Korijen diskriminantne jednačine je 0. Uvijek budite raspoloženi

Diskriminanta, kao i kvadratne jednadžbe, počinje se izučavati u predmetu algebre u 8. razredu. Kvadratnu jednačinu možete riješiti pomoću diskriminanta i korištenjem Vietine teoreme. Metoda proučavanja kvadratnih jednačina, kao i diskriminantnih formula, prilično se neuspješno uči školarcima, kao i mnoge stvari u realnom obrazovanju. Stoga prolaze školske godine, obrazovanje u 9-11 razredima zamjenjuje " više obrazovanje"i svi ponovo gledaju - "Kako riješiti kvadratnu jednačinu?", "Kako pronaći korijene jednačine?", "Kako pronaći diskriminanta?" i...

Diskriminantna formula

Diskriminanta D kvadratne jednačine a*x^2+bx+c=0 je jednaka D=b^2–4*a*c.
Korijeni (rješenja) kvadratne jednadžbe zavise od predznaka diskriminanta (D):
D>0 – jednačina ima 2 različita realna korijena;
D=0 - jednadžba ima 1 korijen (2 podudarna korijena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračunavanje diskriminanta je prilično jednostavna, tako da mnoge web stranice nude online diskriminantni kalkulator. Ovakvu vrstu skripti još nismo smislili, pa ako neko zna kako to implementirati neka nam piše na e-mail Ova adresa el. pošte je zaštićena od spambotova. Morate imati omogućen JavaScript da biste ga vidjeli. .

Opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:

Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formule
Ako je koeficijent kvadratne varijable uparen, onda je preporučljivo izračunati ne diskriminanta, već njegov četvrti dio
U takvim slučajevima, korijeni jednadžbe se nalaze pomoću formule

Drugi način pronalaženja korijena je Vietina teorema.

Teorema je formulirana ne samo za kvadratne jednadžbe, već i za polinome. Ovo možete pročitati na Wikipediji ili drugim elektronskim izvorima. Međutim, da pojednostavimo, razmotrimo dio koji se odnosi na gornje kvadratne jednadžbe, odnosno jednadžbe oblika (a=1)
Suština Vietinih formula je da je zbir korijena jednadžbe jednak koeficijentu varijable, uzete sa suprotnim predznakom. Proizvod korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu. Vietin teorem se može napisati u formulama.
Izvođenje Vietine formule je prilično jednostavno. Napišimo kvadratnu jednačinu kroz jednostavne faktore
Kao što vidite, sve genijalno je u isto vrijeme jednostavno. Efikasno je koristiti Vietinu formulu kada je razlika u modulu korijena ili razlika u modulima korijena 1, 2. Na primjer, sljedeće jednadžbe, prema Vietinoj teoremi, imaju korijene




Do jednačine 4, analiza bi trebala izgledati ovako. Umnožak korijena jednadžbe je 6, stoga korijeni mogu biti vrijednosti (1, 6) i (2, 3) ili parovi suprotnih predznaka. Zbir korijena je 7 (koeficijent varijable sa suprotnim predznakom). Odavde zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe x=2; x=3.
Lakše je odabrati korijene jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana, prilagođavajući njihov predznak kako bi se ispunile Vietine formule. U početku se čini da je to teško izvodljivo, ali uz praksu na brojnim kvadratnim jednačinama, ova tehnika će se pokazati efikasnijom od izračunavanja diskriminanta i pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe na klasičan način.
Kao što vidite, školska teorija proučavanja diskriminanta i metoda pronalaženja rješenja jednačine je lišena praktičnog značenja - “Zašto je školarcima potrebna kvadratna jednačina?”, “Koje je fizičko značenje diskriminanta?”

Pokušajmo to shvatiti Šta diskriminant opisuje?

