Kako napisati odz u jednadžbi. Područje definicije razlomka. Funkcija domena

Shamshurin A.V. 1

Gagarina N.A. 1

1 Opštinski budžet obrazovne ustanove„Prosječno sveobuhvatne škole br. 31"

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan na kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu

Uvod

Počeo sam gledajući mnogo matematičkih tema na internetu i izabrao ovu temu jer vjerujem da važnost pronalaženja DL igra veliku ulogu u rješavanju jednačina i problema. U njegovom istraživački rad Gledao sam jednadžbe u kojima je dovoljno samo pronaći ODZ, opasnost, opcionalnost, ograničeni ODZ, neke zabrane u matematici. Najvažnije mi je da dobro položim Jedinstveni državni ispit iz matematike, a za to moram znati: kada, zašto i kako pronaći DL. To me je potaknulo na istraživanje teme, čija je svrha bila da pokažem da će savladavanje ove teme pomoći studentima da pravilno urade zadatke na Jedinstvenom državnom ispitu. Da bih postigao ovaj cilj, istražio sam dodatnu literaturu i druge izvore. Pitao sam se da li učenici naše škole znaju: kada, zašto i kako pronaći ODZ. Stoga sam napravio test na temu „Kada, zašto i kako pronaći ODZ?“ (dato je 10 jednačina). Broj učenika - 28. savladalo - 14%, opasnost od DD (uzeto u obzir) - 68%, izbornost (uzeto u obzir) - 36%.

Target: identifikacija: kada, zašto i kako pronaći ODZ.

problem: jednadžbe i nejednačine u kojima je potrebno pronaći ODZ nisu našle mjesto u predmetu algebre za sistematsko izlaganje, zbog čega vjerovatno moji vršnjaci i ja često griješimo pri rješavanju ovakvih primjera, trošeći dosta vremena rješavajući ih, a zaboravljajući o ODZ-u.

Zadaci:

1. Pokazati značaj ODZ-a pri rješavanju jednačina i nejednačina.
2. Izvršiti praktičan rad na ovu temu i sumirati njegove rezultate.

Mislim da će mi znanje i vještine koje sam stekao pomoći da riješim pitanje: da li je potrebno tražiti DZ ili ne? Prestat ću praviti greške tako što ću naučiti kako pravilno raditi ODZ. Da li ću to moći, pokazat će vrijeme, odnosno Jedinstveni državni ispit.

Poglavlje 1

Šta je ODZ?

ODZ je region prihvatljive vrijednosti , odnosno, sve su to vrijednosti varijable za koje izraz ima smisla.

Bitan. Za pronalaženje ODZ ne rješavamo primjer! Rešavamo delove primera kako bismo pronašli zabranjena mesta.

Neke zabrane u matematici. U matematici je vrlo malo takvih zabranjenih radnji. Ali ne pamte ih svi...

• Izrazi koji se sastoje od znaka parnog višestrukosti ili moraju biti>0 ili jednaki nuli, ODZ:f(x)
• Izraz u nazivniku razlomka ne može biti jednak nuli, ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

Kako snimiti ODZ? Veoma jednostavno. Uvijek napišite ODZ pored primjera. Pod ovim poznatim slovima, gledajući originalnu jednačinu, zapisujemo vrijednosti x koje su dozvoljene za originalni primjer. Transformacija primjera može promijeniti OD i, shodno tome, odgovor.

Algoritam za pronalaženje ODZ-a:

1. Odredite vrstu zabrane.
2. Pronađite vrijednosti kod kojih izraz nema smisla.
3. Eliminišite ove vrijednosti iz skupa realnih brojeva R.

Riješite jednačinu: =

Bez DZ	Sa ODZ
Odgovor: x=5	ODZ: => => Odgovor: nema korijena

Raspon prihvatljivih vrijednosti nas štiti od tako ozbiljnih grešaka. Iskreno govoreći, upravo se zbog ODZ-a mnogi „šok studenti“ pretvaraju u „C“ studente. S obzirom da je traženje i uzimanje u obzir DL beznačajan korak u donošenju odluke, oni to preskaču, a onda se pitaju: „Zašto mu je nastavnik dao 2?“ Da, zato sam to stavio jer je odgovor netačan! Ovo nije nastavnikovo „gnidarenje“, već vrlo specifična greška, baš kao netačna računica ili izgubljen znak.

Dodatne jednadžbe:

a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2

Poglavlje 2

ODZ. Za što? Kada? Kako?

