UlazPronađite vrijednost izraza logaritama. Prirodni logaritam, funkcija ln x
Zadaci čije je rješenje pretvaranje logaritamskih izraza, prilično su česti na Jedinstvenom državnom ispitu.
Da biste se uspješno nosili s njima uz minimalno vrijeme, pored osnovnih logaritamskih identiteta, potrebno je znati i pravilno koristiti još neke formule.
Ovo je: a log a b = b, gdje je a, b > 0, a ≠ 1 (direktno slijedi iz definicije logaritma).
log a b = log c b / log c a ili log a b = 1/log b a
gdje su a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
gdje su a, b > 0, a ≠ 1, m, n Ê R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
gdje su a, b, c > 0 i a, b, c ≠ 1
Da bismo pokazali valjanost četvrte jednakosti, uzmimo logaritam lijeve i desne strane na osnovu a. Dobijamo log a (a log sa b) = log a (b log sa a) ili log sa b = log sa a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log sa b = log sa b.
Dokazali smo jednakost logaritama, što znači da su i izrazi pod logaritmima jednaki. Formula 4 je dokazana.
Primjer 1.
Izračunaj 81 log 27 5 log 5 4 .
Rješenje.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Dakle,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Tada je 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Sljedeći zadatak možete obaviti sami.
Izračunaj (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Kao nagoveštaj, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.
Odgovor: 5.
Primjer 2.
Izračunaj (√11) log √3 9- log 121 81 .
Rješenje.
Promenimo izraze: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (korišćena je formula 3).
Tada (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Primjer 3.
Izračunajte log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
Rješenje.
Logaritme sadržane u primjeru zamjenjujemo logaritmima s bazom 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Zatim log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih pojmova, dobijamo broj 3. (Kada pojednostavljujemo izraz, možemo označiti log 2 3 sa n i pojednostaviti izraz
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Odgovor: 3.
Sljedeći zadatak možete izvršiti sami:
Izračunaj (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Ovdje je potrebno izvršiti prijelaz na logaritma baze 3 i faktorizaciju velikih brojeva u proste faktore.
Odgovor:1/2
Primjer 4.
Zadata su tri broja A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Rasporedi ih rastućim redoslijedom.
Rješenje.
Transformirajmo brojeve A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Hajde da ih uporedimo
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 i log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Ili 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Odgovori. Dakle, redosled postavljanja brojeva je: C; A; IN.
Primjer 5.
Koliko je cijelih brojeva u intervalu (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Rješenje.
Odredimo između kojih stepena broja 3 se nalazi broj 1/16. Dobijamo 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Budući da je funkcija y = log 3 x u porastu, onda je log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Uporedimo log 6 (4/3) i 1/5. I za ovo upoređujemo brojeve 4/3 i 6 1/5. Podignimo oba broja na 5. stepen. Dobijamo (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,
log 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Dakle, interval (log 3 1 / 16 ; log 6 48) uključuje interval [-2; 4] i na njega se stavljaju cijeli brojevi -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Odgovor: 7 cijelih brojeva.
Primjer 6.
Izračunajte 3 lglg 2/lg 3 - lg20.
Rješenje.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Tada je 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Odgovor: -1.
Primjer 7.
Poznato je da je log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Pronađite log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Rješenje.
Brojevi (√3 + 1) i (√3 – 1); (√6 – 2) i (√6 + 2) su konjugirani.
Izvršimo sljedeću transformaciju izraza
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Tada log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Odgovor: 2 – A.
Primjer 8.
Pojednostavite i pronađite približnu vrijednost izraza (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Rješenje.
Svedemo sve logaritme na zajedničku bazu 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / LG 4) (lg 4 / LG 5) (lg 5 / LG 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Približna vrijednost lg 2 može se pronaći pomoću tabele, kliznog ravnala ili kalkulatora).
Odgovor: 0,3010.
Primjer 9.
Izračunajte log a 2 b 3 √(a 11 b -3) ako je log √ a b 3 = 1. (U ovom primjeru, a 2 b 3 je osnova logaritma).
Rješenje.
Ako je log √ a b 3 = 1, onda je 3/(0,5 log a b = 1. I log a b = 1/6.
Tada log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) S obzirom da je log a b = 1/ 6 dobijamo (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.
Odgovor: 2.1.
Sljedeći zadatak možete izvršiti sami:
Izračunajte log √3 6 √2.1 ako je log 0.7 27 = a.
Odgovor: (3 + a) / (3a).
Primjer 10.
Izračunajte 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Rješenje.
6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))
Dobijamo 9 + 6 = 15.
Odgovor: 15.
Imate još pitanja? Niste sigurni kako pronaći vrijednost logaritamskog izraza?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Kao što znate, kada se množe izrazi sa stepenom, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a b *a c = a b+c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim sabiranjem. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.
