Statističke formule prosječnih vrijednosti. Suština i značenje prosjeka u statistici. Vrste prosjeka. Kvadratni koeficijent varijacije

Predavanje 5. Prosječne vrijednosti

Koncept prosječne veličine u statistici

Aritmetička sredina i njena svojstva

Druge vrste proseka snage

Mod i medijan

Kvartili i decili

Široko rasprostranjena u statistici imaju prosječne vrijednosti. Prosječne vrijednosti karakteriziraju kvalitativne pokazatelje komercijalne djelatnosti: troškove distribucije, profit, profitabilnost itd.

Prosjek- Ovo je jedna od uobičajenih tehnika generalizacije. Ispravno razumijevanje suštine prosjeka određuje njegov poseban značaj u datim uslovima tržišnu ekonomiju, kada nam prosek kroz individualno i nasumično omogućava da identifikujemo opšte i neophodno, da identifikujemo tendenciju obrazaca ekonomski razvoj.

prosječna vrijednost- ovo su generalizujući indikatori u kojima se izražavaju efekti opštih uslova i obrazaca fenomena koji se proučava.

prosječna vrijednost (u statistici) – opšti pokazatelj koji karakteriše tipičnu veličinu ili nivo društvenih pojava po jedinici stanovništva, pod svim ostalim jednakim uslovima.

Metodom prosjeka može se riješiti sljedeće: glavni ciljevi:

1. Karakteristike stepena razvijenosti pojava.

2. Poređenje dva ili više nivoa.

3. Proučavanje međuodnosa društveno-ekonomskih pojava.

4. Analiza položaja društveno-ekonomskih pojava u prostoru.

Statistički prosjeci se izračunavaju na osnovu masovnih podataka iz pravilno statistički organizovanog posmatranja mase (kontinuirano i selektivno). Međutim, statistički prosjek će biti objektivan i tipičan ako se izračuna iz masovnih podataka za kvalitativno homogenu populaciju (masovne pojave). Na primjer, ako izračunate prosjek plate u zadrugama i državnim preduzećima, a rezultat se proširi na cjelokupnu populaciju, onda je prosjek fiktivan, pošto je izračunat na osnovu heterogene populacije i takav prosjek gubi svaki smisao.

Uz pomoć prosjeka izglađuju se razlike u vrijednosti neke karakteristike koje iz ovog ili onog razloga nastaju u pojedinim jedinicama posmatranja. Na primjer, prosječna produktivnost prodavača zavisi od više razloga: kvalifikacije, dužina radnog staža, godine, oblik usluge, zdravlje itd.

Suština prosjeka je u tome što on poništava odstupanja karakterističnih vrijednosti pojedinih jedinica populacije uzrokovane djelovanjem slučajnih faktora, te uzima u obzir promjene uzrokovane djelovanjem glavnih faktora. Ovo omogućava da prosjek odražava tipičan nivo osobine i apstrahuje od individualnih karakteristika svojstvenih pojedinačnim jedinicama.

Prosječna vrijednost je odraz vrijednosti karakteristike koja se proučava, stoga se mjeri u istoj dimenziji kao i ova karakteristika.

Svaka prosječna vrijednost karakterizira populaciju koja se proučava prema bilo kojoj osobini. Da bi se postiglo potpuno i sveobuhvatno razumijevanje populacije koja se proučava prema nizu bitnih karakteristika, općenito je potrebno imati sistem prosječnih vrijednosti koji može opisati fenomen iz različitih uglova.

Postoje različiti proseci:

Aritmetička sredina;

Geometrijska sredina;

Harmonična sredina;

Srednji kvadrat;

Prosječno hronološki.

6.1. METODOLOŠKA UPUTSTVA

Prosjek je oblik statističkog indikatora.

Prosječna vrijednost je izglađena pojedinac karakteristike pojedinih jedinica stanovništva, međutim glavna stvar je otkrivena, osnovno, tipično, koje karakteriše totalitet u celini.

Prosječna vrijednost - Ovo generalizirajući indikator koji karakteriše tipično nivo različitih karakteristika po jedinici kvalitativno homogena agregati pod određenim uslovima mesta i vremena.

Generaliziranje indikator je indikator koji karakterizira populaciju u cjelini.

Homogene skup je skup čije se jedinice formiraju pod uticajem zajedničkih temeljnih uzroka i uslova razvoja koji određuju opšti nivo date karakteristike, karakteristike celokupne populacije koja se proučava.

Prosječna vrijednost izračunata kvalitativno heterogena zbirno, fiktivno, neselektivno.

Obavezni uslovi za izračunavanje prosječnih vrijednosti

• 1. Prosječnu vrijednost treba izračunati na osnovu:
  • a) kvalitativno homogena populacija;
  • b) masivni pouzdani podaci;
  • c) uporedivi podaci (po teritoriji, vremenu, mjernim jedinicama, metodama proračuna, itd.).
• 2. Opća prosječna vrijednost se nužno mora dopuniti drugim prosječnim vrijednostima izračunatim za pojedine grupe, pojedinačnim vrijednostima karakteristike koja se prosječuje i prosjecima ostalih pokazatelja.

Usklađenost sa ovim uslovima će nam omogućiti da dobijemo objektivan opis fenomena i donesemo ispravnu upravljačku odluku.

Na primjer, u 2015. godini prosječne mjesečne nominalne obračunate plate u Ruska Federacija u privredi u cjelini iznosio je 34.030 rubalja, uključujući 15.758 rubalja. u proizvodnji tekstila i odjeće (ovo je najniža plata), 81.605 rubalja. - u proizvodnji koksa i naftnih derivata (najveće plate).

U ekonomskoj praksi koriste različite vrste proseci, koji su podeljeni u dve grupe: proseci snage i strukturni proseci.

Prosjeci snage:

• 1) aritmetička sredina;
• 2) harmonska sredina;
• 3) geometrijska sredina;
• 4) srednji kvadrat;
• 5) prosječna kubika itd.

Strukturni proseci: moda; medijana; kvartili; decili, itd. (o tome će biti reči u Poglavlju 7).

Izbor određene formule za izračunavanje prosječne vrijednosti ovisi o:

• 1) od semantička formula, one. suština prosječne karakteristike, njen sadržaj, odnos sa konačnim (definirajućim) indikatorom;
• 2) podatke koji su dostupni istraživaču;
• 3) stepen varijacije (fluktuacije) karakteristike koja se usrednjuje.

Final (definisanje) indeks - ovo je pokazatelj, vrijednost

što se neće promijeniti ako se sve pojedinačne vrijednosti karakteristike (Xj) zamijene prosječnom vrijednošću X.

Indikator koji određuje je ili u brojniku ili u nazivniku semantičke formule.

Pitanje. Kako kreirati semantičku formulu za izračunavanje prosjeka OV?

Savjet iskusnog statističara. Semantička (logička) formula za izračunavanje prosječne vrijednosti iz relativno indikatori se poklapaju

sa formulom za izračunavanje relativno indikator.

Semantička formula prosječan procenat nedostataka poklapa se sa formulom izračuna relativna veličina strukture(udio nedostataka u ukupnom obimu proizvodnje):

Postoji određeni kvantitativni odnos između proseka snage, koji se naziva pravilo većine:

Pitanje. Da li je moguće zamijeniti jednu formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti drugom i u kom slučaju?

Savjet iskusnog statističara. Ako je varijabilnost znaka mali,

ako su vrijednosti karakteristike (X|) bliske jedna drugoj, onda je složenija

prosječna vrijednost se može zamijeniti jednostavnijom.

Na primjer, umjesto geometrijske sredine, koristite aritmetičku sredinu.

Ovo poglavlje će ispitati dvije vrste prosjeka: aritmetičku sredinu i harmonijsku sredinu.

Ostale vrste prosjeka će se proučavati u narednim poglavljima radionice.

U tabeli 6.1 prikazane su osnovne formule za izračunavanje aritmetičke sredine i harmonijske sredine.

Tabela 6.1

Izračunavanje aritmetičke sredine i harmonijske sredine

Tip srednje veličine	Formula za izračun
Jednostavna aritmetička sredina	X je vrijednost prosječne karakteristike za pojedinačne jedinice populacije; n je broj jedinica u populaciji koja se proučava ili broj vrijednosti karakteristike koja se prosječuje. Koristi se ako: 1) podaci nisu grupisani; 2) težine svih opcija (/) su jednake jedna drugoj; 3) o vagi se ništa ne zna
Ponderisan aritmetički prosjek	/ - broj jedinica koje imaju datu vrijednost karakteristike koja se prosječuje, težina, komjernik
	d- udio jedinica koje imaju određenu vrijednost prosječne karakteristike, težina

Kraj

U praksi ekonomskih proračuna najčešće se koristi prosjek. aritmetika veličina.

Tabela 6.2 opisuje određena svojstva aritmetičke sredine, koja se široko koriste za kontrolu i pojednostavljenje proračuna.

