Pomnožimo svaki član u zagradi. Zagrada u prirodnom stepenu. Šta se naziva otvaranjem zagrada?

U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koja se zove najjednostavnija?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije korištenjem algoritma:

1. Proširite zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Navedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija pokaže koeficijent varijable $x$ jednaka nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

1. Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
2. Zatim kombinirajte slično
3. Na kraju, izolujte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje pomjerite na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slične sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom “x” i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearne jednačine. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Ove suptilnosti ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, od samog jednostavni zadaci.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom “x”.

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak br. 1

Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Bilješka: mi pričamo o tome samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:

Slične termine predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga, pređimo na četvrti korak: podijeljeno sa koeficijentom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tako da smo dobili odgovor.

Zadatak br. 2

U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:

Evo nekoliko sličnih:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak br. 3

Treća linearna jednačina je zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Postoji nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, već im samo prethodi razni znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hajde da izračunamo:

Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali; ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.

Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Idemo dalje složene jednačine. Sada će konstrukcije postati složenije i prilikom izvođenja različitih transformacija pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, onda će se tijekom procesa transformacije sigurno poništiti svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju.

Primjer br. 1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Sada pogledajmo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekoliko sličnih:

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:

\[\varnothing\]

ili nema korijena.

Primjer br. 2

Izvodimo iste radnje. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekoliko sličnih:

Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa ćemo je napisati na sljedeći način:

\[\varnothing\],

ili nema korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, obje jednostavno nemaju korijen.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva člana i pomnoženi.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Više nećete morati da izvodite toliko transformacija svaki put; sve ćete pisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak br. 1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Učinimo malo privatnosti:

Evo nekoliko sličnih:

Završimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak br. 2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:

Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:

Pomerimo termine sa "X" ulevo, a one bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Još jednom smo dobili konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to se radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prve i množimo sa svakim elementom iz drugi; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat toga, imaćemo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.

Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima

Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:

1. Otvorite zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slične.
4. Podijelite omjerom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije i nakon prve radnje, odnosno uklanjanje razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorite zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slične.
5. Podijelite omjerom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer br. 1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada da proširimo:

Izdvajamo varijablu:

Vršimo redukciju sličnih pojmova:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, idemo na drugu jednačinu.

Primjer br. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem je riješen.

To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brini ako vidiš kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljih transformacija smanjiti.
• Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Pratite nas, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!

Proširivanje zagrada je vrsta transformacije izraza. U ovom dijelu ćemo opisati pravila za otvaranje zagrada, a također ćemo pogledati najčešće primjere problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šta su otvorne zagrade?

Zagrade se koriste za označavanje redoslijeda u kojem se radnje izvode u numeričkim, literalnim i varijabilnim izrazima. Pogodno je preći sa izraza sa zagradama na identičan jednak izrazu bez zagrada. Na primjer, zamijenite izraz 2 · (3 + 4) izrazom oblika 2 3 + 2 4 bez zagrada. Ova tehnika se zove otvaranje zagrada.

Definicija 1

Proširivanje zagrada se odnosi na tehnike za uklanjanje zagrada i obično se razmatra u odnosu na izraze koji mogu sadržavati:

• znakovi “+” ili “-” ispred zagrada koje sadrže zbrojeve ili razlike;
• proizvod broja, slova ili više slova i zbroja ili razlike, koji se stavlja u zagrade.

Ovako smo navikli da posmatramo proces otvaranja zagrada u školskom programu. Međutim, niko nas ne brani da na ovu akciju gledamo šire. Otvaranjem zagrada možemo nazvati prijelaz iz izraza koji sadrži negativne brojeve u zagradama u izraz koji nema zagrade. Na primjer, možemo ići od 5 + (− 3) − (− 7) do 5 − 3 + 7. U stvari, ovo je i otvaranje zagrada.

Na isti način možemo zamijeniti proizvod izraza u zagradama oblika (a + b) · (c + d) sa zbirom a · c + a · d + b · c + b · d. Ova tehnika takođe nije u suprotnosti sa značenjem otvaranja zagrada.

