Dom / Ječam/ Izračunajte zbir niza na mreži. Geometrijska progresija. Sveobuhvatan vodič s primjerima (2019.)

Izračunajte zbir niza na mreži. Geometrijska progresija. Sveobuhvatan vodič s primjerima (2019.)

David Berman, Marianne Freiberger

Nedavno se raspravljalo o vrlo čudnom rezultatu. Navodi se da kada se saberu svi prirodni brojevi

tada će zbir biti jednak . Ova ideja je prikazana u videu Numberphile, u kojem se navodi da je rezultat dokazan i da se široko koristi u fizici. Ova ideja je toliko zadivila ljude da je čak završila u New York Timesu. Pa šta sve ovo znači?

Matematika

Prije svega, beskonačan zbir svega prirodni brojevi nije jednako To možete lako provjeriti izračunavanjem djelomičnih iznosa na kalkulatoru

i tako dalje. postaje sve veći s rastom, odnosno povećanjem broja dodatih prirodnih brojeva. U stvari, ako odaberete dovoljno veliku, možete je napraviti koliko god želite. Na primjer, ako primite

I kada primite

Stoga matematičari kažu da se ovaj niz razilazi. Ili, labavije rečeno, da je zbir jednak beskonačnosti.

Srinivasa Ramanujan

Pa odakle dolazi? U stvari, netačan rezultat pojavio se u radu poznatog indijskog matematičara Srinivase Ramanujana 1913. godine. Ali Ramanujan je znao šta radi, i imao je razlog da to napiše. Proučavao je takozvanu Ojlerovu zeta funkciju. Da bismo razumeli šta je ovo, hajde da prvo razmotrimo beskonačnu sumu

Možete vidjeti da se ovaj zbir dobija kada se zbroje recipročni brojevi kvadrata prirodnih brojeva:

Sada se ovaj iznos ne razlikuje. Ako uzmemo u obzir redoslijed parcijalnih suma, kao što smo učinili gore,

tada će rezultati koji se dobiju biti što bliže željenom broju, ali ga nikada neće premašiti. Matematičari kažu da se niz konvergira na , ili još labavije da je zbir niza jednak .

Sada da vidimo šta će se dogoditi ako, umjesto kvadriranja prirodnih brojeva u nazivniku, podignemo ih na neki drugi stepen? Ispada da je odgovarajući iznos

konvergira na konačnu vrijednost ako je stupanj veći od . Za svaki title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} izvanredan matematičar 17. vek Leonharda Ojlera.

Zasada je dobro. Ali šta se dešava ako uzmemo u obzir brojeve manje od ? Na primjer, šta se dešava ako uzmete ? Hajde da pogledamo.

Tako smo dobili našu prvobitnu sumu, za koju znamo da je divergentna. Isto vrijedi i za sve druge vrijednosti manje ili jednake: zbroj se razlikuje.

Komentar. Nastavak Ojlerove zeta funkcije. Razmatrana Eulerova zeta funkcija je definirana za realne brojeve veće od . Realni brojevi su dio veće porodice brojeva koja se naziva kompleksni brojevi. I dok realni brojevi odgovaraju svim tačkama na brojevnoj pravoj, kompleksni brojevi odgovaraju svim tačkama na ravni koja sadrži pravu brojevnu pravu. Ova ravan se naziva kompleksna ravan. Baš kao što su definirane funkcije čiji su argumenti realni brojevi, mogu se definirati funkcije čiji su argumenti kompleksni brojevi.

Jedan neverovatna činjenica Ono što se tiče funkcija kompleksnih varijabli je da ako znate vrijednost funkcije na nekom skupu podataka, tada (do nekoliko tehničkih detalja) možete znati vrijednost funkcije u bilo kojoj tački kompleksne ravni. Ova metoda proširenja domene funkcije poznata je kao analitički nastavak. Eulerova zeta funkcija je definirana za realne brojeve veće od . Budući da su realni brojevi kompleksni brojevi, ovu funkciju možemo tretirati kao kompleksnu funkciju, a zatim koristiti analitički nastavak da dobijemo novu funkciju definiranu na cijeloj ravni, ali u skladu s Euler zeta funkcijom za realne brojeve veće od . Ovo je Riemann zeta funkcija.

