Kako izgleda oštar trougao? Trougao. Kompletne lekcije – Hipermarket znanja

Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati razne vrste trouglovi.

Razmislite geometrijske figure i među njima pronađite „ekstra“ (slika 1).

Rice. 1. Ilustracija na primjer

Vidimo da su slike br. 1, 2, 3, 5 četvorouglovi. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).

Rice. 2. Četvorouglovi

To znači da je „dodatna“ figura trougao (slika 3).

Rice. 3. Ilustracija na primjer

Trougao je figura koja se sastoji od tri tačke koje ne leže na istoj pravoj i tri segmenta koji povezuju ove tačke u paru.

Tačke se zovu vrhovima trougla, segmenti - njegovi stranke. Stranice trougla se formiraju U vrhovima trougla postoje tri ugla.

Glavne karakteristike trougla su tri strane i tri ugla. Prema veličini ugla trokuti su oštre, pravougaone i tupe.

Trougao se naziva oštrouglim ako su mu sva tri ugla oštra, odnosno manja od 90° (slika 4).

Rice. 4. Oštri trougao

Trougao se naziva pravougaonim ako mu je jedan od uglova 90° (slika 5).

Rice. 5. Pravokutni trokut

Trokut se naziva tupougao ako mu je jedan od uglova tup, odnosno veći od 90° (slika 6).

Rice. 6. Tupokutni trokut

Na osnovu broja jednakih stranica trouglovi su jednakostranični, jednakokraki, razmjerni.

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice jednake (slika 7).

Rice. 7. Jednakokraki trougao

Ove strane se zovu bočno, Treća strana - osnovu. U jednakokračnom trouglu uglovi osnove su jednaki.

Postoje jednakokraki trouglovi akutna i tupa(sl. 8) .

Rice. 8. Oštri i tupi jednakokraki trouglovi

Jednakostranični trougao je onaj u kome su sve tri strane jednake (slika 9).

Rice. 9. Jednakostranični trougao

U jednakostranični trokut svi uglovi su jednaki. Jednakostranični trouglovi Uvijek oštrougao.

Skala je trougao u kojem sve tri strane imaju različite dužine (slika 10).

Rice. 10. Skalirani trokut

Dovršite zadatak. Podijelite ove trouglove u tri grupe (slika 11).

Rice. 11. Ilustracija za zadatak

Prvo, rasporedimo prema veličini uglova.

Oštri trouglovi: br. 1, br. 3.

Pravougli trouglovi: br. 2, br. 6.

Tupouglovi trouglovi: br. 4, br. 5.

Iste trokute ćemo podijeliti u grupe prema broju jednakih stranica.

Skalirani trouglovi: br. 4, br. 6.

Jednakokraki trouglovi: br. 2, br. 3, br. 5.

Jednakostranični trougao: br. 1.

Pogledajte slike.

Razmislite od kojeg komada žice je napravljen svaki trougao (slika 12).

Rice. 12. Ilustracija za zadatak

Možeš razmišljati ovako.

Prvi komad žice podijeljen je na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. Na slici je prikazan kao treći.

Drugi komad žice je podijeljen na tri različita dijela, tako da se može koristiti za izradu skalirani trougao. Prvo je prikazano na slici.

Treći komad žice je podeljen na tri dela, pri čemu su dva dela iste dužine, što znači da se od njega može napraviti jednakokraki trougao. Na slici je on drugi.

Danas smo na času učili o različitim vrstama trouglova.

Bibliografija

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M.: “Prosvjeta”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, drugi dio. - M.: “Prosvjeta”, 2012.
3. M.I. Moro. Lekcije matematike: Smjernice za nastavnika. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
4. Regulatorni dokument. Praćenje i evaluacija ishoda učenja. - M.: "Prosvjeta", 2011.
5. "Ruska škola": Programi za osnovna škola. - M.: "Prosvjeta", 2011.
6. S.I. Volkova. Matematika: Testni rad. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: “Ispit”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Zadaća

1. Dopunite fraze.

a) Trougao je lik koji se sastoji od ... koji ne leže na istoj pravoj, i ... koji spajaju ove tačke u parovima.

b) Tačke se zovu … , segmenti - njegovi … . Stranice trougla formiraju se u vrhovima trougla ….

c) Prema veličini ugla trouglovi su ... , ... , ... .

d) Na osnovu broja jednakih stranica trouglovi su ... , ... , ... .

