U kom intervalu se funkcija povećava? Rastuća i opadajuća funkcija na intervalu, ekstremi

Derivat. Ako je derivacija funkcije pozitivna za bilo koju tačku u intervalu, tada se funkcija povećava; ako je negativna, ona se smanjuje.

Da biste pronašli intervale povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je pronaći njenu oblast definicije, izvod, riješiti nejednakosti oblika F’(x) > 0 i F’(x)

Rješenje.

3. Riješite nejednačine y’ > 0 i y’ 0;
(4 - x)/x³

Rješenje.
1. Nađimo domenu definicije funkcije. Očigledno, izraz u nazivniku mora uvijek biti različit od nule. Stoga je 0 isključeno iz domena definicije: funkcija je definirana za x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Izračunajte derivaciju funkcije:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. Riješite nejednačine y’ > 0 i y’ 0;
(4 - x)/x³

4. Lijeva strana nejednakosti ima jedno realno x = 4 i prelazi na x = 0. Dakle, vrijednost x = 4 je uključena i u interval i u opadajući interval, a tačka 0 nije uključena.
Dakle, tražena funkcija raste na intervalu x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. Lijeva strana nejednakosti ima jedno realno x = 4 i prelazi na x = 0. Dakle, vrijednost x = 4 je uključena i u interval i u opadajući interval, a tačka 0 nije uključena.
Dakle, tražena funkcija raste na intervalu x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Izvori:

• kako pronaći opadajuće intervale na funkciji

Funkcija predstavlja striktnu zavisnost jednog broja od drugog, ili vrednosti funkcije (y) od argumenta (x). Svaki proces (ne samo u matematici) može se opisati svojom funkcijom, koju će imati karakteristike: intervali opadanja i povećanja, tačke minimuma i maksimuma, itd.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovka.

Instrukcije

Primjer 2.
Naći intervale opadanja f(x)=sinx +x.
Derivat ove funkcije će biti jednak: f’(x)=cosx+1.
Rješavanje nejednakosti cosx+1

Interval monotonija funkcija se može nazvati intervalom u kojem se funkcija ili samo povećava ili samo smanjuje. Brojne specifične akcije pomoći će da se pronađu takvi rasponi za funkciju, što je često potrebno u algebarskim problemima ove vrste.

Instrukcije

Prvi korak u rješavanju problema određivanja intervala u kojima funkcija monotono raste ili opada je izračunavanje ove funkcije. Da biste to učinili, saznajte sve vrijednosti argumenata (vrijednosti duž x-ose) za koje možete pronaći vrijednost funkcije. Označite tačke na kojima se uočavaju diskontinuiteti. Pronađite izvod funkcije. Nakon što ste odredili izraz koji predstavlja izvod, postavite ga jednakim nuli. Nakon toga, trebali biste pronaći korijene rezultirajućeg . Ne o području dozvoljenog.

Tačke u kojima je funkcija ili u kojima je njen izvod jednak nuli predstavljaju granice intervala monotonija. Ove opsege, kao i tačke koje ih razdvajaju, treba uneti redom u tabelu. Pronađite predznak derivacije funkcije u rezultujućim intervalima. Da biste to učinili, zamijenite bilo koji argument iz intervala u izraz koji odgovara izvodu. Ako je rezultat pozitivan, funkcija u ovom rasponu se povećava, u suprotnom se smanjuje. Rezultati se unose u tabelu.

U retku koji označava izvod funkcije f’(x), upisuju se odgovarajuće vrijednosti argumenata: “+” - ako je derivacija pozitivna, "-" - negativna ili "0" - jednaka nuli. U sljedećem redu obratite pažnju na monotoniju samog originalnog izraza. Strelica nagore odgovara povećanju, a strelica dolje odgovara smanjenju. Provjerite funkcije. Ovo su tačke u kojima je izvod nula. Ekstremum može biti ili maksimalna ili minimalna tačka. Ako se prethodni dio funkcije povećao, a trenutni smanjio, ovo je maksimalna točka. U slučaju kada je funkcija opadala prije određene tačke, a sada raste, ovo je minimalna tačka. Unesite vrijednosti funkcije na tačkama ekstrema u tabelu.

Izvori:

• šta je definicija monotonije

Ponašanje funkcije koja ima složenu ovisnost o argumentu proučava se korištenjem izvoda. Po prirodi promjene derivacije možete pronaći kritične točke i područja rasta ili smanjenja funkcije.

Da bismo odredili prirodu funkcije i govorili o njenom ponašanju, potrebno je pronaći intervale povećanja i smanjenja. Ovaj proces se naziva istraživanje funkcija i grafički prikaz. Ekstremna tačka se koristi pri pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije, jer se kod njih funkcija povećava ili smanjuje iz intervala.

