Kako izračunati aritmetički prosjek. Izračunavanje pomoću čarobnjaka za funkcije. Prosječna godišnja proizvodnja gotovih proizvoda

Prosječna vrijednost je najvrednija sa analitičke tačke gledišta i univerzalni oblik izražavanja za statističke pokazatelje. Najčešći prosjek - aritmetički prosjek - ima niz matematičkih svojstava koja se mogu koristiti u njegovom izračunavanju. Istovremeno, prilikom izračunavanja određenog prosjeka uvijek je preporučljivo osloniti se na njegovu logičku formulu, a to je omjer volumena atributa i obima populacije. Za svaki prosjek postoji samo jedan pravi početni odnos, čija implementacija, ovisno o dostupnim podacima, može zahtijevati raznih oblika prosjek. Međutim, u svim slučajevima kada priroda vrijednosti koja se prosječuje podrazumijeva prisustvo pondera, nemoguće je koristiti njihove neponderisane formule umjesto ponderiranih prosječnih formula.

Prosječna vrijednost je najkarakterističnija vrijednost atributa za populaciju i veličina atributa populacije raspoređena u jednakim udjelima između jedinica populacije.

Karakteristika za koju se izračunava prosječna vrijednost se zove u prosjeku .

Prosječna vrijednost je indikator izračunat poređenjem apsolutnih ili relativnih vrijednosti. Prosječna vrijednost je označena

Prosječna vrijednost odražava uticaj svih faktora koji utiču na pojavu koja se proučava i za njih je rezultanta. Drugim riječima, gaseći pojedinačna odstupanja i eliminirajući utjecaj slučajeva, prosječna vrijednost, koja odražava opću mjeru rezultata ove akcije, djeluje kao opći obrazac fenomena koji se proučava.

Uslovi za korištenje prosječnih vrijednosti:

Ø homogenost populacije koja se proučava. Ako neki elementi populacije podložni utjecaju slučajnog faktora imaju vrijednosti karakteristike koje se proučavaju koje se značajno razlikuju od ostalih, onda će ti elementi utjecati na veličinu prosjeka za ovu populaciju. U ovom slučaju, prosjek neće izraziti najtipičniju vrijednost atributa za populaciju. Ako je fenomen koji se proučava heterogen, potrebno je podijeliti ga na grupe koje sadrže homogene elemente. U ovom slučaju se računaju grupni proseci – grupni proseci, koji izražavaju najkarakterističniju vrednost pojave u svakoj grupi, a zatim se računa ukupna prosečna vrednost za sve elemente koji karakterišu pojavu u celini. Izračunava se kao prosjek grupnih prosjeka, ponderiranih brojem elemenata populacije uključenih u svaku grupu;

Ø dovoljan broj jedinica ukupno;

Ø maksimalne i minimalne vrijednosti karakteristike u populaciji koja se proučava.

Prosječna vrijednost (indikator)je generalizovana kvantitativna karakteristika karakteristike u sistematskom agregatu u specifičnim uslovima mesta i vremena.

U statistici se koriste sljedeći oblici (vrste) prosjeka, koji se nazivaju moćni i strukturni:

Ø aritmetička sredina(jednostavno i ponderisano);

jednostavno

Prosječne vrijednosti se široko koriste u statistici. Prosječne vrijednosti karakteriziraju kvalitativne pokazatelje komercijalne djelatnosti: troškove distribucije, profit, profitabilnost itd.

Prosjek - Ovo je jedna od uobičajenih tehnika generalizacije. Pravilno razumijevanje suštine prosjeka određuje njegov poseban značaj u tržišnoj ekonomiji, kada nam prosjek, kroz individualni i slučajni, omogućava da identifikujemo opšte i neophodno, da identifikujemo trend obrazaca ekonomskog razvoja.

prosječna vrijednost - ovo su opšti pokazatelji u kojima se izražavaju akcije opšti uslovi, obrasci fenomena koji se proučava.

Statistički prosjeci se izračunavaju na osnovu masovnih podataka iz pravilno statistički organizovanog posmatranja mase (kontinuirano i selektivno). Međutim, statistički prosjek će biti objektivan i tipičan ako se izračuna iz masovnih podataka za kvalitativno homogenu populaciju (masovne pojave). Na primjer, ako izračunate prosječnu platu u zadrugama i državnim preduzećima, a rezultat proširite na cjelokupno stanovništvo, onda je prosjek fiktivan, jer se računa za heterogenu populaciju i takav prosjek gubi svaki smisao.

Uz pomoć prosjeka izglađuju se razlike u vrijednosti neke karakteristike koje iz ovog ili onog razloga nastaju u pojedinim jedinicama posmatranja.

Na primjer, prosječna produktivnost prodavača zavisi od više razloga: kvalifikacije, dužina radnog staža, godine, oblik usluge, zdravlje itd.

Prosječan učinak odražava opću imovinu cjelokupne populacije.

Prosječna vrijednost je odraz vrijednosti karakteristike koja se proučava, stoga se mjeri u istoj dimenziji kao i ova karakteristika.

Svaka prosječna vrijednost karakterizira populaciju koja se proučava prema bilo kojoj osobini. Da bi se postiglo potpuno i sveobuhvatno razumijevanje populacije koja se proučava prema nizu bitnih karakteristika, općenito je potrebno imati sistem prosječnih vrijednosti koji može opisati fenomen iz različitih uglova.

Postoje različiti proseci:

aritmetička sredina;

geometrijska sredina;

harmonijska sredina;

srednji kvadrat;

prosečan hronološki.

Pogledajmo neke vrste prosjeka koji se najčešće koriste u statistici.

Aritmetička sredina

Prosta aritmetička sredina (neponderisana) jednaka je zbroju pojedinačnih vrijednosti atributa podijeljenom sa brojem ovih vrijednosti.

Pojedinačne vrijednosti karakteristike nazivaju se varijantama i označavaju se sa x(); broj jedinica stanovništva je označen sa n, prosečna vrednost karakteristike je označena sa . Stoga je aritmetička prosta sredina jednaka:

Prema podacima serije diskretnih distribucija, jasno je da se iste karakteristične vrijednosti (varijante) ponavljaju više puta. Dakle, opcija x se pojavljuje ukupno 2 puta, a opcija x 16 puta, itd.

Broj identičnih vrijednosti karakteristike u seriji distribucije naziva se frekvencija ili težina i označava se simbolom n.

Izračunajmo prosječnu platu jednog radnika u rub.:

Fond zarada za svaku grupu radnika jednak je proizvodu opcija i učestalosti, a zbir ovih proizvoda daje ukupan platni fond svih radnika.

U skladu s tim, proračuni se mogu predstaviti u opštem obliku:

Rezultirajuća formula naziva se ponderirana aritmetička sredina.

Kao rezultat obrade, statistički materijal se može prikazati ne samo u obliku diskretnih serija distribucije, već iu obliku intervalnih varijacionih serija sa zatvorenim ili otvorenim intervalima.

