UlazKako se ističe kompletan kvadrat? Faktoring polinoma. Metoda za odabir cijelog kvadrata. Kombinacija metoda
Online kalkulator.
Izolacija kvadrata binoma i faktoring kvadratnog trinoma.
Ovaj matematički program razlikuje kvadratni binom od kvadratnog trinoma, tj. vrši transformaciju poput: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) i čini faktore kvadratni trinom : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
One. problemi se svode na pronalaženje brojeva \(p, q\) i \(n, m\)
Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješavanja.
Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.
Na taj način možete sami voditi svoju obuku i/ili obuku. mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti problema koji se rješavaju povećava.
Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog trinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.
Pravila za unos kvadratnog polinoma
Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.
Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štaviše, razlomci brojeva može se uneti ne samo kao decimalni, već i kao običan razlomak.
Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Imenilac ne može biti negativan.
Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)
Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Primjer detaljno rješenje
Izolacija kvadrata binoma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\lijevo(x^2+x-2 \desno) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \desno) = $$ $$ 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$
Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.
Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...
Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Izoliranje kvadrata binoma od kvadratnog trinoma
Ako je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen kao a(x+p) 2 +q, gdje su p i q realni brojevi, onda kažemo da iz kvadratni trinom, kvadrat binoma je istaknut.
Iz trinoma 2x 2 +12x+14 izdvajamo kvadrat binoma.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Da biste to učinili, zamislite 6x kao proizvod 2*3*x, a zatim dodajte i oduzmite 3 2. Dobijamo:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
To. Mi izdvojiti kvadratni binom iz kvadratnog trinoma, i pokazao da:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Faktoriranje kvadratnog trinoma
Ako je kvadratna trinomska os 2 +bx+c predstavljena u obliku a(x+n)(x+m), gdje su n i m realni brojevi, tada se kaže da je operacija izvedena faktorizacija kvadratnog trinoma.
Pokažimo na primjeru kako se vrši ova transformacija.
Razložimo kvadratni trinom 2x 2 +4x-6.
Uzmimo koeficijent a iz zagrada, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Hajde da transformišemo izraz u zagradama.
Da biste to učinili, zamislite 2x kao razliku 3x-1x, a -3 kao -1*3. Dobijamo:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
To. Mi faktorizovao kvadratni trinom, i pokazao da:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Imajte na umu da je faktoring kvadratnog trinoma moguće samo kada, kvadratna jednačina, koji odgovara ovom trinomu ima korijene.
One. u našem slučaju, moguće je faktorizovati trinom 2x 2 +4x-6 ako kvadratna jednadžba 2x 2 +4x-6 =0 ima korijen. U procesu faktorizacije ustanovili smo da jednačina 2x 2 + 4x-6 = 0 ima dva korijena 1 i -3, jer sa ovim vrijednostima, jednačina 2(x-1)(x+3)=0 pretvara se u pravu jednakost.
Definicija
Izrazi oblika 2 x 2 + 3 x + 5 nazivaju se kvadratni trinomi. Općenito, kvadratni trinom je izraz oblika a x 2 + b x + c, gdje su a, b, c a, b, c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.
Razmotrimo kvadratni trinom x 2 - 4 x + 5. Zapišimo to u ovom obliku: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Dodajmo 2 2 ovom izrazu i oduzmemo 2 2, dobićemo: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Imajte na umu da je x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, dakle x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformacija koju smo napravili se zove “Izolacija savršenog kvadrata iz kvadratnog trinoma”.
Odredite savršeni kvadrat iz kvadratnog trinoma 9 x 2 + 3 x + 1.
Imajte na umu da je 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Zatim `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Dobijamo sabiranje i oduzimanje `(1/2)^2` rezultujućem izrazu
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Pokazat ćemo kako se metoda izolacije savršenog kvadrata iz kvadratnog trinoma koristi za faktorizaciju kvadratnog trinoma.
Faktori kvadratni trinom 4 x 2 - 12 x + 5.
Odabiremo savršeni kvadrat iz kvadratnog trinoma: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Sada primjenjujemo formulu a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , dobijamo: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .
Faktor kvadratnog trinoma - 9 x 2 + 12 x + 5.
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Sada primjećujemo da je 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.
Dodamo izraz 2 2 izrazu 9 x 2 - 12 x, dobićemo:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Primjenjujemo formulu za razliku kvadrata, imamo:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Faktor kvadratnog trinoma 3 x 2 - 14 x - 5 .
Izraz 3 x 2 ne možemo predstaviti kao kvadrat nekog izraza, jer to još nismo učili u školi. Kroz ovo ćete proći kasnije, a u zadatku br. 4 ćemo proučiti kvadratni korijeni. Hajde da pokažemo kako možete faktorisati dati kvadratni trinom:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Pokazat ćemo vam kako koristiti metodu savršenog kvadrata da pronađete najveću ili najmanju vrijednost kvadratnog trinoma.
Razmotrimo kvadratni trinom x 2 - x + 3. Odaberite cijeli kvadrat:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Imajte na umu da je kada je `x=1/2` vrijednost kvadratnog trinoma `11/4`, a kada je `x!=1/2` dodana je vrijednost `11/4` pozitivan broj, tako da dobijamo broj veći od `11/4`. dakle, najmanju vrijednost kvadratni trinom je `11/4` i dobija se kada je `x=1/2`.
Pronađite najveću vrijednost kvadratnog trinoma - 16 2 + 8 x + 6.
Odabiremo savršen kvadrat iz kvadratnog trinoma: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Kada je `x=1/4` vrijednost kvadratnog trinoma je 7, a kada je `x!=1/4` od broja 7 oduzmemo pozitivan broj, odnosno dobijemo broj manji od 7. Dakle, broj 7 je najveća vrijednost kvadratni trinom, a dobija se kada je `x=1/4`.
Rastavite brojilac i nazivnik razlomka `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` i smanjite razlomak.
Imajte na umu da je imenilac razlomka x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Faktorizujmo brojilac razlomka metodom izolacije kompletnog kvadrata iz kvadratnog trinoma. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
Ovaj razlomak je smanjen na oblik `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` nakon smanjenja za (x - 3) dobijamo `(x+5)/(x-3) )`.
Razdijelite polinom x 4 - 13 x 2 + 36.
Primijenimo metodu izolacije kompletnog kvadrata na ovaj polinom. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
Kao što sam već napomenuo, u integralnom računu ne postoji pogodna formula za integraciju razlomka. I stoga, postoji tužan trend: što je razlomak sofisticiraniji, to je teže pronaći njegov integral. S tim u vezi, morate pribjeći raznim trikovima, o kojima ću vam sada reći. Pripremljeni čitaoci mogu odmah iskoristiti prednosti sadržaj:
- Metoda podvođenja diferencijalnog predznaka za proste razlomke
Metoda umjetne konverzije brojila
Primjer 1
Inače, razmatrani integral se može riješiti i promjenom metode varijable, označavajući , ali će pisanje rješenja biti mnogo duže.
Primjer 2
Nađi neodređeni integral. Izvršite provjeru.
Ovo je primjer za nezavisna odluka. Treba napomenuti da metoda zamjene varijable ovdje više neće raditi.
Pažnja, važno! Primjeri br. 1, 2 su tipični i često se javljaju. Konkretno, takvi integrali često nastaju prilikom rješavanja drugih integrala, posebno pri integraciji iracionalnih funkcija (korijena).
Razmatrana tehnika također funkcionira u slučaju ako je najviši stepen brojioca veći od najvišeg stepena nazivnika.
Primjer 3
Pronađite neodređeni integral. Izvršite provjeru.
Počinjemo birati brojilac.
Algoritam za odabir brojača je otprilike ovako:
1) U brojiocu trebam organizirati , ali tamo . sta da radim? Stavljam u zagrade i množim sa: .