Ovaj članak otkriva definicije koje formuliramo dovoljno dokaza povećanje i smanjenje na intervalu i uslov za postojanje ekstremuma. Ovo se odnosi na rješavanje primjera i problema. Odjeljak o diferenciranju funkcija treba ponoviti, jer će rješenje morati koristiti pronalaženje derivacije.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Funkcija y = f (x) će se povećati na intervalu x kada je za bilo koje x 1 ∈ X i x 2 ∈ X, x 2 > x 1, zadovoljena nejednakost f (x 2) > f (x 1). Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija 2

Funkcija y = f (x) se smatra opadajućom na intervalu x kada je za bilo koje x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, jednakost f (x 2) > f (x 1) smatra se istinitim. Drugim riječima, veća vrijednost funkcije odgovara manjoj vrijednosti argumenta. Razmotrite sliku ispod.

komentar: Kada je funkcija određena i kontinuirana na krajevima intervala rasta i opadanja, odnosno (a; b), gdje je x = a, x = b, tačke su uključene u interval rasta i opadanja. Ovo nije u suprotnosti sa definicijom, to znači da se dešava na intervalu x.

Glavna svojstva elementarnih funkcija tipa y = sin x su sigurnost i kontinuitet za stvarne vrijednosti argumenata. Odavde dobijamo da se sinus povećava u intervalu - π 2; π 2, tada povećanje na segmentu ima oblik - π 2; π 2.

Definicija 3

Tačka x 0 se zove maksimalni poen za funkciju y = f (x), kada za sve vrijednosti x vrijedi nejednakost f (x 0) ≥ f (x). Maksimalna funkcija je vrijednost funkcije u tački, a označava se sa y m a x .

Tačka x 0 naziva se minimalna tačka za funkciju y = f (x), kada za sve vrijednosti x vrijedi nejednakost f (x 0) ≤ f (x). Minimalne funkcije je vrijednost funkcije u tački i ima oznaku oblika y m i n .

Razmatraju se susjedstva tačke x 0 ekstremne tačke, i vrijednost funkcije koja odgovara tačkama ekstrema. Razmotrite sliku ispod.

Ekstremi funkcije sa najvećim i sa najniža vrijednost funkcije. Razmotrite sliku ispod.

Prva slika pokazuje šta treba da pronađete najveća vrijednost funkcije iz segmenta [a; b ] . Nalazi se pomoću maksimalnih tačaka i jednaka je maksimalnoj vrijednosti funkcije, a druga brojka više liči na pronalaženje maksimalne točke na x = b.

Dovoljni uslovi za povećanje i smanjenje funkcije

Za pronalaženje maksimuma i minimuma funkcije potrebno je primijeniti predznake ekstrema u slučaju kada funkcija zadovoljava ove uvjete. Prvi znak se smatra najčešće korištenim.

Prvi dovoljan uslov za ekstrem

Definicija 4

Neka je data funkcija y = f (x) koja je diferencibilna u ε susjedstvu tačke x 0 i ima kontinuitet u datoj tački x 0. Odavde to dobijamo

• kada je f " (x) > 0 sa x ∈ (x 0 - ε ; x 0) i f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kada je f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 za x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), tada je x 0 minimalna tačka.

Drugim riječima, dobijamo njihove uslove za postavljanje znaka:

• kada je funkcija kontinuirana u tački x 0, tada ima izvod sa promjenjivim predznakom, odnosno od + do -, što znači da se tačka naziva maksimumom;
• kada je funkcija kontinuirana u tački x 0, tada ima izvod sa promjenjivim predznakom od - do +, što znači da se tačka naziva minimumom.

Da biste ispravno odredili maksimalnu i minimalnu točku funkcije, morate slijediti algoritam za njihovo pronalaženje:

• pronaći domen definicije;
• pronaći derivaciju funkcije na ovom području;
• identificirati nule i točke u kojima funkcija ne postoji;
• određivanje predznaka derivacije na intervalima;
• izaberite tačke gde funkcija menja predznak.

Razmotrimo algoritam rješavanjem nekoliko primjera pronalaženja ekstrema funkcije.

Primjer 1

Pronađite maksimalnu i minimalnu tačku date funkcije y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Rješenje

Područje definicije ove funkcije su svi realni brojevi osim x = 2. Prvo, pronađimo derivaciju funkcije i dobijemo:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Odavde vidimo da su nule funkcije x = - 1, x = 5, x = 2, odnosno svaka zagrada mora biti izjednačena sa nulom. Označimo ga na brojevnoj osi i dobijemo:

Sada određujemo predznake derivacije iz svakog intervala. Potrebno je odabrati tačku uključenu u interval i zamijeniti je u izraz. Na primjer, tačke x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Shvatili smo to

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, što znači da interval - ∞ ; - 1 ima pozitivan izvod. Slično, nalazimo da

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Pošto je drugi interval bio manji od nule, to znači da će izvod na intervalu biti negativan. Treći sa minusom, četvrti sa plusom. Da biste odredili kontinuitet, morate obratiti pažnju na znak derivacije; ako se promijeni, onda je to tačka ekstrema.