Raspon prihvatljivih vrijednosti - postoji rješenje

1. ODZ je prazan skup, što znači da originalni primjer nema rješenja

• = ODZ:

Odgovor: nema korijena.

• = ODZ:

Odgovor: nema korijena.

0, jednačina nema korijena

Odgovor: nema korijena.

Dodatni primjeri:

a) + =5; b) + =23x-18; c) =0.

1. ODZ sadrži jedan ili više brojeva, a jednostavna zamjena brzo određuje korijene.

ODZ: x=2, x=3

Provjerite: x=2, + , 0<1, верно

Provjerite: x=3, + , 0<1, верно.

Odgovor: x=2, x=3.

• > ODZ: x=1,x=0

Provjerite: x=0, > , 0>0, netačno

Provjerite: x=1, > , 1>0, istina

Odgovor: x=1.

• + =x ODZ: x=3

Provjerite: + =3, 0=3, netačno.

Odgovor: nema korijena.

Dodatni primjeri:

a) = ; b) + =0; c) + =x -1

Opasnost od DD

Zapiši to transformacije identiteta mogu:

• ne utiču na DL;
• dovesti do proširenog DL;
• dovesti do sužavanja ODZ.

Također je poznato da kao rezultat nekih transformacija koje mijenjaju originalni ODZ, to može dovesti do pogrešnih odluka.

Ilustrirajmo svaki slučaj primjerom.

1) Razmotrimo izraz x + 4x + 7x, ODZ varijable x za ovo je skup R. Hajde da predstavimo slične pojmove. Kao rezultat, poprimiće oblik x 2 +11x. Očigledno, ODZ varijable x ovog izraza je također skup R. Dakle, izvršena transformacija nije promijenila ODZ.

2) Uzmite jednačinu x+ - =0. U ovom slučaju, ODZ: x≠0. Ovaj izraz također sadrži slične pojmove, nakon što se smanjivanjem dolazi do izraza x, za koji je ODZ R. Ono što vidimo: kao rezultat transformacije, ODZ je proširen (broj nula je dodan ODZ-u varijabla x za originalni izraz).

3) Uzmimo izraz. VA varijable x je određena nejednakošću (x−5)·(x−2)≥0, VA: (−∞, 2]∪∪/Režim pristupa: Materijali sa sajtova www.fipi.ru, www.eg

Raspon prihvatljivih vrijednosti - postoji rješenje [Elektronski izvor]/Režim pristupa: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - područje prihvatljivih vrijednosti, kako pronaći ODZ [Elektronski resurs]/Režim pristupa: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

Raspon prihvatljivih vrijednosti: teorija i praksa [Elektronski izvor]/Način pristupa: pandia.ru›text/78/083/13650.php

Šta je ODZ [Elektronski izvor]/ Način pristupa: www.cleverstudents.ru›odz.html

Što je ODZ i kako ga tražiti - objašnjenje i primjer. Elektronski izvor]/ Način pristupa: cos-cos.ru›math/82/

Aneks 1

Praktični rad “ODZ: kada, zašto i kako?”

Opcija 1	Opcija 2
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

Dodatak 2

Odgovori na zadatke praktičan rad"ODZ: kada, zašto i kako?"

Opcija 1	Opcija 2
Odgovor: nema korijena	Odgovor: x-bilo koji broj osim x=5
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Odgovor: nema korijena	ODZ: x=-3, x=5. Odgovor: -3;5.
y= -smanjuje se, y= -povećava se To znači da jednačina ima najviše jedan korijen. Odgovor: x=6.	ODZ: → →h≥5 Odgovor: x≥5, x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 ne pripada ODZ	Smanjuje, povećava Jednačina ima najviše jedan korijen. Odgovor: nema korijena.
0, ODZ: x≥3, x≤2 Odgovor: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Odgovor: nema korijena.
x=7, x=1. Odgovor: nema rješenja	Povećanje - smanjenje Odgovor: x=2.
0 ODZ: x≠15 Odgovor: x je bilo koji broj osim x=15.	│3-h│=1-3h, ODZ: 1-3h≥0, x≤ x=-1, x=1 ne pripada ODZ-u. Odgovor: x=-1.

