Šta znači pronaći intervale monotonosti funkcije. Granice monotonih funkcija

Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije

Pronalaženje intervala povećanja, smanjenja i ekstrema funkcije je i samostalan zadatak i bitan dio drugih zadataka, posebno, studija pune funkcije. Date su početne informacije o porastu, smanjenju i ekstremima funkcije teorijsko poglavlje o derivatušto toplo preporučujem preliminarna studija (ili ponavljanje)– također iz razloga što je sljedeći materijal zasnovan na samom suštinski derivat,što je skladan nastavak ovog članka. Mada, ako je vremena malo, onda je moguća i čisto formalna praksa primjera iz današnje lekcije.

A danas je u zraku duh rijetke jednodušnosti i direktno osjećam da svi prisutni gore od želje naučiti istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat. Stoga se razumna, dobra, vječna terminologija odmah pojavljuje na ekranima vašeg monitora.

Za što? Jedan od razloga je najpraktičniji: tako da je jasno šta se generalno traži od vas u određenom zadatku!

Monotonost funkcije. Ekstremne tačke i ekstremi funkcije

Razmotrimo neku funkciju. Pojednostavljeno, pretpostavljamo da ona kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj:

Za svaki slučaj, hajde da se odmah oslobodimo mogućih iluzija, posebno za one čitaoce koji su se nedavno upoznali sa intervali konstantnog predznaka funkcije. Sada mi NEZAINTERESOVAN, kako se graf funkcije nalazi u odnosu na osu (iznad, ispod, gdje se osa siječe). Da biste bili uvjerljivi, mentalno obrišite ose i ostavite jedan grafikon. Jer tu leži interes.

Funkcija povećava na intervalu, ako za bilo koje dvije točke ovog intervala, povezani odnosom, nejednakost je tačna. To jest, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Funkcija demonstracije raste u intervalu.

Isto tako, funkcija smanjuje na intervalu ako za bilo koje dvije točke datog intervala takve da , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naša funkcija opada u intervalima .

Ako se funkcija povećava ili smanjuje u intervalu, tada se poziva strogo monotono u ovom intervalu. Šta je monotonija? Shvatite to doslovno – monotonija.

Također možete definirati neopadajući funkcija (opušteno stanje u prvoj definiciji) i bez povećanja funkcija (ublaženi uslov u 2. definiciji). Funkcija koja se ne opada ili ne raste na intervalu naziva se monotonom funkcijom na datom intervalu (stroga monotonost je poseban slučaj "jednostavne" monotonosti).

Teorija takođe razmatra i druge pristupe određivanju povećanja/smanjenja funkcije, uključujući na poluintervali, segmente, ali kako vam ne bismo sipali ulje-ulje-ulje na glavu, dogovorićemo se da radimo sa otvorenim intervalima sa kategoričkim definicijama - ovo je jasnije, a za rješavanje mnogih praktičnih problema sasvim dovoljno.

dakle, u mojim člancima formulacija "monotonost funkcije" će gotovo uvijek biti skrivena intervalima stroga monotonija(strogo rastuća ili striktno opadajuća funkcija).

Susjedstvo tačke. Riječi nakon kojih učenici bježe gdje god mogu i kriju se užasnuti po ćoškovima. ...Iako posle posta Cauchy granice Vjerojatno se više ne kriju, već se samo lagano dršću =) Ne brinite, sada neće biti dokaza teorema matematička analiza– Trebalo mi je okruženje da strože formulišem definicije ekstremne tačke. prisjetimo se:

Susjedstvo tačke naziva se interval koji sadrži datu tačku, a radi pogodnosti se često pretpostavlja da je interval simetričan. Na primjer, tačka i njeno standardno susjedstvo:

Zapravo, definicije:

Tačka se zove stroga maksimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . U našem konkretan primjer ovo je poenta.

Tačka se zove stroga minimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . Na crtežu se nalazi tačka “a”.