2) Sada pokušavam da otvorim ove zagrade, šta se dešava? . Hm... to je bolje, ali u brojniku u početku nema dva. sta da radim? Morate pomnožiti sa:
3) Opet otvaram zagrade: . I evo prvog uspjeha! Ispalo je kako treba! Ali problem je što se pojavio dodatni termin. sta da radim? Da spriječim promjenu izraza, moram ga dodati svojoj konstrukciji: 
. Život je postao lakši. Da li je moguće ponovo organizirati u brojiocu?
4) Moguće je. Pokusajmo: 
. Otvorite zagrade drugog člana: 
. Žao mi je, ali u prethodnom koraku sam zapravo imao , ne . sta da radim? Drugi član morate pomnožiti sa: 
5) Opet, da provjerim, otvaram zagrade u drugom terminu: 
. Sada je normalno: izvedeno iz konačne konstrukcije tačke 3! Ali opet postoji malo "ali", pojavio se dodatni izraz, što znači da moram dodati svom izrazu: 
Ako je sve urađeno kako treba, onda kada otvorimo sve zagrade treba da dobijemo originalni brojnik integrala. Provjeravamo:
Hood.
ovako: 
Spreman. U prošlom terminu koristio sam metodu podvođenja funkcije pod diferencijal.
Ako pronađemo derivaciju odgovora i svedemo izraz na zajednički nazivnik, onda ćemo dobiti upravo originalnu funkciju integranda. Razmatrana metoda dekompozicije u zbir nije ništa drugo do obrnuta akcija dovođenja izraza do zajedničkog nazivnika.
Algoritam za odabir brojača u ovakvim primjerima najbolje je napraviti u obliku nacrta. Uz neke vještine, funkcionirat će mentalno. Sjećam se rekordnog slučaja kada sam izvodio izbor za 11. stepen, a proširenje brojila je zauzelo skoro dva reda Verda.
Primjer 4
Pronađite neodređeni integral. Izvršite provjeru.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti.
Metoda podvođenja diferencijalnog predznaka za proste razlomke
Idemo dalje na razmatranje sljedeće vrste razlomaka.
, , , (koeficijenti i nisu jednaki nuli).
U stvari, nekoliko slučajeva sa arksinom i arktangensom je već spomenuto u lekciji Metoda promjenljive promjene u neodređenom integralu. Takvi primjeri se rješavaju podvođenjem funkcije pod diferencijalni predznak i daljnjom integracijom pomoću tablice. Evo tipičnih primjera s dugim i visokim logaritmima:
Primjer 5
Primjer 6
Ovdje je preporučljivo pokupiti tablicu integrala i vidjeti koje formule i Kako dolazi do transformacije. Bilješka, kako i zašto Kvadrati u ovim primjerima su istaknuti. Konkretno, u primjeru 6 prvo trebamo predstaviti imenilac u obliku 
, zatim ga dovedite pod diferencijalni znak. I sve to treba učiniti kako bi se koristila standardna tablična formula 
.
Zašto da gledate, pokušajte sami riješiti primjere br. 7, 8, pogotovo jer su prilično kratki:
Primjer 7
Primjer 8
Pronađite neodređeni integral:
Ako i vi uspijete provjeriti ove primjere, onda veliko poštovanje - vaše vještine razlikovanja su odlične.
Metoda odabira punog kvadrata
Integrali oblika 
(koeficijenti i nisu jednaki nuli) su riješeni metoda potpune kvadratne ekstrakcije, koji se već pojavio u lekciji Geometrijske transformacije grafova.
U stvari, takvi se integrali svode na jedan od četiri tabelarna integrala koja smo upravo pogledali. A to se postiže korištenjem poznatih skraćenih formula za množenje:
Formule se primjenjuju upravo u tom smjeru, odnosno, ideja metode je da se izrazi umjetno organiziraju u nazivniku, a zatim se konvertuju u skladu s tim.
Primjer 9
Pronađite neodređeni integral
Ovo najjednostavniji primjer, u kojem sa pojmom – jedinični koeficijent(a ne neki broj ili minus).
