Dom / Ječam/ Pronađite ugao između datih ravnina. Pronalaženje ugla između ravnina (diedralni ugao)

Pronađite ugao između datih ravnina. Pronalaženje ugla između ravnina (diedralni ugao)

$\blacktriangleright$ Diedarski ugao je ugao koji čine dvije poluravnine i prava linija $a$, koja je njihova zajednička granica.

$\blacktriangleright$ Da biste pronašli ugao između ravni $\xi$ i $\pi$ , morate pronaći linearni ugao (i ljuto ili ravno) diedarski ugao formiran od ravni $\xi$ i $\pi$:

Korak 1: neka $\xi\cap\pi=a$ (linija presjeka ravnina). U ravni $\xi$ označimo proizvoljnu tačku $F$ i nacrtamo $FA\perp a$ ;

Korak 2: izvršite $FG\perp \pi$ ;

Korak 3: prema TTP ($FG$ – okomito, $FA$ – koso, $AG$ – projekcija) imamo: $AG\perp a$ ;

Korak 4: Ugao $\ugao FAG$ naziva se linearni ugao diedarskog ugla koji formiraju ravni $\xi$ i $\pi$ .

Imajte na umu da je trougao $AG$ pravougao.
Imajte na umu da je ravan $AFG$ konstruisana na ovaj način okomita na obje ravni $\xi$ i $\pi$ . Stoga to možemo reći drugačije: ugao između ravni$\xi$ i $\pi$ je ugao između dvije prave koje se seku $c\in \xi$ i $b\in\pi$ koje formiraju ravan okomitu na i $\xi\ ) i \(\pi$ .

Zadatak 1 #2875

Nivo zadatka: Teži od Jedinstvenog državnog ispita

Zadana je četverokutna piramida, čiji su svi rubovi jednaki, a osnova je kvadrat. Pronađite $6\cos \alpha$ , gdje je $\alpha$ ugao između njegovih susjednih bočnih strana.

Neka je $SABCD$ data piramida ($S$ je vrh) čije su ivice jednake $a$ . Prema tome, sve bočne strane su jednaki jednakostrani trouglovi. Nađimo ugao između lica $SAD$ i $SCD$ .

Uradimo $CH\perp SD$ . Jer $\trougao SAD=\trougao SCD$, tada će $AH$ također biti visina $\trougla SAD$ . Prema tome, po definiciji, $\ugao AHC=\alpha$ je linearni ugao diedralnog ugla između strana $SAD$ i $SCD$ .
Pošto je baza kvadrat, onda $AC=a\sqrt2$ . Imajte na umu da je $CH=AH$ visina jednakostranični trougao sa stranom $a$ , dakle, $CH=AH=\frac(\sqrt3)2a$ .
Zatim, prema teoremi kosinusa iz $\trokut AHC$: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Odgovor: -2

Zadatak 2 #2876

Nivo zadatka: Teži od Jedinstvenog državnog ispita

Ravni $\pi_1$ i $\pi_2$ seku se pod uglom čiji je kosinus jednak $0,2$. Ravni $\pi_2$ i $\pi_3$ seku se pod pravim uglom, a linija preseka ravni $\pi_1$ i $\pi_2$ je paralelna sa linijom preseka ravnine $\pi_1$ i $\pi_2$ ravni $\pi_2$ i $\ pi_3$ . Pronađite sinus ugla između ravni $\pi_1$ i $\pi_3$ .

Neka je linija presjeka $\pi_1$ i $\pi_2$ prava $a$, a linija presjeka $\pi_2$ i $\pi_3$ prava linija $b$, a linija presjeka $\pi_3$ i $\pi_1$ – prava $c$ . Budući da $a\paralelno b$ , onda $c\paralelno a\paralelno b$ (prema teoremi iz dijela teorijske reference „Geometrija u prostoru“ $\rightarrow$ „Uvod u stereometriju, paralelizam”).

Označimo tačke $A\in a, B\in b$ tako da je $AB\perp a, AB\perp b$ (ovo je moguće jer $a\parallel b$ ). Označimo $C\in c$ tako da je $BC\perp c$ , dakle, $BC\perp b$ . Zatim $AC\perp c$ i $AC\perp a$ .
Zaista, pošto je $AB\perp b, BC\perp b$ , tada je $b$ okomito na ravan $ABC$ . Budući da su $c\paralelno a\paralelno b$, tada su prave $a$ i $c$ također okomite na ravan $ABC$, pa prema tome na bilo koju pravu iz ove ravni, posebno , linija \ (AC\) .

Iz toga slijedi $\ugao BAC=\ugao (\pi_1, \pi_2)$, $\ugao ABC=\ugao (\pi_2, \pi_3)=90^\krug$, $\ugao BCA=\ugao (\pi_3, \pi_1)$. Ispada da je $\trougao ABC$ pravougaonog oblika, što znači \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Odgovor: 0.2

Zadatak 3 #2877

Nivo zadatka: Teži od Jedinstvenog državnog ispita

Date prave linije $a, b, c$ koje se seku u jednoj tački, a ugao između bilo koje dve od njih jednak je $60^\circ$ . Pronađite $\cos^(-1)\alpha$ , gdje je $\alpha$ ugao između ravni koju čine prave $a$ i $c$ i ravni koju čine prave $ b\ ) i \(c$ . Odgovor dajte u stepenima.