Nalazimo da će u tački x = - 1 funkcija biti kontinuirana, što znači da će derivacija promijeniti predznak sa + na -. Prema prvom znaku, imamo da je x = - 1 maksimalna tačka, što znači da dobijamo

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Tačka x = 5 označava da je funkcija kontinuirana, a derivacija će promijeniti predznak sa – na +. To znači da je x = -1 minimalna tačka, a njeno određivanje ima oblik

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafička slika

odgovor: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Vrijedi obratiti pažnju na činjenicu da korištenje prvog dovoljnog kriterija za ekstrem ne zahtijeva diferencijabilnost funkcije u tački x 0, što pojednostavljuje proračun.

Primjer 2

Naći maksimalnu i najmanju tačku funkcije y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Rješenje.

Domen funkcije su svi realni brojevi. Ovo se može napisati kao sistem jednačina oblika:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Zatim morate pronaći derivat:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Tačka x = 0 nema derivaciju, jer su vrijednosti jednostranih granica različite. dobijamo to:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Iz toga slijedi da je funkcija kontinuirana u tački x = 0, onda izračunavamo

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Potrebno je izvršiti proračune kako bi se pronašla vrijednost argumenta kada derivacija postane nula:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Sve dobijene tačke moraju biti označene na pravoj liniji da bi se odredio predznak svakog intervala. Stoga je potrebno izračunati izvod u proizvoljnim tačkama za svaki interval. Na primjer, možemo uzeti točke sa vrijednostima x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Shvatili smo to

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Slika na pravoj liniji izgleda ovako

To znači da dolazimo do zaključka da je potrebno pribjeći prvom znaku ekstremuma. Hajde da izračunamo i nađemo to

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , onda odavde maksimalni bodovi imaju vrijednosti x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Pređimo na izračun minimuma:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Izračunajmo maksimume funkcije. Shvatili smo to

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafička slika

odgovor:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 3 8 m x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Ako je data funkcija f " (x 0) = 0, onda ako je f "" (x 0) > 0, dobijamo da je x 0 minimalna tačka ako je f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Primjer 3

Pronađite maksimume i minimume funkcije y = 8 x x + 1.

Rješenje

Prvo, nalazimo domen definicije. Shvatili smo to

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Potrebno je razlikovati funkciju, nakon čega se dobija

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Kod x = 1 derivacija postaje nula, što znači da je tačka mogući ekstrem. Da pojasnimo, potrebno je pronaći drugi izvod i izračunati vrijednost pri x = 1. Dobijamo:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

To znači da koristeći dovoljan uslov 2 za ekstrem, dobijamo da je x = 1 tačka maksimuma. Inače, unos izgleda kao y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Grafička slika

odgovor: y m a x = y (1) = 4 ..

Definicija 5

Funkcija y = f (x) ima svoj izvod do n-tog reda u ε susjedstvu dati poen x 0 i izvod do n + 1. reda u tački x 0 . Tada je f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Iz toga slijedi da kada je n paran broj, tada se x 0 smatra prelomnom tačkom, kada je n neparan broj, tada je x 0 tačka ekstrema, a f (n + 1) (x 0) > 0, tada je x 0 je minimalna tačka, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Primjer 4

Pronađite maksimalnu i najmanju tačku funkcije y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Rješenje

Originalna funkcija je racionalna cijela funkcija, što znači da su domen definicije svi realni brojevi. Potrebno je razlikovati funkciju. Shvatili smo to

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ovaj izvod će ići na nulu pri x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. To jest, tačke mogu biti moguće tačke ekstrema. Potrebno je primijeniti treći dovoljan uvjet za ekstrem. Pronalaženje drugog izvoda omogućava vam da precizno odredite prisustvo maksimuma i minimuma funkcije. Druga derivacija se izračunava u tačkama njenog mogućeg ekstremuma. Shvatili smo to

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

To znači da je x 2 = 5 7 maksimalna tačka. Primjenjujući 3. dovoljan kriterij, dobivamo da je za n = 1 i f (n + 1) 5 7< 0 .

Potrebno je odrediti prirodu tačaka x 1 = - 1, x 3 = 3. Da biste to učinili, morate pronaći treći izvod i izračunati vrijednosti u ovim točkama. Shvatili smo to

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

To znači da je x 1 = - 1 tačka pregiba funkcije, jer za n = 2 i f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Potrebno je istražiti tačku x 3 = 3. Da bismo to uradili, pronalazimo četvrti izvod i vršimo proračune u ovoj tački:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Iz onoga što je gore odlučeno zaključujemo da je x 3 = 3 minimalna tačka funkcije.

Grafička slika

odgovor: x 2 = 5 7 je maksimalna tačka, x 3 = 3 je minimalna tačka date funkcije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Veoma važna informacija o ponašanju funkcije dati intervale povećanja i smanjenja. Njihovo pronalaženje dio je procesa ispitivanja funkcije i crtanja grafa. Pored toga, date su tačke ekstrema u kojima dolazi do promjene od povećanja do smanjenja ili od opadanja do povećanja Posebna pažnja pri pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije na određenom intervalu.

