Znakova podjele je više od deset. Počni u nauci

Postoje znakovi po kojima je ponekad lako saznati, bez stvarnog dijeljenja, da li je dati broj djeljiv ili nije djeljiv nekim drugim brojevima.

Zovu se brojevi koji su djeljivi sa 2 čak. Broj nula se takođe odnosi na parne brojeve. Svi ostali brojevi se pozivaju odd:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - paran,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - nepar.

Znakovi djeljivosti

Test djeljivosti sa 2. Broj je djeljiv sa 2 ako je njegova zadnja cifra paran. Na primjer, broj 4376 je djeljiv sa 2, pošto je posljednja znamenka (6) parna.

Test djeljivosti sa 3. Samo oni brojevi čiji je zbir cifara djeljiv sa 3 su djeljivi sa 3. Na primjer, broj 10815 je djeljiv sa 3, jer je zbir njegovih cifara 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 djeljiv sa 3.

Testovi djeljivosti sa 4. Broj je djeljiv sa 4 ako su njegove posljednje dvije cifre nule ili čine broj koji je djeljiv sa 4. Na primjer, broj 244500 je djeljiv sa 4 jer se završava s dvije nule. Brojevi 14708 i 7524 su djeljivi sa 4 jer su zadnje dvije cifre ovih brojeva (08 i 24) djeljive sa 4.

Testovi djeljivosti sa 5. Oni brojevi koji završavaju sa 0 ili 5 djeljivi su sa 5. Na primjer, broj 320 je djeljiv sa 5, pošto je zadnja cifra 0.

Test djeljivosti sa 6. Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv i sa 2 i sa 3. Na primjer, broj 912 je djeljiv sa 6 jer je djeljiv sa 2 i 3.

Testovi djeljivosti sa 8. Podijeljeni sa 8 su oni brojevi čije su posljednje tri cifre nule ili čine broj koji je djeljiv sa 8. Na primjer, broj 27000 je djeljiv sa 8, jer se završava sa tri nule. Broj 63128 je djeljiv sa 8 jer posljednje tri cifre čine broj (128) koji je djeljiv sa 8.

Test djeljivosti sa 9. Samo oni brojevi čiji je zbir cifara djeljiv sa 9 su djeljivi sa 9. Na primjer, broj 2637 je djeljiv sa 9, jer je zbir njegovih cifara 2 + 6 + 3 + 7 = 18 djeljiv sa 9.

Znakovi djeljivosti sa 10, 100, 1000 itd. Oni brojevi koji se završavaju na jednu nulu, dvije nule, tri nule i tako dalje dijele se sa 10, 100, 1000 itd. Na primjer, broj 3800 je djeljiv sa 10 i 100.

Matematika u 6. razredu počinje proučavanjem pojma djeljivosti i znakova djeljivosti. Često su ograničeni na kriterije djeljivosti sljedećim brojevima:

• On 2 : zadnja cifra mora biti 0, 2, 4, 6 ili 8;
• On 3 : zbir cifara broja mora biti djeljiv sa 3;
• On 4 : broj formiran od posljednje dvije cifre mora biti djeljiv sa 4;
• On 5 : zadnja cifra mora biti 0 ili 5;
• On 6 : broj mora imati znake djeljivosti sa 2 i 3;
• Test djeljivosti za 7 često promašeno;
• Također rijetko govore o testu djeljivosti po 8 , iako je sličan kriterijima za djeljivost sa 2 i 4. Da bi broj bio djeljiv sa 8, potrebno je i dovoljno da trocifreni završetak bude djeljiv sa 8.
• Test djeljivosti za 9 Svi znaju: zbir cifara broja mora biti djeljiv sa 9. Što, međutim, ne razvija imunitet protiv svih vrsta trikova s ​​datumima koje koriste numerolozi.
• Test djeljivosti za 10 , vjerovatno najjednostavniji: broj mora završavati na nulu.
• Ponekad se učenici šestog razreda uče o testu djeljivosti 11 . Morate sabrati cifre broja koje su na parnim mjestima, a od rezultata oduzeti brojeve koji su na neparnim mjestima. Ako je rezultat djeljiv sa 11, tada je i sam broj djeljiv sa 11.

