UlazLogaritamske jednadžbe sa modulom, primjeri rješenja. Logaritamske jednadžbe. Od jednostavnog do složenog
Logaritamske jednadžbe. Od jednostavnog do složenog.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta je logaritamska jednačina?
Ovo je jednadžba sa logaritmima. Iznenađen sam, zar ne?) Onda ću pojasniti. Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima unutar logaritma. I samo tamo! Važno je.
Evo nekoliko primjera logaritamske jednačine :
log 3 x = log 3 9
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Pa razumes... )
Bilješka! Locirani su najraznovrsniji izrazi sa X-ovima isključivo unutar logaritma. Ako se iznenada pojavi X negdje u jednadžbi vani, Na primjer:
log 2 x = 3+x,
ovo će biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Usput, postoje jednadžbe gdje su unutar logaritma samo brojevi. Na primjer:
Šta da kažem? Imaš sreće ako naiđeš na ovo! Logaritam sa brojevima je neki broj. To je sve. Za rješavanje takve jednačine dovoljno je poznavati svojstva logaritma. Poznavanje posebnih pravila, tehnika prilagođenih posebno za rješavanje logaritamske jednadžbe, ovdje nije potrebno.
dakle, šta je logaritamska jednačina- Shvatili smo.
Kako riješiti logaritamske jednadžbe?
Rješenje logaritamske jednačine- stvar zapravo nije baš jednostavna. Dakle, naša sekcija je četiri... Potrebna je pristojna količina znanja o svim vrstama srodnih tema. Osim toga, u ovim jednačinama postoji posebna karakteristika. A ova karakteristika je toliko važna da se može sa sigurnošću nazvati glavnim problemom u rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovaj problem ćemo se detaljno pozabaviti u sljedećoj lekciji.
Za sada, ne brini. Ići ćemo pravim putem od jednostavnog do složenog. On konkretni primjeri. Glavna stvar je da se udubite u jednostavne stvari i ne budite lijeni pratiti linkove, stavio sam ih tamo s razlogom... I sve će vam uspjeti. Neophodno.
Počnimo s najelementarnijim, najjednostavnijim jednadžbama. Da biste ih riješili, preporučljivo je imati ideju o logaritmu, ali ništa više. Samo nemam pojma logaritam, doneti odluku logaritamski jednadžbe - nekako čak i nespretne... Vrlo hrabro, rekao bih).
Najjednostavnije logaritamske jednadžbe.
Ovo su jednadžbe oblika:
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2x-3) = log 7 x
3. log 7 (50x-1) = 2
Proces rješenja bilo koja logaritamska jednadžba sastoji se u prijelazu iz jednadžbe s logaritmima u jednačinu bez njih. U najjednostavnijim jednačinama ovaj prijelaz se izvodi u jednom koraku. Zato su i najjednostavniji.)
A takve logaritamske jednačine je iznenađujuće lako riješiti. Uvjerite se sami.
Da riješimo prvi primjer:
log 3 x = log 3 9
Da biste riješili ovaj primjer, ne morate znati gotovo ništa, da... Čisto intuicija!) Šta nam treba posebno ne sviđa vam se ovaj primjer? Šta-šta... Ne volim logaritme! U redu. Pa hajde da ih se rešimo. Pažljivo pogledamo primjer i u nama se javlja prirodna želja... Baš neodoljiva! Uzmite i izbacite logaritme u potpunosti. A ono što je dobro je to Može uradi! Matematika dozvoljava. Logaritmi nestaju odgovor je:
Odlično, zar ne? To se uvijek može (i treba) učiniti. Eliminacija logaritama na ovaj način jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Naravno, postoje pravila za takvu likvidaciju, ali ih je malo. Zapamtite:
Možete bez straha eliminisati logaritme ako imaju:
a) iste numeričke baze
c) logaritmi s lijeva na desno su čisti (bez koeficijenata) i u sjajnoj su izolaciji.
Dozvolite mi da pojasnim poslednju tačku. U jednačini, recimo
log 3 x = 2log 3 (3x-1)
Logaritmi se ne mogu ukloniti. Dvojica sa desne strane to ne dozvoljavaju. Koeficijent, znate... U primjeru
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
Također je nemoguće potencirati jednačinu. Na lijevoj strani nema usamljenog logaritma. Ima ih dvoje.