2. Draw

A) pravougaonog trougla;

b) oštar trougao;

c) tupougli trougao;

d) jednakostranični trougao;

e) skalirani trougao;

e) jednakokraki trougao.

3. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje prijatelje.

Prilikom proučavanja matematike učenici počinju da se upoznaju sa različitim vrstama geometrijskih oblika. Danas ćemo govoriti o različitim vrstama trouglova.

Definicija

Geometrijske figure koje se sastoje od tri tačke koje nisu na istoj pravoj nazivaju se trouglovi.

Segmenti koji spajaju tačke nazivaju se stranice, a tačke se nazivaju vrhovi. Vrhovi su označeni velikim sa latiničnim slovima, na primjer: A, B, C.

Stranice su označene nazivima dviju tačaka od kojih se sastoje - AB, BC, AC. Ukrštajući se, stranice formiraju uglove. Donja strana se smatra osnovom figure.

Rice. 1. Trougao ABC.

Vrste trouglova

Trokuti se klasifikuju po uglovima i stranicama. Svaka vrsta trougla ima svoja svojstva.

Postoje tri vrste trouglova na uglovima:

• oštrougaoni;
• pravokutni;
• tupougla.

Svi uglovi oštrougao trouglovi su oštri, odnosno stepen svakog od njih nije veći od 90 0.

Pravougaona trougao sadrži pravi ugao. Druga dva ugla će uvek biti oštra, jer će inače zbir uglova trougla premašiti 180 stepeni, a to je nemoguće. Strana koja je suprotna pravi ugao, naziva se hipotenuza, a druga dva kraka. Hipotenuza je uvijek veća od kateta.

Tupo trokut sadrži tup ugao. Odnosno, ugao veći od 90 stepeni. Druga dva ugla u takvom trouglu će biti oštra.

Rice. 2. Vrste trouglova na uglovima.

Pitagorin trougao je pravougaonik čije su stranice 3, 4, 5.

Štaviše, veća strana je hipotenuza.

Takvi trouglovi se često koriste za izradu jednostavni zadaci u geometriji. Stoga, zapamtite: ako su dvije strane trougla jednake 3, onda će treća definitivno biti 5. Ovo će pojednostaviti proračune.

Vrste trouglova na stranama:

• equilateral;
• jednakokraki;
• svestran.

Equilateral trougao je trougao u kojem su sve strane jednake. Svi uglovi takvog trougla jednaki su 60 0, odnosno uvijek je oštar.

Jednakokraki trougao - trougao sa samo dvije jednake strane. Ove strane se nazivaju bočne, a treća baza. Osim toga, uglovi u osnovi jednakokračnog trougla su jednaki i uvijek oštri.

Svestran ili proizvoljan trougao je trougao u kojem sve dužine i svi uglovi nisu međusobno jednaki.

Ako nema pojašnjenja o cifri u problemu, onda je to opšte prihvaćeno mi pričamo o tome o proizvoljnom trouglu.

Rice. 3. Vrste trouglova na stranicama.

Zbir svih uglova trougla, bez obzira na njegovu vrstu, je 1800.

Nasuprot većeg ugla je veća strana. I dužina bilo koje strane je uvijek manje od iznosa njegove druge dvije strane. Ova svojstva su potvrđena teoremom o nejednakosti trougla.

Postoji koncept zlatnog trougla. Ovo je jednakokraki trokut, u kojem su dvije strane proporcionalne bazi i jednake određenom broju. U takvoj slici uglovi su proporcionalni omjeru 2:2:1.

zadatak:

Postoji li trougao čije su stranice 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Rješenje:

Za rješenja ovog zadatka trebate koristiti nejednakost a

Šta smo naučili?

