Trigonometrijske jednakosti. Osnovni trigonometrijski identiteti, njihove formulacije i derivacija

Referentne informacije o trigonometrijskim funkcijama sinus (sin x) i kosinus (cos x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tabela sinusa i kosinusa, izvoda, integrala, proširenja nizova, sekansa, kosekansa. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza sa hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija sinusa i kosinusa

|BD|- dužina luka kružnice sa centrom u tački A.
α - ugao izražen u radijanima.

Definicija
sinus (sin α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine suprotnoj nozi|BC| na dužinu hipotenuze |AC|.

kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjedna noga|AB| na dužinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene notacije

;
;
.

;
;
.

Grafikon funkcije sinusa, y = sin x

Grafikon kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y = sin x i y = cos x periodično sa periodom 2π.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Kosinusna funkcija je parna.

Domen definicije i vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Sinusne i kosinusne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tabeli (n - cijeli broj).

Osnovne formule

Zbir kvadrata sinusa i kosinusa

Formule za sinus i kosinus iz zbira i razlike

;
;

Formule za proizvod sinusa i kosinusa

Formule zbira i razlike

Izražavanje sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izražavanje kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izraz kroz tangentu

; .

Kada imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa

Ova tabela prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za određene vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Ojlerova formula

{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije na sinus i kosinus su arksinus i arkkosinus, respektivno.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.

Video kurs “Dobijte A” uključuje sve teme neophodne za uspjeh polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi problemi 1-13 Jedinstveni državni ispit profila matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Tricky Tricks rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Referentni podaci za tangentu (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafovi, formule. Tablica tangenta i kotangensa, izvoda, integrala, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza sa hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija

|BD| - dužina luka kružnice sa centrom u tački A.
α je ugao izražen u radijanima.

tangenta ( tan α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine suprotne krake |BC| na dužinu susedne noge |AB| .

kotangens ( ctg α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu suprotne noge |BC| .

Tangenta

Gdje n- cela.

U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.

Grafikon tangentne funkcije, y = tan x

Kotangens

Gdje n- cela.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Sljedeće oznake su također prihvaćene:
;
;
.

Grafikon kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangente i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y = tg x i y = ctg x su periodične sa periodom π.

Paritet

Tangentne i kotangensne funkcije su neparne.

Područja definicije i vrijednosti, povećanje, smanjenje

Tangentne i kotangensne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tabeli ( n- cijeli).

Formule

Izrazi koji koriste sinus i kosinus

; ;
; ;
;

Formule za tangentu i kotangens iz zbira i razlike

Preostale formule je lako dobiti, na primjer

Proizvod tangenti

Formula za zbir i razliku tangenta

Ova tabela prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za određene vrijednosti argumenta.

Izrazi koji koriste kompleksne brojeve

Izrazi kroz hiperboličke funkcije

;
;

Derivati

; .

.
Derivat n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >

Integrali

Proširenja serije

Da biste dobili proširenje tangente po stepenu x, morate uzeti nekoliko članova proširenja u power series za funkcije sin x I cos x i podijeliti ove polinome jedni s drugima, . Ovo proizvodi sljedeće formule.

U .

u .
Gdje Bn- Bernulijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije recidiva:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije tangente i kotangensa su arktangens i arkkotangens, respektivno.

Arktangent, arctg

, Gdje n- cela.

Arkotangenta, arcctg

, Gdje n- cela.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za naučnike i inženjere, 2012.

Trigonometrijski identiteti- to su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla, što vam omogućava da pronađete bilo koju od ovih funkcija, pod uslovom da je bilo koja druga poznata.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ovaj identitet kaže da je zbir kvadrata sinusa jednog ugla i kvadrata kosinusa jednog ugla jednak jedan, što u praksi omogućava izračunavanje sinusa jednog ugla kada je poznat njegov kosinus i obrnuto. .

Prilikom pretvaranja trigonometrijskih izraza vrlo se često koristi ovaj identitet, koji vam omogućava da zamijenite zbir kvadrata kosinusa i sinusa jednog ugla s jednim i izvršite operaciju zamjene obrnutim redoslijedom.

Pronalaženje tangente i kotangensa pomoću sinusa i kosinusa

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ovi identiteti su formirani iz definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Uostalom, ako pogledate, onda je po definiciji ordinata y sinus, a apscisa x kosinus. Tada će tangenta biti jednaka omjeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), i omjer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- će biti kotangens.

Dodajmo da će identiteti vrijediti samo za takve uglove \alpha pod kojima trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Na primjer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) vrijedi za uglove \alpha koji se razlikuju od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za ugao \alpha koji nije \pi z, z je cijeli broj.

Odnos između tangente i kotangensa

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ovaj identitet vrijedi samo za uglove \alpha koji se razlikuju od \frac(\pi)(2) z. U suprotnom se neće odrediti ni kotangens ni tangens.

Na osnovu gore navedenih tačaka dobijamo to tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Iz toga slijedi tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dakle, tangenta i kotangens istog ugla pod kojim imaju smisla su međusobno inverzni brojevi.

Odnosi između tangente i kosinusa, kotangensa i sinusa

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- zbir kvadrata tangente ugla \alpha i 1 jednak je inverznom kvadratu kosinusa ovog ugla. Ovaj identitet vrijedi za sve \alpha osim \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- zbir 1 i kvadrata kotangensa ugla \alpha jednak je inverznom kvadratu sinusa datog ugla. Ovaj identitet vrijedi za bilo koju \alfa različitu od \pi z.

Primjeri sa rješenjima problema pomoću trigonometrijskih identiteta

Primjer 1

Pronađite \sin \alpha i tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 I \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Pokaži rješenje

Rješenje

Funkcije \sin \alpha i \cos \alpha povezane su formulom \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamjena u ovoj formuli \cos \alpha = -\frac12, dobijamo:

\sin^(2)\alpha + \levo (-\frac12 \desno)^2 = 1

Ova jednačina ima 2 rješenja:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Po uslovu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini sinus je pozitivan, dakle \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Da bismo pronašli tan \alpha, koristimo formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Primjer 2

Pronađite \cos \alpha i ctg \alpha ako i \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Pokaži rješenje

Rješenje

Zamjena u formuli \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dati broj \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobijamo \levo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ova jednačina ima dva rješenja \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Po uslovu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini kosinus je negativan, dakle \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Da bismo pronašli ctg \alpha , koristimo formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Znamo odgovarajuće vrijednosti.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).