Postoji još jedna stvar koja se može uraditi. Koristeći moćnu matematiku ( sveobuhvatna analiza vidi napomenu), možemo proširiti domen definicije Eulerove zeta funkcije tako da za brojeve manje ili jednake ova funkcija uzima konačne vrijednosti. Drugim riječima, postoji način da se definira nova funkcija, nazovimo je , tako da za title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}

A za funkciju će uzeti određene konačne vrijednosti. Ova metoda se zove analitički nastavak, a nova funkcija koju proizvodi naziva se Riemann zeta funkcija, nazvana po matematičaru iz 18. stoljeća Bernhardu Riemannu. (Kreiranje ove nove funkcije koja uzima konačne vrijednosti za sastoji se od oduzimanja od divergentnog niza drugog divergentnog niza, tako da je beskonačnost koja proizlazi iz prvog divergentnog zbroja minus beskonačnost rezultat drugog divergentnog zbroja jednaka nečemu konačnom.)

U redu. Sada imamo funkciju koja za title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}

A ako pogriješite pretpostavite da je za , tada ćete dobiti (netačnu) jednakost

Ovo objašnjava zašto je Ramanujan zapisao ovaj misteriozni izraz.

Lukavo

Dakle, kako su ljudi u videu “dokazali” da je zbir svih prirodnih brojeva jednak ? Oni to zapravo nisu uradili. Gledanje ovog videa je kao da gledate mađioničara i pokušavate odrediti kada se zec spušta u šešir. Prvi korak "dokaza" pokušava da vas uvjeri u prilično glupu stvar, naime da je beskonačna količina

Video se ne zadržava dugo na ovome i čini se da implicira da je to očigledno. Ali hajde da pogledamo ovo pažljivije da vidimo ima li uopšte smisla. Neka je zbir jednak konačnom broju, nazovimo ga . Dodajući sebi, dobijamo beskonačnu sumu

Ali ovo je samo početni iznos, odakle

Pošto, to nije tačno. Dakle, izjava da se beskonačan zbir može smatrati jednakim nije tačna. U stvari, možete dobiti različiti rezultati, koristeći beskonačne količine koje divergiraju. Ovo je trik!

fizika

Ali kako je ovaj neobičan netačan rezultat završio u udžbeniku fizike kao što je prikazano u videu? Ovdje stvari zaista postaju zanimljive. Pretpostavimo da uzmete dvije vodljive metalne ploče i rasporedite ih u vakuumu tako da budu paralelne jedna s drugom. Prema klasičnoj fizici, između ove dvije ploče ne bi trebalo djelovati nikakva sila.

Kazimirov efekat

Ali klasična fizika ne uzima u obzir čudne efekte koje vidite kada gledate na svijet u vrlo malim razmjerima. Da bismo ih uzeli u obzir, potrebna nam je kvantna fizika, koja tvrdi mnogo vrlo čudnih stvari. Jedna od njih je da vakuum nije prazan, pun je aktivnosti. U njemu se stalno pojavljuju i nestaju takozvane virtuelne čestice. Ova aktivnost proizvodi ono što se zove energija nulte tačke: najniža energija koju nešto može imati nikada nije nula. Kada pokušate izračunati ukupnu gustoću energije između dvije ploče koristeći matematiku ili kvantnu fiziku, dobićete beskonačan zbir

Ovaj beskonačan zbir je ono što dobijete kada uključite vrijednost u Eulerovu zeta funkciju:

Ovo je žalosno jer se ovaj zbir divergira (to radi čak i brže od ) što bi značilo beskonačnu gustinu energije. Ovo je očigledno glupost. Ali što ako drsko pretpostavite da je beskonačni zbir jednak Riemannovoj zeta funkciji, a ne Euler zeta funkciji, na ? Pa, onda dobijate konačnu gustinu energije. To znači da između metalnih ploča mora postojati privlačna sila, što se također čini smiješnim, jer klasična fizika sugerira da sila ne bi trebalo postojati.

