Dom / Kipi/ Hinton kocke. Hypercube Prvi korak u četvrtu dimenziju

Hinton kocke. Hypercube Prvi korak u četvrtu dimenziju

Ako ste obožavatelj filmova Osvetnici, prva stvar koja vam može pasti na pamet kada čujete riječ "Tesseract" je prozirna posuda u obliku kocke kamena beskonačnosti koja sadrži neograničenu snagu.

Za ljubitelje Marvelovog univerzuma, Teseract je užarena plava kocka koja izluđuje ljude ne samo sa Zemlje, već i sa drugih planeta. Zato su se svi Osvetnici udružili da zaštite Zemljane od ekstrema destruktivne sile Teserakt.

Međutim, ovo treba reći: Teserakt je stvarni geometrijski koncept, ili preciznije, oblik koji postoji u 4D. To nije samo plava kocka iz Osvetnika... to je pravi koncept.

Teserakt je objekt u 4 dimenzije. Ali prije nego što to detaljno objasnimo, krenimo od početka.

Šta je "merenje"?

Svaka osoba je čula pojmove 2D i 3D, koji predstavljaju dvodimenzionalne ili trodimenzionalne objekte u prostoru. Ali koja su to mjerenja?

Dimenzija je jednostavno smjer kojim možete ići. Na primjer, ako crtate liniju na komadu papira, možete ići lijevo/desno (x-osa) ili gore/dolje (y-osa). Dakle, kažemo da je papir dvodimenzionalan jer možete ići samo u dva smjera.

Postoji osećaj dubine u 3D.

Sada, unutra stvarnom svijetu Osim dva gore navedena smjera (lijevo/desno i gore/dolje), možete ići i "do/od". Posljedično, 3D prostoru se dodaje osjećaj dubine. Zato to kažemo stvarnom životu 3-dimenzionalni.

Tačka može predstavljati 0 dimenzija (pošto se ne kreće ni u jednom smjeru), linija predstavlja 1 dimenziju (dužinu), kvadrat predstavlja 2 dimenzije (dužinu i širinu), a kocka predstavlja 3 dimenzije (dužina, širina i visina ).

Uzmite 3D kocku i zamijenite svako njeno lice (koje su trenutno kvadrati) kockom. I tako! Oblik koji dobijete je teserakt.

Šta je teserakt?

Jednostavno rečeno, teserakt je kocka u 4-dimenzionalnom prostoru. Takođe možete reći da je to 4D analog kocke. Ovo je 4D oblik gdje je svako lice kocka.

3D projekcija teserakta koji izvodi dvostruku rotaciju oko dvije ortogonalne ravni.
Slika: Jason Hise

Evo jednostavnog načina za konceptualizaciju dimenzija: kvadrat je dvodimenzionalan; dakle, svaki od njegovih uglova ima 2 linije koje se protežu od njega pod uglom od 90 stepeni jedna prema drugoj. Kocka je 3D, tako da svaki njen ugl ima 3 linije koje izlaze iz nje. Isto tako, teserakt je 4D oblika, tako da svaki ugao ima 4 linije koje se protežu od njega.

Zašto je teško zamisliti teserakt?

Pošto smo mi kao ljudi evoluirali da vizualiziramo objekte u tri dimenzije, sve što ide u dodatne dimenzije kao što su 4D, 5D, 6D, itd., za nas nema mnogo smisla jer ih uopće ne možemo uvesti. Naš mozak ne može razumjeti četvrtu dimenziju svemira. Jednostavno ne možemo razmišljati o tome.

Međutim, samo zato što ne možemo vizualizirati koncept višedimenzionalnih prostora ne znači da on ne može postojati.

19. septembra 2009
Teserakt (od starogrčkog τέσσερες ἀκτῖνες - četiri zraka) je četverodimenzionalna hiperkocka - analog kocke u četverodimenzionalnom prostoru.

Slika je projekcija (perspektiva) četverodimenzionalne kocke na trodimenzionalni prostor.

Prema Oksfordskom rječniku, riječ "teserakt" je skovao i koristio 1888. Charles Howard Hinton (1853-1907) u svojoj knjizi Nova era misli“. Kasnije su neki ljudi istu figuru nazvali "tetrakub".

