UlazKako provjeriti u racionalnim jednačinama. Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina
"Rješavanje frakcionih racionalnih jednačina"
Ciljevi lekcije:
edukativni:
- formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina; razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina; razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli; podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina korištenjem algoritma; provjeravanje nivoa savladanosti teme izvođenjem testa.
razvojni:
- razvijanje sposobnosti pravilnog operisanja stečenim znanjem i logičkog mišljenja; razvoj intelektualnih vještina i mentalne operacije- analiza, sinteza, poređenje i sinteza; razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanje na tome; razvoj kritičkog mišljenja; razvoj istraživačkih vještina.
Obrazovanje:
- vaspitanje kognitivni interes subjektu; negovanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema; negovanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.
Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.
Napredak lekcije
1. Organizacioni momenat.
Zdravo momci! Na tabli su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?
Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na času? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina”.
2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.
A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Odgovorite na sljedeća pitanja:
1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
2. Kako se zove jednačina br. 1? ( Linearno.) Metoda za rješavanje linearnih jednačina. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).
3. Kako se zove jednačina br. 3? ( Square.) Metode rješavanja kvadratnih jednačina. ( Odabir pun kvadrat, formulama, koristeći Vietin teorem i njegove posljedice.)
4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
5. Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićete jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.)
6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednaka nuli, a imenilac nije nula.)
3. Objašnjenje novog materijala.
Rešite jednačinu br. 2 u svojim sveskama i na tabli.
Odgovori: 10.
Koji frakciona racionalna jednačina Možete li pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
Rešite jednačinu br. 4 u svojim sveskama i na tabli.
Odgovori: 1,5.
Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).
D=1›0, x1=3, x2=4.
Odgovori: 3;4.
Sada pokušajte riješiti jednačinu broj 7 koristeći jednu od sljedećih metoda.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Odgovori: 0;5;-2. | Odgovori: 5;-2. |
Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?
Studenti se do sada nisu susreli s konceptom stranog korijena, zaista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.
- Po čemu se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5,6,7? ( U jednačinama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi sa promjenljivom.) Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje istinita.) Kako saznati da li je broj korijen jednačine? ( Provjeri.)
Prilikom testiranja neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina koji nam omogućava da eliminišemo ovu grešku? Da, ova metoda se zasniva na uslovu da je razlomak jednak nuli.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.
Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.
Odgovori: -2.
Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.
Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:
1. Pomaknite sve na lijevu stranu.
2. Svesti razlomke na zajednički imenilac.
3. Kreirajte sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.
4. Riješite jednačinu.
5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
6. Zapišite odgovor.
Diskusija: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: isključite iz njegovih korijena one koji čine da zajednički imenilac nestane).
4. Početno razumijevanje novog gradiva.
Radite u parovima. Učenici biraju kako će sami riješiti jednačinu ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika „Algebra 8“, 2007: br. 000 (b, c, i); br. 000(a,d,g). Nastavnik prati izvršenje zadatka, odgovara na sva pitanja koja se pojave i pruža pomoć učenicima sa slabim učinkom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na tabli.
b) 2 – strani koren. Odgovor: 3.
c) 2 – strani koren. Odgovor: 1.5.
a) Odgovor: -12.5.
g) Odgovor: 1;1.5.
5. Postavljanje domaće zadaće.
2. Naučiti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
3. Rešiti u sveskama br. 000 (a,d,e); br. 000 (g, h).
4. Pokušajte riješiti broj 000(a) (opciono).
6. Izvršavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.
Rad se obavlja na komadima papira.
Primjer zadatka:
A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?
B) Razlomak je jednak nuli kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.
P) Da li je broj -3 korijen jednačine broj 6?
D) Riješi jednačinu br. 7.
Kriterijumi ocjenjivanja za zadatak:
- “5” se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” se daje učeniku koji je uradio manje od 50% zadatka. Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 je opciono.