Prosjek za grupisane podatke izračunava se korištenjem formule ponderiranog aritmetičkog prosjeka:

U praksi ekonomske statistike ponekad je potrebno izračunati prosjek korištenjem grupnih prosjeka ili prosjeka pojedinih dijelova populacije (parcijalni prosjek). U takvim slučajevima, grupni ili privatni prosjeci se uzimaju kao opcije (x), na osnovu kojih se ukupni prosjek izračunava kao obični ponderirani aritmetički prosjek.

Osnovna svojstva aritmetičke sredine .

Aritmetička sredina ima niz svojstava:

1. Od smanjenja ili povećanja frekvencije svake vrijednosti karakteristike x za n puta vrijednost aritmetička sredina Neće se promijeniti.

Ako se sve frekvencije podijele ili pomnože sa bilo kojim brojem, prosječna vrijednost se neće promijeniti.

2. Zajednički množitelj pojedinačnih vrijednosti karakteristike može se uzeti izvan predznaka prosjeka:

3. Prosek zbira (razlike) dve ili više veličina jednak je zbiru (razlici) njihovih proseka:

4. Ako je x = c, gdje je c konstantna vrijednost, onda
.

5. Zbir odstupanja vrijednosti atributa X od aritmetičke sredine x jednak je nuli:

Harmonična sredina.

Uz aritmetičku sredinu, statistika koristi harmonijsku sredinu, inverznu aritmetičku sredinu inverznih vrijednosti atributa. Kao i aritmetička sredina, može biti jednostavna i ponderirana.

Karakteristike varijacionih serija, zajedno sa prosecima, su mod i medijan.

Moda - to je vrijednost karakteristike (varijante) koja se najčešće ponavlja u populaciji koja se proučava. Za diskretne distributivne serije, mod će biti vrijednost varijante s najvećom frekvencijom.

Za nizove intervalne distribucije sa jednakim intervalima, mod se određuje formulom:

Gdje
- početna vrijednost intervala koji sadrži mod;

- vrijednost modalnog intervala;

- frekvencija modalnog intervala;

- učestalost intervala koji prethodi modalnom;

- učestalost intervala koji slijedi nakon modalnog.

Medijan - ovo je opcija koja se nalazi u sredini serije varijacija. Ako je serija distribucije diskretna i ima neparan brojčlanova, tada će medijan biti opcija koja se nalazi u sredini uređenog niza (uređeni niz je raspored jedinica stanovništva u rastućem ili opadajućem redoslijedu).

Karakteristike jedinica statističkih agregata su različite po svom značenju, na primjer, plate radnika u istoj profesiji preduzeća nisu iste za isti vremenski period, tržišne cijene za iste proizvode, prinosi usjeva u okrugu farme itd. Stoga, kako bi se odredila vrijednost karakteristike koja je karakteristična za cjelokupnu populaciju jedinica koje se proučavaju, izračunavaju se prosječne vrijednosti.
prosječna vrijednost – ovo je generalizirajuća karakteristika skupa pojedinačnih vrijednosti neke kvantitativne karakteristike.

Populacija koja se proučava na kvantitativnoj osnovi sastoji se od individualnih vrijednosti; oni su pod uticajem uobičajeni razlozi, dakle individualni uslovi. U prosječnoj vrijednosti poništavaju se odstupanja karakteristična za pojedinačne vrijednosti. Prosjek, kao funkcija skupa pojedinačnih vrijednosti, predstavlja cijeli agregat sa jednom vrijednošću i odražava ono što je zajedničko svim njegovim jedinicama.

Prosjek izračunat za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica naziva se tipičan prosek. Na primjer, možete izračunati prosječnu mjesečnu platu zaposlenika određene profesionalne grupe (rudar, doktor, bibliotekar). Naravno, nivoi mjesečnih zarada rudara, zbog razlika u njihovim kvalifikacijama, stažu, mjesečnom radu i mnogim drugim faktorima, razlikuju se jedni od drugih i od nivoa prosječne plate. Međutim, prosječni nivo odražava glavne faktore koji utiču na visinu zarada, a razlike koje nastaju zbog individualnih karakteristika zaposlenog se poništavaju. Prosječna plata odražava tipičan nivo naknade za datu vrstu radnika. Dobijanju tipičnog prosjeka treba prethoditi analiza koliko je kvalitativno homogena data populacija. Ako se cjelina sastoji od pojedinačnih dijelova, treba je podijeliti u tipične grupe ( prosječna temperatura po bolnici).

Zovu se prosječne vrijednosti koje se koriste kao karakteristike za heterogene populacije sistemske proseke. Na primjer, prosječna vrijednost bruto domaćeg proizvoda (BDP) po stanovniku, prosječna vrijednost potrošnje različitih grupa dobara po osobi i druge slične vrijednosti koje predstavljaju opšte karakteristike države kao jedinstvenog ekonomskog sistema.

Prosjek se mora izračunati za populacije koje se sastoje od dovoljno velikog broja jedinica. Poštivanje ovog uslova je neophodno da bi zakon stupio na snagu veliki brojevi, kao rezultat toga slučajna odstupanja pojedinačnih vrijednosti od opšti trend poništavaju jedno drugo.

Vrste prosjeka i metode za njihovo izračunavanje

Izbor vrste prosjeka određen je ekonomskim sadržajem određenog indikatora i izvornim podacima. Međutim, svaka prosječna vrijednost mora biti izračunata tako da se, kada zamijeni svaku varijantu prosječne karakteristike, ne promijeni konačna, generalizirajuća ili, kako se to obično naziva. indikator definicije, što je povezano sa prosječnim indikatorom. Na primjer, prilikom zamjene stvarnih brzina na pojedinim dionicama rute, oni prosječna brzina ukupna udaljenost koju je vozilo prešlo u isto vrijeme ne bi se trebalo mijenjati; prilikom zamjene stvarnih plata individualni radnici srednja preduzeća plate Fond zarada ne bi trebalo da se menja. Shodno tome, u svakom konkretnom slučaju, u zavisnosti od prirode dostupnih podataka, postoji samo jedna prava prosečna vrednost indikatora koja je adekvatna svojstvima i suštini socio-ekonomskog fenomena koji se proučava.
Najčešće korištene su aritmetička sredina, harmonijska sredina, geometrijska sredina, kvadratna sredina i kubična sredina.
Navedeni prosjeci pripadaju klasi smireno proseci i kombinovani su opštom formulom:
,
gdje je prosječna vrijednost karakteristike koja se proučava;
m – indeks prosječnog stepena;
– trenutna vrijednost (varijanta) karakteristike koja se prosječuje;
n – broj karakteristika.
U zavisnosti od vrednosti eksponenta m razlikuju se sledeće vrste proseka snage:
kada je m = -1 – harmonijska sredina;
pri m = 0 – geometrijska sredina;
za m = 1 – aritmetička sredina;
za m = 2 – srednji kvadrat;
pri m = 3 – prosječna kubna.
Kada koristite iste početne podatke, veći je eksponent m u gornjoj formuli, the više vrijednosti prosječne veličine:
.
Ovo svojstvo proseka stepena da raste sa povećanjem eksponenta funkcije koja definiše naziva se pravilo većine prosjeka.
Svaki od označenih prosjeka može imati dva oblika: jednostavno I ponderisano.
Jednostavna srednja forma koristi se kada se prosjek izračunava iz primarnih (negrupisanih) podataka. Ponderisana forma– pri izračunavanju prosjeka na osnovu sekundarnih (grupisanih) podataka.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina se koristi kada je obim populacije zbir svih pojedinačnih vrijednosti različite karakteristike. Treba napomenuti da ako tip prosjeka nije specificiran, pretpostavlja se aritmetički prosjek. Njegova logična formula izgleda ovako:

