Dom / Kipi/ Kocka u 5-dimenzionalnom prostoru. Za sve i za sve

Kocka u 5-dimenzionalnom prostoru. Za sve i za sve

Hiperkocka i Platonska tijela

Modelirajte skraćeni ikosaedar („fudbalska lopta“) u sistemu „Vektor“.
u kojoj je svaki petougao omeđen heksagonima

Skraćeni ikosaedar može se dobiti odsijecanjem 12 vrhova da se formiraju lica u obliku pravilnih peterokuta. U ovom slučaju, broj vrhova novog poliedra se povećava 5 puta (12×5=60), 20 trokutastih lica pretvara se u pravilne šesterokute (ukupno lica postaju 20+12=32), A broj ivica se povećava na 30+12×5=90.

Koraci za konstruisanje skraćenog ikosaedra u vektorskom sistemu

Figure u 4-dimenzionalnom prostoru.

--à

--à ?

Na primjer, date kocku i hiperkocku. Hiperkocka ima 24 lica. To znači da će 4-dimenzionalni oktaedar imati 24 vrha. Iako ne, hiperkocka ima 8 strana kocke - svaka ima centar na svom vrhu. To znači da će 4-dimenzionalni oktaedar imati 8 vrhova, što je još lakše.

4-dimenzionalni oktaedar. Sastoji se od osam jednakostraničnih i jednakih tetraedara,
povezana sa četiri na svakom vrhu.

Rice. Pokušaj simulacije
hipersfera-hipersfera u vektorskom sistemu

Prednje - zadnje strane - lopte bez izobličenja. Još šest kuglica se može definirati kroz elipsoide ili kvadratne površine (kroz 4 konturne linije kao generatore) ili kroz lica (prvo definirano kroz generatore).

Više tehnika za "izgradnju" hipersfere
- ista "fudbalska lopta" u 4-dimenzionalnom prostoru

Dodatak 2

Za konveksne poliedre postoji svojstvo koje povezuje broj njegovih vrhova, ivica i strana, koje je 1752. dokazao Leonhard Euler, a nazvano je Ojlerovom teoremom.

Prije nego što ga formulišemo, razmotrimo poliedre koji su nam poznati i popunimo sljedeću tabelu, u kojoj je B broj vrhova, P - ivica i G - lica datog poliedra:

Ime poliedra
Trouglasta piramida
Četvorougaona piramida
Trouglasta prizma
Četverokutna prizma
n-piramida uglja	n+1	2n	n+1
n-karbonska prizma	2n	3n	n+2
n-ugalj okrnjen piramida	2n	3n	n+2

Iz ove tabele odmah je jasno da za sve odabrane poliedre vrijedi jednakost B - P + G = 2. Ispada da ova jednakost vrijedi ne samo za ove poliedre, već i za proizvoljan konveksan poliedar.

Ojlerova teorema. Za svaki konveksni poliedar vrijedi jednakost

B - P + G = 2,

gdje je B broj vrhova, P je broj ivica i G je broj strana datog poliedra.

Dokaz. Da biste dokazali ovu jednakost, zamislite površinu ovog poliedra napravljenog od elastičnog materijala. Uklonimo (izrežemo) jedno njegovo lice i razvučemo preostalu površinu na ravan. Dobijamo poligon (formiran od ivica uklonjene površine poliedra), podijeljen na manje poligone (formirane od preostalih strana poliedra).

Imajte na umu da se poligoni mogu deformirati, povećati, smanjiti ili čak zakriviti svoje stranice, sve dok na stranicama nema praznina. Broj vrhova, ivica i lica se neće promijeniti.

Dokažimo da rezultirajuća podjela poligona na manje poligone zadovoljava jednakost

(*)B - P + G " = 1,

gdje je B ukupan broj vrhova, P je ukupan broj ivica i G " je broj poligona uključenih u particiju. Jasno je da je G " = G - 1, gdje je G broj lica datog poliedar.

Dokažimo da se jednakost (*) ne mijenja ako se u nekom poligonu date particije povuče dijagonala (slika 5, a). Zaista, nakon crtanja takve dijagonale, nova particija će imati B vrhove, P+1 ivice i broj poligona će se povećati za jedan. Dakle, imamo

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

Koristeći ovo svojstvo, crtamo dijagonale koje dijele dolazne poligone u trouglove, a za rezultujuću particiju pokazujemo izvodljivost jednakosti (*) (Sl. 5, b). Da bismo to učinili, uzastopno ćemo ukloniti vanjske ivice, smanjujući broj trokuta. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

a) za uklanjanje trougla ABC potrebno je ukloniti dva rebra, u našem slučaju AB I B.C.;

b) za uklanjanje trouglaMKNpotrebno je ukloniti jednu ivicu, u našem slučajuMN.