Bilješka : zahtjev simetrije susjedstva uopće nije neophodan. Osim toga, važno je sama činjenica postojanja susjedstvo (bilo maleno ili mikroskopsko) koje zadovoljava navedene uvjete

Tačke se zovu strogo ekstremne tačke ili jednostavno ekstremne tačke funkcije. Odnosno, to je generalizovani termin za maksimalne i minimalne poene.

Kako razumemo reč „ekstremno“? Da, direktno kao i monotonija. Ekstremne tačke rolerkostera.

Kao iu slučaju monotonosti, labavi postulati postoje i još su češći u teoriji (pod koje, naravno, spadaju strogi slučajevi koji se smatraju!):

Tačka se zove maksimalni poen, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve
Tačka se zove minimalna tačka, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve vrijednosti ovog susjedstva, vrijedi nejednakost.

Imajte na umu da se prema posljednje dvije definicije, svaka tačka konstantne funkcije (ili „ravni presjek“ funkcije) smatra i maksimalnom i minimalnom točkom! Funkcija je, inače, i nerastuća i neopadajuća, odnosno monotona. Međutim, ova razmatranja ćemo prepustiti teoretičarima, jer u praksi gotovo uvijek razmatramo tradicionalna „brda“ i „udubine“ (vidi crtež) sa jedinstvenim „kraljem brda“ ili „princezom močvare“. Kao varijanta, javlja se tip, usmjeren gore ili dolje, na primjer, minimum funkcije u tački.

Da, usput, oh royalty:
– naziva se značenje maksimum funkcije;
– naziva se značenje minimum funkcije.

Uobičajeno ime - ekstremi funkcije.

Molimo budite oprezni sa svojim riječima!

Ekstremne tačke– ovo su “X” vrijednosti.
Ekstremi– značenja „igre“.

! Bilješka : ponekad se navedeni pojmovi odnose na “X-Y” tačke koje leže direktno na GRAFIKU SAME funkcije.

Koliko ekstrema može imati funkcija?

Ništa, 1, 2, 3, ... itd. do beskonačnosti. Na primjer, sinus ima beskonačno mnogo minimuma i maksimuma.

BITAN! Izraz "maksimum funkcije" nije identično pojam " maksimalna vrijednost funkcije." Lako je primijetiti da je vrijednost maksimalna samo u lokalnoj četvrti, a u gornjem lijevom kutu su “hladniji drugovi”. Isto tako, “minimum funkcije” nije isto što i “minimalna vrijednost funkcije”, a na crtežu vidimo da je vrijednost minimalna samo u određenom području. U tom smislu se nazivaju i tačke ekstrema lokalne ekstremne tačke, a ekstremi – lokalni ekstremi. Šetaju i lutaju u blizini i globalno braćo. Dakle, svaka parabola ima na svom vrhu globalni minimum ili globalni maksimum. Nadalje, neću praviti razliku između vrsta ekstrema, a objašnjenje je izraženo više u općeobrazovne svrhe - dodatni pridjevi „lokalni“/„globalni“ ne bi vas trebali iznenaditi.

Hajde da sumiramo naše mali izlet u teoriju s probnim snimkom: šta znači zadatak „pronaći intervale monotonosti i tačke ekstrema funkcije“?

Formulacija vas podstiče da pronađete:

– intervali rastuće/opadajuće funkcije (neopadajući, nerastući se pojavljuje mnogo rjeđe);

– maksimalne i/ili minimalne bodove (ako postoje). Pa, da biste izbjegli neuspjeh, bolje je sami pronaći minimume/maksimume ;-)

Kako sve ovo utvrditi? Korištenje derivacijske funkcije!

Kako pronaći intervale povećanja, smanjenja,
tačke ekstrema i ekstremi funkcije?

Mnoga pravila su, zapravo, već poznata i shvaćena lekcija o značenju izvedenice.

Tangentni derivat donosi vesele vijesti da se funkcija sve više povećava domenu definicije.

