Formula za polumjer upisane kružnice. Kako pronaći polumjer kružnice koja opisuje trokut

Krug upisan u trougao

Postojanje kruga upisanog u trokut

Podsjetimo se na definiciju simetrale ugla .

Definicija 1 .Simetrala ugla zove se zraka koja dijeli ugao na dva jednaka dijela.

Teorema 1 (Osnovno svojstvo simetrale ugla) . Svaka tačka simetrale ugla je na istoj udaljenosti od stranica ugla (slika 1).

Rice. 1

Dokaz D , leži na simetrali uglaBAC , And DE I DF sa strane ugla (sl. 1).Pravokutni trouglovi ADF I ADE jednaka , pošto imaju jednake oštre ugloveDAF I DAE , i hipotenuza AD – general. dakle,

DF = DE,

Q.E.D.

Teorema 2 (konverzno sa teoremom 1) . Ako je neki, onda leži na simetrali ugla (slika 2).

Rice. 2

Dokaz . Razmotrite proizvoljnu tačkuD , koji leži unutar uglaBAC i nalazi se na istoj udaljenosti od strana ugla. Hajdemo s temeD okomite DE I DF na stranama ugla (sl. 2).Pravokutni trouglovi ADF I ADE jednaka , pošto imaju jednake nogeDF I DE , i hipotenuza AD – general. dakle,

Q.E.D.

Definicija 2 . Krug se zove krug upisan u ugao , ako su to strane ovog ugla.

Teorema 3 . Ako je kružnica upisana u kut, tada su udaljenosti od vrha ugla do tačaka dodira kružnice sa stranama ugla jednake.

Dokaz . Pusti poentu D – centar kružnice upisan u ugaoBAC , i bodove E I F – dodirne tačke kružnice sa stranicama ugla (sl. 3).

Fig.3

a , b , c - stranice trougla,
 S -kvadrat,

r – poluprečnik upisane kružnice,
 str – poluperimetar

.

Pogledajte izlaz formule

a – bočna strana jednakokračnog trougla , 
 b – baza, r – radijus upisane kružnice

a r – radijus upisane kružnice

Pogledajte izlaz formule

,

Gdje

,

tada, u slučaju jednakokračnog trougla, kada

dobijamo

što je bilo potrebno.

Teorema 7 . Za jednakost

Gdje a – stranica jednakostraničnog trougla,r – poluprečnik upisane kružnice (slika 8).

Rice. 8

Dokaz .

,

tada, u slučaju jednakostraničnog trougla, kada

b = a,

dobijamo

što je bilo potrebno.

Komentar . Preporučujem da kao vježbu izvedete formulu za polumjer upisane kružnice jednakostranični trougao, direktno, tj. bez upotrebe opšte formule za polumjere kružnica upisanih u proizvoljan trokut ili jednakokraki trokut.

Teorema 8 . Za pravokutni trokut vrijedi sljedeća jednakost:

Gdje a , b – katete pravouglog trougla, c – hipotenuza , r – poluprečnik upisane kružnice.

Dokaz . Razmotrite sliku 9.

Rice. 9

Pošto je četvorougaoCDOF je , koji ima susjedne straneDO I OF su jednaki, onda je ovaj pravougaonik . dakle,

CB = CF= r,

Na osnovu teoreme 3, tačne su sljedeće jednakosti:

Stoga, također uzimajući u obzir, dobijamo

što je bilo potrebno.

Izbor zadataka na temu "Kružnica upisana u trokut."

1.

Krug upisan u jednakokraki trokut dijeli jednu od bočnih strana u tački dodira na dva segmenta čije su dužine 5 i 3, računajući od vrha nasuprot osnovici. Pronađite obim trougla.

2.

3

U trouglu ABC AC=4, BC=3, ugao C je 90º. Pronađite polumjer upisane kružnice.

4.

Kraci jednakokračnog pravouglog trougla su 2+. Pronađite polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

5.

