Standardna devijacija je izražena. Primjena standardne devijacije. Bilješka. Zašto tačno kvadratne razlike?

Vrijedi napomenuti da ovaj proračun varijanse ima nedostatak - ispada da je pristrasan, tj. njegovo matematičko očekivanje nije jednako pravo značenje varijanse. Pročitajte više o tome. Istovremeno, nije sve tako loše. Kako se veličina uzorka povećava, on se i dalje približava svom teoretskom analogu, tj. je asimptotski nepristrasan. Stoga, kada radite sa velike veličine uzoraka, možete koristiti gornju formulu.

Korisno je prevesti jezik znakova u jezik riječi. Ispada da je varijansa prosječan kvadrat odstupanja. Odnosno, prvo se izračunava prosječna vrijednost, zatim se uzima razlika između svake izvorne i prosječne vrijednosti, kvadrira, dodaje, a zatim dijeli sa brojem vrijednosti u populaciji. Razlika između pojedinačne vrijednosti i prosjeka odražava mjeru odstupanja. Kvadrat tako da sva odstupanja postanu isključivo pozitivni brojevi te izbjegavanje međusobnog uništavanja pozitivnih i negativnih devijacija prilikom njihovog sumiranja. Zatim, s obzirom na kvadratna odstupanja, jednostavno izračunamo aritmetičku sredinu. Prosjek - kvadrat - odstupanja. Odstupanja se kvadriraju i izračunava se prosjek. Rješenje se krije u samo tri riječi.

Međutim, u svom čistom obliku, kao što je aritmetička sredina ili indeks, disperzija se ne koristi. To je prije pomoćni i srednji indikator koji je neophodan za druge vrste statističkih analiza. Čak nema ni normalnu mjernu jedinicu. Sudeći po formuli, ovo je kvadrat mjerne jedinice izvornih podataka. Bez flaše, kako kažu, ne možete da shvatite.

(modul 111)

Da bi se varijansa vratila u stvarnost, odnosno da bi je koristila u svjetovnije svrhe, iz nje se izvlači kvadratni korijen. Ispada tzv standardna devijacija(RMS). Postoje nazivi "standardna devijacija" ili "sigma" (od imena grčkog slova). Formula standardne devijacije je:

Da biste dobili ovaj indikator za uzorak, koristite formulu:

Kao i kod varijanse, postoji nešto drugačija opcija izračuna. Ali kako uzorak raste, razlika nestaje.

Standardna devijacija, očigledno, takođe karakteriše mjeru disperzije podataka, ali se sada (za razliku od disperzije) može uporediti s izvornim podacima, budući da imaju iste mjerne jedinice (ovo je jasno iz formule za izračunavanje). Ali ovaj pokazatelj u svom čistom obliku nije baš informativan, jer sadrži previše posrednih izračuna koji su zbunjujući (odstupanje, kvadrat, zbir, prosjek, korijen). Međutim, već je moguće raditi direktno sa standardnom devijacijom, jer su svojstva ovog indikatora dobro proučena i poznata. Na primjer, postoji ovo tri sigma pravilo, koji navodi da podaci imaju 997 vrijednosti od 1000 unutar ±3 sigma aritmetičke sredine. Standardna devijacija, kao mjera neizvjesnosti, također je uključena u mnoge statističke proračune. Uz njegovu pomoć utvrđuje se stepen tačnosti različitih procjena i prognoza. Ako je varijacija vrlo velika, tada će i standardna devijacija biti velika, pa će stoga prognoza biti netačna, što će se, na primjer, izražavati u vrlo širokim intervalima povjerenja.

Koeficijent varijacije

Standardna devijacija daje apsolutnu procjenu mjere disperzije. Stoga, da bismo razumjeli koliko je raspršivanje u odnosu na same vrijednosti (tj. bez obzira na njihovu skalu), potrebno je relativni indikator. Ovaj indikator se zove koeficijent varijacije a izračunava se pomoću sljedeće formule:

Koeficijent varijacije se mjeri kao postotak (ako se pomnoži sa 100%). Koristeći ovaj indikator, možete uporediti različite pojave, bez obzira na njihovu skalu i mjerne jedinice. Ova činjenica i čini koeficijent varijacije tako popularnim.

U statistici je prihvaćeno da ako je vrijednost koeficijenta varijacije manja od 33%, onda se populacija smatra homogenom, a ako je veća od 33%, onda je heterogena. Teško mi je ovdje bilo šta komentirati. Ne znam ko je ovo definisao i zašto, ali to se smatra aksiomom.

Osećam da me zanosi suha teorija i da moram da donesem nešto vizuelno i figurativno. S druge strane, svi indikatori varijacije opisuju približno istu stvar, samo što se izračunavaju drugačije. Stoga je teško pokazati mnoštvo primjera.Mogu se razlikovati samo vrijednosti indikatora, ali ne i njihova suština. Zato uporedimo kako se vrijednosti različitih indikatora varijacija razlikuju za isti skup podataka. Uzmimo primjer izračunavanja prosječne linearne devijacije (od ). Evo izvornih podataka:

I raspored da vas podsjetim.

Koristeći ove podatke, izračunavamo različite indikatore varijacije.

Prosječna vrijednost je uobičajeni aritmetički prosjek.

Raspon varijacije je razlika između maksimuma i minimuma:

Prosječna linearna devijacija se izračunava pomoću formule:

Standardna devijacija:

Hajde da sumiramo proračun u tabeli.

Kao što se može vidjeti, linearni prosjek i standardna devijacija daju slična značenja stepen varijacije podataka. Varijanca je sigma na kvadrat, tako da će uvijek biti relativna veliki broj, što, zapravo, ne znači ništa. Raspon varijacije je razlika između ekstremnih vrijednosti i može mnogo govoriti.

Hajde da sumiramo neke rezultate.

Varijacija indikatora odražava varijabilnost procesa ili pojave. Njegov stepen se može mjeriti korištenjem nekoliko indikatora.

1. Raspon varijacije - razlika između maksimuma i minimuma. Odražava raspon mogućih vrijednosti.
2. Prosječna linearna devijacija – odražava prosjek apsolutnih (modulo) odstupanja svih vrijednosti analizirane populacije od njihove prosječne vrijednosti.
3. Disperzija - prosječni kvadrat odstupanja.
4. Standardna devijacija je korijen disperzije (srednji kvadrat odstupanja).
5. Koeficijent varijacije je najuniverzalniji indikator, koji odražava stepen rasipanja vrijednosti, bez obzira na njihovu skalu i mjerne jedinice. Koeficijent varijacije se mjeri u postocima i može se koristiti za poređenje varijacija različitih procesa i pojava.

Dakle, u statističkoj analizi postoji sistem indikatora koji odražavaju homogenost pojava i stabilnost procesa. Često indikatori varijacije nemaju nezavisno značenje i koriste se za dalju analizu podataka (izračunavanje intervala pouzdanosti

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

Standardna devijacija(sinonimi: standardna devijacija, standardna devijacija, kvadratna devijacija; povezani pojmovi: standardna devijacija, standardni namaz) - u teoriji vjerojatnosti i statistici najčešći pokazatelj disperzije vrijednosti slučajne varijable u odnosu na njeno matematičko očekivanje. Sa ograničenim nizovima uzoraka vrijednosti, umjesto matematičkog očekivanja, koristi se aritmetička sredina skupa uzoraka.

Osnovne informacije

Standardna devijacija se mjeri u jedinicama same slučajne varijable i koristi se u izračunavanju standardne greške aritmetičke sredine, u konstruiranju intervala povjerenja, u statističkom testiranju hipoteza i u mjerenju linearnog odnosa između slučajnih varijabli. Definira se kao kvadratni korijen varijanse slučajne varijable.

