Kako riješiti množenje miješanih razlomaka. Pravila za množenje i dijeljenje razlomaka cijelim brojevima

Množenje cijelog broja razlomkom nije težak zadatak. Ali postoje suptilnosti koje ste vjerovatno razumjeli u školi, ali ste ih od tada zaboravili.

Kako pomnožiti cijeli broj sa razlomkom - nekoliko članova

Ako se sjećate šta su brojilac i imenilac i kako se pravi razlomak razlikuje od nepravilnog, preskočite ovaj pasus. Za one koji su potpuno zaboravili teoriju.

Brojilac je gornji dio razlomci su ono što dijelimo. Imenilac je manji. Ovo je ono po čemu dijelimo.
Pravi razlomak je onaj čiji je brojilac manji od imenioca. Nepravilan razlomak je onaj čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku.

Kako pomnožiti cijeli broj sa razlomkom

Pravilo za množenje cijelog broja razlomkom je vrlo jednostavno - brojilac množimo cijelim brojem, ali ne dodirujemo nazivnik. Na primjer: dva pomnožena sa jednom petinom - dobijamo dvije petine. Četiri pomnoženo sa tri šesnaestine jednako je dvanaest šesnaestih.

Redukcija

U drugom primjeru, rezultujuća frakcija se može smanjiti.
Šta to znači? Imajte na umu da su i brojnik i imenilac ovog razlomka djeljivi sa četiri. Dijeljenje oba broja zajedničkim djeliteljem naziva se smanjenjem razlomka. Dobijamo tri četvrtine.

Nepravilni razlomci

Ali pretpostavimo da pomnožimo četiri sa dvije petine. Ispostavilo se da je to osam petina. Ovo je nepravilan razlomak.
To svakako treba dovesti u ispravan oblik. Da biste to učinili, morate odabrati cijeli dio iz njega.
Ovdje trebate koristiti dijeljenje s ostatkom. Dobijamo jedan i tri kao ostatak.
Jedna cjelina i tri petine su naš pravi razlomak.

Dovesti trideset pet osminki u ispravan oblik je malo teže. Najbliži broj trideset sedam koji je djeljiv sa osam je trideset dva. Kada se podijeli, dobijemo četiri. Oduzmite trideset dva od trideset pet i dobijemo tri. Rezultat: četiri cijele i tri osmine.

Jednakost brojnika i nazivnika. A ovdje je sve vrlo jednostavno i lijepo. Ako su brojnik i nazivnik jednaki, rezultat je jednostavno jedan.

Sadržaj lekcije

Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:

1. Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 2. Dodajte razlomke i .

Ispostavilo se da je odgovor nepravilan razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju, cijeli dio se lako izoluje - dva podijeljena sa dva jednako je jedan:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate jednu celu picu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .

Opet, zbrajamo brojioce i ostavljamo imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u zbrajanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite imenilac nepromenjen;

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu dodati jer imaju isti imenioci.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ovi razlomci različiti imenioci. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo se osvrnuti na samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti komplikovanim.

Suština ove metode je da se prvo traži LCM nazivnika oba razlomka. LCM se zatim dijeli sa nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojioci i imenioci razlomaka se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajmo razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Ovim je primjer završen. Ispada da dodam.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).

Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri od šest komada). Zbrajanjem ovih komada dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo izdvojili cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. IN obrazovne institucije Nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM oba imenioca i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore vašim brojiocima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji i stražnja strana medalje. Ako ne vodite detaljne bilješke u prvim fazama proučavanja matematike, tada počinju da se pojavljuju pitanja te vrste. “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

1. Naći LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gore navedene upute.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobijamo treći dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Sve što ostaje je sabirati ove razlomke. Dodaj to:

Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, pomiče se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite njegov cijeli dio

Naš odgovor se pokazao kao nepravilan razlomak. Moramo istaći cijeli dio toga. Ističemo:

Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, ali ostavite imenilac isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane nepromijenjen. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Ponovo, od brojila prvog razlomka, oduzmite brojilac drugog razlomka i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojioca prvog razlomka morate oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
2. Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik se nalazi po istom principu koji smo koristili kada smo sabirali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je napisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Prvo nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako od pizze isečete picu, dobijate picu

Ovo detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje ovih razlomaka na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a imenilac trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prebacujemo na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa (GCD) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojilac i nazivnik razlomka sa pronađenim gcd, odnosno sa 10

Dobili smo odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je pomnožiti brojilac datog razlomka s tim brojem, a imenilac ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

Snimak se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, proizvod se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ova notacija se može shvatiti kao uzimanje polovine jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac razlomka sa 4

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pice, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množitelj i množitelj, dobićemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako uzeti dvije trećine iz ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravićemo picu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva koja smo uzeli imaće iste dimenzije:

Drugim riječima, mi pričamo o tome pizza otprilike iste veličine. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, ali bi bilo dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojilac i nazivnik ovog razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojilac i nazivnik našeg odgovora s gcd koji smo sada pronašli, odnosno sa 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Ovo neće promijeniti značenje petice, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati sa vrlo zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo naopako:

Šta će se dogoditi kao rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada pomnožite 5 sa dobijete jedan.