Neka se prave sijeku u tački $O$ . Pošto je ugao između bilo koje dvije od njih jednak $60^\circ$, onda sve tri prave ne mogu ležati u istoj ravni. Označimo tačku $A$ na pravoj $a$ i nacrtamo $AB\perp b$ i $AC\perp c$ . Onda $\trokut AOB=\trokut AOC$ kao pravougaoni duž hipotenuze i oštrog ugla. Prema tome, $OB=OC$ i $AB=AC$ .
Uradimo $AH\perp (BOC)$ . Zatim prema teoremi o tri okomice $HC\perp c$ , $HB\perp b$ . Pošto je $AB=AC$ , onda $\trokut AHB=\trokut AHC$ kao pravougaoni duž hipotenuze i kraka. Prema tome, $HB=HC$ . To znači da je $OH$ simetrala ugla $BOC$ (pošto je tačka $H$ jednako udaljena od stranica ugla).

Imajte na umu da smo na ovaj način konstruisali i linearni ugao diedarskog ugla formiranog od ravni koju čine prave $a$ i $c$ i ravni koju čine prave $b$ i $c $ . Ovo je ugao $ACH$ .

Nađimo ovaj ugao. Pošto smo tačku $A$ odabrali proizvoljno, izaberimo je tako da je $OA=2$ . Zatim u pravokutnom $\trokut AOC$: \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Pošto je $OH$ simetrala, onda $\ugao HOC=30^\circ$ , dakle, u pravougaonom $\trokutu HOC$: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Zatim iz pravokutnog $\trokuta ACH$: \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Odgovor: 3

Zadatak 4 #2910

Nivo zadatka: Teži od Jedinstvenog državnog ispita

Ravni $\pi_1$ i $\pi_2$ seku se duž prave linije $l$ na kojoj leže tačke $M$ i $N$. Segmenti $MA$ i $MB$ su okomiti na pravu $l$ i leže u ravnima $\pi_1$ i $\pi_2$, respektivno, i $MN = 15 $ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . Pronađite $3\cos\alpha$ , gdje je $\alpha$ ugao između ravni $\pi_1$ i $\pi_2$ .

Trougao $AMN$ je pravougli, $AN^2 = AM^2 + MN^2$, odakle \ Trougao $BMN$ je pravougao, $BN^2 = BM^2 + MN^2$, iz kojeg \Pišemo kosinus teoremu za trougao $AMB$: \ Onda \ Pošto je ugao $\alpha$ između ravnina oštar ugao, a $\ugao AMB$ se pokazao tup, tada je $\cos\alpha=\dfrac5(12)$ . Onda \

Odgovor: 1.25

Zadatak 5 #2911

Nivo zadatka: Teži od Jedinstvenog državnog ispita

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ je paralelepiped, $ABCD$ je kvadrat sa stranom $a$, tačka $M$ je osnova okomice spuštene iz tačke $A_1$ na ravan \ ((ABCD)\) , osim toga, $M$ je tačka presjeka dijagonala kvadrata $ABCD$ . To je poznato $A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a$. Pronađite ugao između ravni $(ABCD)$ i $(AA_1B_1B)$ . Odgovor dajte u stepenima.

Konstruirajmo $MN$ okomito na $AB$ kao što je prikazano na slici.

Pošto je $ABCD$ kvadrat sa stranicom $a$ i $MN\perp AB$ i $BC\perp AB$ , tada $MN\paralelno BC$ . Pošto je $M$ tačka preseka dijagonala kvadrata, onda je $M$ sredina $AC$, dakle, $MN$ je srednja linija i $MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a$.
$MN$ je projekcija $A_1N$ na ravan $(ABCD)$, a $MN$ je okomita na $AB$, tada je, prema teoremi o tri okomice, \ (A_1N\) je okomito na $AB $, a ugao između ravni $(ABCD)$ i $(AA_1B_1B)$ je $\ugao A_1NM$ .
\[\mathrm(tg)\, \ugao A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\ugao A_1NM = 60^(\circ)\]

Odgovor: 60

Zadatak 6 #1854

Nivo zadatka: Teži od Jedinstvenog državnog ispita

U kvadratu $ABCD$ : $O$ – tačka preseka dijagonala; $S$ – ne leži u ravni kvadrata, $SO \perp ABC$ . Pronađite ugao između ravnina $ASD$ i $ABC$ ako je $SO = 5$ i $AB = 10$ .

