Proizvod tri vektora online kalkulator. Unakrsni proizvod vektora. Mješoviti proizvod vektora

Mješoviti (ili vektorsko-skalarni) proizvod tri vektora a, b, c (uzeta navedenim redom) nazivamo skalarnim proizvodom vektora a i vektorskog proizvoda b x c, odnosno brojem a(b x c), ili, što je isto, (b x c)a.
Oznaka: abc.

Svrha. Online kalkulator je dizajniran za izračunavanje mješovitog proizvoda vektora. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku. Osim toga, u Excelu se kreira predložak rješenja.

a ( ; ; )
b( ; ; )
c ( ; ; )
Prilikom izračunavanja determinante koristite pravilo trokuta

Znakovi komplanarnosti vektora

Tri vektora (ili veći broj) nazivaju se komplanarnim ako, svedeni na zajedničko ishodište, leže u istoj ravni.
Ako je barem jedan od tri vektora nula, tada se i tri vektora smatraju komplanarnim.

Znak koplanarnosti. Ako je sistem a, b, c dešnjak, tada je abc>0; ako je lijevo, onda abc Geometrijsko značenje mješovitog proizvoda. Mešani komad abc od tri nekoplanarna vektora a, b, c jednaka je zapremini paralelepipeda izgrađenog na vektorima a, b, c, uzetih sa znakom plus ako je sistem a, b, c desnoruk, i sa znak minus ako je ovaj sistem ljevoruk.

Osobine mješovitog proizvoda

1. Kada su faktori preuređeni kružno, mješoviti proizvod se ne mijenja kada su dva faktora preuređena, predznak je obrnut: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   To proizilazi iz geometrijskog značenja.
2. (a+b)cd=acd+bcd (distributivno svojstvo). Proširuje se na bilo koji broj pojmova.
   Slijedi iz definicije mješovitog proizvoda.
3. (ma)bc=m(abc) (kombinativno svojstvo u odnosu na skalarni faktor).
   Slijedi iz definicije mješovitog proizvoda. Ova svojstva omogućavaju primjenu transformacija na mješovite proizvode koji se razlikuju od običnih algebarskih samo po tome što se redoslijed faktora može mijenjati samo uzimajući u obzir predznak proizvoda.
4. Mješoviti proizvod koji ima najmanje dva jednaka faktora jednak je nuli: aab=0.

Primjer br. 1. Pronađite mješoviti proizvod.

Primjer br. 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Svi članovi osim dva ekstremna jednaki su nuli. Također, bca=abc . Stoga (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Primjer br. 3. Izračunajte mješoviti proizvod tri vektora a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Rješenje. Da bi se izračunao mješoviti proizvod vektora, potrebno je pronaći determinantu sistema sastavljenog od vektorskih koordinata. Zapišimo sistem u formu.

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski proizvod vektora I mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored toga skalarni proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Ovo je vektorska ovisnost. Može se činiti da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije u redu. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva komplikovaniji od istog tačkasti proizvod, bit će čak i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, je NE PRAVITI GREŠKE U PRORAČUNIMA. Ponovite kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama. Pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze praktičan rad

Šta će vas odmah usrećiti? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nećete morati uopšte da žonglirate, pošto ćemo razmotriti samo prostorni vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, baš kao i skalarni proizvod, uključuje dva vektora. Neka ovo budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno sa kako slijedi: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da vektorski proizvod vektora označavam na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je unutra skalarni proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe u čemu je razlika? Očigledna razlika je, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Privatni klub. Zapravo, odatle potiče i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi, oznake se također mogu razlikovati.