7. Refleksija.
Na samostalne radne listove stavite:
- 1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva; 2 – zanimljivo, ali nejasno; 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo; 4 – nije zanimljivo, nije jasno.
8. Sumiranje lekcije.
Dakle, danas smo se u lekciji upoznali sa frakcionim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti ove jednadžbe na razne načine, testirali svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate svog samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, a kod kuće ćete imati priliku da učvrstite svoje znanje.
Koja je metoda rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, čega treba da se setite? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?
Hvala svima, lekcija je gotova.
\(\bullet\) Racionalna jednadžba je jednačina predstavljena u obliku \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] gdje je \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomi (zbir "X-ova" različitih stepena, pomnožen različitim brojevima).
Izraz na lijevoj strani jednačine naziva se racionalni izraz.
ODZ (reg prihvatljive vrijednosti) racionalne jednadžbe su sve vrijednosti \(x\) za koje nazivnik NE nestaje, odnosno \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Na primjer, jednadžbe \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] su racionalne jednačine.
U prvom ODZ jednadžba– sve su to \(x\) takvi da je \(x\ne 3\) (piši \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); u drugoj jednadžbi – sve su to \(x\) takvi da je \(x\ne -1; x\ne 1\) (napišite \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); a u trećoj jednačini nema ograničenja na ODZ, odnosno ODZ je sve \(x\) (oni pišu \(x\in\mathbb(R)\)).
\(\bullet\) Teoreme: 1) Umnožak dva faktora jednak je nuli ako i samo ako je jedan od njih jednak nuli, a drugi ne gubi značenje, pa je jednačina \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) je ekvivalentan sistemu\[\begin(slučajevi) \left[ \begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno.\\ \ tekst (ODZ jednadžbe) \kraj (slučajevi)\] 2) Razlomak je jednak nuli ako i samo ako je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli, dakle, jednačina \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) je ekvivalentan sistemu jednačina\[\početak(slučajevi) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \kraj(slučajevi)\]
\(\bullet\) Pogledajmo nekoliko primjera.
1) Riješite jednačinu \(x+1=\dfrac 2x\) .
Nađimo ODZ ove jednačine - to je \(x\ne 0\) (pošto je \(x\) u nazivniku). To znači da se ODZ može napisati na sljedeći način: . Premjestimo sve pojmove u jedan dio i dovedemo ih do zajedničkog nazivnika:
\[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( slučajevi) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(case)\] Rješenje prve jednadžbe sistema će biti \(x=-2, x=1\) . Vidimo da su oba korijena različita od nule. Dakle, odgovor je: \(x\in \(-2;1\)\) .. Nađimo ODZ ove jednadžbe. Vidimo da je jedina vrijednost \(x\) za koju lijeva strana nema smisla \(x=0\) . Dakle, ODZ se može napisati ovako:.
\(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)
Dakle, ova jednačina je ekvivalentna sistemu:\[\begin(slučajevi) \left[ \begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno. \\ x\ne 0 \end(slučajevi) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(slučajevi) \left[ \begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno.\\ x\ne 0 \end(slučajevi) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno.\\ x\ne 0 \end(slučajevi) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(sakupljeno) \begin(poravnano) &x=2\\ &x=1 \end(poravnano) \end(sakupljeno) \desno.\]
Zaista, uprkos činjenici da je \(x=0\) korijen drugog faktora, ako zamijenite \(x=0\) u originalnu jednačinu, onda to neće imati smisla, jer izraz \(\dfrac 40\) nije definiran.
Dakle, rješenje ove jednadžbe je \(x\in \(1;2\)\) . 3) Riješite jednačinu\[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]
U našoj jednadžbi \(4x^2-1\ne 0\) , iz koje je \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , odnosno \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Pomerimo sve pojmove na lijevu stranu i dovedemo ih do zajedničkog nazivnika:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(slučajevi) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(slučajevi) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(slučajevi) \left[ \begin(sakupljeni) \begin( poravnato) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(poravnano)\end(sakupljeno) \desno.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(slučajevi) \quad \ Strelica lijevo desno \quad x=-3\)
Odgovor: \(x\in \(-3\)\) .
