Određivanje sinusa, kosinusa tangente i kotangensa ugla. Teoreme kosinusa i sinusa. Pravokutni trokut i trigonometrija

Tamo gde su razmatrani problemi rešavanja pravouglog trougla, obećao sam da ću predstaviti tehniku ​​za pamćenje definicija sinusa i kosinusa. Koristeći ga, uvijek ćete brzo zapamtiti koja strana pripada hipotenuzi (susedna ili suprotna). Odlučio sam da ne odlažem predugo, potreban materijal ispod, pročitajte 😉

Činjenica je da sam više puta primijetio kako učenici od 10. do 11. razreda teško pamte ove definicije. Dobro se sjećaju da se kateta odnosi na hipotenuzu, ali koju- zaboravljaju i zbunjen. Cijena greške, kao što znate na ispitu, je izgubljen bod.

Informacije koje ću direktno iznijeti nemaju nikakve veze sa matematikom. Ona je povezana sa maštovitom razmišljanju, te metodama verbalno-logičke komunikacije. Upravo tako ga se sjećam, jednom zauvijekdefinicije podataka. Ako ih zaboravite, uvijek ih možete lako zapamtiti koristeći predstavljene tehnike.

Dozvolite mi da vas podsjetim na definicije sinusa i kosinusa u pravokutnom trokutu:

Kosinus oštar ugao u pravokutnom trokutu, ovo je omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane i hipotenuze:

Dakle, koje asocijacije imate na riječ kosinus?

Vjerovatno svako ima svoje 😉Zapamtite link:

Tako će vam se izraz odmah pojaviti u sjećanju -

«… omjer SJEDNOG kraka prema hipotenuzi».

Problem sa određivanjem kosinusa je riješen.

Ako trebate zapamtiti definiciju sinusa u pravokutnom trokutu, a zatim zapamtite definiciju kosinusa, možete lako utvrditi da je sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne strane i hipotenuze. Na kraju krajeva, postoje samo dvije noge; ako je susjedna noga "zauzeta" kosinusom, onda samo suprotna noga ostaje sa sinusom.

Šta je sa tangentom i kotangensom? Zabuna je ista. Učenici znaju da se radi o odnosu nogu, ali problem je zapamtiti koja se na koju odnosi - ili suprotno od susjedne, ili obrnuto.

definicije:

Tangenta Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne i susjedne strane:

Kotangens Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer susjedne strane i suprotne strane:

Kako zapamtiti? Postoje dva načina. Jedan također koristi verbalno-logičku vezu, drugi koristi matematičku.

MATEMATIČKA METODA

Postoji takva definicija - tangent oštrog ugla je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

*Kada ste zapamtili formulu, uvijek možete odrediti da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne i susjedne strane.

Isto tako.Kotangens oštrog ugla je omjer kosinusa ugla i njegovog sinusa:

Dakle! Pamteći ove formule, uvijek možete utvrditi da:

- tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane i susjedne

— kotangens oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjedne i suprotne strane.

REČ-LOGIČKA METODA

O tangenti. Zapamtite link:

Odnosno, ako trebate zapamtiti definiciju tangente, koristeći ovu logičku vezu, lako se možete sjetiti šta je to

“... odnos suprotne strane prema susjednoj strani”

Ako govorimo o kotangensu, sjetivši se definicije tangente, lako možete izraziti definiciju kotangensa -

“...odnos susjedne i suprotne strane”

Na web stranici postoji zanimljiv trik za pamćenje tangente i kotangensa " Matematički tandem " , pogledaj.

UNIVERZALNA METODA

Možete ga samo zapamtiti.Ali, kako praksa pokazuje, zahvaljujući verbalno-logičkim vezama, osoba dugo pamti informacije, i to ne samo matematičke.

Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Šta je sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla pomoći će vam da shvatite pravougli trokut.

Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravi ugao(u našem primjeru ovo je strana \(AC\) ); krakovi su dvije preostale stranice \(AB\) i \(BC\) (one koje su susjedne pravom kutu), a ako uzmemo u obzir krakove u odnosu na ugao \(BC\), onda je krak \(AB\) susjedna noga, a noga \(BC\) je suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?

Sinus ugla– ovo je omjer suprotnog (udaljenog) kraka i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus ugla– ovo je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta ugla– ovo je odnos suprotne (udaljene) strane prema susednoj (bliskoj).