Vratimo se sada na test djeljivosti sa 7. Ako govore o tome, kombinuju ga sa testom djeljivosti sa 13 i savjetuju da se tako koristi.

Uzmimo broj. Podijelimo ga na blokove od po 3 znamenke (krajnji lijevi blok može sadržavati jednu ili 2 znamenke) i naizmjenično sabiramo/oduzimamo te blokove.

Ako je rezultat djeljiv sa 7, 13 (ili 11), tada je i sam broj djeljiv sa 7, 13 (ili 11).

Ova metoda, kao i brojni matematički trikovi, zasniva se na činjenici da je 7x11x13 = 1001. Međutim, šta učiniti sa trocifrenim brojevima, za koje se pitanje djeljivosti, dešava se, također ne može riješiti bez same podjele.

Koristeći univerzalni test djeljivosti, moguće je konstruirati relativno jednostavne algoritme za određivanje da li je broj djeljiv sa 7 i druge „nezgodne“ brojeve.

Poboljšan test djeljivosti sa 7
Da biste provjerili da li je broj djeljiv sa 7, potrebno je da odbacite posljednju znamenku iz broja i dvaput oduzmite ovu cifru od rezultirajućeg rezultata. Ako je rezultat djeljiv sa 7, tada je i sam broj djeljiv sa 7.

Primjer 1:
Da li je 238 deljivo sa 7?
23-8-8 = 7. Dakle, broj 238 je djeljiv sa 7.
Zaista, 238 = 34x7

Ova radnja se može izvoditi više puta.
Primjer 2:
Je li 65835 djeljivo sa 7?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 je deljivo sa 7 (da ovo nismo primetili, mogli bismo da napravimo još jedan korak: 6-3-3 = 0, a 0 je svakako deljivo sa 7).

To znači da je broj 65835 djeljiv sa 7.

Na osnovu univerzalnog kriterija djeljivosti moguće je poboljšati kriterij djeljivosti za 4 i za 8.

Poboljšan test djeljivosti sa 4
Ako je polovina broja jedinica plus broj desetica paran broj, tada je broj djeljiv sa 4.

Primjer 3
Da li je broj 52 djeljiv sa 4?
5+2/2 = 6, broj je paran, što znači da je broj djeljiv sa 4.

Primjer 4
Da li je broj 134 djeljiv sa 4?
3+4/2 = 5, broj je neparan, što znači da 134 nije deljivo sa 4.

Poboljšan test djeljivosti sa 8
Ako zbrojite dvostruki broj stotina, broj desetica i polovinu broja jedinica, a rezultat je djeljiv sa 4, tada je i sam broj djeljiv sa 8.

Primjer 5
Da li je broj 512 djeljiv sa 8?
5*2+1+2/2 = 12, broj je djeljiv sa 4, što znači da je 512 djeljivo sa 8.

Primjer 6
Da li je broj 1984 djeljiv sa 8?
9*2+8+4/2 = 28, broj je djeljiv sa 4, što znači da je 1984 djeljiv sa 8.

Test djeljivosti sa 12- ovo je unija znakova djeljivosti sa 3 i 4. Isto vrijedi za bilo koje n koje je proizvod zajedničkih p i q. Da bi broj bio djeljiv sa n (koji je jednak proizvodu pq,actih, takav da je gcd(p,q)=1), jedan mora biti djeljiv sa p i q.

Ipak, budite oprezni! Da bi složeni kriteriji djeljivosti funkcionirali, faktori broja moraju biti međusobno prosti. Ne možete reći da je broj djeljiv sa 8 ako je djeljiv sa 2 i 4.

Poboljšan test djeljivosti sa 13
Da biste provjerili je li broj djeljiv sa 13, morate odbaciti posljednju znamenku iz broja i dodati je četiri puta rezultatu. Ako je rezultat djeljiv sa 13, tada je i sam broj djeljiv sa 13.

Primjer 7
Je li 65835 djeljivo sa 8?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Broj 43 nije djeljiv sa 13, što znači da broj 65835 nije djeljiv sa 13.