Sa kotangensom i njegovim derivatom situacija je upravo suprotna.

Arksinus raste u intervalu - izvod je ovdje pozitivan: .
Kada je funkcija definirana, ali nije diferencirana. Međutim, na kritičnoj tački nalaze se desna derivacija i desna tangenta, a na drugoj ivici su njihovi levoruki parnjaci.

Mislim da vam neće biti previše teško izvesti slično razmišljanje za ark kosinus i njegovu derivaciju.

Svi gore navedeni slučajevi, od kojih mnogi jesu tabelarne izvedenice, podsjećam, pratite direktno iz derivativne definicije.

Zašto istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat?

Da bismo bolje razumjeli kako izgleda graf ove funkcije: gdje ide “odozdo prema gore”, gdje “odozgo prema dolje”, gdje dostiže minimume i maksimume (ako uopće dostigne). Nisu sve funkcije tako jednostavne - u većini slučajeva nemamo pojma o grafu određene funkcije.

Vrijeme je da prijeđemo na značajnije primjere i razmotrimo algoritam za pronalaženje intervala monotonosti i ekstrema funkcije:

Primjer 1

Naći intervale povećanja/spadanja i ekstreme funkcije

Rješenje:

1) Prvi korak je pronaći domenu funkcije, a također zabilježite tačke prekida (ako postoje). U ovom slučaju, funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, a ova radnja je u određenoj mjeri formalna. Ali u nizu slučajeva ovdje se razbuktaju ozbiljne strasti, pa hajde da se odnosimo prema paragrafu bez prezira.

2) Druga tačka algoritma je zbog

neophodan uslov za ekstrem:

Ako u nekoj tački postoji ekstremum, tada vrijednost ili ne postoji.

Zbunjeni zbog kraja? Ekstremum funkcije “modulus x”. .

Uslov je neophodan, ali nije dovoljno, a obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, iz jednakosti još ne slijedi da funkcija doseže maksimum ili minimum u tački . Klasičan primjer je već istaknut gore - ovo je kubna parabola i njena kritična tačka.

Ali kako god bilo, neophodno stanje ekstrem diktira potrebu pronalaženja sumnjivih tačaka. Da biste to učinili, pronađite izvod i riješite jednačinu:

Na početku prvog članka o grafovima funkcija Rekao sam vam kako brzo izgraditi parabolu koristeći primjer : “...uzimamo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom: ...Dakle, rješenje naše jednačine: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole...”. Sada, mislim, svi razumiju zašto se vrh parabole nalazi upravo u ovoj tački =) Općenito, ovdje bismo trebali početi sa sličnim primjerom, ali je previše jednostavan (čak i za čajnik). Osim toga, postoji analog na samom kraju lekcije o derivat funkcije. Stoga, povećajmo stepen:

Primjer 2

Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Kompletno rješenje i približan konačni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Došao je dugo očekivani trenutak susreta sa frakcijsko-racionalnim funkcijama:

Primjer 3

Istražite funkciju koristeći prvi izvod

Obratite pažnju na to koliko promjenljivo jedan te isti zadatak može biti preformulisan.

Rješenje:

1) Funkcija trpi beskonačne diskontinuitete u tačkama.

2) Otkrivamo kritične tačke. Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom:

Hajde da riješimo jednačinu. Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac jednaka nuli:

Tako dobijamo tri kritične tačke:

3) Ucrtavamo SVE otkrivene tačke na brojevnu pravu i intervalna metoda definišemo znakove DERIVATA:

Podsjećam vas da trebate uzeti neku tačku u intervalu i izračunati vrijednost derivacije na njoj i odredi njegov predznak. Isplativije je ni ne brojati, već verbalno „procenjivati“. Uzmimo, na primjer, tačku koja pripada intervalu i izvršimo zamjenu: .

Dva “plusa” i jedan “minus” daju “minus”, dakle, što znači da je izvod negativan u cijelom intervalu.