U našem trouglu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens ugla– ovo je odnos susedne (bliske) noge i suprotne (daleke).

U našem trouglu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na šta, morate to jasno razumjeti tangenta I kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

Kosinus→dodir→dodir→susedni;

Kotangens→dodir→dodir→susedni.

Prije svega, morate zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens, jer omjeri strana trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod istim kutom). Ne vjerujem? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla \(\beta \) . Po definiciji, iz trougla \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus ugla \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!

Za trokut \(ABC \) prikazan na slici ispod, nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)

Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao \(\beta \) .

odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jedinični (trigonometrijski) krug

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim \(1\) . Takav krug se zove single. Bit će vrlo korisno kada proučavate trigonometriju. Stoga, pogledajmo to malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je konstruisan u kartezijanskom koordinatnom sistemu. Radijus kruga jednako jedan, dok centar kružnice leži na početku, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera ose \(x\) (u našem primjeru to je polumjer \(AB\)).

Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata duž ose \(x\) i koordinata duž ose \(y\). Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Razmotrimo trougao \(ACG\) . Pravougaona je jer je \(CG\) okomita na osu \(x\).

Šta je \(\cos \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC\) polumjer jedinični krug, što znači \(AC=1\) . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo šta se dešava:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Koliko je jednak \(\sin \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? pa naravno \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Zamijenite vrijednost radijusa \(AC\) u ovu formulu i dobijete:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Dakle, možete li reći koje koordinate ima tačka \(C\) koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Šta ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x\)! I kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Tako je, koordinata \(y\)! Dakle, poenta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čemu su onda jednaki \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \)? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Šta ako je ugao veći? Na primjer, kao na ovoj slici:

Šta se promijenilo u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ugao (kao susedni ugao \(\beta \) ). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ugao ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati \(y\) ; vrijednost kosinusa ugla - koordinata \(x\) ; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi se primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose \(x\). Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene vrijednosti, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu – negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Da li je moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \)? Pa, naravno da možete! u prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dakle, radijus vektor će napraviti jednu punu revoluciju i zaustaviti se na poziciji \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .

u drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri puna okretaja i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da se uglovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj), odgovaraju istoj poziciji radijus vektora.

Slika ispod prikazuje ugao \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara uglu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(niz) \)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(niz) \)

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Imate poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(niz)\)

Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama uglova. Pa, počnimo redom: ugao unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara tački sa koordinatama \(\left(0;1 \right) \) , dakle:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju tačkama sa koordinatama \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Strelica desno \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:

Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(niz) \desno\)\ \text(Morate zapamtiti ili biti u mogućnosti to ispisati!! \) !}

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) dato u tabeli ispod, morate zapamtiti:

Nemojte se plašiti, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:

Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kao i vrijednost tangente ugla u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(niz) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, možete vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojač "\(1 \)" će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a nazivnik "\(\sqrt(\text(3)) \)" će odgovarati \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4\) vrijednosti iz tabele.

Koordinate tačke na kružnici

Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa, naravno da možete! Hajde da ga izvadimo opšta formula da nađemo koordinate tačke. Na primjer, evo kruga ispred nas:

Dato nam je to \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centar kruga. Polumjer kružnice je \(1.5\) . Potrebno je pronaći koordinate tačke \(P\) dobijene rotacijom tačke \(O\) za \(\delta \) stepeni.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \(x\) tačke \(P\) odgovara dužini segmenta \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dužina segmenta \(UK\) odgovara koordinati \(x\) centra kruga, odnosno jednaka je \(3\) . Dužina segmenta \(KQ\) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada imamo da je za tačku \(P\) koordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za tačku \(P\) . dakle,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Dakle, unutra opšti pogled koordinate tačaka određene su formulama:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), Gdje

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate centra kruga,

\(r\) - polumjer kružnice,

\(\delta \) - ugao rotacije vektorskog radijusa.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate centra jednake nuli, a radijus jednak jedan:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!

Instrukcije

Ako treba da nađete kosinus ugao u proizvoljnom trokutu, trebate koristiti kosinus teoremu:
ako je ugao oštar: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
ako ugao: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), gdje su a, b dužine stranica koje su susedne uglu, c je dužina stranice nasuprot uglu.

