Dom / Herpes/ Radijus upisane kružnice u trokut je formula. Upisana i kružna kružnica. Vizuelni vodič s primjerima (2019.)

Polumjer upisane kružnice u trokut je formula. Upisana i kružna kružnica. Vizuelni vodič s primjerima (2019.)

MKOU "Srednja škola Volchikhinskaya br. 2"

Učiteljica Bakuta E.P.

9. razred

Lekcija na temu "Formule za poluprečnike upisanih i opisanih kružnica pravilnih mnogouglova"

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: izučavanje formula za polumjere upisanih i opisanih kružnica pravilnih poligona;

Razvojni: aktiviranje kognitivne aktivnosti učenika kroz rješavanje praktičnih problema, sposobnost izbora ispravno rješenje, sažeto iznesite svoja razmišljanja, analizirajte i izvucite zaključke.

Vaspitno: organizovanje zajedničkih aktivnosti, usađivanje kod učenika interesovanja za predmet, dobre volje i sposobnosti da slušaju odgovore svojih drugova.

Oprema: multimedijalni računar, multimedijalni projektor, ekran za ekspoziciju

Napredak lekcije:

1. Organiziranje vremena

Da argumentujem pravu stvar,

A moto naše lekcije bit će ove riječi:

Mislite kolektivno!

Riješite brzo!

Odgovorite dokazima!

Borite se jako!

2. Motivacija časa.

3. Ažuriranje osnovnih znanja. Provjera d/z.

Frontalna anketa:

Koji oblik se naziva poligon?

Koji se poligon naziva pravilnim?

Koji je drugi naziv za pravilan trougao?

Koji je drugi naziv za pravilan četvorougao?

Formula za zbir uglova konveksnog poligona.

Formula ugla pravilnog poligona.

4. Proučavanje novog gradiva. (slajdovi)

Kaže se da je kružnica upisana u poligon ako sve strane poligona dodiruju krug.

Krug se naziva opisanim oko poligona ako svi vrhovi poligona leže na krugu.

Krug može biti upisan ili opisan oko bilo kojeg trokuta, a središte kružnice upisane u trokut leži na presjeku simetrala trokuta, a središte kružnice opisane oko trokuta leži u sjecištu simetrala okomite .

Krug se može opisati oko bilo kojeg pravilnog poligona, a krug se može upisati u bilo koji pravilan poligon, a centar kruga opisanog oko pravilnog poligona poklapa se sa središtem kruga upisanog u isti poligon.

Formule za polumjere upisanih i opisanih kružnica pravilnog trougla, pravilnog četvorougla, pravilnog šestougla.

Radijus upisane kružnice u pravilnom poligonu (r):

a - strana poligona, N - broj strana poligona

Radijus kruga pravilnog poligona (R):

a je strana poligona, N je broj strana poligona.

Popunimo tabelu za pravilan trougao, pravilan četvorougao, pravilan šestougao.

5. Konsolidacija novog materijala.

Riješi br. 1088, 1090, 1092, 1099.

6. Fizičke vježbe . Jedan - istegni se Dva - sagni se

Tri - pogledaj okolo Četiri - sedi

Pet - ruke gore Šest - napred

Sedam - spušteno Osam - sjelo

Devet - ustao Deset - ponovo seo

7. Samostalan rad studenti (rad u grupama)

Reši br. 1093.

8. Sažetak lekcije. Refleksija. D/z.

Kakav ste utisak stekli? (Sviđa mi se – nije mi se svidjelo)

– Kako se osećate posle časa? (radosno - tužno)

- Kako se osjećaš? (Umoran - nije umoran)

– Kakav je vaš stav prema obrađenom materijalu? (Shvatio - nisam shvatio)

– Kakvo je vaše samopoštovanje nakon časa? (Zadovoljan – nisam zadovoljan)

– Procijenite svoju aktivnost na času. (Pokušao sam - nisam pokušao).

ponoviti paragrafe 105-108;

naučiti formule;

№ 1090, 1091, 1087(3)

Matematika ima glasine

Da ona svoj um dovede u red,

Jer dobre reči

Ljudi često pričaju o njoj.