U oba slučaja, jednakost (*) se neće promijeniti. Na primjer, u prvom slučaju, nakon uklanjanja trokuta, graf će se sastojati od B - 1 vrhova, P - 2 ivice i G" - 1 poligona:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G".

Razmotrite sami drugi slučaj.

Dakle, uklanjanje jednog trougla ne mijenja jednakost (*). Nastavljajući ovaj proces uklanjanja trokuta, na kraju ćemo doći do particije koja se sastoji od jednog trougla. Za takvu particiju, B = 3, P = 3, G " = 1 i, prema tome, B – R + G " = 1. To znači da jednakost (*) vrijedi i za originalnu particiju, iz čega konačno dobijamo da za ovu particiju poligona jednakost (*) je tačna. Dakle, za originalni konveksni poliedar vrijedi jednakost B - P + G = 2.

Primjer poliedra za koji Ojlerova relacija ne vrijedi, prikazano na slici 6. Ovaj poliedar ima 16 vrhova, 32 ivice i 16 lica. Dakle, za ovaj poliedar vrijedi jednakost B – P + G = 0.

Dodatak 3.

Movie Cube 2: Hypercube - naučno-fantastični film, nastavak filma "Kocka".

Osam stranaca se budi u sobama u obliku kocke. Sobe se nalaze unutar četvorodimenzionalne hiperkocke. Sobe se stalno kreću kroz "kvantnu teleportaciju", a ako se popnete u sljedeću sobu, malo je vjerovatno da ćete se vratiti u prethodnu. Paralelni svjetovi se ukrštaju u hiperkocki, vrijeme u nekim sobama teče drugačije, a neke sobe su smrtne zamke.

Radnja filma u velikoj mjeri ponavlja priču iz prvog dijela, što se ogleda i u slikama nekih od likova. Umire u sobama hiperkocke Nobelovac Rosenzweiga, koji je izračunao tačno vrijeme uništenja hiperkocke.

Kritika

Ako su u prvom delu ljudi zatvoreni u lavirintu pokušavali da pomognu jedni drugima, u ovom filmu je svako za sebe. Puno je nepotrebnih specijalnih efekata (aka zamki) koji ni na koji način logički ne povezuju ovaj dio filma sa prethodnim. Odnosno, ispada da je film Kocka 2 neka vrsta lavirinta budućnosti 2020-2030, ali ne 2000. U prvom dijelu sve vrste zamki teoretski može kreirati osoba. U drugom delu ove zamke su neka vrsta kompjuterskog programa, takozvana „virtuelna stvarnost“.

τέσσαρες ἀκτίνες - četiri zraka) - 4-dimenzionalni Hypercube- analogno u 4-dimenzionalnom prostoru.

Slika je projekcija () četverodimenzionalne kocke na trodimenzionalni prostor.

Poziva se generalizacija kocke na slučajeve sa više od 3 dimenzije hiperkocka ili (en: mjerenje politopa). Formalno, hiperkocka je definisana kao četiri jednaka segmenta.

Ovaj članak uglavnom opisuje 4-dimenzionalno hiperkocka, zvao teseract.

Popularni opis

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja našeg trodimenzionalnog prostora.

U jednodimenzionalnom “prostoru” - na liniji - biramo AB dužine L. U dvodimenzionalnom prostoru, na udaljenosti L od AB, povlačimo paralelan segment DC i povezujemo njihove krajeve. Rezultat je kvadrat ABCD. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku ABCDHEFG. A pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (okomito na prve tri!) za razmak L, dobijamo hiperkocku.

Jednodimenzionalni segment AB služi kao lice dvodimenzionalnog kvadrata ABCD, kvadrat služi kao stranica kocke ABCDHEFG, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, kocka ima osam. U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.

Slično, možemo nastaviti sa rasuđivanjem za hiperkocke više dimenzije, ali mnogo je zanimljivije vidjeti kako će to izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora četvorodimenzionalna hiperkocka. Za to ćemo koristiti već poznatu metodu analogija.

Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), povezana sa četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projektovaće se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u četvrtoj dimenziji. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Baš kao što trodimenzionalnu kocku formira kvadrat pomeren za dužinu njegovog lica, kocka pomerena u četvrtu dimenziju će formirati hiperkocku. Ograničen je sa osam kockica, koje će u perspektivi izgledati kao neka prilično složena figura. Dio koji je ostao u “našem” prostoru iscrtava se punim linijama, a dio koji je otišao u hiperprostor iscrtan je tačkastim linijama. Sama četvorodimenzionalna hiperkocka se sastoji od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "iseći" na beskonačan broj ravnih kvadrata.

Rezanjem osam lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica, plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“.

Svojstva teserakta su proširenje svojstava geometrijski oblici manjih dimenzija u 4-dimenzionalni prostor, predstavljen u tabeli ispod.

Šta je hiperkocka i četvorodimenzionalni prostor

Naš uobičajeni prostor ima tri dimenzije. Sa geometrijske tačke gledišta, to znači da se u njemu mogu naznačiti tri međusobno okomite linije. To jest, za bilo koju liniju možete pronaći drugu liniju okomitu na prvu, a za par možete pronaći treću liniju okomitu na prve dvije. Više neće biti moguće pronaći četvrtu liniju okomitu na postojeće tri.

Hiperkocka je jednostavno kocka u četvorodimenzionalnom prostoru.
Da li je moguće zamisliti četverodimenzionalni prostor i hiperkocku?

Ovo pitanje je povezano sa pitanjem: „da li je moguće zamisliti Posljednju večeru gledajući istoimenu sliku (1495-1498) Leonarda da Vincija (1452-1519)?"

S jedne strane, naravno, nećete zamisliti šta je Isus vidio (sjedi okrenut prema gledaocu), pogotovo što nećete osjetiti miris vrta izvan prozora i okusiti hranu na stolu, nećete čuti ptice pjevanje... Nećete steći potpunu sliku o tome šta se dešavalo te večeri, ali se ne može reći da nećete naučiti ništa novo i da slika nije od interesa.

Slična je situacija i sa pitanjem hiperkocke. Nemoguće ga je u potpunosti zamisliti, ali možete se približiti razumijevanju kako je.
Konstrukcija hiperkocke
0-dimenzionalna kocka

Počnimo od početka - sa 0-dimenzionalnom kockom. Ova kocka sadrži 0 međusobno okomitih strana, odnosno samo je tačka.

1-dimenzionalna kocka

U jednodimenzionalnom prostoru imamo samo jedan pravac. Pomeramo tačku u ovom pravcu i dobijamo segment.

Ovo je jednodimenzionalna kocka.
2 dimenzionalna kocka

Imamo drugu dimenziju, pomeramo našu jednodimenzionalnu kocku (segment) u pravcu druge dimenzije i dobijamo kvadrat.

To je kocka u dvodimenzionalnom prostoru.
3 dimenzionalna kocka

S pojavom treće dimenzije radimo isto: pomičemo kvadrat i dobivamo običnu trodimenzionalnu kocku.

4-dimenzionalna kocka (hiperkocka)

Sada imamo četvrtu dimenziju. Odnosno, imamo na raspolaganju pravac okomit na sva tri prethodna. Koristimo ga na potpuno isti način. Četvorodimenzionalna kocka će izgledati ovako.

Naravno, trodimenzionalne i četverodimenzionalne kocke ne mogu se prikazati na dvodimenzionalnoj ravni ekrana. Ono što sam nacrtao su projekcije. O projekcijama ćemo nešto kasnije, ali za sada nekoliko golih činjenica i brojki.
Broj vrhova, ivica, lica
Karakteristike kocki raznih veličina
1-dimenzija prostora
2-broj vrhova
3-broj ivica
4-broj lica

0 (tačka) 1 0 0
1 (segment) 2 1 2 (bodovi)
2 (kvadrat) 4 4 4 (segmenti)
3 (kocka) 8 12 6 (kvadrati)
4 (hiperkocka) 16 32 8 (kocke)
N ( opšta formula) 2N N 2N-1 2 N

Imajte na umu da je lice hiperkocke naša obična trodimenzionalna kocka. Ako pažljivo pogledate crtež hiperkocke, zapravo možete pronaći osam kocki.
Projekcije i vizija stanovnika četvorodimenzionalnog prostora
Nekoliko riječi o viziji

Živimo u trodimenzionalnom svijetu, ali ga vidimo kao dvodimenzionalni. To je zbog činjenice da se mrežnica naših očiju nalazi u ravni koja ima samo dvije dimenzije. Zbog toga smo u stanju da percipiramo dvodimenzionalne slike i nađemo ih sličnima stvarnosti. (Naravno, zahvaljujući akomodaciji, oko može procijeniti udaljenost do objekta, ali ovo je nuspojava povezana s optikom ugrađenom u naše oči.)