Evo još jednog primjera. Možemo pretpostaviti da se bilo koji izrazi mogu koristiti umjesto brojeva i varijabli u izrazima. Na primjer, izraz x 2 · 1 a - x + sin (b) odgovarat će izrazu bez zagrada u obliku x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Posebnu pažnju zaslužuje još jedna stvar koja se tiče posebnosti evidentiranja odluka prilikom otvaranja zagrada. Početni izraz možemo napisati u zagradama i rezultat koji se dobije nakon otvaranja zagrada kao jednakost. Na primjer, nakon proširenja zagrada umjesto izraza 3 − (5 − 7) dobijamo izraz 3 − 5 + 7 . Oba ova izraza možemo zapisati kao jednakost 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

Izvođenje radnji sa glomaznim izrazima može zahtijevati snimanje međurezultata. Tada će rješenje imati oblik lanca jednakosti. Na primjer, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ili 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Pravila za otvaranje zagrada, primjeri

Pogledajmo pravila za otvaranje zagrada.

Za pojedinačne brojeve u zagradama

Negativni brojevi u zagradama se često nalaze u izrazima. Na primjer, (− 4) i 3 + (− 4) . Pozitivni brojevi u zagradama također imaju svoje mjesto.

Hajde da formulišemo pravilo za otvaranje zagrada koje sadrže pojedinačne pozitivne brojeve. Pretpostavimo da je a bilo koji pozitivan broj. Tada možemo zamijeniti (a) sa a, + (a) sa + a, - (a) sa – a. Ako umjesto a uzmemo određeni broj, tada će prema pravilu: broj (5) biti napisan kao 5 , izraz 3 + (5) bez zagrada će poprimiti oblik 3 + 5 , budući da je + (5) zamijenjeno sa + 5 , a izraz 3 + (− 5) je ekvivalentan izrazu 3 − 5 , jer + (− 5) je zamijenjen sa − 5 .

Pozitivni brojevi se obično pišu bez upotrebe zagrada, jer u ovom slučaju zagrade nisu potrebne.

Sada razmotrite pravilo za otvaranje zagrada koje sadrže jedinicu negativan broj. + (− a) zamenjujemo sa − a, − (− a) se zamjenjuje sa + a. Ako izraz počinje negativnim brojem (−a), koji je napisan u zagradama, tada se zagrade izostavljaju i umjesto toga (−a) ostaci − a.

Evo nekoliko primjera: (− 5) može se napisati kao − 5, (− 3) + 0, 5 postaje − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) postaje 4 − 3 , a − (− 4) − (− 3) nakon otvaranja zagrada poprima oblik 4 + 3, jer − (− 4) i − (− 3) se zamjenjuje sa + 4 i + 3 .

Treba shvatiti da se izraz 3 · (− 5) ne može zapisati kao 3 · − 5. O tome će biti riječi u sljedećim paragrafima.

Hajde da vidimo na čemu se zasnivaju pravila za otvaranje zagrada.

Prema pravilu, razlika a − b jednaka je a + (− b) . Na osnovu svojstava radnji sa brojevima, možemo kreirati lanac jednakosti (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = ašto će biti pošteno. Ovaj lanac jednakosti, na osnovu značenja oduzimanja, dokazuje da je izraz a + (− b) razlika a − b.

Na osnovu svojstava suprotnih brojeva i pravila za oduzimanje negativnih brojeva, možemo reći da je − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Postoje izrazi koji se sastoje od broja, znakova minusa i nekoliko parova zagrada. Korištenje gornjih pravila omogućuje vam da se uzastopno riješite zagrada, krećući se od unutrašnjih prema vanjskim zagradama ili u suprotnom smjeru. Primjer takvog izraza bi bio − (− ((− (5)))) . Otvorimo zagrade, krećući se iznutra prema van: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Ovaj primjer se također može analizirati u suprotnom smjeru: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Ispod a i b se mogu shvatiti ne samo kao brojevi, već i kao proizvoljni numerički ili abecedni izrazi sa znakom "+" ispred koji nisu zbroji ili razlike. U svim ovim slučajevima možete primijeniti pravila na isti način kao što smo to učinili za pojedinačne brojeve u zagradama.

Na primjer, nakon otvaranja zagrada izraz − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)će imati oblik 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Kako smo to uradili? Znamo da je − (− 2 x) + 2 x, a pošto je ovaj izraz prvi, onda se + 2 x može zapisati kao 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x i − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

U produktima dva broja

Počnimo s pravilom za otvaranje zagrada u proizvodu dva broja.

Pretvarajmo se to a i b su dva pozitivna broja. U ovom slučaju, proizvod dva negativna broja − a i − b oblika (− a) · (− b) možemo zamijeniti sa (a · b) , a proizvode dva broja sa suprotnim predznacima oblika (− a) · b i a · (− b) može se zamijeniti sa (− a b). Množenje minusa sa minusom daje plus, a množenje minusa sa plusom, kao množenje plusa sa minusom daje minus.