Daješ nam geometriju

Kaljenje je važno za pobedu.

Mladi ljudi uče sa vama

Razvijajte i volju i domišljatost.

Bilješka Prezentacija sadrži sekcije:

Ponavljanje teorijskog gradiva

Ispitivanje zadaća

Izvođenje osnovnih formula, tj. novi materijal

Konsolidacija: rješavanje problema u grupama i samostalno

Pogledajte sadržaj prezentacije
"9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2"

Da argumentujem pravu stvar,
Da ne bi znao neuspjehe u životu,
Hajdemo hrabro u svet matematike,
U svijet primjera i različitih zadataka.

MOTO LEKCIJE

Mislite kolektivno!

Riješite brzo!

Odgovorite dokazima!

Borite se jako!

A otkrića nas definitivno čekaju!

Ponavljanje.

Koja geometrijska figura

prikazano na slici?

2.Kako se zove poligon

tačno?

3.Kako se zove krug

upisan u poligon?

WITH

4.Kako se zove krug

opisano o poligonu?

5.Imenujte poluprečnik upisane kružnice.

6. Imenujte poluprečnik opisane kružnice.

7.Kako pronaći centar upisanog u ispravnom

kružni poligon?

8. Kako pronaći centar opisane kružnice

pravilan poligon?

Provjera napretka

zadaća ..

№ 1084.

β – odgovarajući ugao

luk koji je povučen zajedno

strana poligona .

A P

A 2

odgovori:

a) 6;

b) 12;

A 1

u 4;

d) 8;

d) 10

e) 20;

e) 7.

e) 5.

REGULAR POLYGON

Pravilan mnogokut je konveksan mnogokut u kojem su svi uglovi jednaki i sve stranice jednake.

Zbir pravih uglova n -kvadrat

Ugao ispravan n - kvadrat

Za krug se kaže da je upisan u poligon

ako sve strane poligona dodiruju ovaj krug.

Krug se naziva opisanim oko poligona ako svi njegovi vrhovi leže na njemu

krugovima.

Upisana i opisana kružnica

Krug upisan u pravilan poligon dodiruje stranice poligona u njihovim središtima.

Središte kružnice opisane oko pravilnog poligona poklapa se sa središtem kruga upisanog u isti poligon.

Izvedemo formulu za polumjere upisanog i opisanog kruga pravilnog poligona.

Neka je r polumjer upisane kružnice,

R – poluprečnik opisane kružnice,

n – broj stranica i uglova poligona.

Zamislite regularni n-ugao.

Neka je a strana n-ugla,

α – ugao.

Konstruirajmo tačku O - centar upisane i opisane kružnice.

OS – visina ∆AOB.

∟ S = 90 º - (po konstrukciji),

Razmotrimo ∆AOC:

∟ OAS = α /2 - (OA je simetrala ugla p-ugla),

AC = a/2 – (OS – medijana osnovice jednakokračnog trokuta),

∟ AOB = 360 º: p,

neka je ∟AOC = β.

tada je β = 0,5 ∙ ∟AOB

0,5∙(360º:p)

2 sin (180º:n)

2 tg (180º:p)

Površina pravilnog poligona

Strana pravilnog poligona

Radijus upisane kružnice

Grupa 1 Dato: R , n =3 Nađi: a

Grupa 2 Dato: R , n =4 Nađi: a

Grupa 3 Dato: R , n =6 Nađi: a

Grupa 4 Dato: r , n =3 Nađi: a

Grupa 5 Dato: r , n = 4 Pronaci

Grupa 6 Dato: r , n = 6 Pronaci

Grupa 1 Dato: R , n =3 Nađi: a

Grupa 2 Dato: R , n =4 Nađi: a

Grupa 3 Dato: R , n =6 Nađi: a

Grupa 4 Dato: r , n =3 Nađi: a

Grupa 5 Dato: r , n = 4 Pronaci

Grupa 6 Dato: r , n = 6 Pronaci

n = 3

n = 4

n = 6

2 tg (180º:p)