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: Vektorski proizvod nekolinearno vektori, primljeno ovim redom , pod nazivom VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Hajde da raščlanimo definiciju, ovdje ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaći sljedeće važne tačke:

1) Originalni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori su uzeti po strogo definisanom redosledu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" sa "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože sa obrnutim redosledom, tada dobijamo vektor jednake dužine i suprotnog smjera (boja maline). Odnosno, jednakost je tačna .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Napomena : crtež je shematski i, naravno, nazivna dužina vektorskog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Prisjetimo se jednog od geometrijske formule: Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se formula radi o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Hajde da dobijemo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći pomoću formule:

4) Ne manje važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore, tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (strijela maline) je također ortogonan na originalne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o tome orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti šta je prostorna orijentacija. Na prste ću ti objasniti desna ruka . Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat thumb – vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (to je ova na slici). Sada promijenite vektore ( indeks i srednji prsti ) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? „Dodeli“ istim prstima leva ruka vektora, te dobijemo lijevu osnovu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentaciju prostora mijenja najobičnije ogledalo, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda u općenitom slučaju to neće biti moguće kombinovati sa "originalom". Usput, držite tri prsta uz ogledalo i analizirajte odraz ;-)

...kako je dobro to što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije zastrašujuće =)

Unakrsni proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razmotrena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je jednak nuli. Isto slijedi i iz formule - sinus od nula ili 180 stepeni jednaka nuli, i stoga je površina nula

Dakle, ako , onda . Strogo govoreći, sam vektorski proizvod je jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i pišu da je jednostavno jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod vektora sa samim sobom:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora i ovaj zadatak između ostalog, analiziraćemo.

Rešiti praktični primjeri može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namerno sam napravio iste početne podatke u klauzulama. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, morate pronaći dužina vektor (unakrsni proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Ako su vas pitali o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) U skladu sa uslovom, morate pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini vektorskog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da se u odgovoru uopće ne govori o vektorskom proizvodu; područje figure, prema tome, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA treba da nađemo prema uslovu i na osnovu toga formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dosta literalista, a zadatak ima dobre šanse da bude vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuta prepirka - ako je odgovor netačan, onda se stječe utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nisu razumjeli suštinu zadatka. Ovu tačku uvijek treba držati pod kontrolom prilikom rješavanja bilo kakvog problema višu matematiku, a i u drugim predmetima.

Gdje je nestalo veliko slovo “en”? U principu je moglo biti dodatno priloženo rješenju, ali da bih skratio unos nisam to uradio. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka za istu stvar.

Popularan primjer za nezavisna odluka:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

U praksi, zadatak je zaista vrlo čest, trouglovi vas općenito mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema trebat će nam:

Svojstva vektorskog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne ističe u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) – o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) – asocijativni ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se mogu lako premjestiti izvan vektorskog proizvoda. Zaista, šta da rade tamo?

4) – distribucija ili distributivni zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Da demonstriramo, pogledajmo kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Uvjet opet zahtijeva pronalaženje dužine vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, konstante uzimamo izvan opsega vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu uzimamo izvan modula, a modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da dodate još drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Kvaka je u tome što su vektori “tse” i “de” sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam ovdje je standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije Tačkasti proizvod vektora. Radi jasnoće, podijelit ćemo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izrazimo vektor u terminima vektora. Još nema riječi o dužini!

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Koristeći distributivne zakone, otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomjeramo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, korak 2 i 3 se mogu izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član su jednaki nuli (nulti vektor) zbog svojstva nice. U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 rješenja su mogle biti napisane u jednom redu.

Odgovori:

Problem koji se razmatra je prilično čest u testovi, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Quick Solution i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, specificirano na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Formula je zaista jednostavna: u gornji red determinante upisujemo koordinatne vektore, u drugi i treći red "stavljamo" koordinate vektora i stavljamo u strogom redu– prvo koordinate vektora “ve”, a zatim koordinate “double-ve” vektora. Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti redove:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b)

Rješenje: Provjera se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov vektorski proizvod jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će zavisiti od definicije, geometrijsko značenje i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Tako su se postrojili kao voz i jedva čekaju da budu identifikovani.

Prvo, opet, definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zvao zapremina paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom “+” ako je osnova desna i znakom “–” ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanim linijama:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori su uzeti određenim redosledom, odnosno preuređivanje vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne nastaje bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti malo drugačiji, ja sam navikao označavati mješoviti proizvod sa , a rezultat proračuna slovom “pe”.

