Množenje razlomaka s različitim nazivnicima i cijelim brojevima. Pravila za množenje i dijeljenje razlomaka cijelim brojevima

Druga operacija koja se može izvesti s običnim razlomcima je množenje. Pokušat ćemo objasniti njegova osnovna pravila pri rješavanju zadataka, pokazaćemo kako se običan razlomak množi sa prirodni broj i kako pravilno pomnožiti tri obična razlomka i više.

Zapišimo prvo osnovno pravilo:

Definicija 1

Ako pomnožimo jedan obični razlomak, tada će brojilac rezultirajućeg razlomka biti jednak umnošku brojnika originalnih razlomaka, a nazivnik će biti jednak umnošku njihovih nazivnika. U doslovnom obliku, za dva razlomka a / b i c / d, ovo se može izraziti kao a b · c d = a · c b · d.

Pogledajmo primjer kako pravilno primijeniti ovo pravilo. Recimo da imamo kvadrat čija je stranica jednaka jednoj brojevnoj jedinici. Tada će površina figure biti 1 kvadrat. jedinica. Ako kvadrat podijelimo na jednake pravokutnike sa stranicama jednakim 1 4 i 1 8 brojevnim jedinicama, dobićemo da se sada sastoji od 32 pravokutnika (jer je 8 4 = 32). Prema tome, površina svakog od njih bit će jednaka 1 32 površine cijele figure, tj. 1 32 sq. jedinice.

Imamo osenčeni fragment sa stranicama jednakim 5 8 numeričkih jedinica i 3 4 numeričkim jedinicama. U skladu s tim, da biste izračunali njegovu površinu, morate prvi razlomak pomnožiti s drugim. To će biti jednako 5 8 · 3 4 sq. jedinice. Ali možemo jednostavno izbrojati koliko je pravokutnika uključeno u fragment: ima ih 15, što znači ukupne površine je 15 32 kvadratne jedinice.

Kako je 5 3 = 15 i 8 4 = 32, možemo napisati sljedeću jednakost:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

To potvrđuje pravilo koje smo formulirali za množenje običnih razlomaka, a koje se izražava kao a b · c d = a · c b · d. Radi isto i za pravilne i za nepravilne razlomke; Može se koristiti za množenje razlomaka sa različitim i identičnim nazivnicima.

Pogledajmo rješenja nekoliko problema koji uključuju množenje običnih razlomaka.

Primjer 1

Pomnožite 7 11 sa 9 8.

Rješenje

Prvo, izračunajmo proizvod brojila navedenih razlomaka množenjem 7 sa 9. Imamo 63. Zatim izračunamo proizvod nazivnika i dobijemo: 11 · 8 = 88. Sastavimo dva broja i odgovor je: 63 88.

Cijelo rješenje se može napisati ovako:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

odgovor: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Ako u odgovoru dobijemo razlomak koji se može smanjiti, moramo završiti proračun i izvršiti njegovo smanjenje. Ako dobijemo nepravilan razlomak, moramo iz njega izdvojiti cijeli dio.

Primjer 2

Izračunaj proizvod razlomaka 4 15 i 55 6 .

Rješenje

Prema gore proučenom pravilu, trebamo pomnožiti brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Zapis rješenja će izgledati ovako:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Dobili smo svodljivi razlomak, tj. onaj koji je deljiv sa 10.

Smanjimo razlomak: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak, iz kojeg odabiremo cijeli dio i dobijemo mješoviti broj: 22 9 = 2 4 9 .

odgovor: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Radi lakšeg izračunavanja, također možemo smanjiti originalne razlomke prije izvođenja operacije množenja, za koju trebamo svesti razlomak na oblik a · c b · d. Razložimo vrijednosti varijabli na jednostavne faktore i smanjimo iste.

Hajde da objasnimo kako ovo izgleda koristeći podatke iz određenog zadatka.

Primjer 3

Izračunaj proizvod 4 15 55 6.