Poluprečnik kružnice upisane u jednakokraki pravokutni trokut je 2. Nađite hipotenuzu c ovog trougla. Molimo navedite c(–1) u svom odgovoru.

Predstavljamo niz problema sa Jedinstvenog državnog ispita sa rešenjima.

Poluprečnik kružnice upisane u jednakokračan pravougaoni trokut jednak je . Pronađite hipotenuzu ovog trougla. Molimo navedite u svom odgovoru.

Trougao je pravougaoni i jednakokraki. To znači da su mu noge iste. Neka svaka noga bude jednaka. Tada je hipotenuza jednaka.

Površinu trokuta ABC pišemo na dva načina:

Izjednačavajući ove izraze, dobijamo to. Zbog, razumemo. Onda.

Napisat ćemo odgovor.

odgovor:.

Zadatak 2.

1. U slobodnom, postoje dvije strane od 10cm i 6cm (AB i BC). Nađi poluprečnike opisane i upisane kružnice
Problem se rješava samostalno uz komentarisanje.

Rješenje:

IN.

1) Pronađite:
2) Dokažite:i pronađite CK
3) Pronađite: poluprečnike opisane i upisane kružnice

Rješenje:

Zadatak 6.

R polumjer kružnice upisane u kvadrat je. Pronađite polumjer kružnice opisane oko ovog kvadrata.Dato :

Nađi: OS=?
Rješenje: U ovom slučaju, problem se može riješiti pomoću Pitagorine teoreme ili formule za R. Drugi slučaj će biti jednostavniji, jer je formula za R izvedena iz teoreme.

Zadatak 7.

Poluprečnik kružnice upisane u jednakokraki pravokutni trokut je 2. Pronađite hipotenuzuWith ovaj trougao. Molimo navedite u svom odgovoru.

S – površina trougla

Ne znamo ni stranice trougla ni njegovu površinu. Označimo katete sa x, tada će hipotenuza biti jednaka:

A površina trokuta će biti 0,5x 2 .

Sredstva

Dakle, hipotenuza će biti jednaka:

U svom odgovoru treba da napišete:

Odgovor: 4

Zadatak 8.

U trouglu ABC AC = 4, BC = 3, ugao C jednako 90 0. Pronađite polumjer upisane kružnice.

Koristimo formulu za polumjer kružnice upisane u trokut:

gdje su a, b, c stranice trougla

S – površina trougla

Dvije strane su poznate (ovo su katete), možemo izračunati treću (hipotenuzu), a možemo izračunati i površinu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

Nađimo područje:

ovako:

Odgovor: 1

Zadatak 9.

Stranice jednakokračnog trougla su 5, a osnova 6. Pronađite poluprečnik upisane kružnice.

Koristimo formulu za polumjer kružnice upisane u trokut:

gdje su a, b, c stranice trougla

S – površina trougla

Sve strane su poznate, izračunajmo površinu. Možemo ga pronaći pomoću Heronove formule:

Onda

Romb je paralelogram čije su sve strane jednake. Stoga nasljeđuje sva svojstva paralelograma. naime:

• Dijagonale romba su međusobno okomite.
• Dijagonale romba su simetrale njegovih unutrašnjih uglova.

Krug se može upisati u četverokut ako i samo ako su zbroji suprotnih strana jednaki.
Dakle, kružnica se može upisati u bilo koji romb. Središte upisane kružnice poklapa se sa centrom presjeka dijagonala romba.
Poluprečnik upisane kružnice u romb može se izraziti na nekoliko načina

1 način. Poluprečnik upisane kružnice u romb kroz visinu

Visina romba jednaka je prečniku upisane kružnice. To proizlazi iz svojstva pravougaonika, koji je formiran prečnikom upisane kružnice i visinom romba - suprotne strane pravougaonika su jednake.