Radnju, kao što razumijete, treba izvršiti za svaki od šest intervala. Usput, imajte na umu da su faktor brojila i nazivnik striktno pozitivni za bilo koju tačku u bilo kojem intervalu, što uvelike pojednostavljuje zadatak.

Dakle, derivat nam je rekao da se SAMA FUNKCIJA povećava za i smanjuje se za . Pogodno je povezati intervale istog tipa pomoću ikone spajanja.

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum:
U trenutku kada funkcija dosegne minimum:

Razmislite zašto ne morate preračunavati drugu vrijednost ;-)

Prilikom prolaska kroz tačku derivacija ne mijenja predznak, pa funkcija tu NEMA EKSTREMUMA - i smanjila se i ostala u opadanju.

! Hajde da ponovimo važna tačka : tačke se ne smatraju kritičnim - one sadrže funkciju nije utvrđeno. Shodno tome, evo U principu ne može biti ekstrema(čak i ako derivacija promijeni predznak).

Odgovori: funkcija se povećava za i smanjuje se za U tački kada je dostignut maksimum funkcije: , a u tački – minimum: .

Poznavanje intervala monotonosti i ekstrema, zajedno sa utvrđenim asimptote već daje vrlo dobru ideju izgled funkcionalna grafika. Osoba prosječne obuke može verbalno odrediti da graf funkcije ima dvije vertikalne asimptote i jednu kosu asimptotu. Evo naseg heroja:

Pokušajte još jednom povezati rezultate studije s grafikonom ove funkcije.
Ne postoji ekstremum na kritičnoj tački, ali postoji fleksija grafa(što se po pravilu dešava u sličnim slučajevima).

Primjer 4

Pronađite ekstreme funkcije

Primjer 5

Pronađite intervale monotonosti, maksimume i minimume funkcije

…to je skoro kao neka vrsta praznika „X u kocki“ danas....
Jaooo, ko je u galeriji ponudio piće za ovo? =)

Svaki zadatak ima svoje suštinske nijanse i tehničke suptilnosti, koje se komentarišu na kraju lekcije.

Koja ne mijenja predznak, odnosno uvijek nije negativna ili uvijek nepozitivna. Ako uz to inkrement nije nula, tada se poziva funkcija strogo monotono. Monotona funkcija je funkcija koja se mijenja u istom smjeru.

Funkcija se povećava ako veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije. Funkcija se smanjuje ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Definicije

Neka je funkcija data

. . . .

(strogo) rastuća ili opadajuća funkcija naziva se (strogo) monotonom.

Druga terminologija

Ponekad se pozivaju rastuće funkcije neopadajući, i opadajuće funkcije bez povećanja. Striktno rastuće funkcije se tada jednostavno nazivaju rastućim, a striktno opadajuće funkcije jednostavno opadajuće.

Svojstva monotonih funkcija

Uvjeti da funkcija bude monotona

Obrnuto, generalno govoreći, nije tačno. Izvod striktno monotone funkcije može nestati. Međutim, skup tačaka u kojima derivacija nije jednaka nuli mora biti gust na intervalu.Tačnije, to je slučaj

Slično, striktno opada na intervalu ako i samo ako su ispunjena sljedeća dva uvjeta:

Primjeri

vidi takođe

Wikimedia fondacija. 2010.

• Pljuvačka
• Gorky Railway

Pogledajte šta je "Monotonska funkcija" u drugim rječnicima:

Monotonska funkcija- je funkcija f(x), koja može biti ili rastuća u određenom intervalu (to jest, što je veća vrijednost argumenta u ovom intervalu, veća je vrijednost funkcije), ili opadajuća (u suprotnom slučaju) .... ...