Ali evo iznenađenja. Kada su fizičari izvršili eksperiment, otkrili su da sila zaista postoji i da odgovara gustoći energije koja je tačno jednaka !

Ovaj nevjerovatni fizički rezultat poznat je kao Casimirov efekat, nazvan po holandskom fizičaru Hendriku Casimiru.

Odvojite trenutak da cijenite ovo. Kvantna fizika kaže da bi gustina energije trebala biti jednaka

Ovo je glupost, ali eksperimenti pokazuju da ako (pogrešno) izračunate ovaj iznos jednaka vrijednosti zeta funkcija na , dobićete tačan odgovor. Dakle, izgleda da priroda slijedi Ramanujanove ideje. Proširila je Eulerovu zeta funkciju da uključi vrijednosti manje od , pametno oduzimajući beskonačnost da bi došla do konačne vrijednosti. Ovo je neverovatno!

Razlog zbog kojeg vidimo i u snimku Numberphile i u udžbeniku fizike, a ne i je taj što kada zamislite da se Casimirov efekat događa u jednoj dimenziji (duž linije, a ne u 3D), gustoća energije koju smatrate jednaka je , a ne .

Pa zašto ljudi u Numberphile-u promovišu ovaj čudan “rezultat”? Oni naravno znaju za analitički nastavak, što funkciju čini prilično specifičnom, ali ovo je previše tehnička stvar za njihove video zapise. Znajući analitičku metodu nastavka koja čini konačni rezultat razumnim dok ga skrivaju u stražnjem džepu, pametno su krenuli naprijed. Pritom su dobili preko milion pregleda, a svijet je počeo govoriti o zeta funkciji i matematici. Na ovome im se može čestitati. Matematika zeta funkcije je fantastična, a ono što smo ovdje opisali je samo početak. duga lista neverovatna matematička svojstva. Kada popularišemo matematiku i fiziku, uvek moramo da biramo šta nećemo reći i šta ćemo objasniti. Gde ćemo povući tu granicu zavisi od nas.

Da bi izračunaj zbir niza, samo trebate dodati elemente reda određeni broj puta. Na primjer:

U gornjem primjeru, to je učinjeno vrlo jednostavno, budući da se moralo sabrati konačan broj puta. Ali šta ako je gornja granica zbrajanja beskonačnost? Na primjer, ako trebamo pronaći zbir sljedećeg niza:

Po analogiji sa prethodnim primjerom, ovaj iznos možemo napisati ovako:

Ali šta dalje?! U ovoj fazi potrebno je uvesti koncept djelomični zbir serije. dakle, djelomični zbir serije(označeno S n) je zbir prvih n članova niza. One. u našem slučaju:

Tada se zbir originalnog niza može izračunati kao granica parcijalne sume:

Dakle, za izračunavanje sume niza, potrebno je nekako pronaći izraz za parcijalni zbir niza (S n ). U našem konkretnom slučaju, niz je opadajuća geometrijska progresija sa nazivnikom 1/3. Kao što znate, zbir prvih n elemenata geometrijske progresije izračunava se po formuli:

ovdje je b 1 prvi element geometrijske progresije (u našem slučaju je 1), a q je imenilac progresije (u našem slučaju 1/3). Dakle, parcijalni zbir S n za naš niz je jednak:

Tada je zbir našeg niza (S) prema gore datoj definiciji jednak:

Gore navedeni primjeri su prilično jednostavni. Obično je izračunavanje zbira niza mnogo teže i najveća poteškoća leži u pronalaženju parcijalnog zbira niza. Istaknuto ispod online kalkulator, zasnovan na Wolfram Alpha sistemu, omogućava vam da izračunate zbir prilično složenih serija. Štaviše, ako kalkulator nije mogao pronaći zbir niza, vjerovatno je da je niz divergentan (u tom slučaju kalkulator prikazuje poruku poput „suma divergira“), tj. Ovaj kalkulator također indirektno pomaže da se dobije predodžbu o konvergenciji redova.

