Pronađite kosinus ugla između dvije prave na mreži. Pronalaženje ugla između pravih linija

Neka su ravne date u prostoru l I m. Kroz neku tačku A prostora povlačimo prave linije l 1 || l I m 1 || m(Sl. 138).

Imajte na umu da se tačka A može izabrati proizvoljno; posebno, može ležati na jednoj od ovih pravih. Ako je ravno l I m seku, tada se A može uzeti kao tačka preseka ovih pravih ( l 1 = l I m 1 = m).

Ugao između neparalelnih linija l I m je vrijednost najmanjeg od susjednih uglova formiranih linijama koje se seku l 1 I m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Ugao između paralelnih linija smatra se jednakim nuli.

Ugao između pravih linija l I m označeno sa \(\widehat((l;m))\). Iz definicije sledi da ako se meri u stepenima, onda 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, a ako je u radijanima, onda 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Zadatak. Zadata je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (sl. 139).

Pronađite ugao između pravih AB i DC 1.

Ukrštanje pravih AB i DC 1. Kako je prava linija DC paralelna pravoj liniji AB, ugao između pravih AB i DC 1, prema definiciji, jednak je \(\widehat(C_(1)DC)\).

Prema tome, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direktno l I m su pozvani okomito, ako je \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Na primjer, u kocki

Proračun ugla između pravih linija.

Problem izračunavanja ugla između dve prave u prostoru rešava se na isti način kao i u ravni. Označimo sa φ veličinu ugla između pravih l 1 I l 2, a kroz ψ - veličina ugla između vektora pravca A I b ove prave linije.

Onda ako

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Sl. 206.6), tada φ = 180° - ψ. Očigledno, u oba slučaja je tačna jednakost cos φ = |cos ψ|. Prema formuli (kosinus ugla između vektora a i b koji nisu nula jednak je skalarnom proizvodu ovih vektora podijeljen umnošku njihovih dužina) imamo

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

dakle,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Neka su linije zadane njihovim kanonskim jednadžbama

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; I \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Tada se ugao φ između linija određuje pomoću formule

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ako je jedna od linija (ili obje) data nekanonskim jednadžbama, tada za izračunavanje kuta morate pronaći koordinate vektora smjera ovih linija, a zatim koristiti formulu (1).

Zadatak 1. Izračunajte ugao između linija

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vektori pravca pravih linija imaju koordinate:

a = (-√2 ; √2 ; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Koristeći formulu (1) nalazimo

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Dakle, ugao između ovih linija je 60°.

Zadatak 2. Izračunajte ugao između linija

$$ \begin(slučajevi)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(slučajevi) i \begin(slučajevi)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\kraj (slučajevi) $$

Iza vodećeg vektora A uzeti prvu pravu liniju vektorski proizvod normalni vektori n 1 = (3; 0; -12) i n 2 = (1; 1; -3) ravni koje definišu ovu pravu. Koristeći formulu \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) dobijamo

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Slično, nalazimo vektor smjera druge prave linije:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ali pomoću formule (1) izračunavamo kosinus željenog ugla:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Dakle, ugao između ovih linija je 90°.

Zadatak 3. U trouglastoj piramidi MABC, ivice MA, MB i MC su međusobno okomite (Sl. 207);

njihove dužine su 4, 3, 6. Tačka D je sredina [MA]. Pronađite ugao φ između pravih CA i DB.

Neka su CA i DB vektori pravca CA i DB.

Uzmimo tačku M kao početak koordinata. Po uslovu jednačine imamo A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Stoga \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Koristimo formulu (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

Koristeći kosinusnu tablicu, nalazimo da je ugao između pravih CA i DB približno 72°.