MONOTONE FUNCTION- funkcija koja, kada se argument povećava, ili uvijek raste (ili se barem ne smanjuje), ili uvijek smanjuje (ne raste) ... Veliki enciklopedijski rječnik

MONOTONE FUNCTION- (funkcija monotonija) Funkcija u kojoj se, kako se vrijednost argumenta povećava, vrijednost funkcije uvijek mijenja u istom smjeru. Stoga, ako je y=f(x), tada je ili dy/dx 0 za sve vrijednosti x, u kom slučaju y raste... ... Ekonomski rječnik

Monotonska funkcija- (od grčkog monótonos monochromatic) funkcija čiji priraštaji Δf(x) = f(x') f(x) za Δx = x' x > 0 ne mijenjaju predznak, tj. ili su uvijek nenegativni ili uvijek nepozitivna. Da to ne izrazim sasvim precizno, M.f. ovo su funkcije koje se mijenjaju u...... Velika sovjetska enciklopedija

monotonska funkcija- funkcija koja, kada se argument povećava, ili uvijek raste (ili se barem ne smanjuje), ili uvijek smanjuje (ne raste). * * * MONOTONE FUNCTION MONOTONE FUNCTION, funkcija koja, kada se argument povećava, ili uvijek raste (ili... ... enciklopedijski rječnik

MONOTONE FUNCTION- funkcija jedne varijable, definisana na određenom podskupu realnih brojeva; prirast broja ne mijenja predznak, odnosno uvijek je nenegativan ili uvijek nepozitivan. Ako je striktno veća (manja od) nula, tada M.f. zove ... ... Mathematical Encyclopedia

MONOTONE FUNCTION- funkcija koja, kada se argument povećava, ili uvijek raste (ili se barem ne smanjuje), ili uvijek smanjuje (ne raste) ... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Monotoni niz je niz čiji se elementi ne smanjuju kako se broj povećava, ili, obrnuto, ne rastu. Takve sekvence se često susreću u istraživanjima i imaju niz karakteristične karakteristike i dodatna svojstva.... ... Wikipedia

funkcija- Tim ili grupa ljudi i alati ili drugi resursi koje koriste za obavljanje jednog ili više procesa ili aktivnosti. Na primjer, korisnička podrška. Ovaj izraz ima i drugo značenje: ... ... Vodič za tehnički prevodilac

Funkcija- 1. Zavisna varijabla; 2. Korespondencija y=f(x) između varijabilnih veličina, zbog čega svaka razmatrana vrijednost neke veličine x (argumenta ili nezavisne varijable) odgovara određenoj vrijednosti... ... Ekonomsko-matematički rječnik

Funkcija y=f(x) pozvao povećanje na intervalu (a;b), ako postoji x 1 I x 2 x 1 , fer f(x 1) Na primjer, funkcije y=a x, y=log ax at a>1, y=arctg x, y=arcsin x,(nON) se povećavaju kroz čitav njihov domen definicije.

Grafikon rastuće funkcije

· Funkcija y = f(x) pozvao opadajući na intervalu (a;b), ako postoji x 1 I x 2 iz ovog intervala tako da x 1 , fer f(x 1)>f(x 2). Na primjer, funkcije y=a x, y=log ax u 0<a<1, y=arcctg x, y=arccos x smanjiti u cijelom njihovom domenu definicije.

Grafikon opadajuće funkcije

Funkcije koje se smanjuju i povećavaju zajedno čine klasu monotono funkcije. Monotone funkcije imaju niz posebnih svojstava.

Funkcija f(x), monotono na intervalu [ a,b], ograničen na ovaj segment;

· zbir rastućih (opadajućih) funkcija je rastuća (opadajuća) funkcija;

· if funkcija f povećava (smanjuje) i n– neparan broj, takođe se povećava (smanjuje);

· Ako f"(x)>0 za sve xO(a,b), zatim funkciju y=f(x) raste u intervalu (a,b);

· Ako f"(x)<0 za sve xO(a,b), zatim funkciju y=f(x) se smanjuje na intervalu (a,b);

· Ako f(x) – kontinuirana i monotona funkcija na setu X, zatim jednačina f(x)=C, Gdje WITH– ova konstanta može imati X ne više od jednog rješenja;

· ako je u domenu definicije jednačine f(x)=g(x) funkcija f(x) povećava, a funkcija g(x) opada, tada jednačina ne može imati više od jednog rješenja.