Jednostavna aritmetička sredina izračunati na osnovu negrupisanih podataka prema formuli:
ili ,
gdje su pojedinačne vrijednosti karakteristike;
j – serijski broj jedinica posmatranja, koju karakteriše vrednost ;
N – broj jedinica posmatranja (volumen populacije).
Primjer. Na predavanju „Sažetak i grupisanje statističkih podataka“ ispitani su rezultati posmatranja radnog iskustva tima od 10 ljudi. Izračunajmo prosječno radno iskustvo radnika tima. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Koristeći formulu jednostavne aritmetičke sredine, također možemo izračunati proseci u hronološkim serijama, ako su vremenski intervali za koje su prikazane karakteristične vrijednosti jednaki.
Primjer. Volume prodati proizvodi za prvi kvartal iznosio je 47 den. jedinica, za drugu 54, za treću 65 i za četvrtu 58 den. jedinice Prosečan kvartalni promet je (47+54+65+58)/4 = 56 den. jedinice
Ako se trenutni pokazatelji daju u hronološkom nizu, tada se pri izračunavanju prosjeka zamjenjuju polovičnim zbrojima vrijednosti na početku i na kraju perioda.
Ako postoji više od dva momenta i intervali između njih su jednaki, onda se prosjek izračunava pomoću formule za prosječnu hronologiju

,
gdje je n broj vremenskih tačaka
U slučaju kada su podaci grupirani po karakterističnim vrijednostima (tj. konstruiran je diskretni varijacioni niz raspodjele) sa ponderisan aritmetički prosek izračunato pomoću frekvencija ili učestalosti opažanja specifičnih vrijednosti karakteristike, čiji je broj (k) značajan manji broj zapažanja (N) .
,
,
gdje je k broj grupa varijacionih serija,
i – broj grupe varijacione serije.
Budući da , a , dobijamo formule koje se koriste za praktične proračune:
I
Primjer. Izračunajmo prosječan staž radnih timova u grupisanom redu.
a) korištenjem frekvencija:

b) korišćenjem frekvencija:

U slučaju kada su podaci grupirani po intervalima , tj. prikazani su u obliku intervalnih serija raspodjele, pri izračunavanju aritmetičke sredine kao vrijednost atributa uzima se sredina intervala, na osnovu pretpostavke o ravnomjernoj raspodjeli jedinica populacije u datom intervalu. Izračun se vrši pomoću formula:
I
gdje je sredina intervala: ,
gde su i donja i gornja granica intervala (pod uslovom da se gornja granica datog intervala poklapa sa donjom granicom sledećeg intervala).

Primjer. Izračunajmo aritmetičku sredinu intervalnih varijacionih serija konstruisanih na osnovu rezultata studije godišnjih zarada 30 radnika (videti predavanje „Sažetak i grupisanje statističkih podataka“).
Tabela 1 – Raspodjela serije intervalnih varijacija.

Intervali, UAH	Učestalost, ljudi	frekvencija,	Sredina intervala
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH ili UAH
Aritmetičke sredine izračunate na osnovu izvornih podataka i nizova varijacija intervala možda se neće podudarati zbog neravnomjerne raspodjele vrijednosti atributa unutar intervala. U ovom slučaju, za preciznije izračunavanje ponderisane aritmetičke sredine, treba koristiti ne sredine intervala, već jednostavne aritmetičke sredine izračunate za svaku grupu ( grupni proseci). Prosjek izračunat iz grupnih sredstava korištenjem ponderirane formule izračuna se poziva opšti prosek.
Aritmetička sredina ima niz svojstava.
1. Zbir odstupanja od prosječne opcije je nula:
.
2. Ako se sve vrijednosti opcije povećaju ili smanje za iznos A, tada se prosječna vrijednost povećava ili smanjuje za isti iznos A:

3. Ako se svaka opcija poveća ili smanji za B puta, tada će se i prosječna vrijednost povećati ili smanjiti za isti broj puta:
ili
4. Zbir proizvoda opcije po frekvencijama jednak je proizvodu prosječne vrijednosti zbirom frekvencija:

5. Ako se sve frekvencije podijele ili pomnože sa bilo kojim brojem, tada se aritmetička sredina neće promijeniti:

6) ako su u svim intervalima frekvencije jednake jedna drugoj, onda je ponderisana aritmetička sredina jednaka jednostavnoj aritmetičkoj sredini:
,
gdje je k broj grupa varijacione serije.

Korištenje svojstava prosjeka omogućava vam da pojednostavite njegovo izračunavanje.
Pretpostavimo da su sve opcije (x) prvo smanjene za isti broj A, a zatim smanjene za faktor B. Najveće pojednostavljenje se postiže kada se vrednost sredine intervala sa najvećom frekvencijom odabere kao A, a vrednost intervala (za serije sa identičnim intervalima) se izabere kao B. Količina A naziva se ishodište, pa se ovaj metod izračunavanja prosjeka naziva način b om referenca od uvjetne nule ili način trenutaka.
Nakon takve transformacije, dobijamo novi niz varijacionih distribucija, čije su varijante jednake . Njihova aritmetička sredina, tzv trenutak prvog reda, izražava se formulom i, prema drugom i trećem svojstvu, aritmetička sredina je jednaka sredini originalne verzije, umanjena prvo za A, a zatim za B puta, tj.
Za dobijanje pravi prosek(prosjek originalne serije) trebate pomnožiti trenutak prvog reda sa B i dodati A:

Izračunavanje aritmetičke sredine metodom momenata ilustrovano je podacima u tabeli. 2.
Tabela 2 – Raspodjela radnika u radnji prema radnom stažu

Staž zaposlenih, godine	Broj radnika	Sredina intervala
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Pronalaženje trenutka prve narudžbe . Zatim, znajući da je A = 17,5 i B = 5, izračunavamo prosječan radni staž radnika u radionici:
godine

Harmonična sredina
Kao što je gore prikazano, aritmetička sredina se koristi za izračunavanje prosječne vrijednosti karakteristike u slučajevima kada su poznate njene varijante x i njihove frekvencije f.
Ako statistička informacija ne sadrži frekvencije f za pojedinačne opcije x populacije, već je prikazana kao njihov proizvod, primjenjuje se formula ponderisana harmonijska sredina. Za izračunavanje prosjeka, označimo gdje . Zamjenom ovih izraza u formulu za aritmetički ponderirani prosjek, dobijamo formulu za harmonijski ponderisani prosjek:
,
gdje je volumen (težina) vrijednosti atributa indikatora u intervalu označenom brojem i (i=1,2, …, k).