U ovom članku ćemo dati potrebne definicije, formulisati dovoljan kriterijum za povećanje i smanjenje funkcije na intervalu i dovoljne uslove za postojanje ekstrema i primeniti celu ovu teoriju na rešavanje primera i problema.

Navigacija po stranici.

Povećajuća i opadajuća funkcija na intervalu.

Definicija rastuće funkcije.

Funkcija y=f(x) raste na intervalu X ako za bilo koji i važi nejednakost. Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija opadajuće funkcije.

Funkcija y=f(x) opada na intervalu X ako za bilo koji i važi nejednakost . Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

NAPOMENA: ako je funkcija definirana i kontinuirana na krajevima rastućeg ili opadajućeg intervala (a;b), odnosno na x=a i x=b, tada su ove točke uključene u interval povećanja ili smanjenja. Ovo nije u suprotnosti sa definicijama rastuće i opadajuće funkcije na intervalu X.

Na primjer, iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija znamo da je y=sinx definiran i kontinuiran za sve realne vrijednosti argumenta. Stoga, iz povećanja sinusne funkcije na intervalu, možemo tvrditi da ona raste na intervalu.

Ekstremne tačke, ekstremi funkcije.

Tačka se zove maksimalni poen funkcija y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x u njegovom susjedstvu. Poziva se vrijednost funkcije u tački maksimuma maksimum funkcije i označiti .

Tačka se zove minimalna tačka funkcija y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x u njegovom susjedstvu. Poziva se vrijednost funkcije u minimalnoj tački minimalna funkcija i označiti .

Okruženje tačke se shvata kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.

Pozivaju se minimalne i maksimalne tačke ekstremne tačke, i pozivaju se vrijednosti funkcije koje odgovaraju tačkama ekstrema ekstremi funkcije.

Nemojte brkati ekstreme funkcije s najvećim i najmanjim vrijednostima funkcije.

Na prvoj slici najveća vrijednost funkcije na segmentu se postiže u tački maksimuma i jednaka je maksimumu funkcije, a na drugoj slici najveća vrijednost funkcije postiže se u tački x=b , što nije maksimalna tačka.

Dovoljni uslovi za povećanje i smanjenje funkcija.

Na osnovu dovoljnih uslova (znakova) za povećanje i smanjenje funkcije, nalaze se intervali povećanja i smanjenja funkcije.

Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:

• ako je izvod funkcije y=f(x) pozitivan za bilo koji x iz intervala X, tada funkcija raste za X;
• ako je derivacija funkcije y=f(x) negativna za bilo koji x iz intervala X, tada funkcija opada na X.

Dakle, da bi se odredili intervali povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je:

Razmotrimo primjer pronalaženja intervala rastućih i opadajućih funkcija da bismo objasnili algoritam.

Primjer.

Naći intervale rastuće i opadajuće funkcije.

Rješenje.

Prvi korak je pronaći domenu definicije funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, .

Idemo dalje na pronalaženje derivacije funkcije:

Za određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije na osnovu dovoljnog kriterija rješavamo nejednakosti u domeni definicije. Koristimo generalizaciju metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x = 2, a imenilac ide na nulu pri x=0. Ove tačke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj. Uobičajeno sa plusima i minusima označavamo intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna. Strelice ispod šematski pokazuju povećanje ili smanjenje funkcije na odgovarajućem intervalu.

dakle, I .

U tački Funkcija x=2 je definirana i kontinuirana, pa je treba dodati i rastućim i opadajućim intervalima. U tački x=0 funkcija nije definirana, tako da ovu tačku ne uključujemo u tražene intervale.

Predstavljamo graf funkcije da bismo uporedili dobijene rezultate s njom.

odgovor:

Funkcija se povećava kao , opada na intervalu (0;2] .

Dovoljni uslovi za ekstremum funkcije.

Da biste pronašli maksimume i minimume funkcije, možete koristiti bilo koji od tri znaka ekstrema, naravno, ako funkcija zadovoljava njihove uvjete. Najčešći i najprikladniji je prvi od njih.

Prvi dovoljan uslov za ekstrem.

Neka je funkcija y=f(x) diferencijabilna u -susedstvu tačke i kontinuirana u samoj tački.

Drugim riječima:

Algoritam za pronalaženje tačaka ekstrema na osnovu prvog znaka ekstremuma funkcije.

• Pronalazimo domenu definicije funkcije.
• Izvod funkcije nalazimo u domenu definicije.
• Određujemo nule brojilaca, nule nazivnika izvoda i tačke domene definicije u kojima izvod ne postoji (sve navedene tačke se nazivaju tačke mogućeg ekstrema, prolazeći kroz ove tačke, derivacija može samo promijeniti svoj predznak).
• Ove tačke dijele područje definicije funkcije na intervale u kojima derivacija zadržava svoj predznak. Određujemo predznake izvoda na svakom od intervala (na primjer, izračunavanjem vrijednosti derivacije funkcije u bilo kojoj tački u određenom intervalu).
• Odabiremo tačke u kojima je funkcija kontinuirana i prolazeći kroz koje derivacija mijenja predznak - to su tačke ekstrema.