Rješenje

Zapišimo proračune na osnovu pravila množenja. dobićemo:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Kako je 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 i 6 = 2 3, onda je 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Odgovori: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Numerički izraz, u kojem se odvija množenje običnih razlomaka, ima komutativno svojstvo, odnosno, ako je potrebno, možemo promijeniti redoslijed faktora:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Kako pomnožiti razlomak prirodnim brojem

Hajdemo odmah da zapišemo osnovno pravilo, a zatim ga pokušajmo objasniti u praksi.

Definicija 2

Da biste običan razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je pomnožiti brojilac tog razlomka s tim brojem. U ovom slučaju, nazivnik konačnog razlomka će biti jednak nazivniku originala običan razlomak. Množenje određenog razlomka a b prirodnim brojem n može se zapisati kao formula a b · n = a · n b.

Ovu formulu je lako razumjeti ako se sjetite da se bilo koji prirodni broj može predstaviti kao običan razlomak s nazivnikom jednakim jedan, to jest:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Objasnimo našu ideju konkretnim primjerima.

Primjer 4

Izračunaj proizvod 2 27 puta 5.

Rješenje

Kao rezultat množenja brojnika originalnog razlomka sa drugim faktorom, dobijamo 10. Na osnovu gore navedenog pravila, dobićemo 10 27 kao rezultat. Cijelo rješenje je dato u ovom postu:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

odgovor: 2 27 5 = 10 27

Kada prirodni broj množimo razlomkom, često moramo skratiti rezultat ili ga predstaviti kao mješoviti broj.

Primjer 5

Uslov: izračunaj proizvod 8 sa 5 12.

Rješenje

Prema gornjem pravilu, prirodni broj množimo brojicom. Kao rezultat, dobijamo da je 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Konačni razlomak ima znakove djeljivosti sa 2, pa ga moramo smanjiti:

LCM (40, 12) = 4, dakle 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Sada sve što treba da uradimo je da odaberemo ceo deo i zapišemo spreman odgovor: 10 3 = 3 1 3.

U ovom unosu možete vidjeti cjelokupno rješenje: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Također bismo mogli smanjiti razlomak tako što ćemo brojilac i imenilac razložiti na proste faktore, a rezultat bi bio potpuno isti.

odgovor: 5 12 8 = 3 1 3.

Numerički izraz u kojem se prirodni broj množi razlomkom također ima svojstvo pomaka, odnosno redoslijed faktora ne utječe na rezultat:

a b · n = n · a b = a · n b

Kako pomnožiti tri ili više uobičajenih razlomaka

Na radnju množenja običnih razlomaka možemo proširiti ista svojstva koja su karakteristična za množenje prirodnih brojeva. To proizilazi iz same definicije ovih pojmova.

Zahvaljujući poznavanju svojstava kombinovanja i komutacije, možete pomnožiti tri ili više običnih razlomaka. Prihvatljivo je preurediti faktore radi veće udobnosti ili rasporediti zagrade na način koji olakšava brojanje.

Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Primjer 6

Pomnožite četiri obična razlomka 1 20, 12 5, 3 7 i 5 8.

Rješenje: Prvo, snimimo rad. Dobijamo 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Moramo zajedno pomnožiti sve brojioce i nazivnike: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Prije nego što počnemo s množenjem, možemo malo olakšati sebi stvari i faktorizirati neke brojeve u proste faktore za daljnje smanjenje. To će biti lakše nego smanjiti rezultirajuću frakciju koja je već pripremljena.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280

odgovor: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Primjer 7

Pomnožite 5 brojeva 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Rješenje

Radi praktičnosti, možemo grupirati razlomak 7 8 sa brojem 8, a broj 12 sa razlomkom 5 36, jer će nam buduće skraćenice biti očigledne. Kao rezultat, dobićemo:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 7 5 10 6 2 3

odgovor: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Množenje običnih razlomaka

Pogledajmo primjer.

Neka postoji $\frac(1)(3)$ dio jabuke na tanjiru. Moramo pronaći njegov dio $\frac(1)(2)$. Traženi dio je rezultat množenja razlomaka $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak.