Ukratko, možete ukloniti logaritme ako jednadžba izgleda ovako i samo ovako:
log a (.....) = log a (.....)
U zagradama, tamo gdje je elipsa, može biti bilo kakvih izraza. Jednostavno, super složeno, sve vrste. Kako god. Bitno je da nam nakon eliminisanja logaritama ostaje jednostavnija jednačina. Pretpostavlja se, naravno, da već znate rješavati linearne, kvadratne, razlomke, eksponencijalne i druge jednadžbe bez logaritama.)
Sada možete lako riješiti drugi primjer:
log 7 (2x-3) = log 7 x
Zapravo, to se odlučuje u umu. Potenciramo, dobijamo:
Pa, je li jako teško?) Kao što vidite, logaritamski dio rješenja jednačine je samo u eliminisanju logaritama... A onda dolazi rješenje preostale jednačine bez njih. Trivijalna stvar.
Rešimo treći primjer:
log 7 (50x-1) = 2
Vidimo da je na lijevoj strani logaritam:
Podsjetimo da je ovaj logaritam broj na koji se baza mora podići (tj. sedam) da bi se dobio sublogaritamski izraz, tj. (50x-1).
Ali ovaj broj je dva! Prema jednadžbi To je:
To je u osnovi sve. Logaritam nestao, Ono što ostaje je bezopasna jednačina:
Ovu logaritamsku jednačinu riješili smo samo na osnovu značenja logaritma. Da li je još lakše eliminisati logaritme?) Slažem se. Usput, ako napravite logaritam od dva, ovaj primjer možete riješiti eliminacijom. Bilo koji broj se može pretvoriti u logaritam. Štaviše, onako kako nam je potrebno. Vrlo korisna tehnika u rješavanju logaritamskih jednačina i (posebno!) nejednačina.
Ne znate kako napraviti logaritam od broja!? Uredu je. Odjeljak 555 detaljno opisuje ovu tehniku. Možete ga savladati i iskoristiti u potpunosti! To uvelike smanjuje broj grešaka.
Četvrta jednačina se rješava na potpuno sličan način (po definiciji):
To je to.
Hajde da rezimiramo ovu lekciju. Na primjerima smo pogledali rješenje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi. To je veoma važno. I ne samo zato što se takve jednadžbe pojavljuju u testovima i ispitima. Činjenica je da se čak i najzlobnije i najkomplikovanije jednadžbe nužno svode na najjednostavnije!
Zapravo, najjednostavnije jednačine su završni dio rješenja bilo koji jednačine. I ovaj završni dio mora se striktno razumjeti! I dalje. Obavezno pročitajte ovu stranicu do kraja. Tu je iznenađenje...)
Sada odlučujemo sami. Hajde da se popravimo, da tako kažem...)
Pronađite korijen (ili zbir korijena, ako ih ima nekoliko) jednadžbi:
ln(7x+2) = ln(5x+20)
log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0,5x-1,5) = 0,25
log 0,2 (3x-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
log 2 (14x) = log 2 7 + 2
Odgovori (naravno u neredu): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.
Šta, ne ide sve? Dešava se. Ne brini! Odjeljak 555 objašnjava rješenje za sve ove primjere na jasan i detaljan način. Tamo ćete sigurno shvatiti. Također ćete naučiti korisne praktične tehnike.
Sve je ispalo!? Svi primjeri "jedan lijevo"?) Čestitamo!
Vrijeme je da vam otkrijem gorku istinu. Uspješno rješavanje ovih primjera ne garantuje uspjeh u rješavanju svih ostalih logaritamskih jednačina. Čak i najjednostavniji poput ovih. Avaj.
Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednadžbe (čak i najelementarnije!) sastoji od dva jednaka dela. Rješavanje jednadžbe i rad sa ODZ-om. Savladali smo jedan dio - rješavanje same jednačine. Nije tako teško zar ne?
Za ovu lekciju posebno sam odabrao primjere u kojima DL ni na koji način ne utiče na odgovor. Ali nisu svi ljubazni kao ja, zar ne?...)
Stoga je imperativ ovladati drugim dijelom. ODZ. Ovo je glavni problem u rješavanju logaritamskih jednačina. I ne zato što je težak - ovaj dio je čak lakši od prvog. Ali zato što ljudi jednostavno zaborave na ODZ. Ili ne znaju. Ili oboje). I padaju iz vedra neba...