Da biste pronašli zbir vašeg niza, morate navesti varijablu serije, donju i gornju granicu zbrajanja, kao i izraz za n-ti član niza (tj. stvarni izraz za sam niz) .

Zbir svih prirodnih brojeva može se napisati pomoću sljedećeg niza brojeva

Ovaj, na prvi pogled, potpuno kontraintuitivan rezultat, ipak se može rigorozno dokazati. Ali prije nego što pričamo o dokazu, moramo se vratiti korak unazad i prisjetiti se osnovnih pojmova.

Počnimo s činjenicom da je “klasični” zbir niza granica parcijalnih suma niza, ako postoji i konačan je. Detalji se mogu naći na Wikipediji i povezanoj literaturi. Ako konačna granica ne postoji, onda se kaže da je niz divergentan.

Na primjer, parcijalni zbir prvih k članova niza brojeva 1 + 2 + 3 + 4 +... piše se na sljedeći način

Lako je razumjeti da ovaj zbir raste bez ograničenja kako k teži beskonačnosti. Shodno tome, originalni niz je divergentan i, strogo govoreći, nema zbroj. Međutim, postoji mnogo načina da se dodijeli konačna vrijednost divergentnom nizu.

Red 1+2+3+4+... je daleko od jedinog divergentnog reda. Uzmimo, na primjer, seriju Grundy

Što se također razlikuje, ali je poznato da nam Cesarova metoda sumiranja omogućava da ovom nizu dodijelimo konačnu vrijednost od 1/2. Sumiranje prema Cezaru sastoji se od operacije ne sa parcijalnim zbirovima niza, već sa njihovim aritmetičkim prosecima. Ako dozvolimo sebi da slobodno razmišljamo, možemo reći da parcijalni zbroji Grundyjevog niza osciliraju između 0 i 1, ovisno o tome koji je član niza posljednji u zbroju (+1 ili -1), otuda vrijednost 1/2, kao aritmetički prosjek dvije moguće vrijednosti parcijalnih suma.

Još jedan zanimljiv primjer divergentnog niza je naizmjenični niz 1 - 2 + 3 - 4 +..., čiji parcijalni sumi također osciliraju. Sumiranje Abelovom metodom omogućava nam da dodelimo konačnu vrednost od 1/4 datom nizu. Imajte na umu da je Abelova metoda, na neki način, razvoj Cesarove metode sumiranja, tako da je rezultat 1/4 lako razumljiv sa stanovišta intuicije.

Ovdje je važno napomenuti da metode sumiranja nisu trikovi koje su matematičari smislili kako bi se nekako izborili sa divergentnim redovima. Ako primijenite Cesarovo zbrajanje ili Abelovu metodu na konvergentni niz, odgovor daju ove metode jednak je klasičnom zbiru konvergentnog niza.

Međutim, ni Cesarovo sabiranje ni Abelova metoda ne dozvoljavaju rad sa nizom 1 + 2 + 3 + 4 +..., jer se aritmetičke sredine parcijalnih zbira, kao i aritmetičke sredine aritmetičkih sredina, razilaze. Osim toga, ako se vrijednosti 1/2 ili 1/4 mogu nekako prihvatiti i korelirati s odgovarajućim nizom, onda je -1/12 teško povezati sa serijom 1 + 2 + 3 + 4 +..., što je beskonačan niz pozitivnih cijelih brojeva.