Standardna devijacija:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash desno)^2).$

Standardna devijacija(procjena standardne devijacije slučajne varijable x u odnosu na njegovo matematičko očekivanje zasnovano na nepristrasnoj procjeni njegove varijanse) $s$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash desno)^2);$

Pravilo tri sigma

Pravilo tri sigma ($3\backslash sigma$) - gotovo sve vrijednosti normalno raspoređene slučajne varijable leže u intervalu $\backslash levo(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash desno)$. Strožije - sa približnom vjerovatnoćom od 0,9973, vrijednost normalno raspoređene slučajne varijable leži u navedenom intervalu (pod uvjetom da vrijednost $\backslash bar(x)$ istina, a ne dobijena kao rezultat obrade uzorka).

Ako je prava vrijednost $\backslash bar(x)$ je nepoznata, onda ne biste trebali koristiti $\backslash sigma$, A s. Tako se pravilo tri sigma pretvara u pravilo tri s .

Tumačenje vrijednosti standardne devijacije

Veća vrijednost standardne devijacije pokazuje veći raspon vrijednosti u prikazanom skupu sa prosječne veličine mnoštvo; manja vrijednost, shodno tome, pokazuje da su vrijednosti u skupu grupisane oko prosječne vrijednosti.

Na primjer, imamo tri skupa brojeva: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) i (6, 6, 8, 8). Sva tri skupa imaju srednje vrijednosti jednake 7, a standardne devijacije, respektivno, jednake 7, 5 i 1. Posljednji skup ima malu standardnu ​​devijaciju, pošto su vrijednosti u skupu grupisane oko srednje vrijednosti; prvi set ima najviše veliki značaj standardna devijacija - vrijednosti unutar skupa uvelike odstupaju od prosječne vrijednosti.

U opštem smislu, standardna devijacija se može smatrati mjerom neizvjesnosti. Na primjer, u fizici se standardna devijacija koristi za određivanje greške serije uzastopnih mjerenja neke veličine. Ova vrijednost je vrlo važna za određivanje vjerodostojnosti fenomena koji se proučava u poređenju sa vrijednošću predviđenom teorijom: ako se prosječna vrijednost mjerenja jako razlikuje od vrijednosti koje predviđa teorija (velika standardna devijacija), tada treba ponovo provjeriti dobivene vrijednosti ili način njihovog dobijanja.

Praktična upotreba

U praksi, standardna devijacija vam omogućava da procijenite koliko se vrijednosti iz skupa mogu razlikovati od prosječne vrijednosti.

Ekonomija i finansije

Standardna devijacija prinosa portfelja $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ identifikovan sa rizikom portfelja.

Klima

Pretpostavimo da postoje dva grada sa istom prosječnom maksimalnom dnevnom temperaturom, ali jedan se nalazi na obali, a drugi u ravnici. Poznato je da gradovi koji se nalaze na obali imaju mnogo različitih maksimalnih dnevnih temperatura koje su niže od gradova koji se nalaze u unutrašnjosti. Dakle, standardna devijacija maksimalnih dnevnih temperatura za primorski grad će biti manja nego za drugi grad, uprkos činjenici da je njihova prosječna vrijednost ista, što u praksi znači da je vjerovatnoća da će Maksimalna temperatura zrak svakog određenog dana u godini će se jače razlikovati od prosječne vrijednosti, veće za grad koji se nalazi unutar kontinenta.

Sport

Pretpostavimo da postoji nekoliko fudbalskih timova koji se ocjenjuju po nekom skupu parametara, na primjer, broju postignutih i primljenih golova, šansi za pogodak itd. Najvjerovatnije je da će najbolji tim u ovoj grupi imati bolje vrijednosti na više parametara. Što je manja standardna devijacija tima za svaki od prikazanih parametara, to je rezultat tima predvidljiviji; takvi timovi su izbalansirani. S druge strane, tim sa velika vrijednost standardna devijacija otežava predviđanje rezultata, što se zauzvrat objašnjava neravnotežom, na primjer, jakom odbranom, ali slabim napadom.

Korištenje standardne devijacije timskih parametara omogućava da se u ovoj ili drugoj mjeri predvidi rezultat utakmice između dva tima, procjenjujući snage i slabe strane komande, a samim tim i izabrane metode borbe.

vidi takođe

Napišite recenziju o članku "Srednja kvadratna devijacija korijena"

Književnost

• Borovikov V. STATISTIKA. Umetnost analize podataka na računaru: Za profesionalce / V. Borovikov. - St. Petersburg. : Peter, 2003. - 688 str. - ISBN 5-272-00078-1..

Statistički indikatori Deskriptivna statistika Statistički izlaz i pregled hipoteze Ukupna ocjena Korelacija i regresija Graphic metode