Primjer 8
Da li je 715 deljivo sa 13?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 je djeljiv sa 13, što znači da je broj 715 djeljiv sa 13.

Znakovi djeljivosti sa 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 i drugi složeni brojevi koji nisu stepen prostih brojeva slični su testovima za djeljivost sa 12. Provjeravamo djeljivost sa zajedničkim prostim faktorima ovih brojeva.

• Za 14: za 2 i za 7;
• Za 15: za 3 i za 5;
• Za 18: na 2 i 9;
• Za 21: na 3 i 7;
• Za 20: za 4 i za 5 (ili, drugim riječima, zadnja cifra mora biti nula, a pretposljednja cifra mora biti parna);
• Za 24: za 3 i za 8;
• Za 26: na 2 i 13;
• Za 28: na 4 i 7.

Poboljšani test djeljivosti sa 16.
Umjesto da provjeravate da li je 4-cifreni završetak broja djeljiv sa 16, možete dodati cifru jedinice sa 10-strukom cifrom desetice, četverostrukom cifrom stotine i
pomnožite sa osam puta cifrom hiljada i provjerite da li je rezultat djeljiv sa 16.

Primjer 9
Da li je broj 1984 djeljiv sa 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 nije djeljivo sa 16, što znači da 1984 nije djeljivo sa 16.

Primjer 10
Da li je broj 1526 djeljiv sa 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 nije deljivo sa 16, što znači da 1526 nije deljivo sa 16.

Poboljšani test djeljivosti sa 17.
Da biste provjerili da li je broj djeljiv sa 17, trebate odbaciti posljednju znamenku iz broja i oduzeti ovu cifru pet puta od rezultirajućeg rezultata. Ako je rezultat djeljiv sa 13, tada je i sam broj djeljiv sa 13.

Primjer 11
Da li je broj 59772 djeljiv sa 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 je djeljiv sa 17, što znači da je broj 59772 djeljiv sa 17.

Primjer 12
Da li je broj 4913 djeljiv sa 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 je djeljivo sa 17, što znači da je broj 4913 djeljiv sa 17.

Poboljšani test djeljivosti sa 19.
Da biste provjerili da li je broj djeljiv sa 19, potrebno je dvaput dodati posljednju cifru broju koji je preostao nakon što odbacite posljednju cifru.

Primjer 13
Da li je broj 9044 djeljiv sa 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 je djeljivo sa 19, što znači da je broj 9044 djeljiv sa 19.

Poboljšani test djeljivosti sa 23.
Da biste provjerili da li je broj djeljiv sa 23, potrebno je da broju preostalom nakon odbacivanja posljednje znamenke dodate posljednju cifru, uvećanu za 7 puta.

Primjer 14
Da li je broj 208012 djeljiv sa 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Zapravo, već možete primijetiti da je 253 23,

Mnogi ljudi se sjećaju iz školskog programa da postoje znakovi djeljivosti. Ova fraza se odnosi na pravila koja vam omogućavaju da brzo odredite da li je broj višekratnik datog broja bez izvođenja direktne aritmetičke operacije. Ova metoda se zasniva na radnjama koje se izvode s dijelom brojeva iz unosa u poziciji

Mnogi se sjećaju najjednostavnijih znakova djeljivosti iz školskog programa. Na primjer, činjenica da su svi brojevi čija je zadnja znamenka paran djeljivi sa 2. Ovaj znak je najlakše zapamtiti i primijeniti u praksi. Ako govorimo o načinu dijeljenja sa 3, onda za višecifrene brojeve vrijedi sljedeće pravilo, što se može pokazati na ovom primjeru. Morate saznati da li je 273 višestruko od tri. Da biste to učinili, izvršite sljedeću operaciju: 2+7+3=12. Dobiveni zbroj podijeljen je sa 3, dakle, 273 će biti podijeljeno sa 3 na način da je rezultat cijeli broj.