Pravokutni trougao $\trokut SAO$ i $\trokut SDO$ jednaki su po dvije stranice i ugao između njih ($SO \perp ABC$ $\Strelica desno$ $\ugao SOA = \ugao SOD = 90^\krug$; $AO = DO$ , jer $O$ – tačka preseka dijagonala kvadrata, $SO$ – zajednička stranica) $\Strelica desno$ $AS = SD$ $\Strelica desno$ $\trougao ASD\ ) – jednakokraki. Tačka \(K$ je sredina $AD$, tada je $SK$ visina trougla $\trokut ASD$, a $OK$ je visina trougla $ AOD$ $\ Strelica desno$ ravan $SOK$ je okomita na ravni $ASD$ i $ABC$ $\Strelica desno$ $\ugao SKO$ – linearni ugao jednak željenom diedarski ugao.

U $\trokut SKO$ : $OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO$$\Strelica desno$ $\trougao SOK$ – jednakokraki pravougaoni trougao $\Strelica desno$ $\ugao SKO = 45^\krug$ .

Odgovor: 45

Zadatak 7 #1855

Nivo zadatka: Teži od Jedinstvenog državnog ispita

U kvadratu $ABCD$ : $O$ – tačka preseka dijagonala; $S$ – ne leži u ravni kvadrata, $SO \perp ABC$ . Pronađite ugao između ravni $ASD$ i $BSC$ ako je $SO = 5$ i $AB = 10$ .

Pravokutni trougao $\trokut SAO$ , $\trokut SDO$ , $\trokut SOB$ i $\trokut SOC$ jednaki su po dvije stranice i ugao između njih ($SO \perp ABC) $ $\Strelica desno$ $\ugao SOA = \ugao SOD = \ugao SOB = \ugao SOC = 90^\krug$; $AO = OD = OB = OC$, jer $O$ – tačka preseka dijagonala kvadrata, $SO$ – zajednička stranica) $\Strelica desno$ $AS = DS = BS = CS$ $\Strelica desno$ $ \trougao ASD$ i $\trougao BSC$ su jednakokračne. Tačka $K$ je sredina $AD$, tada je $SK$ visina trougla $\trokut ASD$, a $OK$ je visina trougla $ AOD$ $\ Strelica desno$ ravan $SOK$ je okomita na ravan $ASD$ . Tačka $L$ je sredina $BC$, zatim $SL$ je visina u trokutu $\trokut BSC$, a $OL$ je visina u trokutu $ BOC$ $\ Strelica desno$ ravan $SOL$ (aka ravan $SOK$) je okomita na ravan $BSC$ . Tako dobijamo da je $\ugao KSL$ linearni ugao jednak željenom diedralnom uglu.

$KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10$$\Strelica desno$ $OL = 5$ ; $SK = SL$ – visine u jednakim jednakokračnim trouglovima, koje se mogu naći pomoću Pitagorine teoreme: $SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. Može se primijetiti da $SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2$$\Rightarrow$ za trokut $\trokut KSL$ vrijedi inverzna Pitagorina teorema $\Rightarrow$ $\trougao KSL$ – pravokutni trokut $\Strelica desno$ $\ugao KSL = 90 ^\ circ$ .

Odgovor: 90

Priprema učenika za polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, u pravilu, počinje ponavljanjem osnovnih formula, uključujući i one koje vam omogućavaju da odredite ugao između ravnina. Uprkos činjenici da je ovaj dio geometrije dovoljno detaljno obrađen u okviru školskog programa, mnogi maturanti moraju ponoviti osnovno gradivo. Razumijevajući kako pronaći ugao između ravnina, srednjoškolci će moći brzo izračunati tačan odgovor prilikom rješavanja zadatka i računati da će dobiti pristojne ocjene na rezultatima položenog jedinstvenog državnog ispita.

Glavne nijanse

Kako bismo osigurali da pitanje kako pronaći diedarski kut ne uzrokuje poteškoće, preporučujemo da slijedite algoritam rješenja koji će vam pomoći da se nosite sa zadacima Jedinstvenog državnog ispita.

Prvo morate odrediti pravu liniju duž koje se ravnine sijeku.

Zatim morate odabrati tačku na ovoj liniji i nacrtati dvije okomice na nju.

Sljedeći korak je pronalaženje trigonometrijska funkcija diedarski ugao formiran okomitima. Najprikladniji način da to učinite je uz pomoć rezultirajućeg trokuta, čiji je ugao dio.

Odgovor će biti vrijednost ugla ili njegova trigonometrijska funkcija.

Priprema za ispit sa Shkolkovom je ključ vašeg uspjeha

Tokom nastave dan ranije polaganje Jedinstvenog državnog ispita Mnogi školarci suočeni su s problemom pronalaženja definicija i formula koje im omogućavaju da izračunaju ugao između 2 ravnine. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci tačno kada je potreban. I pronaći potrebne formule i primjere za njih ispravnu primjenu, uključujući i pronalaženje ugla između aviona na Internetu, ponekad morate provesti dosta vremena.

Matematički portal "Školkovo" nudi novi pristup da se pripremi za državni ispit. Časovi na našoj web stranici pomoći će učenicima da identificiraju najteže dijelove za sebe i popune praznine u znanju.

Sve smo pripremili i jasno predstavili potreban materijal. Osnovne definicije i formule su predstavljene u odjeljku “Teorijske informacije”.

