genijalne sheme podmazivanja, koristimo skupe antifrikcione materijale ili trošimo vrijeme na podmazivanje komponenti i dijelova ili njihovu povremenu zamjenu.

Zbog neizbježnog utjecaja promjenjivog okruženja, korisnim procesom možda će biti potrebno upravljati. Upravljanje se može vršiti pomoću automatskih uređaja ili direktno od strane osobe. Procesni dijagram je zapravo skup posebnih naredbi, tj. algoritam. Suština (opis) svake naredbe je ukupnost jednog korisnog procesa, štetnih procesa koji ga prate i skupa neophodnih kontrolnih procesa. U takvom algoritmu, skup pratećih procesa je redovan potprogram - a ovdje otkrivamo i fraktal. Nastala prije četvrt stoljeća, R. Kollerova metoda omogućava kreiranje sistema sa prilično ograničenim skupom od samo 12 parova funkcija (procesa).

Samoslični skupovi sa neobičnim svojstvima u matematici

Od kraja 19. stoljeća u matematici se pojavljuju primjeri sebi sličnih objekata sa svojstvima koja su patološka sa stanovišta klasične analize. To uključuje sljedeće:

Cantorov skup je nigdje gust nebrojiv savršen skup. Modifikovanjem procedure, takođe se može dobiti nigde gust skup pozitivne dužine.

trougao Sierpinski („stolnjak“) i tepih Sierpinskog analogi su Cantoru postavljenom na ravni.

Mengerov sunđer je analog Cantorovog skupa u trodimenzionalnom prostoru;

primjeri Weierstrassa i Van der Waerdena nigdje diferencibilne kontinuirane funkcije.

Kochova kriva je neprekidna kriva beskonačne dužine koja se ne siječe i nema tangentu ni u jednoj tački;

Peano kriva je kontinuirana kriva koja prolazi kroz sve tačke kvadrata.

putanja Brownove čestice se također nigdje ne može razlikovati s vjerovatnoćom 1. Njegova Hausdorfova dimenzija je dva

Rekurzivni postupak za dobijanje fraktalnih krivulja

Konstrukcija Kochove krive

Postoji jednostavan rekurzivni postupak za dobijanje fraktalnih krivulja na ravni. Definirajmo proizvoljnu izlomljenu liniju sa konačnim brojem veza, koja se zove generator. Zatim, zamijenimo svaki segment u njemu generatorom (tačnije, isprekidanom linijom slična generatoru). U rezultirajućoj isprekidanoj liniji svaki segment ponovo zamjenjujemo generatorom. Nastavljajući u beskonačnost, u granici dobijamo fraktalnu krivu. Slika desno prikazuje prva četiri koraka ove procedure za Kochovu krivu.

Primjeri takvih krivulja su:

zmajeva kriva,

Kochova kriva (Koch pahulja),

Lewyjeva kriva,

kriva Minkovskog,

Hilbertova kriva,

Slomljena (kriva) zmaja (Harter-Haithway fraktal),

Peano kriva.

Sličnim postupkom dobija se pitagorino stablo.

Fraktali kao fiksne tačke kompresijskih preslikavanja

Svojstvo samosličnosti može se matematički striktno izraziti na sljedeći način. Neka biti kontraktivna preslikavanja ravnine. Razmotrimo sljedeće preslikavanje na skup svih kompaktnih (zatvorenih i ograničenih) podskupova ravnine:

Može se pokazati da je preslikavanje kontrakciono preslikavanje na skupu kompakta s Hausdorffovom metrikom. Prema tome, prema Banachovoj teoremi, ovo preslikavanje ima jedinstvenu fiksnu tačku. Ova fiksna tačka će biti naš fraktal.

Rekurzivna procedura za dobijanje fraktalnih krivulja opisana je poseban slučaj ove konstrukcije. Sva preslikavanja u njemu su mapiranja sličnosti, i - broj generatorskih veza.

Za trokut Sierpinskog i mapu , , su homotetije sa centrima na vrhovima pravilnog trokuta i koeficijentom 1/2. Lako je vidjeti da se trokut Sierpinskog transformira u sebe kada se prikaže.

U slučaju kada su preslikavanja transformacije sličnosti sa koeficijentima, dimenzija fraktala (pod nekim dodatnim tehničkim uslovima) može se izračunati kao rješenje jednačine. Dakle, za trokut Sierpinskog dobijamo .

Po istom Banahovom teoremu, počevši od bilo kojeg kompaktnog skupa i primjenom iteracija mape na njega, dobijamo niz kompaktnih skupova koji konvergiraju (u smislu Hausdorffove metrike) našem fraktalu.

Fraktali u kompleksnoj dinamici

Julia set

Još jedan Julia set

Fraktali nastaju prirodno kada se proučavaju nelinearni dinamički sistemi. Najviše proučavan slučaj je kada je dinamički sistem specificiran iteracijama polinoma ili holomorfne funkcije kompleksne varijable na ravni. Prve studije u ovoj oblasti datiraju s početka 20. stoljeća i povezuju se s imenima Fatou i Julia.