Izvod koji karakteriše standardnu ​​devijaciju

I, brzo otvorivši vrata, odlučnim koracima izađe na balkon. Razgovor je iznenada prestao, kape i kačketi su skinuli, a sve su oči uprte u grofa koji je izašao.
- Zdravo momci! - brzo i glasno reče grof. - Hvala vam što ste došli. Izaći ću vam sada, ali prije svega moramo se obračunati sa zlikovcem. Moramo kazniti zlikovca koji je ubio Moskvu. Čekaj me! „I grof se isto tako brzo vratio u svoje odaje, snažno zalupivši vratima.
Gomilom je prostrujao žamor zadovoljstva. „To znači da će kontrolisati sve zlikovce! A ti kažeš francuski... on će ti dati cijelu distancu!” - govorili su ljudi, kao da su jedni drugima predbacivali nedostatak vjere.
Nekoliko minuta kasnije jedan oficir žurno je izašao iz ulaznih vrata, naredio nešto, a draguni su ustali. Gomila s balkona željno je krenula prema trijemu. Izašavši na trem ljutitim, brzim koracima, Rostopčin je žurno pogledao oko sebe, kao da nekoga traži.
- Gdje je on? - rekao je grof i istog trenutka kada je to rekao, ugledao je iza ugla kuće dva draguna kako izlaze između mladi čovjek sa dugim tankim vratom, sa poluobrijanom i obraslom glavom. Ovaj mladić je bio odjeven u ono što je nekada bio kitnjast, plavim suknom prekriven, otrcani kaput od lisičje kože i prljave zarobljeničke harem pantalone, nabijen u neočišćene, iznošene tanke čizme. Okovi su mu teško visili na tankim, slabim nogama, što je mladiću otežavalo neodlučno hodanje.
- A! - reče Rastopčin, žurno skrećući pogled sa mladića u kaputu od lisičje kože i pokazujući na donju stepenicu trema. - Stavi to ovde! - Mladić je, zveckajući okovima, teško zakoračio na naznačenu stepenicu, držeći prstom za kragnu ovčijeg kaputa, okrenuo ga dvaput dugi vrat i, uzdahnuvši, pokornim pokretom sklopi svoje tanke, besposlene ruke ispred stomaka.
Tišina se nastavila nekoliko sekundi dok se mladić postavio na stepenicu. Samo u zadnjim redovima ljudi koji su se stisnuli na jedno mjesto čuli su se jauci, jecaji, drhtaji i topot nogu u pokretu.
Rastopčin se, čekajući da se zaustavi na naznačenom mestu, namrštio i protrljao lice rukom.
- Momci! - rekao je Rastopčin metalnim zvonkim glasom, - ovaj čovek, Vereščagin, je isti nitkov od kojeg je izginula Moskva.
Mladić u kaputu od lisičje ovčije kože stajao je u pokornoj pozi, sklopivši ruke ispred stomaka i lagano se sagnuvši. Njegov mršavi, beznadežni izraz lica, unakaženog obrijanom glavom, bio je spušten. Na prve grofove riječi, polako je podigao glavu i spustio pogled na grofa, kao da mu želi nešto reći ili barem sresti njegov pogled. Ali Rastopčin ga nije pogledao. Na mladićevom dugom tankom vratu, poput užeta, vena iza uha postala je napeta i pomodrela, a lice mu je odjednom pocrvenelo.
Sve oči bile su uprte u njega. Pogledao je gomilu i, kao ohrabren izrazom koji je čitao na licima ljudi, tužno i bojažljivo se nasmiješio i, opet spustivši glavu, namjestio noge na stepeništu.
"Izdao je svog cara i svoju otadžbinu, predao se Bonaparti, on je jedini od svih Rusa osramotio ime Rusa, i Moskva od njega propada", reče Rastopčin ujednačenim, oštrim glasom; ali odjednom je brzo spustio pogled na Vereščagina, koji je i dalje stajao u istoj pokornoj pozi. Kao da ga je ovaj pogled eksplodirao, on je, podižući ruku, umalo viknuo, okrenuvši se ka narodu: „Pozabavite se njim svojom presudom!“ Dajem ti ga!
Ljudi su ćutali i samo su se pritiskali sve bliže i bliže. Držati se, udisati ovu zaraženu zagušljivost, nemati snage da se pomerimo i čekati nešto nepoznato, neshvatljivo i strašno postalo je nepodnošljivo. Ljudi koji su stajali u prvim redovima, koji su vidjeli i čuli sve što se događa ispred njih, svi sa zastrašujuće širom otvorenih očiju i otvorenih usta, naprežući svu snagu, suzdržavali su na leđima pritisak onih koji su bili iza njih.
- Prebijte ga!.. Neka izdajnik umre i ne sramotite ime Rusa! - vikao je Rastopčin. - Ruby! naručujem! - Ne čuvši reči, već ljutite zvukove Rastopčinovog glasa, gomila je zastenjala i krenula napred, ali ponovo zastala.
„Grofe!..“ reče Vereščaginov plašljiv i istovremeno teatralni glas usred trenutne tišine koja je ponovo nastala. "Grofe, jedan bog je iznad nas...", rekao je Vereščagin, podigavši ​​glavu, i opet se debela vena na njegovom tankom vratu napunila krvlju, a boja se brzo pojavila i pobjegla s lica. Nije završio ono što je hteo da kaže.
- Isjeci ga! Naređujem!.. - viknu Rastopčin, iznenada prebledeći baš kao Vereščagin.
- Sablje napolje! - viknuo je oficir dragunima i sam izvukao sablju.
Još jedan još jači val zapljusnuo je ljude i, došavši do prvih redova, ovaj talas je, teturajući, pomjerio prve redove i doveo ih do samih stepenica trema. Visok momak, skamenjenog izraza lica i zaustavljene podignute ruke, stajao je pored Vereščagina.
- Ruby! - šapnuo je dragunima skoro jedan oficir, a jedan od vojnika iznenada, lica iskrivljenog od gneva, udari Vereščagina po glavi tupim mačem.
"A!" - poviče Vereščagin kratko i iznenađeno, gledajući oko sebe uplašeno i kao da ne shvata zašto mu je to učinjeno. Isti jecaj iznenađenja i užasa prošao je kroz gomilu.
"O moj boze!" – začu se nečiji tužan uzvik.
Ali nakon uzvika iznenađenja koji je oteo Vereščaginu, on je sažaljivo povikao od bola, i taj ga je krik uništio. To se rastegnulo najviši stepen barijera ljudskih osećanja koja je još uvek držala gomilu probila se istog trenutka. Zločin je započet, trebalo ga je dovršiti. Jadni jecaj prijekora bio je ugušen prijetećim i ljutitim urlanjem gomile. Poput poslednjeg sedmog talasa, razbijajući brodove, i ovaj poslednji nezaustavljivi talas digao se iz zadnjih redova, stigao do prednjih, oborio ih i sve progutao. Zmaj koji je udario htio je ponoviti svoj udarac. Vereščagin je uz krik užasa, štiteći se rukama, pojurio prema ljudima. Visoki momak na koga je naleteo uhvatio je rukama Vereščaginov tanki vrat i uz divlji krik on i on pali su pod noge gomile ljudi koji su urlali.
Neki su tukli i kidali Vereščagina, drugi su bili visoki i mali. A povici shrvanih ljudi i onih koji su pokušali da spasu visokog čoveka samo su izazvali bijes gomile. Dugo vremena zmajevi nisu mogli osloboditi okrvavljenog, do smrti pretučenog radnika fabrike. I dugo vremena, i pored sve grozničave žurbe kojom je gomila pokušavala da dovrši posao jednom započet, oni ljudi koji su tukli, davili i kidali Vereščagina nisu mogli da ga ubiju; ali gomila ih je pritiskala sa svih strana, sa njima u sredini, kao jedna masa, ljuljala se s jedne strane na drugu i nije im dala priliku ni da ga dokrajče niti da ga bace.

Standardna devijacija

Većina savršena karakteristika varijacija je srednja kvadratna devijacija, koja se naziva standard (ili standardna devijacija). Standardna devijacija() jednak je kvadratnom korijenu prosječne kvadratne devijacije pojedinačnih vrijednosti atributa od aritmetičke sredine:

Standardna devijacija je jednostavna:

Ponderirana standardna devijacija se primjenjuje na grupisane podatke:

Sljedeći omjer se odvija između srednjeg kvadrata i srednjeg linearnog odstupanja u uslovima normalne distribucije: ~ 1,25.

Standardna devijacija, kao glavna apsolutna mjera varijacije, koristi se za određivanje ordinatnih vrijednosti krivulje normalne distribucije, u proračunima koji se odnose na organizaciju posmatranja uzorka i utvrđivanje tačnosti karakteristika uzorka, kao i pri ocjenjivanju granice varijacije karakteristike u homogenoj populaciji.

18. Varijanca, njeni tipovi, standardna devijacija.

Varijanca slučajne varijable- mjera širenja date slučajne varijable, odnosno njenog odstupanja od matematičkog očekivanja. U statistici se često koristi notacija ili. Kvadratni korijen iz varijanse se obično naziva standardna devijacija, standardna devijacija ili standardni namaz.

Ukupna varijansa (σ 2) mjeri varijaciju osobine u cjelini pod uticajem svih faktora koji su uzrokovali ovu varijaciju. Istovremeno, zahvaljujući metodi grupisanja, moguće je identifikovati i izmeriti varijaciju zbog karakteristike grupisanja i varijaciju koja nastaje pod uticajem neuračunatih faktora.

Međugrupna varijansa (σ 2 m.gr) karakterizira sistematsko variranje, odnosno razlike u vrijednosti proučavane osobine koje nastaju pod uticajem osobine - faktora koji čini osnovu grupe.

Standardna devijacija(sinonimi: standardna devijacija, standardna devijacija, kvadratna devijacija; povezani pojmovi: standardna devijacija, standardni namaz) - u teoriji vjerojatnosti i statistici, najčešći pokazatelj disperzije vrijednosti slučajne varijable u odnosu na njeno matematičko očekivanje. Sa ograničenim nizovima uzoraka vrijednosti, umjesto matematičkog očekivanja, koristi se aritmetička sredina skupa uzoraka.