Dakle, harmonijska sredina se koristi u slučajevima kada nisu same opcije podložne sumiranju, već njihove recipročne vrijednosti: .
U slučajevima kada je težina svake opcije jednako jedan, tj. pojedinačne vrijednosti inverzne karakteristike se javljaju jednom, primjenjuju se znači harmonično jednostavno:
,
gdje su pojedinačne varijante inverzne karakteristike, koje se javljaju jednom;
N – opcija broja.
Ako postoje harmonični prosjeki za dva dijela populacije, onda se ukupni prosjek za cijelu populaciju izračunava pomoću formule:

i zove se ponderisana harmonijska sredina grupnih sredina.

Primjer. Tokom trgovanja na berzi, u prvom satu rada zaključene su tri transakcije. Podaci o iznosu prodaje grivne i tečaju grivne prema američkom dolaru dati su u tabeli. 3 (kolone 2 i 3). Odredite prosječni tečaj grivne u odnosu na američki dolar za prvi sat trgovanja.
Tabela 3 – Podaci o toku trgovanja na devizama

Prosječni kurs dolara određen je omjerom količine prodane grivne tokom svih transakcija i iznosa dolara stečenih kao rezultat istih transakcija. Konačni iznos prodaje grivne poznat je iz kolone 2 tabele, a broj dolara kupljenih u svakoj transakciji određuje se dijeljenjem iznosa prodaje grivne s njenim tečajem (kolona 4). Ukupno je kupljeno 22 miliona dolara tokom tri transakcije. To znači da je prosječni tečaj grivna za jedan dolar bio
.
Rezultirajuća vrijednost je stvarna, jer zamjena stvarnim tečajem grivne u transakcijama neće promijeniti konačni iznos prodaje grivne, koji služi kao indikator definicije: miliona UAH
Ako bi se za izračunavanje koristila aritmetička sredina, tj. grivna, zatim po kursu za kupovinu od 22 miliona dolara. bilo bi potrebno potrošiti 110,66 miliona UAH, što nije tačno.

Geometrijska sredina
Geometrijska sredina se koristi za analizu dinamike pojava i omogućava nam da odredimo prosječni koeficijent rast. Prilikom izračunavanja geometrijske sredine, pojedinačne vrijednosti karakteristike su relativni indikatori dinamika konstruisana u obliku lančanih veličina, kao omjer svakog nivoa prema prethodnom.
Jednostavna geometrijska sredina izračunava se pomoću formule:
,
gdje je znak proizvoda,
N – broj prosječnih vrijednosti.
Primjer. Broj registrovanih krivičnih djela za 4 godine povećan je za 1,57 puta, i to za 1. – 1,08 puta, za 2. – 1,1 puta, za 3. – 1,18 i za 4. – 1,12 puta. Tada je prosječna godišnja stopa rasta broja krivičnih djela: , tj. broj registrovanih krivičnih djela rastao je godišnje u prosjeku za 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Da bismo izračunali ponderisani srednji kvadrat, određujemo i unosimo u tabelu i . Tada je prosječno odstupanje dužine proizvoda od date norme jednako:

Aritmetički prosjek bi u ovom slučaju bio neprikladan, jer kao rezultat dobili bismo nultu devijaciju.
Korištenje srednjeg kvadrata će se dalje raspravljati u smislu varijacije.

Metoda prosjeka

3.1 Suština i značenje prosjeka u statistici. Vrste prosjeka

Prosječna veličina u statistici je generalizovana karakteristika kvalitativno homogenih pojava i procesa prema nekoj promenljivoj karakteristici, koja pokazuje nivo karakteristike koja se odnosi na jedinicu populacije. prosječna vrijednost apstraktno, jer karakterizira vrijednost neke karakteristike neke bezlične jedinice populacije.Essence prosječna vrijednost je da se kroz pojedinačno i slučajno otkriva opšte i neophodno, odnosno tendencija i obrazac u razvoju masovnih pojava. Znakovi koji su generalizirani u prosječnim vrijednostima inherentni su svim jedinicama populacije. Zbog toga je prosječna vrijednost od velike važnosti za identifikaciju obrazaca koji su svojstveni masovnim pojavama i nisu uočljivi u pojedinim jedinicama populacije.

Opći principi za korištenje prosjeka:

neophodan je razuman izbor jedinice stanovništva za koju se izračunava prosječna vrijednost;

pri određivanju prosječne vrijednosti mora se polaziti od kvalitativnog sadržaja karakteristike koja se prosječuje, uzeti u obzir odnos karakteristika koje se proučavaju, kao i podatke koji su dostupni za izračunavanje;

prosječne vrijednosti treba izračunati na osnovu kvalitativno homogenih populacija, koje se dobijaju metodom grupisanja, koja uključuje izračunavanje sistema generalizirajućih indikatora;

ukupni prosjeci moraju biti podržani prosjecima grupe.

U zavisnosti od prirode primarnih podataka, obima primene i načina obračuna u statistici, razlikuju se: glavne vrste medija:

1) proseci snage(aritmetička sredina, harmonijska, geometrijska, srednja kvadratna i kubna);

2) strukturna (neparametarska) sredstva(način i medijan).

U statistici, ispravna karakterizacija populacije koja se proučava prema promjenjivim karakteristikama u svakom pojedinačnom slučaju osigurava samo vrlo specifičan tip prosjeka. Pitanje koje vrste prosjeka treba primijeniti u konkretnom slučaju rješava se specifičnom analizom populacije koja se proučava, kao i na osnovu principa smislenosti rezultata pri sumiranju ili vaganju. Ovi i drugi principi su izraženi u statistici teorija prosjeka.

Na primjer, aritmetička sredina i harmonijska sredina se koriste za karakterizaciju prosječne vrijednosti različite karakteristike u populaciji koja se proučava. Geometrijska sredina se koristi samo pri izračunavanju prosječnih stopa dinamike, a kvadratna sredina se koristi samo kada se izračunavaju indeksi varijacije.

Formule za izračunavanje prosječnih vrijednosti prikazane su u tabeli 3.1.

Tabela 3.1 – Formule za izračunavanje prosječnih vrijednosti

Vrste prosjeka	Proračunske formule
	jednostavno	ponderisano
1. Aritmetička sredina
2. Harmonična sredina
3. Geometrijska sredina
4. Srednji kvadrat

Oznake:- količine za koje se računa prosjek; - prosjek, gdje crtica iznad označava da se vrši usrednjavanje pojedinačnih vrijednosti; - učestalost (ponovljivost pojedinačnih vrijednosti karakteristike).

Očigledno, različiti prosjeci su izvedeni iz opšta formula za prosek snage (3.1) :

, (3.1)

kada je k = + 1 - aritmetička sredina; k = -1 - harmonijska sredina; k = 0 - geometrijska sredina; k = +2 - srednji kvadrat.

Prosječne vrijednosti mogu biti jednostavne ili ponderisane. Ponderisani proseci nazivaju se vrijednosti koje uzimaju u obzir da neke varijante vrijednosti atributa mogu imati različite brojeve; u tom smislu, svaka opcija se mora pomnožiti sa ovim brojem. „Vage“ u ovom slučaju su brojevi agregatnih jedinica u različitim grupama, tj. Svaka opcija je „ponderisana“ svojom frekvencijom. Frekvencija f se zove statistička težina ili Prosječna masa.