Bilo bi korisno da svaki učenik koji se priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike ponovi temu „Pronalaženje ugla između pravih“. Kao što pokazuje statistika, prilikom polaganja testa za certifikaciju, zadaci u ovom dijelu stereometrije uzrokuju poteškoće velika količina studenti. Istovremeno, zadaci koji zahtijevaju pronalaženje ugla između pravih nalaze se u Jedinstvenom državnom ispitu iz osnovnih i nivo profila. To znači da bi svi trebali biti u mogućnosti da ih riješe.

Osnovni momenti

Postoje 4 vrste relativnih položaja linija u prostoru. Mogu da se poklapaju, ukrštaju, budu paralelne ili seku. Ugao između njih može biti oštar ili ravan.

Da bi pronašli ugao između linija na Jedinstvenom državnom ispitu ili, na primjer, u rješavanju, školarci u Moskvi i drugim gradovima mogu koristiti nekoliko načina za rješavanje problema u ovom dijelu stereometrije. Zadatak možete izvršiti pomoću klasičnih konstrukcija. Da biste to učinili, vrijedi naučiti osnovne aksiome i teoreme stereometrije. Učenik treba da bude sposoban da logički rasuđuje i kreira crteže kako bi zadatak doveo do planimetrijskog problema.

Također možete koristiti metodu koordinatnog vektora koristeći jednostavne formule, pravila i algoritame. Glavna stvar u ovom slučaju je ispravno izvršiti sve proračune. Obrazovni projekat Shkolkovo pomoći će vam da usavršite svoje vještine rješavanja problema u stereometriji i drugim dijelovima školskog kursa.

Ovaj materijal posvećen je konceptu kao što je kut između dvije linije koje se sijeku. U prvom paragrafu ćemo objasniti šta je to i pokazati na ilustracijama. Zatim ćemo pogledati načine na koje možete pronaći sinus, kosinus ovog kuta i sam kut (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dat ćemo potrebne formule i pokazati primjerima tačno kako se koriste u praksi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Da bismo razumeli šta je ugao koji nastaje kada se dve prave seku, treba da se prisetimo same definicije ugla, okomice i tačke preseka.

Definicija 1

Dve prave nazivamo seku ako imaju jednu zajedničku tačku. Ova tačka se naziva tačka preseka dve prave.

Svaka prava linija je podijeljena presječnom točkom na zrake. Obje prave prave 4 ugla, od kojih su dva okomita, a dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti preostale.

Recimo da znamo da je jedan od uglova jednak α. U ovom slučaju, ugao koji je okomit u odnosu na njega također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale uglove, moramo izračunati razliku 180° - α. Ako je α jednako 90 stepeni, tada će svi uglovi biti pravi uglovi. Prave koje se sijeku pod pravim uglom nazivaju se okomiti (poseban članak posvećen je konceptu okomitosti).

Pogledajte sliku:

Pređimo na formulisanje glavne definicije.

Definicija 2

Ugao koji formiraju dvije linije koje se seku je mjera manjeg od 4 ugla koji formiraju ove dvije prave.

Iz definicije se mora izvući važan zaključak: veličina ugla u ovom slučaju će biti izražena bilo kojim realnim brojem u intervalu (0, 90). Ako su prave okomite, tada će ugao između njih u svakom slučaju biti jednak 90 stepeni.

Sposobnost pronalaženja mjere ugla između dvije linije koje se seku je korisna za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.

Za početak možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o komplementarnim uglovima, onda ih možemo povezati sa uglom koji nam je potreban koristeći svojstva jednakih ili sličnih figura. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati ugao između linija na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem prikladan za naše rješenje. Ako imamo uslov pravougaonog trougla, tada će nam za proračune trebati i poznavanje sinusa, kosinusa i tangenta ugla.

Koordinatna metoda je također vrlo pogodna za rješavanje problema ovog tipa. Hajde da objasnimo kako ga pravilno koristiti.

Imamo pravougaoni (kartezijanski) koordinatni sistem O x y, u kojem su date dvije prave. Označimo ih slovima a i b. Prave se mogu opisati pomoću nekih jednačina. Originalne linije imaju presek M. Kako odrediti traženi ugao (označimo ga α) između ovih pravih?