Ispravnost prvog dijela napisanog pravila potvrđuje se pravilom za množenje negativnih brojeva. Za potvrdu drugog dijela pravila možemo koristiti pravila za množenje brojeva sa različiti znakovi.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1

Razmotrimo algoritam za otvaranje zagrada u proizvodu dva negativna broja - 4 3 5 i - 2, oblika (- 2) · - 4 3 5. Da biste to učinili, zamijenite originalni izraz sa 2 · 4 3 5 . Otvorimo zagrade i dobijemo 2 · 4 3 5 .

A ako uzmemo količnik negativnih brojeva (− 4) : (− 2), onda će unos nakon otvaranja zagrada izgledati kao 4:2

Umjesto negativnih brojeva − a i − b može biti bilo koji izrazi sa predznakom minus koji nisu zbroji ili razlike. Na primjer, to mogu biti proizvodi, količniki, razlomci, potenci, korijeni, logaritmi, trigonometrijske funkcije i tako dalje.

Otvorimo zagrade u izrazu - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Prema pravilu možemo napraviti sljedeće transformacije: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Izraz (− 3) 2 može se pretvoriti u izraz (− 3 2) . Nakon toga možete proširiti zagrade: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Dijeljenje brojeva s različitim predznacima također može zahtijevati preliminarno proširenje zagrada: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 i 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

Pravilo se može koristiti za množenje i dijeljenje izraza s različitim predznacima. Navedimo dva primjera.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2

U proizvodima od tri ili više brojeva

Prijeđimo na proizvode i količnike, koji sadrže veći broj brojeva. Za otvaranje zagrada, ovdje će se primijeniti sljedeće pravilo. Ako postoji paran broj negativnih brojeva, možete izostaviti zagrade i zamijeniti brojeve njihovim suprotnostima. Nakon toga, potrebno je da dobijeni izraz priložite u nove zagrade. Ako postoji neparan broj negativnih brojeva, izostavite zagrade i zamijenite brojeve njihovim suprotnim brojevima. Nakon toga, rezultirajući izraz se mora staviti u nove zagrade i ispred njega staviti znak minus.

Primjer 2

Na primjer, uzmite izraz 5 · (− 3) · (− 2) , koji je proizvod tri broja. Postoje dva negativna broja, stoga izraz možemo napisati kao (5 · 3 · 2), a zatim na kraju otvorite zagrade i dobijete izraz 5 · 3 · 2.

U proizvodu (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) pet brojeva je negativnih. dakle (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Kada smo konačno otvorili zagrade, dobijamo −2,5 3:2 4:1,25:1.

Gornje pravilo se može opravdati na sljedeći način. Prvo, takve izraze možemo prepisati kao proizvod, zamjenjujući dijeljenje množenjem recipročnim brojem. Svaki negativan broj predstavljamo kao proizvod množenog broja i - 1 ili - 1 je zamijenjeno sa (− 1) a.

Koristeći komutativno svojstvo množenja, mijenjamo faktore i prenosimo sve faktore jednake − 1 , na početak izraza. Proizvod parnog broja minus jedan jednak je 1, a proizvod neparnog broja jednak je − 1 , što nam omogućava da koristimo znak minus.

Ako ne bismo koristili pravilo, tada bi lanac radnji za otvaranje zagrada u izrazu - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 izgledao ovako:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Gornje pravilo se može koristiti kada otvarate zagrade u izrazima koji predstavljaju proizvode i količnike sa znakom minus koji nisu zbroji ili razlike. Uzmimo za primjer izraz

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Može se svesti na izraz bez zagrada x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

Proširene zagrade kojima prethodi znak +

Razmislite o pravilu koje se može primijeniti na proširene zagrade kojima prethodi znak plus, a "sadržaj" tih zagrada se ne množi niti dijeli nikakvim brojem ili izrazom.

Po pravilu se zagrade, zajedno sa znakom ispred njih, izostavljaju, a znaci svih pojmova u zagradi su sačuvani. Ako nema znaka ispred prvog člana u zagradi, onda morate staviti znak plus.