Tabela 6.2

Svojstva aritmetičke sredine

Svojstvo aritmetičke sredine	Formula
1. Bilo koji prosječna vrijednost ne može biti manja najniža vrijednost prosječna karakteristika i više najveća vrijednost Ukupno
2. Ako svaki vrijednost karakteristike se povećava ili smanjuje za isti broj, tada će se prosječna vrijednost u skladu s tim promijeniti
3. Ako svaki vrijednost karakteristike se povećava ili smanjuje za isti broj puta, tada će se prosječna vrijednost shodno tome promijeniti
4. Ako težina sve opcije se pomnože ili podijele sa istim brojem, tada se prosječna vrijednost neće promijeniti
Zaključak: pri izračunavanju prosjeka, specifična težina se može koristiti kao ponderi
5. Zbir odstupanja pojedinačnih opcija od njihovog prosjeka je nula

Proračun prosječne vrijednosti metodom momenata

Svojstva aritmetičke sredine omogućavaju pojednostavljenje izračunavanja prosječnih vrijednosti, posebno za diskretno varijacionih serija, kao i za interval redova sa jednakima u intervalima. Ilustrirajmo to primjerom.

Tabela 6.3

Proizvodnja radnika, kom./osoba.	Srednji interval	Broj radnika, ljudi/	x-x 0, x 0 = 50	h 'h = 20
80 i više (80-100)

Rješenje. Tabela 6.3 predstavlja niz intervalnih varijacija sa jednaka u intervalima. Kao vrijednost atributa (x) uzimamo sredinu svakog intervala (kolona 1).

Složimo se da će širina otvorenog intervala biti jednaka širini zatvorenog intervala koji se nalazi uz njega.

Izračunajmo prosječan učinak tima radnika na uobičajen (nepojednostavljen) način:

Proračuni su prikazani u kolonama 3, 4 tabele. 6.3.

2. Izračunajte uslovni prosek (prosek transformisanih opcija):

Proračuni su prikazani u koloni 5 tabele. 6.3.

3. Pređimo sa uslovnog prosjeka (x) na stvarni (x), za koji obrnutim redosledom hajde da izvršimo operacije sa kojima smo radili X

Rezultat se poklapa sa proračunom neuprošćenom metodom.

Savjet iskusnog statističara. Ako je serija varijacija sa jednaka intervalima, onda kolone 1 i 3 tabele ne treba računati. Odmah nakon kolone 2 (/-frekvencije) popunjavamo kolonu x." U centar ove kolone upisujemo 0. Sredina ovog intervala će biti x 0, a širina intervala će biti h(Tabela 6.4).

Tabela 6.4

Proračun prosječne proizvodnje metodom momenata

6.2. RJEŠAVANJE TIPIČNIH PROBLEMA

Problem 6.1. Izračunajte prosječnu mjesečnu zaradu radnika preduzeća u tekućoj godini prema podacima u tabeli. 6.5.

Rješenje. Izračunavanje prosječne vrijednosti mora početi pisanjem semantičke formule.

Semantički (.logicno) formula prosječne plate:

Algoritam (formula za obračun) za prosječnu platu ovisi o tome kakvim statističkim podacima istraživač raspolaže.

Razmotrimo nekoliko opcija.

I opcija. Ako se zna da je u tekućoj godini fond zarada radnika preduzeća za mjesec iznosio 2804 hiljade rubalja, a u preduzeću su radile 72 osobe, onda se prosječna plata može izračunati direktnom zamjenom u semantičku formulu 6.2 nama poznati podaci o fondu zarada i broju radnika:

Zaključak. Ove godine radnici u preduzeću primali su u prosjeku 38,9 hiljada rubalja mjesečno.

Opcija II. Poznati su podaci o platama i broju radnika za pojedine radionice preduzeća (tabela 6.5).

Tabela 6.5

Platni spisak i broj radnika u pojedinačnim radionicama preduzeća mjesečno

Rješenje. Semantička (logička) formula prosječne plate se nije promijenila (formula 6.2). Međutim, ni brojnik ni nazivnik semantičke formule direktno nepoznati, ali se mogu izračunati koristeći podatke u tabeli. 6.5.

Hajde da izaberemo simboli(Tabela 6.6).

Za izračunavanje brojioca semantičke formule - „Fond zarada radnika preduzeća“, potrebno je svakome radionica preduzeća, pomnožite plate radnika (X) sa brojem radnika (/), a zatim, dobijete fond zarada za svaku radionicu (Xf), zbrojite njihove vrijednosti, izračunavajući na taj način fond zarada za preduzeće u cjelini:

Rezultati proračuna prikazani su u tabeli. 6.6.

Tabela 6.6

Obračun prosječne mjesečne plate radnika preduzeća (aritmetički ponderisani prosjek)

Tada će prosječna plata za preduzeće (X) biti jednaka:

Prosječna plata je izračunata primjenom prosječne formule aritmetika ponderisano.

Pitanje. S kojom tačnošću treba izračunati prosječnu vrijednost?

Savjet iskusnog statističara. Stepen tačnosti u izračunavanju prosječne vrijednosti trebao bi biti veći od stepena tačnosti prosječnih pokazatelja, posebno kada su njihove vrijednosti male.

U našem slučaju, zarade za pojedinačne radionice preduzeća izračunavaju se tačno na ceo broj (32; 48; 39), a prosečna zarada - od više visok stepen tačnost, do desetine broja (38,9).

Pitanje. Da li je moguće provjeriti ispravnost izračuna prosječne vrijednosti?

Savjet iskusnog statističara.Bilo koji prosječna vrijednost mora biti veća od minimalne vrijednosti i manja maksimalna vrijednost karakteristika koja se prosječuje (osobina bilo koje prosječne vrijednosti):

U našem slučaju, ovaj uslov je ispunjen:

Shodno tome, nije bilo grube greške u proračunima.

Zaključak. Ove godine prosječna mjesečna plata radnika preduzeća iznosila je 38,9 hiljada rubalja. Najveće plate bile su u radionici br. 2 - 48 hiljada rubalja po osobi, a najniže u radionici br. 1 - 32 hiljade rubalja po osobi.

Pitanje. Koju formulu treba koristiti za izračunavanje prosječne vrijednosti ako samo imenilac semantička formula, ali brojnik nije poznat, ali može li se izračunati?

Savjet iskusnog statističara. Samo ako je poznato imenilac semantička formula, a brojilac nije poznat, ali se može izračunati; prosječna vrijednost se izračunava pomoću prosječne formule aritmetika ponderisano:

III opcija. Poznati su podaci o platama i fondu zarada radnika za pojedine radionice preduzeća za mjesec (tabela 6.7).

Tabela 6.7

Platni spisak i broj radnika u pojedinačnim radionicama preduzeća mjesečno

Rješenje. Semantička (logička) formula za prosječne plate ostaje ista (6.2).

Međutim, ni brojnik ni nazivnik semantičke formule direktno nepoznato. Ali oni se mogu izračunati prema podacima u tabeli. 6.7.

Da bi se izračunao nazivnik semantičke formule - „Broj radnika preduzeća“, potrebno je svakome radionica za podjelu platnog fonda ( M) po broju radnika (X) i dodajte dobijene podatke:

Rezultati proračuna prikazani su u tabeli. 6.8.

Tabela 6.8

Obračun prosječne mjesečne plate radnika preduzeća (ponderisani harmonični prosjek)

Proračun je napravljen korištenjem ponderirane harmonijske srednje formule.

pregled:

Pitanje. Koju formulu treba koristiti za izračunavanje prosječne vrijednosti ako je samo brojilac semantička formula, ali nazivnik nije poznat, ali se može izračunati?

Savjet iskusnog statističara. Samo ako je poznato brojilac semantička formula, a nazivnik nije poznat, ali se može izračunati; prosjek se izračunava pomoću formule prosjeka harmonic ponderisano:

IV opcija. Moguće je da podaci ni o fondu zarada ni o broju radnika nisu poznati i da se ne mogu izračunati. Međutim, podaci o platama su poznati za svaku radionicu preduzeća, tj. date su vrijednosti prosječne karakteristike (xj) (tabela 6.9).

Tabela 6.9

Plate radnika preduzeća mjesečno

Rješenje. U ovom slučaju, prosječna plata se izračunava pomoću prosječne formule aritmetički jednostavna na osnovu podataka o plaćama (bez uzimanja u obzir informacija o broju radnika):

pregled:

Pitanje. Ali koja formula može izračunati prosječnu vrijednost ako znamo samo vrijednosti karakteristike se prosječuju u pojedinim jedinicama stanovništva?

Savjet iskusnog statističara Ako nisu poznati ni brojnik ni nazivnik semantičke formule, ali su poznate vrijednosti prosječne karakteristike za pojedine jedinice populacije, prosječna vrijednost se izračunava pomoću prosječne formule aritmetički jednostavna:

Kao što vidimo, plate izračunate pomoću formule aritmetičkog prosjeka jednostavno i aritmetička sredina ponderisano, ne poklapaju se kvantitativno:

Savjet iskusnog statističara. Aritmetička sredina ponderisano uvijek daje tačniji rezultat od aritmetičke sredine jednostavno, budući da uzima u obzir više faktora koji određuju vrijednost prosječne vrijednosti.

U našem slučaju, aritmetička sredina jednostavno uzima u obzir samo rasprostranjenost plata u pojedinim radionicama i aritmetički prosjek ponderisano Takođe uzima u obzir broj radnika koji primaju svaku vrijednost plate.

Problem 6.2. IN Prošle godine su se karte za koncerte orgulja mogle kupiti za 800, 1000 i 1200 rubalja. IN Ove godine cijena ulaznica je povećana za 100 rubalja.

Rješenje.