2 sin (180º:n)

zatim 180 º: str

Pravilan trokut ima n = 3,

odakle je 2 sin 60 º =

zatim 180 º: str

Pravilan četvorougao ima n = 4,

odakle je 2 sin 45 º =

Pravilan šestougao ima n = 6,

zatim 180 º: str

odakle je 2 sin 30 º =

Koristeći formule za polumjere upisanih i opisanih kružnica nekih pravilnih poligona, izvedite formule za nalaženje ovisnosti stranica pravilnih mnogouglova od polumjera upisanih i opisanih kružnica i popunite tabelu:

2 R ∙ sin (180 º: n)

2 r ∙ tg (180 º: p)

trougao

hexagon

pp. 105 – 108;

№ 1087;

№ 1088 – pripremiti sto.

n=4

a 4

3√2

2√2

16√2

4√2

2√2

3,5√2

3,5

2√2

№ 1087(5)

Dato: S=16 , n =4

Nađi: a, r, R, P

Znamo formule:

№ 1088( 5 )

Dato: P=6 , n = 3

Nađi: R, a, r, S

Znamo formule:

№ 108 9

Dato:

Nađi:

Sažmite

Znamo formule:

ponoviti paragrafe 105-108;
naučiti formule;
№ 1090, 1091, 1087(3)

Prvo, shvatimo razliku između kruga i kruga. Da biste vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. To su beskonačan broj tačaka na ravni, koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od jedne centralne tačke. Ali, ako se krug sastoji i od unutrašnjeg prostora, onda on ne pripada krugu. Ispostavilo se da je krug i kružnica koja ga ograničava (krug(r)) i bezbroj tačaka koje se nalaze unutar kruga.

Za bilo koju tačku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Dužina segmenta OL jednaka je poluprečniku kružnice).

Segment koji spaja dvije tačke na kružnici je njegov akord.

Tetiva koja prolazi direktno kroz centar kružnice je prečnika ovaj krug (D). Prečnik se može izračunati pomoću formule: D=2R

Obim izračunato po formuli: C=2\pi R

Područje kruga: S=\pi R^(2)

Luk kruga naziva se onaj njegov dio koji se nalazi između njegove dvije tačke. Ove dvije tačke definiraju dva luka kružnice. Akord CD savija dva luka: CMD i CLD. Identične tetive savijaju jednake lukove.

Centralni ugao Ugao koji leži između dva poluprečnika naziva se.

Dužina luka može se pronaći pomoću formule:

Koristeći mjeru stepena: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Korištenje radijanske mjere: CD = \alpha R

Prečnik, koji je okomit na tetivu, dijeli tetivu i lukove koje ona skuplja na pola.

Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u tački N, tada su proizvodi segmenata tetiva razdvojenih tačkom N jednaki jedan drugom.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangenta na kružnicu

Tangenta na kružnicu Uobičajeno je da se zove prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom.

Ako pravac ima dvije zajedničke tačke, zove se secant.

Ako povučete polumjer do tačke tangente, on će biti okomit na tangentu kružnice.

Nacrtajmo dvije tangente iz ove tačke u našu kružnicu. Ispada da će tangentni segmenti biti jednaki jedan drugom, a centar kruga će se nalaziti na simetrali ugla sa vrhom u ovoj tački.

AC = CB

Sada nacrtajmo tangentu i sekansu na kružnicu iz naše tačke. Dobijamo da će kvadrat dužine tangentnog segmenta biti jednak proizvodu cijelog sekansnog segmenta i njegovog vanjskog dijela.

AC^(2) = CD \cdot BC

Možemo zaključiti: proizvod cijelog segmenta prve sekante i njegovog vanjskog dijela jednak je proizvodu cijelog segmenta druge sekante i njegovog vanjskog dijela.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Uglovi u krugu

Mere stepena centralnog ugla i luka na koji se oslanja su jednake.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Upisani ugao je ugao čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.

Možete ga izračunati znajući veličinu luka, jer je jednaka polovini ovog luka.