Po definiciji mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Napomena : Crtež je šematski.

4) Nemojmo opet brinuti o konceptu orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Izravno iz definicije slijedi formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima.

Da bi se ovakva tema detaljnije razmotrila, potrebno je pokriti još nekoliko odjeljaka. Tema je direktno povezana sa terminima kao što su tačkasti proizvod i vektorski proizvod. U ovom članku pokušali smo dati preciznu definiciju, naznačiti formulu koja će pomoći u određivanju proizvoda pomoću koordinata vektora. Osim toga, članak uključuje dijelove u kojima se navode svojstva djela i predstavlja detaljna analiza tipične jednakosti i problemi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Termin

Da biste odredili šta je ovaj pojam, potrebno je uzeti tri vektora.

Definicija 1

Mješoviti posao a → , b → i d → je vrijednost koja je jednaka skalarnom proizvodu a → × b → i d → , gdje je a → × b → množenje a → i b → . Operacija množenja a →, b → i d → često se označava kao a → · b → · d →. Formulu možete transformisati ovako: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Množenje u koordinatnom sistemu

Vektore možemo množiti ako su specificirani na koordinatnoj ravni.

Uzmimo i → , j → , k →

Proizvod vektora u ovom konkretnom slučaju imat će sljedeći oblik: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y) + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Definicija 2

Da napravite tačkasti proizvod u koordinatni sistem potrebno je sabrati rezultate dobijene pri množenju koordinata.

Iz ovoga proizilazi:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Također možemo definirati mješoviti proizvod vektora ako dati koordinatni sistem specificira koordinate vektora koji se množe.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x - a x a z b x b z a x y b z d x d y d z

Dakle, možemo zaključiti da:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definicija 3

Mješoviti proizvod se može izjednačiti na determinantu matrice čiji su redovi vektorske koordinate. Vizuelno to izgleda ovako: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Svojstva operacija nad vektorima Iz karakteristika koje se ističu u skalarnom ili vektorskom proizvodu možemo izvesti karakteristike koje karakterišu mješoviti proizvod. U nastavku predstavljamo glavne karakteristike.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Pored gore navedenih svojstava, treba pojasniti da ako je množitelj nula, tada će i rezultat množenja biti nula.

Rezultat množenja će također biti nula ako su dva ili više faktora jednaka.

Zaista, ako je a → = b →, onda, slijedeći definiciju vektorskog proizvoda [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , prema tome, mješoviti proizvod je jednak nuli, jer ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Ako je a → = b → ili b → = d →, tada je ugao između vektora [a → × b →] i d → jednak π 2. Po definiciji skalarnog proizvoda vektora ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Svojstva operacije množenja najčešće se traže prilikom rješavanja zadataka.
U cilju detaljnijeg ispitivanja ovu temu, uzmimo nekoliko primjera i opišimo ih detaljno.

Primjer 1

Dokazati jednakost ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), gdje je λ neki realan broj.

Da bi se pronašlo rješenje za ovu jednakost, njena lijeva strana se mora transformirati. Da biste to učinili, trebate koristiti treće svojstvo mješovitog proizvoda, koje kaže:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Vidjeli smo da je (([ a → × b → ], b →) = 0. Iz ovoga slijedi da
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ], b →) = = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Prema prvom svojstvu, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = λ ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →), i ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Dakle, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . zato,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

Jednakost je dokazana.

Primjer 2

Potrebno je dokazati da modul mješovitog proizvoda tri vektora nije veći od proizvoda njihovih dužina.

Rješenje

Na osnovu uslova možemo prikazati primjer u obliku nejednakosti a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → .

Po definiciji, transformiramo nejednakost a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Koristeći elementarne funkcije, možemo zaključiti da je 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

Iz ovoga možemo zaključiti da
(a → × b → , d →) = a → · b → · sin (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

Nejednakost je dokazana.

Analiza tipičnih zadataka

Da biste odredili koliki je proizvod vektora, morate znati koordinate vektora koji se množe. Za operaciju možete koristiti sljedeću formulu a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Primjer 3

U pravougaonom koordinatnom sistemu postoje 3 vektora sa sledećim koordinatama: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Potrebno je odrediti čemu je jednak proizvod navedenih vektora a → · b → · d →.