Iz ovog gradiva iz predmeta matematika 5. razreda saznali smo da se trouglovi dijele prema stranicama i veličini uglova. Trokuti imaju određena svojstva koja se mogu koristiti za rješavanje problema.

Standardne oznake

Trougao sa vrhovima A, B I C je označen kao (vidi sliku). Trougao ima tri strane:

Dužine stranica trokuta su označene malim latiničnim slovima (a, b, c):

Trougao ima sledeće uglove:

Vrijednosti uglova na odgovarajućim vrhovima tradicionalno se označavaju grčkim slovima (α, β, γ).

Znakovi jednakosti trouglova

Trokut na euklidovoj ravni može se jednoznačno odrediti (do kongruencije) sljedećim tripletima osnovnih elemenata:

1. a, b, γ (jednakost na dvije strane i ugao koji leži između njih);
2. a, β, γ (jednakost na strani i dva susedna ugla);
3. a, b, c (jednakost na tri strane).

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

1. duž kraka i hipotenuze;
2. na dvije noge;
3. duž noge i oštri ugao;
4. duž hipotenuze i oštrog ugla.

Neke tačke u trouglu su „uparene“. Na primjer, postoje dvije tačke iz kojih su sve strane vidljive pod uglom od 60° ili pod uglom od 120°. Zovu se Torricelli tačke. Postoje i dvije tačke čije projekcije na stranice leže u vrhovima pravilnog trougla. Ovo - Apolonije poentira. Bodovi i slično se zovu Brocard bodovi.

Direktno

U bilo kom trokutu, težište, ortocentar i centar opisane kružnice leže na istoj pravoj liniji, tzv. Ojlerova linija.

Zove se prava linija koja prolazi kroz centar opisane kružnice i Lemoineovu tačku Brocardova osovina. Apolonijeve tačke leže na njemu. Toričelijeva tačka i tačka Lemoine takođe leže na istoj liniji. Osnove vanjskih simetrala uglova trougla leže na istoj pravoj liniji, tzv. osi vanjskih simetrala. Točke sjecišta linija koje sadrže stranice pravokutnog trougla sa linijama koje sadrže stranice trougla također leže na istoj pravoj. Ova linija se zove ortocentrična osa, okomita je na Ojlerovu pravu liniju.

Ako uzmemo tačku na opisanoj kružnici trougla, tada će njene projekcije na stranice trokuta ležati na istoj pravoj liniji, tzv. Simson je strejt ovu tačku. Simsonove linije dijametralno suprotnih tačaka su okomite.

Trouglovi

• Trougao sa vrhovima u osnovima povučenim kroz datu tačku naziva se cevian trougao ovu tačku.
• Trougao sa vrhovima u projekcijama date tačke na stranice naziva se sod ili trougao pedala ovu tačku.
• Trougao sa vrhovima u drugim tačkama preseka pravih povučenih kroz vrhove i date tačke sa opisanom kružnicom naziva se obodnog trougla. Obimni trokut sličan je trokutu busena.

Krugovi

• Upisan krug- krug koji dodiruje sve tri strane trougla. Ona je jedina. Središte upisane kružnice se zove incenter.
• Circumcircle- kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trougla. Opisani krug je takođe jedinstven.
• Excircle- krug koji dodiruje jednu stranu trougla i nastavak druge dvije stranice. U trouglu postoje tri takva kruga. Njihov radikalni centar je centar upisane kružnice medijalnog trougla, tzv Spikerova tačka.

Sredine tri strane trougla, osnove njegove tri visine i sredine tri segmenta koji povezuju njegove vrhove sa ortocentrom leže na jednoj kružnici koja se naziva krug od devet tačaka ili Ojlerov krug. Središte kružnice od devet tačaka leži na Ojlerovoj liniji. Krug od devet tačaka dodiruje upisanu kružnicu i tri izvanokružnice. Tačka dodira između upisane kružnice i kružnice od devet tačaka naziva se Feuerbach point. Ako iz svakog vrha položimo van trokuta na prave linije koje sadrže stranice, ortoze jednake dužine suprotnim stranama, tada rezultirajućih šest tačaka leži na istoj kružnici - Conway krug. U bilo koji trokut mogu se upisati tri kruga na način da svaki od njih dodiruje dvije strane trougla i dvije druge kružnice. Takvi krugovi se nazivaju Malfatti krugovi. Centri opisanih krugova šest trouglova na koje je trokut podijeljen medijanama leže na jednoj kružnici koja se naziva obim Lamuna.