Počnimo sa formulisanjem osnovnog principa nalaženja ugla pod datim uslovima.

Znamo da je koncept prave linije usko povezan sa konceptima kao što su vektor pravca i vektor normale. Ako imamo jednadžbu određene linije, možemo uzeti koordinate ovih vektora iz nje. To možemo učiniti za dvije linije koje se seku odjednom.

Ugao sastavljen od dvije linije koje se ukrštaju može se pronaći pomoću:

• ugao između vektora smjera;
• ugao između normalnih vektora;
• ugao između vektora normale jedne linije i vektora smjera druge.

Sada pogledajmo svaku metodu posebno.

1. Pretpostavimo da imamo pravu a sa vektorom smjera a → = (a x, a y) i pravu b sa vektorom smjera b → (b x, b y). Sada nacrtajmo dva vektora a → i b → iz tačke preseka. Nakon ovoga ćemo vidjeti da će svaki biti smješten na svojoj pravoj liniji. Tada imamo četiri opcije za njihov relativni raspored. Pogledajte ilustraciju:

Ako ugao između dva vektora nije tup, onda će to biti ugao koji nam treba između pravih a i b koji se sijeku. Ako je tup, onda će željeni ugao biti jednak uglu pored ugla a →, b → ^. Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 °, i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

Na osnovu činjenice da kosinus jednakih uglova su jednake, možemo prepisati rezultirajuće jednakosti na sljedeći način: cos α = cos a → , b → ^ , ako je a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ako je a →, b → ^ > 90 °.

U drugom slučaju korištene su formule redukcije. dakle,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Napišimo posljednju formulu riječima:

Definicija 3

Kosinus ugla kojeg formiraju dvije prave linije koje se seku bit će jednak modulu kosinusa ugla između njegovih vektora smjera.

Opšti oblik formule za kosinus ugla između dva vektora a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) izgleda ovako:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz njega možemo izvesti formulu za kosinus ugla između dvije date prave:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tada se sam ugao može pronaći pomoću sljedeće formule:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera datih linija.

Dajemo primjer rješavanja problema.

Primjer 1

U pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni date su dve prave a i b koje se seku. Mogu se opisati parametarskim jednačinama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3. Izračunajte ugao između ovih linija.

Rješenje

U našem stanju imamo parametarsku jednačinu, što znači da za ovu liniju možemo odmah zapisati koordinate njenog vektora smjera. Da bismo to učinili, moramo uzeti vrijednosti koeficijenata za parametar, tj. prava linija x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R će imati vektor pravca a → = (4, 1).

Drugi red je opisan pomoću kanonske jednadžbe x 5 = y - 6 - 3. Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ova prava ima vektor smjera b → = (5 , - 3) .

Zatim prelazimo direktno na pronalaženje ugla. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite postojeće koordinate dva vektora u gornju formulu α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Dobijamo sljedeće:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Odgovori: Ove ravne linije formiraju ugao od 45 stepeni.

Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem ugla između normalnih vektora. Ako imamo pravu a sa vektorom normale n a → = (n a x , n a y) i pravu b sa vektorom normale n b → = (n b x , n b y), tada će ugao između njih biti jednak uglu između n a → i n b → ili ugao koji će biti susedan sa n a →, n b → ^. Ova metoda je prikazana na slici:

Formule za izračunavanje kosinusa ugla između linija koje se sijeku i samog ugla pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n x n b y 2 + n b x 2 2

Ovdje n a → i n b → označavaju vektore normale dvije date prave.

Primjer 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu date su dve prave pomoću jednačina 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0. Pronađite sinus i kosinus ugla između njih i veličinu samog ugla.