Znakovi djeljivosti sa 5 i 10 će biti sljedeći. U prvom slučaju unos će se završiti brojevima 5 ili 0, u drugom slučaju samo 0. Da biste saznali da li je dividenda višestruka od četiri, postupite na sljedeći način. Potrebno je izdvojiti posljednje dvije cifre. Ako su to dvije nule ili broj koji je djeljiv sa 4 bez ostatka, onda će sve što se dijeli biti višekratnik djelitelja. Treba napomenuti da se navedene karakteristike koriste samo u decimalnom sistemu. Oni se ne koriste u drugim metodama brojeva. U takvim slučajevima se izvode njihova vlastita pravila, koja zavise od osnove sistema.

Znakovi podjele sa 6 su sljedeći. 6 ako je višekratnik i 2 i 3. Da biste utvrdili da li je broj djeljiv sa 7, trebate udvostručiti posljednju cifru u njegovoj notaciji. Dobiveni rezultat oduzima se od originalnog broja, koji ne uzima u obzir posljednju znamenku. Ovo pravilo se može vidjeti u sljedećem primjeru. Potrebno je saznati da li je to višekratnik od 364. Da biste to učinili, 4 se množi sa 2, što rezultira 8. Zatim se izvodi sljedeća radnja: 36-8 = 28. Dobiveni rezultat je višekratnik 7, pa se originalni broj 364 može podijeliti sa 7.

Znakovi djeljivosti sa 8 su sljedeći. Ako posljednje tri cifre u broju čine broj koji je višekratnik osam, tada će sam broj biti djeljiv datim djeliteljem.

Da li je višecifreni broj djeljiv sa 12 možete saznati na sljedeći način. Koristeći gore navedene kriterije djeljivosti, morate saznati da li je broj višekratnik 3 i 4. Ako oni mogu istovremeno djelovati kao djelitelji broja, onda s datom dividendom možete izvršiti i operaciju dijeljenja sa 12 Slično pravilo vrijedi i za druge kompleksne brojeve, na primjer, petnaest. U ovom slučaju, djelitelji bi trebali biti 5 i 3. Da biste saznali da li je broj djeljiv sa 14, trebali biste vidjeti da li je višekratnik 7 i 2. Dakle, ovo možete razmotriti u sljedećem primjeru. Potrebno je utvrditi da li se 658 može podijeliti sa 14. Zadnja cifra u unosu je parna, dakle, broj je višekratnik dva. Zatim, množimo 8 sa 2, dobijamo 16. Od 65 trebamo oduzeti 16. Rezultat 49 je podijeljen sa 7, kao i cijeli broj. Dakle, 658 se može podijeliti sa 14.

Ako su posljednje dvije cifre u datom broju djeljive sa 25, tada će cijeli broj biti višekratnik ovog djelitelja. Za višecifrene brojeve, znak djeljivosti sa 11 zvučiće na sljedeći način. Potrebno je utvrditi da li je dati djelitelj višekratnik razlike između zbira cifara koje se nalaze na neparnim i parnim mjestima u njegovoj notaciji.

Treba napomenuti da znaci djeljivosti brojeva i njihovo poznavanje vrlo često uvelike pojednostavljuju mnoge probleme koji se nalaze ne samo u matematici, već iu Svakodnevni život. Ako ste u mogućnosti da odredite da li je broj višestruki od drugog, možete brzo završiti različite zadatke. Osim toga, korištenje ovih metoda u nastavi matematike pomoći će razvoju učenika ili školaraca i doprinijeti razvoju određenih sposobnosti.

Nastavljamo sa proučavanjem znakova djeljivosti. Ovaj članak raspravlja test djeljivosti sa 4. Prvo je data njegova formulacija i dati primjeri upotrebe. U nastavku je prikazan dokaz testa djeljivosti sa 4. U zaključku, razmatraju se pristupi koji omogućavaju da se dokaže djeljivost sa 4 brojeva datih kao vrijednost doslovnog izraza.

Navigacija po stranici.