Trokut ima tri kružnice koje dodiruju dvije strane trougla i opisanu kružnicu. Takvi krugovi se nazivaju poluupisani ili Verrier krugovi. Segmenti koji povezuju tačke dodira Verrijeovih kružnica sa opisanim krugom seku se u jednoj tački tzv. Verrierova poenta. Služi kao centar homotetije, koja pretvara opisanu kružnicu u upisanu kružnicu. Dodirne točke Verrierovih kružnica sa stranicama leže na pravoj liniji koja prolazi središtem upisane kružnice.

Segmenti koji spajaju tačke dodira upisane kružnice sa vrhovima seku se u jednoj tački tzv. Gergonne point, i segmenti koji povezuju vrhove sa tačkama dodira excircles- V Nagel point.

Elipse, parabole i hiperbole

Upisana konika (elipsa) i njena perspektiva

U trokut se može upisati beskonačan broj konika (elipsa, parabola ili hiperbola). Ako proizvoljni konik upišemo u trokut i spojimo tangente sa suprotnim vrhovima, tada će se rezultirajuće prave seći u jednoj tački tzv. prospect kreveti. Za bilo koju tačku ravni koja ne leži na strani ili na njenom produžetku postoji upisana konika sa perspektivom u ovoj tački.

Opisana Steinerova elipsa i ceviani koji prolaze kroz njena žarišta

Možete upisati elipsu u trougao, koji dodiruje stranice u sredini. Takva elipsa se zove upisana Steinerova elipsa(njegova perspektiva će biti težište trougla). Opisana elipsa, koja dodiruje prave koje prolaze kroz vrhove paralelne sa stranicama, naziva se opisano Steinerovom elipsom. Ako transformiramo trokut u pravilan trokut koristeći afinu transformaciju (“koso”), tada će se njegova upisana i opisana Steinerova elipsa transformirati u upisanu i opisanu kružnicu. Chevianove linije povučene kroz žarišta opisane Štajnerove elipse (Scutinove tačke) su jednake (Scutinova teorema). Od svih opisanih elipsa, opisana Steinerova elipsa ima najmanju površinu, a od svih upisanih najveća površina ima upisanu Štajnerovu elipsu.

Brokarova elipsa i njen perspektiva - Lemoine tačka

Elipsa sa žarištima u Brocardovim tačkama se naziva Brocardova elipsa. Njegova perspektiva je tačka Lemoine.

Svojstva upisane parabole

Kiepertova parabola

Izgledi upisanih parabola leže na opisanoj Steinerovoj elipsi. Fokus upisane parabole leži na opisanoj kružnici, a direktrisa prolazi kroz ortocentar. Parabola upisana u trokut i kojoj je direktrisa Ojlerova direktrisa naziva se Kiepertova parabola. Njegova perspektiva je četvrta tačka preseka opisane kružnice i opisane Štajnerove elipse, tzv. Steiner point.

Kipertova hiperbola

Ako opisana hiperbola prolazi kroz tačku presjeka visina, onda je ona jednakostranična (odnosno, njene asimptote su okomite). Točka presjeka asimptota jednakostranične hiperbole leži na kružnici od devet tačaka.

Transformacije

Ako se prave koje prolaze kroz vrhove i neku tačku koja ne leži na stranicama i njihove produžetke reflektiraju u odnosu na odgovarajuće simetrale, tada će se i njihove slike sjeći u jednoj tački, koja se naziva izogonalno konjugirani originalni (ako tačka leži na opisanoj kružnici, tada će rezultirajuće linije biti paralelne). Mnogi parovi izuzetnih tačaka su izogonalno konjugirani: centar cirkumcentra i ortocentar, centar i Lemoineova tačka, Brocardove tačke. Apolonijeve tačke su izogonalno konjugirane sa Toričelijevim tačkama, a centar upisane kružnice je izogonalno konjugiran sam sa sobom. Pod dejstvom izogonalne konjugacije, prave se pretvaraju u opisane konike, a opisane konike u prave. Dakle, Kiepertova hiperbola i Brocardova os, Jenzabekova hiperbola i Ojlerova prava linija, Feuerbachova hiperbola i linija centara upisanih i opisanih kružnica su izogonalno konjugirane. Opisani krugovi trouglova izogonalno konjugiranih tačaka se poklapaju. Fokusi upisanih elipsa su izogonalno konjugirani.