1. Izračunajte prosječnu cijenu karte u prošlosti godine.

Smislena formula za prosječnu cijenu:

Budući da ne znamo ni brojnik ni nazivnik semantičke formule, ali znamo vrijednosti atributa koji se prosječuje (cijena), možemo koristiti samo formulu aritmetičkog prosjeka jednostavno".

pregled:

Zaključak. Prošle godine su se karte za koncerte orguljaške muzike prodavale u prosjeku za 967 rubalja po komadu.

2. Izračunajte prosječnu cijenu karte u struji godine.

pregled:

Za pojednostavljenje izračunavanja bez gubljenja njihove tačnosti koristimo svojstvo prosječne vrijednosti (tabela 6.2, svojstvo 2):

Ako su u tekućoj godini cijene Sve karte su tada povećane za 100 rubalja prosjek cijena će ove godine biti 100 rubalja. više prošle godine prosječna cijena:

Zaključak. Ove godine ulaznice za koncerte orguljaške muzike u prosjeku će se prodavati po cijeni od 1.067 rubalja po komadu.

Savjet iskusnog statističara. Ako svaki vrijednost karakteristike (X) se povećava (smanjuje) za isti broj, zatim se vrijednost prosječne vrijednosti povećava (smanjuje) za isti broj.

Problem 6.3. Izračunajte prosječnu cijenu karata za koncerte orguljaške muzike ako znate da je prošle godine 33% karata prodato po cijeni od 1200 rubalja, 57% - po 900 rubalja. i 10% - 800 rubalja svaki.

Rješenje. Ne znamo ni brojnik ni nazivnik semantičke formule i nemoguće ih je izračunati prema uslovima zadatka:

Međutim, odredite prosjek cijena ulaznica je moguća ako koristite svojstvo prosječne vrijednosti (tabela 6.2): ​​ako su težine (J) svima karakteristične vrijednosti ( X) pomnožite ili podijelite istim brojem, prosječna vrijednost se neće promijeniti.

dakle,

Zaključak. Prošle godine su se karte za koncerte orguljaške muzike prodavale u prosjeku za 989 rubalja po komadu.

Objasnite zašto prosječne cijene karata u zadacima 6.2 i 6.3 nisu iste.

Savjet iskusnog statističara. Specifične težine se mogu koristiti kao težine (/). Prosječna vrijednost se neće promijeniti.

Izračunajmo prosječnu vrijednost u interval varijacijski

Problem 6.4. Prema tabeli 6.10 Izračunajte prosječan učinak radnika tima po smjeni, naznačujući vrstu prosjeka.

Tabela 6.10

Distribucija osoblja po proizvodnji

Rješenje. Da bismo izračunali prosječni učinak radnika tima po smjeni, koristimo sljedeću formulu:

Prema uslovima zadatka znamo nazivnik semantičke formule (broj radnika u brigadi), ali brojnik (proizvodni učinak radnika brigade po smeni) nije, ali se može naći po množenje proizvodnje radnika za svaku grupu sa brojem radnika. Stoga je potrebno primijeniti formulu ponderiranog aritmetičkog prosjeka:

Međutim, podaci o učinku radnika prikazani su u obrascu intervali, one. ne znamo konkretno koliko je proizvedenih jedinica proizvodnje svaki radnik. Znamo samo da je svaki radnik prvi grupe pušteno manje od 10 proizvoda, drugi - od 10 do 16 proizvoda, itd. Koju vrijednost treba uzeti kao vrijednost proizvodnje iz svakog intervala?

Savjet iskusnog statističara. Ako su podaci prikazani u obrascu interval serije, onda kao vrijednost karakteristike (X) uzimamo srednji svaki interval.

Prvi interval “do 10” je otvoren, jer nema donju granicu. Prvo, "zatvorimo" ovaj interval, uslovno definisanje njegove donje granice.

Pitanje. Kako zatvoriti otvoreni interval?

Savjet iskusnog statističara. Magnituda otvoren pretpostavlja se da je interval jednak susjedni postoji zatvoren interval sa njim.

Vrijednost susjednog zatvorenog intervala “10-16” je 6=16-10, dakle, donja granica prvog intervala će biti 4 = 10-6. Dakle, prvi interval je “4-10”.

Posljednji interval “22 i više” je također otvoren. On nema top granice. Vrijednost susjednog zatvorenog intervala je 6 = 22 - 16, stoga će gornja granica otvorenog intervala biti 22 + 6 = 28. Zadnji interval: “22-28”.

Formalizirajmo rješenje u tabeli. 6.11.

Izračunavamo sredinu intervala za svaku grupu koristeći jednostavnu formulu aritmetičkog prosjeka. Na primjer, za prvu grupu (prvi interval):

Tabela 6.11

Proračun prosječne proizvodnje radnika na osnovu intervalnih podataka

red

Učinak radnika po smjeni, kom.	Broj radnici, Čovjek	Prosječna proizvodnja za grupu, kom.	Proizvodnja proizvoda brigadnih radnika po smjeni, kom.
		(4 + 10): 2 = 7	7 x-5 = 35
		(10 + 16): 2 = 13	13^-18 = 234

Značajna formula za prosječan učinak:

Na osnovu semantičke formule i podataka koje imamo, izračunaćemo prosečnu platu koristeći ponderisanu formulu aritmetičkog proseka:

pregled:

Zaključak. Radni timovi su proizvodili u prosjeku 16 proizvoda po smjeni.

6.3. ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD

Pametan i sposoban je onaj koji pita kada sumnja u nešto.

Lee Shin-in

Zadatak 6.1. Napišite logičku (semantičku) formulu za izračunavanje sljedećih indikatora:

• 1) prosečan prinos krompira;
• 2) prosječan procenat realizacije plana;
• 3) prosečna plata jednog radnika;
• 4) prosečan procenat premijum proizvoda;
• 5) prosječna cijena po jedinici proizvodnje;
• 6) prosečna cena robe;
• 7) prosečna profitabilnost.

Zadatak 6.2. Popunjavanje tabele 6.12, izračunajte za svaki kvartal tekuće godine prosječan procenat neispravnih proizvoda za tri tima u cjelini. Navedite vrstu prosječnih vrijednosti koje se koriste za izračunavanje. Analizirajte svoje rezultate.

Tabela 6.12

Ekonomski pokazatelji za tri montažna tima

radionice

Brigade	1. kvartal			II kvartal
	posto neispravan proizvodi	pustiti proizvodi,		posto neispravan proizvodi	puštanje neispravnih proizvoda, kom.

Zadatak 6.3. Popunjavanje tabele 6.13, izračunajte za svaki mjesec tekuće godine prosječnu profitabilnost za tri preduzeća kompanije u cjelini.

Analizirajte svoje rezultate. Navedite razloge za izbor prosječnih vrijednosti koje se koriste za proračun.

Tabela 6.13

Ekonomski pokazatelji za tri preduzeća kompanije Orpheus

Zadatak 6.4. Za tri poljoprivredna preduzeća u regionu u tekućoj godini dostupni su sljedeći podaci:

• 1. Izračunajte prosječan prinos za sva tri preduzeća za svako polugodište i godinu.
• 2. Proučiti promjenu prosječnog prinosa u drugoj polovini godine u odnosu na prvu. Izvucite zaključke.
• 3. Analizirati promjenu strukture sjetvenih površina.
• 4. Završite svoje proračune u tabeli.

Zadatak 6.5. Poznati su sledeći podaci o prodaji žitarica stanovništvu regiona u tri radnje kompanije za februar ove godine:

Tabela 6.14

Cijena i obim prodaje žitarica za februar ove godine

Izračunati:

• 1) prosječna cijena 1 kg žitarica za kompaniju u cjelini. Obrazložite izbor formule za izračunavanje prosječne vrijednosti. Proračune predstaviti u obliku tabele;
• 2) učešće prodavnice br. 1 u ukupnom obimu prodatih žitarica za preduzeće u celini.

Izvucite zaključak.

Zadatak 6.6. Prema tabeli. 6.15 izračunati prosječan procenat certificiranih proizvoda. Navedite razloge za izbor formule za izračunavanje prosječne vrijednosti.

Izvući zaključak o dinamici kvaliteta proizvoda ako je u proteklom periodu bio prosječan procenat certificiranih proizvoda 70,9%.

Tabela 6.15

Podaci o certificiranju proizvoda Kvadrat

Zadatak 6.7. Prema tabeli. 6.16 izračunati prosječan postotak izvršenja smjenskog zadatka od strane radnika tima, uključujući metodu trenutaka.

Tabela 6.16

Raspodjela radnika posade prema postotku izvršenja zadatka u smjeni

Predstavite svoje proračune u tabeli. Izvucite zaključke.

Zadatak 6.8. Izračunajte prosječnu platnu kategoriju radnika u brigadi ako 20% radnika ima treću kategoriju, 40% četvrtu, 35% petu, a ostali šestu. Navedite vrstu prosječne vrijednosti koja se koristi za izračunavanje. Imenujte svojstvo prosječne vrijednosti koje ste koristili u svom rješenju.

Kako su se promijenile kvalifikacije brigadnih radnika ako je prosječna platna kategorija radnika prošle godine bila 5,1. Izvucite zaključke.

Zadatak 6.9. Kafić "Ogonyok" planirao je kupiti 50 kg mesa po 300 rub./kg i 80 kg - po 270 rub./kg Međutim, dobavljač je povećao cijene mesa za 1,2 puta.