Neka F(z) - polinom, z 0 je kompleksan broj. Razmotrite sljedeći niz: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Zanima nas ponašanje ove sekvence u njenoj tendenciji n do beskonačnosti. Ova sekvenca može:

teži ka beskonačnosti,

težiti krajnjoj granici

pokazuju ciklično ponašanje u granicama, na primjer: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

ponašati se haotično, odnosno ne demonstrirati nijedan od tri navedena tipa ponašanja.

Skupovi vrijednosti z 0, za koji sekvenca pokazuje jedan određeni tip ponašanja, kao i više tačaka bifurkacije između različitih tipova, često imaju fraktalna svojstva.

Dakle, Julia skup je skup tačaka bifurkacije za polinom F(z)=z 2 +c(ili druge slične funkcije), odnosno te vrijednosti z 0 za koji je ponašanje niza ( z n) može se dramatično promijeniti sa proizvoljno malim promjenama z 0 .

Druga opcija za dobijanje fraktalnih skupova je uvođenje parametra u polinom F(z) i razmatranje skupa onih vrijednosti parametara za koje je sekvenca ( z n) pokazuje određeno ponašanje na fiks z 0 . Dakle, Mandelbrotov skup je skup svih , za koje ( z n) Za F(z)=z 2 +c I z 0 ne ide u beskonačnost.

Još jedan poznati primjer ove vrste su Newtonovi bazeni.

Popularno je kreirati prelepe grafičke slike zasnovane na složenoj dinamici bojenjem ravnih tačaka u zavisnosti od ponašanja odgovarajućih dinamičkih sistema. Na primjer, da biste dovršili Mandelbrotov set, možete obojiti točke ovisno o brzini aspiracije ( z n) do beskonačnosti (definirano, recimo, kao najmanji broj n, pri čemu | z n| će premašiti fiksnu veliku vrijednost A.

Biomorfi su fraktali izgrađeni na bazi složene dinamike i podsjećaju na žive organizme.

Stohastički fraktali

Slučajni fraktal baziran na Julia skupu

Prirodni objekti često imaju fraktalni oblik. Stohastički (slučajni) fraktali se mogu koristiti za njihovo modeliranje. Primjeri stohastičkih fraktala:

putanja Brownovog kretanja na ravni i u prostoru;

granica putanje Brownovog kretanja na ravni. Lawler, Schramm i Werner su 2001. dokazali Mandelbrotovu hipotezu da je njegova dimenzija 4/3.

Schramm-Löwnerove evolucije su konformno invarijantne fraktalne krive koje nastaju u kritičnim dvodimenzionalnim modelima statističke mehanike, na primjer, u Izingovom modelu i perkolaciji.

razne vrste randomiziranih fraktala, odnosno fraktala dobivenih korištenjem rekurzivne procedure u koju se u svakom koraku unosi slučajni parametar. Plazma je primjer upotrebe takvog fraktala u kompjuterskoj grafici.

U prirodi

Pogled sprijeda na traheju i bronhije

Bronhijalno drvo

Mreža krvnih sudova

Aplikacija

Prirodne nauke

U fizici, fraktali se prirodno javljaju prilikom modeliranja nelinearnih procesa, kao što su turbulentni tok fluida, složeni procesi difuzije-adsorpcije, plamen, oblaci, itd. Fraktali se koriste pri modeliranju poroznih materijala, na primjer, u petrohemiji. U biologiji se koriste za modeliranje populacija i za opisivanje sistema unutrašnjih organa (sistem krvnih sudova).

Radio inženjering

Fraktalne antene

Korištenje fraktalne geometrije u dizajnu antenskih uređaja prvi je upotrijebio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je ugradnja vanjskih antena na zgrade bila zabranjena. Nathan je izrezao oblik Kochove krivulje od aluminijske folije i zalijepio ga na komad papira, a zatim ga pričvrstio na prijemnik. Cohen je osnovao vlastitu kompaniju i započeo njihovu serijsku proizvodnju.

Računarska nauka

Kompresija slike

Glavni članak: Algoritam fraktalne kompresije

Fraktalno drvo

Postoje algoritmi kompresije slike koji koriste fraktale. Oni se zasnivaju na ideji da se umjesto same slike može pohraniti mapa kompresije za koju je ova slika (ili neka bliska) fiksna tačka. Korištena je jedna od varijanti ovog algoritma [ izvor nije naveden 895 dana] od strane Microsofta prilikom objavljivanja svoje enciklopedije, ali ovi algoritmi nisu bili široko korišteni.

Kompjuterska grafika

Još jedno fraktalno drvo

Fraktali se široko koriste u kompjuterskoj grafici za konstruisanje slika prirodnih objekata, kao što su drveće, grmlje, planinski pejzaži, morske površine i tako dalje. Postoji mnogo programa koji se koriste za generiranje fraktalnih slika, pogledajte Fraktalni generator (program).