Ako, umjesto simetričnog ceviana, uzmemo cevian čija je osnova jednako udaljena od sredine stranice koliko i osnova originalnog, tada će se i takvi ceviani ukrštati u jednoj tački. Rezultirajuća transformacija se zove izotomska konjugacija. Također pretvara prave linije u opisane konike. Gergonne i Nagelove tačke su izotomski konjugirane. Kod afine transformacije, izotomski konjugirane tačke se transformišu u izotomski konjugirane tačke. Sa izotomskom konjugacijom, opisana Steinerova elipsa će ići u beskonačno udaljenu pravu liniju.

Ako u segmente odsječene stranicama trokuta od opisane kružnice, upišemo krugove koji dodiruju stranice na osnovima ceviana povučenih kroz određenu tačku, a zatim spojimo tangente tih kružnica s opisanom kružnicom sa suprotnim vrhovima, tada će se takve prave seći u jednoj tački. Poziva se ravna transformacija koja odgovara originalnoj tački sa rezultujućom izokružna transformacija. Kompozicija izogonalnih i izotomskih konjugata je sastav izokružne transformacije sa samim sobom. Ova kompozicija je projektivna transformacija, koja ostavlja stranice trokuta na mjestu i pretvara os vanjskih simetrala u pravu liniju u beskonačnosti.

Ako nastavimo stranice Chevian trokuta određene tačke i uzmemo njihove točke sjecišta sa odgovarajućim stranicama, tada će rezultirajuće točke presjeka ležati na jednoj pravoj liniji, tzv. trilinear polar polazna tačka. Ortocentrična os je trilinearni pol ortocentra; trilinearni polar centra upisane kružnice je os vanjskih simetrala. Trilinearni polari tačaka koje leže na opisanoj konici sijeku se u jednoj tački (za opisanu kružnicu ovo je Lemoineova tačka, za opisanu Steinerovu elipsu to je težište). Sastav izogonalnog (ili izotomskog) konjugata i trilinearne polare je transformacija dualnosti (ako tačka izogonalno (izotomski) konjugata s točkom leži na trilinearnom polaru točke, tada je trilinearna polarna točka izogonalno (izotomski) konjugiran s tačkom leži na trilinearnoj polari tačke).

Kocke

Omjeri u trouglu

Bilješka: u ovom dijelu, , su dužine tri strane trougla, i , su uglovi koji leže nasuprot ove tri strane (suprotni uglovi).

Nejednakost trokuta

U nedegenerisanom trouglu, zbir dužina njegovih dveju stranica je duže treće strane, u degenerisanju - jednaka. Drugim riječima, dužine stranica trokuta povezane su sljedećim nejednačinama:

Nejednakost trokuta je jedan od aksioma metrike.

Teorema o zbroju ugla trougla

Teorema sinusa

,

gdje je R polumjer kružnice opisane oko trougla. Iz teoreme slijedi da ako je a< b < c, то α < β < γ.

Kosinus teorema

Teorema tangente

Ostali omjeri

Metrički omjeri u trokutu su dati za:

Rješavanje trouglova

Izračunavanje nepoznatih stranica i uglova trougla na osnovu poznatih se istorijski nazivalo „rešavanje trougla“. Koriste se gornje opće trigonometrijske teoreme.

Površina trougla

Posebni slučajevi Notacija

Za područje važe sljedeće nejednakosti:

Izračunavanje površine trokuta u prostoru pomoću vektora

Neka vrhovi trokuta budu u tačkama , , .