Dakle, formula za polumjer upisane kružnice u romb u smislu visine:

Metoda 2. Poluprečnik upisane kružnice u romb kroz dijagonale

Površina romba može se izraziti u terminima radijusa upisane kružnice
, Gdje R– perimetar romba. Znajući da je perimetar zbir svih strana četverougla, imamo P= 4×a. Onda
Ali površina romba je također jednaka polovini proizvoda njegovih dijagonala
Izjednačavajući desnu stranu formule površine, imamo sljedeću jednakost
Kao rezultat, dobijamo formulu koja nam omogućava da izračunamo radijus upisane kružnice u rombu kroz dijagonale

Primjer izračunavanja polumjera kružnice upisane u romb ako su poznate dijagonale
Pronađite polumjer kružnice upisane u romb ako je poznato da su dužine dijagonala 30 cm i 40 cm
Neka A B C D- dakle romb A.C. I BD njegove dijagonale. AC= 30 cm ,BD=40 cm
Pusti poentu O– je centar upisanog u romb A B C D krug, tada će to biti i tačka presjeka njegovih dijagonala, dijeleći ih na pola.


pošto se dijagonale romba sijeku pod pravim uglom, onda je trokut AOB pravougaona. Zatim, po Pitagorinoj teoremi
, zamijenite prethodno dobijene vrijednosti u formulu

AB= 25 cm
Primjenjujući prethodno izvedenu formulu za polumjer opisane kružnice u rombu, dobijamo

3 way. Poluprečnik upisane kružnice u romb kroz segmente m i n

Dot F– dodirna tačka kružnice sa stranicom romba, koja ga dijeli na segmente A.F. I B.F.. Neka AF=m, BF=n.
Dot O– centar presjeka dijagonala romba i središta u njega upisane kružnice.
Trougao AOB– pravougaoni, jer se dijagonale romba sijeku pod pravim uglom.
, jer je polumjer povučen do tačke tangente kružnice. Dakle OF– visina trougla AOB na hipotenuzu. Onda A.F. I BF projekcije kateta na hipotenuzu.
Visina u pravougaonog trougla, spušten na hipotenuzu je prosječna proporcionalna između projekcija kateta na hipotenuzu.

Formula za polumjer upisane kružnice u romb kroz segmente jednaka je kvadratnom korijenu proizvoda ovih segmenata na koje tangentna tačka kružnice dijeli stranicu romba

MKOU "Srednja škola Volchikhinskaya br. 2"

Učiteljica Bakuta E.P.

9. razred

Lekcija na temu "Formule za poluprečnike upisanih i opisanih kružnica pravilnih mnogouglova"

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: izučavanje formula za polumjere upisanih i opisanih kružnica pravilnih poligona;

Razvojni: aktiviranje kognitivne aktivnosti učenika kroz rješavanje praktičnih problema, sposobnost izbora ispravno rješenje, sažeto iznesite svoja razmišljanja, analizirajte i izvucite zaključke.

Vaspitno: organizovanje zajedničkih aktivnosti, usađivanje kod učenika interesovanja za predmet, dobre volje i sposobnosti da slušaju odgovore svojih drugova.

Oprema: multimedijalni računar, multimedijalni projektor, ekran za ekspoziciju

Napredak lekcije:

1. Organiziranje vremena

Da argumentujem pravu stvar,

A moto naše lekcije bit će ove riječi:

Mislite kolektivno!

Riješite brzo!

Odgovorite dokazima!

Borite se jako!

2. Motivacija časa.

3. Ažuriranje osnovnih znanja. Provjera d/z.

Frontalna anketa:

Koji oblik se naziva poligon?

Koji se poligon naziva pravilnim?

Koji je drugi naziv za pravilan trougao?

Koji je drugi naziv za pravilan četvorougao?

Formula za zbir uglova konveksnog poligona.

Formula ugla pravilnog poligona.

4. Proučavanje novog gradiva. (slajdovi)

Kaže se da je kružnica upisana u poligon ako sve strane poligona dodiruju krug.