Standardna devijacija se mjeri u mjernim jedinicama same slučajne varijable i koristi se pri izračunavanju standardne greške aritmetičke sredine, pri konstruiranju intervala povjerenja, pri statističkom testiranju hipoteza, pri mjerenju linearnog odnosa između slučajnih varijabli. Definira se kao kvadratni korijen varijanse slučajne varijable.

Standardna devijacija:

Standardna devijacija(procjena standardne devijacije slučajne varijable x u odnosu na njegovo matematičko očekivanje zasnovano na nepristrasnoj procjeni njegove varijanse):

gdje je disperzija; - i th element selekcije; - veličina uzorka; - aritmetička sredina uzorka:

Treba napomenuti da su obje procjene pristrasne. U opštem slučaju, nemoguće je konstruisati nepristrasnu procenu. U ovom slučaju, procjena zasnovana na nepristrasnoj procjeni varijanse je konzistentna.

19. Suština, obim i postupak za određivanje modusa i medijana.

Pored prosječnih vrijednosti u statistici za relativne karakteristike vrijednosti promjenjive karakteristike i unutrašnja struktura distribucijske serije koriste strukturna sredstva, koja su uglavnom predstavljena moda i medijana.

Moda- Ovo je najčešća varijanta serije. Moda se koristi, na primjer, pri određivanju veličine odjeće i obuće za kojima je najveća potražnja među kupcima. Režim za diskretnu seriju je varijanta sa najvećom frekvencijom. Prilikom izračunavanja moda za niz intervalnih varijacija, izuzetno je važno prvo odrediti modalni interval (po maksimalnoj frekvenciji), a zatim - vrijednost modalne vrijednosti atributa koristeći formulu:

§ - značenje mode

§ - donja granica modalnog intervala

§ - vrijednost intervala

§ - frekvencija modalnog intervala

§ - frekvencija intervala koji prethodi modalnom

§ - frekvencija intervala nakon modalnog

medijana - ova vrijednost atributa, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, leži u osnovi rangirane serije i dijeli ovu seriju na dva dijela jednaka po broju.

Za određivanje medijane u diskretnoj seriji ako su frekvencije dostupne, prvo izračunajte polovični zbir frekvencija, a zatim odredite koja vrijednost varijante pada na njega. (Ako sortirana serija sadrži neparan broj karakteristike, tada se srednji broj izračunava pomoću formule:

M e = (n (ukupan broj karakteristika) + 1)/2,

u slučaju parnog broja karakteristika, medijana će biti jednaka proseku dve karakteristike u sredini reda).

Prilikom izračunavanja medijane za intervalne varijacione serije Prvo odredite srednji interval unutar kojeg se medijana nalazi, a zatim odredite vrijednost medijane koristeći formulu:

§ - traženi medijan

§ - donja granica intervala koji sadrži medijanu

§ - vrijednost intervala

§ - zbir frekvencija ili broj članova serije

§ - zbir akumuliranih frekvencija intervala koji prethode medijani

§ - frekvencija srednjeg intervala

Primjer. Pronađite mod i medijan.

Rješenje: U ovom primjeru, modalni interval je unutar starosne grupe od 25-30 godina, jer ovaj interval ima najveću učestalost (1054).

Izračunajmo veličinu moda:

To znači da je modalna starost studenata 27 godina.

Izračunajmo medijanu. Medijan interval je u starosnoj grupi od 25-30 godina, jer unutar ovog intervala postoji opcija͵ koja dijeli populaciju na dva jednaka dijela (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Zatim u formulu zamjenjujemo potrebne numeričke podatke i dobivamo srednju vrijednost:

To znači da je polovina učenika mlađa od 27,4 godine, a druga polovina starija od 27,4 godine.

Pored moda i medijana, koriste se indikatori kao što su kvartili, koji dijele rangiranu seriju na 4 jednaka dijela, decili - 10 dijelova i percentili - na 100 dijelova.

20. Koncept posmatranja uzorka i njegov obim.

Selektivno posmatranje primjenjuje se kada se koristi kontinuirani nadzor fizički nemoguće zbog velike količine podataka ili nije ekonomski izvodljivo. Fizička nemogućnost se javlja, na primjer, kada se proučavaju putnički tokovi, tržišne cijene i porodični budžeti. Ekonomska nesvrsishodnost javlja se pri ocjenjivanju kvalitete robe povezane s njihovim uništenjem, na primjer, degustacija, ispitivanje čvrstoće cigle itd.

Statističke jedinice odabrane za posmatranje su uzorak populacije ili uzorak, i cijeli njihov niz - opšta populacija(GS). Gde broj jedinica u uzorku označiti n, a u cijelom GS - N. Stav n/N obično se zove relativna veličina ili uzorak udjela.

Kvalitet rezultata posmatranja uzorka zavisi od reprezentativnost uzorka, odnosno koliko je reprezentativan u GS. Da bi se osigurala reprezentativnost uzorka, izuzetno je važno pridržavati se princip slučajnog odabira jedinica, koji pretpostavlja da na uključivanje HS jedinice u uzorak ne može uticati bilo koji drugi faktor osim slučajnosti.

Postoji 4 načina nasumične selekcije uzorkovati:

1. Zapravo nasumično odabir ili ʼʼlotto metodʼʼ, kada se dodjeljuju statističke vrijednosti serijski brojevi, postavljeni na određene predmete (na primjer, bačve), koji se zatim miješaju u kontejneru (na primjer, u vrećici) i biraju nasumično. U praksi se ova metoda provodi pomoću generatora slučajnih brojeva ili matematičkih tablica slučajnih brojeva.
2. Mehanički izbor prema kojem svaki ( N/n)-ta količina stanovništva. Na primjer, ako sadrži 100.000 vrijednosti, a vi trebate odabrati 1.000, tada će svaka 100.000 / 1000 = 100. vrijednost biti uključena u uzorak. Štaviše, ako nisu rangirani, onda se prvi bira nasumično od prvih sto, a brojevi ostalih će biti sto veći. Na primjer, ako je prva jedinica bila br. 19, onda bi sljedeća trebala biti br. 119, zatim br. 219, zatim br. 319, itd. Ako su jedinice stanovništva rangirane, tada se prvo bira broj 50, zatim broj 150, zatim broj 250 i tako dalje.
3. Vrši se odabir vrijednosti iz heterogenog niza podataka slojevito(stratificirana) metoda, kada se populacija prvo podijeli na homogene grupe na koje se primjenjuje slučajni ili mehanički odabir.
4. Poseban način uzorkovanje je serial selekcija, u kojoj se nasumično ili mehanički biraju ne pojedinačne vrijednosti, već njihove serije (sekvence od nekog broja do nekog broja u nizu), unutar kojih se vrši kontinuirano posmatranje.

Kvalitet opservacija uzorka također zavisi od tip uzorka: ponovljeno ili neponovljiv. At ponovna selekcija Statističke vrijednosti ili njihove serije uključene u uzorak se nakon upotrebe vraćaju u opću populaciju, imajući priliku da budu uključene u novi uzorak. Štaviše, sve vrijednosti u općoj populaciji imaju istu vjerovatnoću uključivanja u uzorak. Neponovljiv izbor znači da se statističke vrijednosti ili njihove serije uključene u uzorak ne vraćaju u opću populaciju nakon upotrebe, pa se za preostale vrijednosti potonje povećava vjerovatnoća da će biti uključene u sljedeći uzorak.

Uzorkovanje koje se ne ponavlja daje preciznije rezultate i stoga se češće koristi. Ali postoje situacije kada se ne može primijeniti (proučavanje putničkih tokova, potražnje potrošača itd.) i tada se vrši ponovljena selekcija.