\(\frac(x)(x-1)\) vrijednost varijable će biti jednaka 1, pravilo je prekršeno: Ne možete podijeliti sa nulom. Stoga, ovdje \(x\) ne može biti jedinica i ODZ se piše na sljedeći način: \(x\neq1\);

Ako je u izrazu \(\sqrt(x-2)\) vrijednost varijable \(0\), pravilo je prekršeno: radikalni izraz ne smije biti negativan. To znači da ovdje \(x\) ne može biti \(0\), kao ni \(1, -3, -52,7\), itd. To jest, x mora biti veći ili jednak 2 i ODZ će biti: \(x\geq2\);

Ali u izrazu \(4x+1\) možemo zamijeniti bilo koji broj umjesto X i nijedno pravilo neće biti prekršeno. Stoga je raspon prihvatljivih vrijednosti ovdje cijela numerička os. U takvim slučajevima DZ se ne evidentira, jer ne sadrži korisne informacije.

Možete pronaći sva pravila koja se moraju poštovati.

ODZ u jednadžbama

Važno je zapamtiti raspon prihvatljivih vrijednosti prilikom odlučivanja i, jer Tamo samo tražimo vrijednosti varijabli i možemo slučajno pronaći one koje krše pravila matematike.

Da bismo razumjeli važnost ODZ-a, uporedimo dva rješenja jednačine: sa ODZ-om i bez ODZ-a.

Primjer: Riješite jednačinu
Rješenje :

Bez ODZ-a:		Sa ODZ-om:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - ne ispunjava uslove za ODZ
Odgovori : \(4; -3\)		Odgovori : \(4\)

Vidite li razliku? U prvom rješenju imali smo netačan, ekstra ! u našem odgovoru! Zašto pogrešno? Pokušajmo to zamijeniti u originalnu jednačinu.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Vidite, dobili smo neuračunljive, besmislene izraze i na lijevoj i na desnoj strani (na kraju krajeva, ne možete dijeliti sa nulom). A činjenica da su isti više ne igra ulogu, jer te vrijednosti ne postoje. Dakle, “\(-3\)” je neprikladan, strani korijen, a raspon prihvatljivih vrijednosti nas štiti od tako ozbiljnih grešaka.

Zato ćete za prvo rješenje dobiti D, a za drugo A. I to nisu dosadne zafrkancije nastavnika, jer neuvažavanje ODS-a nije sitnica, već vrlo konkretna greška, isto kao i izgubljen znak ili primjena pogrešne formule. Na kraju krajeva, konačni odgovor je pogrešan!

Pronalaženje raspona prihvatljivih vrijednosti često dovodi do potrebe za rješavanjem jednadžbi, tako da morate biti u stanju to učiniti dobro.

Primjer : Pronađite domen izraza \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

Rješenje : Postoje dva korijena u izrazu, od kojih je jedan u nazivniku. Ko se ne sjeća ograničenja nametnutih u ovom slučaju je... Ko se sjeti zapisuje da je izraz ispod prvog korijena veći ili jednak nuli, a ispod drugog korijena veći od nule. Shvaćate li zašto su ograničenja takva kakva jesu?

Odgovori : \((-2;2,5]\)

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Kako pronaći domenu funkcije? Učenici srednjih škola često se moraju nositi s ovim zadatkom.

Roditelji bi trebali pomoći svojoj djeci da razumiju ovaj problem.

Određivanje funkcije.

Prisjetimo se osnovnih pojmova algebre. U matematici, funkcija je ovisnost jedne varijable o drugoj. Možemo reći da se radi o strogom matematičkom zakonu koji na određeni način povezuje dva broja.

U matematici, kada se analiziraju formule, numeričke varijable se zamjenjuju abecednim simbolima. Najčešće korišteni su x (“x”) i y (“y”). Varijabla x se zove argument, a varijabla y zavisna varijabla ili funkcija od x.

Postoji razne načine postavljanje varijabilnih zavisnosti.

Nabrojimo ih:

1. Analitički tip.
2. Tablični prikaz.
3. Grafički prikaz.

Analitička metoda je predstavljena formulom. Pogledajmo primjere: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Formula y=2x+3 je tipična za linearna funkcija. Zamjenom numeričke vrijednosti argumenta u datu formulu, dobijamo vrijednost y.

Tablični metod je tabela koja se sastoji od dvije kolone. Prva kolona je dodijeljena za X vrijednosti, au sljedećoj koloni se upisuju podaci igrača.

Grafička metoda se smatra najvizuelnijom. Grafikon je prikaz skupa svih tačaka na ravni.

Za konstruisanje grafa koristi se Dekartov koordinatni sistem. Sistem se sastoji od dvije okomite linije. Na osi se polažu identični segmenti jedinice. Brojanje se vrši od centralne tačke preseka pravih linija.