Oči stanovnika četvorodimenzionalnog prostora moraju imati trodimenzionalnu retinu. Takvo stvorenje može odmah vidjeti cijelu trodimenzionalnu figuru: sva njena lica i unutrašnjost. (Na isti način možemo vidjeti dvodimenzionalnu figuru, sva njena lica i unutrašnjost.)

Dakle, uz pomoć naših organa vida, nismo u mogućnosti da percipiramo četverodimenzionalnu kocku onako kako bi je percipirao stanovnik četverodimenzionalnog prostora. Avaj. Ostaje samo da se oslonite na svoje umno oko i maštu, koji, na sreću, nemaju fizička ograničenja.

Međutim, kada prikazujem hiperkocku na ravni, jednostavno sam prisiljen napraviti njenu projekciju na dvodimenzionalni prostor. Uzmite ovu činjenicu u obzir prilikom proučavanja crteža.
Ivične raskrsnice

Naravno, ivice hiperkocke se ne sijeku. Raskrsnice se pojavljuju samo na crtežima. Međutim, to ne bi trebalo da čudi, jer se ivice obične kocke na slikama takođe seku.
Dužina ivica

Vrijedi napomenuti da su sve strane i ivice četverodimenzionalne kocke jednake. Na slici nisu jednaki samo zato što se nalaze pod različitim uglovima u odnosu na smer gledanja. Međutim, moguće je rotirati hiperkocku tako da sve projekcije imaju istu dužinu.

Inače, na ovoj slici je jasno vidljivo osam kocki, koje su lica hiperkocke.
Hiperkocka je unutra prazna

Teško je povjerovati, ali između kocki koje povezuju hiperkocku, postoji nešto prostora (djelić četverodimenzionalnog prostora).

Da bismo ovo bolje razumjeli, pogledajmo dvodimenzionalnu projekciju obične trodimenzionalne kocke (namjerno sam je napravio donekle šematski).

Možete li po tome pretpostaviti da unutar kocke ima prostora? Da, ali samo koristeći svoju maštu. Oko ne vidi ovaj prostor. Ovo se dešava zato što su se ivice koje se nalaze u trećoj dimenziji (koja se ne može prikazati na ravnom crtežu) sada pretvorile u segmente koji leže u ravni crteža. Više ne daju volumen.

Kvadrati koji zatvaraju prostor kocke preklapali su jedan drugog. Ali može se zamisliti da su na originalnoj slici (trodimenzionalnoj kocki) ti kvadrati bili smješteni u različitim ravnima, a ne jedan na drugom u istoj ravni, kao što se dogodilo na slici.

Potpuno ista situacija je i sa hiperkockom. Kocke-površine hiperkocke se zapravo ne preklapaju, kako nam se čini na projekciji, već se nalaze u četverodimenzionalnom prostoru.
Sweeps

Dakle, stanovnik četverodimenzionalnog prostora može vidjeti trodimenzionalni objekt sa svih strana istovremeno. Možemo li vidjeti trodimenzionalnu kocku sa svih strana u isto vrijeme? Sa okom - ne. Ali ljudi su smislili način da prikažu sva lica trodimenzionalne kocke u isto vrijeme na ravnom crtežu. Takva slika se naziva skeniranje.
Razvoj trodimenzionalne kocke

Svi vjerojatno znaju kako se formira razvoj trodimenzionalne kocke. Ovaj proces je prikazan u animaciji.

Radi jasnoće, ivice površina kocke su prozirne.

Treba napomenuti da smo u stanju da percipiramo ovu dvodimenzionalnu sliku samo zahvaljujući svojoj mašti. Ako posmatramo faze odvijanja sa čisto dvodimenzionalne tačke gledišta, proces će se činiti čudnim i nimalo jasnim.

Izgleda kao postepeno pojavljivanje prvo obrisa izobličenih kvadrata, a potom i njihovog uvlačenja na svoje mjesto dok istovremeno poprimaju traženi oblik.

Ako pogledate kocku koja se rasklapa u smjeru jedne od njenih strana (sa ove točke gledišta kocka izgleda kao kvadrat), tada je proces formiranja rasklopa još manje jasan. Sve izgleda kao kvadrati koji izmiču iz početnog kvadrata (ne rasklopljene kocke).

Ali skeniranje nije vizualno samo za oči. Zahvaljujući vašoj mašti možete izvući mnogo informacija iz njega.
Razvoj četvorodimenzionalne kocke

Jednostavno je nemoguće učiniti animirani proces rasklapanja hiperkocke barem donekle vizualnim. Ali ovaj proces se može zamisliti. (Da biste to učinili, morate ga pogledati očima četverodimenzionalnog bića.)

Skeniranje izgleda ovako.

Ovdje je vidljivo svih osam kocki koje ograničavaju hiperkocku.

Rubovi koji bi se trebali poravnati kada su presavijeni obojeni su istim bojama. Lica za koja parovi nisu vidljivi ostaju siva. Nakon presavijanja, najgornja strana gornje kocke treba da bude poravnata sa donjom ivicom donje kocke. (Razvijanje trodimenzionalne kocke se skuplja na sličan način.)

Imajte na umu da će nakon konvolucije sve strane osam kocki doći u kontakt, zatvarajući hiperkocku. I na kraju, kada zamišljate proces savijanja, nemojte zaboraviti da prilikom presavijanja ne dolazi do preklapanja kocki, već do njihovog omotanja oko određene (hiperkubične) četverodimenzionalne površine.

Salvador Dali (1904-1989) je mnogo puta prikazao raspeće, a krstovi se pojavljuju na mnogim njegovim slikama. Slika “Raspeće” (1954) koristi skeniranje hiperkocke.
Prostor-vreme i euklidski četvorodimenzionalni prostor

Nadam se da ste mogli da zamislite hiperkocku. Ali da li ste uspeli da se približite razumevanju kako funkcioniše četvorodimenzionalni prostor-vreme u kojem živimo? Avaj, ne baš.

Ovdje smo govorili o euklidskom četverodimenzionalnom prostoru, ali prostor-vrijeme ima potpuno drugačija svojstva. Konkretno, tokom bilo koje rotacije, segmenti uvijek ostaju nagnuti prema vremenskoj osi, bilo pod uglom manjim od 45 stepeni, ili pod uglom većim od 45 stepeni.

IZVOR 2

Teserakt je četverodimenzionalna hiperkocka, analogna kocki u četverodimenzionalnom prostoru. Prema Oksfordskom rječniku, riječ "teserakt" skovao je i upotrijebio 1888. Charles Howard Hinton (1853-1907) u svojoj knjizi Nova era misli“. Kasnije su neki ljudi istu figuru nazvali "tetrakub".

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.
U jednodimenzionalnom "prostoru" - na pravoj - biramo segment AB dužine L. Na dvodimenzionalnoj ravni na udaljenosti L od AB, povlačimo paralelan segment DC i povezujemo njihove krajeve. Rezultat je kvadrat ABCD. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku ABCDHEFG. I pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (upravno na prve tri) za razmak L, dobijamo hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.

Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, ali je mnogo zanimljivije vidjeti kako će četverodimenzionalna hiperkocka izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora. Za to ćemo koristiti već poznatu metodu analogija.
Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), povezana sa četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projektovaće se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u četvrtoj dimenziji. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica, plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“. Svojstva teserakta predstavljaju nastavak svojstava geometrijskih figura niže dimenzije u četverodimenzionalni prostor.

Druga imena
Hexadecachoron
Octachoron
Tetracube
4-Cube
Hypercube (ako broj dimenzija nije naveden)

10-dimenzionalni prostor
Na engleskom je. Za one koji ne znaju, slike su sasvim jasne

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

Evolucija ljudskog mozga odvijala se u trodimenzionalnom prostoru. Stoga nam je teško zamisliti prostore dimenzija većih od tri. Zapravo, ljudski mozak ne može zamisliti geometrijske objekte s dimenzijama većim od tri. A u isto vrijeme, lako možemo zamisliti geometrijske objekte dimenzija ne samo tri, već i dimenzija dva i jedan.

Razlika i analogija između jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih prostora, kao i razlika i analogija između dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih prostora omogućavaju nam da malo otvorimo paravan misterije koji nas ograđuje od prostora viših dimenzija. Da biste razumjeli kako se ova analogija koristi, razmotrite vrlo jednostavan četverodimenzionalni objekt - hiperkocku, odnosno četverodimenzionalnu kocku. Da budemo konkretni, recimo da želimo riješiti određeni problem, naime, izbrojati kvadratne površine četverodimenzionalne kocke. Sva daljnja razmatranja će biti vrlo opuštena, bez ikakvih dokaza, čisto po analogiji.

Da biste razumjeli kako se hiperkocka gradi od pravilne kocke, prvo morate pogledati kako se pravilna kocka gradi od pravilnog kvadrata. Radi originalnosti u prezentaciji ovog materijala, ovdje ćemo običan kvadrat nazvati podkockom (i nećemo ga brkati sa sukubusom).

Da biste napravili kocku od potkocke, trebate je produžiti u smjeru okomito na ravan podkocka u pravcu treće dimenzije. U ovom slučaju, sa svake strane početne potkocke će rasti po jedna potkocka, koja je bočna dvodimenzionalna površina kocke, koja će ograničiti trodimenzionalni volumen kocke na četiri strane, dvije okomite na svaki smjer u ravan potkocke. A duž nove treće ose nalaze se i dvije potkube koje ograničavaju trodimenzionalni volumen kocke. Ovo je dvodimenzionalno lice na kojem se prvobitno nalazila naša potkocka i ono dvodimenzionalno lice kocke na koje je potkocka došla na kraju konstrukcije kocke.

Ono što ste upravo pročitali predstavljeno je preterano detaljno i sa mnogo pojašnjenja. I to sa dobrim razlogom. Sada ćemo napraviti takav trik, neke riječi u prethodnom tekstu ćemo formalno zamijeniti na ovaj način:
kocka -> hiperkocka
potkocka -> kocka
ravan -> volumen
treći -> četvrti
dvodimenzionalni -> trodimenzionalni
četiri -> šest
trodimenzionalni -> četverodimenzionalni
dva -> tri
ravan -> prostor

Kao rezultat, dobijamo sljedeći sadržajni tekst, koji više ne izgleda previše detaljan.

Da biste napravili hiperkocku od kocke, morate je rastegnuti u smjeru okomitom na volumen kocke u smjeru četvrta dimenzija. U ovom slučaju, kocka će rasti sa svake strane originalne kocke, koja je bočna trodimenzionalna površina hiperkocke, koja će ograničiti četverodimenzionalni volumen hiperkocke na šest strana, tri okomito na svaki smjer u prostor kocke. A duž nove četvrte ose nalaze se i dvije kocke koje ograničavaju četverodimenzionalni volumen hiperkocke. Ovo je trodimenzionalno lice na kojem se prvobitno nalazila naša kocka i ono trodimenzionalno lice hiperkocke gdje je kocka došla na kraju konstrukcije hiperkocke.

Zašto imamo takvo povjerenje koje smo dobili ispravan opis pravljenje hiperkocke? Da, jer potpuno istom formalnom zamjenom riječi dobijamo opis konstrukcije kocke iz opisa konstrukcije kvadrata. (Provjerite sami.)

Sada je jasno da ako još jedna trodimenzionalna kocka treba da raste sa svake strane kocke, onda bi lice trebalo da raste iz svake ivice početne kocke. Ukupno, kocka ima 12 ivica, što znači da će se na onih 6 kocki koje ograničavaju četvorodimenzionalni volumen duž tri ose trodimenzionalnog prostora pojaviti dodatnih 12 novih lica (potkocki). I ostale su još dvije kocke koje ograničavaju ovaj četverodimenzionalni volumen odozdo i odozgo duž četvrte ose. Svaka od ovih kockica ima 6 lica.

Ukupno, nalazimo da hiperkocka ima 12+6+6=24 kvadratna lica.

Sljedeća slika prikazuje logičku strukturu hiperkocke. Ovo je poput projekcije hiperkocke na trodimenzionalni prostor. Ovo proizvodi trodimenzionalni okvir od rebara. Na slici, naravno, vidite projekciju ovog okvira na ravan.

Na ovom okviru, unutrašnja kocka je kao početna kocka od koje je počela konstrukcija i koja ograničava četvorodimenzionalni volumen hiperkocke duž četvrte ose od dna. Ovu početnu kocku razvlačimo prema gore duž četvrte mjerne ose i ona ide u vanjsku kocku. Dakle, vanjske i unutrašnje kocke sa ove slike ograničavaju hiperkocku duž četvrte mjerne ose.

A između ove dvije kocke možete vidjeti još 6 novih kocki, koje dodiruju zajednička lica sa prve dvije. Ovih šest kocki povezuju našu hiperkocku duž tri ose trodimenzionalnog prostora. Kao što vidite, one nisu samo u kontaktu sa prve dvije kocke, koje su unutrašnje i vanjske kocke na ovom trodimenzionalnom okviru, već su i u kontaktu jedna s drugom.

Možete računati direktno na slici i uvjeriti se da hiperkocka zaista ima 24 lica. Ali postavlja se ovo pitanje. Ovaj hiperkockasti okvir u trodimenzionalnom prostoru ispunjen je sa osam trodimenzionalnih kocki bez ikakvih praznina. Da biste napravili pravu hiperkocku od ove trodimenzionalne projekcije hiperkocke, morate ovaj okvir okrenuti iznutra prema van, tako da svih 8 kocki vezuje 4-dimenzionalni volumen.

To se radi ovako. Pozivamo stanara četverodimenzionalnog prostora da nas posjeti i zamolimo ga da nam pomogne. On hvata unutrašnju kocku ovog okvira i pomera je u pravcu četvrte dimenzije, koja je okomita na naš trodimenzionalni prostor. U našem trodimenzionalnom prostoru to doživljavamo kao da je nestao cijeli unutrašnji okvir, a ostao samo okvir vanjske kocke.

Dalje, naš četvorodimenzionalni asistent nudi svoju pomoć u porodilištima za bezbolan porođaj, ali naše trudnice se plaše mogućnosti da će beba jednostavno nestati iz stomaka i završiti u paralelnom trodimenzionalnom prostoru. Stoga je četverodimenzionalna osoba ljubazno odbijena.

I mi smo zbunjeni pitanjem da li su se neke naše kocke raspale kada smo okvir hiperkocke okrenuli naopačke. Na kraju krajeva, ako neke trodimenzionalne kocke koje okružuju hiperkocku dodiruju svoje susjede na okviru svojim licima, hoće li se i one dodirivati tim istim plohama ako četverodimenzionalna kocka okrene okvir naopačke?

Vratimo se opet analogiji s prostorima nižih dimenzija. Uporedite sliku okvira hiperkocke sa projekcijom trodimenzionalne kocke na ravan prikazanu na sledećoj slici.

Stanovnici dvodimenzionalnog prostora napravili su okvir na ravni za projekciju kocke na ravan i pozvali nas, trodimenzionalne stanovnike, da ovaj okvir okrenemo naopačke. Uzimamo četiri vrha unutrašnjeg kvadrata i pomeramo ih okomito na ravan. Dvodimenzionalni stanovnici vide potpuni nestanak cijelog unutrašnjeg okvira, a ostaje im samo okvir vanjskog kvadrata. Takvom operacijom svi kvadrati koji su bili u kontaktu sa svojim rubovima nastavljaju da se dodiruju istim rubovima.

Stoga se nadamo da logička shema hiperkocke također neće biti narušena kada se okvir hiperkocke okreće iznutra, a broj kvadratnih površina hiperkocke se neće povećati i da će i dalje biti jednak 24. Ovo, naravno, , nije nikakav dokaz, već čisto nagađanje po analogiji.

Nakon svega što ste ovdje pročitali, lako možete nacrtati logički okvir petodimenzionalne kocke i izračunati broj vrhova, ivica, lica, kocki i hiperkocki koje ona ima. Uopšte nije teško.

Još dok sam bio student prve godine, žestoko sam se posvađao sa jednim od mojih drugova iz razreda. Rekao je da se četverodimenzionalna kocka ne može predstaviti ni u kakvom obliku, ali sam uvjerio da se može predstaviti sasvim jasno. Onda sam čak napravio projekciju hiperkocke na naš trodimenzionalni prostor od spajalica... Ali hajde da pričamo o svemu redom.
Šta je hiperkocka (teserakt) i četvorodimenzionalni prostor
Naš uobičajeni prostor ima tri dimenzije. Sa geometrijske tačke gledišta, to znači da se u njemu mogu naznačiti tri međusobno okomite linije. To jest, za bilo koju liniju možete pronaći drugu liniju okomitu na prvu, a za par možete pronaći treću liniju okomitu na prve dvije. Više neće biti moguće pronaći četvrtu liniju okomitu na postojeće tri.