Izračunajte prosječnu cijenu po kojoj je stvarno otkupljen 1 kg mesa i kolika je bila prosječna planirana otkupna cijena.

Navedite vrstu prosječne vrijednosti koja se koristi za izračunavanje. Izvucite zaključke.

Zadatak 6.10. U prethodnoj godini, 28% stanovništva regiona imalo je godišnji prihod za svakog člana porodice od 180 hiljada rubalja, 56% - 264 hiljade rubalja, a ostatak - 588 hiljada rubalja.

Predstavite podatke u obliku tabele. Odredite prosječni godišnji porodični prihod po glavi stanovnika za regiju u cjelini.

Navedite vrstu prosječne vrijednosti koja se koristi za izračunavanje. Izvucite zaključak.

Zadatak 6.11. Izračunajte prosječnu dobit po dionici za kompaniju u cjelini, ako je iznos dobiti za prvo preduzeće kompanije bilo 168,0 hiljada rubalja, za drugo - 228,8 hiljada rubalja, za treće - 218,4 hiljade rubalja. Zarada po akciji za preduzeća kompanije iznosila je 6,0; 5.2; 3,9 rub.

Izračunajte učešće svakog preduzeća u ukupnoj dobiti kompanije.

Proračune problema predstaviti u tabeli. Izvucite zaključak.

Zadatak 6.12. Prema tabeli. 6.17 izračunati prosečne starosti radnici organizacije, sa naznakom vrste prosječne vrijednosti.

Tabela 6.17

Distribucija radnika PJSC "Rekord" po godinama

Istražiti starosna struktura radnici organizacije, izračunavanje strukture OB.

Predstavite svoje proračune u tabeli. Izvucite zaključke.

Zadatak 6.13. Izračunajte prosječni radni intenzitet proizvodnje jedinice proizvoda za kompaniju u cjelini, ako je vrijeme utrošeno na proizvodnju u prvom preduzeću kompanije bilo 276 hiljada ljudi-sati, u drugom - 2016 hiljada ljudi-sati, u treći - 3666 hiljada čovek-sati. Intenzitet rada proizvoda u svim preduzećima kompanije bio je 4,6; 11.2; 9,4 sata/kom

Navedite vrstu prosječne vrijednosti koja se koristi za izračunavanje.

Izračunajte udio svakog poduzeća u ukupnom vremenu utrošenom na proizvodnju proizvoda firme. Navedite tip izračunate OB.

Predstavite svoje proračune u tabeli. Izvucite zaključak.

Zadatak 6.14. U Rusiji je 101 stranac u 22 kluba Kontinentalne hokejaške lige (KHL), uključujući: 14 iz Kanade, 11 iz SAD-a, 76 iz Evrope. U 14 klubova Ruske odbojkaške Super lige ima 17 stranaca. U 10 klubova VTB Jedinstvene košarkaške lige ima 53 stranca. U Ruskoj fudbalskoj Premijer ligi ima 16 klubova, sa 131 strancem. U ruskoj super ligi ima 13 ekipa i samo 6 stranaca. Napomena: svi timovi su muški.

Izračunajte: 1) prosečan broj stranih igrača u ruskim klubovima; 2) struktura stranih igrača u KHL-u prema zemlji. Nacrtajte strukturni dijagram. Izvucite zaključke.

Zadatak 6.15. Poznati su sledeći podaci o trgovačkim i proizvodnim aktivnostima kafića Romashka za septembar ove godine:

Izračunati:

• 1) po kojoj je prosječnoj cijeni kafić Romashka kupovao robu u septembru? Navedite vrstu izračunate prosječne vrijednosti;
• 2) učešće (udio) svake serije robe u ukupnom obimu primitaka za mjesec (u %). Procijenite ritam prijema robe.
• 3) za koliko je rubalja i procenata porasla prosečna nabavna cena robe, ako je u oktobru roba kupovana u proseku za 127,81 rubalja/komad?

Izvucite zaključke.

• Zaključak. Svaki radnik u timu proizveo je u prosjeku 48 jedinica proizvoda po smjeni. U daljem proračunu prosječnog izlaza na pojednostavljen način koristićemo svojstva aritmetičkog prosjeka. 1. U proračunima uzimamo transformirane opcije (x) kao vrijednost prosječne karakteristike (x): gdje su xq i h bilo koji brojevi. Savjet iskusnog statističara. Najveće pojednostavljenje se može postići ako uzmemo sredinu središnjeg intervala (x0 = 50) kao x0, a širinu intervala (h = 20) kao h.

Za potrebe analize i dobijanja statističkih zaključaka na osnovu rezultata sumiranja i grupisanja, izračunavaju se generalizujući indikatori - prosječne i relativne vrijednosti.

Problem sa prosjecima – okarakterizirati sve jedinice statističke populacije jednom karakterističnom vrijednošću.

Prosječne vrijednosti karakteriziraju pokazatelje kvalitete preduzetničku aktivnost: troškovi distribucije, profit, profitabilnost itd.

prosječna vrijednost- ovo je generalizirajuća karakteristika jedinica stanovništva prema nekim varijabilnim karakteristikama.

Prosječne vrijednosti vam omogućavaju da uporedite nivoe iste osobine u različitim populacijama i pronađete razloge za ova odstupanja.

U analizi fenomena koji se proučavaju, uloga prosječnih vrijednosti je ogromna. Engleski ekonomista W. Petty (1623-1687) je široko koristio prosječne vrijednosti. V. Petty je želio da koristi prosječne vrijednosti kao meru troškova troškova za prosječnu dnevnu ishranu jednog radnika. Stabilnost prosječne vrijednosti je odraz pravilnosti procesa koji se proučavaju. Vjerovao je da se informacije mogu transformirati, čak i ako nema dovoljno originalnih podataka.

Engleski naučnik G. King (1648-1712) koristio je prosječne i relativne vrijednosti kada je analizirao podatke o stanovništvu Engleske.

Teorijski razvoj belgijskog statističara A. Queteleta (1796-1874) zasniva se na nekonzistentnosti prirode društvenih pojava– visoko stabilan u masi, ali čisto individualan.

Prema A. Queteletu trajni razlozi jednako djeluju na svaki fenomen koji se proučava i čine te pojave sličnim jedni drugima, stvarajući obrasce zajedničke za sve njih.

Posljedica učenja A. Queteleta bila je identifikacija prosječnih vrijednosti kao glavne tehnike statističke analize. On je rekao da statistički prosjeci ne predstavljaju kategoriju objektivne realnosti.

A. Quetelet je izrazio svoje stavove o prosjeku u svojoj teoriji prosječnog čovjeka. Prosječan čovjek je osoba koja ima sve kvalitete prosječne veličine (prosječan mortalitet ili natalitet, prosječna visina i težina, prosječna brzina trčanja, prosječna sklonost braku i samoubistvu, dobrim djelima itd.). Za A. Quetelet prosjecna osoba- Ovo je ideal čoveka. Nedosljednost teorije A. Quetelet-a o prosječnom čovjeku dokazana je u ruskoj statističkoj literaturi godine. krajem XIX-XX vekovima

Čuveni ruski statističar Yu E. Yanson (1835-1893) napisao je da A. Quetelet pretpostavlja postojanje u prirodi tipa prosječne osobe kao nečeg datog, od čega je život odstupio od prosječnih ljudi. ove kompanije i dato vrijeme, a to ga dovodi do potpuno mehaničkog pogleda na zakone kretanja drustveni zivot: kretanje je postepeno povećanje prosječnih osobina osobe, postupno obnavljanje tipa; sledstveno tome, takvo nivelisanje svih manifestacija života društvenog tela, iza koje prestaje svako kretanje napred.

Suština ove teorije je pronašla svoje dalji razvoj u radovima brojnih statističkih teoretičara kao teorija pravih veličina. A. Quetelet je imao sljedbenike - njemačkog ekonomistu i statističara V. Lexisa (1837-1914), koji je teoriju pravih vrijednosti prenio na ekonomske pojave javni život. Njegova teorija je poznata kao teorija stabilnosti. Druga verzija idealističke teorije prosjeka zasnovana je na filozofiji

Njen osnivač je engleski statističar A. Bowley (1869–1957) - jedan od najistaknutijih teoretičara novijeg vremena u oblasti teorije prosjeka. Njegov koncept prosjeka izložen je u njegovoj knjizi Elementi statistike.

A. Boley razmatra prosječne vrijednosti samo s kvantitativne strane, odvajajući na taj način kvantitet od kvaliteta. Određujući značenje prosječnih vrijednosti (ili "njihove funkcije"), A. Boley iznosi makovski princip mišljenja. A. Boley je napisao da funkcija prosječnih vrijednosti treba da izražava kompleksnu grupu

koristeći nekoliko prostih brojeva. Statističke podatke treba pojednostaviti, grupisati i svesti na prosjek.Ova gledišta: dijele R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892) itd.

30-ih godina XX vijek i naredne godine prosječna vrijednost se smatra društvenom značajna karakteristika, čiji sadržaj informacija zavisi od homogenosti podataka.

Najistaknutiji predstavnici italijanske škole R. Benini (1862-1956) i C. Gini (1884-1965), smatrajući statistiku granom logike, proširili su obim primjene statističke indukcije, ali su povezali kognitivne principe logike. i statistike sa prirodom fenomena koji se proučavaju, prateći tradiciju sociološkog tumačenja statistike.