Pogledajmo nazivnik, ovdje se cijela stvar očigledno svodi na slučajnost. Počnimo pretvarati imenilac:
Očigledno, morate dodati 4. I, kako se izraz ne bi promijenio, oduzmite ista četiri:
Sada možete primijeniti formulu:
Nakon što je konverzija završena UVIJEK Preporučljivo je izvesti obrnuti potez: sve je u redu, nema grešaka.
Konačni dizajn dotičnog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako: 
Spreman. Rezimirajući "besplatno" složena funkcija pod predznakom diferencijala: , u principu, može se zanemariti
Primjer 10
Pronađite neodređeni integral:
Ovo je primjer koji možete sami riješiti, odgovor je na kraju lekcije
Primjer 11
Pronađite neodređeni integral:
Šta učiniti kada je ispred minus? U ovom slučaju, trebamo izvaditi minus iz zagrada i rasporediti pojmove onim redoslijedom koji nam je potreban: . Konstantno(„dva“ u ovom slučaju) ne diraj!
Sada dodajemo jedan u zagrade. Analizirajući izraz, dolazimo do zaključka da moramo dodati jedan izvan zagrada:
Ovdje dobijamo formulu, primjenjujemo:
UVIJEK Provjeravamo nacrt:
, što je trebalo provjeriti.
Čisti primjer izgleda otprilike ovako: 
Otežavanje zadatka
Primjer 12
Pronađite neodređeni integral: 
Ovdje termin više nije jedinični koeficijent, već „pet“.
(1) Ako postoji konstanta at, onda je odmah vadimo iz zagrada.
(2) Općenito, uvijek je bolje ovu konstantu pomjeriti izvan integrala kako ne bi smetala.
(3) Očigledno, sve će se svesti na formulu. Moramo razumjeti pojam, naime, dobiti "dva"
(4) Da, . To znači da izrazu dodajemo i oduzimamo isti razlomak.
(5) Sada odaberite cijeli kvadrat. U općem slučaju, također moramo izračunati , ali ovdje imamo formulu za dugi logaritam 
, i nema smisla izvoditi radnju; zašto će biti jasno u nastavku.
(6) Zapravo, možemo primijeniti formulu 
, samo umjesto “X” imamo , što ne negira valjanost integrala tablice. Strogo govoreći, promašen je jedan korak - prije integracije funkciju je trebalo podvesti pod diferencijalni predznak: 
, ali, kao što sam više puta primijetio, to se često zanemaruje.
(7) U odgovoru ispod korijena, preporučljivo je proširiti sve zagrade unatrag:
Tesko? Ovo nije najteži dio integralnog računa. Mada, primeri koji se razmatraju nisu toliko složeni koliko zahtevaju dobre računarske tehnike.
Primjer 13
Pronađite neodređeni integral:
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Odgovor je na kraju lekcije.
Postoje integrali s korijenima u nazivniku, koji se zamjenom svode na integrale razmatranog tipa; o njima možete pročitati u članku Kompleksni integrali, ali je dizajniran za vrlo pripremljene učenike.
Podvođenje brojioca pod predznak diferencijala
Ovo je završni dio lekcije, međutim, integrali ovog tipa su prilično česti! Ako ste umorni, možda je bolje da pročitate sutra? ;)
Integrali koje ćemo razmatrati slični su integralima iz prethodnog stava, imaju oblik: ili 
(koeficijenti , i nisu jednaki nuli).
To jest, u brojiocu koji imamo linearna funkcija. Kako riješiti takve integrale?
U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti svih prethodno proučavanih metoda faktoringa polinoma i razmotriti primjere njihove primjene, osim toga, proučavat ćemo nova metoda- metod identifikacije kompletnog kvadrata i naučiti kako ga primijeniti u rješavanju različitih problema.
Predmet:Faktoring polinoma
lekcija:Faktoring polinoma. Metoda za odabir cijelog kvadrata. Kombinacija metoda
Prisjetimo se osnovnih metoda faktoringa polinoma koje su ranije proučavane:
Metoda stavljanja zajedničkog faktora iz zagrada, odnosno faktora koji je prisutan u svim terminima polinoma. Pogledajmo primjer:
Podsjetimo da je monom proizvod stepena i brojeva. U našem primjeru, oba termina imaju neke zajedničke, identične elemente.