\ugao AOB = 2 \ugao ADB

Na osnovu prečnika, upisanog ugla, pravog ugla.

\ugao CBD = \ugao CED = \ugao CAD = 90^ (\circ)

Upisani uglovi koji savijaju isti luk su identični.

Upisani uglovi koji počivaju na jednoj tetivi su identični ili je njihov zbir jednak 180^ (\circ) .

\ugao ADB + \ugao AKB = 180^ (\circ)

\ugao ADB = \ugao AEB = \ugao AFB

Na istom krugu su vrhovi trouglova sa identičnim uglovima i datom bazom.

Ugao sa vrhom unutar kruga i koji se nalazi između dvije tetive identičan je polovini zbroja ugaonih vrijednosti lukova kruga koji se nalaze unutar zadanog i vertikalnog kuta.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ugao s vrhom izvan kruga i smješten između dvije sekante identičan je polovini razlike ugaonih vrijednosti lukova kruga koji se nalaze unutar kuta.

\ugao M = \ugao CBD - \ugao ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\cup DmC - \cup AlB \desno)

Upisan krug

Upisan krug je kružnica tangenta na stranice poligona.

U tački u kojoj se sijeku simetrale uglova mnogougla nalazi se njegov centar.

Krug ne može biti upisan u svaki poligon.

Površina poligona s upisanim krugom nalazi se po formuli:

S = pr,

p je poluperimetar poligona,

r je poluprečnik upisane kružnice.

Iz toga slijedi da je polumjer upisane kružnice jednak:

r = \frac(S)(p)

Zbroji dužina suprotnih strana bit će identični ako je krug upisan u konveksni četverokut. I obrnuto: krug se uklapa u konveksni četverokut ako su zbroji dužina suprotnih strana identični.

AB + DC = AD + BC

Moguće je upisati krug u bilo koji od trouglova. Samo jedan jedini. U tački u kojoj se sijeku simetrale unutrašnjih uglova figure, ležat će centar ove upisane kružnice.

Radijus upisane kružnice izračunava se po formuli:

r = \frac(S)(p) ,

gdje je p = \frac(a + b + c)(2)

Circumcircle

Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, tada se takav krug obično naziva opisano o poligonu.

U tački presjeka simetrala okomitih stranica ove figure bit će centar opisane kružnice.

Radijus se može naći izračunavanjem kao poluprečnik kruga koji je opisan oko trougla definisanog sa bilo koja 3 vrha poligona.

Postoji sljedeći uvjet: krug se može opisati oko četverougla samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova jednak 180^( \circ) .

\ugao A + \ugao C = \ugao B + \ugao D = 180^ (\circ)

Oko bilo kojeg trougla možete opisati krug, i to samo jedan. Središte takvog kruga nalazit će se u tački gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.

Radijus opisane kružnice može se izračunati pomoću formula:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c su dužine stranica trokuta,

S je površina trokuta.

Ptolomejev teorem

Konačno, razmotrite Ptolomejev teorem.

Ptolomejev teorem kaže da je proizvod dijagonala identičan zbiru proizvoda suprotnih strana cikličkog četverokuta.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Ako se krug nalazi unutar ugla i dodiruje njegove stranice, naziva se upisanim u ovaj kut. Središte takvog upisanog kruga nalazi se na simetrala ovog ugla.

Ako leži unutar konveksnog mnogougla i dodiruje sve njegove strane, naziva se upisanim u konveksni poligon.

Krug upisan u trokut dodiruje svaku stranu ove figure samo u jednoj tački. U jedan trougao može biti upisan samo jedan krug.

Polumjer takve kružnice ovisit će o sljedećim parametrima trokuta:

Dužine stranica trougla.
Njegova oblast.
Njegov perimetar.
Mjerenje uglova trougla.

Da bi se izračunao polumjer upisane kružnice u trokut, nije uvijek potrebno poznavati sve gore navedene parametre, jer su oni međusobno povezani kroz trigonometrijske funkcije.