Definicija u matematici
Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) “b” na njegovu bazu “a” smatra se stepenom “c ” na koju se baza “a” mora podići da bi se na kraju dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takvu snagu da od 2 do tražene snage dobijete 8. Nakon nekih proračuna u glavi, dobijamo broj 3! I to je tačno, jer 2 na stepen od 3 daje odgovor kao 8.
Vrste logaritama
Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Ima ih tri pojedinačne vrste logaritamski izrazi:
- Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
- Decimala a, gdje je osnova 10.
- Logaritam bilo kojeg broja b na osnovu a>1.
Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji prilikom njihovog rješavanja.
Pravila i neka ograničenja
U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i predstavljaju istinu. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti paran korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:
- Osnova “a” uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su “1” i “0” u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
- ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da “c” takođe mora biti veće od nule.
Kako riješiti logaritme?
Na primjer, daje se zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Ovo je vrlo lako, potrebno je odabrati stepen podizanjem broja deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.
Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se praktično konvergiraju da bi se pronašla potencija na koju je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio dati broj.
Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:
Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i poznavanje tablice množenja. Međutim za velike vrijednosti trebaće vam tabela stepeni. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c na koji je broj a podignut. Na raskrsnici ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najistinskiji humanista razumjeti!
Jednačine i nejednačine
Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 se može napisati kao logaritam 81 na bazi 3 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapišemo to kao logaritam, dobijemo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.
Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jeste logaritamska nejednakost, pošto je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I u izrazu se upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja prema bazi dva je veći od broja tri.
Najvažnija razlika između logaritamskih jednačina i nejednačina je u tome što jednadžbe sa logaritmima (primjer - logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednačina definiraju kao regija prihvatljive vrijednosti, i tačke prekida ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.
Osnovne teoreme o logaritmima
Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi; hajde da prvo pogledamo svako svojstvo detaljnije.
- Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
- Logaritam proizvoda se može predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, obavezan uslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepeni ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
- Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.
Ova formula se naziva “svojstvo stepena logaritma”. Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer se sva matematika zasniva na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.
Neka log a b = t, ispada da je a t = b. Ako oba dijela podignemo na stepen m: a tn = b n ;
ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n, dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.
Primjeri problema i nejednakosti
Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednačina i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Da biste ušli na fakultet ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.
Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednačinu ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati da li se izraz može pojednostaviti ili do njega dovesti opšti izgled. Pojednostavite duge logaritamski izrazi moguće ako pravilno koristite njihova svojstva. Hajde da ih brzo upoznamo.
Prilikom odlučivanja logaritamske jednačine, trebali bismo odrediti koji tip logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.
Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da treba odrediti snagu kojoj će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodni logaritmi morate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo rješenje na primjerima logaritamski problemi različite vrste.
Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima
Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.
- Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširiti veliki značaj brojeve b u jednostavnije činioce. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Vi samo trebate faktorisati bazu, a zatim izvući vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.
Zadaci sa Jedinstvenog državnog ispita
Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši test dio ispit), ali i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva tačno i savršeno poznavanje teme „Prirodni logaritmi“.
Primjeri i rješenja problema preuzeti su od zvaničnika Opcije objedinjenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.
Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.
- Najbolje je sve logaritme svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
- Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod predznakom logaritma i kao njegova baza izvadi kao množitelj, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.
Počnimo sa svojstva logaritma od jedan. Njegova formulacija je sljedeća: logaritam jedinice jednak nuli, to je, log a 1=0 za bilo koje a>0, a≠1. Dokaz nije težak: pošto je a 0 =1 za bilo koji a koji zadovoljava gornje uslove a>0 i a≠1, onda log jednakosti a 1=0 koji treba dokazati odmah slijedi iz definicije logaritma.
Navedimo primjere primjene razmatranog svojstva: log 3 1=0, log1=0 i .
Pređimo na sljedeću imovinu: logaritam broja jednakog bazi jednako jedan , to je, log a a=1 za a>0, a≠1. Zaista, pošto je a 1 =a za bilo koje a, onda je po definiciji logaritma log a a=1.
Primjeri korištenja ovog svojstva logaritama su jednakosti log 5 5=1, log 5.6 5.6 i lne=1.
Na primjer, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 i 
.
Logaritam proizvoda dva pozitivni brojevi x i y jednak je proizvodu logaritama ovih brojeva: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dokažimo svojstvo logaritma proizvoda. Zbog svojstava stepena a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, i pošto je po glavnom logaritamskom identitetu log a x =x i log a y =y, onda je log a x ·a log a y =x·y. Dakle, log a x+log a y =x·y, iz čega, po definiciji logaritma, slijedi jednakost koja se dokazuje.
Pokažimo primjere korištenja svojstva logaritma proizvoda: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i 
.