Komentar. Ako se odgovor sastoji od konačnog skupa brojeva, onda se oni mogu napisati razdvojeni tačkom i zarezom u vitičastim zagradama, kao što je prikazano u prethodnim primjerima. Problemi koji zahtijevaju rješavanje racionalnih jednačina susreću se svake godine na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, tako da prilikom pripreme za polaganje sertifikacionog testa maturanti bi svakako trebali sami ponoviti teoriju na ovu temu. Maturanti polažu i osnovnu i ispit. Savladavši teoriju i bavivši se praktičnim vježbama na temu “ Racionalne jednadžbe“, studenti će moći rješavati probleme s bilo kojim brojem radnji i računati na dobijanje takmičarskih bodova na osnovu rezultata položenog Jedinstvenog državnog ispita.
Kako se pripremiti za ispit koristeći obrazovni portal Shkolkovo?
Ponekad se pokaže da je pronalaženje izvora koji u potpunosti predstavlja osnovnu teoriju za rješavanje matematičkih problema prilično teško. Udžbenik možda jednostavno nije pri ruci. A pronalaženje potrebnih formula ponekad može biti prilično teško čak i na internetu.
Obrazovni portal Shkolkovo oslobodit će vas potrebe za traženjem potrebnog materijala i pomoći vam da se dobro pripremite za polaganje ispita za sertifikaciju.
Naši stručnjaci su pripremili i predstavili svu potrebnu teoriju na temu „Racionalne jednačine“ u najpristupačnijem obliku. Nakon proučavanja predstavljenih informacija, studenti će moći da popune praznine u znanju.
Za uspješnu pripremu za Jedinstveni državni ispit za maturante Neophodno je ne samo osvježiti pamćenje osnovnog teorijskog materijala na temu „Racionalne jednačine“, već i vježbati rješavanje zadataka na konkretnim primjerima. Veliki izbor zadataka predstavljen je u odeljku „Katalog“.
Za svaku vježbu na stranici naši stručnjaci su napisali algoritam rješenja i naveli tačan odgovor. Učenici mogu vježbati rješavanje problema različitim stepenima poteškoće u zavisnosti od nivoa obučenosti. Lista zadataka u odgovarajućem odjeljku se stalno dopunjuje i ažurira.
Proučite teorijski materijal i usavršite vještine rješavanja problema na temu “Racionalne jednačine”, slične onima uključenima u Testovi objedinjenog državnog ispita, može se obaviti online. Ako je potrebno, bilo koji od predstavljenih zadataka može se dodati u odjeljak „Favoriti“. Nakon što je još jednom ponovio osnovnu teoriju na temu „Racionalne jednačine“, srednjoškolac će moći da se vrati problemu u budućnosti kako bi sa nastavnikom razgovarao o napretku njegovog rešavanja na času algebre.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Uveli smo gornju jednačinu u § 7. Prvo, prisjetimo se šta je racionalni izraz. Ovo je algebarski izraz sastavljen od brojeva i varijable x koristeći operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i stepenovanja s prirodnim eksponentom.
Ako je r(x) racionalan izraz, onda se jednačina r(x) = 0 naziva racionalnom jednačinom.
Međutim, u praksi je praktičnije koristiti nešto više široko tumačenje izraz “racionalna jednačina”: to je jednačina oblika h(x) = q(x), gdje su h(x) i q(x) racionalni izrazi.
Do sada nismo mogli riješiti nijednu racionalnu jednačinu, već samo onu koja je, kao rezultat raznih transformacija i razmišljanja, svedena na linearna jednačina. Sada su naše mogućnosti mnogo veće: moći ćemo riješiti racionalnu jednadžbu koja se ne svodi samo na linearnu
mu, ali i na kvadratnu jednačinu.
Prisjetimo se kako smo ranije rješavali racionalne jednadžbe i pokušajmo formulirati algoritam rješenja.