Na osnovu gore predstavljene teorije, možemo koristiti pravilo da se mješoviti proizvod može izračunati preko determinante matrice. To će izgledati ovako: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Primjer 4

Potrebno je pronaći proizvod vektora i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → , gdje su i → , j → , k → jedinični vektori pravougaoni Dekartov koordinatni sistem.

Na osnovu uslova koji kaže da se vektori nalaze u datom koordinatnom sistemu, njihove koordinate se mogu izvesti: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Koristimo formulu koja je korištena gore
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Također je moguće odrediti mješoviti proizvod koristeći dužinu vektora, koja je već poznata, i ugao između njih. Pogledajmo ovu tezu na primjeru.

Primjer 5

U pravougaonom koordinatnom sistemu postoje tri vektora a →, b → i d →, koji su jedan na drugi okomiti. Oni su desnoruka trojka i njihove dužine su 4, 2 i 3. Vektore je potrebno pomnožiti.

Označimo c → = a → × b → .

Prema pravilu, rezultat množenja skalarnih vektora je broj koji je jednak rezultatu množenja dužina vektora korištenih kosinusom ugla između njih. Zaključujemo da je a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Koristimo dužinu vektora d → specificiranu u primjeru uvjeta: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Potrebno je odrediti c → i c → , d → ^ . Po uslovu a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. Vektor c → nalazi se pomoću formule: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Možemo zaključiti da je c → okomito na a → i b → . Vektori a → , b → , c → će biti desna trojka, pa se koristi Dekartov koordinatni sistem. Vektori c → i d → će biti jednosmjerni, odnosno c → , d → ^ = 0 . Koristeći izvedene rezultate, rješavamo primjer a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Koristimo faktore a → , b → i d → .

Vektori a → , b → i d → dolaze iz iste tačke. Koristimo ih kao strane za izgradnju figure.

Označimo da je c → = [ a → × b → ] . Za ovaj slučaj možemo definirati proizvod vektora kao a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , gdje je n p c → d → numerička projekcija vektora d → na smjer vektora c → = [ a → × b → ] .

Apsolutna vrijednost n p c → d → jednaka je broju, koji je također jednak visini figure za koju se kao stranice koriste vektori a → , b → i d →. Na osnovu ovoga, treba pojasniti da je c → = [ a → × b → ] okomito na a → i vektor i vektor prema definiciji vektorskog množenja. Vrijednost c → = a → x b → jednaka je površini paralelepipeda izgrađenog na vektorima a → i b → .

Zaključujemo da je modul proizvoda a → · b → · d → = c → · n p c → d → jednak rezultatu množenja površine osnove visinom figure koja se gradi na vektori a → , b → i d → .

Definicija 4

Apsolutna vrijednost unakrsnog proizvoda je volumen paralelepipeda: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Ova formula je geometrijsko značenje.

Definicija 5

Zapremina tetraedra, koji je izgrađen na a →, b → i d →, jednak je 1/6 zapremine paralelepipeda Dobijamo, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Da bismo konsolidirali znanje, pogledajmo nekoliko tipičnih primjera.

Primjer 6

Potrebno je pronaći zapreminu paralelepipeda čije su stranice A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) , specificirano u pravokutnom koordinatnom sistemu . Volumen paralelepipeda može se pronaći pomoću formule apsolutne vrijednosti. Iz ovoga slijedi: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Tada je V par l l e l e p e d a = - 18 = 18 .

V p a r l l e l e p i p i d a = 18

Primjer 7

Koordinatni sistem sadrži tačke A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). Potrebno je odrediti zapreminu tetraedra koji se nalazi na ovim tačkama.

Koristimo formulu V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Koordinate vektora možemo odrediti iz koordinata tačaka: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1) , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

Zatim određujemo mješoviti proizvod A B → A C → A D → pomoću vektorskih koordinata: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 Svezak V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ovaj online kalkulator izračunava mješoviti proizvod vektora. Dato detaljno rješenje. Da biste izračunali mješoviti proizvod vektora, odaberite način predstavljanja vektora (po koordinatama ili po dvije tačke), unesite podatke u ćelije i kliknite na dugme "Izračunaj".