Proračun korištenjem poluperimetra

Ako su poznate dužine svih strana geometrijske figure (označavamo ih slovima a, b i c), tada će se polumjer morati izračunati izdvajanjem kvadratni korijen.
Prilikom početka proračuna potrebno je početnim podacima dodati još jednu varijablu - poluperimetar (p). Može se izračunati sabiranjem svih dužina i dijeljenjem rezultujuće sume sa 2. p = (a+b+c)/2. Na ovaj način se formula za pronalaženje radijusa može značajno pojednostaviti.
Općenito, formula bi trebala uključivati znak radikala pod kojim je razlomak stavljen; nazivnik ovog razlomka će biti vrijednost poluperimetra p.
Brojač ovog razlomka bit će proizvod razlika (p-a)*(p-b)*(p-c)
Dakle, puni oblik formule će biti predstavljen na sljedeći način: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Proračun uzimajući u obzir površinu trokuta

Ako znamo površina trougla i dužine svih njegovih strana, to će nam omogućiti da pronađemo radijus kruga koji nas zanima bez pribjegavanja vađenju korijena.

Prvo morate udvostručiti površinu.
Rezultat je podijeljen zbirom dužina svih strana. Tada će formula izgledati ovako: r = 2*S/(a+b+c).
Ako koristite vrijednost poluperimetra, možete dobiti vrlo jednostavnu formulu: r = S/p.

Proračun pomoću trigonometrijskih funkcija

Ako iskaz problema sadrži dužinu jedne od stranica, veličinu suprotnog ugla i opseg, možete koristiti trigonometrijska funkcija- tangenta. U ovom slučaju, formula za izračun će izgledati ovako:

r = (P /2- a)* tg (α/2), gdje je r željeni polumjer, P je obim, a je dužina jedne od stranica, α je vrijednost suprotne strane, a ugao.

Poluprečnik kruga koji treba da se upiše u pravilan trougao može se naći pomoću formule r = a*√3/6.

Krug upisan u pravougli trokut

IN pravougaonog trougla može se uneti samo jedan krug. Središte takve kružnice istovremeno služi kao presjek svih simetrala. Ova geometrijska figura ima nešto karakteristične karakteristike, što se mora uzeti u obzir pri izračunavanju polumjera upisane kružnice.

Prvo morate izgraditi pravokutni trokut sa datim parametrima. Takvu figuru možete konstruirati po veličini jedne strane i vrijednostima dva ugla, ili po dvije strane i kutu između ovih strana. Svi ovi parametri moraju biti specificirani u uvjetima zadatka. Trougao je označen kao ABC, a C je vrh. pravi ugao. Noge su označene varijablama, A I b, a hipotenuza je varijabla With.
Za konstruiranje klasične formule i izračunavanje polumjera kružnice potrebno je pronaći dimenzije svih strana figure opisane u opisu problema i iz njih izračunati poluperimetar. Ako uvjeti daju veličine dva kraka, možete ih koristiti za izračunavanje veličine hipotenuze na osnovu Pitagorine teoreme.
Ako uvjet daje veličinu jedne noge i jednog kuta, potrebno je razumjeti da li je ovaj kut susjedan ili suprotan. U prvom slučaju hipotenuza se nalazi pomoću teoreme sinusa: c=a/sinSAV, u drugom slučaju se primjenjuje kosinusna teorema c=a/cosCBA.
Kada su svi proračuni završeni i vrijednosti svih strana su poznate, poluperimetar se nalazi pomoću gore opisane formule.
Znajući veličinu poluperimetra, možete pronaći radijus. Formula je razlomak. Njegov brojilac je proizvod razlika između poluperimetra i svake strane, a nazivnik je vrijednost poluperimetra.

Treba napomenuti da je brojilac ove formule indikator područja. U ovom slučaju, formula za pronalaženje radijusa je mnogo jednostavnija - dovoljno je podijeliti područje poluperimetrom.

Moguće je odrediti površinu geometrijske figure čak i ako su poznate obje strane. Zbroj kvadrata ovih kateta se koristi za pronalaženje hipotenuze, a zatim se izračunava poluperimetar. Površinu možete izračunati množenjem vrijednosti nogu jedna s drugom i dijeljenjem rezultata sa 2.