Geometrija

Običan teserakt u euklidskom četvorodimenzionalnom prostoru se definiše kao konveksni omotač tačaka (±1, ±1, ±1, ±1). Drugim riječima, može se predstaviti kao sljedeći skup:

Teserakt je ograničen sa osam hiperplana, čiji presek sa samim teseraktom definiše njegove trodimenzionalne površine (koje su obične kocke). Svaki par neparalelnih 3D lica se ukršta da formira 2D lica (kvadrate) i tako dalje. Konačno, teserakt ima 8 3D lica, 24 2D lica, 32 ivice i 16 vrhova.

Popularni opis

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.

U jednodimenzionalnom “prostoru” - na pravoj - biramo segment AB dužine L. Na dvodimenzionalnoj ravni na udaljenosti L od AB, nacrtamo segment DC paralelan s njim i spojimo njihove krajeve. Rezultat je kvadrat ABCD. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku ABCDHEFG. I pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (upravno na prve tri) za razmak L, dobijamo hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Jednodimenzionalni segment AB služi kao stranica dvodimenzionalnog kvadrata ABCD, kvadrat - kao stranica kocke ABCDHEFG, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, a kocka osam. U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.

Tesseract unwrapping

Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), spojena sa četiri linije - bočne ivice. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projektovaće se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u četvrtoj dimenziji. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Baš kao što trodimenzionalnu kocku formira kvadrat pomeren za dužinu njegovog lica, kocka pomerena u četvrtu dimenziju će formirati hiperkocku. Ograničen je sa osam kockica, koje će u perspektivi izgledati kao neka prilično složena figura. Dio koji ostaje u „našem“ prostoru iscrtava se punim linijama, a dio koji je otišao u hiperprostor iscrtan je tačkastim linijama. Sama četvorodimenzionalna hiperkocka se sastoji od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "iseći" na beskonačan broj ravnih kvadrata.

Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica, plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“.

Svojstva teserakta predstavljaju nastavak svojstava geometrijskih figura niže dimenzije u četverodimenzionalni prostor.

Projekcije

U dvodimenzionalni prostor

Ovu strukturu je teško zamisliti, ali je moguće projektirati teserak u dvodimenzionalni ili trodimenzionalni prostor. Osim toga, projektiranje na ravan olakšava razumijevanje lokacije vrhova hiperkocke. Na ovaj način moguće je dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose unutar teserakta, ali koje ilustriraju strukturu veze vrhova, kao u sljedećim primjerima:

U trodimenzionalni prostor

Projekcija teserakta na trodimenzionalni prostor sastoji se od dvije ugniježđene trodimenzionalne kocke, čiji su odgovarajući vrhovi povezani segmentima. Unutrašnja i vanjska kocka imaju različite veličine u trodimenzionalnom prostoru, ali u četverodimenzionalnom prostoru su jednake kocke. Da bi se razumjela jednakost svih teseraktovih kocaka, kreiran je rotirajući model teserakta.

Šest skraćenih piramida duž ivica teserakta su slike jednakih šest kocki.
Stereo par

Stereo par teserakta prikazan je kao dvije projekcije na trodimenzionalni prostor. Ova slika teserakta razvijena je da predstavi dubinu kao četvrtu dimenziju. Stereo par se gleda tako da svako oko vidi samo jednu od ovih slika, pojavljuje se stereoskopska slika koja reproducira dubinu teserakta.

Tesseract unwrapping

Površina teserakta može se rasklopiti u osam kocki (slično kao što se površina kocke može rasklopiti u šest kvadrata). Postoji 261 različit dizajn teserakta. Razmatranje teserakta može se izračunati iscrtavanjem povezanih uglova na graf.