Hajde da predstavimo vektor površine . Dužina ovog vektora jednaka je površini trokuta, a usmjerena je normalno na ravan trokuta:

Postavimo , gdje su , , projekcije trokuta na koordinatne ravnine. Gde

i slično

Površina trougla je .

Alternativa je izračunavanje dužina stranica (pomoću Pitagorine teoreme), a zatim korištenje Heronove formule.

Teoreme trougla

Desarguesova teorema: ako su dva trokuta perspektivna (prave koje prolaze kroz odgovarajuće vrhove trokuta seku se u jednoj tački), tada im se odgovarajuće stranice sijeku na istoj pravoj.

Sondina teorema: ako su dva trokuta perspektivna i ortološka (okomite povučene iz vrhova jednog trokuta na strane suprotne odgovarajućim vrhovima trokuta, i obrnuto), tada su oba centra ortologije (tačke presjeka ovih okomica) i centar perspektive leže na istoj pravoj liniji, okomitoj na osu perspektive (prava iz Desarguesove teoreme).

Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati sa različitim vrstama trouglova.

Razmotrite geometrijske oblike i pronađite „dodatni“ među njima (slika 1).

Rice. 1. Ilustracija na primjer

Vidimo da su slike br. 1, 2, 3, 5 četvorouglovi. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).

Rice. 2. Četvorouglovi

To znači da je „dodatna“ figura trougao (slika 3).

Rice. 3. Ilustracija na primjer

Trougao je figura koja se sastoji od tri tačke koje ne leže na istoj pravoj i tri segmenta koji povezuju ove tačke u paru.

Tačke se zovu vrhovima trougla, segmenti - njegovi stranke. Stranice trougla se formiraju U vrhovima trougla postoje tri ugla.

Glavne karakteristike trougla su tri strane i tri ugla. Prema veličini ugla trokuti su oštre, pravougaone i tupe.

Trougao se naziva oštrouglim ako su mu sva tri ugla oštra, odnosno manja od 90° (slika 4).

Rice. 4. Oštri trougao

Trougao se naziva pravougaonim ako mu je jedan od uglova 90° (slika 5).

Rice. 5. Pravokutni trokut

Trokut se naziva tupougao ako mu je jedan od uglova tup, odnosno veći od 90° (slika 6).

Rice. 6. Tupokutni trokut

Na osnovu broja jednakih stranica trouglovi su jednakostranični, jednakokraki, razmjerni.

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice jednake (slika 7).

Rice. 7. Jednakokraki trougao

Ove strane se zovu bočno, Treća strana - osnovu. U jednakokračnom trouglu uglovi osnove su jednaki.

Postoje jednakokraki trouglovi akutna i tupa(sl. 8) .

Rice. 8. Oštri i tupi jednakokraki trouglovi

Jednakostranični trougao je onaj u kome su sve tri strane jednake (slika 9).

Rice. 9. Jednakostranični trougao

U jednakostranični trokut svi uglovi su jednaki. Jednakostranični trouglovi Uvijek oštrougao.

Skala je trougao u kojem sve tri strane imaju različite dužine (slika 10).

Rice. 10. Skalirani trokut

Dovršite zadatak. Podijelite ove trouglove u tri grupe (slika 11).

Rice. 11. Ilustracija za zadatak

Prvo, rasporedimo prema veličini uglova.

Oštri trouglovi: br. 1, br. 3.

Pravougli trouglovi: br. 2, br. 6.

Tupouglovi trouglovi: br. 4, br. 5.

Iste trokute ćemo podijeliti u grupe prema broju jednakih stranica.

Skalirani trouglovi: br. 4, br. 6.

Jednakokraki trouglovi: br. 2, br. 3, br. 5.

Jednakostranični trougao: br. 1.

Pogledajte slike.

Razmislite od kojeg komada žice je napravljen svaki trougao (slika 12).

Rice. 12. Ilustracija za zadatak

Možeš razmišljati ovako.

Prvi komad žice podijeljen je na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. Na slici je prikazan kao treći.

Drugi komad žice podijeljen je na tri različita dijela, tako da se može koristiti za izradu skalenskog trokuta. Prvo je prikazano na slici.