Na predmetu algebra izučavaju funkcije, šeme za proučavanje funkcija i konstruisanje grafa funkcija. Od svih funkcija važno mjesto zauzima parabola, čija se jednadžba može napisati u obliku
Dakle, fizičko značenje kvadratne jednadžbe su nule parabole, odnosno tačke presjeka grafa funkcije sa apscisnom osom Ox
Molim vas da zapamtite svojstva parabola koja su opisana u nastavku. Doći će vrijeme za polaganje ispita, testova ili prijemnih ispita i bit ćete zahvalni na referentnom materijalu. Predznak kvadratne varijable odgovara da li će grane parabole na grafu ići gore (a>0),

ili parabola sa granama nadole (a<0) .

Vrh parabole leži na sredini između korijena

Fizičko značenje diskriminanta:

Ako je diskriminanta veća od nule (D>0) parabola ima dvije točke sjecišta sa Ox osom.
Ako je diskriminanta nula (D=0) tada parabola na vrhu dodiruje x-osu.
I posljednji slučaj, kada je diskriminant manji od nule (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Među cjelokupnim školskim programom algebre, jedna od najopsežnijih tema je tema kvadratnih jednačina. U ovom slučaju, kvadratna jednačina se shvata kao jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gde je a ≠ 0 (čitaj: a pomnoženo sa x na kvadrat plus be x plus ce je jednako nuli, gde a nije jednak nuli). U ovom slučaju glavno mjesto zauzimaju formule za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednadžbe navedenog tipa, što se podrazumijeva kao izraz koji omogućava da se utvrdi prisustvo ili odsustvo korijena kvadratne jednačine, kao i njihov broj (ako postoji).

Formula (jednačina) diskriminanta kvadratne jednačine

Općenito prihvaćena formula za diskriminantu kvadratne jednačine je sljedeća: D = b 2 – 4ac. Izračunavanjem diskriminanta pomoću navedene formule ne možete samo odrediti prisutnost i broj korijena kvadratne jednadžbe, već i odabrati metodu za pronalaženje ovih korijena, kojih ima nekoliko ovisno o vrsti kvadratne jednadžbe.

Šta to znači ako je diskriminanta nula \ Formula za korijene kvadratne jednadžbe ako je diskriminanta nula

Diskriminant je, kako slijedi iz formule, označen latinično pismo D. U slučaju kada je diskriminanta jednaka nuli, treba zaključiti da kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, ima samo jedan korijen, koji se izračunava pomoću pojednostavljene formule . Ova formula se primjenjuje samo kada je diskriminanta nula i izgleda ovako: x = –b/2a, gdje je x korijen kvadratne jednačine, b i a su odgovarajuće varijable kvadratne jednačine. Da biste pronašli korijen kvadratne jednadžbe, trebate podijeliti negativnu vrijednost varijable b dvostrukom vrijednošću varijable a. Rezultirajući izraz će biti rješenje kvadratne jednačine.

Rješavanje kvadratne jednadžbe pomoću diskriminanta

Ako se pri izračunavanju diskriminanta po gornjoj formuli dobije pozitivna vrijednost (D je veći od nule), tada kvadratna jednadžba ima dva korijena, koji se izračunavaju pomoću sljedećih formula: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Najčešće se diskriminanta ne izračunava zasebno, već se radikalni izraz u obliku diskriminantne formule jednostavno zamjenjuje u vrijednost D iz koje se izdvaja korijen. Ako varijabla b ima parnu vrijednost, tada za izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, možete koristiti i sljedeće formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, gdje je k = b/2.

U nekim slučajevima, da biste praktično riješili kvadratne jednadžbe, možete koristiti Vietinu teoremu, koja kaže da je za zbir korijena kvadratne jednadžbe oblika x 2 + px + q = 0 vrijednost x 1 + x 2 = –p biće tačno, a za proizvod korena navedene jednačine – izraz x 1 x x 2 = q.

Može li diskriminant biti manji od nule?

Prilikom izračunavanja vrijednosti diskriminanta možete naići na situaciju koja ne spada ni u jedan od opisanih slučajeva - kada diskriminant ima negativnu vrijednost (odnosno manju od nule). U ovom slučaju, općenito je prihvaćeno da kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, nema realne korijene, stoga će njeno rješenje biti ograničeno na izračunavanje diskriminanta, a gornje formule jer korijeni kvadratne jednadžbe u ovom slučaju neće biti primjenjivi. Istovremeno, u odgovoru na kvadratnu jednačinu piše da „jednačina nema pravi korijen“.