U djelima K. Marxa i V. I. Lenjina prosječnim vrijednostima se daje posebna uloga.

K. Marx je tvrdio da prosjek kompenzuje pojedinačna odstupanja od opšteg nivoa i prosječan nivo postaje generalizirajuća karakteristika fenomena mase.Prosječna vrijednost postaje takva karakteristika fenomena mase samo ako se uzme značajan broj jedinica i te jedinice su kvalitativno homogene. Marx je napisao da bi prosječna pronađena vrijednost trebala biti prosjek "...mnogih različitih pojedinačnih vrijednosti iste vrste".

Prosječna vrijednost dobija poseban značaj u tržišnoj ekonomiji. Pomaže u određivanju neophodnog i opšteg, tendencija obrasca ekonomskog razvoja direktno preko individualnog i slučajnog.

Prosječne vrijednosti su generalizirajući indikatori u kojima se izražava djelovanje općih uslova i obrazac fenomena koji se proučava.

Statistički prosjeci se izračunavaju na osnovu masovnih podataka iz statistički ispravno organiziranog masovnog posmatranja. Ako se statistički prosjek izračuna iz masovnih podataka za kvalitativno homogenu populaciju (masovne pojave), onda će biti objektivan.

Prosječna vrijednost je apstraktna, jer karakterizira vrijednost apstraktne jedinice.

Iz raznolikosti osobina pojedinačnih objekata prosjek je apstrahovan. Apstrakcija je faza naučnog istraživanja. U prosječnoj vrijednosti ostvaruje se dijalektičko jedinstvo pojedinačnog i opšteg.

Prosječne vrijednosti treba primijeniti na osnovu dijalektičkog razumijevanja kategorija pojedinačno i općenito, pojedinačno i masovno.

Srednji prikazuje nešto zajedničko što je sadržano u određenom pojedinačnom objektu.

Za identifikaciju obrazaca u masovnim društvenim procesima, prosječna vrijednost je od velike važnosti.

Odstupanje pojedinca od opšteg je manifestacija procesa razvoja.

Prosječna vrijednost odražava karakterističan, tipičan, stvarni nivo fenomena koji se proučava. Zadatak prosječnih vrijednosti je karakterizirati ove razine i njihove promjene u vremenu i prostoru.

Prosjek je uobičajena vrijednost jer se formira u normalnom, prirodnom, opšti uslovi postojanje specifičnog masovnog fenomena posmatranog kao celine.

Objektivno svojstvo statističkog procesa ili fenomena odražava se kroz prosječnu vrijednost.

Pojedinačne vrijednosti statističkog atributa koji se proučavaju različite su za svaku jedinicu populacije. Prosječna vrijednost pojedinačnih vrijednosti jedne vrste je proizvod nužde, koji je rezultat zajedničkog djelovanja svih jedinica populacije, manifestiranog u masi ponavljajućih nezgoda.

Neki pojedinačni fenomeni imaju karakteristike koje postoje u svim pojavama, osim u različite količine je visina ili starost osobe. Ostali znakovi individualnog fenomena, kvalitativno različiti u razne pojave, odnosno kod nekih su prisutne, a kod drugih se ne primjećuju (muškarac neće postati žena). Prosječna vrijednost se izračunava za karakteristike koje su kvalitativno homogene i različite samo kvantitativno, koje su svojstvene svim pojavama u datom skupu.

Prosječna vrijednost je odraz vrijednosti karakteristike koja se proučava i mjeri se u istoj dimenziji kao i ova karakteristika.

Teorija dijalektičkog materijalizma uči da se sve na svijetu mijenja i razvija. A također se mijenjaju karakteristike koje karakteriziraju prosječne vrijednosti, a shodno tome i sami prosjeci.

U životu postoji kontinuirani proces stvaranja nečeg novog. Nosilac novog kvaliteta su pojedinačni objekti, tada se broj tih objekata povećava, a novi postaje masovni, tipični.

Prosječna vrijednost karakterizira populaciju koja se proučava prema samo jednoj osobini. Za potpuni i sveobuhvatan prikaz proučavane populacije u nizu određene znakove Neophodno je imati sistem prosječnih vrijednosti koji može opisati fenomen iz različitih uglova.

2. Vrste prosjeka

U statističkoj obradi materijala javljaju se različiti problemi koje je potrebno riješiti, te se stoga u statističkoj praksi koriste različite prosječne vrijednosti. Matematička statistika koristi različite proseke, kao što su: aritmetička sredina; geometrijska sredina; harmonijska sredina; srednji kvadrat.

Da bi se primijenio jedan od navedenih tipova prosjeka, potrebno je analizirati populaciju koja se proučava, utvrditi materijalni sadržaj fenomena koji se proučava, a sve se to radi na osnovu zaključaka izvedenih iz principa smislenosti rezultata kada se vaganje ili zbrajanje.

U proučavanju prosjeka koriste se sljedeći indikatori i oznake.

Znak po kojem se nalazi prosjek naziva se prosečna karakteristika i označava se sa x; naziva se vrijednost prosječne karakteristike za bilo koju jedinicu statističke populacije njegovo individualno značenje, ili opcije, i označeno kao x 1 , X 2 , x 3 ,… X P ; frekvencija je ponovljivost pojedinačnih vrijednosti karakteristike, označene slovom f.

Aritmetička sredina

Jedna od najčešćih vrsta medija je aritmetička sredina, koji se izračunava kada se obim prosječne karakteristike formira kao zbir njenih vrijednosti u pojedinačnim jedinicama statističke populacije koja se proučava.

Da bi se izračunao aritmetički prosjek, zbir svih nivoa atributa dijeli se s njihovim brojem.

Ako se neke opcije javljaju nekoliko puta, tada se zbroj nivoa atributa može dobiti množenjem svakog nivoa s odgovarajućim brojem jedinica u populaciji i zatim dodavanjem rezultirajućih proizvoda; aritmetička sredina izračunata na ovaj način naziva se ponderirana aritmetička sredina.

Formula za ponderisani aritmetički prosjek je sljedeća:

gdje su h i opcije,

f i – frekvencije ili težine.

Ponderisani prosjek treba koristiti u svim slučajevima kada opcije imaju različite brojeve.

Aritmetička sredina, takoreći, jednako raspoređuje između pojedinačnih objekata ukupnu vrijednost atributa, koja u stvarnosti varira za svaki od njih.

Izračunavanje prosječnih vrijednosti vrši se pomoću podataka grupiranih u obliku nizova intervalne distribucije, kada su varijante karakteristike iz kojih se izračunava prosjek prikazane u obliku intervala (od - do).

Svojstva aritmetičke sredine:

1) prosek aritmetički zbir različite količine jednake su zbiru aritmetičkih prosjeka: Ako je x i = y i +z i, tada

Ovo svojstvo pokazuje u kojim slučajevima je moguće sumirati prosječne vrijednosti.

2) algebarski zbir odstupanja pojedinačnih vrijednosti promjenjive karakteristike od prosjeka jednak je nuli, jer se zbir odstupanja u jednom smjeru kompenzira zbirom odstupanja u drugom smjeru:

Ovo pravilo pokazuje da je prosjek rezultanta.

3) ako se sve opcije u nizu povećaju ili smanje za isti broj?, hoće li se prosjek povećati ili smanjiti za isti broj?:

4) ako se sve varijante serije povećaju ili smanje za A puta, tada će se i prosječna također povećati ili smanjiti za A puta:

5) peto svojstvo prosjeka nam pokazuje da ono ne zavisi od veličine skale, već zavisi od odnosa između njih. Ne samo relativne, već i apsolutne vrijednosti mogu se uzeti kao skale.

Ako se sve frekvencije serije podijele ili pomnože sa istim brojem d, tada se prosjek neće promijeniti.

Harmonična sredina. Za određivanje aritmetičke sredine potrebno je imati niz opcija i frekvencija, tj. X I f.

Pretpostavimo da su pojedinačne vrijednosti karakteristike poznate X i radi X/, i frekvencije f su nepoznati, tada za izračunavanje prosjeka označavamo proizvod = X/; gdje:

Prosjek u ovom obliku naziva se harmonijski ponderirani prosjek i označava se x šteta. gore

Shodno tome, harmonijska sredina je identična aritmetičkoj sredini. Primjenjivo je kada su stvarne težine nepoznate f, a rad je poznat fx = z

Kada radi fx identične ili jednake jedinice (m = 1), koristi se harmonijska prosta sredina izračunata po formuli:

Gdje X– odvojene opcije;

n- broj.

Geometrijska sredina

Ako postoji n koeficijenata rasta, onda je formula za prosječni koeficijent:

Ovo je formula geometrijske sredine.

Geometrijska sredina jednaka je korijenu stepena n iz proizvoda koeficijenata rasta koji karakterišu odnos vrednosti svakog narednog perioda prema vrednosti prethodnog.

Ako su vrijednosti izražene u obrascu podložne usrednjavanju kvadratne funkcije, primjenjuje se srednji kvadrat. Na primjer, koristeći srednji kvadrat, možete odrediti promjere cijevi, kotača itd.

Jednostavan srednji kvadrat se određuje uzimanjem kvadratnog korijena količnika dijeljenja zbira kvadrata pojedinačnih vrijednosti atributa njihovim brojem.