21. Maksimalna greška uzorkovanja posmatranja, prosječna greška uzorkovanja, postupak njihovog izračunavanja.

Razmotrimo detaljno gore navedene metode formiranja uzorak populacije i rezultirajuće greške reprezentativnosti. Pravilno nasumično uzorkovanje se zasniva na nasumičnom odabiru jedinica iz populacije bez ikakvih sistematskih elemenata. Tehnički, stvarni slučajni odabir se vrši izvlačenjem ždrijeba (na primjer, lutrija) ili korištenjem tablice slučajnih brojeva.

Pravilna nasumična selekcija “u svom čistom obliku” se rijetko koristi u praksi selektivnog posmatranja, ali je ona inicijalna među ostalim tipovima selekcije i implementira osnovne principe selektivnog posmatranja. Razmotrimo neka teorijska pitanja metoda uzorkovanja i formule greške za jednostavno nasumično uzorkovanje.

Pristrasnost uzorkovanja- ϶ᴛᴏ razlika između vrijednosti parametra u općoj populaciji i njegove vrijednosti izračunate iz rezultata promatranja uzorka. Važno je napomenuti da je za prosječnu kvantitativnu karakteristiku greška uzorkovanja određena

Indikator se obično naziva maksimalnom greškom uzorkovanja. Srednja vrijednost uzorka je slučajna varijabla koja može uzeti različita značenja na osnovu toga koje su jedinice uključene u uzorak. Stoga su greške uzorkovanja također slučajne varijable i mogu poprimiti različite vrijednosti. Iz tog razloga odredite prosjek od moguće greške – prosječna greška uzorkovanja, što zavisi od:

· veličina uzorka: što je veći broj, to je manja prosječna greška;

· stepen promjene karakteristike koja se proučava: što je manja varijacija karakteristike, a samim tim i disperzija, manja je prosječna greška uzorkovanja.

At nasumični ponovni odabir izračunava se prosječna greška. U praksi, opšta varijansa nije tačno poznata, ali u teoriji verovatnoće je to dokazano . Budući da je vrijednost za dovoljno veliko n blizu 1, možemo pretpostaviti da je . Zatim treba izračunati prosječnu grešku uzorkovanja: . Ali u slučajevima malog uzorka (sa n<30) коэффициент крайне важно учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле .

At nasumično neponavljajuće uzorkovanje date formule su prilagođene vrijednosti . Tada je prosječna greška uzorkovanja koja se ne ponavlja: I . Jer je uvijek manji od , tada je množitelj () uvijek manji od 1. To znači da je prosječna greška kod ponovljenog odabira uvijek manja nego kod ponovljenog odabira. Mehaničko uzorkovanje koristi se kada je opća populacija na neki način uređena (na primjer, spiskovi birača po abecednom redu, brojevi telefona, brojevi kuća i stanova). Odabir jedinica se vrši u određenom intervalu, koji je jednak inverznoj vrijednosti procenta uzorkovanja. Dakle, kod uzorka od 2% bira se svakih 50 jedinica = 1/0,02, a kod uzorka od 5% svakih 1/0,05 = 20 jedinica opšte populacije.

Referentna tačka se bira na različite načine: nasumično, od sredine intervala, sa promjenom referentne točke. Glavna stvar je izbjeći sistematske greške. Na primjer, kod uzorka od 5%, ako je prva jedinica 13., onda su sljedeće 33, 53, 73 itd.

U smislu tačnosti, mehanički odabir je blizak stvarnom slučajnom uzorkovanju. Iz tog razloga, za određivanje prosječne greške mehaničkog uzorkovanja, koriste se odgovarajuće formule slučajnog odabira.

At tipičan izbor populacija koja se anketira preliminarno je podijeljena u homogene, slične grupe. Na primjer, kada se anketiraju preduzeća, to su industrije, podsektori, kada se proučava stanovništvo, to su regije, društvene ili starosne grupe. Zatim se vrši nezavisna selekcija iz svake grupe mehanički ili čisto nasumično.

Tipično uzorkovanje daje preciznije rezultate od drugih metoda. Tipizacija opće populacije osigurava da je svaka tipološka grupa zastupljena u uzorku, što omogućava eliminaciju utjecaja međugrupne varijanse na prosječnu grešku uzorkovanja. Stoga je pri pronalaženju greške tipičnog uzorka prema pravilu sabiranja varijansi () izuzetno važno uzeti u obzir samo prosjek grupnih varijansi. Zatim prosječna greška uzorkovanja: s ponovljenim uzorkovanjem, sa uzorkovanjem koji se ne ponavlja , Gdje – prosjek varijansi unutar grupe u uzorku.

Serijski (ili gnijezdo) odabir koristi se kada je populacija podijeljena u serije ili grupe prije početka istraživanja uzorka. Ove serije uključuju pakovanje gotovih proizvoda, studentske grupe i brigade. Serije za ispitivanje se biraju mehanički ili čisto nasumično, au okviru serije vrši se kontinuirano ispitivanje jedinica. Iz tog razloga, prosječna greška uzorkovanja ovisi samo o međugrupnoj (između serija) varijansi, koja se izračunava pomoću formule: gdje je r broj odabranih serija; – prosjek i-te serije. Izračunava se prosječna greška serijskog uzorkovanja: sa ponovljenim uzorkovanjem, sa uzorkovanjem koji se ne ponavlja , gdje je R ukupan broj serija. Kombinovano selekcija je kombinacija razmatranih metoda selekcije.

Prosječna greška uzorkovanja za bilo koju metodu uzorkovanja uglavnom zavisi od apsolutne veličine uzorka i, u manjoj mjeri, od procenta uzorka. Pretpostavimo da je u prvom slučaju napravljeno 225 opservacija iz populacije od 4.500 jedinica, au drugom iz populacije od 225.000 jedinica. Varijance u oba slučaja su jednake 25. Tada će u prvom slučaju, uz odabir od 5%, greška uzorkovanja biti: U drugom slučaju, sa 0,1% odabira, to će biti jednako:

Međutim, kada je postotak uzorkovanja smanjen za 50 puta, greška uzorkovanja se neznatno povećala, jer se veličina uzorka nije mijenjala. Pretpostavimo da je veličina uzorka povećana na 625 opservacija. U ovom slučaju greška uzorkovanja je: Povećanje uzorka za 2,8 puta sa istom veličinom populacije smanjuje veličinu greške uzorkovanja za više od 1,6 puta.

22.Metode i metode za formiranje uzorka populacije.

U statistici se koriste različite metode formiranja populacija uzoraka, što je određeno ciljevima istraživanja i zavisi od specifičnosti predmeta proučavanja.

Osnovni uslov za sprovođenje uzorka je da se spreči pojava sistematskih grešaka koje proizilaze iz kršenja principa jednakih mogućnosti da svaka jedinica opšte populacije bude uključena u uzorak. Prevencija sistematskih grešaka postiže se korišćenjem naučno zasnovanih metoda za formiranje uzorka.

Postoje sljedeće metode za odabir jedinica iz opšte populacije: 1) individualna selekcija - pojedinačne jedinice se biraju za uzorak; 2) grupni odabir - uzorak obuhvata kvalitativno homogene grupe ili serije jedinica koje se proučavaju; 3) kombinovana selekcija je kombinacija individualne i grupne selekcije. Metode selekcije određene su pravilima za formiranje uzorka populacije.