Na kraju ispravan izbor prosjeka pretpostavlja sljedeći redoslijed:

a) utvrđivanje opšteg indikatora stanovništva;

b) utvrđivanje matematičke veze veličina za dati opšti pokazatelj;

c) zamjenu pojedinačnih vrijednosti prosječnim vrijednostima;

d) izračunavanje prosjeka korištenjem odgovarajuće jednačine.

3.2 Aritmetička sredina i njena svojstva i tehnike računanja. Harmonična sredina

Aritmetička sredina– najčešći tip srednje veličine; izračunava se u slučajevima kada se volumen prosječne karakteristike formira kao zbir njenih vrijednosti za pojedinačne jedinice statističke populacije koja se proučava.

Najvažnija svojstva aritmetičke sredine:

1. Proizvod prosjeka zbirom frekvencija uvijek je jednak zbiru proizvoda varijanti (pojedinačne vrijednosti) po frekvencijama.

2. Ako od svake opcije oduzmete (dodate) bilo koji proizvoljan broj, tada će se novi prosjek smanjiti (povećati) za isti broj.

3. Ako se svaka opcija pomnoži (podijeli) nekim proizvoljnim brojem, tada će se novi prosjek povećati (smanjiti) za isti iznos

4. Ako se sve frekvencije (težine) podijele ili pomnože sa bilo kojim brojem, onda se aritmetički prosjek neće promijeniti.

5. Zbir odstupanja pojedinačnih opcija od aritmetičke sredine je uvijek nula.

Možete oduzeti proizvoljnu konstantnu vrijednost od svih vrijednosti atributa (po mogućnosti vrijednost srednje opcije ili opcija s najvećom frekvencijom), smanjiti nastale razlike za zajednički faktor (po mogućnosti za vrijednost intervala), i izraziti frekvencije u pojedinostima (u procentima) i pomnožiti izračunati prosjek sa zajedničkim faktorom i dodati proizvoljnu konstantnu vrijednost. Ova metoda izračunavanja aritmetičke sredine naziva se metoda obračuna od uslovne nule .

Geometrijska sredina nalazi svoju primjenu u određivanju prosječnih stopa rasta (prosječnih koeficijenata rasta), kada se pojedinačne vrijednosti neke karakteristike prikazuju u obliku relativnih vrijednosti. Također se koristi ako je potrebno pronaći prosjek između minimalnog i maksimalne vrijednosti karakteristika (na primjer, između 100 i 1.000.000).

Srednji kvadrat koristi se za mjerenje varijacije karakteristike u agregatu (izračun standardne devijacije).

Vrijedi u statistici pravilo većine prosjeka:

X šteta.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Strukturni prosjeci (mod i medijan)

Za utvrđivanje strukture populacije koriste se posebni prosječni pokazatelji koji uključuju medijanu i modus, odnosno tzv. strukturni prosjek. Ako se aritmetička sredina izračunava na osnovu upotrebe svih varijanti vrijednosti atributa, tada medijana i mod karakteriziraju vrijednost varijante koja zauzima određenu prosječnu poziciju u rangiranom nizu varijacija

Moda- najtipičnija, najčešće susrećana vrijednost atributa. Za diskretne serije Moda će biti opcija sa najvećom frekvencijom. Odrediti modu intervalne serije Prvo se određuje modalni interval (interval koji ima najveću frekvenciju). Zatim se unutar ovog intervala pronađe vrijednost karakteristike, koja može biti mod.

Da biste pronašli određenu vrijednost moda intervalne serije, morate koristiti formulu (3.2)

(3.2)

gdje je XMo donja granica modalnog intervala; i Mo - vrijednost modalnog intervala; f Mo - frekvencija modalnog intervala; f Mo-1 - frekvencija intervala koji prethodi modalnom; f Mo+1 je frekvencija intervala koji slijedi nakon modalnog.

Moda je široko rasprostranjena u marketinškim aktivnostima kada se proučava potražnja potrošača, posebno pri određivanju najpopularnijih veličina odjeće i obuće, te prilikom reguliranja politike cijena.

Medijan - vrijednost različite karakteristike koja se nalazi u sredini rangirane populacije. Za rangirana serija sa neparnim brojem pojedinačne vrijednosti (na primjer, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) medijana će biti vrijednost koja se nalazi u centru serije, tj. četvrta vrijednost je 6. For rangirane serije sa parnim brojem pojedinačne vrijednosti (na primjer, 1, 5, 7, 10, 11, 14) medijan će biti aritmetička srednja vrijednost, koja se izračunava iz dvije susjedne vrijednosti. Za naš slučaj, medijan je (7+10)/2= 8,5.

Dakle, da biste pronašli medijan, prvo morate odrediti njegov serijski broj (njegovu poziciju u rangiranoj seriji) koristeći formule (3.3):

(ako nema frekvencija)

N Ja =
(ako postoje frekvencije) (3.3)

gdje je n broj jedinica u agregatu.

Numerička vrijednost medijane intervalne serije određena akumuliranim frekvencijama u diskretnom nizu varijacija. Da biste to učinili, prvo morate naznačiti interval u kojem se nalazi medijana u intervalnoj seriji distribucije. Medijan je prvi interval u kojem zbir akumuliranih frekvencija prelazi polovinu opservacija od ukupnog broja svih opservacija.

Numerička vrijednost medijane se obično određuje formulom (3.4)

(3.4)

gdje je x Me donja granica srednjeg intervala; iMe - vrijednost intervala; SMe -1 je akumulirana frekvencija intervala koji prethodi medijani; fMe - frekvencija srednjeg intervala.

Unutar pronađenog intervala, medijana se također izračunava pomoću formule Me = xl e, gdje drugi faktor na desnoj strani jednakosti pokazuje položaj medijane unutar intervala medijane, a x je dužina ovog intervala. Medijan dijeli niz varijacija na pola po učestalosti. Još se utvrđuje kvartila , koji dijele niz varijacija na 4 dijela jednake veličine po vjerovatnoći, i decila , dijeleći red na 10 jednakih dijelova.

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte prosječno značenje.

Prosjek(u matematici i statistici) skupovi brojeva - zbir svih brojeva podijeljen njihovim brojem. To je jedna od najčešćih mjera centralne tendencije.

Predložili su ga (zajedno sa geometrijskom sredinom i harmonijskom sredinom) Pitagorejci.

Posebni slučajevi aritmetičke sredine su srednja vrijednost (opća populacija) i uzorkovana sredina (uzorak).

Uvod

Označimo skup podataka X = (x 1 , x 2 , …, x n), tada je srednja vrijednost uzorka obično označena horizontalnom crtom iznad varijable (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), izgovara se " x sa linijom").

Grčko slovo μ koristi se za označavanje aritmetičke sredine cjelokupne populacije. Za slučajnu varijablu za koju je određena srednja vrijednost, μ je vjerovatnoća prosjeka ili matematičko očekivanje slučajne varijable. Ako je set X je kolekcija slučajnih brojeva sa vjerovatnoćom srednje vrijednosti μ, tada za bilo koji uzorak x i iz ovog skupa μ = E( x i) je matematičko očekivanje ovog uzorka.