Ima previše riječi, hajde da bolje pogledamo nekoliko primjera pronalaženja točaka ekstrema i ekstrema funkcije pomoću prve dovoljno stanje ekstremu funkcije.

Primjer.

Pronađite ekstreme funkcije.

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva osim x=2.

Pronalaženje derivata:

Nule brojioca su tačke x=-1 i x=5, imenilac ide na nulu pri x=2. Označite ove tačke na brojevnoj osi

Određujemo predznake derivacije u svakom intervalu; da bismo to učinili, izračunavamo vrijednost derivacije u bilo kojoj tački svakog intervala, na primjer, u tačkama x=-2, x=0, x=3 i x=6.

Dakle, na intervalu je derivacija pozitivna (na slici stavljamo znak plus preko ovog intervala). Isto tako

Stoga stavljamo minus iznad drugog intervala, minus iznad trećeg, a plus iznad četvrtog.

Ostaje da se odaberu tačke u kojima je funkcija neprekidna, a njen izvod menja predznak. Ovo su tačke ekstrema.

U tački x=-1 funkcija je kontinuirana i derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, dakle, prema prvom znaku ekstrema, x=-1 je maksimalna tačka, njoj odgovara maksimum funkcije .

U tački x=5 funkcija je kontinuirana i derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, dakle, x=-1 je minimalna tačka, njoj odgovara minimum funkcije .

Grafička ilustracija.

odgovor:

NAPOMENA: prvi dovoljan kriterij za ekstrem ne zahtijeva diferencijabilnost funkcije u samoj tački.

Primjer.

Pronađite ekstremne tačke i ekstreme funkcije .

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva. Sama funkcija se može napisati kao:

Nađimo derivaciju funkcije:

U tački x=0 derivacija ne postoji, jer se vrijednosti jednostranih granica ne poklapaju kada argument teži nuli:

U isto vrijeme, originalna funkcija je kontinuirana u tački x=0 (pogledajte odjeljak o proučavanju funkcije za kontinuitet):

Nađimo vrijednost argumenta pri kojoj izvod ide na nulu:

Označimo sve dobijene tačke na brojevnoj pravoj i odredimo predznak izvoda na svakom od intervala. Da bismo to učinili, izračunavamo vrijednosti derivacije u proizvoljnim točkama svakog intervala, na primjer, at x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

To je,

Dakle, prema prvom znaku ekstremuma, minimalne tačke su , maksimalni bodovi su .

Izračunavamo odgovarajuće minimume funkcije

Izračunavamo odgovarajuće maksimume funkcije

Grafička ilustracija.

odgovor:

.

Drugi znak ekstremuma funkcije.

Kao što vidite, ovaj znak ekstremuma funkcije zahtijeva postojanje derivacije najmanje drugog reda u tački.

Diplomski rad u obliku Jedinstvenog državnog ispita za učenike 11. razreda, obavezno sadrži zadatke za izračunavanje granica, intervala opadajućih i rastućih izvoda funkcije, traženje tačaka ekstrema i crtanje grafova. Dobro poznavanje ove teme omogućava vam da tačno odgovorite na nekoliko ispitnih pitanja i da ne budete imali poteškoća u daljem stručnom usavršavanju.

Osnove diferencijalnog računa - jedna od glavnih tema matematike savremena škola. Ona proučava upotrebu izvoda za proučavanje zavisnosti varijabli - kroz izvod se može analizirati povećanje i smanjenje funkcije bez pribjegavanja crtežu.

Sveobuhvatna priprema diplomaca za polaganje Jedinstvenog državnog ispita on edukativni portal“Shkolkovo” će vam pomoći da duboko shvatite principe diferencijacije - detaljno razumite teoriju, proučite primjere rješavanja tipičnih problema i okušajte se u samostalnom radu. Pomoći ćemo vam da popravite praznine u znanju - razjasnite svoje razumijevanje leksičkih koncepata teme i zavisnosti količina. Studenti će moći vidjeti kako pronaći intervale monotonosti, što znači da derivacija funkcije raste ili opada na određenom segmentu kada su granične tačke uključene, a nisu uključene u pronađene intervale.

Prije nego što počnete direktno rješavati tematske probleme, preporučujemo da prvo odete u odjeljak „Teorijska pozadina“ i ponovite definicije pojmova, pravila i tabelarnih formula. Ovdje možete pročitati kako pronaći i zapisati svaki interval rastuće i opadajuće funkcije na grafu derivacije.