Test za djeljivost sa 4, primjeri

Da biste provjerili da li je dati broj djeljiv sa 4, najlakši način je da izvršite dijeljenje direktno; od jednocifrenih brojeva samo su 4 i 8 djeljivi sa 4. Podijelite dvije cifre prirodni broj 4 također nije teško (čak ni sa usmenom podjelom). Na primjer, 24 je djeljivo sa 4 bez ostatka, jer je 24:4 = 6, a 83 nije djeljivo sa 4, jer je 83:4 = 20 (preostalo 3) (ako je potrebno, pogledajte članke i). Ali što broj sadrži više cifara, to je „neprijatnije“ izvršiti podjelu.

Da bismo lakše provjerili djeljivost datog višecifrenog broja, postoji test djeljivosti sa 4, što svodi proučavanje danog broja a zbog njegove sposobnosti da bude djeljiv sa 4 na testiranje djeljivosti jednoznačnog ili dvocifreni broj. Hajde da damo formulaciju ove karakteristike. Cijeli broj a je djeljiv sa 4 ako je broj sastavljen od posljednje dvije cifre u zapisu broja a (redom kojim se pojavljuju) djeljiv sa 4; ako sastavljeni broj nije djeljiv sa 4, tada broj a nije djeljiv sa 4.

Hajde da razmotrimo primjeri korištenja testa djeljivosti sa 4.

Primjer.

Koji su od brojeva −98,028, 7,612 i 999,888,777 djeljivi sa 4?

Rješenje.

Koristimo test djeljivosti sa 4.

Poslednje dve cifre -98,028 daju broj 28, pošto je 28 deljivo sa 4 (28:4=7), onda je broj -98,028 deljiv sa 4.

Posljednje dvije cifre 7612 čine broj 12, a 12 je djeljivo sa 4 (12:4=3), dakle, 7612 je djeljivo sa 4.

Konačno, posljednje dvije cifre broja 999,888,777 daju broj 77, budući da 77 nije djeljivo sa 4 (77:4 = 19 (ost. 1)), tada originalni broj nije djeljiv sa 4.

odgovor:

−98.028 i 7.612.

Kako primijeniti test djeljivosti sa 4 ako su posljednje dvije cifre u zapisu brojeva, na primjer, 01, 02, 03, ..., 09? U tim slučajevima, broj 0 na lijevoj strani se mora odbaciti, nakon čega ostaje samo jednocifreni broj 1 , 2 , 3 , …, 9 .

Primjer.

Da li su brojevi 75,003 i −88,108 djeljivi sa 4?

Rješenje.

Pogledajmo zadnje dvije cifre u unosu za broj 75.003 - vidimo 03, odbacimo nulu lijevo i imamo broj 3. Pošto 3 nije deljivo sa 4, onda na osnovu deljivosti sa 4 možemo zaključiti da 75.003 nije deljivo sa 4.

Slično, posljednje dvije cifre broja −88 108 čine broj 8, a pošto je 8 djeljivo sa 4, onda je broj −88 108 djeljiv sa 4.

odgovor:

75,003 nije djeljivo sa 4, ali −88,108 jeste.

Odvojeno, potrebno je reći o brojevima u čijoj notaciji su dvije uzastopne znamenke (ili više njih) s desne strane nule. Navedimo primjere takvih brojeva: 100, 893.900, 40.000, 373.002.000, itd. Takvi brojevi su djeljivi sa 4. Hajde da to opravdamo.

Broj 100 je djeljiv sa 4. Zaista, 100:4=25. vam omogućava da predstavite bilo koji drugi cijeli broj a, čiji se unos završava sa dvije nule, kao proizvod a 1 100, gdje se broj a 1 dobija iz broja a ako se dvije nule odbace u njegovom unosu s desne strane. Na primjer, 588,300=5,883·100 i 30,000=300·100. A proizvod a 1 100 je djeljiv sa 4, jer sadrži faktor 100, koji je djeljiv sa 4 (vidi svojstva djeljivosti). Dokazano je da je svaki cijeli broj sa dvije nule na desnoj strani djeljiv sa 4.