Svojstvo logaritma proizvoda može se generalizirati na proizvod konačnog broja n pozitivnih brojeva x 1 , x 2 , …, x n kao log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ova jednakost se može dokazati bez problema.
Na primjer, prirodni logaritam proizvoda može se zamijeniti zbirom tri prirodna logaritma brojeva 4, e i.
Logaritam količnika dva pozitivna broja x i y jednaka je razlici između logaritama ovih brojeva. Svojstvo logaritma količnika odgovara formuli oblika , gdje su a>0, a≠1, x i y neki pozitivni brojevi. Dokazana je valjanost ove formule kao i formule za logaritam proizvoda: pošto 
, zatim po definiciji logaritma.
Evo primjera korištenja ovog svojstva logaritma: 
.
Idemo dalje svojstvo logaritma stepena. Logaritam stepena jednak je proizvodu eksponenta i logaritma modula baze ovog stepena. Zapišimo ovo svojstvo logaritma stepena kao formulu: log a b p =p·log a |b|, gdje su a>0, a≠1, b i p brojevi takvi da stepen b p ima smisla i b p >0.
Prvo dokazujemo ovo svojstvo za pozitivno b. Osnovni logaritamski identitet nam omogućava da broj b predstavimo kao log a b , zatim b p =(a log a b) p , a rezultirajući izraz, zbog svojstva snage, jednak je a p·log a b . Tako dolazimo do jednakosti b p =a p·log a b, iz koje, po definiciji logaritma, zaključujemo da je log a b p =p·log a b.
Ostaje dokazati ovo svojstvo za negativan b. Ovdje napominjemo da izraz log a b p za negativan b ima smisla samo za parne eksponente p (pošto vrijednost stepena b p mora biti veća od nule, inače logaritam neće imati smisla), a u ovom slučaju b p =|b| str. Onda b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, odakle log a b p =p·log a |b| .
Na primjer, 
i ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
To proizilazi iz prethodnog svojstva svojstvo logaritma iz korijena: logaritam n-tog korijena jednak je proizvodu razlomka 1/n logaritmom radikalnog izraza, tj. 
, gdje je a>0, a≠1, n – prirodni broj, veće od jedan, b>0.
Dokaz se zasniva na jednakosti (vidi), koja vrijedi za bilo koje pozitivno b, i svojstvu logaritma potencije: 
.
Evo primjera korištenja ovog svojstva: 
.
Sada dokažimo formula za prelazak na novu bazu logaritma vrsta 
. Da biste to učinili, dovoljno je dokazati valjanost jednakosti log c b=log a b·log c a. Osnovni logaritamski identitet nam omogućava da broj b predstavimo kao log a b, a zatim log c b=log c a log a b. Ostaje koristiti svojstvo logaritma stepena: log c a log a b =log a b log c a. Time je dokazana jednakost log c b=log a b·log c a, što znači da je dokazana i formula za prelazak na novu bazu logaritma.
Pokažimo nekoliko primjera korištenja ovog svojstva logaritama: i 
.
Formula za prelazak na novu bazu omogućava vam da pređete na rad sa logaritmima koji imaju „prikladnu“ bazu. Na primjer, uz njegovu pomoć možete se prebaciti na prirodni ili decimalni logaritmi tako da možete izračunati vrijednost logaritma iz tablice logaritama. Formula za prelazak na novu bazu logaritma također omogućava, u nekim slučajevima, pronalaženje vrijednosti datog logaritma kada su poznate vrijednosti nekih logaritama s drugim bazama.
Često se koristi poseban slučaj formule za prelazak na novu bazu logaritma za c=b oblika 
. Ovo pokazuje da su log a b i log b a – . npr. 
.
Formula se također često koristi 
, što je pogodno za pronalaženje vrijednosti logaritma. Da bismo potvrdili naše riječi, pokazat ćemo kako se može koristiti za izračunavanje vrijednosti logaritma oblika . Imamo 
. Da dokažem formulu 
dovoljno je koristiti formulu za prelazak na novu bazu logaritma a: 
.
Ostaje da se dokažu svojstva poređenja logaritama.
Dokažimo da je za bilo koje pozitivne brojeve b 1 i b 2, b 1 log a b 2 , a za a>1 – nejednakost log a b 1 Konačno, ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava logaritma. Ograničimo se na dokaz njegovog prvog dijela, odnosno dokazat ćemo da ako je a 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 je tačno log a 1 b>log a 2 b . Preostali iskazi ovog svojstva logaritama dokazuju se po sličnom principu. Koristimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da je za a 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 je tačno log a 1 b≤log a 2 b . Na osnovu svojstava logaritama, ove nejednačine se mogu prepisati kao 
I 
respektivno, a iz njih proizilazi da je log b a 1 ≤log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2, respektivno. Tada, prema svojstvima potencija sa istim bazama, moraju vrijediti jednakosti b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, odnosno a 1 ≥a 2 . Tako smo došli do kontradikcije sa uslovom a 1
Bibliografija.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razred opšteobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).
Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule a mi ćemo dati indikativno primjeri rješenja.
Oni sami po sebi podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene logaritamskih formula za rješavanje, podsjetimo vas na sva svojstva:
Sada ćemo na osnovu ovih formula (osobina) pokazati primjeri rješavanja logaritma.
Primjeri rješavanja logaritama na osnovu formula.
Logaritam pozitivan broj b na bazi a (označen log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, sa b > 0, a > 0 i 1.
Prema definiciji, log a b = x, što je ekvivalentno a x = b, dakle log a a x = x.
Logaritmi, primjeri:
log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8
log 7 49 = 2, jer 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5
Decimalni logaritam- ovo je običan logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.
log 10 100 = 2, jer 10 2 = 100
Prirodni logaritam- takođe običan logaritam, logaritam, ali sa osnovom e (e = 2,71828... - iracionalan broj). Označeno kao ln.
Preporučljivo je zapamtiti formule ili svojstva logaritama, jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednačina. Proradimo ponovo kroz svaku formulu s primjerima.
- Osnovni logaritamski identitet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritam količnika jednak je razlici logaritama
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Svojstva stepena logaritamskog broja i baze logaritma
Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b
Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ako je m = n, dobijamo log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Prelazak na novu osnovu
log a b = log c b/log c a,ako je c = b, dobijamo log b b = 1
tada je log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kao što vidite, formule za logaritme nisu tako komplikovane kao što se čine. Sada, nakon što smo pogledali primjere rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo pogledati primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!
Ako i dalje imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.
Napomena: odlučili smo da dobijemo drugu klasu obrazovanja i studiramo u inostranstvu kao opciju.
Jedan od elemenata primitivne algebre nivoa je logaritam. Ime dolazi iz grčkog jezika od riječi "broj" ili "moć" i označava snagu na koju se broj u bazi mora podići da bi se pronašao konačni broj.
Vrste logaritama
- log a b – logaritam broja b prema bazi a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – decimalni logaritam (logaritam na osnovu 10, a = 10);
- ln b – prirodni logaritam (logaritam prema bazi e, a = e).
Kako riješiti logaritme?
Logaritam od b prema bazi a je eksponent koji zahtijeva da se b podigne na bazu a. Dobijeni rezultat se izgovara ovako: "logaritam od b prema bazi a." Rješenje logaritamskih problema je da morate odrediti datu snagu u brojevima iz navedenih brojeva. Postoje neka osnovna pravila za određivanje ili rješavanje logaritma, kao i za pretvaranje same notacije. Koristeći ih, rješavaju se logaritamske jednadžbe, pronalaze derivati, rješavaju integrali i izvode mnoge druge operacije. U osnovi, rješenje samog logaritma je njegova pojednostavljena notacija. Ispod su osnovne formule i svojstva:
Za bilo koji a ; a > 0; a ≠ 1 i za bilo koji x ; y > 0.
- a log a b = b – osnovni logaritamski identitet
- log a 1 = 0
- loga a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , za k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – formula za prelazak na novu bazu
- log a x = 1/log x a
Kako riješiti logaritme - upute korak po korak za rješavanje
- Prvo zapišite traženu jednačinu.
Napomena: ako je osnovni logaritam 10, unos se skraćuje, što rezultira decimalnim logaritmom. Ako postoji prirodan broj e, onda ga zapisujemo, svodeći ga na prirodni logaritam. To znači da je rezultat svih logaritama snaga na koju se podiže osnovni broj da bi se dobio broj b.
Direktno, rješenje leži u izračunavanju ovog stepena. Prije rješavanja izraza logaritmom, on se mora pojednostaviti prema pravilu, odnosno korištenjem formula. Glavne identitete možete pronaći ako se malo vratite u članak.
Kada zbrajate i oduzimate logaritme sa dva različita broja, ali sa istim osnovama, zamijenite jednim logaritmom umnoškom ili podjelom brojeva b i c, respektivno. U tom slučaju možete primijeniti formulu za prelazak na drugu bazu (vidi gore).
Ako koristite izraze za pojednostavljenje logaritma, postoje neka ograničenja koja treba uzeti u obzir. A to je: osnova logaritma a je samo pozitivan broj, ali ne i jedan. Broj b, kao i a, mora biti veći od nule.
Postoje slučajevi u kojima, pojednostavljivanjem izraza, nećete moći numerički izračunati logaritam. Dešava se da takav izraz nema smisla, jer su mnoge potencije iracionalni brojevi. Pod ovim uslovom ostavite stepen broja kao logaritam.