Primjer 1. Riješite jednačinu
Rješenje. Prepišimo jednačinu u obliku
U ovom slučaju, kao i obično, koristimo činjenicu da jednakosti A = B i A - B = 0 izražavaju isti odnos između A i B. To nam je omogućilo da pomaknemo član na lijevu stranu jednačine sa suprotan znak.
Transformirajmo lijevu stranu jednačine. Imamo
Prisjetimo se uslova jednakosti razlomci nula: ako i samo ako su dvije relacije istovremeno zadovoljene:
1) brojilac razlomka je nula (a = 0); 2) imenilac razlomka je različit od nule).
Izjednačavajući brojilac razlomka na lijevoj strani jednačine (1) sa nulom, dobijamo
Ostaje provjeriti ispunjenost drugog gore navedenog uslova. Relacija znači za jednačinu (1) da je . Vrijednosti x 1 = 2 i x 2 = 0,6 zadovoljavaju naznačene odnose i stoga služe kao korijeni jednačine (1), a ujedno i korijeni date jednačine.
1) Pretvorimo jednačinu u oblik
2) Hajde da transformišemo lijevu stranu ove jednačine:
(istovremeno promijenio predznake u brojiocu i
razlomci).
Dakle, data jednačina poprima oblik
3) Riješite jednačinu x 2 - 6x + 8 = 0. Pronađite
4) Za pronađene vrijednosti provjerite ispunjenost uslova 
. Broj 4 ispunjava ovaj uslov, ali broj 2 ne. To znači da je 4 korijen date jednadžbe, a 2 vanjski korijen.
ODGOVOR: 4.
2. Rješavanje racionalnih jednačina uvođenjem nove varijable
Metoda uvođenja nove varijable vam je poznata više puta. Pokažimo na primjerima kako se koristi u rješavanju racionalnih jednačina.
Primjer 3. Riješite jednačinu x 4 + x 2 - 20 = 0.
Rješenje. Hajde da uvedemo novu varijablu y = x 2 . Pošto je x 4 = (x 2) 2 = y 2, data jednačina se može prepisati kao
y 2 + y - 20 = 0.
ovo - kvadratna jednačina, čije ćemo korijene pronaći koristeći poznato formule; dobijamo y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ali y = x 2, što znači da je problem sveden na rješavanje dvije jednadžbe:
x 2 =4; x 2 = -5.
Iz prve jednadžbe nalazimo da druga jednačina nema korijena.
Odgovor: .
Jednačina oblika ax 4 + bx 2 + c = 0 naziva se bikvadratna jednačina („bi“ je dva, tj. neka vrsta „dvostruke kvadratne“ jednadžbe). Upravo riješena jednačina bila je upravo bikvadratna. Bilo koja bikvadratna jednadžba se rješava na isti način kao i jednadžba iz primjera 3: uvedite novu varijablu y = x 2, riješite rezultirajuću kvadratnu jednačinu u odnosu na varijablu y, a zatim se vratite na varijablu x.
Primjer 4. Riješite jednačinu
Rješenje. Imajte na umu da se isti izraz x 2 + 3x ovdje pojavljuje dvaput. To znači da ima smisla uvesti novu varijablu y = x 2 + 3x. To će nam omogućiti da prepišemo jednačinu u jednostavnijem i ugodnijem obliku (što je, zapravo, svrha uvođenja novog varijabla- i pojednostavljivanje snimanja
postaje jasnija, a struktura jednadžbe postaje jasnija):
Sada koristimo algoritam za rješavanje racionalne jednadžbe.
1) Premjestimo sve članove jednačine u jedan dio:
= 0
2) Transformirajte lijevu stranu jednačine
Dakle, transformisali smo datu jednačinu u oblik
3) Iz jednačine - 7y 2 + 29y -4 = 0 nalazimo (ti i ja smo već riješili dosta kvadratnih jednačina, tako da vjerovatno ne vrijedi uvijek davati detaljne proračune u udžbeniku).