Dokaz djeljivosti sa 4

Da bismo dokazali test djeljivosti sa 4, potreban nam je sljedeći prikaz prirodnog broja a. Bilo koji prirodni broj a može se predstaviti u obliku a=a 1 100+a 0, pri čemu se broj a 1 dobija iz broja a ako se posljednje dvije znamenke uklone iz njegove notacije, a broj a 0 odgovara posljednjem dvije cifre u zapisu broja a. Na primjer, 5431=54·100+31. Ako je broj a jednocifreni ili dvocifren, tada je a=a 0 .

Također će nam trebati dva svojstva djeljivosti:

• Da bi cijeli broj a bio djeljiv cijelim brojem b, potrebno je i dovoljno da je modul broja a djeljiv sa modulom broja b;
• ako su u jednakosti a=s+t svi članovi osim jednog djeljivi s nekim cijelim brojem b, onda je i ovaj član djeljiv sa b.

Sada možemo donijeti dokaz djeljivosti sa 4, koje prvo preformulišemo po potrebi i dovoljno stanje djeljivost sa 4.

Teorema.

Da bi cijeli broj a bio djeljiv sa 4, potrebno je i dovoljno da je broj koji odgovara posljednje dvije cifre u zapisu broja a djeljiv sa 4.

Dokaz.

Za a=0 teorema je očigledna.

Za ostale cijele brojeve a a je pozitivan broj i može se predstaviti kao , kao što smo rekli prije teoreme.

Na kraju prvog paragrafa ovog članka pokazali smo da je proizvod a 1 100 uvijek djeljiv sa 4. Ako uzmemo u obzir i svojstva djeljivosti koja su data prije teoreme, dolazimo do sljedećih zaključaka.

Ako je broj a je djeljiv sa 4, tada je modul broja a djeljiv sa 4, tada jednakost implicira da je broj a 0 djeljiv sa 4. Ovo dokazuje potrebu.

S druge strane, iz djeljivosti a 0 sa 4 i jednakosti, modul a je djeljiv sa 4, što implicira djeljivost samog broja a sa 4. Ovo dokazuje dovoljnost.

Ostali slučajevi djeljivosti sa 4

Ponekad morate provjeriti djeljivost sa 4 cijelog broja koji je dat kao vrijednost nekog izraza. U takvim slučajevima direktna podjela nije moguća. Također, korištenje testa djeljivosti sa 4 nije uvijek moguće. Šta učiniti u ovim slučajevima?

Glavna ideja je da se originalni izraz svede na proizvod nekoliko faktora, od kojih je jedan djeljiv sa 4. U ovom slučaju, na osnovu odgovarajućeg svojstva djeljivosti, biće moguće zaključiti da je originalni izraz djeljiv sa 4.

Ponekad pomaže dobiti ovaj uvid. Dajemo primjer za pojašnjenje.

Primjer.

Da li je vrijednost izraza djeljiva sa 4? za neki prirodni n?

Rješenje.

Zamislimo 9 kao 8+1, nakon čega koristimo Newtonovu binomnu formulu:

Dobiveni proizvod je djeljiv sa 4, jer sadrži faktor 4, a izraz u zagradama je prirodan broj. dakle,

odgovor:

Da.

Često je moguće dokazati djeljivost sa 4 nekog izraza. Hajde da pokažemo kako se to radi koristeći uslov iz prethodnog primera.

Primjer.

Dokaži to je djeljiv sa 4 za bilo koji prirodan broj n.

Rješenje.

Pokažimo da je za n=1 vrijednost izraza djeljivo sa 4. Imamo , a 4 je djeljivo sa 4.

Pretvarajmo se to je deljiv sa 4 kada je n=k, odnosno pretpostavićemo da je deljiv sa 4.

Nastavimo naše upoznavanje sa znakovima djeljivosti. Sada ćemo učiti test djeljivosti sa 6. Prvo, dajmo njegovu formulaciju. Dalje, pogledajmo primjere korištenja testa djeljivosti sa 6. Nakon toga ćemo dokazati test djeljivosti sa 6. U zaključku, zadržimo se na primjerima u kojima se dokazuje djeljivost sa 6 vrijednosti nekih izraza.

Navigacija po stranici.