Nezavisna varijabla je prikazana na vodoravnoj liniji. Zove se osa apscise. Vertikalna linija (y-osa) prikazuje numeričku vrijednost zavisne varijable. Tačke su označene na sjecištu okomita na ove ose. Povezivanjem tačaka jedna s drugom dobijamo punu liniju. To je osnova rasporeda.

Vrste varijabilnih zavisnosti

Definicija.

IN opšti pogled zavisnost je predstavljena kao jednačina: y=f(x). Iz formule proizlazi da za svaku vrijednost broja x postoji određeni broj y. Vrijednost igre, koja odgovara broju x, naziva se vrijednost funkcije.

Sve moguće vrijednosti koje nezavisna varijabla stječe čine domenu definicije funkcije. U skladu s tim, cijeli skup brojeva zavisne varijable određuje raspon vrijednosti funkcije. Domen definicije su sve vrijednosti argumenta za koje f(x) ima smisla.

Početni zadatak u proučavanju matematičkih zakona je pronalaženje domena definicije. Ovaj pojam mora biti ispravno definiran. Inače će svi daljnji proračuni biti beskorisni. Uostalom, volumen vrijednosti se formira na osnovu elemenata prvog skupa.

Opseg funkcije direktno zavisi od ograničenja. Ograničenja su uzrokovana nemogućnošću izvođenja određenih operacija. Postoje i ograničenja u upotrebi numeričkih vrijednosti.

U nedostatku ograničenja, domen definicije je cijeli brojevni prostor. Znak beskonačnosti ima horizontalni simbol osmice. Čitav skup brojeva piše se ovako: (-∞; ∞).

U određenim slučajevima, skup podataka se sastoji od nekoliko podskupova. Opseg numeričkih intervala ili razmaka ovisi o vrsti zakona promjene parametara.

Evo liste faktora koji utiču na ograničenja:

• inverzna proporcionalnost;
• aritmetički korijen;
• eksponencijacija;
• logaritamska zavisnost;
• trigonometrijske forme.

Ako postoji nekoliko takvih elemenata, onda je potraga za ograničenjima podijeljena za svaki od njih. Najveći problem je identifikovanje kritičnih tačaka i praznina. Rješenje problema će biti ujedinjavanje svih numeričkih podskupova.

Skup i podskup brojeva

O setovima.

Područje definicije je izraženo kao D(f), a znak unije je predstavljen simbolom ∪. Svi numerički intervali su zatvoreni u zagradama. Ako granica lokacije nije uključena u skup, tada se postavlja polukružna zagrada. Inače, kada je broj uključen u podskup, koriste se uglaste zagrade.

Inverzna proporcionalnost se izražava formulom y=k/x. Funkcijski graf je kriva linija koja se sastoji od dvije grane. Obično se naziva hiperbola.

Pošto je funkcija izražena kao razlomak, pronalaženje domena definicije svodi se na analizu nazivnika. Dobro je poznato da je u matematici dijeljenje nulom zabranjeno. Rješavanje problema se svodi na izjednačavanje nazivnika na nulu i pronalaženje korijena.

Evo primjera:

Dato je: y=1/(x+4). Pronađite domen definicije.

1. Izjednačavamo imenilac sa nulom.
   x+4=0
2. Pronalaženje korijena jednadžbe.
   x=-4
3. Definiramo skup svih mogućih vrijednosti argumenta.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Odgovor: Domen funkcije su svi realni brojevi osim -4.

Vrijednost broja ispod predznaka kvadratnog korijena ne može biti negativna. U ovom slučaju, definiranje funkcije s korijenom se svodi na rješavanje nejednakosti. Radikalni izraz mora biti veći od nule.

Područje određivanja korijena povezano je s paritetom indikatora korijena. Ako je indikator djeljiv sa 2, onda izraz ima smisla samo ako jeste pozitivna vrijednost. Neparan broj indikator ukazuje na prihvatljivost bilo kojeg značenja radikalnog izraza: i pozitivnog i negativnog.

Nejednačine se rješavaju na isti način kao i jednačine. Postoji samo jedna razlika. Nakon množenja obje strane nejednakosti sa negativan broj znak treba da bude obrnut.

Ako je kvadratni korijen u nazivniku, tada se mora nametnuti dodatni uvjet. Vrijednost broja ne smije biti nula. Nejednakost prelazi u kategoriju strogih nejednakosti.