Postoji nekoliko načina da se dođe do rezultata -1/12. U ovoj napomeni samo ću se ukratko zadržati na jednom od njih, naime na regularizaciji pomoću zeta funkcije. Hajde da predstavimo zeta funkciju

Zamena s = -1, dobijamo originalnu seriju brojeva 1+2+3+4+…. Izvršimo niz jednostavnih matematičkih operacija nad ovom funkcijom

Gdje je Dirichletova eta funkcija

Kada vrijednost s = -1 ova funkcija postaje već poznati niz 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... čiji je "zbir" jednak 1/4. Sada možemo lako riješiti jednačinu

Zanimljivo je da ovaj rezultat nalazi primenu u fizici. Na primjer, u teoriji struna. Okrenimo se 22. stranici knjige Josepha Polchinskog “Teorija struna”:

Ako za neke ljude teorija struna nije uvjerljiv primjer zbog nedostatka dokaza za mnoge posljedice ove teorije, onda se također može spomenuti da se slične metode pojavljuju u kvantnoj teoriji polja kada se pokušava izračunati Casimirov efekat.

Da ne idete dvaput, evo još par zanimljivih primjera sa zeta funkcijom

Za one koji žele dobiti više informacija o ovoj temi, napominjem da sam ovu bilješku odlučio napisati nakon što sam preveo odgovarajući članak na Wikipediji, gdje u odjeljku "Linkovi" možete pronaći mnogo dodatni materijal, uglavnom na engleskom.

Neki problemi iz fizike i matematike mogu se riješiti korištenjem svojstava numeričke serije. Dva najjednostavnija brojevna niza koja se uče u školama su algebarski i geometrijski. U ovom članku ćemo detaljnije pogledati pitanje kako pronaći zbroj beskonačno napredovanje geometrijsko opadanje.

Geometrijska progresija

Ove riječi označavaju niz realnih brojeva čiji elementi a i zadovoljavaju izraz:

Ovdje je i broj elementa u nizu, r je konstantan broj koji se zove nazivnik.

Ova definicija pokazuje da, znajući bilo koji član progresije i njegov nazivnik, možete vratiti cijeli niz brojeva. Na primjer, ako je 10. element poznat, tada će se dijeljenjem sa r dobiti 9. element, zatim će se ponovnim dijeljenjem dobiti 8. i tako dalje. Ovi jednostavni argumenti nam omogućavaju da zapišemo izraz koji vrijedi za niz brojeva koji se razmatra:

Primjer progresije sa nazivnikom 2 bi bio sljedeći niz:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Ako je imenilac jednak -2, onda se dobija potpuno drugačiji niz:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrijska progresija je mnogo brža od algebarske progresije, odnosno njeni članovi se brzo povećavaju i brzo smanjuju.

Zbir i uslova progresije

Za rješavanje praktičnih problema često je potrebno izračunati zbir nekoliko elemenata numeričkog niza koji se razmatra. Za ovaj slučaj vrijedi sljedeća formula:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Može se vidjeti da za izračunavanje zbroja i članova trebate znati samo dva broja: a 1 i r, što je logično, jer oni jedinstveno određuju cijeli niz.

Opadajući niz i zbir njegovih članova

Pogledajmo sada poseban slučaj. Pretpostavićemo da modul nazivnika r ne prelazi jedan, odnosno -1

Zanimljivo je razmotriti opadajuću geometrijsku progresiju jer beskonačan zbir njenih članova teži konačnom realnom broju.

Hajde da dobijemo formulu za zbir To je lako uraditi ako napišete izraz za S i dat u prethodnom pasusu. Imamo:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Razmotrimo slučaj kada je i->∞. Pošto je modul nazivnika manji od 1, podizanjem na beskonačan stepen dobit će nula. Ovo se može provjeriti na primjeru r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Kao rezultat, zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije će poprimiti oblik:

Ova formula se često koristi u praksi, na primjer, za izračunavanje površina figura. Također se koristi za rješavanje paradoksa Zenona iz Eleje s kornjačom i Ahilejem.