Radi boljeg razumijevanja gradiva predlažemo i uvježbavanje odgovarajućih vježbi. Veliki izbor zadataka različitog stepena složenosti, na primjer, prikazan je u odjeljku "Katalog". Svi zadaci sadrže detaljan algoritam za pronalaženje tačnog odgovora. Lista vježbi na web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

Dok vježbaju rješavanje problema koji zahtijevaju pronalaženje ugla između dvije ravnine, učenici imaju priliku da sačuvaju bilo koji zadatak na mreži kao „Favorite“. Zahvaljujući tome, moći će se vraćati na njega potreban broj puta i razgovarati o napretku njegovog rješavanja sa učiteljem ili nastavnikom u školi.

Razmotrite dvije ravnine R 1 i R 2 sa normalnim vektorima n 1 i n 2. Ugao φ između ravnina R 1 i R 2 se izražava kroz ugao ψ = $\widehat((n_1; n_2))$ na sljedeći način: ako ψ < 90°, tada je φ = ψ (Sl. 202, a); ako je ψ > 90°, onda je ψ = 180° - ψ (slika 202.6).

Očigledno je da je u svakom slučaju jednakost istinita

cos φ = |cos ψ|

Budući da je kosinus ugla između vektora koji nisu nula jednak skalarnom proizvodu ovih vektora podijeljen umnošku njihovih dužina, imamo

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

i, prema tome, kosinus ugla φ između ravnina R 1 i R 2 se može izračunati pomoću formule

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Ako su ravni date opštim jednačinama

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 i A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0,

tada za njihove normalne vektore možemo uzeti vektore n 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) i n 2 = (A 2; B 2; C 2).

Zapisujući desnu stranu formule (1) u terminima koordinata, dobijamo

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

Zadatak 1. Izračunajte ugao između ravnina

X - √2 y + z- 2 = 0 i x+ √2 y - z + 13 = 0.

U ovom slučaju, A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

Iz formule (2) dobijamo

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Dakle, ugao između ovih ravni je 60°.

Avioni sa normalnim vektorima n 1 i n 2:

a) su paralelni ako i samo ako su vektori n 1 i n 2 su kolinearne;

b) okomita ako i samo ako su vektori n 1 i n 2 su okomite, tj. kada n 1 n 2 = 0.

Odavde dobijamo neophodne i dovoljne uslove paralelizam i okomitost dvije ravni date općim jednačinama.

U avion

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 i A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

bile paralelne, neophodno je i dovoljno da se jednakosti održavaju

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$

Ako je bilo koji od koeficijenata A 2 , B 2 , C 2 jednak nuli, pretpostavlja se da je odgovarajući koeficijent A 1 , B 1 , C 1 jednak nuli

Neuspjeh barem jedne od ove dvije jednakosti znači da ravni nisu paralelne, odnosno da se seku.

Za okomitost ravnina

A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 i A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0

neophodno je i dovoljno da bi se ostvarila jednakost

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

Zadatak 2. Među sljedećim parovima aviona:

2X + 5at + 7z- 1 = 0 i 3 X - 4at + 2z = 0,

at - 3z+ 1 = 0 i 2 at - 6z + 5 = 0,

4X + 2at - 4z+ 1 = 0 i 2 X + at + 2z + 3 = 0

označavaju paralelno ili okomito. Za prvi par aviona

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

tj. uslov okomitosti je zadovoljen. Ravnine su okomite.

Za drugi par aviona

$\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)$, jer $\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)$

a koeficijenti A 1 i A 2 jednaki su nuli. Dakle, ravni drugog para su paralelne. Za treći par

$\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)$, budući da $\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)$

i A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, tj. ravni trećeg para nisu ni paralelne ni okomite.

Ovaj članak govori o kutu između ravnina i kako ga pronaći. Prvo je data definicija ugla između dvije ravni i data je grafička ilustracija. Nakon toga je analiziran princip pronalaženja ugla između dvije ravnine koje se sijeku metodom koordinata i dobijena je formula koja vam omogućava da izračunate ugao između ravnina koje se sijeku koristeći poznate koordinate normalni vektori ovih ravni. U zaključku je prikazano detaljna rješenja karakteristični zadaci.

Navigacija po stranici.

Ugao između ravnina - definicija.

Izložimo argumente koji će nam omogućiti da postepeno pristupimo određivanju ugla između dvije ravnine koje se sijeku.

Neka nam se daju dvije ravnine koje se sijeku i . Ove ravni se sijeku duž prave linije koju označavamo slovom c. Konstruirajmo ravan koja prolazi kroz tačku M prave c i okomita na pravu c. U ovom slučaju, ravan će presjeći ravnine i. Označimo pravu liniju duž koje se ravnine sijeku kao a, a pravu liniju duž koje se ravnine sijeku kao b. Očigledno, prave a i b seku se u tački M.

Lako je pokazati da ugao između pravih a i b koji se seku ne zavisi od položaja tačke M na pravoj c kroz koju ravnina prolazi.

Konstruirajmo ravan okomitu na pravu c i različitu od ravnine. Ravan se siječe ravninama i duž pravih linija, koje označavamo kao a 1 i b 1, respektivno.