Decentralizovane mreže

Sistem dodjeljivanja IP adresa u Netsukuku mreži koristi princip fraktalne kompresije informacija za kompaktno pohranjivanje informacija o mrežnim čvorovima. Svaki čvor u Netsukuku mreži pohranjuje samo 4 KB informacija o stanju susjednih čvorova, dok se svaki novi čvor povezuje na zajedničku mrežu bez potrebe za centralnom regulacijom distribucije IP adresa, što je npr. Internet. Dakle, princip fraktalne kompresije informacija garantuje potpuno decentralizovan, a samim tim i najstabilniji rad cele mreže.

Fraktali su poznati skoro jedan vek, dobro su proučavani i imaju brojne primene u životu. Ovaj fenomen se temelji na vrlo jednostavnoj ideji: beskonačan broj oblika u ljepoti i raznolikosti može se dobiti iz relativno jednostavnih dizajna koristeći samo dvije operacije - kopiranje i skaliranje

Ovaj koncept nema strogu definiciju. Dakle, riječ "fraktal" nije matematički pojam. Ovo je obično ime koje se daje geometrijskoj figuri koja zadovoljava jedno ili više od sljedećih svojstava:

• ima složenu strukturu pri svakom povećanju;
• je (približno) sebi sličan;
• ima frakcijsku Hausdorffovu (fraktalnu) dimenziju, koja je veća od topološke;
• mogu se konstruisati rekurzivnim procedurama.

Na prelazu iz 19. u 20. vek proučavanje fraktala bilo je više epizodično nego sistematično, jer su matematičari ranije uglavnom proučavali „dobre“ objekte koji su se mogli proučavati korišćenjem opštih metoda i teorija. Godine 1872. njemački matematičar Karl Weierstrass konstruirao je primjer kontinuirane funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, njegova konstrukcija je bila potpuno apstraktna i teško razumljiva. Stoga je 1904. Šveđanin Helge von Koch osmislio kontinuiranu krivu koja nigdje nema tangente i koju je prilično lako nacrtati. Ispostavilo se da ima svojstva fraktala. Jedna varijanta ove krive se zove “Koch pahulja”.

Ideje o samosličnosti figura preuzeo je Francuz Paul Pierre Levy, budući mentor Benoita Mandelbrota. Godine 1938. objavljen je njegov članak "Ravne i prostorne krive i površine koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini", u kojem je opisan još jedan fraktal - Lévy C-kriva. Svi ovi gore navedeni fraktali mogu se uslovno svrstati u jednu klasu konstruktivnih (geometrijskih) fraktala.

Druga klasa su dinamički (algebarski) fraktali, koji uključuju Mandelbrotov skup. Prva istraživanja u ovom pravcu datiraju s početka 20. stoljeća i vezuju se za imena francuskih matematičara Gastona Julije i Pierre Fatoua. Julia je 1918. godine objavila rad od skoro dvije stotine stranica o iteracijama složenih racionalnih funkcija, koji opisuje Julijine skupove – cijelu porodicu fraktala blisko povezanih s Mandelbrotovim skupom. Ovaj rad je dobio nagradu Francuske akademije, ali nije sadržavao niti jednu ilustraciju, tako da je bilo nemoguće cijeniti ljepotu otvorenih objekata. Uprkos činjenici da je ovo djelo učinilo Juliju poznatom među matematičarima tog vremena, brzo je zaboravljeno.

Ponovo se pažnja na rad Julije i Fatoua okrenula tek pola veka kasnije, sa pojavom kompjutera: upravo su oni učinili vidljivim bogatstvo i lepotu sveta fraktala. Na kraju krajeva, Fatou nikada nije mogao pogledati slike koje danas poznajemo kao slike Mandelbrotovog skupa, jer se potreban broj proračuna ne može izvršiti ručno. Prva osoba koja je koristila kompjuter za ovo bio je Benoit Mandelbrot.

Godine 1982. objavljena je Mandelbrotova knjiga “Fraktalna geometrija prirode” u kojoj je autor prikupio i sistematizovao gotovo sve informacije o fraktalima koje su tada bile dostupne i prikazao ih na jednostavan i pristupačan način. Mandelbrot je glavni naglasak u svom izlaganju stavio ne na teške formule i matematičke konstrukcije, već na geometrijsku intuiciju čitatelja. Zahvaljujući kompjuterskim ilustracijama i povijesnim pričama, kojima je autor vješto razvodnio naučnu komponentu monografije, knjiga je postala bestseler, a fraktali poznati široj javnosti. Njihov uspjeh među nematematičarima uvelike je rezultat činjenice da se uz pomoć vrlo jednostavnih konstrukcija i formula koje čak i srednjoškolac može razumjeti, dobijaju slike zadivljujuće složenosti i ljepote. Kada su personalni računari postali dovoljno moćni, pojavio se čak i čitav pravac u umetnosti - fraktalno slikanje, a to je mogao da uradi skoro svaki vlasnik računara. Sada na Internetu možete lako pronaći mnoge stranice posvećene ovoj temi.