Sve ponuđene informacije predstavljene su u najpristupačnijem obliku za razumijevanje, praktično od nule. Web stranica nudi materijale za percepciju i asimilaciju u nekoliko razne forme– čitanje, gledanje videa i direktna obuka pod vodstvom iskusnih nastavnika. Profesionalni nastavniciće vam detaljno reći kako analitički pronaći intervale rastućih i opadajućih izvoda funkcije i grafički. Tokom webinara moći ćete postaviti bilo koje pitanje koje vas zanima, kako o teoriji tako io rješavanju konkretnih problema.

Sjetivši se glavnih točaka teme, pogledajte primjere povećanja derivacije funkcije, slično zadacima u ispitnim opcijama. Da biste konsolidirali ono što ste naučili, pogledajte “Katalog” – ovdje ćete pronaći praktične vježbe za samostalan rad. Zadaci u sekciji su odabrani različitim nivoima teškoće uzimajući u obzir razvoj vještina. Na primjer, svaki od njih je popraćen algoritmima rješenja i tačnim odgovorima.

Odabirom rubrike „Konstruktor“ studenti će moći vježbati proučavanje povećanja i smanjenja derivacije funkcije na realnom Opcije objedinjenog državnog ispita, koji se stalno ažurira uzimajući u obzir najnovije promjene i inovacije.

Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije

Pronalaženje intervala povećanja, smanjenja i ekstrema funkcije je i samostalan zadatak i bitan dio drugih zadataka, posebno, studija pune funkcije. Date su početne informacije o porastu, smanjenju i ekstremima funkcije teorijsko poglavlje o derivatušto toplo preporučujem preliminarna studija (ili ponavljanje)– također iz razloga što je sljedeći materijal zasnovan na samom suštinski derivat,što je skladan nastavak ovog članka. Mada, ako je vremena malo, onda je moguća i čisto formalna praksa primjera iz današnje lekcije.

A danas je u zraku duh rijetke jednodušnosti i direktno osjećam da svi prisutni gore od želje naučiti istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat. Stoga se razumna, dobra, vječna terminologija odmah pojavljuje na ekranima vašeg monitora.

Za što? Jedan od razloga je najpraktičniji: tako da je jasno šta se generalno traži od vas u određenom zadatku!

Monotonost funkcije. Ekstremne tačke i ekstremi funkcije

Razmotrimo neku funkciju. Pojednostavljeno, pretpostavljamo da ona kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj:

Za svaki slučaj, hajde da se odmah oslobodimo mogućih iluzija, posebno za one čitaoce koji su se nedavno upoznali sa intervali konstantnog predznaka funkcije. Sada mi NEZAINTERESOVAN, kako se graf funkcije nalazi u odnosu na osu (iznad, ispod, gdje se osa siječe). Da biste bili uvjerljivi, mentalno obrišite ose i ostavite jedan grafikon. Jer tu leži interes.

Funkcija povećava na intervalu, ako za bilo koje dvije točke ovog intervala, povezani odnosom, nejednakost je tačna. To je, veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Funkcija demonstracije raste u intervalu.

Isto tako, funkcija smanjuje se na intervalu ako za bilo koje dvije točke datog intervala takve da , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naša funkcija se smanjuje u intervalima .

Ako se funkcija povećava ili smanjuje u intervalu, tada se poziva strogo monotono u ovom intervalu. Šta je monotonija? Shvatite to doslovno – monotonija.

Također možete definirati neopadajući funkcija (opušteno stanje u prvoj definiciji) i bez povećanja funkcija (ublaženi uslov u 2. definiciji). Poziva se neopadajuća ili nerastuća funkcija na intervalu monotonska funkcija u ovom intervalu (stroga monotonost je poseban slučaj "jednostavne" monotonosti).

Teorija također razmatra i druge pristupe određivanju povećanja/smanjenja funkcije, uključujući na poluintervalima, segmentima, ali kako vam ne bismo sipali ulje-ulje-ulje na glavu, složit ćemo se da radimo s otvorenim intervalima sa kategoričkim definicijama - ovo je jasnije, a za rješavanje mnogih praktičnih problema sasvim dovoljno.

dakle, u mojim člancima formulacija "monotonost funkcije" će gotovo uvijek biti skrivena intervalima stroga monotonija(strogo rastuća ili striktno opadajuća funkcija).

Susjedstvo tačke. Riječi nakon kojih učenici bježe gdje god mogu i kriju se užasnuti po ćoškovima. ...Iako posle posta Cauchy granice Vjerovatno se više ne kriju, već se samo lagano dršću =) Ne brinite, sada neće biti dokaza teorema matematička analiza– Trebalo mi je okruženje da strože formulišem definicije ekstremne tačke. prisjetimo se:

Susjedstvo tačke naziva se interval koji sadrži datu tačku, a radi pogodnosti se često pretpostavlja da je interval simetričan. Na primjer, tačka i njeno standardno susjedstvo:

Zapravo, definicije:

Tačka se zove stroga maksimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . U našem konkretan primjer ovo je poenta.

Tačka se zove stroga minimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . Na crtežu se nalazi tačka “a”.