Treći komad žice je podeljen na tri dela, pri čemu su dva dela iste dužine, što znači da se od njega može napraviti jednakokraki trougao. Na slici je on drugi.

Danas smo na času učili o različitim vrstama trouglova.

Bibliografija

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M.: “Prosvjeta”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, drugi dio. - M.: “Prosvjeta”, 2012.
3. M.I. Moro. Časovi matematike: Metodičke preporuke za nastavnike. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
4. Regulatorni dokument. Praćenje i evaluacija ishoda učenja. - M.: "Prosvjeta", 2011.
5. „Ruska škola“: Programi za osnovnu školu. - M.: "Prosvjeta", 2011.
6. S.I. Volkova. Matematika: Testni rad. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: “Ispit”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Zadaća

1. Dopunite fraze.

a) Trougao je lik koji se sastoji od ... koji ne leže na istoj pravoj, i ... koji spajaju ove tačke u parovima.

b) Tačke se zovu … , segmenti - njegovi … . Stranice trougla formiraju se u vrhovima trougla ….

c) Prema veličini ugla trouglovi su ... , ... , ... .

d) Na osnovu broja jednakih stranica trouglovi su ... , ... , ... .

2. Draw

a) pravougli trougao;

b) oštar trougao;

c) tupougli trougao;

d) jednakostranični trougao;

e) skalirani trougao;

e) jednakokraki trougao.

3. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje prijatelje.

Nauka o geometriji nam govori šta su trougao, kvadrat i kocka. IN savremeni svet u školama ga uče svi bez izuzetka. Takođe, nauka koja direktno proučava šta je trougao i koja svojstva ima je trigonometrija. Ona detaljno istražuje sve pojave vezane za podatke.O tome šta je trougao danas ćemo govoriti u našem članku. Njihove vrste će biti opisane u nastavku, kao i neke teoreme povezane s njima.

Šta je trougao? Definicija

Ovo je ravan poligon. Ima tri ugla, kao što je jasno iz njegovog imena. Takođe ima tri stranice i tri vrha, prvi od njih su segmenti, drugi su tačke. Znajući čemu su jednaka dva ugla, treći možete pronaći oduzimanjem zbroja prva dva od broja 180.

Koje vrste trouglova postoje?

Mogu se klasifikovati prema različitim kriterijumima.

Prije svega, dijele se na oštrougaone, tupokutne i pravokutne. Prvi jesu oštri uglovi, odnosno oni koji su jednaki manjim od 90 stepeni. Kod tupih uglova jedan od uglova je tup, odnosno onaj koji je veći od 90 stepeni, druga dva su oštra. Oštri trouglovi takođe uključuju jednakostranične trouglove. Takvi trouglovi imaju sve stranice i uglove jednake. Svi su jednaki 60 stepeni, to se lako može izračunati tako što se zbir svih uglova (180) podeli sa tri.

Pravokutni trokut

Nemoguće je ne govoriti o tome šta je pravougli trougao.

Takva figura ima jedan ugao jednak 90 stepeni (ravno), odnosno dvije njegove strane su okomite. Preostala dva ugla su oštra. Oni mogu biti jednaki, tada će biti jednakokraki. Pitagorina teorema se odnosi na pravougli trokut. Koristeći ga, možete pronaći treću stranu, poznavajući prve dvije. Prema ovoj teoremi, ako kvadratu jedne noge dodate kvadrat druge, možete dobiti kvadrat hipotenuze. Kvadrat kateta se može izračunati oduzimanjem kvadrata poznatog kateta od kvadrata hipotenuze. Govoreći o tome šta je trougao, možemo se prisjetiti i jednakokračnog trougla. Ovo je onaj u kojem su dvije stranice jednake, a dva ugla su također jednaka.

Šta su krak i hipotenuza?

Noga je jedna od stranica trougla koja formira ugao od 90 stepeni. Hipotenuza je preostala strana koja se nalazi nasuprot pravog ugla. Možete spustiti okomicu s nje na nogu. Stav susjedna noga hipotenuzi se naziva ništa manje nego kosinusom, a suprotno se naziva sinusom.