Teorema. (dovoljan uslov za monotonost funkcije). Ako je kontinuiran na segmentu [ a, b] funkcija y = f(X) u svakoj tački intervala ( a, b) ima pozitivan (negativan) izvod, tada se ova funkcija povećava (smanjuje) na segmentu [ a, b].

Dokaz. Neka >0 za sve xO(a,b). Razmotrimo dvije proizvoljne vrijednosti x 2 > x 1 , pripada [ a, b]. Prema Lagrangeovoj formuli x 1<с < х 2 . (With) > 0 I x 2 – x 1 > 0, dakle > 0, odakle > , odnosno funkcija f(x) raste na intervalu [ a, b]. Drugi dio teoreme dokazuje se na sličan način.

Teorema 3. (nužan znak postojanja ekstremuma funkcije). Ako je funkcija diferencibilna u točki c at=f(X) ima ekstrem u ovoj tački, onda .

Dokaz. Neka, na primjer, funkcija at= f(X) ima maksimum u tački c. To znači da postoji probušena okolina tačke c takva da za sve tačke x ovaj komšiluk je zadovoljan f(x) < f (c), to je f(c) je najveća vrijednost funkcije u ovom susjedstvu. Zatim Fermatovom teoremom.

Slučaj minimuma u tački c dokazuje se na sličan način.

Komentar. Funkcija može imati ekstrem u tački u kojoj njen izvod ne postoji. Na primjer, funkcija ima minimum u tački x = 0, iako ne postoji. Tačke u kojima je derivacija funkcije nula ili ne postoji nazivaju se kritične točke funkcije. Međutim, funkcija nema ekstrem na svim kritičnim tačkama. Na primjer, funkcija y = x 3 nema ekstrema, iako je njegov derivat =0.

Teorema 4. ( dovoljno dokaza postojanje ekstremuma). Ako je kontinuirana funkcija y = f(x) ima derivaciju u svim tačkama određenog intervala koji sadrži kritičnu tačku C (osim, možda, same ove tačke), i ako derivacija, kada argument prođe s lijeva na desno kroz kritičnu tačku C, mijenja predznak sa plus na minus, tada funkcija u tački C ima maksimum, a kada se predznak promijeni sa minusa na plus, minimum.

Dokaz. Neka je c kritična tačka i neka, na primjer, kada argument prođe kroz tačku c promijeni predznak sa plus na minus. To znači da u nekom intervalu (c–e; c) funkcija se povećava, a na intervalu (c; c+e)– smanjuje se (na e>0). Dakle, u tački c funkcija ima maksimum. Slučaj minimuma se dokazuje na sličan način.

Komentar. Ako derivacija ne promijeni predznak kada argument prođe kroz kritičnu tačku, tada funkcija u ovoj tački nema ekstrem.

Budući da se definicije granice i kontinuiteta za funkciju više varijabli praktički poklapaju s odgovarajućim definicijama za funkciju jedne varijable, onda su za funkcije više varijabli sačuvana sva svojstva granica i kontinuiranih funkcija.

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućava besplatno korištenje.
Datum kreiranja stranice: 2016-02-12

Prvi put smo se sreli na kursu algebre u 7. razredu. Gledajući graf funkcije, skinuli smo odgovarajuće informacije: ako se, krećući se po grafikonu s lijeva na desno, istovremeno se krećemo odozdo prema gore (kao da se penjemo na brdo), tada smo funkciju proglasili za biti u porastu (Sl. 124); ako se krećemo odozgo prema dolje (spuštamo se niz brdo), tada smo funkciju proglasili opadajućom (Sl. 125).