U sledećoj lekciji bavićemo se ovim problemom. Tada možete sa sigurnošću odlučiti bilo koji jednostavne logaritamske jednadžbe i pristupaju sasvim solidnim zadacima.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
glavna svojstva.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
identične osnove
Log6 4 + log6 9.
Sada da malo zakomplikujemo zadatak.
Primjeri rješavanja logaritama
Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se posmatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Prelazak na novu osnovu
Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Vidi također:
Osnovna svojstva logaritma
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja.
Osnovna svojstva logaritama
Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.
Primjeri za logaritme
Logaritamski izrazi
Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo 
2.
3. 
4. 
Gdje 
.
Primjer 2. Pronađite x ako
Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama
Izračunajte log(x) ako
Osnovna svojstva logaritama
Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.
Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan problem. logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.
Sabiranje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Bilješka: ključni trenutak ovdje - identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!
Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izrazčak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne broje (pogledajte lekciju „Šta je logaritam“). Pogledajte primjere i pogledajte:
Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.
Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi su izgrađeni na ovoj činjenici test papiri. Da, izrazi poput testa se nude u potpunosti (ponekad i bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.
Izdvajanje eksponenta iz logaritma
Lako je to primijetiti poslednje pravilo prati prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto , tj. Možete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.
Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Imajte na umu da imenilac sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:
Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.
Logaritamske formule. Rješenja primjera logaritama.
Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.
Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.
Prelazak na novu osnovu
Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?
Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:
Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:
Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:
Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.
Ove formule se rijetko nalaze u konvencionalnim numeričke izraze. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.
Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.
Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sada "obrnimo" drugi logaritam:
Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.
Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:
Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:
Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:
U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.
Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .
U stvari, šta se dešava ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.
Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:
Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.
- logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
- loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan - logaritam jednaka nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.
To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.
Vidi također:
Logaritam od b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći stepen x () pri kojem je jednakost zadovoljena
Osnovna svojstva logaritma
Neophodno je poznavati navedena svojstva, jer se na njihovoj osnovi rješavaju gotovo svi problemi i primjeri vezani za logaritme. Ostatak egzotičnih svojstava može se izvesti kroz matematičke manipulacije sa ovim formulama
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) nailazite prilično često. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.
Uobičajeni slučajevi logaritama
Neki od uobičajenih logaritama su oni kod kojih je baza čak deset, eksponencijalna ili dva.
Logaritam na osnovu deset obično se naziva decimalni logaritam i jednostavno se označava sa lg(x).
Iz snimka se jasno vidi da na snimku nije napisano osnovno. Na primjer
Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen sa ln(x)).
Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.
I još jedan važan logaritam za bazu dva je označen sa
Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom
Integralni ili antiderivativni logaritam je određen odnosom
Dati materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Da biste lakše razumjeli gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog nastavnog plana i programa i sa fakulteta.
Primjeri za logaritme
Logaritamski izrazi
Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo
2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo
3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo
4. Gdje .
Naizgled složen izraz se pojednostavljuje u obliku pomoću brojnih pravila
Pronalaženje vrijednosti logaritma
Primjer 2. Pronađite x ako
Rješenje. Za izračun se primjenjuje na posljednji pojam 5 i 13 svojstava
Stavljamo to u evidenciju i žalimo
Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze
Logaritmi. Prvi nivo.
Neka je data vrijednost logaritama
Izračunajte log(x) ako
Rješenje: Uzmimo logaritam varijable da zapišemo logaritam kroz zbir njegovih članova
Ovo je tek početak našeg upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati znanje koje steknete za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje ovakvih jednačina, proširit ćemo vaše znanje na još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine...
Osnovna svojstva logaritama
Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.
Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.
Sabiranje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!
Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.
Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.
Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, izrazi poput testa se nude u potpunosti (ponekad i bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.
Izdvajanje eksponenta iz logaritma
Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:
Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto , tj. Možete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam.
Kako riješiti logaritme
To je ono što se najčešće traži.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.
Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Imajte na umu da imenilac sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:
Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.
Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.
Prelazak na novu osnovu
Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?
Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:
Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:
Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:
Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.
Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.
Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.
Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sada "obrnimo" drugi logaritam:
Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.
Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:
Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:
Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:
U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.
Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .
U stvari, šta se dešava ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.
Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:
Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.
- logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
- loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.
To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.