Množenje dva obična razlomka

Pravilo za množenje običnih razlomaka:

Rezultat množenja razlomka razlomkom je razlomak čiji je brojilac jednak umnošku brojnika razlomaka koji se množe, a nazivnik je jednak proizvodu nazivnika:

Primjer 1

Izvršite množenje uobičajenih razlomaka $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.

Rješenje.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

odgovor:$\frac(15)(77)$

Ako množenje razlomaka rezultira svodljivim ili nepravilnim razlomkom, morate ga pojednostaviti.

Primjer 2

Pomnožite razlomke $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.

Rješenje.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kao rezultat, dobili smo razlomak koji se može smanjiti (na osnovu dijeljenja sa $3$. Podijelimo brojilac i imenilac razlomka sa $3$, dobićemo:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

odgovor:$\frac(1)(24).$

Prilikom množenja razlomaka možete smanjiti brojioce i nazivnike dok ne pronađete njihov proizvod. U ovom slučaju, brojnik i nazivnik razlomka se razlažu na jednostavne faktore, nakon čega se ponavljajući faktori poništavaju i rezultat se nalazi.

Primjer 3

Izračunajte proizvod razlomaka $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.

Rješenje.

Koristimo formulu za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Očigledno, brojilac i nazivnik sadrže brojeve koji se u parovima mogu svesti na brojeve $2$, $3$ i $5$. Razložimo brojilac i imenilac u jednostavne činioce i napravimo smanjenje:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

odgovor:$\frac(1)(20).$

Prilikom množenja razlomaka možete primijeniti komutativni zakon:

Množenje običnog razlomka prirodnim brojem

Pravilo za množenje običnog razlomka prirodnim brojem:

Rezultat množenja razlomka prirodnim brojem je razlomak u kojem je brojilac jednak umnošku brojnika pomnoženog razlomka prirodnim brojem, a nazivnik jednak nazivniku pomnoženog razlomka:

gdje je $\frac(a)(b)$ običan razlomak, $n$ je prirodan broj.

Primjer 4

Pomnožite razlomak $\frac(3)(17)$ sa $4$.

Rješenje.

Koristimo pravilo za množenje običnog razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

odgovor:$\frac(12)(17).$

Ne zaboravite provjeriti rezultat množenja reducibilnošću razlomka ili nepravilnim razlomkom.

Primjer 5

Pomnožite razlomak $\frac(7)(15)$ brojem $3$.

Rješenje.

Koristimo formulu za množenje razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Dijeljenjem sa brojem $3$) možemo utvrditi da se rezultujući razlomak može smanjiti:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultat je bio netačan razlomak. Odaberimo cijeli dio:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Razlomci se također mogu smanjiti zamjenom brojeva u brojniku i nazivniku njihovim faktorizacijama u proste faktore. U ovom slučaju rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

odgovor:$1\frac(2)(5).$

Kada množite razlomak prirodnim brojem, možete koristiti komutativni zakon:

Dijeljenje razlomaka

Operacija dijeljenja je inverzna od množenja i njen rezultat je razlomak s kojim trebate pomnožiti poznati razlomak da biste dobili poznato delo dva razlomka.

Dijeljenje dva obična razlomka

Pravilo za dijeljenje običnih razlomaka: Očigledno, brojnik i imenilac rezultujućeg razlomka mogu se faktorisati i smanjiti:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Kao rezultat, dobijamo nepravilan razlomak iz kojeg biramo cijeli dio:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

odgovor:$1\frac(5)(9).$

Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.

Množenje običnog razlomka s razlomkom.

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati proizvod brojilaca i umnožaka nazivnika ovih razlomaka.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \puts c)(b \puts d)\\\)

Pogledajmo primjer:
Množimo brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka množimo i imeniocem drugog razlomka.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)

Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \puts 3) = \frac(4)(7)\\\) smanjen je za 3.

Množenje razlomka brojem.

Prvo, zapamtimo pravilo, bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Koristimo ovo pravilo prilikom množenja.