Rješenje

Originalne linije su specificirane pomoću normalnih jednadžbi linija oblika A x + B y + C = 0. Vektor normale označavamo sa n → = (A, B). Nađimo koordinate prvog vektora normale za jednu liniju i zapišemo ih: n a → = (3, 5) . Za drugu liniju x + 4 y - 17 = 0, vektor normale će imati koordinate n b → = (1, 4). Sada dodajmo dobijene vrijednosti formuli i izračunajmo ukupno:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ako znamo kosinus ugla, onda možemo izračunati njegov sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet. Pošto ugao α koji formiraju prave linije nije tup, onda je sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

U ovom slučaju, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Odgovor: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizirajmo posljednji slučaj - pronalaženje ugla između pravih ako znamo koordinate vektora smjera jedne prave i vektora normale druge.

Pretpostavimo da prava a ima vektor pravca a → = (a x , a y) , a prava b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Ove vektore treba da stavimo po strani od tačke preseka i razmotrimo sve opcije za njihove relativne pozicije. Pogledajte na slici:

Ako ugao između datih vektora nije veći od 90 stepeni, ispada da će dopuniti ugao između a i b u pravi ugao.

a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ako je manji od 90 stepeni, dobijamo sledeće:

a → , n b → ^ > 90 ° , zatim a → , n b → ^ = 90 ° + α

Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih uglova, pišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α za a → , n b → ^ > 90 ° .

dakle,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Hajde da formulišemo zaključak.

Definicija 4

Da biste pronašli sinus ugla između dvije prave koje se sijeku na ravni, morate izračunati modul kosinusa ugla između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.

Zapišimo potrebne formule. Pronalaženje sinusa ugla:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Pronalaženje samog ugla:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → je vektor normale druge.

Primjer 3

Dvije prave koje se seku date su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0. Pronađite ugao preseka.

Rješenje

Koordinate vodilice i vektora normale uzimamo iz datih jednadžbi. Ispada a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4). Uzimamo formulu α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i izračunavamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Napominjemo da smo uzeli jednadžbe iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.

odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Hajde da damo drugi način za pronalaženje željeni ugao koristeći ugaone koeficijente datih linija.

Imamo pravu a, koja je definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu pomoću jednačine y = k 1 x + b 1, i pravu b, definisanu kao y = k 2 x + b 2. Ovo su jednadžbe linija sa nagibima. Da bismo pronašli ugao presjeka, koristimo formulu:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, gdje su k 1 i k 2 ugaoni koeficijenti date prave linije. Za dobijanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje ugla kroz koordinate vektora normale.

Primjer 4

Postoje dvije prave koje se seku u ravni, dato jednačinama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4 . Izračunajte vrijednost ugla presjeka.

Rješenje

Ugaoni koeficijenti naših linija jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4. Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

odgovor:α = a r c cos 23 2 34

U zaključcima ovog paragrafa treba napomenuti da se formule za pronalaženje ugla koje su ovdje date ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili vektora normale datih linija i biti u stanju da ih odredite koristeći različite tipove jednadžbi. Ali bolje je zapamtiti ili zapisati formule za izračunavanje kosinusa kuta.

Kako izračunati ugao između linija koje se seku u prostoru

Proračun takvog ugla može se svesti na izračunavanje koordinata vektora pravca i određivanje veličine ugla koji ovi vektori formiraju. Za takve primjere koristi se isto rezonovanje koje smo dali prije.

Pretpostavimo da imamo pravougaoni koordinatni sistem koji se nalazi u trodimenzionalnom prostoru. Sadrži dvije prave a i b sa presječnom tačkom M. Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednačine ovih linija. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračunavanje kosinusa ugla između njih koristimo formulu:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Da bismo pronašli sam ugao, potrebna nam je ova formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primjer 5

Imamo liniju definisanu u trodimenzionalnom prostoru pomoću jednačine x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Poznato je da se seče sa O z osom. Izračunajte ugao presjeka i kosinus tog ugla.