U praksi, razlika između μ i x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) je u tome što je μ tipična varijabla jer možete vidjeti uzorak, a ne cijeli opšta populacija. Stoga, ako je uzorak predstavljen nasumično (u smislu teorije vjerovatnoće), tada se x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ali ne μ) može tretirati kao slučajna varijabla koja ima distribuciju vjerovatnoće na uzorku ( distribucija vjerovatnoće srednje vrijednosti).

Obje ove količine se izračunavaju na isti način:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\suma _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ako X je slučajna varijabla, zatim matematičko očekivanje X može se smatrati aritmetičkom sredinom vrijednosti u ponovljenim mjerenjima veličine X. Ovo je manifestacija zakona velikih brojeva. Stoga se srednja vrijednost uzorka koristi za procjenu nepoznate očekivane vrijednosti.

U elementarnoj algebri je dokazano da je srednja vrijednost n+ 1 broj iznad prosjeka n brojevi ako i samo ako je novi broj veći od starog prosjeka, manji ako i samo ako je novi broj manji od prosjeka i ne mijenja se ako i samo ako je novi broj jednak prosjeku. Više n, što je manja razlika između novog i starog prosjeka.

Imajte na umu da postoji nekoliko drugih dostupnih "prosjeka", uključujući srednju snagu, Kolmogorovljevu sredinu, harmonijsku sredinu, aritmetičko-geometrijsku sredinu i različite ponderisane prosjeke (npr. ponderirana aritmetička sredina, ponderirana geometrijska sredina, ponderirana harmonijska sredina).

Primjeri

• Za tri broja, trebate ih sabrati i podijeliti sa 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Za četiri broja, trebate ih sabrati i podijeliti sa 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Ili jednostavnije 5+5=10, 10:2. Pošto smo sabirali 2 broja, što znači koliko brojeva sabiramo, dijelimo s tim brojem.

Kontinuirana slučajna varijabla

Za kontinuirano distribuiranu veličinu f (x) (\displaystyle f(x)), aritmetička sredina na intervalu [ a ; b ] (\displaystyle ) određuje se kroz određeni integral:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Neki problemi korištenja prosjeka

Nedostatak robusnosti

Glavni članak: Robusnost u statistici

Iako se aritmetičke sredine često koriste kao proseci ili centralne tendencije, ovaj koncept nije čvrsta statistika, što znači da je aritmetička sredina pod velikim uticajem "velikih odstupanja". Važno je napomenuti da za distribucije s velikim koeficijentom asimetrije, aritmetička sredina možda neće odgovarati konceptu „srednje vrijednosti“, a vrijednosti srednje vrijednosti iz robusne statistike (na primjer, medijan) mogu bolje opisati središnji sklonost.

Klasičan primjer je izračunavanje prosječnog prihoda. Aritmetička sredina se može pogrešno protumačiti kao medijana, što može dovesti do zaključka da ima više ljudi s većim primanjima nego što ih zapravo ima. “Prosječni” prihod se tumači tako da većina ljudi ima prihode oko ovog broja. Ovaj “prosječni” (u smislu aritmetičke sredine) prihod je veći od prihoda većine ljudi, budući da visok dohodak sa velikim odstupanjem od prosjeka čini aritmetičku sredinu jako iskrivljenom (nasuprot tome, prosječni prihod na medijani „opire se“ takvom iskošenju). Međutim, ovaj "prosječni" prihod ne govori ništa o broju ljudi blizu srednjeg prihoda (i ne govori ništa o broju ljudi blizu modalnog prihoda). Međutim, ako pojmove “prosjek” i “većina ljudi” shvatite olako, možete izvući pogrešan zaključak da većina ljudi ima prihode veće nego što jesu. Na primjer, izvještaj o "prosječnom" neto prihodu u Medini u Washingtonu, izračunatom kao aritmetički prosjek svih godišnjih neto prihoda stanovnika, iznenađujuće će dati veliki broj zbog Bila Gejtsa. Razmotrite uzorak (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetička sredina je 3,17, ali pet od šest vrijednosti je ispod ove sredine.

Složena kamata

Glavni članak: Povrat investicije

Ako su brojevi umnožiti, ali ne fold, trebate koristiti geometrijsku sredinu, a ne aritmetičku sredinu. Najčešće se ovaj incident dešava prilikom izračunavanja povrata ulaganja u finansije.

Na primjer, ako je dionica pala za 10% u prvoj godini i porasla za 30% u drugoj, onda je pogrešno izračunati „prosječan“ porast u te dvije godine kao aritmetičku sredinu (−10% + 30%) / 2 = 10%; tačan prosjek u ovom slučaju je dat složenom godišnjom stopom rasta, koja daje godišnju stopu rasta od samo oko 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Razlog tome je što procenti svaki put imaju novu početnu tačku: 30% je 30% od broja manjeg od cijene na početku prve godine: ako je dionica počela na 30 dolara i pala za 10%, vrijedi 27 dolara na početku druge godine. Ako bi dionice porasle za 30%, na kraju druge godine vrijedile bi 35,1 dolara. Aritmetički prosjek ovog rasta je 10%, ali pošto je dionica porasla samo za 5,1 USD u 2 godine, prosječan rast od 8,2% daje konačni rezultat od 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ako koristimo aritmetički prosjek od 10% na isti način, nećemo dobiti stvarnu vrijednost: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Složena kamata na kraju 2 godine: 90% * 130% = 117%, odnosno ukupno povećanje je 17%, a prosječna godišnja složena kamata je 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\cca 108,2\%), odnosno prosječno godišnje povećanje od 8,2%.

Upute

Glavni članak: Statistika odredišta

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine neke varijable koja se ciklički mijenja (kao što je faza ili ugao), mora se obratiti posebna pažnja. Na primjer, prosjek od 1° i 359° bi bio 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ovaj broj je netačan iz dva razloga.

• Prvo, ugaone mere su definisane samo za opseg od 0° do 360° (ili od 0 do 2π kada se mere u radijanima). Dakle, isti par brojeva može se napisati kao (1° i -1°) ili kao (1° i 719°). Prosječne vrijednosti svakog para bit će različite: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ )).
• Drugo, u ovom slučaju, vrijednost od 0° (ekvivalentno 360°) će biti geometrijski bolja prosječna vrijednost, budući da brojevi manje odstupaju od 0° nego od bilo koje druge vrijednosti (vrijednost 0° ima najmanju varijansu). uporedi:
  • broj 1° odstupa od 0° samo za 1°;
  • broj 1° odstupa od izračunatog prosjeka od 180° za 179°.

Prosječna vrijednost za cikličnu varijablu izračunatu korištenjem gornje formule bit će umjetno pomjerena u odnosu na stvarni prosjek prema sredini numeričkog raspona. Zbog toga se prosek izračunava na drugačiji način, odnosno kao prosečna vrednost se bira broj sa najmanjom varijansom (centralna tačka). Također, umjesto oduzimanja, koristi se modularna udaljenost (tj. obodna udaljenost). Na primjer, modularna udaljenost između 1° i 359° je 2°, a ne 358° (na krugu između 359° i 360°==0° - jedan stepen, između 0° i 1° - također 1°, ukupno - 2°).