Uvod
Logaritmi su izmišljeni da ubrzaju i pojednostave proračune. Ideja logaritma, odnosno ideja izražavanja brojeva kao potencija iste baze, pripada Mihailu Stifelu. Ali u Stiefelovo vrijeme matematika nije bila toliko razvijena i ideja logaritma nije bila razvijena. Logaritme su kasnije istovremeno i nezavisno jedan od drugog izmislili škotski naučnik Džon Napier (1550-1617) i Švajcarac Jobst Burgi (1552-1632).Napier je prvi objavio to delo 1614. godine. pod nazivom "Opis" neverovatan sto logaritmi“, Napierova teorija logaritama data je u prilično cjelovitom obimu, metoda izračunavanja logaritama je data kao najjednostavnija, stoga su Napierove zasluge u pronalasku logaritama bile veće od Bürgijevih. Bürgi je radio na stolovima u isto vrijeme kada i Napier, ali dugo vremena držao ih u tajnosti i objavio tek 1620. Napier je savladao ideju logaritma oko 1594. iako su tabele objavljene 20 godina kasnije. Najprije je svoje logaritme nazvao "vještački brojevi", a tek onda je predložio da se ovi "vještački brojevi" nazovu jednom riječju "logaritam", što u prijevodu s grčkog znači "korelirani brojevi", uzeti jedan iz aritmetičke progresije, a drugi iz aritmetičke progresije. geometrijska progresija posebno odabrana za to. Prve tabele na ruskom jeziku objavljene su 1703. uz učešće divnog učitelja 18. veka. L. F. Magnitsky. U razvoju teorije logaritama veliki značaj imao radove peterburškog akademika Leonharda Ojlera. Bio je prvi koji je logaritme smatrao obrnutim dizanjem na stepen; uveo je pojmove “osnova logaritma” i “mantisa.” Briggs je sastavio tabele logaritama sa bazom 10. Decimalne tabele su pogodnije za praktičnu upotrebu, njihova teorija je jednostavniji od Napierovih logaritama. Zbog toga decimalni logaritmi ponekad se nazivaju brigovi. Termin "karakterizacija" uveo je Briggs.
U tim dalekim vremenima, kada su mudraci prvi put počeli razmišljati o jednakostima koje sadrže nepoznate količine, vjerovatno nije bilo kovanica ili novčanika. Ali postojale su hrpe, kao i lonci i korpe, koje su bile savršene za ulogu spremišta u koje je mogao stati nepoznat broj predmeta. U drevnim matematičkim problemima Mesopotamije, Indije, Kine, Grčke, nepoznate količine su izražavale broj paunova u bašti, broj bikova u stadu i ukupnost stvari koje se uzimaju u obzir prilikom podjele imovine. Pisci, službenici i inicijatori dobro obučeni u nauci o računima tajno znanje Sveštenici su se prilično uspješno nosili sa takvim zadacima.
Izvori koji su do nas došli ukazuju na to da su neki posjedovali drevni naučnici opšte tehnike rješavanje zadataka s nepoznatim količinama. Međutim, niti jedna papirusna ili glinena ploča ne sadrži opis ovih tehnika. Autori su svoje numeričke proračune samo povremeno opskrbljivali štedljivim komentarima poput: „Pogledaj!“, „Uradi ovo!“, „Pronašli ste pravog“. U tom smislu izuzetak je „Aritmetika“ grčkog matematičara Diofanta iz Aleksandrije (III vek) - zbirka zadataka za sastavljanje jednačina sa sistematskim prikazom njihovih rešenja.
Međutim, prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao široko poznat bio je rad bagdadskog naučnika iz 9. stoljeća. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Riječ "al-jabr" iz arapskog naziva ove rasprave - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Knjiga obnove i opozicije") - vremenom se pretvorila u dobro poznatu riječ "algebra", a al- Sam Khwarizmijev rad poslužio je kao polazna tačka u razvoju nauke o rješavanju jednačina.
Logaritamske jednačine i nejednačine
1. Logaritamske jednadžbe
Jednačina koja sadrži nepoznatu pod predznakom logaritma ili u svojoj osnovi naziva se logaritamska jednačina.
Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika
log a x = b . (1)
Izjava 1. Ako a > 0, a≠ 1, jednačina (1) za bilo koju realnu b ima jedinstveno rešenje x = a b .