Primjer 3

Na primjer, dajemo izraz (12 − 3 , 5) − 7 . Izostavljanjem zagrada zadržavamo predznake pojmova u zagradi i stavljamo znak plus ispred prvog člana. Unos će izgledati kao (12 − ​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. U datom primjeru nije potrebno stavljati znak ispred prvog člana, jer je + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Primjer 4

Pogledajmo još jedan primjer. Uzmimo izraz x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x i izvršimo radnje s njim x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Evo još jednog primjera proširenja zagrada:

Primjer 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Kako se proširuju zagrade ispred znaka minus?

Razmotrimo slučajeve u kojima se ispred zagrada nalazi znak minus, a koji se ne množe (ili dijele) ni sa jednim brojem ili izrazom. Prema pravilu otvaranja zagrada kojima prethodi znak "-", zagrade sa znakom "-" se izostavljaju, a znaci svih pojmova unutar zagrada su obrnuti.

Primjer 6

npr.:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Izrazi s varijablama mogu se pretvoriti korištenjem istog pravila:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

dobijamo x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Otvaranje zagrada pri množenju broja sa zagradama, izrazi sa zagradama

Ovdje ćemo pogledati slučajeve kada trebate proširiti zagrade koje su pomnožene ili podijeljene nekim brojem ili izrazom. Formule oblika (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) ili b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Gdje a 1 , a 2 , … , a n i b su neki brojevi ili izrazi.

Primjer 7

Na primjer, proširimo zagrade u izrazu (3 − 7) 2. Prema pravilu možemo izvršiti sljedeće transformacije: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Dobijamo 3 · 2 − 7 · 2 .

Otvarajući zagrade u izrazu 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, dobijamo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Množenje zagrada sa zagradama

Razmotrimo proizvod dvije zagrade oblika (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Ovo će nam pomoći da dobijemo pravilo za otvaranje zagrada kada izvodimo množenje zagrada po zagrada.

Da bismo riješili dati primjer, označavamo izraz (b 1 + b 2) kao b. Ovo će nam omogućiti da koristimo pravilo za množenje zagrade izrazom. Dobijamo (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Izvođenjem obrnute zamjene b pomoću (b 1 + b 2), ponovo primijeni pravilo množenja izraza zagradom: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Zahvaljujući nizu jednostavnih tehnika, možemo doći do zbroja proizvoda svakog od članova iz prve zagrade sa svakim od članova iz druge zagrade. Pravilo se može proširiti na bilo koji broj pojmova unutar zagrada.

Hajde da formulišemo pravila za množenje zagrada zagradama: da biste pomnožili dva zbroja zajedno, potrebno je da pomnožite svaki od članova prvog zbira sa svakim od članova drugog zbira i saberete rezultate.

Formula će izgledati ovako:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Proširimo zagrade u izrazu (1 + x) · (x 2 + x + 6) To je proizvod dva zbroja. Zapišimo rješenje: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Vrijedi posebno spomenuti one slučajeve u kojima se u zagradama nalazi znak minus zajedno sa znakovima plus. Na primjer, uzmite izraz (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Prvo, predstavimo izraze u zagradama kao sume: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Sada možemo primijeniti pravilo: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Otvorimo zagrade: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Proširivanje zagrada u proizvodima višestrukih zagrada i izraza

Ako u izrazu postoje tri ili više izraza u zagradama, zagrade se moraju otvarati uzastopno. Morate započeti transformaciju stavljanjem prva dva faktora u zagrade. Unutar ovih zagrada možemo izvršiti transformacije u skladu sa pravilima o kojima smo gore govorili. Na primjer, zagrade u izrazu (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

Izraz sadrži tri faktora odjednom (2 + 4) , 3 i (5 + 7 8) . Otvaraćemo zagrade redom. Stavimo prva dva faktora u drugu zagradu, koju ćemo učiniti crvenim radi jasnoće: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

U skladu s pravilom za množenje zagrade brojem, možemo izvršiti sljedeće radnje: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Pomnožite zagradu po zagradu: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Zagrada u naturi

Stupnjevi, čije su osnove neki izrazi napisani u zagradama, sa prirodnim eksponentima mogu se smatrati proizvodom nekoliko zagrada. Štaviše, prema pravilima iz prethodna dva stava, mogu se pisati i bez ovih zagrada.

Razmotrite proces transformacije izraza (a + b + c) 2 . Može se napisati kao proizvod dvije zagrade (a + b + c) · (a + b + c). Pomnožimo zagradu po zagradu i dobijemo a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Pogledajmo još jedan primjer:

Primjer 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Dijeljenje zagrada brojem i zagrada zagradama

Dijeljenje zagrade brojem zahtijeva da se svi pojmovi u zagradi podijele brojem. Na primjer, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Dijeljenje se prvo može zamijeniti množenjem, nakon čega možete koristiti odgovarajuće pravilo za otvaranje zagrada u proizvodu. Isto pravilo vrijedi kada se zagrada dijeli zagradom.