Recipročna vrijednost broja također se može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Deljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pice:

Podijelimo ga podjednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?

Vidi se da su nakon podjele polovine pice dobijena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Podjela razlomaka se vrši korištenjem recipročnih vrijednosti. Recipročni brojevi vam omogućavaju da zamijenite dijeljenje množenjem.

Da biste razlomak podijelili brojem, trebate taj razlomak pomnožiti s inverzom djelitelja.

Koristeći ovo pravilo, zapisaćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj je broj 2.

Da biste razlomak podijelili brojem 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa

Prošli put smo naučili kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju “Sabiranje i oduzimanje razlomaka”). Najteži dio tih radnji bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije još jednostavnije od sabiranja i oduzimanja. Prvo, razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez odvojenog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutim" drugim razlomkom.

Oznaka:

Iz definicije slijedi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste "okrenuli" razlomak, samo zamijenite brojilac i imenilac. Stoga ćemo tokom čitave lekcije uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja, može nastati (i često nastaje) razlomak koji se može smanjiti - on se, naravno, mora smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, cijeli dio treba istaknuti. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički imenitelj: bez unakrsnih metoda, najvećih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka cijelim i negativnim razlomcima

Ako razlomci sadrže cijeli broj, moraju se pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus po minus daje minus;
2. Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ova pravila susretala samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za djelo se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko nedostataka odjednom:

1. Negative precrtavamo u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnim slučajevima može preživjeti jedan minus – onaj za koji nije bilo partnera;
2. Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan jer za njega nije bilo para, uzimamo ga izvan granica množenja. Rezultat je negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Sve razlomke pretvaramo u nepravilne, a zatim iz množenja izvlačimo minuse. Množimo ono što je ostalo normalna pravila. Dobijamo:

Da vas još jednom podsjetim da se minus koji se pojavljuje ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na cijeli njegov dio (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Također imajte na umu negativni brojevi: Prilikom množenja, oni su zatvoreni u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio precizniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je vrlo radno intenzivna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da pojednostavite problem, možete pokušati dodatno smanjiti razlomak prije množenja. Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je ostalo od njih su označeni crvenom bojom.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Na njihovom mjestu ostaju jedinice koje, općenito govoreći, ne treba pisati. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupan iznos proračuna ipak smanjio.

Međutim, nikada nemojte koristiti ovu tehniku ​​kada dodajete i oduzimate razlomke! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Greška nastaje jer pri sabiranju brojnik razlomka daje zbroj, a ne proizvod brojeva. Shodno tome, nemoguće je primijeniti osnovno svojstvo razlomka, jer se ovo svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.

Drugih razloga za smanjenje razlomaka jednostavno nema, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:

Ispravno rješenje:

Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

U srednjoj i srednjoj školi učenici su obrađivali temu „Razlomci“. Međutim, ovaj koncept je mnogo širi od onoga što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često i ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.

Šta je razlomak?

Istorijski gledano, razlomci su nastali iz potrebe mjerenja. Kao što pokazuje praksa, često postoje primjeri određivanja dužine segmenta i volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se učenici upoznaju sa konceptom dionice. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, tada će svaka osoba dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj jedan dio od osam naziva se udio.

Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovina; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Zapisi oblika 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se obični razlomci. Običan razlomak je podijeljen na brojnik i imenilac. Između njih je frakciona traka ili frakcija. Razlomka se može nacrtati kao horizontalna ili kosa linija. U ovom slučaju, označava znak podjele.

Imenilac predstavlja na koliko jednakih delova je podeljena količina ili predmet; a brojilac je koliko je identičnih udjela uzeto. Brojnik je napisan iznad razlomka, a nazivnik ispod.

Najprikladnije je prikazati obične razlomke koordinatni zrak. Ako je segment jedinice podijeljen na 4 jednaka dijela, označite svaki dio latinično pismo, onda rezultat može biti odlična vizualna pomoć. Dakle, tačka A pokazuje udeo jednak 1/4 celokupnog segmenta jedinice, a tačka B označava 2/8 datog segmenta.

Vrste razlomaka

Razlomci mogu biti obični, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na pravilne i nepravilne. Ova klasifikacija je prikladnija za obične frakcije.