Video s objašnjenjima:

Kvadratna jednadžba– rešenje je jednostavno! *U daljem tekstu “KU”. Prijatelji, čini se da u matematici ne može biti ništa jednostavnije od rješavanja takve jednačine. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam da vidim koliko utisaka na zahtjev Yandex daje mjesečno. Evo šta se desilo, pogledajte:

Šta to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ovu informaciju, a ovo je ljeto, a šta će biti tokom školske godine - zahtjeva će biti duplo više. To nije iznenađujuće, jer oni momci i djevojke koji su davno završili školu i spremaju se za Jedinstveni državni ispit traže ove informacije, a i školarci se trude da osvježe svoje pamćenje.

Uprkos činjenici da postoji mnogo sajtova koji vam govore kako da rešite ovu jednačinu, odlučio sam da dam svoj doprinos i objavim materijal. Prvo, želim da posjetitelji dolaze na moju stranicu na osnovu ovog zahtjeva; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi tema “KU”, dat ću link do ovog članka; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Hajde da počnemo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednačina je jednačina oblika:

gdje su koeficijenti a,bi c su proizvoljni brojevi, sa a≠0.

U školskom kursu gradivo se daje u sledećem obliku - jednačine su podeljene u tri razreda:

1. Imaju dva korijena.

2. *Imajte samo jedan korijen.

3. Nemaju korijene. Ovdje je posebno vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule morate znati napamet.

Možete odmah zapisati i riješiti:

primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen.

3. Ako D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednačinu:

S tim u vezi, kada je diskriminanta jednaka nuli, školski kurs kaže da se dobija jedan korijen, ovdje je jednak devet. Sve je tačno, tako je, ali...

Ova ideja je donekle netačna. U stvari, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, ispada dva jednakih korena, a da budemo matematički precizni, odgovor bi trebao sadržavati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete to zapisati i reći da postoji jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne može uzeti, tako da u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Ovo pokazuje kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je izuzetno važno razumjeti (u budućnosti ćemo u jednom od članaka detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednakosti).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c – dati brojevi, sa a ≠ 0

Grafikon je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanje kvadratne jednadžbe na "y" jednaka nuli nalazimo presečne tačke parabole sa x osom. Mogu postojati dvije od ovih tačaka (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) i nijedna (diskriminanta je negativna). Detalji o kvadratna funkcija Možete pogledatičlanak Inna Feldman.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1: Riješi 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = –12

*Moguće je odmah podijeliti lijevu i desnu stranu jednačine sa 2, odnosno pojednostaviti je. Proračun će biti lakši.

Primjer 2: Odluči se x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Otkrili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dozvoljeno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odluči se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Znate li išta o kompleksnim brojevima? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i neophodnost u matematici; ovo je tema za veliki poseban članak.

Koncept kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi – ovo je JEDAN BROJ, a ne dodatak.

Imaginarna jedinica jednaka je korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednačinu:

Dobijamo dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent “b” ili “c” jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Oni se mogu lako riješiti bez ikakvih diskriminanata.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednačina postaje:

transformirajmo:

primjer:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednačina postaje:

Hajde da transformišemo i faktorizujemo:

*Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja vam omogućavaju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi

a + b+ c = 0, To

- ako za koeficijente jednačine Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi

a+ c =b, To

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbe.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbir kvota je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, što znači

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost važi a+ c =b, Sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednačini ax 2 + bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” je numerički jednak koeficijentu"a", tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ako je u jednačini ax 2 – bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako u jednadžbi ax 2 + bx – c = 0 koeficijent “b” je jednako (a 2 – 1), i koeficijent “c” je numerički jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ako je u jednačini ax 2 – bx – c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 – 1), a koeficijent c brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietin teorem.