4.3. Prosječne vrijednosti. Suština i značenje prosječnih vrijednosti

Prosječna veličina u statistici je opšti pokazatelj koji karakteriše tipičan nivo pojave u specifičnim uslovima mesta i vremena, odražavajući vrednost promenljive karakteristike po jedinici kvalitativno homogene populacije. U ekonomskoj praksi koristi se širok spektar indikatora koji se izračunavaju kao prosječne vrijednosti.

Na primjer, opći pokazatelj dohotka radnika akcionarsko društvo(AD) je prosječan prihod jednog radnika, određen odnosom fonda zarada i socijalnih davanja za posmatrani period (godina, kvartal, mjesec) prema broju radnika u AD.

Izračunavanje prosjeka je jedna od uobičajenih tehnika generalizacije; prosječni indikator odražava ono što je zajedničko (tipično) za sve jedinice populacije koja se proučava, dok istovremeno zanemaruje razlike pojedinačnih jedinica. U svakoj pojavi i njenom razvoju postoji kombinacija nezgode I neophodno. Prilikom izračunavanja prosjeka, zbog djelovanja zakona velikih brojeva, slučajnost se poništava i balansira, pa je moguće apstrahirati od nebitnih obilježja pojave, od kvantitativnih vrijednosti karakteristike u svakom konkretnom slučaju . Sposobnost da se apstrahuje od slučajnosti pojedinačnih vrednosti, fluktuacija leži u naučnoj vrednosti proseka kao generalizirajući karakteristike populacija.

Tamo gdje se pojavi potreba za generalizacijom, izračunavanje takvih karakteristika dovodi do zamjene mnogih različitih pojedinačnih vrijednosti atributa prosjek indikator koji karakteriše čitav niz pojava, što omogućava identifikaciju obrazaca svojstvenih masovnim društvenim fenomenima koji su nevidljivi u pojedinačnim pojavama.

Prosjek odražava karakterističan, tipičan, stvarni nivo pojava koje se proučavaju, karakterizira ove nivoe i njihove promjene u vremenu i prostoru.

Prosjek je sažeta karakteristika zakonitosti procesa u uslovima u kojima se odvija.

4.4. Vrste prosjeka i metode za njihovo izračunavanje

Izbor vrste prosjeka određen je ekonomskim sadržajem određenog indikatora i izvornim podacima. U svakom konkretnom slučaju koristi se jedna od prosječnih vrijednosti: aritmetika, garmonički, geometrijski, kvadratni, kubični itd. Navedeni prosjeci pripadaju klasi smireno prosjek.

Uz prosječne snage, u statističkoj praksi se koriste strukturni prosjeci, koji se smatraju modom i medijanom.

Zaustavimo se detaljnije na prosjecima snage.

Aritmetička sredina

Najčešći tip prosjeka je prosjek aritmetika. Koristi se u slučajevima kada je volumen promjenljive karakteristike za cijelu populaciju zbir vrijednosti karakteristika njenih pojedinačnih jedinica. Društvene pojave karakteriše aditivnost (zbirnost) zapremina različite karakteristike; to određuje obim primene aritmetičkog proseka i objašnjava njegovu rasprostranjenost kao opšti pokazatelj, na primer: ukupan fond zarada je zbir plata svim radnicima, bruto žetva je zbir proizvoda proizvedenih iz cijele sezone sjetve.

Da biste izračunali aritmetičku sredinu, trebate podijeliti zbir svih vrijednosti karakteristika njihovim brojem.

U obliku se koristi aritmetička sredina jednostavni prosek i ponderisani prosek. Početni, definirajući oblik je jednostavan prosjek.

Jednostavna aritmetička sredina jednak jednostavnom zbroju pojedinačnih vrijednosti karakteristike koja se u prosjeku dijeli s ukupnim brojem ovih vrijednosti (koristi se u slučajevima kada postoje negrupirane pojedinačne vrijednosti karakteristike):

Gdje
- pojedinačne vrijednosti varijable (varijante); m - broj jedinica u populaciji.

Nadalje, granice zbrajanja neće biti naznačene u formulama. Na primjer, trebate pronaći prosječan učinak jednog radnika (mehaničara) ako znate koliko je dijelova proizveo svaki od 15 radnika, tj. dat je broj pojedinačnih vrijednosti karakteristike, kom.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Prosta aritmetička sredina izračunava se pomoću formule (4.1), 1 kom.:

Zove se prosek opcija koje se ponavljaju različit broj puta ili, kako kažu, imaju različite težine ponderisano. Ponderi su brojevi jedinica u različitim grupama stanovništva (identične opcije se kombinuju u grupu).

Ponderisan aritmetički prosjek- prosjek grupisanih vrijednosti, - izračunava se pomoću formule:

, (4.2)

Gdje
- težina (učestalost ponavljanja identičnih znakova);

- zbir proizvoda veličine karakteristika i njihovih frekvencija;

- ukupan broj populacijskih jedinica.

Ilustrujemo tehniku ​​izračunavanja aritmetičkog ponderisanog prosjeka koristeći primjer koji je gore razmotren. Da bismo to učinili, grupirat ćemo izvorne podatke i smjestiti ih u tabelu. 4.1.

Tabela 4.1

Raspodjela radnika za proizvodnju dijelova

Prema formuli (4.2), ponderisana aritmetička sredina je jednaka, kom.:

U nekim slučajevima, težine se mogu predstaviti ne kao apsolutne vrijednosti, već kao relativne (u procentima ili dijelovima jedinice). Tada će formula za aritmetički ponderirani prosjek izgledati ovako:

Gdje
- posebnost, tj. udio svake frekvencije u ukupnom zbiru svih

Ako se frekvencije broje u razlomcima (koeficijentima), onda
= 1, a formula za aritmetički ponderisani prosek ima oblik:

Izračunavanje ponderisane aritmetičke sredine iz grupnih sredina izvodi se prema formuli:

,

Gdje f-broj jedinica u svakoj grupi.

Rezultati izračunavanja aritmetičke sredine iz grupnih sredina prikazani su u tabeli. 4.2.

Tabela 4.2

Raspodjela radnika prema prosječnom radnom stažu

U ovom primjeru opcije nisu pojedinačni podaci o stažu pojedinih radnika, već prosjek za svaku radionicu. Vaga f su broj radnika u radnjama. Dakle, prosječno radno iskustvo radnika u cijelom preduzeću će biti, godina:

.

Izračunavanje aritmetičke sredine u redovima distribucije

Ako su vrijednosti karakteristike koja se prosječuje navedene u obliku intervala („od - do”), tj. intervalne distribucijske serije, zatim pri izračunavanju prosjeka aritmetička vrijednost Srednje tačke ovih intervala uzimaju se kao vrijednosti karakteristika u grupama, što rezultira diskretnim nizom. Razmotrite sljedeći primjer (Tabela 4.3).

Prijeđimo sa intervalne serije na diskretnu seriju zamjenom vrijednosti intervala njihovim prosječnim vrijednostima/(jednostavan prosjek

Tabela 4.3

Raspodjela radnika AD prema mjesečnom nivou plata

Grupe radnika	Broj radnika	Sredina intervala
nadnice, rub.	ljudi, f	rub., X
900 ili više

vrijednosti otvorenih intervala (prvi i posljednji) uvjetno su izjednačeni s intervalima koji su im susjedni (drugi i pretposljednji).