\(5 \ puta \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Nepravilan razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvoreno u mješovita frakcija.

Drugim riječima, Kada broj množimo razlomkom, množimo broj sa brojnikom i imenilac ostavljamo nepromijenjen. primjer:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Množenje mješovitih razlomaka.

Da biste pomnožili mješovite razlomke, prvo morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim koristiti pravilo množenja. Množimo brojilac sa brojicom, a nazivnik množimo sa imeniocem.

primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ puta 6) = \frac(3 \puta \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.

Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzan razlomku \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročni razlomci. Proizvod recipročnih razlomaka jednak je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak sa razlomkom?
Odgovor: Proizvod običnih razlomaka je množenje brojnika sa brojicom, nazivnika sa nazivnikom. Da biste dobili proizvod miješanih razlomaka, trebate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.

Kako množiti razlomke sa različiti imenioci?
Odgovor: nije bitno da li razlomci imaju iste ili različite nazivnike, množenje se vrši po pravilu pronalaženja umnožaka brojnika sa brojicom, nazivnika sa nazivnikom.

Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod koristeći pravila množenja.

Kako pomnožiti broj sa razlomkom?
Odgovor: množimo broj sa brojicom, ali imenilac ostavljamo isti.

Primjer #1:
Izračunajte proizvod: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Rješenje:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \puts 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crvena) (5))(3 \puta \color(crvena) (5) \puta 13) = \frac(4)(39)\)

Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \puta 11\)

Rješenje:
a) \(3 \puta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost razlomka \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)

Primjer #4:
Izračunajte umnožak dva recipročna razlomka: a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104)\)

Rješenje:
a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104) = 1\)

Primjer #5:
Mogu li recipročni razlomci biti:
a) istovremeno sa pravim razlomcima;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) istovremeno prirodni brojevi?

Rješenje:
a) da bismo odgovorili na prvo pitanje, dajmo primjer. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravilan, njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(3)(2)\) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.

b) u skoro svim nabrajanjima razlomaka ovaj uslov nije ispunjen, ali postoje neki brojevi koji ispunjavaju uslov da su istovremeno nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilan razlomak je \(\frac(3)(3)\), njegov inverzni razlomak je jednak \(\frac(3)(3)\). Dobijamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uslovima kada su brojnik i imenilac jednaki.

c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo prilikom brojanja, na primjer, 1, 2, 3, …. Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), tada će njegov inverzni razlomak biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost broja je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, onda će njegov recipročni razlomak biti \(\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu istovremeno biti prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je to broj 1.

Primjer #6:
Uradite umnožak mješovitih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \puta 3\frac(2)(7)\ )

Rješenje:
a) \(4 \puta 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Primjer #7:
Mogu li dva recipročna broja biti mješoviti brojevi u isto vrijeme?

Pogledajmo primjer. Uzmimo mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), pronađemo njegov inverzni razlomak, da bismo to učinili pretvaramo ga u nepravilan razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva razlomka koja su međusobno inverzna ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.

PREBIJTE VEĆ OVE GRABULJKE! 🙂

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma „ne baš. »
I za one koji „jako. ")

Ova operacija je mnogo ugodnija od sabiranja i oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećamo, da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojioce (ovo će biti brojilac rezultata) i nazivnike (ovo će biti imenilac). To je:

Sve je krajnje jednostavno. I molim vas ne tražite zajednički imenitelj! Nema potrebe za njim ovde...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate obrnuti sekunda(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:

Ako naiđete na množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod sabiranja, pravimo razlomak od cijelog broja sa jedan u nazivniku - i samo naprijed! Na primjer:

U srednjoj školi često morate da imate posla sa trospratnim (ili čak četvorospratnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako mogu učiniti da ovaj razlomak izgleda pristojno? Da, vrlo jednostavno! Koristite podjelu na dvije tačke:

Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali lako je pogriješiti u trospratnom razlomku. Imajte na umu na primjer:

U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):

U drugom (izraz desno):

Osjećate li razliku? 4 i 1/9!