4) Provjerimo pronađene korijene koristeći uvjet 5 (y - 3) (y + 1). Oba korena zadovoljavaju ovaj uslov.
Dakle, kvadratna jednadžba za novu varijablu y je riješena: 
Pošto y = x 2 + 3x, a y, kao što smo ustanovili, uzima dvije vrijednosti: 4 i , još uvijek moramo riješiti dvije jednačine: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Korijeni prve jednadžbe su brojevi 1 i -4, korijeni druge jednadžbe su brojevi
U razmatranim primjerima način uvođenja nove varijable bio je, kako matematičari vole reći, adekvatan situaciji, odnosno dobro joj je odgovarao. Zašto? Da, jer se isti izraz jasno pojavio u jednadžbi nekoliko puta i postojao je razlog da se ovaj izraz označi novo pismo. Ali to se ne dešava uvek, nova varijabla se „pojavljuje“ samo tokom procesa transformacije. Upravo to će se dogoditi u sljedećem primjeru.
Primjer 5. Riješite jednačinu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Rješenje. Imamo
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Zx+2.
To znači da se data jednačina može prepisati u obliku
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Sada se „pojavila“ nova varijabla: y = x 2 - 3x.
Uz njegovu pomoć, jednačina se može prepisati u obliku y (y + 2) = 24, a zatim y 2 + 2y - 24 = 0. Korijeni ove jednačine su brojevi 4 i -6.
Vraćajući se na prvobitnu varijablu x, dobijamo dvije jednačine x 2 - 3x = 4 i x 2 - 3x = - 6. Iz prve jednačine nalazimo x 1 = 4, x 2 = - 1; druga jednadžba nema korijena.
ODGOVOR: 4, - 1.
“Racionalne jednadžbe s polinomima” jedna je od tema koje se najčešće susreću u test zadataka Jedinstveni državni ispit iz matematike. Iz tog razloga, vrijedi ih ponoviti posebnu pažnju. Mnogi učenici se suočavaju sa problemom pronalaženja diskriminanta, prenošenja indikatora s desne strane na lijevu i dovođenja jednačine na zajednički imenilac, zbog čega rješavanje ovakvih zadataka izaziva poteškoće. Rješavanje racionalnih jednadžbi u pripremi za Jedinstveni državni ispit na našoj web stranici pomoći će vam da se brzo nosite s problemima bilo koje složenosti i prođete test sjajno.
Odaberite obrazovni portal Školkovo kako biste se uspješno pripremili za Jedinstveni ispit iz matematike!
Da biste znali pravila za izračunavanje nepoznanica i lako dobili tačne rezultate, koristite naš online servis. Portal Školkovo je jedinstvena platforma koja sadrži sve što je potrebno za pripremu Materijali za Jedinstveni državni ispit. Naši nastavnici su sve sistematizovali i prikazali na razumljiv način. matematička pravila. Osim toga, pozivamo školarce da se okušaju u rješavanju standardnih racionalnih jednadžbi, čija se osnova stalno ažurira i proširuje.
Za efikasniju pripremu za testiranje preporučujemo da se pridržavate naše posebne metode i započnete ponavljanjem pravila i rješenja jednostavni zadaci, postepeno prelazeći na složenije. Tako će diplomac moći identificirati najteže teme za sebe i fokusirati se na njihovo proučavanje.
Počnite da se pripremate za završni test sa Školkovom već danas, a rezultati neće dugo čekati! Odaberite najlakši primjer od navedenih. Ako brzo savladate izraz, prijeđite na teži zadatak. Na taj način možete unaprijediti svoje znanje do tačke rješavanja USE zadataka iz matematike na specijaliziranom nivou.
Obuka je dostupna ne samo maturantima iz Moskve, već i školarcima iz drugih gradova. Provedite nekoliko sati dnevno učeći na našem portalu, na primjer, i vrlo brzo ćete moći da se nosite sa jednačinama bilo koje složenosti!