Pravi razlomak je broj čiji je brojilac manji od nazivnika. Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojilac veći od nazivnika. Drugi tip se obično piše kao mješoviti broj. Ovaj izraz se sastoji od cijelog broja i razlomka. Na primjer, 1½. 1 je cijeli broj, ½ je razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili pretvaranje), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.

Tačan izraz razlomaka je uvijek manje od jedan, a netačno - veće ili jednako 1.

Što se tiče ovog izraza, mislimo na zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se imenilac razlomka može izraziti kao jedinica sa nekoliko nula. Ako je razlomak pravilan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti jednak nuli.

Da biste napisali decimalni razlomak, prvo morate napisati cijeli dio, odvojiti ga od razlomka pomoću zareza, a zatim napisati izraz razlomka. Treba imati na umu da nakon decimalnog zareza brojnik mora sadržavati isti broj digitalnih znakova kao što su nule u nazivniku.

Primjer. Izrazite razlomak 7 21 / 1000 decimalnim zapisom.

Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

Pogrešno je napisati nepravilan razlomak u odgovoru na zadatak, pa ga treba pretvoriti u mješoviti broj:

• podijeliti brojilac sa postojećim nazivnikom;
• V konkretan primjer nepotpuni količnik - cijeli;
• a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47 / 5.

Rješenje. 47: 5. Parcijalni količnik je 9, ostatak = 2. Dakle, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:

• cijeli broj se množi sa nazivnikom razlomaka;
• rezultirajući proizvod se dodaje brojiocu;
• rezultat je upisan u brojiocu, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Predstavite broj u mješovitom obliku kao nepravilan razlomak: 9 8 / 10.

Rješenje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojilac.

Odgovori: 98 / 10.

Množenje razlomaka

Na običnim razlomcima mogu se izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, potrebno je da pomnožite brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Štoviše, množenje razlomaka s različitim nazivnicima ne razlikuje se od proizvoda razlomci brojeva sa istim imeniocima.

Dešava se da nakon pronalaženja rezultata trebate smanjiti razlomak. Imperativ je pojednostaviti rezultirajući izraz što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je nepravilan razlomak u odgovoru greška, ali ga je teško nazvati i tačnim odgovorom.

Primjer. Pronađite proizvod dva obična razlomka: ½ i 20/18.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja proizvoda, dobiva se reducibilna frakcija. I brojnik i imenilac u ovom slučaju su podijeljeni sa 4, a rezultat je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka se po svom principu prilično razlikuje od proizvoda običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:

• dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da su krajnje desne cifre jedna ispod druge;
• morate pomnožiti napisane brojeve, uprkos zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
• izbrojati broj cifara iza decimalnog zareza u svakom broju;
• u rezultatu koji se dobije nakon množenja, potrebno je odbrojati s desne strane onoliko digitalnih simbola koliko ih sadrži zbir u oba faktora nakon decimalnog zareza i staviti znak za razdvajanje;
• ako je u proizvodu manje brojeva, potrebno je ispred njih napisati što više nula da pokrije ovaj broj, staviti zarez i dodati cijeli dio jednak nuli.

Primjer. Izračunajte proizvod dva decimalna razlomka: 2,25 i 3,6.

Rješenje.

Množenje mješovitih razlomaka

Da biste izračunali umnožak dva mješovita razlomka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

• pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
• pronaći umnožak brojilaca;
• naći umnožak nazivnika;
• zapišite rezultat;
• pojednostavite izraz što je više moguće.

Primjer. Pronađite proizvod 4½ i 6 2/5.

Množenje broja razlomkom (razlomci brojem)

Osim pronalaženja umnožaka dva razlomka i mješovitih brojeva, postoje zadaci gdje je potrebno množiti razlomkom.

Dakle, pronaći proizvod decimalni i prirodan broj, potrebno je:

• upišite broj ispod razlomka tako da su krajnje desne cifre jedna iznad druge;
• pronaći proizvod uprkos zarezu;
• u rezultirajućem rezultatu, odvojite cijeli broj od razlomka pomoću zareza, računajući s desna broj cifara koje se nalaze iza decimalne točke u razlomku.

Da biste običan razlomak pomnožili brojem, morate pronaći proizvod brojnika i prirodnog faktora. Ako odgovor daje razlomak koji se može smanjiti, treba ga pretvoriti.

Primjer. Izračunaj proizvod 5/8 i 12.

Rješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovori: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno smanjiti rezultujući rezultat i pretvoriti netačan razlomak u mješoviti broj.

Množenje razlomaka također se odnosi na pronalaženje proizvoda broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli dio mješovitog faktora pomnožiti brojem, pomnožiti brojilac sa istom vrijednošću, a imenilac ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, rezultat je potrebno pojednostaviti što je više moguće.