Ako su u uslovima date dužine i kateta i hipotenuze, poluprečnik se može odrediti pomoću vrlo jednostavne formule: za to se dužine kateta zbrajaju, a dužina hipotenuze oduzima se od rezultirajuće broj. Rezultat se mora podijeliti na pola.

Video

U ovom videu ćete naučiti kako pronaći polumjer kružnice upisane u trokut.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Krug se smatra upisanim unutar granica pravilnog poligona ako leži unutar njega i dodiruje linije koje prolaze kroz sve strane. Pogledajmo kako pronaći centar i polumjer kružnice. Središte kružnice će biti tačka u kojoj se sijeku simetrale uglova poligona. Radijus se izračunava: R=S/P; S je površina poligona, P je poluperimetar kruga.

U trouglu

Samo jedan krug je upisan u pravilan trougao, čije se središte naziva središte; nalazi se na istoj udaljenosti od svih strana i presjek je simetrala.

U četvorouglu

Često morate odlučiti kako pronaći radijus upisane kružnice u ovome geometrijska figura. Mora biti konveksna (ako nema samopresecanja). Krug se u njega može upisati samo ako su zbroji suprotnih strana jednaki: AB+CD=BC+AD.

U ovom slučaju, središte upisane kružnice, sredine dijagonala, nalaze se na istoj pravoj liniji (prema Njutnovoj teoremi). Segment čiji se krajevi nalaze na mjestu gdje se sijeku suprotne strane pravilnog četverougla leži na istoj pravoj liniji, koja se naziva Gausova prava linija. Središte kružnice će biti tačka u kojoj se visine trougla sijeku sa vrhovima i dijagonalama (prema Brocardovoj teoremi).

U romb

Smatra se paralelogramom sa stranicama jednake dužine. Polumjer kružnice upisane u nju može se izračunati na nekoliko načina.

Da biste to učinili ispravno, pronađite polumjer upisane kružnice romba, ako su poznate površina romba i dužina njegove stranice. Koristi se formula r=S/(2Xa). Na primjer, ako je površina romba kvadratna 200 mm, dužina stranice je 20 mm, tada je R = 200/(2X20), odnosno 5 mm.
Famous oštri ugao jedan od vrhova. Zatim trebate koristiti formulu r=v(S*sin(α)/4). Na primjer, sa površinom od 150 mm i poznatim uglom od 25 stepeni, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 mm.
Svi uglovi u rombu su jednaki. U ovoj situaciji, polumjer kružnice upisane u romb bit će jednak polovini dužine jedne strane ove figure. Ako razmišljamo prema Euklidu, koji kaže da je zbir uglova bilo kog četvorougla 360 stepeni, onda će jedan ugao biti jednak 90 stepeni; one. ispostaviće se da je to kvadrat.

Krug upisan u trougao

Postojanje kruga upisanog u trokut

Podsjetimo se na definiciju simetrale ugla .

Definicija 1 .Simetrala ugla zove se zraka koja dijeli ugao na dva jednaka dijela.

Teorema 1 (Osnovno svojstvo simetrale ugla) . Svaka tačka simetrale ugla je na istoj udaljenosti od stranica ugla (slika 1).

Rice. 1

Dokaz D , leži na simetrali uglaBAC , And DE I DF sa strane ugla (sl. 1).Pravi trouglovi ADF I ADE jednaka , pošto imaju jednake oštre ugloveDAF I DAE , i hipotenuza AD – general. dakle,

DF = DE,

Q.E.D.

Teorema 2 (konverzno sa teoremom 1) . Ako je neki, onda leži na simetrali ugla (slika 2).

Rice. 2

Dokaz . Razmotrite proizvoljnu tačkuD , leži unutar uglaBAC i nalazi se na istoj udaljenosti od strana ugla. Hajdemo s temeD okomite DE I DF na stranama ugla (sl. 2).Pravi trouglovi ADF I ADE jednaka , pošto imaju jednake nogeDF I DE , i hipotenuza AD – general. dakle,

Q.E.D.