Logaritamske i trigonometrijske funkcije

Logaritamski oblik ima smisla za pozitivne brojeve. Dakle, domen definicije logaritamska funkcija slično funkciji kvadratnog korijena, osim nule.

Razmotrimo primjer logaritamske zavisnosti: y=log(2x-6). Pronađite domen definicije.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Odgovor: (3; +∞).

Domen definicije y=sin x i y=cos x je skup svih realnih brojeva. Postoje ograničenja za tangentu i kotangens. Oni su povezani s podjelom kosinusom ili sinusom ugla.

Tangent ugla je određen omjerom sinusa i kosinusa. Naznačimo vrijednosti uglova kod kojih vrijednost tangente ne postoji. Funkcija y=tg x ima smisla za sve vrijednosti argumenta osim x=π/2+πn, n∈Z.

Područje definicije funkcije y=ctg x je cijeli skup realnih brojeva, isključujući x=πn, n∈Z. Ako je argument jednak broju π ili višekratnik broja π, sinus ugla jednak nuli. U ovim tačkama (asimptotama) kotangens ne može postojati.

Prvi zadaci za identifikaciju domena definicije počinju u nastavi u 7. razredu. Kada se prvi put upozna sa ovim dijelom algebre, učenik treba jasno razumjeti temu.

Treba napomenuti da će ovaj termin pratiti školarca, a potom i studenta tokom čitavog perioda studiranja.

Kako ?
Primjeri rješenja

Ako nešto negdje nedostaje, to znači da negdje nešto postoji

Nastavljamo s proučavanjem odjeljka „Funkcije i grafovi“, a sljedeća stanica na našem putovanju je. Aktivna diskusija ovaj koncept započelo u članku o skupovima i nastavilo se u prvoj lekciji o grafovi funkcija, gdje sam pogledao elementarne funkcije, a posebno njihove domene definicije. Stoga, preporučujem da lutke počnu s osnovama teme, jer se neću više zadržavati na nekim osnovnim točkama.

Pretpostavlja se da čitalac poznaje oblast definisanja sledećih funkcija: linearne, kvadratne, kubične funkcije, polinome, eksponencijalne, sinusne, kosinusne. Oni su definisani na (skup svih realnih brojeva). Za tangente, arksinuse, neka bude, opraštam ti =) - rjeđi grafovi se ne pamte odmah.

Čini se da je opseg definicije jednostavan i postavlja se logično pitanje: o čemu će članak biti? U ovoj lekciji ću se osvrnuti na uobičajene probleme pronalaženja domena funkcije. Štaviše, ponovićemo nejednakosti sa jednom promenljivom, čije će se vještine rješavanja zahtijevati u drugim zadacima višu matematiku. Materijal je, inače, sav školski materijal, tako da će biti koristan ne samo za učenike, već i za učenike. Informacija, naravno, ne pretenduje na enciklopediju, ali ovdje se ne radi o nategnutim “mrtvim” primjerima, već o pečenim kestenima, koji su preuzeti iz stvarnih praktičnih radova.

Počnimo s brzim uronom u temu. Ukratko o glavnoj stvari: govorimo o funkciji jedne varijable. Njegov domen definicije je mnoga značenja "x", za koji postoje značenja "igrača". Pogledajmo hipotetički primjer:

Domen definicije ove funkcije je unija intervala:
(za one koji su zaboravili: - ikona ujedinjenja). Drugim riječima, ako uzmete bilo koju vrijednost “x” iz intervala , ili iz , ili iz , tada će za svaki takav “x” postojati vrijednost “y”.

Grubo govoreći, tamo gdje je domen definicije, postoji graf funkcije. Ali poluinterval i tačka “tse” nisu uključeni u područje definicije i tamo nema grafikona.

Kako pronaći domenu funkcije? Mnogi ljudi pamte dječju rimu: "kamen, papir, makaze", a u ovom slučaju se može sa sigurnošću parafrazirati: "korijen, razlomak i logaritam". Dakle, ako vi životni put ako naiđe na razlomak, korijen ili logaritam, trebali biste odmah biti vrlo, vrlo oprezni! Tangenta, kotangens, arcsin, arkosinus su mnogo rjeđi, a o njima ćemo također govoriti. Ali prvo, skice iz života mrava:

Domena funkcije koja sadrži razlomak

Pretpostavimo da nam je dana funkcija koja sadrži neki razlomak. Kao što znate, ne možete podijeliti sa nulom: , dakle one Vrijednosti "X" koje pretvaraju nazivnik na nulu nisu uključene u opseg ove funkcije.