Uzorak bi trebao biti:

• zapravo nasumično sastoji se u tome da se uzorkovana populacija formira kao rezultat slučajnog (nenamjernog) odabira pojedinačnih jedinica iz opće populacije. U ovom slučaju, broj jedinica odabranih u populaciji uzorka obično se određuje na osnovu prihvaćenog udjela uzorka. Proporcija uzorka je omjer broja jedinica u populaciji uzorka n prema broju jedinica u općoj populaciji N, ᴛ.ᴇ.

• mehanički sastoji se u tome da se izbor jedinica u populaciji uzorka vrši iz opće populacije, podijeljene u jednake intervale (grupe). U ovom slučaju, veličina intervala u populaciji jednaka je recipročnom udjelu uzorka. Dakle, kod uzorka od 2% bira se svaka 50. jedinica (1:0.02), kod uzorka od 5% svaka 20. jedinica (1:0.05) itd. Međutim, u skladu sa prihvaćenom proporcijom selekcije, opšta populacija je takoreći mehanički podijeljena u jednake grupe. Iz svake grupe se bira samo jedna jedinica za uzorak.
• tipično - u kojoj se opća populacija najprije dijeli na homogene tipične grupe. Zatim, iz svake tipične grupe, čisto slučajni ili mehanički uzorak se koristi za individualni odabir jedinica u populaciji uzorka. Važna karakteristika tipičnog uzorka je da daje tačnije rezultate u poređenju sa drugim metodama odabira jedinica u populaciji uzorka;
• serial- u kojem je opća populacija podijeljena na grupe jednake veličine - serije. Serije se biraju u populaciju uzorka. U okviru serije vrši se kontinuirano posmatranje jedinica uključenih u seriju;
• kombinovano- uzorkovanje treba da bude dvostepeno. U ovom slučaju, stanovništvo se prvo dijeli na grupe. Zatim se biraju grupe, au okviru ovih se biraju pojedinačne jedinice.

U statistici se razlikuju sljedeće metode za odabir jedinica u populaciji uzorka:

• single stage uzorkovanje - svaka odabrana jedinica se odmah podvrgava proučavanju prema datom kriterijumu (pravilno nasumično i serijsko uzorkovanje);
• višestepeni uzorkovanje - vrši se selekcija iz opšte populacije pojedinačnih grupa, a pojedinačne jedinice se biraju iz grupa (tipično uzorkovanje sa mehaničkom metodom odabira jedinica u populaciju uzorka).

Osim toga, postoje:

• ponovna selekcija- prema šemi vraćene lopte. U ovom slučaju, svaka jedinica ili serija uključena u uzorak se vraća u opštu populaciju i stoga ima šansu da ponovo bude uključena u uzorak;
• ponovite odabir- prema šemi nevraćene lopte. Ima preciznije rezultate sa istom veličinom uzorka.

23. Određivanje izuzetno važne veličine uzorka (koristeći Studentovu t-tabelu).

Jedan od naučnih principa u teoriji uzorkovanja je osigurati da se odabere dovoljan broj jedinica. Teoretski, izuzetna važnost poštivanja ovog principa prikazana je u dokazima graničnih teorema u teoriji vjerovatnoće, koji omogućavaju da se utvrdi koji volumen jedinica treba izabrati iz populacije da bude dovoljan i osigura reprezentativnost uzorka.

Smanjenje standardne greške uzorkovanja, a samim tim i povećanje tačnosti procjene, uvijek je povezano s povećanjem veličine uzorka, stoga je već u fazi organiziranja promatranja uzorka potrebno odlučiti koja je veličina populacije uzorka treba da bude kako bi se osigurala potrebna tačnost rezultata posmatranja. Proračun izuzetno važnog volumena uzorka konstruiran je korištenjem formula izvedenih iz formula za maksimalne greške uzorkovanja (A), koje odgovaraju određenom tipu i načinu odabira. Dakle, za slučajni ponovljeni uzorak (n) imamo:

Suština ove formule je da je kod nasumičnih ponovljenih uzorkovanja izuzetno važnih brojeva veličina uzorka direktno proporcionalna kvadratu koeficijenta pouzdanosti (t2) i varijansu varijacione karakteristike (?2) i obrnuto je proporcionalna kvadratu maksimalne greške uzorkovanja (?2). Konkretno, sa povećanjem maksimalne greške za faktor dva, potrebna veličina uzorka treba biti smanjena za faktor četiri. Od tri parametra, dva (t i?) postavlja istraživač. Istovremeno, istraživač na osnovu cilja

a problemi uzorka istraživanja moraju riješiti pitanje: u koju kvantitativnu kombinaciju je bolje uključiti ove parametre kako bi se osigurala optimalna opcija? U jednom slučaju može biti više zadovoljan pouzdanošću dobijenih rezultata (t) nego mjerom tačnosti (?), u drugom - obrnuto. Teže je riješiti pitanje vrijednosti maksimalne greške uzorkovanja, budući da istraživač nema ovaj indikator u fazi dizajniranja promatranja uzorka, pa je u praksi uobičajeno postaviti vrijednost maksimalne greške uzorkovanja. , obično unutar 10% od očekivanog prosječnog nivoa atributa . Ustanovljavanju procijenjenog prosjeka može se pristupiti na različite načine: korištenjem podataka iz sličnih prethodnih istraživanja ili korištenjem podataka iz okvira uzorkovanja i provođenjem malog pilot uzorka.

Najteže je utvrditi prilikom dizajniranja opservacije uzorka treći parametar u formuli (5.2) – varijansa populacije uzorka. U ovom slučaju izuzetno je važno koristiti sve informacije dostupne istraživaču, dobijene u prethodnim sličnim i pilot anketama.

Pitanje određivanja izuzetno važne veličine uzorka postaje komplikovanije ako istraživanje uzorka uključuje proučavanje nekoliko karakteristika jedinica uzorka. U ovom slučaju, prosječni nivoi svake od karakteristika i njihova varijacija su, po pravilu, različiti, pa je u tom pogledu odlučivanje kojoj varijaciji kojoj od karakteristika dati prednost moguće je samo uzimajući u obzir svrhu i ciljeve ankete.

Prilikom dizajniranja opservacije uzorka, pretpostavlja se unaprijed određena vrijednost dozvoljene greške uzorkovanja u skladu sa ciljevima određene studije i vjerovatnoćom zaključaka na osnovu rezultata posmatranja.

Općenito, formula za maksimalnu grešku prosjeka uzorka nam omogućava da odredimo:

‣‣‣ veličina mogućih odstupanja indikatora opšte populacije od pokazatelja populacije uzorka;

‣‣‣ potrebnu veličinu uzorka kako bi se osigurala potrebna tačnost, pri kojoj granice moguće greške ne prelaze određenu specificiranu vrijednost;

‣‣‣ vjerovatnoća da će greška u uzorku imati određeno ograničenje.

Distribucija studenata u teoriji vjerovatnoće, to je jednoparametarska porodica apsolutno kontinuiranih distribucija.

24. Dinamički niz (interval, trenutak), završni dinamički niz.

Serija Dynamics- to su vrijednosti statističkih pokazatelja koji se prikazuju određenim hronološkim redoslijedom.

Svaka vremenska serija sadrži dvije komponente:

1) indikatori vremenskih perioda(godine, kvartali, mjeseci, dani ili datumi);

2) indikatori koji karakterišu objekt koji se proučava za vremenske periode ili na odgovarajuće datume, koji se nazivaju nivoi serije.