Definicija 2 . Krug se zove krug upisan u ugao , ako su to strane ovog ugla.

Teorema 3 . Ako je kružnica upisana u kut, tada su udaljenosti od vrha ugla do tačaka dodira kružnice sa stranama ugla jednake.

Dokaz . Pusti poentu D – centar kružnice upisan u ugaoBAC , i bodove E I F – dodirne tačke kružnice sa stranicama ugla (sl. 3).

Fig.3

a , b , c - stranice trougla,  S -kvadrat,

r – poluprečnik upisane kružnice,  str – poluperimetar

Pogledajte izlaz formule

a – bočna strana jednakokračnog trougla ,   b – baza, r – radijus upisane kružnice

a r – radijus upisane kružnice

Pogledajte izlaz formule

Gdje

tada, u slučaju jednakokračnog trougla, kada

dobijamo

što je bilo potrebno.

Teorema 7 . Za jednakost

Gdje a – stranica jednakostraničnog trougla,r – poluprečnik upisane kružnice (slika 8).

Rice. 8

Dokaz .

tada, u slučaju jednakostraničnog trougla, kada

b = a,

dobijamo

što je bilo potrebno.

Komentar . Preporučujem da kao vježbu izvedete formulu za polumjer upisane kružnice jednakostranični trougao, direktno, tj. bez upotrebe opšte formule za polumjere kružnica upisanih u proizvoljan trokut ili jednakokraki trokut.

Teorema 8 . Za pravokutni trokut vrijedi sljedeća jednakost:

Gdje a , b – katete pravouglog trougla, c – hipotenuza , r – poluprečnik upisane kružnice.

Dokaz . Razmotrite sliku 9.

Rice. 9

Pošto je četvorougaoCDOF je , koji ima susjedne straneDO I OF su jednaki, onda je ovaj pravougaonik . dakle,

CB = CF= r,

Na osnovu teoreme 3, tačne su sljedeće jednakosti:

Stoga, također uzimajući u obzir, dobijamo

što je bilo potrebno.

Izbor zadataka na temu "Kružnica upisana u trokut."

Krug upisan u jednakokraki trokut dijeli jednu od bočnih strana u tački dodira na dva segmenta, čije su dužine 5 i 3, računajući od vrha nasuprot osnovici. Pronađite obim trougla.

U trouglu ABC AC=4, BC=3, ugao C je 90º. Pronađite polumjer upisane kružnice.

Kraci jednakokračnog pravouglog trougla su 2+. Pronađite polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

Poluprečnik kružnice upisane u jednakokraki pravokutni trokut je 2. Nađite hipotenuzu c ovog trougla. Molimo navedite c(–1) u svom odgovoru.

Predstavljamo niz problema sa Jedinstvenog državnog ispita sa rešenjima.

Poluprečnik kružnice upisane u jednakokračan pravougaoni trokut jednak je . Pronađite hipotenuzu ovog trougla. Molimo navedite u svom odgovoru.

Trougao je pravougaoni i jednakokraki. To znači da su mu noge iste. Neka svaka noga bude jednaka. Tada je hipotenuza jednaka.

Površinu trokuta ABC pišemo na dva načina:

Izjednačavajući ove izraze, dobijamo to. Zbog, razumemo. Onda.

Napisat ćemo odgovor.

odgovor:.

Zadatak 2.

1. U slobodnom, postoje dvije strane od 10cm i 6cm (AB i BC). Nađi poluprečnike opisane i upisane kružnice
Problem se rješava samostalno uz komentarisanje.

Rješenje:

IN.

1) Pronađite:
2) Dokažite:i pronađite CK
3) Pronađite: poluprečnike opisane i upisane kružnice

Rješenje:

Zadatak 6.

R polumjer kružnice upisane u kvadrat je. Pronađite polumjer kružnice opisane oko ovog kvadrata.Dato :

Nađi: OS=?
Rješenje: U ovom slučaju, problem se može riješiti pomoću Pitagorine teoreme ili formule za R. Drugi slučaj će biti jednostavniji, jer je formula za R izvedena iz teoreme.