Dakle, izvadimo zajednički faktor iz zagrada:
;
Podsjetimo, množenjem izvađenog faktora zagradom možete provjeriti ispravnost izvađenog faktora.
Metoda grupisanja. Nije uvijek moguće izdvojiti zajednički faktor u polinomu. U ovom slučaju, potrebno je podijeliti njene članove u grupe na način da iz svake grupe možete izdvojiti zajednički faktor i pokušati ga rastaviti tako da se nakon uzimanja faktora u grupama pojavi zajednički faktor u cijeli izraz i možete nastaviti s dekompozicijom. Pogledajmo primjer:
Grupirajmo prvi član sa četvrtim, drugi sa petim, a treći sa šestim:
Izdvojimo zajedničke faktore u grupama:
Izraz sada ima zajednički faktor. Izvadimo ga:
Primjena skraćenih formula za množenje. Pogledajmo primjer:
;
Napišimo izraz detaljno:
Očigledno, pred sobom imamo formulu za kvadratnu razliku, jer je ona zbir kvadrata dva izraza i od nje se oduzima njihov dvostruki proizvod. Koristimo formulu:
Danas ćemo naučiti još jednu metodu - metodu odabira cijelog kvadrata. Zasnovan je na formulama kvadrata zbira i kvadrata razlike. Podsjetimo ih:
Formula za kvadrat zbira (razlike);
Posebnost ovih formula je da sadrže kvadrate dva izraza i njihov dvostruki proizvod. Pogledajmo primjer:
Zapišimo izraz:
Dakle, prvi izraz je , a drugi je .
Da bi se napravila formula za kvadrat zbira ili razlike, dvostruki proizvod izraza nije dovoljan. Treba dodati i oduzeti:
Dopunimo kvadrat zbira:
Transformirajmo rezultirajući izraz:
Primijenimo formulu za razliku kvadrata, prisjetimo se da je razlika kvadrata dva izraza proizvod i zbir njihove razlike:
Dakle, ova metoda se sastoji, prije svega, u identifikaciji izraza a i b koji su na kvadrat, odnosno u određivanju koji su izrazi na kvadrat u ovom primjeru. Nakon toga morate provjeriti prisutnost dvostrukog proizvoda i ako ga nema, onda ga dodajte i oduzmite, to neće promijeniti značenje primjera, ali se polinom može faktorizirati pomoću formula za kvadrat od zbroj ili razlika i razlika kvadrata, ako je moguće.
Pređimo na rješavanje primjera.
Primjer 1 - faktorizacija:
Nađimo izraze koji su na kvadrat:
Zapišimo kakav bi trebao biti njihov dvostruki proizvod:
Dodajmo i oduzimamo dvostruki proizvod:
Dopunimo kvadrat zbira i damo slične:
Zapišimo to koristeći formulu razlike kvadrata:
Primjer 2 - riješiti jednačinu:
;
Na lijevoj strani jednadžbe je trinom. Morate to uračunati u faktore. Koristimo formulu kvadratne razlike:
Imamo kvadrat prvog izraza i dvostruki proizvod, nedostaje kvadrat drugog izraza, hajde da ga saberemo i oduzmemo:
Presavijmo ceo kvadrat i damo slične pojmove:
Primijenimo formulu razlike kvadrata:
Dakle, imamo jednačinu 
Znamo da je proizvod jednak nuli samo ako je barem jedan od faktora jednaka nuli. Kreirajmo sljedeće jednačine na osnovu ovoga:
Rešimo prvu jednačinu:
Rešimo drugu jednačinu:
Odgovor: ili
;
Nastavljamo slično kao u prethodnom primjeru - odaberite kvadrat razlike.