Teserakt u umjetnosti

U "New Abbott Plain" Edwine A., hiperkocka djeluje kao narator.
U jednoj epizodi Avanture Džimija Neutrona: "Dečak genije", Džimi izmišlja četvorodimenzionalnu hiperkocku identičnu preklopnoj kutiji iz Hajnlajnovog romana Put slave iz 1963.
Robert E. Heinlein je spomenuo hiperkocke u najmanje tri naučnofantastične priče. U The House of Four Dimensions (The House That Teal Built) (1940.), opisao je kuću sagrađenu kao neumotani teserak.
Heinleinov roman Glory Road opisuje posuđe velike veličine koje je bilo veće iznutra nego spolja.
Priča Henryja Kuttnera "Mimsy Were the Borogoves" opisuje edukativnu igračku za djecu iz daleke budućnosti, sličnu strukturi teseratu.
U romanu Alexa Garlanda (1999.), izraz "teserakt" se koristi za trodimenzionalno odvijanje četverodimenzionalne hiperkocke, a ne same hiperkocke. Ovo je metafora osmišljena da pokaže da kognitivni sistem mora biti širi od spoznatljivog.
Radnja Kocke 2: Hiperkocka se fokusira na osam stranaca zarobljenih u "hiperkocki", ili mreži povezanih kocki.
Televizijska serija Andromeda koristi teseraktne generatore kao uređaj za zaplet. Oni su prvenstveno dizajnirani da manipulišu prostorom i vremenom.
Slika “Raspeće” (Corpus Hypercubus) Salvadora Dalija (1954.)
Nextwave strip prikazuje vozilo koje uključuje 5 teserakt zona.
Na albumu Voivod Nothingface jedna od kompozicija se zove “U mojoj hiperkocki”.
U romanu Anthony Pearcea The Cube Route, jedan od orbitalni mjeseci Međunarodno udruženje za razvoj naziva teserakt, koji je komprimiran u 3 dimenzije.
U seriji "Skola" Crna rupa“” u trećoj sezoni postoji epizoda “Tesseract”. Lucas pritisne tajno dugme i škola počinje da se oblikuje kao matematički teserak.
Termin „teserak“ i njegov derivat „teserat“ nalaze se u priči „Bora u vremenu“ Madlen L’Engle.

U geometriji hiperkocka- Ovo n-dimenzionalna analogija kvadrata ( n= 2) i kocka ( n= 3). To je zatvorena konveksna figura koja se sastoji od grupa paralelnih linija koje se nalaze na suprotnim rubovima figure, a međusobno su povezane pod pravim uglom.

Ova brojka je poznata i kao teserakt(teserakt). Teserakt je za kocku kao što je kocka za kvadrat. Formalnije, teserak se može opisati kao pravilan konveksni četverodimenzionalni politop (poliedar) čija se granica sastoji od osam kubnih ćelija.

Prema Oksfordskom rječniku engleskog jezika, riječ "tesseract" skovao je 1888. Charles Howard Hinton i koristio je u svojoj knjizi "A New Era of Thought". Reč je izvedena od grčkog "τεσσερες ακτινες" ("četiri zraka"), u obliku četiri koordinatne ose. Osim toga, u nekim izvorima je nazvana ista cifra tetracube(tetrakub).

n-dimenzionalna hiperkocka se također naziva n-kocka.

Tačka je hiperkocka dimenzije 0. Ako pomaknete tačku za jedinicu dužine, dobićete segment jedinične dužine - hiperkocka dimenzije 1. Dalje, ako pomaknete segment za jedinicu dužine u smjeru okomitom u pravcu segmenta, dobija se kocka - hiperkocka dimenzije 2. Pomeranjem kvadrata za jedinicu dužine u pravcu okomitom na ravan kvadrata, dobija se kocka - hiperkocka dimenzije 3. Ovaj proces može se generalizirati na bilo koji broj dimenzija. Na primjer, ako pomjerite kocku za jednu jedinicu dužine u četvrtoj dimenziji, dobićete teserakt.

Porodica hiperkocka je jedan od rijetkih pravilnih poliedara koji se mogu predstaviti u bilo kojoj dimenziji.

Elementi hiperkocke

Hiperkocka dimenzija n ima 2 n„strane“ (jednodimenzionalna linija ima 2 tačke; dvodimenzionalni kvadrat ima 4 strane; trodimenzionalna kocka ima 6 strana; četvorodimenzionalni teserakt ima 8 ćelija). Broj vrhova (tačaka) hiperkocke je 2 n(na primjer, za kocku - 2 3 vrha).

Količina m-dimenzionalne hiperkocke na granici n-kocka jednaka

Na primjer, na granici hiperkocke nalazi se 8 kocki, 24 kvadrata, 32 ivice i 16 vrhova.

Elementi hiperkocke

n-kocka	Ime	Vertex (0-lice)	Edge (1 lice)	Edge (2 lica)	Cell (3 lica)	(4 lica)	(5 lica)	(6-strano)	(7 lica)	(8 lica)
0-kocka	Dot	1
1-kocka	Segment	2	1
2-kocka	Square	4	4	1
3-cube	Kocka	8	12	6	1
4-kocka	Teserakt	16	32	24	8	1
5-kocka	Penterakt	32	80	80	40	10	1
6-kocka	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-cube	Hepterakt	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kocka	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kocka	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Projekcija na ravan

Formiranje hiperkocke može se predstaviti na sljedeći način:

Dvije tačke A i B mogu se spojiti tako da formiraju odsječak AB.
Dva paralelna segmenta AB i CD mogu se spojiti u kvadrat ABCD.
Dva paralelna kvadrata ABCD i EFGH mogu se povezati da formiraju kocku ABCDEFGH.
Dvije paralelne kocke ABCDEFGH i IJKLMNOP mogu se povezati da formiraju hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.