Rješenje

Označimo ugao koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora pravca za prvu pravu – a → = (1, - 3, - 2) . Za aplikantnu osu možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0, 0, 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati u željenu formulu:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kao rezultat toga, otkrili smo da će ugao koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.

odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

UGAO IZMEĐU RAVNI

Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2, definirane jednadžbama:

Ispod ugao između dve ravni razumećemo jedan od njih diedarski uglovi formirane od ovih aviona. Očigledno je da je ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susednih diedarskih uglova ili . Zbog toga . Jer I , To

.

Primjer. Odredite ugao između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.

Uslov za paralelnost dve ravni.

Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori paralelni, te stoga .

Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti odgovarajućih koordinata proporcionalni:

ili

Uslov okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .

Dakle, .

Primjeri.

PRAVO U PROSTOR.

VEKTORSKA JEDNAČINA ZA PRAVU.

PARAMETRIČKE DIREKTNE JEDNAČINE

Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M 1 i vektor paralelan ovoj pravoj.

Poziva se vektor paralelan pravoj vodiči vektor ove linije.

Dakle, neka prava linija l prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1), koja leži na pravoj paralelnoj vektoru .

Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) na pravoj liniji. Iz slike je jasno da .

Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke M na pravoj liniji. Faktor t naziva parametar. Nakon što smo odredili radijus vektore tačaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor jednačina prave linije. To pokazuje da za svaku vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke tačke M, leži na pravoj liniji.

Zapišimo ovu jednačinu u koordinatnom obliku. Obratite pažnju da, i odavde

Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski jednačine prave linije.

Prilikom promjene parametra t promene koordinata x, y I z i tačka M kreće se pravolinijski.

KANONIČKE JEDNAČINE DIREKTNE

Neka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – tačka koja leži na pravoj liniji l, And je njegov vektor smjera. Uzmimo opet proizvoljnu tačku na pravoj M(x,y,z) i razmotrimo vektor .

Jasno je da su i vektori kolinearni, pa njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle,

– kanonski jednačine prave linije.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednačine prave mogu dobiti iz parametarskih eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo ili .

Primjer. Zapišite jednačinu prave u parametarskom obliku.

Označimo , odavde x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer na os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, dakle, m=0. Shodno tome, parametarske jednačine prave će poprimiti oblik

Isključivanje parametra iz jednačina t, dobijamo jednadžbe prave u obliku

Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu osu.

Slično kanonskim jednačinama odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox I Oy ili paralelno sa osom Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNAČINE PRAVE KAO PRAVE PRESEKA DVIJE RAVNE

Kroz svaku pravu liniju u svemiru postoji bezbroj ravni. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, predstavljaju jednačine ove prave.

Općenito, bilo koja dva nisu paralelne ravni, dato općim jednačinama

odrediti pravu liniju njihovog preseka. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine ravno.

Primjeri.

Konstruirajte pravu zadanu jednadžbama

Za konstruiranje prave linije dovoljno je pronaći bilo koje dvije njene tačke. Najlakši način je da odaberete tačke preseka prave linije sa koordinatnim ravnima. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:

Nakon što smo riješili ovaj sistem, nalazimo poentu M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:

Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku M 1 na pravoj liniji i vektor smjera prave linije.

Koordinate tačaka M 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora I . Dakle, izvan vektora smjera prave linije l možete uzeti vektorski proizvod normalnih vektora:

.

Primjer. Olovo opšte jednačine ravno kanonskom obliku.

Nađimo tačku koja leži na pravoj. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:

Vektori normale ravni koje definiraju pravu imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. dakle, l: .

UGAO IZMEĐU RAVNIH

Ugao između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije linije:

Očigledno, ugao φ između pravih linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda koristeći formulu za kosinus kuta između vektora dobivamo

Ugao između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije linije:

Očigledno, ugao φ između pravih linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda koristeći formulu za kosinus kuta između vektora dobivamo

Uslovi paralelizma i okomitosti dve prave su ekvivalentni uslovima paralelizma i okomitosti njihovih vektora pravca i:

Dva ravno paralelno ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l 1 paralela l 2 ako i samo ako je paralelno .