x pozvao
1.2.3. Korištenje skraćenih identiteta množenja
Primjer. Faktor x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. Faktoriranje polinoma koristeći njegove korijene
Teorema. Neka polinom P x ima korijen x 1 . Tada se ovaj polinom može faktorizirati na sljedeći način: P x x x 1 S x , gdje je S x neki polinom čiji je stepen za jedan manji
vrijednosti naizmenično u izraz za P x. Dobijamo da kada je x 2 vi-
izraz će se pretvoriti u 0, odnosno P 2 0, što znači da je x 2 korijen višestruke
član. Podijelite polinom P x sa x 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10 x | x2 x12 |
12x 2412x 24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x2 x3 x4
1.3. Odabir cijelog kvadrata
Metoda za odabir potpunog kvadrata zasniva se na korištenju formula: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Izolacija potpunog kvadrata je transformacija identiteta u kojoj je dati trinom predstavljen kao b 2 zbir ili razlika kvadrata binoma i nekog numeričkog ili alfabetskog izraza.
Kvadratni trinom u odnosu na varijablu daje izraz oblika
ax 2 bx c , gdje su a , b i c dati brojevi, a a 0 . | |||||||||||||
Transformirajmo kvadratni trinom ax 2 bx c na sljedeći način. | x2: |
||||||||||||
koeficijent | |||||||||||||
Tada izraz b x predstavljamo kao 2b x (dvostruki proizvod
x ):a x | ||||||||||||||||
Izrazu u zagradama dodajemo i oduzimamo broj od njega
što je kvadrat broja | Kao rezultat dobijamo: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Primetivši sada to | Dobijamo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Primjer. Odaberite cijeli kvadrat. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x 2 4x 5 2x 2 2x 5 | 2 x 2 2x 1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 a 2,
1.4. Polinomi u nekoliko varijabli
Polinomi u nekoliko varijabli, kao polinomi u jednoj varijabli, mogu se zbrajati, množiti i podići na prirodni stepen.
Bitan identična transformacija polinom u nekoliko varijabli je faktorizacija. Ovdje se koriste takve metode faktorizacije kao stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada, grupisanje, korištenje skraćenih identiteta množenja, izolacija potpunog kvadrata i uvođenje pomoćnih varijabli.
1. Faktor polinoma P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.
2. Faktor P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Primijenimo metodu grupisanja
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4 x3 y5 x z.
3. Faktor P x ,y x 4 4y 4 . Odaberimo ceo kvadrat:
x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Svojstva stepena sa bilo kojim racionalnim eksponentom
Stepen sa bilo kojim racionalnim eksponentom ima sljedeća svojstva:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. a r 1r 2 a r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1, |
||||||
a r 1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
||||||
gdje su a 0;b 0;r 1;r 2 proizvoljni racionalni brojevi.
1. Pomnožite 8 | x 3 12x 7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 x 23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Faktorizirajte | a 2x 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Vježbe koje možete raditi sami
1. Izvršite radnje koristeći skraćene formule za množenje. 1) a 52 ;
2) 3 a 72 ;
3) a nb n2 .
4) 1 x 3 ;
3 y 3 ; | |||||
7) 8 a 2 8a 2 ;
8) a nb ka kb na nb ka kb n.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) a 3a 2 3a 9 ;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Izračunajte koristeći skraćene identitete množenja:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Dokažite identitete:
1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. Faktorizirajte sljedeće polinome:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24 ax38 bx12 a19 b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;
9) 121 n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;
13) 6 x 3 36x 2 72x 48;
14) 15 sjekira 3 45 sjekira 2 45 sjekira 15 a ;
15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;
19) 1000 t 3 27t 6 .
5. Izračunajte na najjednostavniji način:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Nađi količnik i ostatak polinoma P x po polinomu Q x: 1)P x 2x 4 x 3 5; Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .
7. Dokazati da je polinom x 2 2x 2 nema pravih korijena.
8. Pronađite korijene polinoma:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. Faktor:
1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. Riješite jednadžbe izolacijom cijelog kvadrata:
1) x 2 2x 3 0;
2) x 2 13x 30 0 .
11. Pronađite značenja izraza:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Izračunajte:
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
Obnavljanje šifre
| ||||||||||||||||||||||||