Očigledno je da će razmatranje sume beskonačne geometrijske rastuće progresije (r>1) dovesti do rezultata S ∞ = +∞.

Zadatak pronalaženja prvog člana progresije

Pokažimo kako primijeniti gornje formule na primjeru rješavanja problema. Poznato je da je zbir beskonačne geometrijske progresije 11. Štaviše, njen sedmi član je 6 puta manji od trećeg člana. Koji je prvi element za ovaj niz brojeva?

Prvo, napišimo dva izraza za određivanje 7. i 3. elementa. Dobijamo:

Podijelimo prvi izraz drugim i izrazimo imenilac, imamo:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Pošto je omjer sedmog i trećeg člana dat u iskazu problema, možete ga zamijeniti i pronaći r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Izračunali smo r na pet decimala. Kako je rezultirajuća vrijednost manja od jedan, progresija se smanjuje, što opravdava korištenje formule za njen beskonačan zbir. Zapišimo izraz za prvi član kroz zbir S ∞:

U ovu formulu zamjenjujemo poznate vrijednosti i dobijamo odgovor:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Zenonov poznati paradoks sa brzim Ahilejem i sporom kornjačom

Zenon iz Eleje je poznati grčki filozof koji je živeo u 5. veku pre nove ere. e. Brojni njeni apogeji ili paradoksi dosegli su danas, u kojima se formuliše problem beskonačno velikog i beskonačno malog u matematici.

Jedan od Zenonovih poznatih paradoksa je nadmetanje Ahila i kornjače. Zenon je vjerovao da ako Ahilej kornjači da prednost u daljini, nikada je neće moći sustići. Na primjer, neka Ahil trči 10 puta brže od životinje koja puzi, a koja je, na primjer, 100 metara ispred njega. Kada ratnik pretrči 100 metara, kornjača puzi 10 metara, Ahilej nakon ponovnog pretrčavanja 10 metara vidi da kornjača puzi još 1 metar. Ovako možete raspravljati do beskonačnosti, razmak između konkurenata će se zaista smanjiti, ali kornjača će uvijek biti ispred.

Naveo je Zenona do zaključka da kretanje ne postoji, a sva okolna kretanja objekata su iluzija. Naravno, starogrčki filozof nije bio u pravu.

Rješenje paradoksa leži u činjenici da beskonačan zbir stalno opadajućih segmenata teži konačnom broju. U gornjem slučaju, za udaljenost koju je Ahilej pretrčao, dobijamo:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Primjenjujući formulu za zbir beskonačne geometrijske progresije, dobivamo:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metara

Ovaj rezultat pokazuje da će Ahil sustići kornjaču kada pređe samo 11.111 metara.

Stari Grci nisu znali kako da rade sa beskonačnim veličinama u matematici. Međutim, ovaj paradoks se može razriješiti ako obratimo pažnju ne na beskonačan broj praznina koje Ahilej mora savladati, već na konačan broj koraka koji trkaču treba da dostigne svoj cilj.

Uvodeći oznaku na početku poglavlja, pametno smo izbjegli pitanje beskonačnih suma tako što smo u suštini rekli: „Ostavimo to za kasnije. U međuvremenu, možemo pretpostaviti da sve sume koje se pojavljuju imaju samo konačan broj članova koji nisu nula! Ali konačno je došlo vrijeme obračuna - moramo se suočiti s tim

iznosi mogu biti beskonačni. I, istina, beskonačne količine dolaze s ugodnim i neugodnim okolnostima.

Prvo, o neugodnom: pokazalo se da metode koje smo koristili pri rukovanju sumama nisu uvijek valjane za beskonačne sume. A sada o dobrim stvarima: postoji ogromna, jednostavno uređena klasa beskonačnih suma za koje su sve operacije koje smo izvodili potpuno legalne. Razlozi za obje okolnosti će postati jasni nakon što saznamo pravo značenje zbrajanja.