Ponderisani srednji kvadrat je jednak:

3. Strukturni prosjeci. Mod i medijan

Za karakterizaciju strukture statističke populacije koriste se indikatori koji se nazivaju strukturni proseci. To uključuje mod i medijan.

Moda (M O ) - najčešća opcija. Moda je vrijednost atributa koja odgovara maksimalnoj tački teorijske krivulje distribucije.

Moda predstavlja najčešće javljano ili tipično značenje.

Moda se koristi u komercijalnoj praksi za proučavanje potražnje potrošača i rekordnih cijena.

U diskretnoj seriji, mod je varijanta sa najvećom frekvencijom. U nizu intervalnih varijacija, mod se smatra centralnom varijantom intervala, koja ima najveću frekvenciju (posebnost).

Unutar intervala morate pronaći vrijednost atributa koji je način rada.

Gdje X O– donja granica modalnog intervala;

h– vrijednost modalnog intervala;

f m– frekvencija modalnog intervala;

f t-1 – frekvencija intervala koji prethodi modalnom;

f m+1 – frekvencija intervala koji slijedi nakon modalnog.

Način rada zavisi od veličine grupa i od tačnog položaja granica grupe.

Moda– broj koji se zapravo najčešće javlja (određena je vrijednost), u praksi ima najširu primjenu (najčešći tip kupca).

Medijan (M e je veličina koja dijeli broj uređenog varijantnog niza na dva jednaka dijela: jedan dio ima vrijednosti varijabilne karakteristike koje su manje od prosječne varijante, a drugi veće vrijednosti.

Medijan je element koji je veći ili jednak i istovremeno manji ili jednak polovini preostalih elemenata serije raspodjele.

Svojstvo medijane je da je zbir apsolutnih odstupanja vrijednosti atributa od medijane manji nego od bilo koje druge vrijednosti.

Korištenje medijane vam omogućava da dobijete preciznije rezultate od korištenja drugih oblika prosjeka.

Redoslijed pronalaženja medijane u nizu varijacija intervala je sljedeći: raspoređujemo pojedinačne vrijednosti karakteristike prema rangiranju; određujemo akumulirane frekvencije za datu rangiranu seriju; Koristeći akumulirane podatke o frekvenciji, nalazimo srednji interval:

Gdje x me– donja granica srednjeg intervala;

i Ja– vrijednost srednjeg intervala;

f/2– polovični zbir frekvencija serije;

S Ja-1 – zbir akumuliranih frekvencija koje prethode srednjem intervalu;

f Ja– frekvencija srednjeg intervala.

Medijan dijeli broj serije na pola, dakle, to je mjesto gdje je akumulirana frekvencija polovina ili više od polovine ukupnog zbira frekvencija, a prethodna (akumulirana) frekvencija je manja od polovine broja populacije.

5.1. Koncept prosjeka

Prosječna vrijednost - Ovo je opšti indikator koji karakteriše tipičan nivo fenomena. Izražava vrijednost karakteristike po jedinici populacije.

Prosek uvek generalizuje kvantitativnu varijaciju osobine, tj. u prosječnim vrijednostima eliminiraju se individualne razlike između jedinica u populaciji zbog slučajnih okolnosti. Za razliku od prosjeka, apsolutna vrijednost koja karakterizira nivo karakteristike pojedine jedinice populacije ne dopušta da se uporede vrijednosti karakteristike među jedinicama koje pripadaju različitim populacijama. Dakle, ako treba da uporedite nivoe zarada radnika u dva preduzeća, onda ne možete porediti dva radnika različitih preduzeća po ovom osnovu. Naknada radnika odabranih za poređenje možda nije tipična za ova preduzeća. Ako uporedimo veličinu fondova zarada u preduzećima koja se razmatraju, broj zaposlenih se ne uzima u obzir i stoga je nemoguće utvrditi gde je nivo zarada veći. U konačnici se mogu porediti samo prosječni pokazatelji, tj. Koliko u svakom preduzeću u proseku zarađuje jedan zaposleni? Dakle, postoji potreba da se izračuna prosječna vrijednost kao generalizirajuća karakteristika populacije.

Izračunavanje prosjeka je jedna od uobičajenih tehnika generalizacije; prosječni indikator negira ono što je zajedničko (tipično) za sve jedinice populacije koja se proučava, dok istovremeno zanemaruje razlike pojedinačnih jedinica. U svakoj pojavi i njenom razvoju postoji kombinacija slučajnosti i nužnosti. Prilikom izračunavanja prosjeka, na osnovu zakona veliki brojevi nezgode su poništene, izbalansirane, pa je moguće apstrahovati od nebitnih karakteristika fenomena, od kvantitativnih vrednosti atributa u svakom konkretnom slučaju. Sposobnost apstrahiranja od slučajnosti pojedinačnih vrijednosti i fluktuacija leži u naučnoj vrijednosti prosjeka kao generalizirajućih karakteristika agregata.

Da bi prosjek bio zaista reprezentativan, mora se izračunati uzimajući u obzir određene principe.

Zaustavimo se na nekim općim principima za korištenje prosjeka.
1. Prosjek se mora odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.
2. Prosjek se mora izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.
3. Prosjek se mora izračunati za populaciju čije su jedinice u normalnom, prirodnom stanju.
4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj indikatora koji se proučava.

5.2. Vrste prosjeka i metode za njihovo izračunavanje

Razmotrimo sada vrste prosječnih vrijednosti, karakteristike njihovog izračunavanja i područja primjene. Prosječne vrijednosti podijeljene su u dvije velike klase: prosječne snage, strukturne prosječne vrijednosti.

TO prosek snage To uključuje najpoznatije i najčešće korištene tipove, kao što su geometrijska sredina, aritmetička sredina i kvadratna sredina.

As strukturni proseci uzimaju se u obzir mod i medijan.

Hajde da se fokusiramo na proseke snage. Prosjeci snage, u zavisnosti od prezentacije izvornih podataka, mogu biti jednostavni ili ponderisani. Jednostavan prosek Izračunava se na osnovu negrupisanih podataka i ima sljedeći opći oblik:

gdje je X i varijanta (vrijednost) karakteristike koja se usrednjuje;

n – opcija broja.

Prosjećna težina izračunava se na osnovu grupisanih podataka i ima opšti izgled

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) karakteristike koja se prosječuje ili srednja vrijednost intervala u kojem se varijanta mjeri;
m – indeks prosječnog stepena;
f i – frekvencija koja pokazuje koliko se puta javlja tj. vrijednost karakteristika usrednjavanja.

Navedimo kao primjer izračunavanje prosječne starosti učenika u grupi od 20 ljudi:

Prosječnu starost izračunavamo koristeći jednostavnu prosječnu formulu:

Grupirajmo izvorne podatke. Dobijamo sljedeću distributivnu seriju:

Kao rezultat grupisanja dobijamo novi indikator – učestalost, koji označava broj učenika starosti X godina. Stoga će se prosječna starost učenika u grupi izračunati pomoću ponderirane prosječne formule:

Opće formule za izračunavanje prosječnih snaga imaju eksponent (m). Ovisno o vrijednosti koju uzima, razlikuju se sljedeće vrste prosječnih snaga:
harmonijska sredina ako je m = -1;
geometrijska sredina, ako je m –> 0;
aritmetička sredina ako je m = 1;
srednji kvadrat ako je m = 2;
prosječni kubik ako je m = 3.

Formule za prosječne snage su date u tabeli. 4.4.

Ako izračunate sve vrste prosjeka za iste početne podatke, tada će se njihove vrijednosti pokazati različitim. Ovdje se primjenjuje pravilo većine prosjeka: kako eksponent m raste, raste i odgovarajuća prosječna vrijednost:

U statističkoj praksi, aritmetičke sredine i harmonijske ponderisane sredine se koriste češće od drugih vrsta ponderisanih prosjeka.

Tabela 5.1

Vrste energetskih sredstava

Vrsta moći prosjek	Indeks stepen (m)	Formula za izračun
		Jednostavno	Weighted
Harmonic	-1
Geometrijski	0
Aritmetika	1
Kvadratno	2
Cubic	3

Harmonska sredina ima više složen dizajn nego aritmetička sredina. Harmonička sredina se koristi za proračune kada se kao težine ne koriste jedinice populacije - nosioci karakteristike, već proizvod tih jedinica sa vrijednostima karakteristike (tj. m = Xf). Prosječnom harmonskom jednostavnom treba pribjeći u slučajevima određivanja npr. prosječnih troškova rada, vremena, materijala po jedinici proizvodnje, po jednom dijelu za dva (tri, četiri, itd.) preduzeća, radnika koji se bave proizvodnjom. istog vrsta proizvoda, isti dio, proizvod.

Glavni zahtjev za formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti je da sve faze proračuna imaju stvarno smisleno opravdanje; rezultirajuća prosječna vrijednost treba zamijeniti pojedinačne vrijednosti atributa za svaki objekt bez narušavanja veze između pojedinačnih i zbirnih pokazatelja. Drugim riječima, prosječna vrijednost se mora izračunati tako da kada se svaka pojedinačna vrijednost prosječnog indikatora zamijeni njegovom prosječnom vrijednošću, neki konačni zbirni indikator ostane nepromijenjen, srodna tema ili na drugi način sa prosječnim . Ovaj zbroj se zove definisanje budući da priroda njegovog odnosa sa pojedinačnim vrijednostima određuje specifičnu formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti. Pokažimo ovo pravilo na primjeru geometrijske sredine.