Na primjer, trebamo otvoriti zagrade u izrazu (x + 2) : 2 3 . Da biste to učinili, prvo zamijenite dijeljenje množenjem s recipročnim brojem (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Pomnožite zagradu brojem (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Evo još jednog primjera dijeljenja zagradama:

Primjer 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Zamijenimo dijeljenje množenjem: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Učinimo množenje: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Redoslijed otvaranja zagrada

Sada razmotrite redoslijed primjene pravila o kojima smo gore govorili u izrazima opšti pogled, tj. u izrazima koji sadrže zbrojeve s razlikama, proizvode s količnikima, zagrade u prirodni stepen.

Procedura:

• prvi korak je podizanje zagrada na prirodnu snagu;
• u drugoj fazi vrši se otvaranje zagrada u radovima i količnikima;
• Posljednji korak je otvaranje zagrada u zbrojima i razlikama.

Razmotrimo redosled akcija na primeru izraza (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformirajmo iz izraza 3 · (− 2) : (− 4) i 6 · (− 7) , koji bi trebao poprimiti oblik (3 2:4) i (− 6 · 7) . Zamjenom dobijenih rezultata u originalni izraz dobijamo: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Otvorite zagrade: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Kada se radi o izrazima koji sadrže zagrade unutar zagrada, zgodno je izvršiti transformacije radeći iznutra prema van.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji prilikom izračunavanja vrijednosti. Na primjer, V brojčano\(5·3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim sabiranje: \(5·3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\) prvo će se izračunati zbrajanje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Primjer. Proširite zagradu: \(-(4m+3)\).
Rješenje : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Primjer. Otvorite zagradu i navedite slične pojmove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Rješenje : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Primjer. Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Rješenje : U zagradi imamo \(3\) i \(-x\), a ispred zagrade je petica. To znači da se svaki član zagrade množi sa \(5\) - podsjećam vas na to Znak množenja između broja i zagrade nije napisan u matematici kako bi se smanjila veličina unosa.

Primjer. Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Rješenje : Kao u prethodnom primjeru, \(-3x\) i \(5\) u zagradi se množe sa \(-2\).

Primjer. Pojednostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Rješenje : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Ostaje razmotriti posljednju situaciju.

Kada se zagrada množi zagradicom, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Primjer. Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Rješenje : Imamo proizvod zagrada i može se odmah proširiti koristeći gornju formulu. Ali da ne bismo bili zbunjeni, uradimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklonite prvu zagradu - pomnožite svaki njen član sa drugom zagradom:

Korak 2. Proširite proizvode zagrada i faktora kao što je gore opisano:
- Krenimo redom...

Onda drugi.

Korak 3. Sada množimo i predstavljamo slične pojmove:

Nije potrebno tako detaljno opisivati ​​sve transformacije, možete ih odmah pomnožiti. Ali ako tek učite kako otvoriti zagrade, pisati detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.

Napomena za cijeli odjeljak. U stvari, ne morate zapamtiti sva četiri pravila, samo trebate zapamtiti jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenite jedan umjesto c, dobićete pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.

Zagrada unutar zagrade

Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Za uspješno rješavanje takvih zadataka potrebno vam je:
- pažljivo razumjeti ugniježđenje zagrada - u kojoj se nalazi;
- otvarajte zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutrašnje.

Važno je prilikom otvaranja jedne od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jeste.
Pogledajmo gore napisan zadatak kao primjer.

Primjer. Otvorite zagrade i dajte slične pojmove \(7x+2(5-(3x+y))\).
Rješenje:

Primjer. Otvorite zagrade i navedite slične pojmove \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Rješenje :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Ovdje postoji trostruko ugniježđenje zagrada. Počnimo s najdubljim (označenim zelenom bojom). Ispred nosača je plus, tako da se jednostavno skida.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Sada morate otvoriti drugu zagradu, srednju. Ali prije toga ćemo pojednostaviti izražavanje pojmova sličnih duhovima u ovoj drugoj zagradi.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Sada otvaramo drugu zagradu (označeno plavom bojom). Prije zagrada je faktor - tako da se svaki član u zagradi množi s njim.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		I otvori posljednju zagradu. Ispred zagrade je znak minus, tako da su svi znakovi obrnuti.