Iz metode konstruisanja ravni proizilazi da su prave a i b okomite na pravu c, a prave a 1 i b 1 okomite na pravu c. Kako prave a i a 1 leže u istoj ravni i okomite su na pravu c, onda su one paralelne. Slično, prave b i b 1 leže u istoj ravni i okomite su na pravu c, dakle, paralelne su. Dakle, moguće je izvršiti paralelni prenos ravni u ravan, u kojoj se prava a 1 poklapa sa pravom a, a prava b sa pravom b 1. Dakle, ugao između dve prave koje se seku a 1 i b 1 jednaka uglu između pravih a i b koje se seku.

Ovo dokazuje da ugao između pravih a i b koje se seku u ravninama koje se seku i da ne zavisi od izbora tačke M kroz koju ta ravan prolazi. Stoga je logično uzeti ovaj ugao kao ugao između dvije ravnine koje se sijeku.

Sada možete izraziti definiciju ugla između dvije ravnine i.

Definicija.

Ugao između dvije ravnine koje se sijeku u pravoj liniji i- ovo je ugao između dvije prave a i b koje se seku, duž kojih se ravni i sijeku sa ravninom okomitom na pravu c.

Definicija ugla između dvije ravni može se dati malo drugačije. Ako se na pravoj c duž koje se sijeku ravnine, označi tačku M i kroz nju povuče prave a i b, okomite na pravu c i koje leže u ravnima i, respektivno, tada je ugao između pravih a a b je ugao između ravnina i. Obično se u praksi izvode upravo takve konstrukcije kako bi se dobio ugao između ravnina.

Pošto ugao između linija koje se seku ne prelazi , iz navedene definicije sledi da je stepen mere ugla između dve ravnine koje se seku izražavaju realnim brojem iz intervala. U ovom slučaju se nazivaju ravnine koje se seku okomito, ako je ugao između njih devedeset stepeni. Ugao između paralelnih ravni se ili uopće ne određuje ili se smatra jednakim nuli.

Pronalaženje ugla između dvije ravnine koje se ukrštaju.

Obično, kada pronađete ugao između dvije ravnine koje se sijeku, prvo morate izvršiti dodatne konstrukcije da vidite prave linije koje se seku, ugao između kojih je jednak željenom kutu, a zatim povezati ovaj ugao sa originalnim podacima pomoću testova jednakosti, sličnosti testovi, kosinusni teorem ili definicije sinusa, kosinusa i tangenta ugla. U toku geometrije srednja škola javljaju se slični problemi.

Kao primjer navedemo rješenje zadatka C2 sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 2012. godinu (uslov je namjerno promijenjen, ali to ne utiče na princip rješenja). U njemu ste samo trebali pronaći ugao između dvije ravnine koje se seku.

Primjer.

Rješenje.

Prvo, napravimo crtež.

Izradimo dodatne konstrukcije da „vidimo“ ugao između ravnina.

Prvo, definirajmo pravu liniju duž koje se sijeku ravni ABC i BED 1. Tačka B je jedna od njihovih zajedničkih tačaka. Nađimo drugu zajedničku tačku ovih ravni. Prave DA i D 1 E leže u istoj ravni ADD 1 i nisu paralelne, pa se stoga sijeku. S druge strane, prava DA leži u ravni ABC, a prava D 1 E - u ravni BED 1, stoga će tačka preseka pravih DA i D 1 E biti zajednička tačka ravnina ABC i BED 1. Dakle, nastavimo linije DA i D 1 E do njihovog sjecišta, označavajući točku njihovog sjecišta slovom F. Tada je BF prava linija duž koje se sijeku ravni ABC i BED 1.

Ostaje konstruirati dvije prave koje leže u ravninama ABC i BED 1, respektivno, prolazeći kroz jednu tačku na pravoj BF i okomito na pravu BF - ugao između ovih pravih, po definiciji, bit će jednak željenom kutu između avioni ABC i BED 1. Hajde da to uradimo.

Dot A je projekcija tačke E na ravan ABC. Nacrtajmo pravu liniju koja seče liniju BF pod pravim uglom u tački M. Tada je prava AM projekcija prave EM na ravan ABC, a prema teoremi o tri okomice.

Dakle, traženi ugao između ravnina ABC i BED 1 jednak je .

Možemo odrediti sinus, kosinus ili tangent ovog ugla (a samim tim i sam ugao) iz pravouglog trokuta AEM ako znamo dužine njegove dve strane. Iz uslova je lako pronaći dužinu AE: pošto tačka E deli stranu AA 1 u omjeru 4 prema 3, računajući od tačke A, a dužina stranice AA 1 je 7, onda je AE = 4. Nađimo dužinu AM.

Da biste to učinili, razmotrite pravougli trokut ABF sa pravim uglom A, gdje je AM visina. Po uslovu AB = 2. Dužinu stranice AF možemo pronaći iz sličnosti pravokutnih trokuta DD 1 F i AEF:

Koristeći Pitagorinu teoremu, nalazimo iz trougla ABF. Dužinu AM nalazimo kroz površinu trokuta ABF: na jednoj strani površina trokuta ABF je jednaka , na drugoj strani , gdje .