Formula geometrijske sredine

najčešće se koristi prilikom izračunavanja prosječne vrijednosti na osnovu individualne relativne dinamike.

Geometrijska sredina se koristi ako je dat niz lančane relativne dinamike, koji ukazuje na, na primjer, povećanje proizvodnje u odnosu na nivo prethodne godine: i 1, i 2, i 3,..., i n. Očigledno je da je obim proizvodnje u prošloj godini određen njenim početnim nivoom (q 0) i naknadnim povećanjem tokom godina:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Uzimajući q n kao određujući indikator i zamjenjujući pojedinačne vrijednosti indikatora dinamike prosječnim, dolazimo do relacije

Odavde

5.3. Strukturni proseci

Za proučavanje se koristi posebna vrsta prosjeka - strukturni prosjeci unutrašnja struktura serije distribucije vrijednosti atributa, kao i za procjenu prosječne vrijednosti (vrste snage), ako se njen proračun ne može izvršiti prema dostupnim statističkim podacima (na primjer, ako u razmatranom primjeru nije bilo podataka o oba volumena proizvodnje i visine troškova za grupe preduzeća) .

Indikatori se najčešće koriste kao strukturni prosjeci moda - najčešće ponavljana vrijednost atributa – i medijane - vrijednost karakteristike koja dijeli uređeni niz njegovih vrijednosti na dva jednaka dijela. Kao rezultat toga, za jednu polovinu jedinica u populaciji vrijednost atributa ne prelazi srednji nivo, a za drugu polovinu nije manja od njega.

Ako karakteristika koja se proučava ima diskretne vrijednosti, onda nema posebnih poteškoća u izračunavanju modusa i medijana. Ako se podaci o vrijednostima atributa X prezentiraju u obliku uređenih intervala njegove promjene (intervalne serije), izračunavanje moda i medijana postaje nešto složenije. Budući da vrijednost medijane dijeli cijelu populaciju na dva jednaka dijela, ona završava u jednom od intervala karakteristike X. Interpolacijom se vrijednost medijane nalazi u ovom srednjem intervalu:

,

gdje je X Me donja granica srednjeg intervala;
h Me – njegova vrijednost;
(Zbir m)/2 – polovina ukupnog broja posmatranja ili polovina volumena indikatora koji se koristi kao ponder u formulama za izračunavanje prosječne vrijednosti (u apsolutnom ili relativnom iznosu);
S Me-1 – zbir zapažanja (ili volumen atributa ponderiranja) akumuliranih prije početka srednjeg intervala;
m Me – broj zapažanja ili obim težinske karakteristike u srednjem intervalu (također u apsolutnom ili relativnom smislu).

U našem primjeru mogu se dobiti čak tri srednje vrijednosti - na osnovu broja preduzeća, obima proizvodnje i ukupnih troškova proizvodnje:

Dakle, u polovini preduzeća trošak po jedinici proizvodnje prelazi 125,19 hiljada rubalja, polovina ukupnog obima proizvoda proizvodi se sa troškom po proizvodu većim od 124,79 hiljada rubalja. a 50% ukupnih troškova formira se kada je cijena jednog proizvoda iznad 125,07 hiljada rubalja. Imajte na umu i da postoji određena tendencija ka povećanju troškova, budući da je Me 2 = 124,79 hiljada rubalja, a prosječni nivo je 123,15 hiljada rubalja.

Prilikom izračunavanja modalne vrijednosti karakteristike na osnovu podataka niza intervala, potrebno je obratiti pažnju na činjenicu da su intervali identični, jer od toga ovisi pokazatelj ponovljivosti vrijednosti karakteristike X. Za intervalni niz sa jednakim intervalima, veličina moda se određuje kao

gdje je X Mo donja vrijednost modalnog intervala;
m Mo – broj zapažanja ili zapremina težinske karakteristike u modalnom intervalu (u apsolutnom ili relativnom smislu);
m Mo -1 – isto za interval koji prethodi modalnom;
m Mo+1 – isto za interval koji slijedi nakon modalnog;
h – vrijednost intervala promjene karakteristike u grupama.

Za naš primjer možemo izračunati tri modalna značenja na osnovu broja preduzeća, obima proizvodnje i visine troškova. U sva tri slučaja modalni interval je isti, jer su za isti interval najveći broj preduzeća, obim proizvodnje i ukupni troškovi proizvodnje:

Dakle, najčešće postoje preduzeća sa nivoom troškova od 126,75 hiljada rubalja, najčešće se proizvode proizvodi sa nivoom troškova od 126,69 hiljada rubalja, a najčešće se troškovi proizvodnje objašnjavaju nivoom troškova od 123,73 hiljada rubalja.

5.4. Indikatori varijacije

Specifični uslovi u kojima se nalazi svaki od proučavanih objekata, kao i karakteristike sopstvenog razvoja (društveni, ekonomski i dr.) izraženi su odgovarajućim numeričkim nivoima statističkih pokazatelja. dakle, varijacija, one. neslaganje između nivoa istog indikatora u različitim objektima je objektivno po prirodi i pomaže da se shvati suština fenomena koji se proučava.

Postoji nekoliko metoda koje se koriste za mjerenje varijacija u statistici.

Najjednostavnije je izračunati indikator raspon varijacija H kao razlika između maksimalne (X max) i minimalne (X min) uočene vrijednosti karakteristike:

H=X max - X min.

Međutim, raspon varijacije pokazuje samo ekstremne vrijednosti osobine. Ovdje se ne uzima u obzir ponovljivost međuvrijednosti.

Strožije karakteristike su indikatori varijabilnosti u odnosu na prosječni nivo atributa. Najjednostavniji indikator ove vrste je prosječno linearno odstupanje L kao aritmetička sredina apsolutnih odstupanja karakteristike od njenog prosječnog nivoa:

Kada su pojedinačne vrijednosti X ponovljive, koristite formulu ponderiranog aritmetičkog prosjeka:

(Podsjetimo se da je algebarski zbir odstupanja od prosječnog nivoa nula.)

Indikator prosječne linearne devijacije se široko koristi u praksi. Uz njegovu pomoć, na primjer, analizira se sastav radnika, ritam proizvodnje, ujednačenost nabavke materijala i razvijaju se sistemi materijalnih poticaja. Ali, nažalost, ovaj pokazatelj otežava vjerovatnoća izračunavanja i komplikuje korištenje metoda matematičke statistike. Stoga, u statističkim naučno istraživanje indikator koji se najčešće koristi za mjerenje varijacije je varijanse.

Varijanca karakteristike (s 2) određuje se na osnovu kvadratne srednje srednje snage:

.

Poziva se indikator s jednak prosjek kvadratna devijacija.

IN opšta teorija statistike, indikator disperzije je procjena istoimenog indikatora teorije vjerovatnoće i (kao zbir kvadrata odstupanja) procjena disperzije u matematičke statistike, što omogućava da se odredbe ovih teorijskih disciplina koriste za analizu društveno-ekonomskih procesa.

Ako se varijacija procijeni na osnovu malog broja opservacija uzetih iz neograničene populacije, tada se prosječna vrijednost karakteristike određuje s nekom greškom. Pokazalo se da je izračunata vrijednost disperzije pomaknuta prema smanjenju. Da bi se dobila nepristrasna procjena, varijansa uzorka dobivena korištenjem prethodno datih formula mora se pomnožiti sa vrijednošću n / (n - 1). Kao rezultat toga, uz mali broj zapažanja (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Obično, već za n > (15÷20), neslaganje između pristrasnih i nepristrasnih procjena postaje beznačajno. Iz istog razloga, pristranost se obično ne uzima u obzir u formuli za dodavanje varijansi.

Ako se iz opće populacije uzme više uzoraka i svaki put se odredi prosječna vrijednost neke karakteristike, onda nastaje problem procjene varijabilnosti prosjeka. Procijenite varijansu prosječna vrijednost moguće je na osnovu samo jednog posmatranja uzorka koristeći formulu

,

gdje je n veličina uzorka; s 2 – varijansa karakteristike izračunate iz podataka uzorka.

Magnituda se zove prosječna greška uzorkovanja i karakteristika je odstupanja prosječne vrijednosti uzorka atributa X od njegove prave prosječne vrijednosti. Indikator prosječne greške se koristi za procjenu pouzdanosti rezultata posmatranja uzorka.

Pokazatelji relativne disperzije. Za karakterizaciju mjere varijabilnosti karakteristike koja se proučava, indikatori varijabilnosti se izračunavaju u relativnim vrijednostima. Oni omogućavaju da se uporedi priroda disperzije u različitim distribucijama (različite jedinice posmatranja iste karakteristike u dve populacije, sa različita značenja prosjeci, kada se porede različite populacije). Izračunavanje indikatora mjere relativne disperzije vrši se kao omjer indikatora apsolutne disperzije i aritmetičke sredine, pomnožen sa 100%.

1. Koeficijent oscilacije odražava relativnu fluktuaciju ekstremnih vrijednosti karakteristike oko prosjeka

.

2. Relativno linearno isključenje karakteriše udio prosječne vrijednosti predznaka apsolutnih odstupanja od prosječne vrijednosti

.

3. Koeficijent varijacije:

je najčešća mjera varijabilnosti koja se koristi za procjenu tipičnosti prosječnih vrijednosti.