Proširivanje zagrada je osnovna vještina u matematici. Bez ove vještine nemoguće je imati ocjenu iznad C u 8. i 9. razredu. Stoga vam preporučujem da dobro shvatite ovu temu.

„Uvodne zagrade“ - udžbenik matematike, 6. razred (Vilenkin)

Kratki opis:

U ovom odjeljku ćete naučiti kako proširiti zagrade u primjerima. čemu služi? Sve je za isto kao i prije - da vam bude lakše i jednostavnije da brojite, da manje griješite, a idealno (san vašeg profesora matematike) da sve riješite bez greške.
Već znate da se zagrade stavljaju u matematičku notaciju ako su dvije u nizu matematički znak, ako želimo prikazati kombinaciju brojeva, njihovo pregrupisavanje. Proširivanje zagrada znači uklanjanje nepotrebnih znakova. Na primjer: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Sjećate li se distributivnog svojstva množenja u odnosu na sabiranje? Zaista, u tom primjeru smo se također riješili zagrada da bismo pojednostavili proračune. Imenovano svojstvo množenja se također može primijeniti na četiri, tri, pet ili više članova. Na primjer: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Jeste li primijetili da kada otvorite zagrade, brojevi u njima ne mijenjaju predznak ako je broj ispred zagrada pozitivan? Na kraju krajeva, petnaest je pozitivan broj. A ako riješite ovaj primjer: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Ispred zagrada smo imali negativan broj minus petnaest, kada smo otvorili zagrade svi brojevi su počeli da menjaju svoj predznak u drugi – suprotno – od plusa u minus.
Na osnovu gornjih primjera mogu se navesti dva osnovna pravila za otvaranje zagrada:
1. Ako ispred zagrada imate pozitivan broj, onda se nakon otvaranja zagrada svi predznaci brojeva u zagradama ne mijenjaju, već ostaju potpuno isti kao što su bili.
2. Ako ispred zagrada imate negativan broj, onda se nakon otvaranja zagrada znak minus više ne piše, a predznaci svih apsolutnih brojeva u zagradama odjednom se mijenjaju u suprotne.
Na primjer: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Hajde da malo zakomplikujemo naše primjere: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Primijetili ste da smo prilikom otvaranja druge zagrade pomnožili sa 2, ali su znakovi ostali isti kao što su bili. Evo primjera: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, u ovom primjeru broj dva je negativan, nalazi se ispred zagrade stoje sa predznakom minus, pa smo prilikom otvaranja promijenili predznake brojeva u suprotne (devet je bilo sa plusom, postalo minus, osam je bilo sa minusom, postalo plus).

U petom veku pne starogrčki filozof Zenon iz Eleje je formulisao svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija „Ahilej i kornjača“. Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju do danas; naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa...su uključeni u proučavanje ovog pitanja matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji obmana.

Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat primjene varijabilne jedinice mjerenje ili još nije razvijeno ili nije primijenjeno na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. WITH fizička tačka Iz perspektive, to izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.

Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije kompletno rješenje Problemi. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono što želim da istaknem Posebna pažnja, je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Razlike između skupa i multiseta su vrlo dobro opisane na Wikipediji. da vidimo.

Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: postoji na različitim novčićima različite količine prljavština, kristalna struktura i atomski raspored svakog novčića je jedinstven...

A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.

Pogledati ovdje. Mi biramo fudbalski stadioni sa istom površinom polja. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i da ga koristimo, ali zato su oni šamani, da svoje potomke uče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja." Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula koja se može koristiti za pronalaženje zbira cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: „Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj“. Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.

Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Dodajte dobijene brojeve. Ovo je sada matematika.

Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su „tečajevi krojenja i šivanja“ koje podučavaju šamani koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa matematičke tačke gledišta, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi U računanju, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. WITH veliki broj 12345 Ne želim zavaravati glavu, pogledajmo broj 26 iz članka o . Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak posmatrati pod mikroskopom; to smo već uradili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da odredite površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.

Nula izgleda isto u svim brojevnim sistemima i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Mogu to dozvoliti za šamane, ali ne i za naučnike. Realnost nije samo u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje sa različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različiti rezultati nakon što ih uporedimo, to znači da nema nikakve veze sa matematikom.

Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome ko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

Oh! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje nedefilske svetosti duša tokom njihovog uspona na nebo! Halo na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole su muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip o percepciji grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.