Bilješka : zahtjev simetrije susjedstva uopće nije neophodan. Osim toga, važno je sama činjenica postojanja susjedstvo (bilo maleno ili mikroskopsko) koje zadovoljava navedene uvjete

Tačke se zovu strogo ekstremne tačke ili jednostavno ekstremne tačke funkcije. Odnosno, to je generalizovani termin za maksimalne i minimalne poene.

Kako razumemo reč „ekstremno“? Da, direktno kao i monotonija. Ekstremne tačke rolerkostera.

Kao iu slučaju monotonosti, labavi postulati postoje i još su češći u teoriji (pod koje, naravno, spadaju strogi slučajevi koji se smatraju!):

Tačka se zove maksimalni poen, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve
Tačka se zove minimalna tačka, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve vrijednosti ovog susjedstva, vrijedi nejednakost.

Imajte na umu da se prema posljednje dvije definicije, svaka tačka konstantne funkcije (ili „ravni presjek“ funkcije) smatra i maksimalnom i minimalnom točkom! Funkcija je, inače, i nerastuća i neopadajuća, odnosno monotona. Međutim, ova razmatranja ćemo prepustiti teoretičarima, jer u praksi gotovo uvijek razmatramo tradicionalna „brda“ i „udubine“ (vidi crtež) sa jedinstvenim „kraljem brda“ ili „princezom močvare“. Kao varijanta, javlja se tip, usmjeren gore ili dolje, na primjer, minimum funkcije u tački.

Da, usput, oh royalty:
– naziva se značenje maksimum funkcije;
– naziva se značenje minimum funkcije.

Uobičajeno ime – ekstremi funkcije.

Molimo budite oprezni sa svojim riječima!

Ekstremne tačke– ovo su “X” vrijednosti.
Ekstremi– značenja „igre“.

! Bilješka : ponekad se navedeni pojmovi odnose na “X-Y” tačke koje leže direktno na GRAFIKU SAME funkcije.

Koliko ekstrema može imati funkcija?

Ništa, 1, 2, 3, ... itd. do beskonačnosti. Na primjer, sinus ima beskonačno mnogo minimuma i maksimuma.

BITAN! Izraz "maksimum funkcije" nije identično pojam " maksimalna vrijednost funkcije." Lako je primijetiti da je vrijednost maksimalna samo u lokalnoj četvrti, a u gornjem lijevom kutu su “hladniji drugovi”. Isto tako, “minimum funkcije” nije isto što i “minimalna vrijednost funkcije”, a na crtežu vidimo da je vrijednost minimalna samo u određenom području. U tom smislu nazivaju se i ekstremne tačke lokalne ekstremne tačke, a ekstremi – lokalni ekstremi. Šetaju i lutaju u blizini i globalno braćo. Dakle, svaka parabola ima na svom vrhu globalni minimum ili globalni maksimum. Nadalje, neću praviti razliku između vrsta ekstrema, a objašnjenje je izraženo više u općeobrazovne svrhe - dodatni pridjevi „lokalni“/„globalni“ ne bi vas trebali iznenaditi.

Hajde da sumiramo naše mali izlet u teoriju s probnim snimkom: šta znači zadatak „pronaći intervale monotonosti i tačke ekstrema funkcije“?

Formulacija vas podstiče da pronađete:

– intervali rastuće/opadajuće funkcije (neopadajući, nerastući se pojavljuje mnogo rjeđe);

– maksimalne i/ili minimalne bodove (ako postoje). Pa, da biste izbjegli neuspjeh, bolje je sami pronaći minimume/maksimume ;-)

Kako sve ovo utvrditi? Korištenje derivacijske funkcije!

Kako pronaći intervale povećanja, smanjenja,
ekstremne tačke i ekstremi funkcije?

Mnoga pravila su, zapravo, već poznata i shvaćena lekcija o značenju izvedenice.

Tangentni derivat donosi vesele vijesti da se funkcija sve više povećava domenu definicije.

Sa kotangensom i njegovim derivatom situacija je upravo suprotna.

Arksinus raste u intervalu - izvod je ovdje pozitivan: .
Kada je funkcija definirana, ali nije diferencirana. Međutim, na kritičnoj tački nalaze se desna derivacija i desna tangenta, a na drugoj ivici su njihovi levoruki parnjaci.

Mislim da vam neće biti previše teško izvesti slično razmišljanje za ark kosinus i njegovu derivaciju.

Svi gore navedeni slučajevi, od kojih mnogi jesu tabelarne izvedenice, podsjećam, pratite direktno iz derivativne definicije.

Zašto istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat?

Da bismo bolje razumjeli kako izgleda graf ove funkcije: gdje ide “odozdo prema gore”, gdje “odozgo prema dolje”, gdje dostiže minimume i maksimume (ako uopće dostigne). Nisu sve funkcije tako jednostavne - u većini slučajeva nemamo pojma o grafu određene funkcije.