U statistici se populacije sa koeficijentom varijacije većim od 30-35% smatraju heterogenim.

Ova metoda procjene varijacije također ima značajan nedostatak. Zaista, neka, na primjer, prvobitna populacija radnika sa prosječnim stažom od 15 godina, sa standardnom devijacijom od s = 10 godina, „ostari” za još 15 godina. Sada = 30 godina, a standardna devijacija je i dalje 10. Ranije heterogena populacija (10/15 × 100 = 66,7%), što se pokazalo prilično homogenim tokom vremena (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Teorijske studije iz statistike: Sub. Scientific Trudov – M.: Statistika, 1974. str. 19–57.

Prethodno

Tema 5. Prosječne vrijednosti kao statistički pokazatelji

Koncept prosječne vrijednosti. Obim prosjeka u statističkim istraživanjima

Prosječne vrijednosti se koriste u fazi obrade i sumiranja dobijenih primarnih statističkih podataka. Potreba za određivanjem prosječnih vrijednosti je zbog činjenice da, u pravilu, pojedinačne vrijednosti iste karakteristike za različite jedinice populacija koje se proučavaju nisu iste.

Prosječna veličina naziva se indikator koji karakterizira generaliziranu vrijednost karakteristike ili grupe karakteristika u populaciji koja se proučava.

Ako se proučava populacija s kvalitativno homogenim karakteristikama, tada se ovdje ponaša prosječna vrijednost tipičan prosek. Na primjer, za grupe radnika određene industrije sa fiksnim nivoom prihoda utvrđuje se tipičan prosječan izdatak za osnovne potrepštine, tj. tipični prosjek generalizira kvalitativno homogene vrijednosti atributa u datoj populaciji, što je udio troškova među radnicima ove grupe na esencijalna dobra.

Kada se proučava populacija sa kvalitativno heterogenim karakteristikama, može doći do izražaja netipičnost prosječnih pokazatelja. To su, na primjer, prosječni pokazatelji proizvedenog nacionalnog dohotka po glavi stanovnika (različiti starosne grupe), prosječni prinosi žitarica širom Rusije (okruzi razl klimatskim zonama i razne žitarice), prosječne stope nataliteta za sve regije zemlje, prosječne temperature za određeni period itd. Ovdje prosječne vrijednosti generaliziraju kvalitativno heterogene vrijednosti karakteristika ili sistemskih prostornih agregata (međunarodna zajednica, kontinent, država, regija, regija, itd.) ili dinamičkih agregata proširenih tokom vremena (stoljeće, decenija, godina, sezona itd. ) . Takve prosječne vrijednosti se nazivaju sistemske proseke.

Dakle, značaj prosječnih vrijednosti leži u njihovoj generalizujućoj funkciji. Prosječna vrijednost zamjenjuje veliki broj pojedinačne vrijednosti karakteristike, otkrivanje opšta svojstva, svojstveno svim jedinicama stanovništva. Ovo nam, zauzvrat, omogućava da izbjegnemo slučajne uzroke i identificiramo opće obrasce zbog uobičajenih uzroka.

Vrste prosječnih vrijednosti i metode njihovog izračunavanja

U fazi statističke obrade mogu se postaviti različiti istraživački problemi za čije je rješavanje potrebno odabrati odgovarajući prosjek. U ovom slučaju potrebno je voditi se sljedećim pravilom: veličine koje predstavljaju brojnik i imenilac prosjeka moraju biti logički povezane jedna s drugom.

proseci snage;

strukturni proseci.

Hajde da predstavimo sledeće konvencije:

Količine za koje se izračunava prosjek;

Prosjek, gdje traka iznad pokazuje da se vrši usrednjavanje pojedinačnih vrijednosti;

Učestalost (ponovljivost pojedinačnih karakterističnih vrijednosti).

Izvode se različiti prosjeci opšta formula prosjek snage:

(5.1)

kada je k = 1 - aritmetička sredina; k = -1 - harmonijska sredina; k = 0 - geometrijska sredina; k = -2 - srednji kvadrat.

Prosječne vrijednosti mogu biti jednostavne ili ponderisane. Ponderisani proseci To su vrijednosti koje uzimaju u obzir da neke varijante vrijednosti atributa mogu imati različite brojeve, pa se stoga svaka opcija mora pomnožiti s ovim brojem. Drugim riječima, “skale” su brojevi agregatnih jedinica u različitim grupama, tj. Svaka opcija je „ponderisana“ svojom frekvencijom. Frekvencija f se zove statistička težina ili prosečne težine.

Aritmetička sredina- najčešći tip prosjeka. Koristi se kada se proračun vrši na negrupisanim statističkim podacima, gdje je potrebno dobiti prosječan termin. Aritmetička sredina je prosječna vrijednost neke karakteristike, po dobijanju koje ukupan volumen karakteristike u agregatu ostaje nepromijenjen.

Formula za aritmetičku sredinu (jednostavna) ima oblik

gdje je n veličina populacije.

Na primjer, prosječna plata zaposlenih u preduzeću izračunava se kao aritmetički prosjek:

Odlučujući indikatori su plata svakog zaposlenog i broj zaposlenih u preduzeću. Prilikom izračunavanja prosjeka ukupan iznos zarada je ostao isti, ali ravnomjerno raspoređen na sve zaposlene. Na primjer, potrebno je izračunati prosječnu platu radnika u maloj kompaniji koja zapošljava 8 ljudi:

Prilikom izračunavanja prosječnih vrijednosti pojedinačne vrijednosti karakteristike koja se usrednjuje mogu se ponoviti, pa se prosječna vrijednost izračunava pomoću grupisanih podataka. U ovom slučaju mi pričamo o tome o upotrebi ponderisan aritmetički prosek, koji ima oblik

(5.3)

Dakle, moramo izračunati prosječnu cijenu dionica nekih akcionarsko društvo na berzanskom trgovanju. Poznato je da su transakcije obavljene u roku od 5 dana (5 transakcija), a broj prodatih akcija po prodajnom kursu je raspoređen na sledeći način:

1 - 800 ak. - 1010 rub.

2 - 650 ak. - 990 rub.

3 - 700 ak. - 1015 rub.

4 - 550 ak. - 900 rub.

5 - 850 ak. - 1150 rub.

Početni koeficijent za određivanje prosečne cene akcija je odnos ukupnog iznosa transakcija (TVA) i broja prodatih akcija (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3,634,500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

U ovom slučaju, prosječna cijena dionica bila je jednaka

Neophodno je poznavati svojstva aritmetičkog prosjeka, što je veoma važno kako za njegovu upotrebu tako i za izračunavanje. Možemo razlikovati tri glavna svojstva koja su najviše odredila raširenu upotrebu aritmetičkog prosjeka u statističkim i ekonomskim proračunima.

Svojstvo jedan (nula): zbir pozitivnih odstupanja pojedinačnih vrijednosti karakteristike od njene prosječne vrijednosti jednak je zbiru negativnih odstupanja. Ovo je vrlo važno svojstvo, jer pokazuje da će se sva odstupanja (i + i -) uzrokovana slučajnim razlozima međusobno poništavati.

dokaz:

Svojstvo dva (minimum): zbir kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti karakteristike od aritmetičke sredine je manji nego od bilo kojeg drugog broja (a), tj. postoji minimalni broj.

Dokaz.

Hajde da sastavimo zbir kvadrata odstupanja od varijable a:

(5.4)

Da bismo pronašli ekstremu ove funkcije, potrebno je njenu derivaciju u odnosu na a izjednačiti sa nulom:

Odavde dobijamo:

(5.5)

Posljedično, ekstremum sume kvadrata odstupanja se postiže na . Ovaj ekstrem je minimum, jer funkcija ne može imati maksimum.

Svojstvo treće: aritmetička sredina konstantne vrijednosti je jednaka ovoj konstanti: za a = const.

Osim ove tri najvažnija svojstva aritmetička sredina postoje tzv svojstva dizajna, koji postepeno gube na značaju zbog upotrebe elektronske računarske tehnologije:

ako se pojedinačna vrijednost atributa svake jedinice pomnoži ili podijeli sa konstantnim brojem, tada će se aritmetička sredina povećati ili smanjiti za isti iznos;

aritmetička sredina se neće promijeniti ako se težina (učestalost) svake vrijednosti atributa podijeli sa konstantnim brojem;

ako se pojedinačne vrijednosti atributa svake jedinice smanjuju ili povećavaju za isti iznos, tada će se aritmetička sredina smanjiti ili povećati za isti iznos.

Harmonična sredina. Ovaj prosjek se naziva inverzni aritmetički prosjek jer se ova vrijednost koristi kada je k = -1.

Jednostavna harmonijska sredina koristi se kada su težine vrijednosti atributa iste. Njegova formula se može izvesti iz osnovne formule zamjenom k ​​= -1:

Na primjer, moramo izračunati prosječna brzina dva automobila koja su putovala istom rutom, ali sa različitim brzinama: prvi - pri brzini od 100 km/h, drugi - 90 km/h. Koristeći metodu harmonijske sredine izračunavamo prosječnu brzinu:

U statističkoj praksi češće se koristi harmonijski ponderirani, čija formula ima oblik

Ova formula se koristi u slučajevima kada težine (ili zapremine fenomena) za svaki atribut nisu jednake. U početnom omjeru za izračunavanje prosjeka, brojilac je poznat, ali je imenilac nepoznat.