Neću se zadržavati na najjednostavnijim funkcijama kao što su itd., pošto svako savršeno vidi tačke koje nisu uključene u njihov domen definicije. Pogledajmo značajnije razlomke:

Primjer 1

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: Nema ničeg posebnog u brojiocu, ali imenilac mora biti različit od nule. Postavimo ga na nulu i pokušamo pronaći "loše" točke:

Rezultirajuća jednačina ima dva korijena: . Vrijednosti podataka nisu u opsegu funkcije. Zaista, zamijenite ili u funkciju i vidjet ćete da imenilac ide na nulu.

Odgovori: domena:

Unos glasi ovako: „domen definicije su svi realni brojevi sa izuzetkom skupa koji se sastoji od vrijednosti " Da vas podsjetim da simbol obrnute kose crte u matematici označava logičko oduzimanje, a vitičaste zagrade označavaju skup. Odgovor se može ekvivalentno napisati kao unija tri intervala:

Ko god voli.

U tačkama funkcija toleriše beskrajne pauze, i prave linije, dato jednačinama su vertikalne asimptote za graf ove funkcije. Međutim, ovo je nešto drugačija tema i dalje se neću fokusirati na to.

Primjer 2

Pronađite domenu funkcije

Zadatak je u suštini usmeni i mnogi od vas će gotovo odmah pronaći područje definicije. Odgovor je na kraju lekcije.

Hoće li razlomak uvijek biti “loš”? br. Na primjer, funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Bez obzira koju vrijednost “x” uzmemo, imenilac neće ići na nulu, štoviše, uvijek će biti pozitivan: . Dakle, opseg ove funkcije je: .

Sve funkcije kao definisano i kontinuirano na .

Situacija je malo komplikovanija kada je nazivnik zauzet kvadratni trinom:

Primjer 3

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: Pokušajmo pronaći tačke u kojima imenilac ide na nulu. Za ovo ćemo odlučiti kvadratna jednačina:

Ispostavilo se da je diskriminant negativan, što znači da nema pravih korijena, a naša funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi.

Odgovori: domena:

Primjer 4

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije. Savjetujem vam da ne budete lijeni s jednostavnim problemima, jer će se nesporazumi gomilati s daljnjim primjerima.

Domena funkcije s korijenom

Funkcija sa kvadratni korijen definirano samo za one vrijednosti “x” kada radikalni izraz nije negativan: . Ako se korijen nalazi u nazivniku , onda je uvjet očito pooštren: . Slični izračuni vrijede za bilo koji korijen pozitivnog parnog stepena: , međutim, korijen je već 4. stepena u studije funkcije Ne sjećam se.

Primjer 5

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: radikalni izraz mora biti nenegativan:

Prije nego što nastavim sa rješenjem, da vas podsjetim na osnovna pravila za rad sa nejednakostima, poznata iz škole.

Imajte na umu Posebna pažnja! Sada razmatramo nejednakosti sa jednom promenljivom- to jest, za nas postoji samo jedna dimenzija duž ose. Molimo nemojte brkati sa nejednakosti dvije varijable, gdje je cijela koordinatna ravan geometrijski uključena. Međutim, postoje i prijatne koincidencije! Dakle, za nejednakost su sljedeće transformacije ekvivalentne:

1) Uslovi se mogu prenositi s dijela na dio promjenom njihovih (uslova) znakovi.

2) Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti pozitivnim brojem.

3) Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa negativan broj, onda morate promijeniti znak same nejednakosti. Na primjer, ako je bilo “više”, onda će postati “manje”; ako je bilo “manje ili jednako”, onda će postati “veće ili jednako”.

U nejednakosti pomeramo „trojku“ na desnu stranu sa promenom predznaka (pravilo br. 1):

Pomnožimo obje strane nejednakosti sa –1 (pravilo br. 3):

Pomnožimo obje strane nejednakosti sa (pravilo br. 2):

Odgovori: domena:

Odgovor se također može napisati u ekvivalentnoj frazi: "funkcija je definirana na ."
Geometrijski, područje definicije je prikazano senčenjem odgovarajućih intervala na osi apscise. U ovom slučaju:

Podsećam te još jednom geometrijsko značenje domena definicije – graf funkcije postoji samo u zasjenjenom području i nema ga na .

U većini slučajeva, čisto analitičko određivanje domene definicije je prikladno, ali kada je funkcija vrlo komplikovana, trebalo bi da nacrtate os i napravite bilješke.