Test djeljivosti sa 6, primjeri

Formulacija testa djeljivosti sa 6 kombinuje znak deljivosti sa 2 i znak deljivosti sa 3. To je sljedeće: ako se zapis cijelog broja završava jednom od cifara 0, 2, 4, 6 ili 8, a zbir cifara u zapisu broja je djeljiv sa 3, tada je takav broj djeljiv po 6; ako je barem jedan od navedenih uvjeta prekršen, tada broj nije djeljiv sa 6. Drugim riječima, cijeli broj je djeljiv sa 6 ako i samo ako je taj broj djeljiv sa 2 i 3.

Dakle, test djeljivosti sa 6 primjenjuje se u dvije faze:

• U prvoj fazi provjerava se djeljivost broja sa 2. Da biste to učinili, uzima se u obzir posljednja znamenka u zapisu brojeva. Ako se zapis broja završava brojem 2, onda je ovaj broj djeljiv sa 2, a da bismo dalje provjerili njegovu djeljivost sa 6, prelazimo na drugu fazu. Ako se zadnja znamenka u broju razlikuje od 0, 2, 4, 6 ili 8, tada broj nije djeljiv sa 2, dakle, nije djeljiv sa 6.
• U drugoj fazi provjerava se djeljivost broja sa 3. Da biste to učinili, izračunava se zbir cifara originalnog broja i provjerava da li je djeljiv sa 3 (na primjer, pomoću testa djeljivosti sa 3). Ako je zbir cifara djeljiv sa 3, tada je broj djeljiv sa 3, a uzimajući u obzir njegovu djeljivost sa 2 (utvrđenu u prethodnom koraku), možemo zaključiti da je broj djeljiv sa 6. Ako zbir cifara originalnog broja nije djeljiv sa 3, onda ovaj broj nije djeljiv sa 3, dakle, nije djeljiv sa 6.

Sada možemo pogledati konkretno primjeri korištenja testa djeljivosti sa 6.

Primjer.

Da li je broj 8813 djeljiv sa 6?

Rješenje.

Za odgovor na postavljeno pitanje koristit ćemo test djeljivosti sa 6. Pošto se broj 8813 završava brojem 3, možemo zaključiti da broj 8813 nije djeljiv sa 6.

odgovor:

br.

Primjer.

Da li je moguće podijeliti 934 sa 6 bez ostatka?

Rješenje.

Broj 934 se završava brojem 4, tako da je prvi uslov djeljivosti sa 6 zadovoljen. Provjerimo da li je zbir cifara broja 934 djeljiv sa 3. Imamo 9+3+4=16, a 16 nije deljivo sa 3. Posljedično, drugi uvjet testa djeljivosti sa 6 nije zadovoljen, pa izvorni broj nije djeljiv sa 6.

odgovor:

br.

Primjer.

Da li je −7,269,708 djeljivo sa 6?

Rješenje.

Poslednja cifra u zapisu ovog broja je 8, što znači da je zadovoljen prvi uslov testa deljivosti sa 6. Sada nalazimo zbir cifara broja −7 269 708, imamo 7+2+6+9+7+0+8=39. Pošto je 39 djeljivo sa 3 (39:3=13), možemo zaključiti da je originalni broj djeljiv sa 6.

odgovor:

Da, dijeli.

U zaključku ove tačke, napominjemo da da biste provjerili djeljivost datog broja sa 6, možete izvršiti dijeljenje direktno, umjesto da pribjegavate testu djeljivosti sa 6.

Dokaz testa djeljivosti sa 6

Hajde da damo dokaz djeljivosti sa 6. Radi praktičnosti, koristimo formulaciju ove karakteristike u obliku neophodnog i dovoljnog uslova.

Teorema.

Da bi cijeli broj a bio djeljiv sa 6, potrebno je i dovoljno da je broj a djeljiv sa 2 i 3.

Dokaz.

Prvo dokazujemo nužnost, odnosno dokazujemo da ako je cijeli broj a djeljiv sa 6, onda je djeljiv sa 2 i 3.