Dakle, iz pravouglog trougla imamo AEM .

Tada je traženi ugao između ravnina ABC i BED 1 jednak (imajte na umu da ).

odgovor:

U nekim slučajevima, da biste pronašli ugao između dvije ravnine koje se sijeku, zgodno je postaviti Oxyz i koristiti koordinatni metod. Zaustavimo se tu.

Postavimo zadatak: pronaći ugao između dvije ravnine koje se sijeku i . Označimo željeni ugao kao .

Pretpostavićemo da u datom pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz znamo koordinate vektora normale ravnina koje se seku i ili imamo priliku da ih pronađemo. Neka je normalni vektor ravni, i je normalni vektor ravnine. Pokazat ćemo kako pronaći ugao između ravnina koje se sijeku i kroz koordinate vektora normale ovih ravnina.

Označimo pravu liniju duž koje se sijeku ravni i sa c. Kroz tačku M na pravoj c povlačimo ravan okomitu na pravu c. Ravan seče ravnine i duž pravih a i b, redom, prave a i b seku u tački M. Po definiciji, ugao između ravnina koje se seku i jednak je uglu između pravih a i b koje se seku.

Nacrtajmo normalne vektore i ravni i iz tačke M u ravni. U ovom slučaju, vektor leži na pravoj koja je okomita na pravu a, a vektor leži na pravoj koja je okomita na pravu b. Dakle, u ravni je vektor normalni vektor prave a, vektor normale prave b.

U članku o pronalaženju ugla između linija koje se sijeku, dobili smo formulu koja nam omogućava da izračunamo kosinus ugla između linija koje se sijeku koristeći koordinate vektora normale. Dakle, kosinus ugla između pravih a i b, i, posljedično, kosinus ugla između ravnina koje se seku i nalazi se po formuli, gdje I su normalni vektori ravni i, respektivno. Tada se izračunava kao .

Rješimo prethodni primjer koristeći koordinatnu metodu.

Primjer.

Dat je pravougaoni paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, u kojem je AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 i tačka E dijeli stranu AA 1 u omjeru 4 prema 3, računajući od tačke A. Pronađite ugao između ravnina ABC i BED 1.

Rješenje.

Budući da su stranice pravougaonog paralelepipeda u jednom vrhu okomite u parovima, zgodno je uvesti pravougaoni koordinatni sistem Oxyz na sljedeći način: poravnati početak sa vrhom C, a koordinatne ose Ox, Oy i Oz usmjeriti duž stranica CD , CB i CC 1, respektivno.

Ugao između ravni ABC i BED 1 može se pronaći preko koordinata vektora normale ovih ravnina koristeći formulu , gdje su i normalni vektori ravni ABC i BED 1, respektivno. Odredimo koordinate vektora normale.

Vrsta posla: 14
Tema: Ugao između ravnina

Stanje

S obzirom na pravilnu prizmu ABCDA_1B_1C_1D_1, M i N su sredine ivica AB i BC, respektivno, tačka K je središte MN.

A) Dokažite da su prave KD_1 i MN okomite.

b) Pronađite ugao između ravnina MND_1 i ABC ako AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Pokaži rješenje

Rješenje

A) U \trokutu DCN i \trokutu MAD imamo: \ugao C=\ugao A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

Otuda \trougao DCN=\trougao MAD na dve noge. Onda MD=DN, \trougao DMN jednakokraki. To znači da je medijan DK ujedno i visina. Dakle, DK \perp MN.

DD_1 \perp MND po uvjetu, D_1K - kosi, KD - projekcija, DK \perp MN.

Dakle, prema teoremi o tri okomice MN\perp D_1K.

b) Kao što je dokazano u A), DK \perp MN i MN \perp D_1K, ali je MN linija presjeka ravnina MND_1 i ABC, što znači da je \ugao DKD_1 linearni ugao diedralnog ugla između ravnina MND_1 i ABC.

U \trouglu DAM prema Pitagorinoj teoremi DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2. Dakle, u \trouglu DKM po Pitagorinoj teoremi DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2. Zatim u \trouglu DKD_1, tg\ugao DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

To znači \ugao DKD_1=45^(\circ).

Odgovori

45^(\circ).

Vrsta posla: 14
Tema: Ugao između ravnina

Stanje

U pravilnoj četvorougaonoj prizmi ABCDA_1B_1C_1D_1 stranice osnove su jednake 4, a bočne ivice jednake su 6. Tačka M je sredina ivice CC_1, tačka N je označena na ivici BB_1, tako da je BN:NB_1=1:2.

A) U kom omjeru AMN ravan dijeli ivicu DD_1?

b) Pronađite ugao između ravnina ABC i AMN.

Pokaži rješenje

Rješenje

A) Ravan AMN seče ivicu DD_1 u tački K, koja je četvrti vrh preseka date prizme ovom ravninom. Poprečni presjek je paralelogram ANMK jer su suprotne strane date prizme paralelne.