Primjer. Pronađite proizvod 9 5 / 6 i 9.

Rješenje. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odgovori: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Sljedeće pravilo slijedi iz prethodnog stava. Da biste pomnožili decimalni razlomak sa 10, 100, 1000, 10000, itd., trebate pomaknuti decimalni zarez udesno za onoliko cifara koliko ima nula u faktoru iza jedinice.

Primjer 1. Pronađite proizvod 0,065 i 1000.

Rješenje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovori: 65.

Primjer 2. Pronađite proizvod 3,9 i 1000.

Rješenje. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovori: 3900.

Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., trebali biste pomaknuti zarez u rezultirajućem proizvodu ulijevo za onoliko znakova cifara koliko ima nula ispred jedan. Ako je potrebno, dovoljan broj nula upisuje se ispred prirodnog broja.

Primjer 1. Pronađite proizvod 56 i 0,01.

Rješenje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovori: 0,56.

Primjer 2. Pronađite proizvod 4 i 0,001.

Rješenje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovori: 0,004.

Dakle, pronalaženje proizvoda različitih razlomaka ne bi trebalo uzrokovati nikakve poteškoće, osim možda izračunavanja rezultata; u ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.

Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.

Množenje običnog razlomka s razlomkom.

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati proizvod brojilaca i umnožaka nazivnika ovih razlomaka.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \puts c)(b \puts d)\\\)

Pogledajmo primjer:
Množimo brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka množimo i imeniocem drugog razlomka.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)

Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \puts 3) = \frac(4)(7)\\\) smanjen je za 3.

Množenje razlomka brojem.

Prvo, zapamtimo pravilo, bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Koristimo ovo pravilo prilikom množenja.

\(5 \ puta \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Nepravilan razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvoreno u mješoviti razlomak.

Drugim riječima, Kada broj množimo razlomkom, množimo broj sa brojnikom i imenilac ostavljamo nepromijenjen. primjer:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Množenje mješovitih razlomaka.

Da biste pomnožili mješovite razlomke, prvo morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim koristiti pravilo množenja. Množimo brojilac sa brojicom, a nazivnik množimo sa imeniocem.

primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ puta 6) = \frac(3 \puta \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.

Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzan razlomku \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročni razlomci. Proizvod recipročnih razlomaka jednak je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak sa razlomkom?
Odgovor: Proizvod običnih razlomaka je množenje brojnika sa brojicom, nazivnika sa nazivnikom. Da biste dobili proizvod miješanih razlomaka, trebate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.

Kako pomnožiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno da li razlomci imaju iste ili različite nazivnike, množenje se vrši po pravilu pronalaženja umnožaka brojnika sa brojicom, nazivnika sa nazivnikom.

Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod koristeći pravila množenja.

Kako pomnožiti broj sa razlomkom?
Odgovor: množimo broj sa brojicom, ali imenilac ostavljamo isti.

Primjer #1:
Izračunajte proizvod: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Rješenje:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \puts 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crvena) (5))(3 \puta \color(crvena) (5) \puta 13) = \frac(4)(39)\)

Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \puta 11\)

Rješenje:
a) \(3 \puta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost razlomka \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)

Primjer #4:
Izračunajte proizvod dva međusobno inverzna razlomka: a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104)\)

Rješenje:
a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104) = 1\)

Primjer #5:
Mogu li recipročni razlomci biti:
a) istovremeno sa pravim razlomcima;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) istovremeno prirodni brojevi?

Rješenje:
a) da bismo odgovorili na prvo pitanje, dajmo primjer. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravilan, njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(3)(2)\) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.

b) u skoro svim nabrajanjima razlomaka ovaj uslov nije ispunjen, ali postoje neki brojevi koji ispunjavaju uslov da su istovremeno nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilan razlomak je \(\frac(3)(3)\), njegov inverzni razlomak je jednak \(\frac(3)(3)\). Dobijamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uslovima kada su brojnik i imenilac jednaki.

c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo prilikom brojanja, na primjer, 1, 2, 3, …. Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), tada će njegov inverzni razlomak biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost broja je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, onda će njegov recipročni razlomak biti \(\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu istovremeno biti prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je to broj 1.

Primjer #6:
Uradite umnožak mješovitih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \puta 3\frac(2)(7)\ )

Rješenje:
a) \(4 \puta 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Primjer #7:
Mogu li dva recipročna broja biti mješoviti brojevi u isto vrijeme?

Pogledajmo primjer. Uzmimo mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), pronađemo njegov inverzni razlomak, da bismo to učinili pretvaramo ga u nepravilan razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva razlomka koja su međusobno inverzna ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.