Primjer 1. Riješite jednačine:
a) dnevnik 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)
Rješenje. Koristeći iskaz 1, dobijamo a) x= 2 3 ili x= 8; b) x= 3 -1 ili x= 1 / 3 ; c)
ili x = 1.Predstavimo osnovna svojstva logaritma.
P1. Osnovni logaritamski identitet:
Gdje a > 0, a≠ 1 i b > 0.
P2. Logaritam proizvoda pozitivnih faktora jednak zbiru logaritmi ovih faktora:
log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Komentar. Ako N 1 · N 2 > 0, tada svojstvo P2 poprima oblik
log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
P3. Logaritam količnika dva pozitivna broja jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Komentar. Ako
, (što je ekvivalentno N 1 N 2 > 0) tada svojstvo P3 poprima oblik
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Logaritam stepena pozitivnog broja jednak je umnošku eksponenta i logaritma ovog broja:
log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Komentar. Ako k - čak broj (k = 2s), To
log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Formula za prelazak u drugu bazu:
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
posebno ako N = b, dobijamo
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)Koristeći svojstva P4 i P5, lako je dobiti sljedeća svojstva
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
i, ako je u (5) c- čak broj ( c = 2n), javlja se
(b
> 0, a
≠ 0, |a
| ≠ 1). (6)
Navodimo glavna svojstva logaritamska funkcija f (x) = log a x :
1. Područje definicije logaritamske funkcije je skup pozitivnih brojeva.
2. Opseg vrijednosti logaritamske funkcije je skup realnih brojeva.
3. Kada a> 1 logaritamska funkcija je striktno rastuća (0< x 1 < x 2log a x 1 < loga x 2), i na 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2log a x 1 > log a x 2).
4.log a 1 = 0 i log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija negativna kada x(0;1) i pozitivno na x(1;+∞), a ako je 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) i negativan pri x (1;+∞).
6. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija konveksna prema gore, i ako a(0;1) - konveksno prema dolje.
Sljedeći iskazi (vidi, na primjer,) se koriste prilikom rješavanja logaritamskih jednačina.
Rješavanje logaritamskih jednadžbi. Dio 1.
Logaritamska jednadžba je jednadžba u kojoj je nepoznato sadržano pod znakom logaritma (posebno u bazi logaritma).
Najjednostavniji logaritamska jednačina ima oblik:
Rješavanje bilo koje logaritamske jednadžbe uključuje prijelaz sa logaritama na izraze pod znakom logaritama. Međutim, ova radnja proširuje opseg prihvatljive vrijednosti jednadžba i može dovesti do pojave stranih korijena. Da biste izbjegli pojavu stranih korijena, možete učiniti na jedan od tri načina:
1. Napravite ekvivalentan prelaz od originalne jednadžbe do sistema uključujući
zavisno od koje nejednakosti ili jednostavnije.
Ako jednadžba sadrži nepoznatu u osnovi logaritma:
onda idemo na sistem:
2. Odvojeno pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe, zatim riješite jednadžbu i provjerite da li pronađena rješenja zadovoljavaju jednačinu.
3. Riješite jednačinu, a zatim provjeriti: zamijeniti pronađena rješenja u originalnu jednačinu i provjeriti da li smo dobili tačnu jednakost.
Logaritamska jednačina bilo kojeg nivoa složenosti uvijek se na kraju svodi na najjednostavniju logaritamsku jednačinu.
Sve logaritamske jednadžbe se mogu podijeliti u četiri tipa:
1 . Jednačine koje sadrže logaritme samo na prvi stepen. Uz pomoć transformacija i upotrebe dovode se do forme
Primjer. Rešimo jednačinu:
Izjednačimo izraze pod znakom logaritma:
Provjerimo da li naš korijen jednadžbe zadovoljava:
Da, zadovoljava.
Odgovor: x=5
2 . Jednačine koje sadrže logaritme za stepene različite od 1 (posebno u nazivniku razlomka). Takve jednačine se mogu riješiti korištenjem uvođenje promjene varijable.
Primjer. Rešimo jednačinu:
Nađimo ODZ jednačinu:
Jednačina sadrži logaritme na kvadrat, tako da se može riješiti promjenom varijable.
Bitan! Prije uvođenja zamjene, potrebno je da logaritme koji su dio jednadžbe „razdvojite“ u „cigle“, koristeći svojstva logaritma.