Vietina teorema je dobila ime po poznatom francuskom matematičaru Francois Vieti. Koristeći Vietin teorem, možemo izraziti zbir i proizvod korijena proizvoljnog KU u terminima njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ukupno, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazanu teoremu, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Osim toga, Vietin teorem. zgodno u tome što nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajen način(preko diskriminanta) rezultujući korijeni se mogu provjeriti. Preporučujem da to radite uvijek.

NAČIN TRANSPORTA

Ovom metodom koeficijent “a” se množi slobodnim pojmom, kao da mu je “bačen”, zbog čega se naziva metoda "transfera". Ova metoda se koristi kada se korijeni jednadžbe mogu lako pronaći pomoću Vietine teoreme i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Ako A± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Koristeći Vietinu teoremu u jednačini (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Rezultirajući korijeni jednadžbe moraju se podijeliti sa 2 (budući da su dva "izbačena" iz x 2), dobijamo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Šta je obrazloženje? Pogledaj šta se dešava.

Diskriminante jednačina (1) i (2) su jednake:

Ako pogledate korijene jednadžbi, dobit ćete samo različite nazivnike, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu x 2:

Drugi (modificirani) ima korijene koji su 2 puta veći.

Stoga, rezultat dijelimo sa 2.

*Ako prebacimo trojku, rezultat ćemo podijeliti sa 3, itd.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie i Jedinstveni državni ispit.

Reći ću vam ukratko o njegovoj važnosti - MORATE MOĆI DA ODLUČITE brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanata napamet. Mnogi problemi uključeni u zadatke Jedinstvenog državnog ispita svode se na rješavanje kvadratne jednačine (uključujući i geometrijske).

Nešto vredno pažnje!

1. Oblik pisanja jednačine može biti „implicitan“. Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti standardni pogled(da se ne zbunite prilikom odlučivanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata veličina i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplikovano. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, imajte na umu da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

1. Nemaju korijene;
2. Imati tačno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je bitna razlika između kvadratnih jednačina i linearnih, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.

Diskriminantno

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta jednostavno broj D = b 2 − 4ac.

Ovu formulu morate znati napamet. Odakle dolazi sada nije važno. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:

1. Ako je D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, postojaće dva korena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi vjeruju. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napišimo koeficijente za prvu jednačinu i pronađemo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Analiziramo drugu jednačinu na sličan način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Zadnja preostala jednačina je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanta je nula - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su koeficijenti zapisani za svaku jednačinu. Da, dugo je, da, zamorno je, ali nećete miješati šanse i praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.

Usput, ako se snađete, nakon nekog vremena nećete morati zapisivati ​​sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednačina - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada pređimo na samo rješenje. Ako je diskriminanta D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Hajde da ih nađemo

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju prilikom zamjene negativnih koeficijenata u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: pogledajte formulu doslovno, zapišite svaki korak - i vrlo brzo ćete se riješiti grešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da se kvadratna jednačina malo razlikuje od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Lako je primijetiti da ovim jednačinama nedostaje jedan od pojmova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: ne zahtijevaju čak ni izračunavanje diskriminanta. Dakle, hajde da predstavimo novi koncept:

Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednačina ima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednačina ima jedan korijen: x = 0.

Razmotrimo preostale slučajeve. Neka je b = 0, onda ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednačinu oblika ax 2 + c = 0. Transformirajmo je malo:

Od aritmetike Kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, zadnja jednakost ima smisla samo za (−c /a) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi oblika ax 2 + c = 0 nejednakost (−c /a) ≥ 0 zadovoljena, postojaće dva korena. Formula je data gore;
2. Ako (−c /a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban – u nepotpunim kvadratnim jednačinama uopšte nema složenih proračuna. U stvari, nije potrebno čak ni zapamtiti nejednakost (−c /a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta se nalazi na drugoj strani znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Pogledajmo sada jednačine oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorisati polinom:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada

Proizvod je nula kada je barem jedan od faktora nula. Odatle potiču korijeni. U zaključku, pogledajmo nekoliko od ovih jednačina:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.