Nagib tangente jednak je vrijednosti. Tangenta na graf funkcije

U matematici, jedan od parametara koji opisuje položaj prave na Dekartovoj koordinatnoj ravni je nagib ovu pravu liniju. Ovaj parametar karakterizira nagib prave linije prema osi apscise. Da biste razumjeli kako pronaći nagib, prvo se prisjetite općeg oblika jednadžbe prave linije u XY koordinatnom sistemu.

IN opšti pogled bilo koja prava linija se može predstaviti izrazom ax+by=c, gdje su a, b i c proizvoljni realni brojevi, ali uvijek a 2 + b 2 ≠ 0.

Koristeći jednostavne transformacije, takva jednadžba se može dovesti u oblik y=kx+d, u kojem su k i d realni brojevi. Broj k je nagib, a jednačina prave ovog tipa naziva se jednačina sa nagibom. Ispostavilo se da da biste pronašli nagib, jednostavno trebate svesti izvornu jednadžbu na gore naveden oblik. Za potpunije razumijevanje, razmotrite konkretan primjer:

Problem: Pronađite nagib prave date jednadžbom 36x - 18y = 108

Rješenje: Transformirajmo originalnu jednačinu.

Odgovor: Potreban nagib ove prave je 2.

Ako smo tokom transformacije jednadžbe dobili izraz kao što je x = const i kao rezultat toga ne možemo predstaviti y kao funkciju od x, onda imamo posla s pravom linijom koja je paralelna s osom X. Ugaoni koeficijent takvog prava linija je jednaka beskonačnosti.

Za linije izražene jednačinom kao što je y = const, nagib je nula. Ovo je tipično za ravne linije paralelne sa osom apscise. Na primjer:

Problem: Pronađite nagib prave date jednadžbom 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rješenje: Dovedite originalnu jednačinu u njen opći oblik

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Nemoguće je izraziti y iz rezultirajućeg izraza, stoga je kutni koeficijent ove linije jednak beskonačnosti, a sama linija će biti paralelna s Y osom.

Geometrijsko značenje

Za bolje razumijevanje, pogledajmo sliku:

Na slici vidimo graf funkcije kao što je y = kx. Da pojednostavimo, uzmimo koeficijent c = 0. U trouglu OAB, omjer stranice BA prema AO će biti jednak kutnom koeficijentu k. Istovremeno, odnos VA/AO je tangent oštar ugaoα in pravougaonog trougla OAV. Ispada da je ugaoni koeficijent ravne linije jednak tangentu ugla koji ta ravna linija čini sa osom apscisa koordinatne mreže.

Rješavajući problem kako pronaći kutni koeficijent prave linije, nalazimo tangentu ugla između nje i X ose koordinatne mreže. Granični slučajevi, kada je dotična prava paralelna sa koordinatnim osama, potvrđuju gore navedeno. Zaista, za pravu liniju opisanu jednadžbom y=const, ugao između nje i ose apscise jednaka nuli. Tangens nultog ugla je takođe nula i nagib je takođe nula.

Za prave linije okomite na x-osu i opisane jednačinom x=const, ugao između njih i X-ose je 90 stepeni. Tangenta pravi ugao jednak je beskonačnosti, a ugaoni koeficijent sličnih pravih takođe je jednak beskonačnosti, što potvrđuje gore napisano.

Tangentni nagib

Uobičajeni zadatak koji se često susreće u praksi je i pronalaženje nagiba tangente na graf funkcije u određenoj tački. Tangenta je prava linija, stoga je koncept nagiba također primjenjiv na nju.

Da bismo shvatili kako pronaći nagib tangente, morat ćemo se prisjetiti koncepta derivacije. Derivat bilo koje funkcije u određenoj tački je konstanta brojčano jednaka tangentu ugla koji se formira između tangente u navedenoj tački na graf ove funkcije i ose apscise. Ispada da za određivanje ugaonog koeficijenta tangente u tački x 0 trebamo izračunati vrijednost derivacije originalne funkcije u ovoj tački k = f"(x 0). Pogledajmo primjer:

Problem: Pronađite nagib tangente linije na funkciju y = 12x 2 + 2xe x na x = 0,1.

Rješenje: Pronađite izvod originalne funkcije u općem obliku

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Odgovor: Traženi nagib u tački x = 0,1 je 4,831

Naučite uzimati derivate funkcija. Izvod karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj tački koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, graf može biti ravna ili kriva linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku. Zapamti opšta pravila, kojim se uzimaju derivati, a tek onda prelazimo na sljedeći korak.

• Pročitajte članak.
• Kako uzeti najjednostavnije derivate, na primjer, derivat eksponencijalna jednačina, opisano. Proračuni predstavljeni u sljedećim koracima će se zasnivati ​​na metodama opisanim u njima.

Naučite razlikovati probleme u kojima se nagib mora izračunati kroz derivaciju funkcije. Problemi ne traže uvijek od vas da pronađete nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas će se možda tražiti da pronađete stopu promjene funkcije u tački A(x,y). Od vas se takođe može tražiti da pronađete nagib tangente u tački A(x,y). U oba slučaja potrebno je uzeti derivaciju funkcije.