Krug se naziva opisanim oko poligona ako svi vrhovi poligona leže na krugu.

Krug može biti upisan ili opisan oko bilo kojeg trokuta, a središte kružnice upisane u trokut leži na sjecištu simetrala trokuta, a središte kružnice opisane oko trokuta leži u sjecištu simetrala okomite .

Krug se može opisati oko bilo kojeg pravilnog poligona, a krug se može upisati u bilo koji pravilan poligon, a centar kružnice opisane oko pravilnog mnogougla poklapa se sa središtem kruga upisanog u isti poligon.

Formule za polumjere upisanih i opisanih kružnica pravilnog trougla, pravilnog četvorougla, pravilnog šestougla.

Radijus upisane kružnice u pravilnom poligonu (r):

a - strana poligona, N - broj strana poligona

Radijus kruga pravilnog poligona (R):

a je stranica poligona, N je broj strana poligona.

Popunimo tabelu za pravilan trougao, pravilan četvorougao, pravilan šestougao.

5. Konsolidacija novog materijala.

Riješi br. 1088, 1090, 1092, 1099.

6. Fizičke vježbe . Jedan - istegni se Dva - sagni se

Tri - pogledaj okolo Četiri - sedi

Pet - ruke gore Šest - napred

Sedam - spušteno Osam - sjelo

Devet - ustao Deset - ponovo seo

7. Samostalan rad studenti (rad u grupama)

Reši br. 1093.

8. Sažetak lekcije. Refleksija. D/z.

Kakav ste utisak stekli? (Sviđa mi se – nije mi se svidjelo)

– Kako se osećate posle časa? (radosno - tužno)

- Kako se osjećaš? (Umoran - nije umoran)

– Kakav je vaš stav prema obrađenom materijalu? (Shvatio - nisam shvatio)

– Kakvo je vaše samopoštovanje nakon časa? (Zadovoljan – nisam zadovoljan)

– Procijenite svoju aktivnost na času. (Pokušao sam - nisam pokušao).

ponoviti paragrafe 105-108;

naučiti formule;

№ 1090, 1091, 1087(3)

Matematika ima glasine

Da ona svoj um dovede u red,

Jer dobre reči

Ljudi često pričaju o njoj.

Daješ nam geometriju

Kaljenje je važno za pobedu.

Mladi ljudi uče sa vama

Razvijajte i volju i domišljatost.

Bilješka Prezentacija sadrži sekcije:

Ponavljanje teorijskog gradiva

Ispitivanje zadaća

Izvođenje osnovnih formula, tj. novi materijal

Konsolidacija: rješavanje problema u grupama i samostalno

Pogledajte sadržaj prezentacije
"9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2"

• Da argumentujem pravu stvar,
• Da ne bi znao neuspjehe u životu,
• Hajdemo hrabro u svet matematike,
• U svijet primjera i različitih zadataka.

MOTO LEKCIJE

Mislite kolektivno!

Riješite brzo!

Odgovorite dokazima!

Borite se jako!

A otkrića nas definitivno čekaju!

Ponavljanje.

• Koja geometrijska figura

prikazano na slici?

D

E

2.Kako se zove poligon

tačno?

O

3.Kako se zove krug

upisan u poligon?

F

WITH

4.Kako se zove krug

opisano o poligonu?

5.Imenujte poluprečnik upisane kružnice.

A

IN

N

6. Imenujte poluprečnik opisane kružnice.

7.Kako pronaći centar upisanog u ispravnom

kružni poligon?

8. Kako pronaći centar opisane kružnice

pravilan poligon?

Provjera napretka

zadaća ..

№ 1084.

β – odgovarajući ugao

luk koji je povučen zajedno

strana poligona .

O

A P

A 2

β

odgovori:

a) 6;

b) 12;

A

A 1

u 4;

d) 8;

d) 10

e) 20;

e) 7.

e) 5.