Posljednju strukturu nije lako vizualizirati, ali je moguće prikazati njenu projekciju u dvodimenzionalni ili trodimenzionalni prostor. Štaviše, projekcije na dvodimenzionalnu ravan mogu biti korisnije dopuštajući da se pozicije projektovanih vrhova preurede. U ovom slučaju, moguće je dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose elemenata unutar teserakta, ali ilustriraju strukturu veza vrhova, kao u primjerima ispod.

Prva ilustracija pokazuje kako se, u principu, teserak formira spajanjem dvije kocke. Ova shema je slična shemi za stvaranje kocke iz dva kvadrata. Drugi dijagram pokazuje da su svi rubovi teserakta iste dužine. Ova šema vas također prisiljava da tražite kocke povezane jedna s drugom. U trećem dijagramu, vrhovi teserakta nalaze se u skladu s udaljenostima duž lica u odnosu na donju tačku. Ova šema je interesantna jer se koristi kao osnovna šema za mrežnu topologiju povezivanja procesora pri organizovanju paralelnog računarstva: rastojanje između bilo koja dva čvora ne prelazi 4 dužine ivice, a postoji mnogo različitih puteva za balansiranje opterećenja.

Hiperkocka u umjetnosti

Hiperkocka se u naučnofantastičnoj literaturi pojavljuje od 1940. godine, kada je Robert Heinlein u priči “I sagradio je krivu kuću” opisao kuću izgrađenu u obliku skeniranog teserakta. U priči, ovo Sljedeće, ova kuća se ruši, pretvarajući se u četverodimenzionalni teserakt. Nakon toga, hiperkocka se pojavljuje u mnogim knjigama i kratkim pričama.

Film Kocka 2: Hiperkocka govori o osam ljudi zarobljenih u mreži hiperkocki.

Slika Salvadora Dalija "Raspeće (Corpus Hypercubus)", 1954., prikazuje Isusa razapetog na teseraktu. Ova slika se može vidjeti u Metropolitan muzeju umjetnosti u New Yorku.

Zaključak

Hiperkocka je jedan od najjednostavnijih četverodimenzionalnih objekata iz kojeg se može vidjeti složenost i neobičnost četvrte dimenzije. A ono što izgleda nemoguće u tri dimenzije moguće je u četiri, na primjer, nemoguće figure. Tako će, na primjer, šipke nemogućeg trokuta u četiri dimenzije biti povezane pod pravim uglom. I ova figura će izgledati ovako sa svih tačaka gledanja, i neće biti izobličena, za razliku od implementacije nemogućeg trougla u trodimenzionalnom prostoru (vidi.

Šta je hiperkocka i četvorodimenzionalni prostor

Naš uobičajeni prostor ima tri dimenzije. Sa geometrijske tačke gledišta, to znači da se u njemu mogu naznačiti tri međusobno okomite linije. To jest, za bilo koju liniju možete pronaći drugu liniju okomitu na prvu, a za par možete pronaći treću liniju okomitu na prve dvije. Više neće biti moguće pronaći četvrtu liniju okomitu na postojeće tri.

Četvorodimenzionalni prostor razlikuje se od našeg samo po tome što ima još jedan dodatni pravac. Ako već imate tri međusobno okomite prave, onda možete pronaći i četvrtu, tako da će biti okomita na sve tri.

Hiperkocka je jednostavno kocka u četvorodimenzionalnom prostoru.
Da li je moguće zamisliti četverodimenzionalni prostor i hiperkocku?

Ovo pitanje je povezano sa pitanjem: „da li je moguće zamisliti Posljednju večeru gledajući istoimenu sliku (1495-1498) Leonarda da Vincija (1452-1519)?"

S jedne strane, naravno, nećete zamisliti šta je Isus vidio (sjedi okrenut prema gledaocu), pogotovo što nećete osjetiti miris vrta izvan prozora i okusiti hranu na stolu, nećete čuti ptice pjevanje... Nećete steći potpunu sliku o tome šta se dešavalo te večeri, ali se ne može reći da nećete naučiti ništa novo i da slika nije od interesa.

Slična je situacija i sa pitanjem hiperkocke. Nemoguće ga je u potpunosti zamisliti, ali možete se približiti razumijevanju kako je.
Konstrukcija hiperkocke
0-dimenzionalna kocka

Počnimo od početka - sa 0-dimenzionalnom kockom. Ova kocka sadrži 0 međusobno okomitih strana, odnosno samo je tačka.

1-dimenzionalna kocka

U jednodimenzionalnom prostoru imamo samo jedan pravac. Pomeramo tačku u ovom pravcu i dobijamo segment.

Ovo je jednodimenzionalna kocka.
2 dimenzionalna kocka

Imamo drugu dimenziju, pomeramo našu jednodimenzionalnu kocku (segment) u pravcu druge dimenzije i dobijamo kvadrat.

To je kocka u dvodimenzionalnom prostoru.
3 dimenzionalna kocka

S pojavom treće dimenzije, nastavljamo na sličan način: pomičemo kvadrat i dobivamo običnu trodimenzionalnu kocku.

4-dimenzionalna kocka (hiperkocka)

Sada imamo četvrtu dimenziju. Odnosno, imamo na raspolaganju pravac okomit na sva tri prethodna. Koristimo ga na potpuno isti način. Četvorodimenzionalna kocka će izgledati ovako.

Naravno, trodimenzionalne i četverodimenzionalne kocke ne mogu se prikazati na dvodimenzionalnoj ravni ekrana. Ono što sam nacrtao su projekcije. O projekcijama ćemo nešto kasnije, ali za sada nekoliko golih činjenica i brojki.
Broj vrhova, ivica, lica
Karakteristike kocki raznih veličina
1-dimenzija prostora
2-broj vrhova
3-broj ivica
4-broj lica

0 (tačka) 1 0 0
1 (segment) 2 1 2 (bodovi)
2 (kvadrat) 4 4 4 (segmenti)
3 (kocka) 8 12 6 (kvadrati)
4 (hiperkocka) 16 32 8 (kocke)
N( opšta formula) 2N N 2N-1 2 N

Imajte na umu da je lice hiperkocke naša obična trodimenzionalna kocka. Ako pažljivo pogledate crtež hiperkocke, zapravo možete pronaći osam kocki.
Projekcije i vizija stanovnika četvorodimenzionalnog prostora
Nekoliko riječi o viziji

Živimo u trodimenzionalnom svijetu, ali ga vidimo kao dvodimenzionalni. To je zbog činjenice da se mrežnica naših očiju nalazi u ravni koja ima samo dvije dimenzije. Zbog toga smo u stanju da percipiramo dvodimenzionalne slike i nađemo ih sličnima stvarnosti. (Naravno, zahvaljujući akomodaciji, oko može procijeniti udaljenost do objekta, ali ovo je nuspojava povezana s optikom ugrađenom u naše oči.)

Oči stanovnika četvorodimenzionalnog prostora moraju imati trodimenzionalnu retinu. Takvo stvorenje može odmah vidjeti cijelu trodimenzionalnu figuru: sva njena lica i unutrašnjost. (Na isti način možemo vidjeti dvodimenzionalnu figuru, sva njena lica i unutrašnjost.)

Dakle, uz pomoć naših organa vida, nismo u mogućnosti da percipiramo četverodimenzionalnu kocku onako kako bi je percipirao stanovnik četverodimenzionalnog prostora. Avaj. Ostaje samo da se oslonite na svoje umno oko i maštu, koji, srećom, nemaju fizička ograničenja.

Međutim, kada prikazujem hiperkocku na ravni, jednostavno sam prisiljen napraviti njenu projekciju na dvodimenzionalni prostor. Uzmite ovu činjenicu u obzir prilikom proučavanja crteža.
Ivične raskrsnice

Naravno, ivice hiperkocke se ne sijeku. Raskrsnice se pojavljuju samo na crtežima. Međutim, to ne bi trebalo da čudi, jer se ivice obične kocke na slikama takođe seku.
Dužina ivica

Vrijedi napomenuti da su sve strane i ivice četverodimenzionalne kocke jednake. Na slici se ispostavlja da su nejednake samo zato što se nalaze pod različitim uglovima u odnosu na smjer gledanja. Međutim, moguće je rotirati hiperkocku tako da sve projekcije imaju istu dužinu.