Koristan savjet

Matematička notacija kosinusa je cos.
Vrijednost kosinusa ne može biti veća od 1 i manja od -1.

Izvori:

• kako izračunati kosinus ugla
• Trigonometrijske funkcije na jediničnom krugu

Kosinus- ovo je osnovno trigonometrijska funkcija kutak. Sposobnost određivanja kosinusa je korisna u vektorskoj algebri kada se određuju projekcije vektora na različite ose.

Instrukcije

sos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Postoji trougao sa stranicama a, b, c jednakim 3, 4, 5 mm, respektivno.

Nađi kosinus ugao između većih stranica.

Označimo ugao nasuprot strani a sa ?, tada, prema gornjoj formuli, imamo:

sos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Odgovor: 0.8.

Ako je trokut pravougao, onda pronaći kosinus a za ugao je dovoljno znati dužine bilo koje dvije strane ( kosinus pravi ugao je 0).

Neka postoji pravougli trokut sa stranicama a, b, c, gdje je c hipotenuza.

Razmotrimo sve opcije:

Pronađite cos?, ako su poznate dužine stranica a i b (trougla).

Koristimo dodatno Pitagorinu teoremu:

sos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Da bismo osigurali da je rezultirajuća formula ispravna, zamjenjujemo je iz primjera 1, tj.

Nakon nekih osnovnih proračuna dobijamo:

Slično pronađeno kosinus u pravougaoniku trougao u drugim slučajevima:

Poznati a i c (hipotenuza i suprotnoj nozi), pronaći cos?

sos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(s?-a?+s?-a?)/(2*s*v(s?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Zamjenom vrijednosti a=3 i c=5 iz primjera dobijamo:

Poznati b i c (hipotenuza i susjedni krak).

Pronađite cos?

Nakon što smo izvršili slične transformacije (prikazane u primjerima 2 i 3), to smo dobili u ovom slučaju kosinus V trougao izračunati koristeći vrlo jednostavnu formulu:

Jednostavnost izvedene formule može se jednostavno objasniti: u stvari, pored ugla? krak je projekcija hipotenuze, njena dužina je jednaka dužini hipotenuze pomnoženoj sa cos?.

Zamjenom vrijednosti b=4 i c=5 iz prvog primjera dobijamo:

To znači da su sve naše formule tačne.

Savjet 5: Kako pronaći oštar ugao u pravokutnom trokutu

Direktno ugljični trougao je vjerovatno jedna od najpoznatijih, sa istorijske tačke gledišta, geometrijskih figura. Pitagorine "pantalone" mogu se takmičiti samo sa "Eurekom!" Arhimed.

Trebaće ti

• - crtanje trougla;
• - vladar;
• - kutomjer

Instrukcije

Zbir uglova trougla je 180 stepeni. U pravougaoniku trougao jedan ugao (prav) će uvek biti 90 stepeni, a ostali su oštri, tj. manje od 90 stepeni svaki. Odrediti koji je ugao u pravougaoniku trougao je ravan, pomoću ravnala izmjerite stranice trokuta i odredite najveću. To je hipotenuza (AB) i nalazi se nasuprot pravog ugla (C). Preostale dvije stranice čine pravi ugao i krake (AC, BC).

Kada odredite koji je ugao oštar, možete koristiti kutomjer da izračunate ugao koristeći matematičke formule.

Da biste odredili kut pomoću kutomjera, poravnajte njegov vrh (označimo ga slovom A) s posebnom oznakom na ravnalu u sredini kutomjera; krak AC treba da se poklapa s njegovom gornjom ivicom. Označite na polukružnom dijelu kutomjera tačku kroz koju prolazi hipotenuza AB. Vrijednost u ovoj tački odgovara kutu u stepenima. Ako su na kutomjeru naznačene 2 vrijednosti, tada za akutni ugao trebate odabrati manji, za tupi kut - veći.

Pronađite rezultujuću vrijednost u Bradisovim referentnim knjigama i odredite kojem kutu odgovara rezultirajuća numerička vrijednost. Naše bake su koristile ovu metodu.