Šta određuje redoslijed podjele? Ili sa zagradama, ili (kao ovde) sa dužinom horizontalnih linija. Razvijte svoje oko. A ako nema zagrada ili crtica, kao:

zatim podijeli i pomnoži redom, s lijeva na desno!

I još jedna vrlo jednostavna i važna tehnika. U akcijama sa diplomama, to će vam biti od velike koristi! Podijelimo jedan bilo kojim razlomkom, na primjer, sa 13/15:

Šut se preokrenuo! I to se uvijek dešava. Kada se 1 podijeli bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo naopako.

To je to za operacije sa razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Uzmite u obzir praktične savjete i bit će ih manje (greške)!

1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja! Ovo nisu opšte reči, nisu dobre želje! Ovo je strašna potreba! Uradite sve proračune na Jedinstvenom državnom ispitu kao potpuni zadatak, fokusiran i jasan. Bolje je da napišete dva dodatna reda u nacrtu nego da zabrljate dok radite mentalne proračune.

2. U primjerima sa različite vrste razlomci - prijeđite na obične razlomke.

3. Smanjujemo sve razlomke dok se ne zaustave.

4. Razlomačke izraze na više nivoa svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije tačke (pratimo redoslijed dijeljenja!).

Evo zadataka koje svakako morate obaviti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale na ovu temu i praktične savjete. Procijenite koliko ste primjera uspjeli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke.

Zapamtite - tačan odgovor je primljeno od drugog (naročito trećeg) puta se ne računa! Takav je surov život.

dakle, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, već priprema za Jedinstveni državni ispit. Rešavamo primer, proveravamo ga, rešavamo sledeći. Odlučili smo sve - ponovo provjerili od prvog do posljednjeg. Ali samo Onda pogledajte odgovore.

Tražimo odgovore koji odgovaraju vašima. Namjerno sam ih zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem. Evo ih, odgovora, odvojenih tačkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo, drago mi je zbog tebe! Osnovni proračuni sa razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne.

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali. Ovo rješivo Problemi.

Svi ovi (i više!) primjeri razmatrani su u Posebnom odjeljku 555 “Razlomci”. Sa detaljnim objašnjenjima šta, zašto i kako. Ova analiza puno pomaže u nedostatku znanja i vještina!

Da, i na drugom problemu postoji nešto.) Sasvim praktični saveti, kako da postanete pažljiviji. Da da! Savjeti koji se mogu primijeniti svaki.

Osim znanja i pažnje, za uspjeh je potreban i određeni automatizam. Gdje ga mogu nabaviti? Čujem teški uzdah... Da, samo na praksi, nigde više.

Možete otići na web stranicu 321start.ru za obuku. Tamo u opciji “Pokušaj” ima 10 primjera za svakoga. Sa trenutnom verifikacijom. Za registrovane korisnike - 34 primjera od jednostavnih do ozbiljnih. Ovo je samo u razlomcima.

Ako vam se sviđa ovaj sajt.

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Ovdje možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

I ovdje se možete upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Pravilo 1.

Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je da pomnožite njegov brojnik sa ovim brojem i ostavite imenilac nepromijenjen.

Pravilo 2.

Da pomnožite razlomak sa razlomkom:

1. naći umnožak brojilaca i umnožaka nazivnika ovih razlomaka

2. Napišite prvi proizvod kao brojnik, a drugi kao imenilac.

Pravilo 3.

Za množenje mješovitih brojeva potrebno ih je napisati kao nepravilne razlomke, a zatim koristiti pravilo za množenje razlomaka.

Pravilo 4.

Da biste podijelili jedan razlomak drugim, morate pomnožiti dividendu recipročnom vrijednosti djelitelja.

Primjer 1.

Izračunati

Primjer 2.

Izračunati

Primjer 3.

Izračunati

Primjer 4.