Međutim, matematičari ne vole ovu metodu proučavanja svojstava funkcije. Oni smatraju da definicije pojmova ne bi trebalo da se zasnivaju na crtežu - crtež treba samo da ilustruje jedno ili drugo svojstvo funkcije na svom grafika. Hajde da damo striktne definicije pojmova rastućih i opadajućih funkcija.

Definicija 1. Kaže se da funkcija y = f(x) raste na intervalu X ako je iz nejednakosti x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definicija 2. Kaže se da je funkcija y = f(x) opadajuća na intervalu X ako je nejednakost x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует nejednakost f(x 1) > f(x 2).

U praksi je prikladnije koristiti sljedeće formulacije:

funkcija se povećava ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije;
funkcija se smanjuje ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Koristeći ove definicije i svojstva utvrđena u § 33 numeričke nejednakosti, moći ćemo opravdati zaključke o povećanju ili smanjenju prethodno proučavanih funkcija.

1. Linearna funkcija y = kx +m

Ako je k > 0, tada funkcija raste u cijelom (slika 126); ako k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Dokaz. Neka je f(x) = kx +m. Ako je x 1< х 2 и k >Oh, dakle, prema svojstvu 3 numeričke nejednačine (vidi § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. linearno funkcije y = kx+ m.

Ako je x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , a prema svojstvu 2, iz kx 1 > kx 2 slijedi da je kx 1 + m> kx 2 + tj.

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). To znači smanjenje funkcije y = f(x), tj. linearna funkcija y = kx + m.

Ako se funkcija povećava (smanjuje) u cijeloj svojoj domeni definicije, onda se može nazvati rastućom (opadajućom) bez navođenja intervala. Na primjer, za funkciju y = 2x - 3 možemo reći da raste duž cijele brojevne prave, ali možemo reći i kraće: y = 2x - 3 - raste
funkcija.

2. Funkcija y = x2

1. Razmotrimo funkciju y = x 2 na zraku. Uzmimo dva nepozitivna broja x 1 i x 2 takva da je x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Pošto su brojevi - x 1 i - x 2 nenegativni, onda kvadriranjem obe strane poslednje nejednakosti dobijamo nejednakost istog značenja (-x 1) 2 > (-x 2) 2, tj. To znači da je f(x 1) >f(x 2).

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Dakle, funkcija y = x 2 opada na zraku (- 00, 0] (Sl. 128).

1. Razmotrimo funkciju na intervalu (0, + 00).
Neka je x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). To znači da funkcija opada na otvorenom zraku (0, + 00) (Sl. 129).

2. Razmotrite funkciju na intervalu (-oo, 0). Neka je x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negativni brojevi. Tada je - x 1 > - x 2, a obje strane posljednje nejednakosti su pozitivni brojevi, i stoga (opet smo koristili nejednakost dokazanu u primjeru 1 iz § 33). Dalje imamo, odakle dolazimo.

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) tj. funkcija se smanjuje na otvorenom zraku (- 00 , 0)

Obično se kombinuju pojmovi „funkcija povećanja“ i „funkcija opadanja“. uobičajeno ime monotonu funkciju, a proučavanje funkcije za povećanje i smanjenje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Rješenje.

1) Nacrtajmo funkciju y = 2x2 i uzmimo granu ove parabole na x< 0 (рис. 130).

2) Konstruirajmo i označimo njegov dio na segmentu (Sl. 131).

3) Konstruirajmo hiperbolu i odaberimo njen dio na otvorenom zraku (4, + 00) (Sl. 132).
4) Prikažimo sva tri “komada” u jednom koordinatnom sistemu – ovo je grafik funkcije y = f(x) (slika 133).

Pročitajmo graf funkcije y = f(x).

1. Područje definicije funkcije je cijela brojevna prava.

2. y = 0 na x = 0; y > 0 za x > 0.

3. Funkcija opada na zraku (-oo, 0], raste na segmentu, opada na zraku, konveksna je prema gore na segmentu, konveksna na dolje na zraku)