Svi znaju šta je konačan zbir: sve članove zbrajamo zbroju, jedan za drugim, dok se svi ne zbroje. Ali beskonačnu količinu treba odrediti delikatnije kako ne biste upali u nevolje.

je jednako 2, jer kada ga udvostručimo dobijamo

Ali onda, slijedeći istu logiku, morali bismo izračunati iznos

jednako -1, jer kada ga udvostručimo dobijamo

Događa se nešto čudno: kako možete dobiti negativan broj dodavanjem pozitivnih vrijednosti? Čini se da je bolje ostaviti zbir T nedefiniran, a možda bismo trebali pretpostaviti da budući da članovi u T postaju veći od bilo kojeg fiksnog konačnog broja. (Imajte na umu da je količina još jedno “rješenje” jednačine; ona također “rješava” jednačinu

Pokušajmo dati ispravnu definiciju vrijednosti proizvoljnog zbira gdje skup K može biti beskonačan. Za početak pretpostavimo da su svi članovi a nenegativni. U ovom slučaju nije teško pronaći odgovarajuću definiciju: ako za bilo koji konačni podskup postoji granična konstanta A takva da

tada uzimamo da je zbir najmanji od svih takvih A. (Kao što slijedi iz dobro poznatih svojstava realnih brojeva, skup svih takvih A uvijek sadrži najmanji element.) Ali ako takva granična konstanta A ne postoji , uzimamo da ovo znači da ako A -

neki realni broj, onda postoji neki konačan broj članova a, čiji je zbir veći od A.

Definicija u prethodnom paragrafu je formulisana tako delikatno da ne zavisi od bilo kakvog reda koji može postojati u indeksnom skupu K. Prema tome, argumenti koje ćemo dati će važiti ne samo za zbrojeve nad skupom celih brojeva, ali i za višestruke sume sa mnogo indeksa

Konkretno, kada je K skup nenegativnih cijelih brojeva, naša definicija za nenegativne članove a znači da

I evo zašto: svaki neopadajući niz realnih brojeva ima ograničenje (možda jednako Ako je ova granica jednaka, neki konačni skup nenegativnih cijelih brojeva, od kojih su svi tada; dakle, ili ili A je ograničavajuća konstanta. Ali ako je A neki broj manji od specificiranih granica A, onda postoji takav da, uz to, konačni skup svjedoči o činjenici da A nije granična konstanta.

Sada možete lako izračunati veličine određenih beskonačnih suma u skladu sa upravo datom definicijom. Na primjer, ako onda

Konkretno, beskonačne sume i T, o kojima smo maločas govorili, jednaki su 2, odnosno, kao što smo očekivali. Još jedan primjer vrijedan pažnje:

Razmotrimo sada slučaj kada, uz nenegativne sume, zbir može sadržavati negativne članove. Kolika bi, na primjer, trebala biti količina

Ako grupišemo pojmove u parove, dobićemo:

tako da je zbir nula; ali ako se počnemo grupirati u parove korak kasnije, dobićemo

tj. zbir je jednak jedan.

Mogli bismo također pokušati unijeti formulu jer znamo da ova formula vrijedi za, ali tada ćemo biti prisiljeni priznati da je ovaj beskonačan zbir jednak jer je zbir cijelih brojeva!

Drugi zanimljiv primjer je beskonačan zbir u oba smjera u kojem se na k 0 i na E mogu zapisati kao

Ako ovu sumu izračunamo počevši od "centralnog" elementa i krećući se prema van,

tada dobijamo 1; i dobijamo istu 1 ako sve zagrade pomjerimo za jedan element ulijevo,

budući da je zbir svih brojeva zatvorenih u unutrašnje zagrade

Slično razmišljanje pokazuje da vrijednost zbroja ostaje jednaka 1 ako se ove zagrade pomjere za bilo koji fiksni broj elemenata ulijevo ili udesno - to jača naše mišljenje da je zbroj zaista jednak 1. Ali, s druge strane, ako grupišemo termine na sljedeći način:

tada će par unutrašnjih zagrada sadržavati brojeve

U pogl. 9 pokazaće se da, dakle, ova metoda grupisanja dovodi do ideje da beskonačan zbir u oba smjera zapravo mora biti jednak