Već ste upoznati sa konceptom tangente na graf funkcije. Grafikon funkcije f diferencibilne u tački x 0 blizu x 0 praktično se ne razlikuje od tangentnog segmenta, što znači da je blizu sekante l koji prolazi kroz tačke (x 0 ; f (x 0)) i ( x 0 +Δx; f ( x 0 + Δx)). Bilo koja od ovih sekanti prolazi kroz tačku A (x 0 ; f (x 0)) grafa (slika 1). Da bi se jednoznačno definirala prava koja prolazi kroz datu tačku A, dovoljno je naznačiti njen nagib. Ugaoni koeficijent Δy/Δx sekante kao Δh→0 teži broju f ‘(x 0) (uzećemo ga kao ugaoni koeficijent tangente) Kažu da tangenta je granični položaj sekansa na Δh→0.

Ako f'(x 0) ne postoji, onda tangenta ili ne postoji (kao funkcija y = |x| u tački (0; 0), vidi sliku) ili je vertikalna (kao grafik funkcije u tačka (0 ; 0), sl. 2).

Dakle, postojanje derivacije funkcije f u tački xo je ekvivalentno postojanju (nevertikalne) tangente u tački (x 0, f (x 0)) grafa, dok tangentni nagib je jednako f" (x 0). Ovo je geometrijsko značenje derivat

Tangenta na graf funkcije f diferencibilne u tački xo je prava linija koja prolazi kroz tačku (x 0 ; f (x 0)) i ima ugaoni koeficijent f '(x 0).

Nacrtajmo tangente na graf funkcije f u tačkama x 1, x 2, x 3 (slika 3) i zabilježimo uglove koje formiraju sa osom apscisa. (Ovo je ugao mjeren u pozitivnom smjeru od pozitivnog smjera ose do prave.) Vidimo da je ugao α 1 oštar, ugao α 3 tup, a ugao α 2 nula, pošto je prava l paralelno sa osom Ox. Tangens oštrog ugla je pozitivan, tangens tupog ugla negativan, tan 0 = 0. Prema tome

F"(x 1)>0, f’(x 2)=0, f’(x 3)
Konstruisanje tangenti u pojedinačnim tačkama omogućava vam da preciznije skicirate grafove. Tako, na primjer, da bismo konstruirali skicu grafa sinusne funkcije, prvo nalazimo da u tačkama 0; π/2 i π izvod sinusa je jednak 1; 0 i -1 respektivno. Konstruirajmo prave koje prolaze kroz tačke (0; 0), (π/2,1) i (π, 0) sa ugaonim koeficijentima 1, 0 i -1, redom (slika 4). Ostaje da se uklopi u rezultirajući trapez formiran od ovih pravih linija i prave Ox, grafik sinusa tako da za x jednako 0, π/2 i π, dodiruje odgovarajuće prave linije.

Imajte na umu da se grafik sinusa u blizini nule praktično ne razlikuje od prave linije y = x. Neka, na primjer, skala duž osi bude odabrana tako da jedinica odgovara segmentu od 1 cm. Imamo sin 0,5 ≈ 0,479425, tj. |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02, a na odabranoj skali to odgovara segmentu dužine 0,2 mm. Stoga će grafik funkcije y = sin x u intervalu (-0,5; 0,5) odstupiti (u vertikalnom smjeru) od prave linije y = x za najviše 0,2 mm, što približno odgovara debljini nacrtana linija.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Razmotrite sljedeću sliku:

Ona prikazuje određenu funkciju y = f(x), koja je diferencibilna u tački a. Tačka M sa koordinatama (a; f(a)) je označena. Sekansa MR se povlači kroz proizvoljnu tačku P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa.

Ako se sada tačka P pomeri duž grafika do tačke M, tada će prava linija MR rotirati oko tačke M. U ovom slučaju, ∆x će težiti nuli. Odavde možemo formulirati definiciju tangente na graf funkcije.

Tangenta na graf funkcije

Tangenta na graf funkcije je granična pozicija sekansa jer inkrement argumenta teži nuli. Treba shvatiti da postojanje derivacije funkcije f u tački x0 znači da u ovoj tački grafa postoji tangenta za njega.

U ovom slučaju, kutni koeficijent tangente će biti jednak derivaciji ove funkcije u ovoj tački f’(x0). Ovo je geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije f diferencibilne u tački x0 je određena prava linija koja prolazi kroz tačku (x0;f(x0)) i ima ugaoni koeficijent f’(x0).

Tangentna jednadžba

Pokušajmo dobiti jednadžbu tangente na graf neke funkcije f u tački A(x0; f(x0)). Jednačina prave linije sa nagibom k ima sljedeći oblik:

Pošto je naš koeficijent nagiba jednak izvodu f’(x0), tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik: y = f’(x0)*x + b.

Sada izračunajmo vrijednost b. Da bismo to učinili, koristimo činjenicu da funkcija prolazi kroz tačku A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odavde izražavamo b i dobijamo b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Razmotrite sljedeći primjer: pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 u tački x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Zamijenite dobijene vrijednosti u tangentnu formulu, dobijamo: y = 1 + 4*(x - 2). Otvarajući zagrade i donoseći slične pojmove dobijamo: y = 4*x - 7.

Odgovor: y = 4*x - 7.

Opća shema za sastavljanje tangentne jednačine na graf funkcije y = f(x):

1. Odrediti x0.

2. Izračunajte f(x0).

3. Izračunajte f’(x)