REGULAR POLYGON

Pravilan mnogokut je konveksan mnogokut u kojem su svi uglovi jednaki i sve stranice jednake.

Zbir pravih uglova n -kvadrat

Ugao ispravan n - kvadrat

Za krug se kaže da je upisan u poligon

ako sve strane poligona dodiruju ovaj krug.

Krug se naziva opisanim oko poligona ako svi njegovi vrhovi leže na njemu

krugovima.

Upisana i opisana kružnica

Krug upisan u pravilan poligon dodiruje stranice poligona u njihovim središtima.

Središte kružnice opisane oko pravilnog poligona poklapa se sa središtem kruga upisanog u isti poligon.

Izvedemo formulu za polumjere upisanog i opisanog kruga pravilnog poligona.

Neka je r polumjer upisane kružnice,

R – poluprečnik opisane kružnice,

n – broj stranica i uglova poligona.

Zamislite regularni n-ugao.

Neka je a strana n-ugla,

α – ugao.

Konstruirajmo tačku O - centar upisane i opisane kružnice.

OS – visina ∆AOB.

∟ S = 90 º - (po konstrukciji),

Razmotrimo ∆AOC:

∟ OAS = α /2 - (OA je simetrala ugla p-ugla),

AC = a/2 – (OS – medijana osnovice jednakokračnog trokuta),

∟ AOB = 360 º: p,

neka je ∟AOC = β.

tada je β = 0,5 ∙ ∟AOB

0,5∙(360º:p)

2 sin (180º:n)

2 tg (180º:p)

Površina pravilnog poligona

Strana pravilnog poligona

Radijus upisane kružnice

Grupa 1 Dato: R , n =3 Nađi: a

Grupa 2 Dato: R , n =4 Nađi: a

Grupa 3 Dato: R , n =6 Nađi: a

Grupa 4 Dato: r , n =3 Nađi: a

Grupa 5 Dato: r , n = 4 Pronaci

Grupa 6 Dato: r , n = 6 Pronaci

Grupa 1 Dato: R , n =3 Nađi: a

Grupa 2 Dato: R , n =4 Nađi: a

Grupa 3 Dato: R , n =6 Nađi: a

Grupa 4 Dato: r , n =3 Nađi: a

Grupa 5 Dato: r , n = 4 Pronaci

Grupa 6 Dato: r , n = 6 Pronaci

n = 3

n = 4

n = 6

2 tg (180º:p)

2 sin (180º:n)

zatim 180 º: str

Pravilan trokut ima n = 3,

odakle je 2 sin 60 º =

zatim 180 º: str

Pravilan četvorougao ima n = 4,

odakle je 2 sin 45 º =

Pravilan šestougao ima n = 6,

zatim 180 º: str

odakle je 2 sin 30 º =

Koristeći formule za polumjere upisanih i opisanih kružnica nekih pravilnih poligona, izvedite formule za nalaženje ovisnosti stranica pravilnih mnogouglova od polumjera upisanih i opisanih kružnica i popunite tabelu:

2 R ∙ sin (180 º: n)

2 r ∙ tg (180 º: p)

trougao

hexagon

pp. 105 – 108;

№ 1087;

№ 1088 – pripremiti sto.

n=4

R

r

a 4

P

2

6

4

S

28

16

3

3√2

24

32

2√2

4

16

16

16√2

32

4√2

2√2

7

3,5√2

3,5

49

4

2√2

16

2

№ 1087(5)

Dato: S=16 , n =4

Pronađite: a, r, R, P

Znamo formule:

№ 1088( 5 )

Dato: P=6 , n = 3

Pronađite: R, a, r, S

Znamo formule:

№ 108 9

Dato:

Pronađite:

Sažmite

Znamo formule:

• ponoviti paragrafe 105-108;
• naučiti formule;
• № 1090, 1091, 1087(3)

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.