BN =\frac13BB_1=2. Nacrtajmo KL \paralelni CD, tada su trouglovi ABN i KLM jednaki, što znači ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. Tada je KD_1=6-1=5. Sada možete pronaći omjer KD:KD_1=1:5.

b) F je tačka presjeka pravih CD i KM. Ravne ABC i AMN seku se duž prave AF. Ugao \ugao KHD =\alpha je linearni ugao diedarskog ugla (HD\perp AF, zatim prema teoremi inverznoj teoremi o tri okomice, KH \perp AF), i iznosi oštar ugao pravougli trokut KHD, krak KD=1.

Trokuti FKD i FMC su slični (KD \paralelni MC), stoga FD:FC=KD:MC, rješavajući proporciju FD:(FD+4)=1:3, dobijamo FD=2. IN pravougaonog trougla AFD (\ugao D=90^(\circ)) sa kracima 2 i 4 izračunajte hipotenuzu AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

U pravokutnom trokutu KHD nalazimo tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, to znači željeni ugao \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Odgovori

A) 1:5;

b) arctg\frac(\sqrt 5)4.

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 14
Tema: Ugao između ravnina

Stanje

Zadana je pravilna četverougaona piramida KMNPQ sa osnovnom stranom MNPQ jednakom 6 i bočnom ivicom 3\sqrt (26).

A) Konstruišite presek piramide sa ravninom koja prolazi kroz pravu NF paralelnu sa dijagonalom MP, ako je tačka F sredina ivice MK.

b) Pronađite ugao između ravnine preseka i KMP ravni.

Pokaži rješenje

Rješenje

A) Neka je KO visina piramide, F središte MK; FE \paralelni MP (u PKM ravni) . Pošto je FE srednja linija \trougla PKM, onda FE=\frac(MP)2.

Konstruirajmo presek piramide sa ravninom koja prolazi kroz NF i paralelna je sa MP, odnosno ravan NFE. L je tačka preseka EF i KO. Kako tačke L i N pripadaju željenom preseku i leže u ravni KQN, onda je tačka T, dobijena kao presek LN i KQ, takođe tačka preseka željenog preseka i ivice KQ. NETF je obavezna sekcija.

b) Ravne NFE i MPK seku se duž prave FE. To znači da je ugao između ovih ravni jednak linearnom kutu diedralnog ugla OFEN , konstruirajmo ga: LO\perpMP, MP\paralelni FE, dakle, LO\perpFE;\trougao NFE je jednakokračan (NE=NF kao odgovarajuće medijane jednakih trouglova KPN i KMN), NL je njegova medijana (EL=LF, jer PO=OM, i \trougao KEF \sim \trougao KPM) . Stoga je NL \perp FE i \ugao NLO željeni.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\trougao KON - pravougaoni.

Leg KO prema Pitagorinoj teoremi je jednak KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\ugao NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\ugao NLO=30^(\circ).

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 14
Tema: Ugao između ravnina

Stanje

Sve ivice pravilne trouglaste prizme ABCA_(1)B_(1)C_(1) jednake su 6. Sečna ravan je povučena kroz sredine ivica AC i BB_(1) i temena A_(1).

A) Dokažite da je ivica BC podijeljena sa reznom ravninom u omjeru 2:1, računajući od temena C.

b) Pronađite ugao između ravni sečenja i osnovne ravni.

Pokaži rješenje

Rješenje

A) Neka su D i E sredine ivica AC i BB_(1), respektivno.

U ravni AA_(1)C_(1) nacrtamo pravu A_(1)D, koja seče pravu liniju CC_(1) u tački K, u ravni BB_(1)C_(1) - prava linija KE, koji siječe rub BC u tački F. Povezujući tačke A_(1) i E, koje leže u ravni AA_(1)B_(1), kao i D i F, koje leže u ravni ABC, dobijamo presek A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK duž kraka AD=DC i oštri ugao.

\ugao ADA_(1)=\ugao CDK - kao i vertikalni, slijedi da je AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF i \bigtriangleup BFE su slični pod dva ugla \ugao FBE=\ugao KCF=90^\krug,\ugao BFE=\ugao CFK - kao vertikalni.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2, odnosno koeficijent sličnosti je 2, što znači da je CF:FB=2:1.

b) Izvršimo AH \perp DF. Ugao između ravnine preseka i ravni osnove jednak je uglu AHA_(1). Zaista, segment AH \perp DF (DF je linija presjeka ovih ravni) je projekcija segmenta A_(1)H na osnovnu ravan, dakle, prema teoremi o tri okomice, A_(1)H \perp DF. \ugao AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

Hajde da nađemo AH. \ugao ADH =\ugao FDC (isto kao vertikalni).

Po kosinusnom teoremu u \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

Kao posledica osnovnog trigonometrijskog identiteta

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) . Iz \bigtriangleup ADH nalazimo AH:

AH=AD \cdot \sin \ugao ADH, (\ugao FDC=\ugao ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\ugao AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Odgovori

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 14
Tema: Ugao između ravnina

Stanje

Osnova prave prizme ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) je romb sa tupim uglom B jednakim 120^\circ. Sve ivice ove prizme su jednake 10. Tačke P i K su sredine ivica CC_(1) i CD, respektivno.