Da bismo to učinili, potrebno nam je sljedeće svojstvo djeljivosti: ako je cijeli broj a djeljiv sa b, onda je proizvod m·a, gdje je m bilo koji cijeli broj, također djeljiv sa b.

Jer a je djeljivo sa 6, onda nam koncept djeljivosti dozvoljava da zapišemo jednakost a=6·q, gdje je q neki cijeli broj. U napisanom proizvodu faktor 6 je djeljiv i sa 2 i sa 3, a zatim iz gornjeg svojstva djeljivosti slijedi da je proizvod 6 q djeljiv i sa 2 i sa 3. Ovo dokazuje potrebu.

Da bi se test djeljivosti sa 6 u potpunosti dokazao, ostaje dokazati dovoljnost. Dokažimo da ako je cijeli broj a djeljiv sa 2 i 3, onda je djeljiv sa 6.

Ovdje će nam trebati teorema iz članka Osnovna teorema aritmetike. Evo njegove formulacije: ako je proizvod nekoliko pozitivnih cijelih faktora koji nisu jedan djeljiv prostim brojem p, tada je barem jedan faktor djeljiv sa p.

Pošto je cijeli broj a djeljiv sa 2, onda postoji cijeli broj q takav da je a=2·q. Ali cijeli broj a=2·q je također djeljiv sa 3, pa 2·q mora biti djeljiv sa 3. Pošto 2 nije deljivo sa 3, onda na osnovu teoreme navedene gore, q mora biti deljivo sa 3. Tada postoji cijeli broj q 1 takav da je q=3·q 1 . Dakle, a=2·q=2·3·q 1 =6·q 1. Iz rezultirajuće jednakosti slijedi da je broj a djeljiv sa 6. Ovo dokazuje dovoljnost.

Ostali slučajevi djeljivosti sa 6

U ovom dijelu ćemo se fokusirati na načine dokazivanja djeljivosti sa 6 date vrijednosti za određenu vrijednost varijable. U ovim slučajevima (kada cijeli broj nije eksplicitno specificiran) često je nemoguće direktno dijeljenje i primjena testa djeljivosti sa 6, pa je potreban drugačiji pristup rješenju.

Jedan pristup se zasniva na izjavi: ako je jedan od cjelobrojnih faktora u proizvodu djeljiv datim brojem, tada je cijeli proizvod djeljiv ovim brojem. Odnosno, ako je dati izraz predstavljen u obliku proizvoda u kojem je jedan od faktora djeljiv sa 6, to će dokazati djeljivost originalnog izraza sa 6. Ostaje da se razgovara o metodama prezentacije u formi rada.

Ponekad vam omogućava da date izraze predstavite u obliku željenog proizvoda. Pogledajmo primjer.

Primjer.

Je li vrijednost izraza djeljiva sa 6 za neki prirodni broj n.

Rješenje.

Broj 7 je jednako zbroju 6+1, dakle . Sada primjenjujemo Newtonovu binomnu formulu, nakon čega provodimo potrebne transformacije:

Tako smo došli do proizvoda koji je djeljiv sa 6, jer sadrži faktor 6, a vrijednost izraza u zagradi je prirodan broj za bilo koji prirodni broj n (pošto je zbir i proizvod prirodnih brojeva prirodan broj ). Stoga je vrijednost originalnog izraza za bilo koji prirodni n djeljiva sa 6.

odgovor:

Da.

Ako je izraz dat kao polinom, ponekad je moguće dobiti proizvod sa faktorom djeljivim sa 6. Nakon toga, varijabli n u rezultujućoj ekspanziji daju se vrijednosti n=6·m, n=6·m+1, n=6·m+2, …, n=6·m+5, gdje je m je cijeli broj. Ako se pokaže djeljivost za svaki takav n, onda će to dokazati djeljivost originalnog izraza sa 6 za bilo koji cijeli broj n.

Primjer.

Dokažite da je za bilo koji cijeli broj n vrijednost izraza djeljiva sa 6.

Rješenje.

Faktorizacija ovog izraza ima oblik .

At n=6 m imamo . Dobiveni proizvod sadrži faktor 6, tako da je djeljiv sa 6 za bilo koji cijeli broj m.