Prilikom "razdvajanja" logaritama, važno je vrlo pažljivo koristiti svojstva logaritama:
Osim toga, ovdje postoji još jedna suptilna točka, a kako bismo izbjegli uobičajenu grešku, koristit ćemo srednju jednakost: stepen logaritma ćemo napisati u ovom obliku:
Isto tako,
Zamijenimo rezultirajuće izraze u originalnu jednačinu. Dobijamo:
Sada vidimo da je nepoznata sadržana u jednadžbi kao dio . Hajde da predstavimo zamenu: . Budući da može uzeti bilo koju realnu vrijednost, ne namećemo nikakva ograničenja varijabli.
U ovoj lekciji ćemo razmotriti osnovne teorijske činjenice o logaritmima i razmotriti rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi.
Prisjetimo se središnje definicije - definicije logaritma. To je povezano sa odlukom eksponencijalna jednačina. Ova jednadžba ima jedan korijen, naziva se logaritam od b prema bazi a:
definicija:
Logaritam od b prema bazi a je eksponent na koji se baza a mora podići da bi se dobilo b.
Da vas podsjetimo osnovni logaritamski identitet.
Izraz (izraz 1) je korijen jednadžbe (izraz 2). Zamijenite vrijednost x iz izraza 1 umjesto x u izraz 2 i dobijete glavni logaritamski identitet:
Dakle, vidimo da je svaka vrijednost povezana s vrijednošću. Označavamo b sa x(), c sa y i tako dobijamo logaritamsku funkciju:
Na primjer: 
Prisjetimo se osnovnih svojstava logaritamske funkcije.
Obratimo pažnju još jednom, jer pod logaritmom može postojati striktno pozitivan izraz, kao osnova logaritma.
Rice. 1. Grafikon logaritamske funkcije s različitim bazama
Grafikon funkcije at je prikazan crnom bojom. Rice. 1. Ako se argument povećava od nule do beskonačnosti, funkcija raste od minus do plus beskonačno.
Grafikon funkcije at je prikazan crvenom bojom. Rice. 1.
Svojstva ove funkcije:
Domen: ;
Raspon vrijednosti: ;
Funkcija je monotona u cijelom svom domenu definicije. Kada se monotono (strogo) povećava, veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije. Kada se monotono (strogo) smanjuje, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
Svojstva logaritamske funkcije su ključ za rješavanje raznih logaritamskih jednadžbi.
Razmotrimo najjednostavniju logaritamsku jednadžbinu; sve ostale logaritamske jednadžbe se po pravilu svode na ovaj oblik.
Kako su osnove logaritma i sami logaritmi jednaki, jednake su i funkcije pod logaritmom, ali ne smijemo propustiti domen definicije. Logaritam može samo da stoji pozitivan broj, imamo:
Otkrili smo da su funkcije f i g jednake, pa je dovoljno odabrati bilo koju nejednakost da bi se uskladila s ODZ.
Dakle, imamo mješoviti sistem u kojem postoji jednačina i nejednakost:
U pravilu nije potrebno rješavati nejednačinu, dovoljno je riješiti jednadžbu i u nejednačinu zamijeniti pronađene korijene, čime se vrši provjera.
Formulirajmo metodu za rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi:
Izjednačiti osnove logaritama;
Izjednačiti sublogaritamske funkcije;
Izvršite provjeru.
Pogledajmo konkretne primjere.
Primjer 1 - riješiti jednačinu:
Osnove logaritama su u početku jednake, imamo pravo izjednačiti podlogaritamske izraze, ne zaboravite na ODZ, biramo prvi logaritam da sastavimo nejednakost:
Primjer 2 - riješiti jednačinu:
Ova jednačina se razlikuje od prethodne po tome što su baze logaritama manje od jedan, ali to ni na koji način ne utiče na rješenje:
Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:
Dobili smo netačnu nejednakost, što znači da pronađeni korijen ne zadovoljava ODZ.
Primjer 3 - riješiti jednačinu:
Osnove logaritama su u početku jednake, imamo pravo izjednačiti podlogaritamske izraze, ne zaboravite na ODZ, biramo drugi logaritam da sastavimo nejednakost:
Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:
Očigledno, samo prvi korijen zadovoljava ODZ.