A) Dokažite da su prave PK i PB_(1) okomite.

b) Pronađite ugao između ravnina PKB_(1) i C_(1)B_(1)B.

Pokaži rješenje

Rješenje

A) Koristićemo koordinatni metod. Nađimo skalarni proizvod vektora \vec(PK) i \vec(PB_(1)), a zatim kosinus ugla između ovih vektora. Usmjerimo os Oy duž CD-a, Oz osu duž CC_(1) i Ox os \perp CD. C je porijeklo.

Tada je C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), to je B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Nađimo koordinate vektora: \vec(PK)=$0;5;-5$; \vec(PB_(1))=$5\sqrt(3); 5;5$.

Neka je ugao između \vec(PK) i \vec(PB_(1)) jednak \alpha.

\cos \alpha =0, što znači \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) i prave PK i PB_(1) su okomite.

b) Ugao između ravnina jednak je kutu između vektora različitih od nule okomitih na ove ravni (ili, ako je ugao tup, kutu koji se nalazi na njemu). Takvi vektori se nazivaju normalama na ravni. Hajde da ih nađemo.

Neka je \vec(n_(1))=$x; y; z$ okomit na ravan PKB_(1). Nađimo ga rješavanjem sistema \begin(slučajevi) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end (slučajevi)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end (slučajevi)

\begin(slučajevi) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end (slučajevi)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end (slučajevi)

Uzmimo y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\lijevo $ \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \desno $.

Neka je \vec(n_(2))=$x; y; z$ okomit na ravan C_(1)B_(1)B. Nađimo ga rješavanjem sistema \begin(slučajevi) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end (slučajevi)

\vec(CC_(1))=$0;0;10$, \vec(CB)=$5\sqrt(3); 5; 0$.

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end (slučajevi)

\begin(slučajevi) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end (slučajevi)

\begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end (slučajevi)

Uzmimo x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=$1; -\sqrt(3);0$.

Nađimo kosinus željenog ugla \beta (jednak je modulu kosinusa ugla između \vec(n_(1)) i \vec(n_(2)) ).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Odgovori

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ABCD je kvadrat, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Kako presečna ravan prolazi kroz tačke M i D paralelno sa dijagonalom AC, onda da bismo je konstruisali u ravni A_(1)AC kroz tačku M povlačimo segment MN paralelan sa AC. Dobijamo AC \parallel (MDN) na osnovu paralelizma prave i ravni.

Ravan MDN siječe paralelne ravni A_(1)AD i B_(1)BC, zatim, po svojstvu paralelne ravni, linije preseka lica A_(1)ADD_(1) i B_(1)BCC_(1) sa MDN ravni su paralelne.

Nacrtajmo segment NE paralelno sa segmentom MD.

Četvorougao DMEN je traženi presjek.

b) Nađimo ugao između ravnine preseka i osnovne ravni. Neka presečna ravan siječe osnovnu ravan duž neke prave p koja prolazi kroz tačku D. AC \parallel MN, dakle, AC \parallel p (ako ravan prolazi kroz pravu paralelnu drugoj ravni i siječe ovu ravan, tada je linija presjeka ravnina paralelna sa ovom pravom). BD \perp AC kao dijagonale kvadrata, što znači BD \perp p. BD je projekcija ED na ravan ABC, zatim po teoremi o tri okomice ED \perp p, dakle, \angle EDB je linearni ugao diedralnog ugla između ravni preseka i ravni osnove.

Postavite vrstu četverougla DMEN. MD \parallel EN, slično kao ME \parallel DN, što znači da je DMEN paralelogram, a pošto je MD=DN (pravougli trouglovi MAD i NCD jednaki su na dva kraka: AD=DC kao stranice kvadrata, AM=CN kao udaljenosti između paralelnih pravih AC i MN), stoga je DMEN romb. Dakle, F je središte MN.

Po uslovu AM:MA_(1)=2:3, onda AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC je pravougaonik, F je sredina MN, O je sredina AC. znači, FO\paralelni MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

Znajući da je dijagonala kvadrata a\sqrt(2), gdje je a stranica kvadrata, dobijamo BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

U pravokutnom trokutu FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3). Dakle, \ugao FDO=60^\circ.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Pronađite ugao između datih ravnina. Pronalaženje ugla između ravnina (diedralni ugao)

Glavne nijanse

Priprema za ispit sa Shkolkovom je ključ vašeg uspjeha

Ugao između ravnina - definicija.

Pronalaženje ugla između dvije ravnine koje se ukrštaju.

Stanje

Rješenje

Odgovori

Stanje

Rješenje

Odgovori

Stanje

Rješenje

Odgovori

Stanje

Rješenje

Odgovori

Stanje

Rješenje

Odgovori

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Otkrivanje informacija trećim licima

Zaštita ličnih podataka

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Obnavljanje šifre