Primjer 6

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Kada se ispod kvadratnog korijena nalazi kvadratni binom ili trinom, situacija postaje malo složenija, a sada ćemo detaljno analizirati tehniku ​​rješenja:

Primjer 7

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: radikalni izraz mora biti striktno pozitivan, odnosno moramo riješiti nejednakost. U prvom koraku pokušavamo rastaviti kvadratni trinom na faktore:

Diskriminant je pozitivan, tražimo korijene:

Dakle, parabola siječe osu apscise u dvije tačke, što znači da se dio parabole nalazi ispod ose (nejednakost), a dio parabole iznad ose (nejednakost koja nam je potrebna).

Budući da je koeficijent , grane parabole usmjerene su prema gore. Iz navedenog proizilazi da je nejednakost zadovoljena na intervalima (grane parabole idu prema gore u beskonačnost), a vrh parabole se nalazi na intervalu ispod x-ose, što odgovara nejednakosti:

! Bilješka: Ako ne razumijete u potpunosti objašnjenja, nacrtajte drugu os i cijelu parabolu! Preporučljivo je da se vratite na članak i priručnik Vruće formule za školski kurs matematike.

Imajte na umu da su same tačke uklonjene (nisu uključene u rješenje), jer je naša nejednakost stroga.

Odgovori: domena:

Općenito, mnoge nejednakosti (uključujući i razmatranu) rješavaju se univerzalom intervalna metoda, ponovo poznat iz školskog programa. Ali u slučajevima kvadratnih binoma i trinoma, po mom mišljenju, mnogo je zgodnije i brže analizirati lokaciju parabole u odnosu na os. A glavnu metodu - metodu intervala - detaljno ćemo analizirati u članku. Funkcija nule. Intervali konstantnosti.

Primjer 8

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak detaljno komentariše logiku rasuđivanja + drugu metodu rješenja i još jednu važnu transformaciju nejednakosti, bez znanja o kojoj će učenik šepati na jednu nogu..., ...hmm... možda sam se uzbudio o nozi, vjerovatnije na jednom prstu. Thumb.

Može li se funkcija kvadratnog korijena definirati na cijeloj brojevnoj pravoj? Svakako. Sva poznata lica: . Ili sličan zbroj s eksponentom: . Zaista, za bilo koje vrijednosti "x" i "ka": , dakle također i .

Evo manje očiglednog primjera: . Ovdje je diskriminant negativan (parabola ne siječe x-osu), dok su grane parabole usmjerene prema gore, otuda i domen definicije: .

Suprotno pitanje: može li domen definicije funkcije biti prazan? Da, i primitivan primjer se odmah nameće , gdje je izraz radikala negativan za bilo koju vrijednost “x”, a domen definicije: (ikona praznog skupa). Takva funkcija uopće nije definirana (naravno, i graf je iluzoran).

Sa čudnim korenima itd. sve je mnogo bolje - ovde radikalni izraz može biti negativan. Na primjer, funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Međutim, funkcija ima jednu tačku koja još uvijek nije uključena u domenu definicije, budući da je nazivnik postavljen na nulu. Iz istog razloga za funkciju bodovi su isključeni.

Domen funkcije s logaritmom

Treća uobičajena funkcija je logaritam. Kao uzorak ću nacrtati prirodni logaritam, što se javlja u otprilike 99 primjera od 100. Ako određena funkcija sadrži logaritam, tada bi njena domena definicije trebala uključivati ​​samo one vrijednosti “x” koje zadovoljavaju nejednakost. Ako je logaritam u nazivniku: , onda dodatno uslov je nametnut (od ).

Primjer 9

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: u skladu sa navedenim, sastavićemo i rešiti sistem:

Grafičko rješenje za lutke:

Odgovori: domena:

Zadržat ću se na još jednoj tehničkoj stvari - nemam naznačenu skalu i podjele duž ose nisu označene. Postavlja se pitanje: kako napraviti takve crteže u bilježnici na kariranom papiru? Treba li razmak između tačaka mjeriti ćelije striktno prema mjerilu? Kanonički je i stroži, naravno, u mjerilu, ali shematski crtež koji u osnovi odražava situaciju je također sasvim prihvatljiv.

Primjer 10

Pronađite domenu funkcije

Da biste riješili problem, možete koristiti metodu iz prethodnog paragrafa - analizirajte kako se parabola nalazi u odnosu na x-os. Odgovor je na kraju lekcije.