Inače, na ovoj slici je jasno vidljivo osam kocki, koje su lica hiperkocke.
Hiperkocka je unutra prazna

Teško je povjerovati, ali između kocki koje povezuju hiperkocku, postoji nešto prostora (djelić četverodimenzionalnog prostora).

Da bismo ovo bolje razumjeli, pogledajmo dvodimenzionalnu projekciju obične trodimenzionalne kocke (namjerno sam je napravio donekle šematski).

Možete li po tome pretpostaviti da unutar kocke ima prostora? Da, ali samo koristeći svoju maštu. Oko ne vidi ovaj prostor. Ovo se dešava zato što su se ivice koje se nalaze u trećoj dimenziji (koja se ne može prikazati na ravnom crtežu) sada pretvorile u segmente koji leže u ravni crteža. Više ne daju volumen.

Kvadrati koji zatvaraju prostor kocke preklapali su jedan drugog. Ali može se zamisliti da su na originalnoj slici (trodimenzionalnoj kocki) ti kvadrati bili smješteni u različitim ravnima, a ne jedan na drugom u istoj ravni, kao što se dogodilo na slici.

Potpuno ista situacija je i sa hiperkockom. Kocke-površine hiperkocke se zapravo ne preklapaju, kako nam se čini na projekciji, već se nalaze u četverodimenzionalnom prostoru.
Sweeps

Dakle, stanovnik četverodimenzionalnog prostora može vidjeti trodimenzionalni objekt sa svih strana istovremeno. Možemo li vidjeti trodimenzionalnu kocku sa svih strana u isto vrijeme? Sa okom - ne. Ali ljudi su smislili način da prikažu sva lica trodimenzionalne kocke u isto vrijeme na ravnom crtežu. Takva slika se naziva skeniranje.
Razvoj trodimenzionalne kocke

Svi vjerojatno znaju kako se formira razvoj trodimenzionalne kocke. Ovaj proces je prikazan u animaciji.

Radi jasnoće, ivice površina kocke su prozirne.

Treba napomenuti da smo u stanju da percipiramo ovu dvodimenzionalnu sliku samo zahvaljujući svojoj mašti. Ako posmatramo faze odvijanja sa čisto dvodimenzionalne tačke gledišta, proces će se činiti čudnim i nimalo jasnim.

Izgleda kao postepeno pojavljivanje prvo obrisa izobličenih kvadrata, a potom i njihovog uvlačenja na svoje mjesto dok istovremeno poprimaju traženi oblik.

Ako pogledate kocku koja se rasklapa u smjeru jedne od njenih strana (sa ove točke gledišta kocka izgleda kao kvadrat), tada je proces formiranja rasklopa još manje jasan. Sve izgleda kao kvadrati koji izmiču iz početnog kvadrata (ne rasklopljene kocke).

Ali skeniranje nije vizualno samo za oči. Zahvaljujući vašoj mašti možete izvući mnogo informacija iz njega.
Razvoj četvorodimenzionalne kocke

Jednostavno je nemoguće učiniti animirani proces rasklapanja hiperkocke barem donekle vizualnim. Ali ovaj proces se može zamisliti. (Da biste to učinili, morate ga pogledati očima četverodimenzionalnog bića.)

Skeniranje izgleda ovako.

Ovdje je vidljivo svih osam kocki koje ograničavaju hiperkocku.

Rubovi koji bi se trebali poravnati kada su presavijeni obojeni su istim bojama. Lica za koja parovi nisu vidljivi ostaju siva. Nakon presavijanja, najgornja strana gornje kocke treba da se poravna sa donjom ivicom donje kocke. (Razvijanje trodimenzionalne kocke se skuplja na sličan način.)

Imajte na umu da će nakon konvolucije sve strane osam kocki doći u kontakt, zatvarajući hiperkocku. I na kraju, kada zamišljate proces savijanja, nemojte zaboraviti da prilikom presavijanja ne dolazi do preklapanja kocki, već do njihovog omotanja oko određene (hiperkubične) četverodimenzionalne površine.

Salvador Dali (1904-1989) je mnogo puta prikazao raspeće, a krstovi se pojavljuju na mnogim njegovim slikama. Slika “Raspeće” (1954) koristi skeniranje hiperkocke.
Prostor-vreme i euklidski četvorodimenzionalni prostor

Nadam se da ste mogli da zamislite hiperkocku. Ali da li ste uspeli da se približite razumevanju kako funkcioniše četvorodimenzionalni prostor-vreme u kojem živimo? Avaj, ne baš.