Dva ravno okomito ako i samo ako je zbir proizvoda odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .

U cilj između linije i ravni

Neka bude pravo d- nije okomito na ravan θ;
d′− projekcija prave d na θ ravan;
Najmanji ugao između pravih linija d I d′ zvaćemo ugao između prave i ravni.
Označimo to sa φ=( d,θ)
Ako d⊥θ, onda ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− pravougaoni koordinatni sistem.
Jednačina ravni:

θ: Sjekira+By+Cz+D=0

Pretpostavljamo da je prava linija definirana tačkom i vektorom smjera: d[M 0,str→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Zatim ostaje da saznamo ugao između vektora n→ i str→, označimo ga kao γ=( n→,str→).

Ako je ugao γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ako je ugao γ>π/2, onda je željeni ugao φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

onda, ugao između prave i ravni može se izračunati pomoću formule:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23

Pitanje29. Koncept kvadratne forme. Definicija predznaka kvadratnih oblika.

Kvadratni oblik j (x 1, x 2, …, x n) n realnih varijabli x 1, x 2, …, x n naziva se zbir oblika
, (1)

Gdje a ij – neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti. Bez gubljenja opštosti, možemo to pretpostaviti a ij = a ji.

Kvadratni oblik se zove validan, Ako a ij Î GR. Matrica kvadratne forme naziva se matrica sastavljena od njenih koeficijenata. Kvadratni oblik (1) odgovara jedinoj simetričnoj matrici
To je A T = A. Prema tome, kvadratni oblik (1) se može zapisati u matričnom obliku j ( X) = x T Ah, Gdje x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

I obrnuto, svaka simetrična matrica (2) odgovara jedinstvenom kvadratnom obliku do notacije varijabli.

Rang kvadratne forme naziva se rangom njegove matrice. Kvadratni oblik se zove nedegenerisan, ako je njegova matrica nesingularna A. (podsjetimo da je matrica A naziva se nedegenerisanim ako njegova determinanta nije jednaka nuli). Inače, kvadratni oblik je degenerisan.

pozitivno definitivno(ili striktno pozitivno) ako

j ( X) > 0 , za bilo koga X = (X 1 , X 2 , …, x n), osim X = (0, 0, …, 0).

Matrix A pozitivno određen kvadratni oblik j ( X) se također naziva pozitivno određen. Prema tome, pozitivno određeni kvadratni oblik odgovara jedinstvenoj pozitivno određenoj matrici i obrnuto.

Kvadratni oblik (1) se zove negativno definisan(ili strogo negativno) ako

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), osim X = (0, 0, …, 0).

Slično kao gore, matrica negativno određenog kvadratnog oblika naziva se i negativno određena.

Prema tome, pozitivni (negativni) određeni kvadratni oblik j ( X) dostiže minimalnu (maksimalnu) vrijednost j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Imajte na umu da većina kvadratnih oblika nije predznakom određena, odnosno da nisu ni pozitivni ni negativni. Takvi kvadratni oblici nestaju ne samo u početku koordinatnog sistema, već iu drugim tačkama.

Kada n> 2, potrebni su posebni kriterijumi za provjeru predznaka kvadratnog oblika. Pogledajmo ih.

Major maloljetnici kvadratni oblici se nazivaju minori:

odnosno radi se o maloletnicima reda 1, 2, ..., n matrice A, koji se nalazi u gornjem lijevom kutu, posljednji od njih se poklapa sa determinantom matrice A.

Kriterijum pozitivne definicije (Sylvesterov kriterijum)

X) = x T Ah bilo pozitivno određeno, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori matrice A bili pozitivni, odnosno: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negativni kriterij sigurnosti Da bi kvadratni oblik j ( X) = x T Ah bio negativno određen, potrebno je i dovoljno da njegovi glavni minori parnog reda budu pozitivni, a neparnog - negativni, tj.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n