- koje su njegove karakteristike?

Pravougaona je. Njegovi kraci su tri i četiri, a hipotenuza pet. Ako vidite da su katete datog trougla jednake tri i četiri, možete biti sigurni da će hipotenuza biti jednaka pet. Također, koristeći ovaj princip, možete lako odrediti da će krak biti jednak tri ako je drugi jednak četiri, a hipotenuza jednaka pet. Da biste dokazali ovu tvrdnju, možete primijeniti Pitagorinu teoremu. Ako su dva kraka jednaka 3 i 4, tada je 9 + 16 = 25, korijen od 25 je 5, odnosno hipotenuza je jednaka 5. Egipatski trokut je također pravougaoni trokut čije su stranice jednake 6, 8 i 10; 9, 12 i 15 i drugi brojevi sa omjerom 3:4:5.

Šta bi drugo mogao biti trougao?

Trokuti također mogu biti upisani ili opisani. Figura oko koje je opisana kružnica naziva se upisana; svi njeni vrhovi su tačke koje leže na kružnici. Opisani trougao je onaj u koji je upisana kružnica. Sve njegove strane dolaze u dodir s njim u određenim tačkama.

Kako se nalazi?

Površina bilo koje figure se mjeri u kvadratnim jedinicama (kvadratni metri, kvadratni milimetri, kvadratni centimetri, kvadratni decimetri, itd.) Ova vrijednost se može izračunati na različite načine, ovisno o vrsti trokuta. Područje bilo koje figure s uglovima može se pronaći množenjem njene strane okomitom koja je na nju spuštena iz suprotnog ugla i dijeljenjem ove figure s dva. Ovu vrijednost možete pronaći i množenjem dvije strane. Zatim pomnožite ovaj broj sa sinusom ugla koji se nalazi između ovih stranica i podijelite ovaj rezultat sa dva. Poznavajući sve strane trougla, ali ne znajući njegove uglove, možete pronaći površinu na drugi način. Da biste to učinili, morate pronaći polovicu perimetra. Zatim naizmjenično oduzimajte različite strane od ovog broja i pomnožite rezultirajuće četiri vrijednosti. Zatim pronađite iz broja koji je izašao. Površina upisanog trokuta može se naći množenjem svih stranica i dijeljenjem rezultirajućeg broja s onim opisanim oko njega, pomnoženim sa četiri.

Površina opisanog trokuta nalazi se na ovaj način: množimo polovinu perimetra polumjerom kruga koji je u njega upisan. Ako se tada njegova površina može pronaći na sljedeći način: kvadratirajte stranu, pomnožite rezultirajuću cifru s korijenom od tri, a zatim podijelite ovaj broj sa četiri. Na sličan način možete izračunati visinu trokuta u kojem su sve strane jednake; da biste to učinili, trebate jednu od njih pomnožiti s korijenom od tri, a zatim podijeliti ovaj broj s dva.

Teoreme vezane za trokut

Glavne teoreme koje su povezane s ovom figurom su Pitagorina teorema opisana gore i kosinus. Drugi (od sinusa) je da ako bilo koju stranu podijelite sa sinusom ugla nasuprot njoj, možete dobiti polumjer kružnice koja je opisana oko nje, pomnožen sa dva. Treći (kosinusi) je da ako od zbira kvadrata dviju strana oduzmemo njihov proizvod, pomnožen sa dva i kosinus ugla koji se nalazi između njih, onda ćemo dobiti kvadrat treće strane.

Dali trougao - šta je to?

Mnogi, kada se suoče s ovim konceptom, isprva misle da je to neka vrsta definicije u geometriji, ali to uopće nije tako. Dalijev trougao je uobičajeno ime tri mjesta koja su usko povezana sa životom slavnog umjetnika. Njegovi „vrhunci“ su kuća u kojoj je živeo Salvador Dali, dvorac koji je poklonio svojoj supruzi, kao i muzej nadrealističkih slika. Možete puno naučiti tokom obilaska ovih mjesta. zanimljivosti o ovom jedinstvenom kreativcu poznatom širom svijeta.