×

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Instrukcije za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimale (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Mješoviti proizvod vektora (teorija)

Mešani komad tri vektora je broj koji se dobija kada tačkasti proizvod rezultat vektorski proizvod prva dva vektora do trećeg vektora. Drugim riječima, ako su data tri vektora a, b I c, zatim da se dobije mješoviti proizvod ovih vektora, prvo prva dva vektora i rezultirajući vektor [ ab] se skalarno množi vektorom c.

Mješoviti proizvod tri vektora a, b I c označeno kako slijedi: abc ili tako ( a,b,c). Tada možemo napisati:

abc=([ab],c)

Prije nego što formulirate teoremu koja predstavlja geometrijsko značenje mješovitog proizvoda, upoznajte se s konceptima desnog trojnog, lijevog, desnog koordinatnog sistema, lijevog koordinatnog sistema (definicije 2, 2" i 3 na stranici vektorski proizvod vektora na mreži).

Radi određenosti, u nastavku ćemo razmatrati samo desnoruke koordinatne sisteme.

Teorema 1. Mješoviti proizvod vektora ([ab],c) jednak je volumenu paralelipeda konstruiranog na vektorima svedenim na zajednički početak a, b, c, uzeto sa znakom plus, ako je tri a, b, c desno, i sa znakom minus ako je tri a, b, c lijevo Ako vektori a, b, c su komplanarni, onda ([ ab],c) je jednako nuli.

Korol 1. Vrijedi sljedeća jednakost:

Dakle, dovoljno je da to dokažemo

([ab],c)=([bc],a)

(3)

Iz izraza (3) jasno je da su lijevi i desni dio jednaki zapremini paralelipeda. Ali znakovi desne i lijeve strane se poklapaju, budući da su trojke vektora abc I bca imaju istu orijentaciju.

Dokazana jednakost (1) nam omogućava da zapišemo mješoviti proizvod tri vektora a, b, c samo u formi abc, bez specificiranja koja se dva vektora množe vektorski sa prva dva ili zadnja dva.

Korolar 2. Neophodan i dovoljno stanje Koplanarnost tri vektora je jednakost njihovog mješovitog proizvoda na nulu.

Dokaz slijedi iz teoreme 1. Zaista, ako su vektori koplanarni, onda je mješoviti proizvod ovih vektora jednak nuli. Suprotno tome, ako je mješoviti proizvod jednak nuli, onda koplanarnost ovih vektora slijedi iz teoreme 1 (pošto je volumen paralelepeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište jednak nuli).

Posljedica 3. Mješoviti proizvod tri vektora, od kojih se dva poklapaju, jednak je nuli.

Zaista. Ako se dva od tri vektora poklapaju, onda su oni koplanarni. Stoga je mješoviti proizvod ovih vektora jednak nuli.

Mješoviti proizvod vektora u dekartovskim koordinatama

Teorema 2. Neka su tri vektora a, b I c definisane njihovim kartezijanskim pravougaonim koordinatama

Dokaz. Mešani komad abc jednak skalarnom proizvodu vektora [ ab] I c. Vector artwork vektori [ ab] u kartezijanskim koordinatama izračunava se po formuli ():

Posljednji izraz se može napisati korištenjem determinanti drugog reda:

potrebno je i dovoljno da determinanta bude jednaka nuli, čiji su redovi ispunjeni koordinatama ovih vektora, tj.

.

(7)

Da bismo dokazali korolar, dovoljno je razmotriti formulu (4) i korolar 2.

Mješoviti proizvod vektora s primjerima

Primjer 1. Naći mješoviti proizvod vektora abs, Gdje

Mješoviti proizvod vektora a, b, c jednaka determinanti matrice L. Izračunajmo determinantu matrice L, proširujući determinantu duž linije 1:

Vektorska krajnja tačka a.