Ovdje smo govorili o euklidskom četverodimenzionalnom prostoru, ali prostor-vrijeme ima potpuno drugačija svojstva. Konkretno, tokom bilo koje rotacije, segmenti uvijek ostaju nagnuti prema vremenskoj osi, bilo pod uglom manjim od 45 stepeni, ili pod uglom većim od 45 stepeni.

IZVOR 2

Teserakt je četverodimenzionalna hiperkocka, analogna kocki u četverodimenzionalnom prostoru. Prema Oksfordskom rečniku, reč "teserakt" je skovao i upotrebio 1888. Charles Howard Hinton (1853-1907) u svojoj knjizi Novo doba misli. Kasnije su neki ljudi istu figuru nazvali "tetrakub".

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.
U jednodimenzionalnom “prostoru” - na pravoj - biramo segment AB dužine L. Na dvodimenzionalnoj ravni na udaljenosti L od AB, nacrtamo segment DC paralelan s njim i spojimo njihove krajeve. Rezultat je kvadrat ABCD. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku ABCDHEFG. I pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (upravno na prve tri) za razmak L, dobijamo hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.

Jednodimenzionalni segment AB služi kao lice dvodimenzionalnog kvadrata ABCD, kvadrat služi kao stranica kocke ABCDHEFG, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, kocka ima osam. U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.

Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, ali je mnogo zanimljivije vidjeti kako će četverodimenzionalna hiperkocka izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora. Za to ćemo koristiti već poznatu metodu analogija.
Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), spojena sa četiri linije - bočne ivice. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projektovaće se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u četvrtoj dimenziji. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Druga imena
Hexadecachoron
Octachoron
Tetracube
4-Cube
Hiperkocka (ako broj dimenzija nije naveden)

10-dimenzionalni prostor
Na engleskom je za one koji ne znaju, sasvim je jasno na slikama

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

Univerzum od četiri dimenzije, ili četiri koordinate, jednako je nezadovoljavajući kao univerzum od tri. Možemo reći da nemamo sve podatke potrebne za konstruiranje svemira, jer ni tri koordinate stare fizike ni četiri koordinate nove nisu dovoljne za opisivanje, ukupno razne pojave u svemiru.

Razmotrimo redom „kocke“ različitih dimenzija.

Jednodimenzionalna kocka na pravoj je segment. Dvodimenzionalni - kvadrat. Granica kvadrata se sastoji od četiri tačke - vrhovi I četiri segmenta - rebra Dakle, kvadrat ima dvije vrste elemenata na svojoj granici: tačke i segmente. Granica trodimenzionalne kocke sadrži elemente tri vrste: vrhove - ima ih 8, ivice (segmenti) - ima ih 12 i lica (kvadrati) - ima ih 6. Jednodimenzionalni segment AB služi kao lice dvodimenzionalnog kvadrata ABCD, kvadrat je stranica kocke ABCDHEFG, koja će zauzvrat biti stranica četiri. -dimenzionalna hiperkocka.

U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.

Dimenzija kocke	Granica dimenzija
Dimenzija kocke

2 kvadrata

4 teserakta

Koordinate učetvorodimenzionalni prostor.

Tačka na pravoj je definisana kao broj, tačka na ravni kao par brojeva, tačka u trodimenzionalnom prostoru kao trojka brojeva. Stoga je potpuno prirodno konstruisati geometriju četvorodimenzionalnog prostora definisanjem tačke u ovom imaginarnom prostoru kao četvorke brojeva.

Dvodimenzionalno lice četverodimenzionalne kocke je skup tačaka za koje dvije koordinate mogu poprimiti sve moguće vrijednosti od 0 do 1, a druge dvije su konstantne (jednake ili 0 ili 1).

Trodimenzionalno lice Četvorodimenzionalna kocka je skup tačaka za koje tri koordinate uzimaju sve moguće vrijednosti od 0 do 1, a jedna je konstantna (jednaka ili 0 ili 1).

Izrada kocki raznih dimenzija.

Uzimamo segment, postavljamo segment na sve strane i pričvršćujemo još jedan na bilo koju u ovom slučaju na desni segment.

Imamo kvadratni snimak.

Uzimamo kvadrat, postavljamo kvadrat na sve strane, pričvršćujemo još jedan na bilo koji, u ovom slučaju na donji kvadrat.

Ovo je razvoj trodimenzionalne kocke.