Postoji nešto besmisleno u zbroju koji daje različite vrijednosti kada se zbroji na različite načine. U savremenim priručnicima za analizu postoji niz definicija kojima se takvim patološkim zbirovima pridaju smislena značenja; ali ako pozajmimo ove definicije, nećemo moći da operišemo sa -notacijom tako slobodno kao do sada. Ciljevi ove knjige su takvi da nam nisu potrebna rafinirana pojašnjenja koncepta “uslovne konvergencije” – mi ćemo se pridržavati definicije beskonačnih suma koja ostavlja na snazi sve operacije koje smo koristili u ovom poglavlju.

U suštini, naša definicija beskonačnih suma je prilično jednostavna. Neka je K skup i neka je a realno vrijedan član sume definirane za svaki . (Zapravo, to može značiti nekoliko indeksa tako da sam skup K može biti višedimenzionalan.) Bilo koji realni broj x može se predstaviti kao razlika njegovih pozitivnih i negativnih dijelova,

(Ili ili Već smo objasnili kako odrediti veličine beskonačnih suma budući da nisu negativni. Stoga je naša opća definicija:

osim ako su oba zbroja na desnoj strani jednaka. U potonjem slučaju, iznos Hleka ostaje neizvjestan.

Neka Tskekak i Ako su sume konačne, onda kažu da zbroj konvergira apsolutno na . Ako je konačan, onda kažu da se zbir divergira na Slično, ako je konačan, onda kažu da divergira u Ako, onda ne govore ništa.

Počeli smo s definicijom koja je "radila" za nenegativne članove sume, a zatim je proširili na sve članove sa realnom vrijednošću. Ako su članovi zbira kompleksni brojevi, onda se naša definicija očito može proširiti na ovaj slučaj: zbir je definiran kao - realni i imaginarni dio a pod uvjetom da postoje oba ova zbira. U suprotnom, zbir Hkek nije definiran (vidi vježbu 18.)

Nesreća je, kao što je već spomenuto, da neke beskonačne količine moraju ostati nedefinirane jer operacije koje s njima izvodimo mogu dovesti do apsurda. (Vidi vježbu 34.) Lijepo je to što su sve operacije iz ovog poglavlja apsolutno valjane kad god imamo posla sa zbirovima koji se apsolutno konvergiraju u upravo utvrđenom smislu.

Ovu prijatnu činjenicu možemo potvrditi tako što ćemo pokazati da svako naše pravilo transformacije sume ostavlja veličinu bilo koje apsolutno konvergentne sume nepromenjenom. Konkretnije, to znači da treba provjeriti ispunjenost distributivnih, kombinacijskih i komutativnih zakona, plus pravilo prema kojem se može početi sabirati po bilo kojoj varijabli; sve ostalo što smo radili u ovom poglavlju može se izvesti iz ove četiri osnovne operacije sabiranja.

Zakon distribucije (2.15) može se strožije formulirati na sljedeći način: ako zbir Hkek a apsolutno konvergira i ako je c neki kompleksni broj, onda Lkek apsolutno konvergira na. na pozitivne i negativne dijelove , kako su to ranije raščlanili, i dokazujući poseban slučaj kada je svaki član sume nenegativan. Dokaz u ovom konkretnom slučaju radi zbog činjenice da se za bilo koji konačni skup posljednja činjenica može dokazati indukcijom na veličinu skupa

Zakon kombinacije (2.16) može se formulirati na sljedeći način: ako zbrojevi apsolutno konvergiraju prema A i B, respektivno, onda se zbroj apsolutno konvergira na. Ispada da je ovo poseban slučaj općenitije teoreme, što ćemo uskoro dokazati .