U našem slučaju, dovoljno je uzeti sa računskom funkcijom trigonometrijske formule. Na primjer, ugrađeni Windows kalkulator. Pokrenite aplikaciju "Kalkulator", u stavci menija "Pregled" odaberite "Inženjering". Izračunajte sinus željenog ugla, na primjer, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Prebacite kalkulator na inverzne funkcije, klikom na dugme INV na displeju kalkulatora, zatim kliknite na dugme funkcije arcsinusa (označeno na displeju kao greh na minus prvi stepen). U prozoru za proračun će se pojaviti sljedeća poruka: asind (0,5) = 30. Tj. vrijednost željenog ugla je 30 stepeni.

Izvori:

• Bradis tabele (sinus, kosinus)

Kosinus teorema u matematici se najčešće koristi kada je potrebno pronaći treću stranu ugla i dvije stranice. Međutim, ponekad se uslov problema postavlja obrnuto: potrebno je pronaći ugao sa date tri strane.

Instrukcije

Zamislite da vam je dat trougao u kojem su poznate dužine dviju stranica i vrijednost jednog ugla. Svi uglovi ovog trokuta nisu međusobno jednaki, a njegove stranice su takođe različite veličine. Ugao γ leži nasuprot stranice trougla, označene AB, što je ova figura. Kroz ovaj ugao, kao i kroz preostale stranice AC i BC, možete pronaći stranu trokuta koja je nepoznata pomoću kosinus teoreme, izvodeći iz nje formulu prikazanu u nastavku:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, gdje je a=BC, b=AB, c=AC
Kosinusna teorema se inače naziva generalizirana Pitagorina teorema.

Sada zamislite da su sve tri strane figure date, ali je njen ugao γ nepoznat. Znajući da je oblik a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformirajte ovaj izraz tako da željena vrijednost postane ugao γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Zatim stavite gornju jednačinu u malo drugačiji oblik: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Ovaj izraz onda treba pretvoriti u onaj ispod: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Ostaje samo zamijeniti brojeve u formulu i izvršiti proračune.

Da bi se pronašao kosinus, označen γ, on se mora izraziti u terminima inverza trigonometrije, koji se naziva arc kosinus. Lučni kosinus broja m je vrijednost ugla γ za koji je kosinus ugla γ jednak m. Funkcija y=arccos m je opadajuća. Zamislite, na primjer, da je kosinus ugla γ jednak jednoj polovini. Tada se ugao γ može definirati kroz arc kosinus na sljedeći način:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, gdje je m = 1/2.
Na sličan način možete pronaći preostale uglove trokuta s druge dvije nepoznate stranice.

Sinus i kosinus su dvije trigonometrijske funkcije koje se nazivaju "direktne". Oni su ti koji se moraju kalkulirati češće od drugih, a za rješavanje ovog problema danas svako od nas ima popriličan izbor opcija. U nastavku su neke od njih jednostavne načine.

Instrukcije

Upotrijebite kutomjer, olovku i komad papira ako nema drugih načina izračunavanja. Jedna od definicija kosinusa data je u smislu oštrih uglova u pravokutnom trokutu - jednak je omjeru između dužine kraka nasuprot ovom kutu i dužine. Nacrtajte trokut u kojem je jedan od uglova pravi (90°), a drugi ugao koji želite izračunati. Dužina stranica nije bitna - nacrtajte ih na način koji vam je pogodniji za mjerenje. Izmjerite dužinu željene noge i hipotenuze i podijelite prvu sa drugom na bilo koji pogodan način.

Iskoristite vrijednost trigonometrijskih funkcija pomoću ugrađenog kalkulatora pretraživač Nigma, ako imate pristup internetu. Na primjer, ako trebate izračunati kosinus kuta od 20°, onda učitavanjem početna stranica usluge http://nigma.ru, upišite „kosinus 20“ u polje za pretragu i kliknite na dugme „Pronađi!“. Možete izostaviti "stepene" i zamijeniti riječ "kosinus" sa cos - u svakom slučaju, pretraživač će prikazati rezultat s tačnim 15 decimalnih mjesta (0,939692620785908).

Otvorite standardni program instaliran sa operativnim sistemom Windows sistem, ako nema pristupa internetu. To možete učiniti, na primjer, tako što ćete istovremeno pritisnuti tipke win i r, zatim unijeti komandu calc i kliknuti na dugme OK. Za izračunavanje trigonometrijskih funkcija, ovdje je sučelje koje se naziva "inženjerski" ili "znanstveni" (ovisno o verziji OS-a) - odaberite željenu stavku u odjeljku "Prikaz" izbornika kalkulatora. Nakon toga unesite vrijednost ugla i kliknite na dugme cos u interfejsu programa.

Video na temu

Savjet 8: Kako odrediti uglove u pravokutnom trokutu

Pravokutni karakteriziraju određeni odnosi između uglova i stranica. Znajući vrijednosti nekih od njih, možete izračunati druge. U tu svrhu koriste se formule, zasnovane, pak, na aksiomima i teoremama geometrije.

Kosinus je dobro poznata trigonometrijska funkcija, koja je također jedna od glavnih funkcija trigonometrije. Kosinus ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjedne stranice trokuta i hipotenuze trokuta. Najčešće je definicija kosinusa povezana s trokutom pravokutnog tipa. Ali takođe se dešava da se ugao za koji je potrebno izračunati kosinus u pravougaonom trokutu ne nalazi baš u ovom pravougaonom trokutu. Šta onda učiniti? Kako pronaći kosinus ugla trougla?

Ako trebate izračunati kosinus kuta u pravokutnom trokutu, onda je sve vrlo jednostavno. Samo trebate zapamtiti definiciju kosinusa, koja sadrži rješenje ovog problema. Samo trebate pronaći isti odnos između susjedna noga, kao i hipotenuzu trougla. Zaista, ovdje nije teško izraziti kosinus ugla. Formula je sljedeća: - cosα = a/c, ovdje je “a” dužina kateta, a stranica “c”, respektivno, je dužina hipotenuze. Na primjer, kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta može se naći pomoću ove formule.

Ako vas zanima koliko je kosinus kuta u proizvoljnom trokutu jednak, tada u pomoć dolazi kosinusna teorema koju vrijedi koristiti u takvim slučajevima. Teorema kosinusa kaže da je kvadrat stranice trokuta a priori jednak zbiru kvadrata preostalih stranica istog trokuta, ali bez udvostručavanja proizvoda ovih stranica kosinusom ugla koji se nalazi između njih.

1. Ako trebate pronaći kosinus oštrog ugla u trokutu, onda trebate koristiti sljedeću formulu: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Ako treba da pronađete kosinus tupog ugla u trokutu, onda treba da koristite sledeću formulu: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Oznake u formuli - a i b - su duljine stranica koje su susjedne željenom kutu, c - je dužina stranice koja je suprotna od željenog kuta.

Kosinus ugla se takođe može izračunati korišćenjem teoreme o sinusima. Kaže da su sve strane trokuta proporcionalne sinusima suprotnih uglova. Koristeći teoremu sinusa, možete izračunati preostale elemente trokuta, koji imaju informacije samo o dvije strane i kutu koji je suprotan jednoj strani, ili iz dva ugla i jedne strane. Razmotrite ovo na primjeru. Uslovi problema: a=1; b=2; c=3. Ugao koji je naspram stranice „A“ označava se sa α, tada, prema formulama, imamo: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Odgovor: 1.

Ako kosinus ugla treba izračunati ne u trokutu, već u nekom drugom proizvoljnom geometrijska figura, onda stvari postaju malo komplikovanije. Veličina ugla prvo se mora odrediti u radijanima ili stepenima, a tek onda se iz ove vrijednosti mora izračunati kosinus. Kosinus po numeričkoj vrijednosti se određuje korištenjem Bradisovih tablica, inženjerskih kalkulatora ili posebnih matematičkih aplikacija.

Posebne matematičke aplikacije mogu imati funkcije kao što je automatsko izračunavanje kosinusa uglova na određenoj slici. Ljepota ovakvih aplikacija je u tome što daju tačan odgovor, a korisnik ne gubi vrijeme rješavajući ponekad prilično složene probleme. S druge strane, stalnim korištenjem isključivo aplikacija za rješavanje zadataka, gube se sve vještine u radu na rješavanju matematičkih zadataka na pronalaženju kosinusa uglova u trouglovima, kao i drugih proizvoljnih figura.

Mislim da zaslužuješ više od ovoga. Evo mog ključa za trigonometriju:

• Nacrtajte kupolu, zid i plafon
• Trigonometrijske funkcije nisu ništa drugo do postotak ova tri oblika.

Metafora za sinus i kosinus: kupola

Umjesto da samo gledate same trokute, zamislite ih u akciji pronalaženjem konkretnog primjera iz stvarnog života.

Zamislite da ste u sredini kupole i želite da okačite platno za projektor. Uperite prst u kupolu pod određenim uglom „x“, a ekran bi trebao biti okačen sa ove tačke.

Ugao na koji pokazujete određuje:

• sinus(x) = sin(x) = visina ekrana (od poda do tačke montaže kupole)
• kosinus(x) = cos(x) = udaljenost od vas do ekrana (po spratu)
• hipotenuza, udaljenost od vas do vrha ekrana, uvijek ista, jednaka polumjeru kupole

Da li želite da ekran bude što veći? Okačite ga direktno iznad sebe.

Da li želite da ekran visi što dalje od vas? Objesite ga ravno okomito. Ekran će imati nultu visinu u ovoj poziciji i visiće najdalje, kao što ste tražili.

Visina i udaljenost od ekrana su obrnuto proporcionalni: što je ekran bliže, to je njegova visina veća.

Sinus i kosinus su procenti

Niko mi tokom godina studija, nažalost, nije objasnio da trigonometrijske funkcije sinus i kosinus nisu ništa drugo do procenti. Njihove vrijednosti se kreću od +100% do 0 do -100%, ili od pozitivnog maksimuma do nule do negativnog maksimuma.

Recimo da sam platio porez od 14 rubalja. Ne znaš koliko je to. Ali ako kažete da sam platio 95% poreza, shvatit ćete da su me jednostavno otjerali.

Apsolutna visina ne znači ništa. Ali ako je vrijednost sinusa 0,95, onda razumijem da televizor visi gotovo na vrhu vaše kupole. Vrlo brzo će stići maksimalna visina u centru kupole, a zatim ponovo počinje da opada.

Kako možemo izračunati ovaj procenat? Vrlo je jednostavno: podijelite trenutnu visinu ekrana sa maksimalno mogućim (radijus kupole, koji se također naziva hipotenuza).

Zbog toga rečeno nam je da je "kosinus = suprotna strana / hipotenuza." Sve je u interesovanju! Najbolje je definirati sinus kao “postotak trenutne visine od maksimalno mogućeg”. (Sinus postaje negativan ako vaš ugao pokazuje „pod zemljom“. Kosinus postaje negativan ako je ugao usmjeren prema tački kupole iza vas.)

Pojednostavimo proračune pretpostavkom da smo u centru jedinične kružnice (radijus = 1). Možemo preskočiti podjelu i samo uzeti sinus jednak visini.

Svaki krug je u suštini jedan krug, uvećan ili smanjen na željenu veličinu. Stoga odredite jedinične krugove i primijenite rezultate na vašu specifičnu veličinu kruga.

Eksperimentirajte: uzmite bilo koji ugao i vidite koji postotak visine i širine prikazuje:

Grafikon rasta vrijednosti sinusa nije samo ravna linija. Prvih 45 stepeni pokrivaju 70% visine, ali poslednjih 10 stepeni (od 80° do 90°) pokrivaju samo 2%.

Tako će vam biti jasnije: ako hodate u krugu, na 0° se dižete gotovo okomito, ali kako se približavate vrhu kupole, visina se sve manje mijenja.

Tangenta i sekansa. Zid

Jednog dana komšija je sagradio zid jedno pored drugog do vaše kupole. Plakao tvoj pogled sa prozora i dobra cijena za preprodaju!

Ali da li je u ovoj situaciji moguće nekako pobijediti?

Naravno da. Šta ako okačimo filmsko platno pravo na susjedov zid? Ciljate ugao (x) i dobijete:

• tan(x) = tan(x) = visina ekrana na zidu
• udaljenost od vas do zida: 1 (ovo je radijus vaše kupole, zid se nigdje ne pomiče od vas, zar ne?)
• secant(x) = sec(x) = "dužina merdevina" od vas koji stojite u centru kupole do vrha visećeg ekrana

Hajde da razjasnimo nekoliko stvari u vezi sa tangentom ili visinom ekrana.

• počinje od 0 i može ići beskonačno visoko. Možete rastegnuti ekran sve više i više na zidu kako biste stvorili beskonačno platno za gledanje vašeg omiljenog filma! (Za tako ogroman, naravno, morat ćete potrošiti mnogo novca).
• tangenta je samo veća verzija sinusa! I dok se povećanje sinusa usporava kako se krećete prema vrhu kupole, tangenta nastavlja rasti!

Sekansu takođe ima čime da se pohvali:

• Sekanta počinje od 1 (merdevine su na podu, od vas do zida) i počinje da se diže odatle
• Sekans je uvijek duži od tangente. Kose merdevine koje koristite za kačenje ekrana trebalo bi da budu duže od samog ekrana, zar ne? (Kod nerealnih veličina, kada je ekran jaaako dugačak i merdevine treba da budu postavljene skoro okomito, njihove veličine su skoro iste. Ali čak i tada će sekansa biti malo duža).

Zapamtite, vrijednosti jesu posto. Ako odlučite da okačite ekran pod uglom od 50 stepeni, tan(50)=1,19. Vaš ekran je 19% veći od udaljenosti do zida (radijus kupole).

(Unesite x=0 i provjerite svoju intuiciju - tan(0) = 0 i sec(0) = 1.)

Kotangens i kosekans. Plafon

Nevjerovatno, vaš komšija je sada odlučio da izgradi krov nad vašom kupolom. (Šta mu je? Očigledno ne želi da ga špijuniraš dok se gol šeta po dvorištu...)

Pa, vrijeme je da napravite izlaz na krov i razgovarate sa komšijom. Vi birate ugao nagiba i započinjete gradnju:

• okomito rastojanje između krovnog otvora i poda je uvijek 1 (polumjer kupole)
• kotangens(x) = cot(x) = rastojanje između vrha kupole i izlazne tačke
• kosekans(x) = csc(x) = dužina vašeg puta do krova

Tangenta i sekansa opisuju zid, a COtangenta i COsecant opisuju plafon.

Naši intuitivni zaključci ovoga puta slični su prethodnim:

• Ako uzmete ugao jednak 0°, vaš izlazak na krov će trajati zauvijek, jer nikada neće doći do stropa. Problem.
• Najkraće "merdevine" do krova će se dobiti ako ih izgradite pod uglom od 90 stepeni u odnosu na pod. Kotangens će biti jednak 0 (uopće se ne krećemo duž krova, izlazimo striktno okomito), a kosekans će biti jednak 1 ("dužina ljestvi" će biti minimalna).

Vizualizirajte veze

Ako su sva tri slučaja nacrtana u kombinaciji kupola-zid-plafon, rezultat će biti sljedeći:

Pa, to je i dalje isti trokut, uvećan do zida i stropa. Imamo vertikalne stranice (sinus, tangenta), horizontalne stranice (kosinus, kotangens) i “hipotenuze” (sekans, kosekans). (Po strelicama možete vidjeti gdje svaki element doseže. Kosekans je ukupna udaljenost od vas do krova).

Malo magije. Svi trouglovi dijele iste jednakosti:

Iz Pitagorine teoreme (a 2 + b 2 = c 2) vidimo kako su stranice svakog trougla povezane. Osim toga, omjer "visine i širine" također bi trebao biti isti za sve trouglove. (Jednostavno se pomaknite s najvećeg trougla na manji. Da, veličina se promijenila, ali proporcije stranica će ostati iste).

Znajući koja je strana u svakom trokutu jednaka 1 (poluprečnik kupole), lako možemo izračunati da je “sin/cos = tan/1”.

Uvek sam pokušavao da zapamtim ove činjenice kroz jednostavnu vizualizaciju. Na slici jasno vidite ove zavisnosti i razumete odakle dolaze. Ova tehnika je mnogo bolja od pamćenja suhih formula.

Ne zaboravite na druge uglove

Psst... Nemojte se zaglaviti na jednom grafikonu, misleći da je tangenta uvijek manja od 1. Ako povećate ugao, možete doći do stropa, a da ne stignete do zida:

Pitagorine veze uvijek rade, ali relativne veličine mogu varirati.

(Možda ste primijetili da su omjeri sinusa i kosinusa uvijek najmanji jer se nalaze unutar kupole).

Da rezimiramo: šta treba da zapamtimo?

Za većinu nas, rekao bih da će ovo biti dovoljno:

• trigonometrija objašnjava anatomiju matematičkih objekata kao što su krugovi i intervali koji se ponavljaju
• Analogija kupola/zid/krov pokazuje odnos između različitih trigonometrijskih funkcija
• Trigonometrijske funkcije rezultiraju u procentima, koje primjenjujemo na naš scenarij.

Ne morate pamtiti formule kao što su 1 2 + dječji krevetić 2 = csc 2 . Pogodni su samo za glupe testove u kojima se znanje o činjenici predstavlja kao njeno razumijevanje. Odvojite minutu da nacrtate polukrug u obliku kupole, zida i krova, označite elemente i sve formule će vam doći na papiru.

Primjena: Inverzne funkcije

Bilo koja trigonometrijska funkcija uzima kut kao ulazni parametar i vraća rezultat kao postotak. sin(30) = 0,5. To znači da ugao od 30 stepeni zauzima 50% maksimalne visine.

Inverzna trigonometrijska funkcija se zapisuje kao sin -1 ili arcsin. Asin se takođe često piše na različitim programskim jezicima.

Ako je naša visina 25% visine kupole, koliki je naš ugao?

U našoj tabeli proporcija možete pronaći omjer gdje je sekans podijeljen sa 1. Na primjer, sekans sa 1 (hipotenuza prema horizontali) bit će jednak 1 podijeljen s kosinusom:

Recimo da je naš sekans 3,5, tj. 350% poluprečnika jedinične kružnice. Kojem kutu nagiba prema zidu odgovara ova vrijednost?

Dodatak: Neki primjeri

Primjer: Pronađite sinus ugla x.

Dosadan zadatak. Zakomplikujmo banalno "pronađi sinus" na "Kolika je visina u postotku od maksimuma (hipotenuze)?"

Prvo, primijetite da je trokut rotiran. Nema ništa loše u tome. Trokut također ima visinu, na slici je označena zelenom bojom.

Čemu je jednaka hipotenuza? Prema Pitagorinoj teoremi, znamo da:

3 2 + 4 2 = hipotenuza 2 25 = hipotenuza 2 5 = hipotenuza

Fino! Sinus je procenat visine najduže stranice trougla ili hipotenuze. U našem primjeru, sinus je 3/5 ili 0,60.

Naravno, možemo ići na nekoliko načina. Sada znamo da je sinus 0,60, možemo jednostavno pronaći arksinus:

Asin(0,6)=36,9

Evo još jednog pristupa. Imajte na umu da je trokut "okrenut prema zidu", tako da možemo koristiti tangentu umjesto sinusa. Visina je 3, udaljenost od zida je 4, tako da je tangenta ¾ ili 75%. Možemo koristiti arktangens da se vratimo od vrijednosti procenta natrag do ugla:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Primjer: Hoćete li doplivati ​​do obale?

Nalazite se u čamcu i imate dovoljno goriva da putujete 2 km. Sada ste 0,25 km od obale. Pod kojim maksimalnim uglom prema obali možete doplivati ​​do nje da biste imali dovoljno goriva? Dodatak iskazu problema: imamo samo tabelu arc kosinusnih vrijednosti.

Šta imamo? obala može se predstaviti kao „zid“ u našem poznatom trokutu, a „dužina merdevina“ pričvršćenih za zid je najveća moguća udaljenost koju čamcem treba preći do obale (2 km). Pojavljuje se sekanta.

Prvo, morate ići na procente. Imamo 2 / 0,25 = 8, odnosno možemo preplivati ​​udaljenost koja je 8 puta veća od prave udaljenosti do obale (ili do zida).

Postavlja se pitanje: "Šta je sekans od 8?" Ali ne možemo odgovoriti na to, jer imamo samo lučni kosinus.

Koristimo naše prethodno izvedene zavisnosti da povežemo sekantu sa kosinusom: “sec/1 = 1/cos”

Sekans od 8 jednak je kosinusu od ⅛. Ugao čiji je kosinus ⅛ jednak je acos(1/8) = 82,8. A ovo je najveći kut koji možemo priuštiti na brodu s navedenom količinom goriva.

Nije loše, zar ne? Bez analogije kupola-zid-plafon, izgubio bih se u gomili formula i proračuna. Vizualizacija problema uvelike pojednostavljuje traženje rješenja, a zanimljivo je i vidjeti koja će trigonometrijska funkcija u konačnici pomoći.

Za svaki problem razmislite ovako: Da li me zanima kupola (sin/cos), zid (tan/sec) ili plafon (krevetac/csc)?

I trigonometrija će postati mnogo ugodnija. Jednostavne kalkulacije za vas!