Kod ovog izračunavanja prosjeka dozvoljena je određena nepreciznost, jer se postavlja pretpostavka o ravnomjernoj raspodjeli jedinica karakteristike unutar grupe. Međutim, što je interval uži i što je više jedinica u intervalu, to je manja greška.

Nakon što se pronađu sredine intervala, proračuni se rade na isti način kao u diskretnom nizu - opcije se množe sa frekvencijama (težinama) i zbroj proizvoda se dijeli zbirom frekvencija (težina) , hiljada rubalja:

.

dakle, prosječan nivo naknada za radnike JSC je 729 rubalja. Mjesečno.

Izračunavanje aritmetičke sredine često uključuje mnogo vremena i rada. Međutim, u određenom broju slučajeva, postupak za izračunavanje prosjeka može se pojednostaviti i olakšati ako koristite njegova svojstva. Predstavimo (bez dokaza) neka osnovna svojstva aritmetičke sredine.

Nekretnina 1. Ako su sve pojedinačne vrijednosti neke karakteristike (tj. sve opcije) smanjiti ili povećati iputa, zatim prosječna vrijednost nova karakteristika će se shodno tome smanjiti ili povećati ijednom.

Nekretnina 2. Ako se smanje sve varijante karakteristike koja se usrednjujesašiti ili povećati za broj A, tada odgovara aritmetička sredinaće se zapravo smanjiti ili povećati za isti broj A.

Nekretnina 3. Ako se težine svih usrednjenih opcija smanje ili povećati za To puta, tada se aritmetička sredina neće promijeniti.

Kao prosječne pondere, umjesto apsolutnih pokazatelja, možete koristiti specifične pondere u ukupnom ukupnom iznosu (udjeli ili procenti). Ovo pojednostavljuje izračunavanje prosjeka.

Da bi pojednostavili izračun prosjeka, oni slijede put smanjenja vrijednosti opcija i frekvencija. Najveće pojednostavljenje se postiže kada, kao A vrijednost jedne od centralnih opcija, koja ima najveću frekvenciju, bira se kao / - vrijednost intervala (za serije sa jednakim intervalima). Količina A naziva se referentna tačka, pa se ova metoda izračunavanja prosjeka naziva „metoda brojanja od uslovne nule“ ili "na način na trenutke."

Pretpostavimo da su sve opcije X prvo se smanjio za isti broj A, a zatim smanjio za i jednom. Dobijamo novu varijantnu seriju distribucije novih opcija .

Onda nove opcijeće se izraziti:

,

i njihovu novu aritmetičku sredinu , -trenutak prve narudžbe-formula:

.

Ona je jednaka prosjeku originalnih opcija, prvo umanjenih za A, a zatim unutra i jednom.

Da bi se dobio pravi prosjek, potreban je trenutak prvog reda m 1 , pomnoži sa i i dodati O:

.

Ova metoda izračunavanja aritmetičke sredine iz niza varijacija naziva se "na način na trenutke." Ova metoda se koristi u redovima u jednakim intervalima.

Izračunavanje aritmetičke sredine metodom momenata ilustrovano je podacima u tabeli. 4.4.

Tabela 4.4

Raspodjela malih preduzeća u regionu po vrijednosti osnovnih proizvodnih sredstava (FPF) u 2000. godini.

Grupe preduzeća prema vrednosti OPF-a, hiljada rubalja.	Broj preduzeća f	Sredina intervala x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Pronalaženje trenutka prve narudžbe

.

Zatim, uzimajući A = 19 i znajući to i= 2, izračunaj X, hiljada rubalja.:

Vrste prosječnih vrijednosti i metode njihovog izračunavanja

U fazi statističke obrade mogu se postaviti različiti istraživački problemi za čije je rješavanje potrebno odabrati odgovarajući prosjek. U ovom slučaju potrebno je voditi se sljedećim pravilom: veličine koje predstavljaju brojnik i imenilac prosjeka moraju biti logički povezane jedna s drugom.

• proseci snage;
• strukturni proseci.

Hajde da predstavimo sledeće konvencije:

Količine za koje se izračunava prosjek;

Prosjek, gdje traka iznad pokazuje da se vrši usrednjavanje pojedinačnih vrijednosti;

Učestalost (ponovljivost pojedinačnih karakterističnih vrijednosti).

Izvode se različiti prosjeci opšta formula prosjek snage:

(5.1)

kada je k = 1 - aritmetička sredina; k = -1 - harmonijska sredina; k = 0 - geometrijska sredina; k = -2 - srednji kvadrat.

Prosječne vrijednosti mogu biti jednostavne ili ponderisane. Ponderisani proseci Ovo su vrijednosti koje uzimaju u obzir da neke varijante vrijednosti atributa mogu imati različite brojeve, pa se stoga svaka opcija mora pomnožiti s ovim brojem. Drugim riječima, “skale” su brojevi agregatnih jedinica u različitim grupama, tj. Svaka opcija je „ponderisana“ svojom frekvencijom. Frekvencija f se zove statistička težina ili Prosječna masa.

Aritmetička sredina- najčešći tip prosjeka. Koristi se kada se proračun vrši na negrupisanim statističkim podacima, gdje je potrebno dobiti prosječan termin. Aritmetička sredina je prosječna vrijednost neke karakteristike, po dobijanju koje ukupan volumen karakteristike u agregatu ostaje nepromijenjen.

Formula aritmetičke sredine ( jednostavno) ima oblik

gdje je n veličina populacije.

Na primjer, prosječna plata zaposlenih u preduzeću izračunava se kao aritmetički prosjek:

Odlučujući indikatori su plata svakog zaposlenog i broj zaposlenih u preduzeću. Prilikom izračunavanja prosjeka ukupan iznos zarada je ostao isti, ali ravnomjerno raspoređen na sve zaposlene. Na primjer, potrebno je izračunati prosječnu platu radnika u maloj kompaniji koja zapošljava 8 ljudi:

Prilikom izračunavanja prosječnih vrijednosti, pojedinačne vrijednosti karakteristike koja se usrednjuje mogu se ponoviti, pa se prosječna vrijednost izračunava pomoću grupisanih podataka. U ovom slučaju mi pričamo o tome o upotrebi ponderisan aritmetički prosek, koji ima oblik

(5.3)

Dakle, potrebno je izračunati prosječnu cijenu akcija akcionarskog društva na berzanskom trgovanju. Poznato je da su transakcije obavljene u roku od 5 dana (5 transakcija), a broj prodatih akcija po prodajnom kursu je raspoređen na sledeći način:

1 - 800 ak. - 1010 rub.

2 - 650 ak. - 990 rub.

3 - 700 ak. - 1015 rub.

4 - 550 ak. - 900 rub.

5 - 850 ak. - 1150 rub.

Početni koeficijent za određivanje prosečne cene akcija je odnos ukupnog iznosa transakcija (TVA) i broja prodatih akcija (KPA).