Nivoi serije su izraženi u apsolutnim i prosječnim ili relativnim vrijednostima. Uzimajući u obzir ovisnost o prirodi pokazatelja, grade se dinamičke serije apsolutnih, relativnih i prosječnih vrijednosti. Dinamičke serije relativnih i prosječnih vrijednosti konstruiraju se na osnovu izvedenih serija apsolutnih vrijednosti. Postoje intervalne i momentne serije dinamike.

Dinamičke intervalne serije sadrži vrijednosti indikatora za određene vremenske periode. U intervalnoj seriji, nivoi se mogu sumirati kako bi se dobio volumen fenomena u dužem periodu, ili takozvani akumulirani ukupni iznosi.

Serija dinamičkih trenutaka odražava vrijednosti indikatora u određenom trenutku (datum u vremenu). U serijama trenutaka, istraživača može zanimati samo razlika u pojavama koja odražava promjenu nivoa serije između određenih datuma, budući da ovdje zbir nivoa nema pravi sadržaj. Ovdje se ne izračunavaju kumulativni zbroji.

Najvažniji uslov za ispravnu konstrukciju vremenskih serija je uporedivost nivoa serije koji pripadaju različitim periodima. Nivoi moraju biti predstavljeni u homogenim količinama i mora postojati jednaka potpunost obuhvata različitih delova fenomena.

Kako bi se izbjeglo izobličenje realne dinamike, u statističkim istraživanjima vrše se preliminarni proračuni (zatvaranje dinamike serije), koji prethode statističkoj analizi vremenske serije. Ispod zatvaranje serije dinamike Općenito je prihvaćeno razumijevanje kombinacije u jednu seriju od dvije ili više serija, čiji se nivoi izračunavaju različitom metodologijom ili ne odgovaraju teritorijalnim granicama itd. Zatvaranje dinamičkog niza takođe može podrazumevati dovođenje apsolutnih nivoa dinamičkog niza na zajedničku osnovu, čime se neutrališe neuporedivost nivoa dinamičkih serija.

25. Koncept uporedivosti dinamičkih serija, koeficijenata, stopa rasta i rasta.

Serija Dynamics- ovo su niz statističkih pokazatelja koji karakterišu razvoj prirodnih i društvenih pojava tokom vremena. Statističke zbirke koje izdaje Državni komitet za statistiku Rusije sadrže veliki broj dinamičkih serija u tabelarnom obliku. Dinamičke serije omogućavaju identifikaciju obrazaca razvoja fenomena koji se proučavaju.

Serija Dynamics sadrži dvije vrste indikatora. Indikatori vremena(godine, kvartali, mjeseci, itd.) ili tačke u vremenu (na početku godine, na početku svakog mjeseca, itd.). Indikatori nivoa reda. Pokazatelji nivoa dinamike serije mogu se izraziti u apsolutnim vrijednostima (proizvodnja proizvoda u tonama ili rubljama), relativnim vrijednostima (udio gradskog stanovništva u %) i prosječnim vrijednostima (prosječna plata radnika u industriji po godinama , itd.). U tabelarnom obliku, vremenska serija sadrži dvije kolone ili dva reda.

Ispravna konstrukcija vremenskih serija zahtijeva ispunjenje niza zahtjeva:

1. svi pokazatelji niza dinamike moraju biti naučno potkrijepljeni i pouzdani;
2. indikatori niza dinamike moraju biti uporedivi tokom vremena, ᴛ.ᴇ. moraju biti izračunati za iste vremenske periode ili na iste datume;
3. indikatori niza dinamike moraju biti uporedivi na cijeloj teritoriji;
4. indikatori niza dinamike moraju biti uporedivi po sadržaju, ᴛ.ᴇ. obračunava se prema jedinstvenoj metodologiji, na isti način;
5. indikatori određenog broja dinamika trebali bi biti uporedivi za čitav niz farmi koje se uzimaju u obzir. Svi pokazatelji serije dinamike moraju biti dati u istim mjernim jedinicama.

Statistički pokazatelji mogu karakterizirati ili rezultate procesa koji se proučava u određenom vremenskom periodu, ili stanje fenomena koji se proučava u određenom trenutku, ᴛ.ᴇ. indikatori mogu biti intervalni (periodični) i trenutni. Prema tome, u početku su dinamičke serije ili intervalne ili momentalne. Serija dinamike momenta, zauzvrat, dolazi sa jednakim i nejednakim vremenskim intervalima.

Izvorni niz dinamike može se transformirati u niz prosječnih vrijednosti i niz relativnih vrijednosti (lančane i osnovne). Takve vremenske serije se nazivaju izvedene vremenske serije.

Metodologija za izračunavanje prosječnog nivoa u dinamičkoj seriji je različita, ovisno o vrsti dinamičke serije. Koristeći primjere, razmotrit ćemo vrste dinamičkih serija i formule za izračunavanje prosječnog nivoa.

Apsolutna povećanja (Δy) pokazuje koliko se jedinica promijenio sljedeći nivo serije u odnosu na prethodni (gr. 3. - lanac apsolutnih povećanja) ili u odnosu na početni nivo (gr. 4. - osnovni apsolutni porast). Formule proračuna se mogu napisati na sljedeći način:

Kada se apsolutne vrijednosti serije smanje, doći će do „smanjivanja“ odnosno „smanjenja“.

Apsolutni pokazatelji rasta ukazuju da je, na primjer, 1998. god. proizvodnja proizvoda "A" porasla je u odnosu na 1997. godinu. za 4 hiljade tona, au odnosu na 1994. godinu ᴦ. - za 34 hiljade tona; za ostale godine vidi tabelu. 11,5 gr.
Objavljeno na ref.rf
3 i 4.

Stopa rasta pokazuje koliko se puta nivo serije promenio u odnosu na prethodni (gr. 5 - lančani koeficijenti rasta ili opadanja) ili u odnosu na početni nivo (gr. 6 - osnovni koeficijenti rasta ili pada). Formule proračuna se mogu napisati na sljedeći način:

Stope rasta pokazuju u kom procentu je sledeći nivo serije u poređenju sa prethodnim (gr. 7 - lančane stope rasta) ili u poređenju sa početnim nivoom (gr. 8 - osnovne stope rasta). Formule proračuna se mogu napisati na sljedeći način:

Tako je, na primjer, 1997. obim proizvodnje proizvoda "A" u odnosu na 1996. ᴦ. iznosio 105,5% (

Stopa rasta pokazuju za koji procenat je povećan nivo izvještajnog perioda u odnosu na prethodni (kolona 9 - lančane stope rasta) ili u odnosu na početni nivo (kolona 10 - osnovne stope rasta). Formule proračuna se mogu napisati na sljedeći način:

T pr = T r - 100% ili T pr = apsolutni rast / nivo prethodnog perioda * 100%

Tako je, na primjer, 1996. u poređenju sa 1995. ᴦ. Proizvod "A" proizveden je više za 3,8% (103,8% - 100%) ili (8:210) x 100% u odnosu na 1994. godinu ᴦ. - za 9% (109% - 100%).

Ako se apsolutni nivoi u nizu smanje, tada će stopa biti manja od 100% i, shodno tome, postojaće stopa smanjenja (stopa povećanja sa predznakom minus).

Apsolutna vrijednost od 1% povećanja(gr.
Objavljeno na ref.rf
11) pokazuje koliko jedinica je potrebno proizvesti u datom periodu da se nivo prethodnog perioda poveća za 1%. U našem primjeru, 1995. ᴦ. bilo je potrebno proizvesti 2,0 hiljade tona, a 1998. ᴦ. - 2,3 hiljade tona, ᴛ.ᴇ. mnogo veći.