Izračunati

Matematika. Ostali materijali

Podizanje broja na racionalni stepen. (

Podizanje broja na prirodni stepen. (

Generalizovana intervalna metoda za rešavanje algebarskih nejednakosti (autor A.V. Kolčanov)

Metoda zamjene faktora pri rješavanju algebarskih nejednačina (Autor Kolčanov A.V.)

Znakovi djeljivosti (Lungu Alena)

Testirajte se na temu 'Množenje i dijeljenje običnih razlomaka'

Množenje razlomaka

Razmotrit ćemo množenje običnih razlomaka u nekoliko mogućih opcija.

Množenje običnog razlomka s razlomkom

Ovo je najjednostavniji slučaj u kojem trebate koristiti sljedeće pravila za množenje razlomaka.

To pomnožiti razlomak sa razlomkom, potrebno:

pomnoži brojilac prvog razlomka sa brojicom drugog razlomka i njihov proizvod upiše u brojnik novog razlomka;

pomnoži nazivnik prvog razlomka sa nazivnikom drugog razlomka i njihov proizvod upiše u nazivnik novog razlomka;

Prije množenja brojionika i nazivnika, provjerite da li se razlomci mogu smanjiti. Smanjenje razlomaka u proračunima znatno će olakšati vaše izračune.

Množenje razlomka prirodnim brojem

Da napravim razlomak pomnožiti prirodnim brojem Morate pomnožiti brojilac razlomka sa ovim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjen.

Ako je rezultat množenja nepravilan razlomak, ne zaboravite ga pretvoriti u mješoviti broj, odnosno označiti cijeli dio.

Množenje mješovitih brojeva

Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem

Ponekad je prilikom izračunavanja zgodnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojilac ostaviti isti.

Kao što se može vidjeti iz primjera, ova verzija pravila je pogodnija za korištenje ako je nazivnik razlomka djeljiv prirodnim brojem bez ostatka.

Deljenje razlomka brojem

Koji je najbrži način da se razlomak podijeli brojem? Hajde da analiziramo teoriju, izvučemo zaključak i upotrijebimo primjere da vidimo kako se dijeljenje razlomka brojem može izvršiti pomoću novog kratkog pravila.

Tipično, dijeljenje razlomka brojem slijedi pravilo za dijeljenje razlomaka. Prvi broj (razlomak) množimo obrnutim brojem drugog. Budući da je drugi broj cijeli broj, njegov inverz je razlomak čiji je brojilac jednako jedan, a imenilac je dati broj. Šematski, dijeljenje razlomka prirodnim brojem izgleda ovako:

Iz ovoga zaključujemo:

Da biste razlomak podijelili brojem, potrebno je pomnožiti nazivnik s tim brojem, a brojilac ostaviti isti. Pravilo se može formulisati još kraće:

Kada se razlomak dijeli brojem, broj prelazi u nazivnik.

Podijelite razlomak brojem:

Da bismo razlomak podijelili brojem, prepisujemo brojnik nepromijenjen, a nazivnik množimo ovim brojem. Smanjujemo 6 i 3 za 3.

Kada dijelimo razlomak brojem, prepisujemo brojilac i imenilac množimo tim brojem. Smanjujemo 16 i 24 za 8.

Prilikom dijeljenja razlomka brojem, broj prelazi u nazivnik, tako da brojilac ostavljamo isti, a nazivnik množimo djeliteljem. Smanjujemo 21 i 35 za 7.

Množenje i dijeljenje razlomaka

Prošli put smo naučili kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju „Sabiranje i oduzimanje razlomaka“). Najteži dio tih radnji bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije još jednostavnije od sabiranja i oduzimanja. Prvo, razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez odvojenog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutim" drugim razlomkom.