Četvorodimenzionalni prostor razlikuje se od našeg samo po tome što ima još jedan dodatni pravac. Ako već imate tri međusobno okomite prave, onda možete pronaći i četvrtu, tako da će biti okomita na sve tri.
Hiperkocka je jednostavno kocka u četvorodimenzionalnom prostoru.
Da li je moguće zamisliti četverodimenzionalni prostor i hiperkocku?
Ovo pitanje je slično pitanju: "da li je moguće zamisliti Posljednju večeru gledajući istoimenu sliku (1495-1498) Leonarda da Vincija (1452-1519)?"
S jedne strane, naravno, nećete zamisliti šta je Isus vidio (sjedi okrenut prema gledaocu), pogotovo što nećete osjetiti miris vrta izvan prozora i okusiti hranu na stolu, nećete čuti ptice pjevanje... Nećete steći potpunu sliku o tome šta se dešavalo te večeri, ali se ne može reći da nećete naučiti ništa novo i da slika nije od interesa.
Slična je situacija i sa pitanjem hiperkocke. Nemoguće ga je u potpunosti zamisliti, ali možete se približiti razumijevanju kako je.

Prostor-vreme i euklidski četvorodimenzionalni prostor
Nadam se da ste mogli da zamislite hiperkocku. Ali da li ste uspeli da se približite razumevanju kako funkcioniše četvorodimenzionalni prostor-vreme u kojem živimo? Avaj, ne baš.
Ovdje smo govorili o euklidskom četverodimenzionalnom prostoru, ali prostor-vrijeme ima potpuno drugačija svojstva. Konkretno, tokom bilo koje rotacije, segmenti uvijek ostaju nagnuti prema vremenskoj osi, bilo pod uglom manjim od 45 stepeni, ili pod uglom većim od 45 stepeni.

Projekcije i vizija stanovnika četvorodimenzionalnog prostora
Nekoliko riječi o viziji
Živimo u trodimenzionalnom svijetu, ali ga vidimo kao dvodimenzionalni. To je zbog činjenice da se mrežnica naših očiju nalazi u ravni koja ima samo dvije dimenzije. Zbog toga smo u stanju da percipiramo dvodimenzionalne slike i nađemo ih sličnima stvarnosti. (Naravno, zahvaljujući akomodaciji, oko može procijeniti udaljenost do objekta, ali ovo je nuspojava povezana s optikom ugrađenom u naše oči.)
Oči stanovnika četvorodimenzionalnog prostora moraju imati trodimenzionalnu retinu. Takvo stvorenje može odmah vidjeti cijelu trodimenzionalnu figuru: sva njena lica i unutrašnjost. (Na isti način možemo vidjeti dvodimenzionalnu figuru, sva njena lica i unutrašnjost.)
Dakle, uz pomoć naših organa vida, nismo u mogućnosti da percipiramo četverodimenzionalnu kocku onako kako bi je percipirao stanovnik četverodimenzionalnog prostora. Avaj. Ostaje samo da se oslonite na svoje umno oko i maštu, koji, na sreću, nemaju fizička ograničenja.
Međutim, kada prikazujem hiperkocku na ravni, jednostavno sam prisiljen napraviti njenu projekciju na dvodimenzionalni prostor. Uzmite ovu činjenicu u obzir prilikom proučavanja crteža.
Ivične raskrsnice
Naravno, ivice hiperkocke se ne sijeku. Raskrsnice se pojavljuju samo na crtežima. Međutim, to ne bi trebalo da čudi, jer se ivice obične kocke na slikama takođe seku.
Dužina ivica
Vrijedi napomenuti da su sve strane i ivice četverodimenzionalne kocke jednake. Na slici nisu jednaki samo zato što se nalaze pod različitim uglovima u odnosu na smer gledanja. Međutim, moguće je rotirati hiperkocku tako da sve projekcije imaju istu dužinu.

Kocka u 5-dimenzionalnom prostoru. Za sve i za sve

Hiperkocka i Platonska tijela

Dodatak 2

Dodatak 3.

Kritika

Popularni opis

Obnavljanje šifre