Apsolutna vrijednost rasta od 1% može se odrediti na dva načina:

§ nivo prethodnog perioda podijeljen sa 100;

§ apsolutna povećanja lanca su podijeljena sa odgovarajućim stopama rasta lanca.

Apsolutna vrijednost povećanja od 1% =

U dinamici, posebno u dužem periodu, važna je zajednička analiza stope rasta sa sadržajem svakog procenta povećanja ili smanjenja.

Imajte na umu da je razmatrana metodologija za analizu vremenskih serija primjenjiva kako za vremenske serije čiji su nivoi izraženi u apsolutnim vrijednostima (t, hiljada rubalja, broj zaposlenih, itd.), tako i za vremenske serije čiji su nivoi izražavaju se u relativnim pokazateljima (% nedostataka, % pepela u uglju itd.) ili prosječnim vrijednostima (prosječan prinos u c/ha, prosječna plata i sl.).

Uz razmatrane analitičke pokazatelje, izračunate za svaku godinu u poređenju sa prethodnim ili početnim nivoom, pri analizi dinamičkih serija izuzetno je važno izračunati prosječne analitičke pokazatelje za period: prosječni nivo serije, prosječni godišnji apsolutni povećanje (smanjenje) i prosječna godišnja stopa rasta i stopa rasta .

Metode za izračunavanje prosječnog nivoa serije dinamike su razmatrane gore. U nizu dinamike intervala koji razmatramo, prosječni nivo serije izračunava se pomoću jednostavne aritmetičke srednje formule:

Prosječni godišnji obim proizvodnje proizvoda za 1994-1998. iznosio je 218,4 hiljade tona.

Prosječni godišnji apsolutni rast se također izračunava pomoću formule aritmetičke sredine

Standardna devijacija - pojam i vrste. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Srednja kvadratna devijacija" 2017, 2018.

Excel program visoko cijene i profesionalci i amateri, jer s njim mogu raditi korisnici bilo kojeg nivoa vještina. Na primjer, svako s minimalnim "komunikacijskim" vještinama u Excelu može nacrtati jednostavan grafikon, napraviti pristojnu ploču itd.

Istovremeno, ovaj program vam čak omogućava izvođenje različitih vrsta proračuna, na primjer, proračuna, ali to zahtijeva malo drugačiji nivo obuke. Međutim, ako ste tek počeli da se pobliže upoznajete s ovim programom i zanima vas sve što će vam pomoći da postanete napredniji korisnik, ovaj članak je za vas. Danas ću vam reći koja je formula standardne devijacije u Excelu, zašto je uopće potrebna i, strogo govoreći, kada se koristi. Idi!

Šta je to

Počnimo s teorijom. Standardna devijacija se obično naziva kvadratnim korijenom dobivenim iz aritmetičke sredine svih kvadratnih razlika između dostupnih veličina, kao i njihove aritmetičke sredine. Inače, ova vrijednost se obično naziva grčkim slovom "sigma". Standardna devijacija se izračunava pomoću formule STANDARDEVAL, shodno tome program to radi za samog korisnika.

Suština ovog koncepta je da identifikuje stepen varijabilnosti instrumenta, odnosno da je on na svoj način indikator izveden iz deskriptivne statistike. On identifikuje promene u volatilnosti instrumenta tokom određenog vremenskog perioda. STDEV formule mogu se koristiti za procjenu standardne devijacije uzorka, zanemarujući Boolean i tekstualne vrijednosti.

Formula

Formula koja se automatski daje u Excelu pomaže pri izračunavanju standardne devijacije u Excelu. Da biste ga pronašli, morate pronaći odjeljak formule u Excelu, a zatim odabrati onaj koji se zove STANDARDEVAL, tako da je vrlo jednostavno.

Nakon toga, ispred vas će se pojaviti prozor u koji ćete morati unijeti podatke za obračun. Konkretno, u posebna polja treba unijeti dva broja, nakon čega će program sam izračunati standardnu ​​devijaciju za uzorak.

Bez sumnje, matematičke formule i proračuni su prilično složeno pitanje i ne mogu se svi korisnici odmah nositi s njim. Međutim, ako zakopate malo dublje i malo detaljnije pogledate problem, ispostaviće se da nije sve tako tužno. Nadam se da ste se u to uvjerili na primjeru izračunavanja standardne devijacije.

Video za pomoć

$X$. Za početak, podsjetimo se sljedeće definicije:

Definicija 1

Populacija-- skup nasumično odabranih objekata date vrste, nad kojima se provode opservacije kako bi se dobile specifične vrijednosti slučajne varijable, koje se provode pod konstantnim uvjetima pri proučavanju jedne slučajne varijable datog tipa.

Definicija 2

Opšta varijansa-- aritmetička sredina kvadrata odstupanja vrijednosti varijante populacije od njihove srednje vrijednosti.

Neka vrijednosti opcije $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ imaju, respektivno, frekvencije $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Tada se opća varijansa izračunava pomoću formule:

Razmotrimo poseban slučaj. Neka su sve opcije $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ različite. U ovom slučaju $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Nalazimo da se u ovom slučaju opća varijansa izračunava pomoću formule:

Ovaj koncept je takođe povezan sa konceptom opšte standardne devijacije.

Definicija 3

Opća standardna devijacija

\[(\sigma )_g=\sqrt(D_g)\]

Varijanca uzorka

Neka nam je data populacija uzorka u odnosu na slučajnu varijablu $X$. Za početak, podsjetimo se sljedeće definicije:

Definicija 4

Populacija uzorka-- dio odabranih objekata iz opće populacije.

Definicija 5

Varijanca uzorka-- aritmetička sredina vrijednosti populacije uzorka.

Neka vrijednosti opcije $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ imaju, respektivno, frekvencije $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Zatim se varijansa uzorka izračunava pomoću formule:

Razmotrimo poseban slučaj. Neka su sve opcije $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ različite. U ovom slučaju $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Nalazimo da se u ovom slučaju varijansa uzorka izračunava pomoću formule:

Takođe je povezan sa ovim konceptom koncept standardne devijacije uzorka.

Definicija 6

Standardna devijacija uzorka-- kvadratni korijen opće varijanse:

\[(\sigma )_v=\sqrt(D_v)\]

Ispravljena varijansa

Da biste pronašli ispravljenu varijansu $S^2$ potrebno je pomnožiti varijansu uzorka sa razlomkom $\frac(n)(n-1)$, tj.

Ovaj koncept je također povezan s konceptom korigirane standardne devijacije, koji se nalazi po formuli:

U slučaju kada vrijednosti varijanti nisu diskretne, već predstavljaju intervale, tada se u formulama za izračunavanje općih ili uzoraka varijansi vrijednost $x_i$ uzima kao vrijednost sredine intervala do kojoj pripada $x_i.$.

Primjer problema za pronalaženje varijanse i standardne devijacije

Primjer 1

Populacija uzorka definirana je sljedećom tablicom distribucije:

Slika 1.

Pronađimo za njega varijansu uzorka, standardnu ​​devijaciju uzorka, ispravljenu varijansu i korigovanu standardnu ​​devijaciju.

Da bismo riješili ovaj problem, prvo napravimo tablicu proračuna:

Slika 2.

Vrijednost $\overline(x_v)$ (prosjek uzorka) u tabeli nalazi se po formuli:

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15,25\]

Nađimo uzorak varijanse koristeći formulu:

Standardna devijacija uzorka:

\[(\sigma )_v=\sqrt(D_v)\približno 5,12\]

Ispravljena varijansa:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_v=\frac(20)(19)\cdot 26.1875\približno 27.57\]

Ispravljena standardna devijacija.