Kao što vidite, u području logaritama sve je vrlo slično situaciji s kvadratnim korijenima: funkcija (kvadratni trinom iz primjera br. 7) definiran je na intervalima i funkciji (kvadratni binom iz primjera br. 6) na intervalu . Nezgodno je čak i reći da su funkcije tipa definirane na cijeloj brojevnoj liniji.

Korisne informacije : tipična funkcija je zanimljiva, definirana je na cijeloj brojevnoj pravoj osim tačke. Prema svojstvu logaritma, "dva" se može množiti izvan logaritma, ali da se funkcija ne bi promijenila, "x" mora biti zatvoreno pod znakom modula: . Evo još jednog za tebe" praktična upotreba» modul =). To je ono što trebate učiniti u većini slučajeva kada rušite čak stepen, na primjer: . Ako je osnova stepena očigledno pozitivna, na primer, onda nema potrebe za znakom modula i dovoljno je koristiti zagrade: .

Da bismo izbjegli ponavljanje, zakomplikujmo zadatak:

Primjer 11

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: u ovoj funkciji imamo i korijen i logaritam.

Radikalni izraz mora biti nenegativan: , a izraz pod predznakom logaritma mora biti striktno pozitivan: . Dakle, potrebno je riješiti sistem:

Mnogi od vas vrlo dobro znaju ili intuitivno nagađaju da sistemsko rješenje mora zadovoljiti svakome stanje.

Ispitivanjem položaja parabole u odnosu na osu dolazimo do zaključka da je nejednakost zadovoljena intervalom (plavo sjenčanje):

Nejednakost očigledno odgovara “crvenom” poluintervalu.

Pošto oba uslova moraju biti ispunjena istovremeno, tada je rješenje sistema presjek ovih intervala. "Zajednički interesi" se ispunjavaju na poluvremenu.

Odgovori: domena:

Tipičnu nejednakost, kao što je pokazano u Primjeru br. 8, nije teško analitički riješiti.

Pronađena domena se neće promijeniti za “slične funkcije”, npr. ili . Također možete dodati neke kontinuirane funkcije, na primjer: , ili ovako: , ili čak ovako: . Kako kažu, korijen i logaritam su tvrdoglave stvari. Jedina stvar je da ako se jedna od funkcija "resetuje" na nazivnik, tada će se promijeniti domen definicije (iako u općem slučaju to nije uvijek tačno). Pa, u matan teoriji o ovom verbalnom... oh... postoje teoreme.

Primjer 12

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Korištenje crteža je sasvim prikladno, jer funkcija nije najjednostavnija.

Još nekoliko primjera za jačanje materijala:

Primjer 13

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: sastavimo i riješimo sistem:

Sve radnje su već razmotrene u cijelom članku. Opišimo interval koji odgovara nejednakosti na brojevnoj pravoj i, prema drugom uvjetu, eliminiramo dvije točke:

Ispostavilo se da je značenje potpuno nebitno.

Odgovori: domena

Mala matematička igra riječi na varijaciji 13. primjera:

Primjer 14

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Oni koji su propustili nemaju sreće ;-)

Završni dio lekcije posvećen je rijetkijim, ali i „radnim“ funkcijama:

Područja definicije funkcije
sa tangentama, kotangensima, arksinusima, arkosinusima

Ako neka funkcija uključuje , onda iz svoje domene definicije isključeno tačke gde Z– skup cijelih brojeva. Konkretno, kao što je navedeno u članku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, funkcija je probijena sljedeće vrijednosti:

To jest, domen definicije tangente: .

Ne ubijajmo previše:

Primjer 15

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: u ovom slučaju, sljedeće tačke neće biti uključene u domenu definicije:

Bacimo "dvojku" sa leve strane u imenilac desne strane:

Kao rezultat :

Odgovori: domena: .

U principu, odgovor se može napisati kao unija beskonačnog broja intervala, ali konstrukcija će biti vrlo glomazna:

Analitičko rješenje je u potpunosti u skladu sa geometrijska transformacija grafa: ako se argument funkcije pomnoži sa 2, tada će se njen graf dvaput smanjiti na os. Primijetite kako je period funkcije prepolovljen, i tačke prekida udvostručila frekvenciju. tahikardija.

Slična priča sa kotangensom. Ako neka funkcija uključuje , tada su točke isključene iz njezine domene definicije. Konkretno, za funkciju automatskog rafalnog snimanja snimamo sljedeće vrijednosti:

Drugim riječima: