Rješavanje eksponencijalnih jednačina. Primjeri. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Rješavanje eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta se desilo eksponencijalna jednačina? Ovo je jednadžba u kojoj su nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori nekoliko stepeni. I samo tamo! Važno je.

Tu ste primjeri eksponencijalne jednačine :

3 x 2 x = 8 x+3

Bilješka! U osnovama stepeni (ispod) - samo brojevi. IN indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa X. Ako se odjednom X pojavi u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:

ovo će biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješavanje eksponencijalnih jednačina u svom najčistijem obliku.

U stvari, čak i čiste eksponencijalne jednačine nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalnih jednačina koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su vrste koje ćemo razmotriti.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.

Prvo, riješimo nešto vrlo osnovno. Na primjer:

Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnom selekcijom je jasno da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nijedna druga vrijednost X ne radi. Pogledajmo sada rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Šta smo uradili? Zapravo smo ga samo bacili identične osnove(trojke). Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili nokat na glavi!

Zaista, ako u eksponencijalnoj jednačini postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojem stepenu, ovi brojevi se mogu ukloniti i eksponenti se mogu izjednačiti. Matematika dozvoljava. Ostaje riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Odlično, zar ne?)

Međutim, zapamtimo čvrsto: Možete ukloniti baze samo kada su brojevi baze s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih komšija i koeficijenata. Recimo u jednačinama:

2 x +2 x+1 = 2 3, ili

dvojke se ne mogu ukloniti!

Pa, savladali smo ono najvažnije. Kako preći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednačine.

"Takva su vremena!" - ti kažeš. “Ko bi održao tako primitivnu lekciju o testovima i ispitima!?”

Moram se složiti. Niko neće. Ali sada znate kamo ciljati kada rješavate škakljive primjere. Mora se dovesti u formu gdje je isti osnovni broj lijevo i desno. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasik matematike. Uzimamo originalni primjer i pretvaramo ga u željeni nas um. Po pravilima matematike, naravno.

Pogledajmo primjere koji zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Pozovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednačina, glavna pravila su akcije sa stepenom. Bez znanja o ovim radnjama ništa neće raditi.

Radnjama sa stepenom mora se dodati lično zapažanje i domišljatost. Da li su nam potrebni isti osnovni brojevi? Stoga ih tražimo u primjeru u eksplicitnom ili šifriranom obliku.

Da vidimo kako se to radi u praksi?

Neka nam se da primjer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi oštri pogled je na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vreme je da se toga setimo

Dva i osam su rođaci po stepenu.) Sasvim je moguće napisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ako se prisjetimo formule iz operacija sa stupnjevima:

(a n) m = a nm ,

ovo odlično funkcionira:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Originalni primjer je počeo izgledati ovako:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Mi prenosimo 2 3 (x+1) desno (niko nije otkazao elementarne operacije matematike!), dobijamo:

2 2x = 2 3(x+1)

To je praktično sve. Uklanjanje baza:

Riješimo ovo čudovište i dobijemo

Ovo je tačan odgovor.

U ovom primjeru, poznavanje moći dvojke nam je pomoglo. Mi identifikovan u osam je šifrovana dva. Ova tehnika (šifriranje zajedničkih osnova pod različiti brojevi) je vrlo popularna tehnika u eksponencijalnim jednačinama! Da, i u logaritmima. Morate znati prepoznati potencije drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Činjenica je da podizanje bilo kog broja na bilo koji stepen nije problem. Umnožite, čak i na papiru, i to je to. Na primjer, svako može podići 3 na peti stepen. 243 će ispasti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo češće nije potrebno podići na stepen, već obrnuto... Saznajte koji broj do kog stepena se krije iza broja 243, ili recimo 343... Tu vam nijedan kalkulator neće pomoći.

Morate znati moći nekih brojeva iz vida, zar ne... Hajde da vježbamo?

Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (naravno u neredu!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ako dobro pogledate, možete vidjeti čudna činjenica. Odgovora je znatno više nego zadataka! Pa, dešava se... Na primjer, 2 6, 4 3, 8 2 - to je sve 64.

Pretpostavimo da ste primili k znanju informacije o poznavanju brojeva.) Dozvolite mi da vas podsjetim i da za rješavanje eksponencijalnih jednačina koristimo sve zaliha matematičkog znanja. Uključujući i one iz mlađih i srednjih razreda. Nisi išao pravo u srednju školu, zar ne?)

Na primjer, kod rješavanja eksponencijalnih jednačina, stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada često pomaže (pozdrav 7. razredu!). Pogledajmo primjer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I opet, prvi pogled je na temelje! Osnove stepeni su različite... Tri i devet. Ali želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju želja je u potpunosti ispunjena!) Jer:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Koristeći ista pravila za postupanje sa diplomama:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Odlično, možete to zapisati:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Naveli smo primjer iz istih razloga. Dakle, šta je sljedeće!? Ne možete izbaciti trojke... Slepa ulica?

Ne sve. Zapamtite najuniverzalnije i najmoćnije pravilo odlučivanja svima matematički zadaci:

Ako ne znate šta vam treba, uradite šta možete!

Gledaj, sve će uspjeti).

Šta je u ovoj eksponencijalnoj jednačini Može učiniti? Da, na lijevoj strani samo moli da se izvuče iz zagrada! Ukupni množitelj od 3 2x to jasno nagoveštava. Hajde da probamo, pa cemo videti:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primjer postaje sve bolji i bolji!

Sjećamo se da nam je za eliminaciju osnova potreban čisti stepen, bez ikakvih koeficijenata. Broj 70 nam smeta. Dakle, podijelimo obje strane jednačine sa 70, dobićemo:

Ups! Sve je postalo bolje!

Ovo je konačan odgovor.

Dešava se, međutim, da se postigne taksiranje po istom osnovu, ali njihovo otklanjanje nije moguće. Ovo se dešava u drugim vrstama eksponencijalnih jednačina. Savladajmo ovu vrstu.

Zamjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Rešimo jednačinu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Prvo - kao i obično. Pređimo na jednu bazu. Za dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobijamo jednačinu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I ovdje se družimo. Prethodne tehnike neće raditi, bez obzira kako na to gledate. Morat ćemo izvući još jednu moćnu i univerzalnu metodu iz našeg arsenala. To se zove varijabilna zamjena.

Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju - 2 x) pišemo drugu, jednostavniju (na primjer - t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerojatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!

Pa neka

Tada je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

U našoj jednadžbi zamjenjujemo sve potencije sa x sa t:

Pa, da li ti je sinulo?) Jeste li već zaboravili kvadratne jednačine? Rješavajući preko diskriminanta, dobijamo:

Ovdje je najvažnije ne stati, kao što se dešava... Ovo još nije odgovor, treba nam x, a ne t. Vratimo se na X, tj. vršimo obrnutu zamjenu. Prvo za t 1:

To je,

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:

Hm... 2 x lijevo, 1 desno... Problem? Ne sve! Dovoljno je zapamtiti (iz operacija sa moćima, da...) da je jedinica bilo koji broj na nultu potenciju. Bilo koji. Šta god je potrebno, mi ćemo to instalirati. Treba nam dvojka. znači:

To je to sada. Imamo 2 korijena:

Ovo je odgovor.

At rješavanje eksponencijalnih jednačina na kraju ponekad završiš sa nekom vrstom neugodnog izraza. Vrsta:

Sedam se ne može pretvoriti u dva jednostavnom potencijom. Nisu rođaci... Kako da budemo? Neko će se možda zbuniti... Ali osoba koja je na ovom sajtu pročitala temu “Šta je logaritam?” , samo se štedljivo nasmiješi i čvrstom rukom zapiše apsolutno tačan odgovor:

Takav odgovor ne može biti u zadacima „B“ na Jedinstvenom državnom ispitu. Tamo je potreban određeni broj. Ali u zadacima "C" je lako.

Ova lekcija daje primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednačina. Istaknimo glavne tačke.

Praktični savjeti:

1. Prije svega, pogledamo osnove stepeni. Pitamo se da li je moguće da ih napravimo identičan. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem akcije sa stepenom. Ne zaboravite da se brojevi bez x-a također mogu pretvoriti u stepene!

2. Pokušavamo da eksponencijalnu jednačinu dovedemo u oblik kada se s lijeve i desne strane nalaze isto brojevi u bilo kojem stepenu. Koristimo akcije sa stepenom I faktorizacija. Ono što se može izbrojati u brojevima, mi brojimo.

3. Ako drugi savjet ne uspije, pokušajte koristiti promjenjivu zamjenu. Rezultat može biti jednačina koja se može lako riješiti. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.

4. Da biste uspješno riješili eksponencijalne jednačine, morate znati stepene nekih brojeva iz vida.

Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo odlučite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.

Riješite eksponencijalne jednadžbe:

Teže:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Pronađite proizvod korijena:

2 3 + 2 x = 9

Desilo se?

Pa, onda vrlo složen primjer (iako se može riješiti u mislima...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Šta je zanimljivije? Onda za tebe zao primjer. Prilično primamljivo za povećanu težinu. Dozvolite mi da nagovijestim da vas u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih problema.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Jednostavniji primjer, za opuštanje):

9 2 x - 4 3 x = 0

I za desert. Pronađite zbir korijena jednačine:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da da! Ovo je jednačina mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. Zašto ih razmatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednačine. Pa treba ti domišljatost... I neka ti pomogne sedmi razred (ovo je nagoveštaj!).

Odgovori (u neredu, odvojeni tačkom i zarezom):

1; 2; 3; 4; nema rješenja; 2; -2; -5; 4; 0.

Je li sve uspješno? Odlično.

Postoji problem? Nema problema! U Posebnom odjeljku 555, sve ove eksponencijalne jednadžbe su riješene sa detaljna objašnjenja. Šta, zašto i zašto. I, naravno, postoje dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednačina. Ne samo ove.)

Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji smo radili sa eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječi o ODZ-u? U jednačinama je ovo, inače, veoma važna stvar...

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Kvadratne jednadžbe.

Kvadratna jednadžba- algebarska jednačina opšteg oblika

gdje je x slobodna varijabla,

a, b, c su koeficijenti i

Izraz nazvan kvadratni trinom.

Metode rješavanja kvadratnih jednačina.

1. METODA : Faktoriranje lijeve strane jednačine.

Hajde da riješimo jednačinu x 2 + 10x - 24 = 0. Faktorizujmo lijevu stranu:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Dakle, jednačina se može prepisati na sljedeći način:

(x + 12)(x - 2) = 0

Pošto je proizvod jednak nuli, onda je barem jedan od njegovih faktora jednaka nuli. Stoga, lijeva strana jednačine postaje nula u x = 2, kao i kada x = - 12. To znači da je broj 2 I - 12 su korijeni jednadžbe x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODA : Metoda za odabir cijelog kvadrata.

Hajde da riješimo jednačinu x 2 + 6x - 7 = 0. Odaberite na lijevoj strani savršen kvadrat.

Da bismo to učinili, zapisujemo izraz x 2 + 6x u sljedećem obliku:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

U rezultirajućem izrazu, prvi član je kvadrat broja x, a drugi je dvostruki umnožak x sa 3. Dakle, da biste dobili potpun kvadrat, morate dodati 3 2, jer

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Transformirajmo sada lijevu stranu jednačine

x 2 + 6x - 7 = 0,

dodajući mu i oduzimajući 3 2. Imamo:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Dakle, ova jednačina se može napisati na sljedeći način:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

dakle, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, ili x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODA :Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću formule.

Pomnožimo obje strane jednačine

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

na 4a i redom imamo:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Primjeri.

A) Rešimo jednačinu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dva različita korijena;

Dakle, u slučaju pozitivnog diskriminanta, tj. at

b 2 - 4ac >0, jednadžba ax 2 + bx + c = 0 ima dva različita korijena.

b) Rešimo jednačinu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, jedan korijen;

Dakle, ako je diskriminant nula, tj. b 2 - 4ac = 0, zatim jednadžba

ax 2 + bx + c = 0 ima jedan korijen

V) Rešimo jednačinu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Ova jednadžba nema korijen.

Dakle, ako je diskriminant negativan, tj. b 2 - 4ac< 0 , jednadžba

ax 2 + bx + c = 0 nema korena.

Formula (1) korijena kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0 omogućava vam da pronađete korijene bilo koji kvadratna jednačina (ako postoji), uključujući redukovanu i nepotpunu. Formula (1) se izražava verbalno na sljedeći način: korijeni kvadratne jednadžbe jednaki su razlomku čiji je brojilac jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, plus minus kvadratni korijen kvadrata ovog koeficijenta bez četverostrukog umnoška prvog koeficijenta slobodnim članom, i imenilac je dvostruki od prvog koeficijenta.

4. METODA: Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Kao što je poznato, redukovana kvadratna jednačina ima oblik

x 2 + px + c = 0.(1)

Njegovi korijeni zadovoljavaju Vietin teorem, koji, kada a =1 izgleda kao

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - str

Iz ovoga možemo izvući sljedeće zaključke (iz koeficijenata p i q možemo predvidjeti predznake korijena).

a) Ako je polučlan q data jednadžba (1) je pozitivna ( q > 0), tada jednačina ima dva korijena predznaka jednakosti i to ovisi o drugom koeficijentu str. Ako R< 0 , tada su oba korijena negativna ako R< 0 , tada su oba korijena pozitivna.

Na primjer,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 I x 2 = 1, jer q = 2 > 0 I p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 I x 2 = - 1, jer q = 7 > 0 I p= 8 > 0.

b) Ako je slobodan član q data jednadžba (1) je negativna ( q< 0 ), tada jednadžba ima dva korijena različitog predznaka, a veći korijen će biti pozitivan ako str< 0 , ili negativan if p > 0 .

Na primjer,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 I x 2 = 1, jer q= - 5< 0 I p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 I x 2 = - 1, jer q = - 9< 0 I p = - 8< 0.

Primjeri.

1) Hajde da riješimo jednačinu 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Rješenje. Jer a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), To

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Odgovor: 1; -208/345.

2) Riješite jednačinu 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Rješenje. Jer a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), To

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Odgovor: 1; 115/132.

B. Ako je drugi koeficijent b = 2k– čak broj, zatim korijen formula

Primjer.

Hajde da riješimo jednačinu 3x2 - 14x + 16 = 0.

Rješenje. Imamo: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, dva različita korijena;

Odgovor: 2; 8/3

IN. Redukovana jednačina

x 2 + px + q= 0

poklapa se sa opštom jednačinom u kojoj a = 1, b = p I c = q. Prema tome, za redukovanu kvadratnu jednadžbu, korijenska formula je

Uzima formu:

Formula (3) je posebno pogodna za upotrebu kada R- čak broj.

Primjer. Hajde da riješimo jednačinu x 2 – 14x – 15 = 0.

Rješenje. Imamo: x 1,2 =7±

Odgovor: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METODA: Grafičko rješavanje jednačina.

Primjer. Riješite jednačinu x2 - 2x - 3 = 0.

Nacrtajmo funkciju y = x2 - 2x - 3

1) Imamo: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. To znači da je vrh parabole tačka (1; -4), a osa parabole prava linija x = 1.

2) Uzmite dvije tačke na x-osi koje su simetrične oko ose parabole, na primjer tačke x = -1 i x = 3.

Imamo f(-1) = f(3) = 0. Konstruirajmo tačke (-1; 0) i (3; 0) na koordinatnoj ravni.

3) Kroz tačke (-1; 0), (1; -4), (3; 0) crtamo parabolu (Sl. 68).

Koreni jednačine x2 - 2x - 3 = 0 su apscise tačaka preseka parabole sa x-osom; To znači da su korijeni jednačine: x1 = - 1, x2 - 3.

Instrukcije

Metoda zamjene Izrazite jednu varijablu i zamijenite je drugom jednačinom. Možete izraziti bilo koju varijablu po svom nahođenju. Na primjer, izrazite y iz druge jednačine:
x-y=2 => y=x-2 Zatim sve zamijenite u prvu jednačinu:
2x+(x-2)=10 Premjestite sve bez "x" na desnu stranu i izračunajte:
2x+x=10+2
3x=12 Zatim, da dobijete x, podijelite obje strane jednadžbe sa 3:
x=4 Dakle, pronašli ste “x. Pronađite "y. Da biste to učinili, zamijenite "x" u jednačinu iz koje ste izrazili "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Proveri. Da biste to učinili, zamijenite rezultirajuće vrijednosti u jednadžbe:
2*4+2=10
4-2=2
Nepoznate su tačno pronađene!

Način sabiranja ili oduzimanja jednačina Odmah se riješite bilo koje varijable. U našem slučaju, to je lakše uraditi sa „y.
Pošto se u "y" nalazi znak "+", a u drugom "-", onda možete izvršiti operaciju sabiranja, tj. preklopite lijevu stranu lijevom, a desnu desnom:
2x+y+(x-y)=10+2Pretvori:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Zamijenite “x” u bilo koju jednačinu i pronađite “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Prvom metodom možete vidjeti da su pronađeni ispravno.

Ako nema jasno definisanih varijabli, onda je potrebno malo transformisati jednačine.
U prvoj jednačini imamo “2x”, au drugoj jednostavno “x”. Da bi se x smanjio tokom sabiranja, pomnožite drugu jednačinu sa 2:
x-y=2
2x-2y=4 Zatim oduzmite drugu od prve jednačine:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Imajte na umu da ako postoji minus ispred zagrade, onda ga nakon otvaranja promijenite u suprotno:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
naći y=2x izražavanjem iz bilo koje jednačine, tj.
x=4

Video na temu

Savjet 2: Kako riješiti linearnu jednačinu u dvije varijable

Jednačina, napisan u opštem obliku ax+bu+c=0, naziva se linearna jednačina sa dva varijable. Takva jednačina sama po sebi sadrži beskonačan broj rješenja, pa se u zadacima uvijek dopunjava nečim - drugom jednačinom ili graničnim uvjetima. U zavisnosti od uslova koje daje zadatak, rešiti linearnu jednačinu sa dva varijable trebalo bi Različiti putevi.

Trebaće ti

• - linearna jednačina sa dvije varijable;
• - druga jednačina ili dodatni uslovi.

Instrukcije

Dat sistem od dvije linearne jednačine, riješite ga na sljedeći način. Odaberite jednu od jednačina u kojima su koeficijenti varijable manji i izraziti jednu od varijabli, na primjer, x. Zatim ovu vrijednost koja sadrži y zamijenite drugom jednačinom. U rezultirajućoj jednačini postojat će samo jedna varijabla y, pomjeriti sve dijelove sa y na lijevu stranu, a slobodne na desnu. Nađite y i zamijenite bilo koju od originalnih jednačina da biste pronašli x.

Postoji još jedan način da se reši sistem od dve jednačine. Pomnožite jednu od jednadžbi brojem tako da koeficijent jedne od varijabli, kao što je x, bude isti u obje jednačine. Zatim oduzmite jednu od jednadžbi od druge (ako desna strana nije jednaka 0, ne zaboravite da oduzmete desnu stranu na isti način). Vidjet ćete da je varijabla x nestala i da je ostala samo jedna varijabla y. Riješite rezultirajuću jednačinu i zamijenite pronađenu vrijednost y u bilo koju od originalnih jednakosti. Pronađite x.

Treći način rješavanja sistema od dvije linearne jednačine je grafički. Nacrtajte koordinatni sistem i nacrtajte dvije prave linije čije su jednačine date u vašem sistemu. Da biste to učinili, zamijenite bilo koje dvije vrijednosti x u jednadžbu i pronađite odgovarajući y - to će biti koordinate tačaka koje pripadaju pravoj. Najprikladniji način da pronađete sjecište s koordinatnim osa je jednostavno zamijeniti vrijednosti x=0 i y=0. Koordinate tačke preseka ove dve linije biće zadaci.

Ako postoji samo jedna linearna jednačina u uslovima problema, onda su vam dati dodatni uslovi kroz koje možete pronaći rješenje. Pažljivo pročitajte problem da pronađete ove uslove. Ako varijable x i y označavaju udaljenost, brzinu, težinu - slobodno postavite granicu x≥0 i y≥0. Sasvim je moguće da x ili y skrivaju broj jabuka itd. – tada vrijednosti mogu biti samo . Ako je x godina sina, jasno je da on ne može biti stariji od oca, pa to navedite u uslovima zadatka.

Izvori:

• kako riješiti jednačinu sa jednom promjenljivom

Samo po sebi jednačina sa tri nepoznato ima mnogo rješenja, pa se najčešće dopunjava sa još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome koji su početni podaci, uvelike će zavisiti i tok odluke.

Trebaće ti

• - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Instrukcije

Ako dva od tri sistema imaju samo dvije od tri nepoznate, pokušajte izraziti neke varijable u terminima ostalih i zamijeniti ih u jednačina sa tri nepoznato. Vaš cilj u ovom slučaju je da ga pretvorite u normalu jednačina sa nepoznatom osobom. Ako je ovo , dalje rješenje je prilično jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednadžbe i pronađite sve ostale nepoznanice.

Neki sistemi jednačina mogu se oduzeti od jedne jednačine drugom. Pogledajte da li je moguće pomnožiti jednu od ili varijablu tako da se dvije nepoznate ponište odjednom. Ako postoji takva prilika, iskoristite je; najvjerovatnije, naknadno rješenje neće biti teško. Zapamtite da kada množite brojem, morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Isto tako, kada oduzimate jednačine, morate zapamtiti da se desna strana također mora oduzeti.

Ako prethodne metode nisu pomogle, koristite na opšti način rješenja bilo koje jednačine sa tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednačine u obliku a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sada kreirajte matricu koeficijenata za x (A), matricu nepoznanica (X) i matricu slobodnih (B). Imajte na umu da množenjem matrice koeficijenata sa matricom nepoznatih, dobit ćete matricu slobodnih termina, odnosno A*X=B.

Pronađite matricu A na stepen (-1) tako što ćete prvo pronaći , imajte na umu da ona ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga, pomnožite rezultirajuću matricu sa matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.

Također možete pronaći rješenje za sistem od tri jednačine koristeći Cramerovu metodu. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara sistemskoj matrici. Zatim sukcesivno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih termina umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Izvori:

• rješenja jednadžbi sa tri nepoznanice

Rješavanje sistema jednačina je izazovno i uzbudljivo. Što je sistem složeniji, to je zanimljivije za rješavanje. Najčešće u matematici srednja škola postoje sistemi jednačina sa dve nepoznate, ali u višu matematiku može postojati više varijabli. Sistemi se mogu riješiti korištenjem nekoliko metoda.

Instrukcije

Najčešća metoda za rješavanje sistema jednačina je supstitucija. Da biste to učinili, trebate izraziti jednu varijablu u terminima druge i zamijeniti je drugom jednačina sistema, čime se vodi jednačina na jednu varijablu. Na primjer, date su sljedeće jednačine: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Iz drugog izraza zgodno je izraziti jednu od varijabli, pomjerajući sve ostalo na desnu stranu izraza, ne zaboravljajući promijeniti predznak koeficijenta: x = 3-y.

Otvorite zagrade: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Rezultirajuću vrijednost y zamjenjujemo u izraz: x=3-y;x=3-1;x=2 .

U prvom izrazu, svi članovi su 2, možete uzeti 2 iz zagrade na distributivno svojstvo množenja: 2*(2x-y-3)=0. Sada se oba dijela izraza mogu smanjiti za ovaj broj, a zatim izraziti kao y, pošto je koeficijent modula za njega jednak jedan: -y = 3-2x ili y = 2x-3.

Kao iu prvom slučaju, ovaj izraz zamjenjujemo drugim jednačina i dobijamo: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Rezultirajuću vrijednost zamijenimo u izraz: y=2x -3;y=4-3=1.

Vidimo da je koeficijent za y isti po vrijednosti, ali različit po predznaku, stoga, ako dodamo ove jednačine, potpuno ćemo se riješiti y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0;x=2.Zamijenite vrijednost x u bilo koju od dvije jednačine sistema i dobijete y=1.

Video na temu

Biquadratic jednačina predstavlja jednačinačetvrti stepen, opšti oblik koji je predstavljen izrazom ax^4 + bx^2 + c = 0. Njegovo rješenje se zasniva na korištenju metode zamjene nepoznatih. U ovom slučaju, x^2 se zamjenjuje drugom promjenljivom. Dakle, rezultat je običan kvadrat jednačina, što treba riješiti.

Instrukcije

Riješite kvadrat jednačina, koji je rezultat zamjene. Da biste to učinili, prvo izračunajte vrijednost u skladu sa formulom: D = b^2? 4ac. U ovom slučaju, varijable a, b, c su koeficijenti naše jednačine.

Pronađite korijene bikvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, uzmite kvadratni korijen dobivenih rješenja. Ako je bilo jedno rješenje, onda će biti dva - pozitivna i negativno značenje kvadratni korijen. Ako postoje dva rješenja, bikvadratna jednačina će imati četiri korijena.

Video na temu

Jedan od klasične metode rješavanje sistema linearnih jednačina je Gaussova metoda. Sastoji se u sekvencijalnom eliminisanju varijabli, kada se sistem jednačina pomoću jednostavnih transformacija transformiše u postupni sistem, iz kojeg se sekvencijalno pronalaze sve varijable, počevši od poslednjih.

Instrukcije

Prvo, dovedite sistem jednačina u oblik u kojem su sve nepoznanice u strogo definisanom redosledu. Na primjer, svi nepoznati X će se pojaviti prvi u svakoj liniji, svi Y će doći nakon X, svi Z će doći nakon Y, itd. Na desnoj strani svake jednačine ne bi trebalo biti nepoznanica. Mentalno odredite koeficijente ispred svake nepoznate, kao i koeficijente na desnoj strani svake jednačine.

Aplikacija

Rješavanje bilo koje vrste jednačina online na sajtu za studente i školsku djecu za konsolidaciju proučenog materijala. Rješavanje jednačina online. Jednačine online. Postoje algebarske, parametarske, transcendentalne, funkcionalne, diferencijalne i druge vrste jednadžbi. Neke klase jednadžbi imaju analitička rješenja, koja su zgodna jer ne samo da daju tačnu vrijednost korijena, već i omogućavaju da rješenje zapišete u formulu, koja može uključivati ​​parametre. Analitički izrazi omogućavaju ne samo izračunavanje korijena, već i analizu njihovog postojanja i količine u zavisnosti od vrijednosti parametara, što je često čak i važnije za praktična primjena, nego specifične vrijednosti korijena. Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Rješavanje jednadžbe je zadatak pronalaženja takvih vrijednosti argumenata pri kojima se ova jednakost postiže. Mogućim vrijednostima argumenata se mogu nametnuti dodatni uvjeti (cijeli, realni, itd.). Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Jednadžbinu možete riješiti online odmah i s velikom preciznošću rezultata. Argumenti specificiranih funkcija (ponekad se nazivaju "varijable") u slučaju jednačine nazivaju se "nepoznatima". Vrijednosti nepoznanica kod kojih se ova jednakost postiže nazivaju se rješenjima ili korijenima ove jednadžbe. Kaže se da korijeni zadovoljavaju ovu jednačinu. Rješavanje jednadžbe online znači pronalaženje skupa svih njenih rješenja (korijena) ili dokazivanje da nema korijena. Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Jednačine čiji se skupovi korijena poklapaju nazivaju se ekvivalentne ili jednake. Jednačine koje nemaju korijen se također smatraju ekvivalentnim. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo simetrije: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, onda je druga jednačina ekvivalentna prvoj. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo tranzitivnosti: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, a druga je ekvivalentna trećoj, tada je prva jednačina ekvivalentna trećoj. Svojstvo ekvivalencije jednačina omogućava nam da s njima provodimo transformacije na kojima se zasnivaju metode za njihovo rješavanje. Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Stranica će vam omogućiti da riješite jednačinu na mreži. Jednačine za koje su poznata analitička rješenja uključuju algebarske jednačine ne veće od četvrtog stepena: linearne jednačine, kvadratne jednačine, kubne jednačine i jednačine četvrtog stepena. Algebarske jednadžbe U opštem slučaju, jednačine viših stupnjeva nemaju analitička rješenja, iako se neke od njih mogu svesti na jednačine nižih stupnjeva. Jednačine koje uključuju transcendentalne funkcije nazivaju se transcendentalne. Među njima su nekima poznata analitička rješenja trigonometrijske jednačine, od nula trigonometrijske funkcije dobro poznat. U opštem slučaju, kada se analitičko rešenje ne može naći, koriste se numeričke metode. Numeričke metode ne daju tačno rješenje, već samo omogućavaju da se interval u kojem leži korijen suzi na određenu unaprijed određenu vrijednost. Rješavanje jednačina na mreži.. Jednačine online.. Umjesto jednačine na mreži, zamislit ćemo kako se formira isti izraz linearna zavisnost i to ne samo duž prave tangente, već i na samoj tački fleksije grafa. Ova metoda je neophodna u svakom trenutku u proučavanju predmeta. Često se dešava da se rješavanje jednačina približava konačnoj vrijednosti korištenjem beskonačnih brojeva i pisanjem vektora. Potrebno je provjeriti početne podatke i to je suština zadatka. U suprotnom, lokalni uvjet se pretvara u formulu. Inverzija duž prave linije od datu funkciju, koji će kalkulator jednadžbe izračunati bez mnogo kašnjenja u izvršenju, pomak će biti serviran privilegijom prostora. Razgovaraćemo o uspjehu studenata u naučnom okruženju. Međutim, kao i sve gore navedeno, pomoći će nam u procesu pronalaženja i kada u potpunosti riješite jednadžbu, pohraniti rezultirajući odgovor na krajeve pravocrtnog segmenta. Prave u prostoru seku se u tački i ova tačka se naziva presečena linijama. Interval na liniji je naznačen kao što je prethodno navedeno. Najviše radno mjesto za studij matematike će biti objavljeno. Dodjeljivanje vrijednosti argumenta iz parametarski specificirane površine i rješavanje jednadžbe na mreži će moći ocrtati principe produktivnog pristupa funkciji. Möbiusova traka, ili beskonačnost kako je zovu, izgleda kao osmica. Ovo je jednostrana površina, a ne dvostrana. Po principu opšte poznatom, mi ćemo objektivno prihvatiti linearne jednačine za osnovnu oznaku kakva jeste iu oblasti studija. Samo dvije vrijednosti sekvencijalno datih argumenata mogu otkriti smjer vektora. Pod pretpostavkom da je drugo rješenje onlajn jednačina mnogo više od samog rješavanja znači dobivanje punopravne verzije invarijante kao rezultat. Bez integriranog pristupa učenicima je teško naučiti ovo gradivo. Kao i do sada, za svaki poseban slučaj, naš zgodan i pametan online kalkulator jednadžbi pomoći će svima u teškim vremenima, jer samo trebate navesti ulazne parametre i sistem će sam izračunati odgovor. Prije nego počnemo unositi podatke, trebat će nam alat za unos, što se može učiniti bez većih poteškoća. Broj svake procjene odgovora će dovesti do kvadratne jednadžbe za naše zaključke, ali to nije tako lako učiniti, jer je lako dokazati suprotno. Teorija, zbog svojih karakteristika, nije potkrijepljena praktičnim znanjem. Videti kalkulator razlomaka u fazi objavljivanja odgovora nije lak zadatak u matematici, jer alternativa pisanja broja na skupu pomaže da se poveća rast funkcije. Međutim, ne bi bilo korektno ne govoriti o obuci studenata, pa ćemo svako reći onoliko koliko treba. Prethodno pronađena kubična jednačina će s pravom pripadati domenu definicije i sadržavati prostor numeričkih vrijednosti, kao i simboličke varijable. Nakon što su naučili ili zapamtili teoremu, naši učenici će se pokazati samo najbolje što mogu, a mi ćemo im se radovati. Za razliku od višestrukih ukrštanja polja, naše online jednadžbe su opisane ravninom kretanja množenjem dvije i tri numeričke kombinovane linije. Skup u matematici nije jednoznačno definisan. Najbolje rješenje, po mišljenju studenata, je potpuno snimanje izraza. Kako je rečeno naučnim jezikom, apstrakcija simboličkih izraza ne ulazi u stanje stvari, ali rješenje jednačina daje nedvosmislen rezultat u svim poznati slučajevi. Trajanje nastave nastavnika zavisi od potreba za ovim prijedlogom. Analiza je pokazala neophodnost svih računskih tehnika u mnogim oblastima, te je apsolutno jasno da je kalkulator jednačina nezaobilazan alat u darovitim rukama učenika. Lojalan pristup proučavanju matematike određuje važnost pogleda iz različitih pravaca. Želite da identifikujete jednu od ključnih teorema i na taj način rešite jednačinu, u zavisnosti od čijeg odgovora će biti dalja potreba za njenom primenom. Analitika u ovoj oblasti dobija na zamahu. Krenimo od početka i izvedimo formulu. Nakon probijanja nivoa povećanja funkcije, linija duž tangente u točki fleksije sigurno će dovesti do činjenice da će rješavanje jednadžbe na mreži biti jedan od glavnih aspekata u konstruiranju tog istog grafa iz argumenta funkcije. Amaterski pristup ima pravo da se primeni ako ovaj uslov nije u suprotnosti sa zaključcima učenika. Upravo podzadatak stavlja analizu matematičkih uslova kao linearnih jednačina u postojeći domen definicije objekta koji se stavlja u drugi plan. Pomak u smjeru ortogonalnosti obostrano smanjuje prednost lone apsolutna vrijednost. Modulo rješavanje jednadžbi na mreži daje isti broj rješenja ako otvorite zagrade prvo znakom plus, a zatim znakom minus. U ovom slučaju bit će dvostruko više rješenja, a rezultat će biti precizniji. Stabilan i ispravan online kalkulator jednačina je uspjeh u postizanju ciljanog cilja u zadatku koji je postavio nastavnik. Obavezna metodačini se da je moguće izabrati zbog značajnih razlika u stavovima velikih naučnika. Rezultirajuća kvadratna jednačina opisuje krivulju linija, takozvanu parabolu, a znak će odrediti njenu konveksnost u kvadratnom koordinatnom sistemu. Iz jednadžbe dobijamo i diskriminanta i same korijene prema Vietinoj teoremi. Prvi korak je da izraz predstavite kao pravilan ili nepravilan razlomak i koristite kalkulator razlomaka. Ovisno o tome, formirat će se plan za naše dalje proračune. Matematika sa teorijskim pristupom će biti korisna u svakoj fazi. Rezultat ćemo svakako predstaviti kao kubnu jednačinu, jer ćemo u ovom izrazu sakriti njegove korijene kako bismo studentu na fakultetu pojednostavili zadatak. Bilo koja metoda je dobra ako je prikladna za površnu analizu. Extra aritmetičke operacije neće dovesti do grešaka u proračunu. Određuje odgovor sa zadatom tačnošću. Koristeći rješenje jednačina, da se suočimo s tim - pronalaženje nezavisne varijable date funkcije nije tako lako, posebno tokom perioda proučavanja paralelnih pravih u beskonačnosti. S obzirom na izuzetak, potreba je vrlo očigledna. Razlika u polaritetu je jasna. Iz iskustva predaje na institutima, naš učitelj je učio glavna lekcija, u kojem su jednačine proučavane online u punom matematičkom smislu. Ovdje je riječ o većim naporima i posebnim vještinama u primjeni teorije. U prilog našim zaključcima, ne treba gledati kroz prizmu. Do nedavno se vjerovalo da se zatvoreni skup brzo povećava u cijelom regionu kakav jeste i da rješenje jednačina jednostavno treba istražiti. U prvoj fazi nismo sve uzeli u obzir moguće opcije, ali je ovaj pristup opravdaniji nego ikad. Dodatne radnje sa zagradama opravdavaju neke pomake duž ose ordinate i apscise, što se ne može promaći golim okom. U smislu ekstenzivnog proporcionalnog povećanja funkcije, postoji tačka pregiba. Još jednom ćemo dokazati kako neophodno stanje primjenjivat će se u cijelom intervalu opadanja jednog ili drugog silaznog položaja vektora. U skučenom prostoru, izabraćemo varijablu iz početnog bloka naše skripte. Sistem konstruisan kao osnova duž tri vektora odgovoran je za odsustvo glavnog momenta sile. Međutim, kalkulator jednačina je generirao i pomogao u pronalaženju svih članova konstruirane jednačine, kako iznad površine tako i duž paralelnih linija. Nacrtajmo krug oko početne tačke. Tako ćemo se početi kretati prema gore duž linija presjeka, a tangenta će opisivati ​​krug cijelom njegovom dužinom, što će rezultirati krivom koja se zove evolventa. Uzgred, hajde da ispričamo malo istorije o ovoj krivulji. Činjenica je da historijski u matematici nije postojao koncept same matematike u njenom čistom razumijevanju kakvo je danas. Ranije su svi naučnici bili angažovani na jednom zajedničkom zadatku, odnosno nauci. Kasnije, nekoliko vekova kasnije, kada naučni svet ispunjeno kolosalnom količinom informacija, čovječanstvo je još uvijek identificiralo mnoge discipline. I dalje ostaju nepromijenjeni. Pa ipak, svake godine naučnici širom sveta pokušavaju da dokažu da je nauka neograničena, i nećete rešiti jednačinu ako nemate znanje o prirodnim naukama. Možda neće biti moguće tome konačno stati na kraj. Razmišljanje o ovome je besmisleno kao i zagrijavanje zraka napolju. Nađimo interval u kojem će argument, ako je njegova vrijednost pozitivna, odrediti modul vrijednosti u naglo rastućem smjeru. Reakcija će vam pomoći da pronađete najmanje tri rješenja, ali ćete ih morati provjeriti. Počnimo s činjenicom da trebamo riješiti jednadžbu na mreži koristeći jedinstvenu uslugu naše web stranice. Hajde da predstavimo oba dela zadata jednačina, kliknite na dugme “SOLVE” i dobićete tačan odgovor u roku od samo nekoliko sekundi. IN posebnim slučajevima Uzmimo knjigu o matematici i još jednom provjerimo naš odgovor, naime, samo pogledaj odgovor i sve će postati jasno. Izletjet će isti projekt za umjetni redundantni paralelepiped. Postoji paralelogram sa svojim paralelnim stranama, i on objašnjava mnoge principe i pristupe proučavanju prostornog odnosa uzlaznog procesa akumulacije šupljeg prostora u formulama prirodnog oblika. Dvosmislene linearne jednadžbe pokazuju ovisnost željene varijable od naše zajedničke ovog trenutka vremensko rješenje i morate nekako izvesti i svesti nepravilan razlomak na netrivijalan slučaj. Označite deset tačaka na pravoj liniji i nacrtajte krivu kroz svaku tačku u datom pravcu, sa konveksnom tačkom nagore. Bez posebnih poteškoća, naš kalkulator jednačina će prikazati izraz u takvom obliku da će njegova provjera valjanosti pravila biti očigledna već na početku snimanja. Sistem specijalnih reprezentacija stabilnosti za matematičare je na prvom mestu, osim ako formulom nije drugačije predviđeno. Na ovo ćemo odgovoriti detaljnim prikazom izvještaja na temu izomorfnog stanja plastičnog sistema tijela i rješavanjem jednačina na mreži će opisati kretanje svake materijalne tačke u ovom sistemu. Na nivou dubinskog istraživanja biće potrebno detaljno razjasniti pitanje inverzija barem donjeg sloja prostora. Primjenjivat ćemo se u rastućem redoslijedu na dijelu diskontinuiteta funkcije opšta metoda odličan istraživač, inače, naš sunarodnik, a o ponašanju aviona ćemo u nastavku. Zbog jakih karakteristika analitički definisane funkcije, koristimo samo online kalkulator jednačina za njegovu namenu u okviru izvedenih granica ovlašćenja. Rezonirajući dalje, fokusiraćemo se na homogenost same jednačine, odnosno njena desna strana je jednaka nuli. Uvjerimo se još jednom da je naša odluka iz matematike ispravna. Da ne bismo dobili trivijalno rješenje, napravimo neke prilagodbe početni uslovi na problem uslovne stabilnosti sistema. Napravimo kvadratnu jednadžbu za koju ćemo ispisati dva unosa koristeći dobro poznatu formulu i pronaći negativne korijene. Ako je jedan korijen pet jedinica veći od drugog i trećeg korijena, onda mijenjanjem glavnog argumenta na taj način iskrivljujemo početne uvjete podzadatka. Po samoj svojoj prirodi, nešto neobično u matematici se uvijek može opisati do stote. pozitivan broj. Kalkulator razlomaka je nekoliko puta bolji od svojih analoga na sličnim resursima u najboljem trenutku opterećenja servera. Na površini vektora brzine koji raste duž ordinatne ose, nacrtamo sedam linija, savijenih u smjerovima suprotnim jedna od druge. Promjerljivost dodijeljenog argumenta funkcije je ispred očitavanja brojača salda oporavka. U matematici ovu pojavu možemo predstaviti kroz kubnu jednačinu sa imaginarnim koeficijentima, kao i u bipolarnoj progresiji opadajućih linija. Kritične tačke temperaturne razlike u mnogim značenjima i progresijama opisuju proces razlaganja složene frakcijske funkcije na faktore. Ako vam se kaže da riješite jednačinu, nemojte žuriti da to učinite odmah, svakako prvo procijenite cijeli akcioni plan, pa tek onda zauzmite pravi pristup. Sigurno će biti koristi. Lakoća rada je očigledna, a isto važi i za matematiku. Riješite jednačinu na mreži. Sve online jednadžbe predstavljaju određenu vrstu zapisa brojeva ili parametara i varijable koju treba odrediti. Izračunajte baš ovu varijablu, odnosno pronađite određene vrijednosti ili intervale skupa vrijednosti na kojima će se zadržati identitet. Početni i konačni uslovi direktno zavise. IN zajednička odluka Jednačine obično uključuju neke varijable i konstante, postavljanjem kojih ćemo dobiti čitave porodice rješenja za dati iskaz problema. Općenito, to opravdava napore uložene u povećanje funkcionalnosti prostorne kocke sa stranom od 100 centimetara. Teoremu ili lemu možete primijeniti u bilo kojoj fazi konstruiranja odgovora. Stranica postupno proizvodi kalkulator jednadžbi, ako je potrebno, na bilo kojem intervalu zbrajanja proizvoda. najmanju vrijednost. U polovini slučajeva takva lopta, budući da je šuplja, više ne ispunjava uslove za postavljanje međuodgovora. Barem na ordinatnoj osi u smjeru opadajuće vektorske reprezentacije, ova proporcija će nesumnjivo biti optimalnija od prethodnog izraza. U času kada linearne funkcije biće izvršena kompletna tačkasta analiza, mi ćemo, zapravo, spojiti sve naše kompleksne brojeve i bipolarne planarne prostore. Zamjenom varijable u rezultirajući izraz, rješavat ćete jednačinu korak po korak i dati najdetaljniji odgovor s velikom preciznošću. Bilo bi dobro da učenik još jednom provjeri svoje postupke u matematici. Proporcija u omjeru frakcija bilježi integritet rezultata u svim važnim područjima aktivnosti nultog vektora. Trivijalnost se potvrđuje na kraju izvršenih radnji. Sa jednostavnim zadatkom, učenici možda neće imati poteškoća ako u najkraćem mogućem roku riješe jednadžbu online, ali ne zaboravite na sva različita pravila. Skup podskupova se siječe u području konvergentne notacije. U različitim slučajevima, proizvod nije pogrešno faktoriziran. Pomoći će vam da riješite jednačinu na mreži u našem prvom dijelu, posvećenom osnovama matematičke tehnike za važne sekcije za studente na univerzitetima i tehničkim fakultetima. Na odgovore nećemo morati čekati nekoliko dana, jer je proces najbolje interakcije vektorske analize sa sekvencijalnim pronalaženjem rješenja patentiran početkom prošlog stoljeća. Ispostavilo se da napori da se uspostavi odnos sa timom u okruženju nisu bili uzaludni, već je očito prvo bilo potrebno nešto drugo. Nekoliko generacija kasnije, naučnici širom svijeta su uvjerili ljude da je matematika kraljica nauka. Bilo da se radi o lijevom ili desnom odgovoru, svejedno, iscrpni pojmovi moraju biti napisani u tri reda, jer ćemo u našem slučaju svakako govoriti samo o vektorskoj analizi svojstava matrice. Nelinearne i linearne jednadžbe, uz bikvadratne jednadžbe, zauzimaju posebno mjesto u našoj knjizi o najbolje prakse izračunavanje putanje kretanja u prostoru svih materijalne tačke zatvoreni sistem. Linearna analiza skalarnog proizvoda tri uzastopna vektora pomoći će nam da ideju oživimo. Na kraju svake naredbe, zadatak je olakšan implementacijom optimiziranih numeričkih izuzetaka preko preklapanja brojevnog prostora koji se izvode. Drugačiji sud neće suprotstaviti pronađeni odgovor u proizvoljnom obliku trougla u krugu. Ugao između dva vektora sadrži potreban postotak margine, a rješavanje jednačina na mreži često otkriva određeni zajednički korijen jednačine za razliku od početnih uslova. Izuzetak igra ulogu katalizatora u cijelom neizbježnom procesu pronalaženja pozitivnog rješenja na polju definiranja funkcije. Ako nije rečeno da ne možete koristiti računar, onda je online kalkulator jednadžbi baš pravi za vaše teške probleme. Vi samo trebate unijeti svoje uslovne podatke u ispravnom formatu i naš server će u najkraćem mogućem roku dati potpuni rezultat. Eksponencijalna funkcija raste mnogo brže od linearnog. O tome svjedoče Talmudi pametne bibliotečke literature. Izvršiće proračun u opštem smislu kao što bi radila data kvadratna jednačina sa tri kompleksna koeficijenta. Parabola u gornjem dijelu poluravnine karakterizira pravolinijsko paralelno kretanje duž osi tačke. Ovdje je vrijedno spomenuti potencijalnu razliku u radnom prostoru tijela. U zamjenu za suboptimalan rezultat, naš kalkulator razlomaka s pravom zauzima prvo mjesto u matematičkoj ocjeni pregleda funkcionalnih programa na strani servera. Lakoću korišćenja ove usluge će ceniti milioni korisnika interneta. Ako ne znate kako da ga koristite, rado ćemo vam pomoći. Također bismo posebno istakli i istakli kubnu jednačinu iz niza osnovnoškolskih zadataka, kada je potrebno brzo pronaći njene korijene i konstruirati graf funkcije na ravni. Viši stepeni reprodukcija je jedan od složenih matematičkih problema na institutu i za njegovo proučavanje se izdvaja dovoljan broj sati. Kao i sve linearne jednadžbe, ni naša nije izuzetak prema mnogim objektivnim pravilima; gledajte iz različitih gledišta, a ispostavilo se da je jednostavna i dovoljna za postavljanje početnih uslova. Interval porasta se poklapa sa intervalom konveksnosti funkcije. Rješavanje jednadžbi na mreži. Proučavanje teorije je bazirano na onlajn jednadžbi iz brojnih sekcija o proučavanju glavne discipline. U slučaju ovakvog pristupa u neizvjesnim problemima, vrlo je jednostavno predstaviti rješenje jednačina u unaprijed određenom obliku i ne samo izvući zaključke, već i predvidjeti ishod takvog pozitivnog rješenja. Usluga u najboljoj tradiciji matematike pomoći će nam da naučimo predmetnu oblast, baš kao što je to uobičajeno na Istoku. U najboljim trenucima vremenskog intervala, slični zadaci su pomnoženi zajedničkim faktorom deset. Obilje množenja višestrukih varijabli u kalkulatoru jednačina počelo je da se množi kvalitetom, a ne kvantitativnim varijablama kao što su masa ili tjelesna težina. Kako bismo izbjegli slučajeve neravnoteže materijalnog sistema, izvođenje trodimenzionalnog transformatora na trivijalnoj konvergenciji nedegeneriranih matematičkih matrica nam je sasvim očigledno. Dovršite zadatak i riješite jednačinu u datim koordinatama, budući da je zaključak unaprijed nepoznat, kao i sve varijable uključene u postprostorno vrijeme. Za kratko vrijeme pomaknite zajednički faktor iz zagrada i unaprijed podijelite obje strane najvećim zajedničkim faktorom. Ispod rezultirajućeg pokrivenog podskupa brojeva izvucite na detaljan način trideset tri tačke za redom u kratak period. Do te mjere da na najbolji mogući način Rješavanje jednadžbe putem interneta moguće je za svakog učenika. Gledajući unaprijed, recimo jednu važnu ali ključnu stvar bez koje će se teško živjeti u budućnosti. U prošlom veku, veliki naučnik je uočio niz obrazaca u teoriji matematike. U praksi, rezultat nije bio sasvim očekivani utisak o događajima. Međutim, u principu, upravo ovo rješenje jednačina na mreži pomaže u poboljšanju razumijevanja i percepcije holističkog pristupa proučavanju i praktičnoj konsolidaciji teorijskog materijala koji studenti obrađuju. Mnogo je lakše to učiniti tokom studiranja.

=

Ciljevi:

1. Sistematizovati i generalizovati znanja i vještine na temu: Rješenja jednačina trećeg i četvrtog stepena.
2. Produbite svoje znanje ispunjavanjem niza zadataka, od kojih su neki nepoznati ni po vrsti ni po načinu rješavanja.
3. Formiranje interesovanja za matematiku kroz izučavanje novih poglavlja matematike, negovanje grafičke kulture kroz izradu grafova jednačina.

Vrsta lekcije: kombinovani.

Oprema: grafički projektor.

Vidljivost: tabela "Vieteova teorema".

Tokom nastave

1. Usmeno brojanje

a) Koliki je ostatak kada se polinom p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 podijeli binomom x-a?

b) Koliko korijena može imati kubna jednačina?

c) Kako rješavamo jednačine trećeg i četvrtog stepena?

d) Ako je b paran broj u kvadratnoj jednačini, kolika je onda vrijednost D i x 1; x 2

2. Samostalan rad(u grupama)

Napišite jednačinu ako su korijeni poznati (odgovori na zadatke su kodirani) koristi se "Vietina teorema"

1 grupa

Korijeni: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

Napravite jednačinu:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(ovu jednačinu tada rješava grupa 2 na ploči)

Rješenje . Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja 36.

r = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Broj 1 zadovoljava jednačinu, stoga je =1 korijen jednačine. Prema Hornerovoj šemi

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

Odgovor: 1;-2;-3;6 zbir korijena 2 (P)

2. grupa

Korijeni: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5

Napravite jednačinu:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (grupa 3 rješava ovu jednačinu na ploči)

r = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

r 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5

Odgovor: -1;2;2;5 zbir korijena 8(P)

3 grupa

Korijeni: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3

Napravite jednačinu:

V=-1+1-2+3=1;V=-1

s=-1+2-3-2+3-6=-7;s=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(grupa 4 rješava ovu jednačinu kasnije na ploči)

Rješenje. Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja 6.

r = ±1;±2;±3;±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

r 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3

Odgovor: -1;1;-2;3 Zbir korijena 1(O)

4 grupa

Korijeni: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

Napravite jednačinu:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; s=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(ovu jednačinu tada rješava grupa 5 na ploči)

Rješenje. Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja -36

r = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Odgovor: -2; -2; -3; 3 Zbir korijena-4 (F)

5 grupa

Korijeni: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

Napišite jednačinu

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ovu jednačinu tada rješava grupa 6 na ploči)

Rješenje . Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja 24.

r = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Odgovor: -1;-2;-3;-4 zbroj-10 (I)

6 grupa

Korijeni: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

Napišite jednačinu

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (ovu jednačinu tada rješava grupa 1 na ploči)

Rješenje . Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja -24.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Odgovor: 1;1;-3;8 zbir 7 (L)

3. Rješavanje jednadžbi s parametrom

1. Riješite jednačinu x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; ako je jedan od korijena jednak (-1)

Odgovor napišite rastućim redoslijedom

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Po uslovu x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Odgovor: - 1; -5; 3

Uzlazno: -5;-1;3. (b N S)

2. Naći sve korijene polinoma x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, ako su ostaci od njegove podjele na binome x-1 i x +2 jednaki.

Rješenje: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Napišite jednačinu

1 grupa. Korijeni: -4; -2; 1; 7;

2. grupa. Korijeni: -3; -2; 1; 2;

3 grupa. Korijeni: -1; 2; 6; 10;

4 grupa. Korijeni: -3; 2; 2; 5;

5 grupa. Korijeni: -5; -2; 2; 4;

6 grupa. Korijeni: -8; -2; 6; 7.