Iz definicije slijedi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste "okrenuli" razlomak, samo zamijenite brojilac i imenilac. Stoga ćemo tokom čitave lekcije uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja, može nastati (i često nastaje) razlomak koji se može smanjiti - on se, naravno, mora smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, cijeli dio treba istaknuti. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički imenitelj: bez unakrsnih metoda, najvećih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka cijelim i negativnim razlomcima

Ako razlomci sadrže cijeli broj, moraju se pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus po minus daje minus;
2. Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ova pravila susretala samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za djelo se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko nedostataka odjednom:

3. Negative precrtavamo u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnim slučajevima može preživjeti jedan minus – onaj za koji nije bilo partnera;
4. Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan jer za njega nije bilo para, uzimamo ga izvan granica množenja. Rezultat je negativan razlomak.

Sve razlomke pretvaramo u nepravilne, a zatim iz množenja izvlačimo minuse. Množimo ono što je ostalo normalna pravila. Dobijamo:

Da vas još jednom podsjetim da se minus koji se pojavljuje ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na cijeli njegov dio (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Također imajte na umu negativni brojevi: Prilikom množenja, oni su zatvoreni u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio precizniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je vrlo radno intenzivna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da pojednostavite problem, možete pokušati dodatno smanjiti razlomak prije množenja. Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:

U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je ostalo od njih su označeni crvenom bojom.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Na njihovom mjestu ostaju jedinice koje, općenito govoreći, ne treba pisati. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupan iznos proračuna ipak smanjio.

Međutim, nikada nemojte koristiti ovu tehniku ​​kada dodajete i oduzimate razlomke! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Greška nastaje jer pri sabiranju brojnik razlomka daje zbroj, a ne proizvod brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, jer je u ovom svojstvu mi pričamo o tome konkretno o množenju brojeva.

Drugih razloga za smanjenje razlomaka jednostavno nema, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:

Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Dijeljenje razlomaka.

Deljenje razlomka prirodnim brojem.

Primjeri dijeljenja razlomka prirodnim brojem

Dijeljenje prirodnog broja razlomkom.

Primjeri dijeljenja prirodnog broja razlomkom

Podjela običnih razlomaka.

Primjeri dijeljenja običnih razlomaka

Deljenje mešovitih brojeva.

Da podijelite jedan mješoviti broj drugim, trebate:
• pretvoriti miješane razlomke u nepravilne razlomke;
• pomnožiti prvi razlomak recipročnom vrijednosti drugog;
• smanjiti rezultirajuću frakciju;
• Ako dobijete nepravilan razlomak, pretvorite ga u mješoviti razlomak.

Primjeri dijeljenja mješovitih brojeva

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Svi nepristojni komentari će biti obrisani, a njihovi autori će biti stavljeni na crnu listu!

Dobrodošli u OnlineMSchool.
Moje ime je Dovžik Mihail Viktorovič. Vlasnik sam i autor ove stranice, napisao sam sav teoretski materijal, a također i razvio online vježbe i kalkulatore koje možete koristiti za učenje matematike.

Razlomci. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Množenje običnog razlomka s razlomkom.

Da biste pomnožili obične razlomke, potrebno je pomnožiti brojilac sa brojicom (dobijamo brojilac proizvoda) i nazivnik sa nazivnikom (dobijamo nazivnik proizvoda).

Formula za množenje razlomaka:





Prije nego počnete množenje brojionika i nazivnika, morate provjeriti može li se razlomak smanjiti. Ako možete smanjiti razlomak, bit će vam lakše napraviti daljnje proračune.

Bilješka! Ovdje nema potrebe tražiti zajednički imenitelj!!

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom se događa ovako: okrećete drugi razlomak (tj. promijenite brojilac i imenilac) i nakon toga se razlomci množe.

Formula za dijeljenje običnih razlomaka:





Množenje razlomka prirodnim brojem.

Bilješka! Kada se razlomak množi prirodnim brojem, brojilac razlomka se množi našim prirodnim brojem, a nazivnik razlomka ostaje isti. Ako je rezultat proizvoda nepravilan razlomak, onda svakako označite cijeli dio, pretvarajući nepravilan razlomak u miješani razlomak.



Dijeljenje razlomaka koji uključuju prirodne brojeve.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao i kod sabiranja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedan u nazivniku. Na primjer:



Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvoriti miješane razlomke u nepravilne razlomke;
• množenje brojilaca i nazivnika razlomaka;
• smanjiti frakciju;
• Ako dobijete nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti razlomak.

Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate pretvoriti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.



Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.

Možda je zgodnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, morate podijeliti nazivnik razlomka sa ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.



Iz gore navedenog primjera jasno je da je ova opcija pogodnija za korištenje kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

Višespratni razlomci.

U srednjoj školi često se susreću trospratni (ili više) razlomci. primjer:

Da biste takav razlomak doveli u uobičajeni oblik, koristite podjelu na 2 točke:



Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je da napišete nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego da se izgubite u mentalnim proračunima.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka idite na tip običnih razlomaka.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

4. Razlomke na više nivoa transformiramo u obične pomoću dijeljenja na 2 tačke.

• Pod- i nedovoljno prerađena pesma "Prolećni tango" (Dođe vreme - ptice lete sa juga) - muzika. Valerij Miljajev Nisam dovoljno čuo, nisam razumeo, nisam razumeo, u smislu da nisam pogodio, napisao sam sve glagole sa neodvojivo, nisam znao za prefiks nedo. Dešava se, […]
• Stranica nije pronađena U trećem završnom čitanju usvojen je paket vladinih dokumenata koji predviđaju stvaranje posebnih administrativnih regija (SAR). Kao rezultat napuštanja Evropske unije, Velika Britanija neće biti uključena u evropski PDV prostor i […]
• Zajednički istražni komitet pojavit će se na jesen Zajednički istražni komitet će se pojaviti na jesen Istraga svih agencija za provođenje zakona bit će stavljena pod jedan krov u četvrtom pokušaju Već u jesen 2014. godine, prema Izvestijama, predsjednik Vladimir Putin [ …]
• Patent za algoritam Kako izgleda patent za algoritam Kako se priprema patent za algoritam Priprema tehnički opisi metode pohranjivanja, obrade i prijenosa signala i/ili podataka posebno za potrebe patentiranja obično ne predstavljaju posebne poteškoće, a […]
• ŠTA JE VAŽNO ZNATI O NOVOM ZAKONU O PENZIJAMA USTAV RUSKOG FEDERACIJE 12. decembra 1993. godine (uzimajući u obzir amandmane zakona Ruske Federacije o amandmanima na Ustav Ruske Federacije od 30. decembra 2008. godine N 6 FKZ, od 30. decembra 2008. N 7-FKZ, […]
• Smiješne pjesmice o ženskoj penziji za heroja dana, muškarcima za heroja dana, muškarcima - u horu za heroja dana, ženama - posveti penzionerima, ženama, smiješno. Takmičenja za penzionere će biti zanimljiva. Voditelj : Dragi prijatelji! Samo momenat! Sensation! Samo […]

) i imenilac po imenilac (dobijamo imenilac proizvoda).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego počnete množenje brojionika i nazivnika, morate provjeriti može li se razlomak smanjiti. Ako možete smanjiti razlomak, bit će vam lakše napraviti daljnje proračune.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka koji uključuju prirodne brojeve.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao iu slučaju sabiranja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvoriti miješane razlomke u nepravilne razlomke;
• množenje brojilaca i nazivnika razlomaka;
• smanjiti frakciju;
• Ako dobijete nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti razlomak.

Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate pretvoriti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.

Možda je zgodnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, morate podijeliti nazivnik razlomka sa ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gore navedenog primjera jasno je da je ova opcija pogodnija za korištenje kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

Višespratni razlomci.

U srednjoj školi često se susreću trospratni (ili više) razlomci. primjer:

Da biste takav razlomak doveli u uobičajeni oblik, koristite podjelu na 2 točke:

Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je da napišete nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego da se izgubite u mentalnim proračunima.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka idite na tip običnih razlomaka.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

4. Razlomke na više nivoa transformiramo u obične pomoću dijeljenja na 2 tačke.

5. Podijelite jedinicu s razlomkom u svojoj glavi, jednostavno okrećući razlomak.