Četvorodimenzionalna kocka

Uzimamo kocku, stavljamo kocku na sve strane, pričvršćujemo još jednu na bilo koju u ovoj donjoj kocki.

Razvoj četvorodimenzionalne kocke

Zamislimo da je četverodimenzionalna kocka napravljena od žice i da mrav sjedi na vrhu (1;1;1;1), tada će mrav morati puzati od jednog do drugog vrha duž ivica.

Pitanje: koliko ivica će morati da puzi da bi došao do temena (0;0;0;0)?

Duž 4 ivice, odnosno vrh (0;0;0;0) je vrh 4. reda, prolaskom duž 1 ivice može doći do vrha koji ima jednu od koordinata 0, ovo je vrh 1. reda, prelaskom duž 2 ivice može doći do vrhova u kojima ima 2 nule su vrhovi 2. reda, ima 6 takvih vrhova, prolazeći duž 3 ivice, doći će do vrhova koji imaju 3 koordinate nula, to su vrhovi trećeg reda.

Postoje i druge kocke u višedimenzionalnom prostoru. Osim teserakta, možete graditi kocke veliki broj mjerenja. Model petodimenzionalne kocke je penterakt. Penterakt ima 32 vrha, 80 ivica, 80 lica, 40 kocki i 10 teseraka.

Umjetnici, reditelji, vajari, naučnici predstavljaju multidimenzionalnu kocku na različite načine. Evo nekoliko primjera:

Mnogi pisci naučne fantastike opisuju teserakt u svojim djelima. Na primjer, Robert Anson Heinlein (1907–1988) spomenuo je hiperkocke u najmanje tri svoje nefikcijske priče. U "Kući četiri dimenzije" opisao je kuću sagrađenu kao rasplet teserakta.

Radnja filma Kocka 2 usredotočuje se na osam stranaca zarobljenih u hiperkocki.

« Raspeće" Salvadora Dalija, 1954 (1951). Dalijev nadrealizam je tražio dodirne tačke između naše stvarnosti i onostranog, posebno 4-dimenzionalnog svijeta. Stoga je, s jedne strane, zadivljujuće, ali, s druge strane, to i ne čudi geometrijska figura napravljen od kocki, koji tvori kršćanski križ, slika je trodimenzionalnog razvoja 4-dimenzionalne kocke ili teserakta.

Dana 21. oktobra, Odsjek za matematiku na Državnom univerzitetu Pennsylvania otkrio je neobičnu skulpturu pod nazivom "Octacube". To je slika četverodimenzionalnog geometrijskog objekta u trodimenzionalnom prostoru. Prema riječima autora skulpture, profesora Adriana Ocneanua, ovako lijepa figura ove vrste nikada nije postojala na svijetu, ni virtualno ni fizički, iako su trodimenzionalne projekcije četverodimenzionalnih figura rađene i ranije.

Općenito, matematičari lako rade sa četvero-, pet-, pa čak i više multidimenzionalnim objektima, ali ih je nemoguće prikazati u trodimenzionalnom prostoru. "Octacube", kao i sve slične figure, nije istinski četverodimenzionalan. Može se uporediti sa mapom - projekcijom trodimenzionalne površine globus na ravnom listu papira.

Trodimenzionalnu projekciju četverodimenzionalne figure Okneanu je dobio pomoću radijalne stereografije pomoću kompjutera. Istovremeno je sačuvana simetrija originalne četverodimenzionalne figure. Skulptura ima 24 vrha i 96 lica. U četvorodimenzionalnom prostoru ivice figure su ravne, ali u projekciji su zakrivljene. Uglovi između lica trodimenzionalne projekcije i originalne figure su isti.

Octacube je napravljen od nehrđajućeg čelika u inženjerskim radionicama Pennsylvania State University. Skulptura je postavljena u renoviranoj McAllister zgradi Matematičkog fakulteta.

Multidimenzionalni prostor bio je od interesa za mnoge naučnike, kao što su Rene Descartes i Hermann Minkowski. Danas se znanje o ovoj temi povećava. Pomaže matematičarima, istraživačima i izumiteljima našeg vremena da postignu svoje ciljeve i unaprijede nauku. Korak u višedimenzionalni prostor je korak u novu, razvijeniju eru čovječanstva.

Hinton kocke. Hypercube Prvi korak u četvrtu dimenziju

Elementi hiperkocke

Projekcija na ravan

Hiperkocka u umjetnosti

Zaključak

Oporavak lozinke