Vrijeme je da prijeđemo na značajnije primjere i razmotrimo algoritam za pronalaženje intervala monotonosti i ekstrema funkcije:

Primjer 1

Naći intervale povećanja/spadanja i ekstreme funkcije

Rješenje:

1) Prvi korak je pronaći domenu funkcije, a također zabilježite tačke prekida (ako postoje). U ovom slučaju, funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, a ova radnja je u određenoj mjeri formalna. Ali u nizu slučajeva ovdje se razbuktaju ozbiljne strasti, pa hajde da se odnosimo prema paragrafu bez prezira.

2) Druga tačka algoritma je zbog

neophodan uslov za ekstrem:

Ako u nekoj tački postoji ekstremum, tada vrijednost ili ne postoji.

Zbunjeni zbog kraja? Ekstremum funkcije “modulus x”. .

Uslov je neophodan, ali nije dovoljno, a obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, iz jednakosti još ne slijedi da funkcija doseže maksimum ili minimum u tački . Klasičan primjer je već istaknut gore - ovo je kubna parabola i njena kritična tačka.

Ali kako god bilo, neophodni uslov za ekstrem diktira potrebu za pronalaženjem sumnjivih tačaka. Da biste to učinili, pronađite izvod i riješite jednačinu:

Na početku prvog članka o grafovima funkcija Rekao sam vam kako brzo izgraditi parabolu koristeći primjer : “...uzimamo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom: ...Dakle, rješenje naše jednačine: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole...”. Sada, mislim, svi razumiju zašto se vrh parabole nalazi upravo u ovoj tački =) Općenito, ovdje bismo trebali početi sa sličnim primjerom, ali je previše jednostavan (čak i za čajnik). Osim toga, postoji analog na samom kraju lekcije o derivat funkcije. Stoga, povećajmo stepen:

Primjer 2

Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Kompletno rješenje i približan konačni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Došao je dugo očekivani trenutak susreta sa frakcijsko-racionalnim funkcijama:

Primjer 3

Istražite funkciju koristeći prvi izvod

Obratite pažnju na to koliko promjenljivo jedan te isti zadatak može biti preformulisan.

Rješenje:

1) Funkcija trpi beskonačne diskontinuitete u tačkama.

2) Otkrivamo kritične tačke. Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom:

Hajde da riješimo jednačinu. Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac jednaka nuli:

Tako dobijamo tri kritične tačke:

3) Ucrtavamo SVE otkrivene tačke na brojevnu pravu i intervalna metoda definišemo znakove DERIVATA:

Podsjećam vas da trebate uzeti neku tačku u intervalu i izračunati vrijednost derivacije na njoj i odredi njegov predznak. Isplativije je ni ne brojati, već verbalno „procenjivati“. Uzmimo, na primjer, tačku koja pripada intervalu i izvršimo zamjenu: .

Dva “plusa” i jedan “minus” daju “minus”, dakle, što znači da je izvod negativan u cijelom intervalu.

Radnju, kao što razumijete, treba izvršiti za svaki od šest intervala. Usput, imajte na umu da su faktor brojila i nazivnik striktno pozitivni za bilo koju tačku u bilo kojem intervalu, što uvelike pojednostavljuje zadatak.

Dakle, derivat nam je rekao da se SAMA FUNKCIJA povećava za i smanjuje se za . Pogodno je povezati intervale istog tipa pomoću ikone spajanja.

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum:
U trenutku kada funkcija dosegne minimum:

Razmislite zašto ne morate preračunavati drugu vrijednost ;-)

Prilikom prolaska kroz tačku derivacija ne mijenja predznak, pa funkcija tu NEMA EKSTREMUMA - i smanjila se i ostala u opadanju.

! Hajde da ponovimo važna tačka : tačke se ne smatraju kritičnim - one sadrže funkciju nije utvrđeno. Shodno tome, evo U principu ne može biti ekstrema(čak i ako derivacija promijeni predznak).

Odgovori: funkcija se povećava za i smanjuje se za U tački kada je dostignut maksimum funkcije: , a u tački – minimum: .

Poznavanje intervala monotonosti i ekstrema, zajedno sa utvrđenim asimptote već daje vrlo dobru ideju izgled funkcionalna grafika. Osoba prosječne obuke može verbalno odrediti da graf funkcije ima dvije vertikalne asimptote i jednu kosu asimptotu. Evo naseg heroja:

Pokušajte još jednom povezati rezultate studije s grafikonom ove funkcije.
Ne postoji ekstremum na kritičnoj tački, ali postoji fleksija grafa(što se po pravilu dešava u sličnim slučajevima).

Primjer 4

Pronađite ekstreme funkcije

Primjer 5

Pronađite intervale monotonosti, maksimume i minimume funkcije

…to je skoro kao neka vrsta praznika „X u kocki“ danas....
Jaooo, ko je u galeriji ponudio piće za ovo? =)

Svaki zadatak ima svoje suštinske nijanse i tehničke suptilnosti, koje se komentarišu na kraju lekcije.