Kako uporediti razlomke sa istim imeniocima pravilo. Poređenje razlomaka

Od dva razlomka sa isti imenioci onaj sa većim brojiocem je veći, a onaj sa manjim brojnikom je manji. U stvari, imenilac pokazuje na koliko je delova podeljena jedna cela vrednost, a brojilac pokazuje na koliko je takvih delova uzeto.

Ispada da smo svaki cijeli krug podijelili istim brojem 5 , ali su uzeli različite količine dijelovi: uzeli su više - veći dio i ispalo je.

Od dva razlomka sa istim brojiocima, onaj sa manjim nazivnikom je veći, a onaj sa većim imeniocem manji. Pa, u stvari, ako podijelimo jedan krug na 8 dijelovi, a drugi na 5 dijelove i uzmite po jedan dio iz svakog od krugova. Koji dio će biti veći?

Naravno, iz kruga podijeljenog sa 5 dijelovi! Sada zamislite da ne dijele krugove, već kolače. Koji komad biste više voljeli, odnosno koji bi dijelili: peti ili osmi?

Za usporedbu razlomaka s različitim brojiocima i različiti imenioci, trebate svesti razlomke na najmanji zajednički imenilac, a zatim uporediti razlomke sa istim nazivnicima.

Primjeri. Uporedite obične razlomke:

Smanjimo ove razlomke na njihov najmanji zajednički nazivnik. NOZ(4 ; 6)=12. Pronalazimo dodatne faktore za svaki od razlomaka. Za 1. razlomak dodatni faktor 3 (12: 4=3 ). Za 2. razlomak dodatni faktor 2 (12: 6=2 ). Sada upoređujemo brojioce dva rezultujuća razlomka sa istim nazivnicima. Pošto je brojilac prvog razlomka manji od brojnika drugog razlomka ( 9<10) , tada je sam prvi razlomak manji od drugog razlomka.

U svakodnevnom životu često moramo da upoređujemo razlomke. Najčešće to ne uzrokuje poteškoće. Zaista, svi razumiju da je pola jabuke veće od četvrtine. Ali kada je u pitanju zapisivanje kao matematički izraz, može postati zbunjujuće. Primjenom sljedećih matematičkih pravila možete lako riješiti ovaj problem.

Kako uporediti razlomke sa istim nazivnicima

Takve razlomke je najpogodnije za poređenje. U ovom slučaju koristite pravilo:

Od dva razlomka sa istim nazivnicima, ali različitim brojnicima, veći je onaj čiji je brojilac veći, a manji onaj čiji je brojilac manji.

Na primjer, uporedite razlomke 3/8 i 5/8. Imenioci u ovom primjeru su jednaki, tako da primjenjujemo ovo pravilo. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Zaista, ako dvije pice isječete na 8 kriški, tada je 3/8 kriške uvijek manje od 5/8.

Uspoređivanje razlomaka sa sličnim brojiocima i različitim nazivnicima

U ovom slučaju se upoređuju veličine udjela u nazivniku. Pravilo koje treba primijeniti je:

Ako dva razlomka imaju jednake brojioce, tada je veći razlomak čiji je imenilac manji.

Na primjer, uporedite razlomke 3/4 i 3/8. U ovom primjeru, brojnici su jednaki, što znači da koristimo drugo pravilo. Razlomak 3/4 ima manji imenilac od razlomka 3/8. Dakle 3/4>3/8

Zaista, ako pojedete 3 kriške pice podijeljene na 4 dijela, bit ćete sitiji nego da ste pojeli 3 kriške pizze podijeljene na 8 dijelova.

Uspoređivanje razlomaka s različitim brojiocima i nazivnicima

Primijenimo treće pravilo:

Poređenje razlomaka sa različitim nazivnicima trebalo bi da dovede do poređenja razlomaka sa istim nazivnicima. Da biste to učinili, trebate svesti razlomke na zajednički nazivnik i koristiti prvo pravilo.

Na primjer, trebate usporediti razlomke i . Da bismo odredili veći razlomak, ova dva razlomka svedemo na zajednički nazivnik:

• Sada pronađimo drugi dodatni faktor: 6:3=2. Pišemo to iznad drugog razlomka:

U ovoj lekciji ćemo naučiti kako međusobno upoređivati ​​razlomke. Ovo je vrlo korisna vještina koja je neophodna za rješavanje čitave klase složenijih problema.

Prvo, da vas podsjetim na definiciju jednakosti razlomaka:

Za razlomke a /b i c /d se kaže da su jednaki ako je ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, budući da je 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, jer je 3 18 = 2 27 = 54.

U svim ostalim slučajevima, razlomci su nejednaki, a za njih vrijedi jedna od sljedećih tvrdnji:

1. Razlomak a/b je veći od razlomka c/d;
2. Razlomak a /b je manji od razlomka c /d.

Za razlomak a /b se kaže da je veći od razlomka c /d ako je a /b − c /d > 0.

Za razlomak x /y se kaže da je manji od razlomka s /t ako je x /y − s /t< 0.

Oznaka:

Stoga se poređenje razlomaka svodi na njihovo oduzimanje. Pitanje: kako se ne zbuniti sa oznakama "više od" (>) i "manje od" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Rašireni dio čavke uvijek pokazuje prema većem broju;
2. Oštar nos čavke uvijek pokazuje na manji broj.

Često u problemima gdje trebate uporediti brojeve, između njih se stavlja znak “∨”. Ovo je gava sa spuštenim nosom, što kao da nagovještava: veći broj još nije određen.

Zadatak. Uporedite brojeve:

Prateći definiciju, oduzmite razlomke jedan od drugog:

U svakom poređenju, od nas se tražilo da razlomke svedemo na zajednički nazivnik. Konkretno, korištenjem unakrsnog metoda i pronalaženjem najmanjeg zajedničkog višekratnika. Namjerno se nisam fokusirao na ove točke, ali ako nešto nije jasno, pogledajte lekciju “Sabiranje i oduzimanje razlomaka” - vrlo je lako.

Poređenje decimala

U slučaju decimalnih razlomaka sve je mnogo jednostavnije. Ovdje nema potrebe oduzimati ništa - samo uporedite cifre. Dobro je zapamtiti koji je značajan dio broja. Za one koji su zaboravili, predlažem da ponove lekciju "Množenje i dijeljenje decimala" - to će također trajati samo nekoliko minuta.

Pozitivna decimala X veća je od pozitivne decimale Y ako sadrži decimalno mjesto tako da:

1. Cifra na ovom mjestu u razlomku X veća je od odgovarajuće cifre u razlomku Y;
2. Sve cifre veće od ove za razlomke X i Y su iste.

1. 12.25 > 12.16. Prve dvije cifre su iste (12 = 12), a treća je veća (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Drugim riječima, prolazimo kroz decimale jednu po jednu i tražimo razliku. U ovom slučaju, veći broj odgovara većem razlomku.

Međutim, ova definicija zahtijeva pojašnjenje. Na primjer, kako napisati i uporediti decimalna mjesta? Zapamtite: bilo koji broj napisan u decimalnom obliku može imati bilo koji broj nula dodati s lijeve strane. Evo još par primjera:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (mi pričamo o tome o višem zvanju).
2. 2300,5 > 0,0025, jer 0,0025 = 0000,0025 - tri nule su dodane lijevo. Sada možete vidjeti da razlika počinje od prve znamenke: 2 > 0.

Naravno, u datim primjerima sa nulama došlo je do očiglednog preterivanja, ali poenta je upravo u sljedećem: popunite bitove koji nedostaju s lijeve strane, a zatim uporedite.

Zadatak. Uporedite razlomke:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Po definiciji imamo:

1. 0,029 > 0,007. Prve dvije cifre se poklapaju (00 = 00), zatim počinje razlika (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Ovdje morate pažljivo brojati nule. Prvih 5 cifara u oba razlomka je nula, ali tada u prvom razlomku ima 3, au drugom - 0. Očigledno, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Zapišimo drugi razlomak kao 0000,99501, dodajući 3 nule lijevo. Sada je sve očigledno: 1 > 0 - razlika je otkrivena u prvoj cifri.

Nažalost, data shema poređenja decimale nije univerzalna. Ova metoda može samo porediti pozitivni brojevi. U opštem slučaju, algoritam rada je sledeći:

1. Pozitivan razlomak je uvijek veći od negativnog razlomka;
2. Dva pozitivna razlomka se upoređuju korištenjem gornjeg algoritma;
3. Dva negativna razlomka se porede na isti način, ali se na kraju predznak nejednakosti obrće.

Pa, nije loše? Sada pogledajmo konkretni primjeri- i sve će postati jasno.

Zadatak. Uporedite razlomke:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Razlomci su negativni, 2. znamenka je drugačija. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Pozitivan broj uvijek negativniji;
4. 19.032 > 0.091. Dovoljno je prepisati drugi razlomak u obliku 00.091 da vidimo da razlika nastaje već u 1. znamenki;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Razlika je u prvoj kategoriji.

Ciljevi lekcije:

1. edukativni: naučiti kako upoređivati ​​razlomke razne vrste korištenjem raznih tehnika;
2. edukativni: razvoj osnovnih tehnika mentalne aktivnosti, generalizacija poređenja, isticanje glavne stvari; razvoj pamćenja, govora.
3. edukativni: naučiti slušati jedni druge, njegovati međusobnu pomoć, kulturu komunikacije i ponašanja.

Koraci lekcije:

1. Organizaciona.

Započnimo lekciju riječima francuskog pisca A. Francea: „Učenje može biti zabavno... Da biste probavili znanje, morate ga apsorbirati s apetitom.“

Poslušajmo ovaj savjet, pokušajmo biti pažljivi i sa velikom željom upijati znanje, jer... biće nam od koristi u budućnosti.

2. Ažuriranje znanja učenika.

1.) Frontalni usmeni rad učenika.

Cilj: ponoviti obrađeno gradivo, što je potrebno za učenje novih stvari:

A) pravilni i nepravilni razlomci;
B) dovođenje razlomaka na novi imenilac;
C) pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika;

(Radimo sa fajlovima. Učenicima ih ima na raspolaganju na svakom času. Odgovore na njih napišu flomasterom, a onda se nepotrebne informacije brišu.)

Zadaci za usmeni rad.

1. Imenujte dodatni razlomak u lancu:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Smanjite razlomke na novi imenilac 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka:

1/5 i 2/7; 3/4 i 1/6; 2/9 i 1/2.

2.) Situacija u igri.

Ljudi, naš prijatelj klovn (učenici su ga upoznali na početku školske godine) me je zamolio da mu pomognem da riješi problem. Ali vjerujem da vi možete pomoći našem prijatelju i bez mene. A zadatak je sljedeći.

“Uporedi razlomke:

a) 1/2 i 1/6;
b) 3/5 i 1/3;
c) 5/6 i 1/6;
d) 12/7 i 4/7;
e) 3 1/7 i 3 1/5;
e) 7 5/6 i 3 1/2;
g) 1/10 i 1;
h) 10/3 i 1;
i) 7/7 i 1.”

Ljudi, da pomognemo klovnu, šta da naučimo?

Svrha časa, zadaci (učenici samostalno formulišu).

Učitelj im pomaže postavljanjem pitanja:

a) koje parove razlomaka već možemo uporediti?

b) koji nam je alat potreban za upoređivanje razlomaka?

3. Momci u grupama (u stalnim grupama na više nivoa).

Svaka grupa dobija zadatak i uputstva za njegovo izvršavanje.

Prva grupa : Uporedite miješane razlomke:

a) 1 1/2 i 2 5/6;
b) 3 1/2 i 3 4/5

i izvedite pravilo jednačine miješane frakcije sa identičnim i različitim celim delovima.

Upute: Poređenje mješovitih razlomaka (pomoću snopa brojeva)

1. uporedi cijele dijelove razlomaka i izvedi zaključak;
2. uporedi razlomke (ne prikazuje pravilo za poređenje razlomaka);
3. napravi pravilo - algoritam:

Druga grupa: Usporedite razlomke s različitim nazivnicima i različitim brojnicima. (koristite snop brojeva)

a) 6/7 i 9/14;
b) 5/11 i 1/22

Instrukcije

1. Uporedite nazivnike
2. Razmislite da li je moguće svesti razlomke na zajednički nazivnik
3. Započnite pravilo riječima: „Da biste uporedili razlomke sa različitim nazivnicima, morate...”

Treća grupa: Poređenje razlomaka sa jedinicom.

a) 2/3 i 1;
b) 8/7 i 1;
c) 10/10 i 1 i formulišite pravilo.

Instrukcije

Razmotrite sve slučajeve: (koristite snop brojeva)

a) Ako je brojnik razlomka jednak nazivniku, ………;
b) Ako je brojnik razlomka manji od nazivnika,………;
c) Ako je brojnik razlomka veći od nazivnika, ………. .

Formulirajte pravilo.

Četvrta grupa: Uporedi razlomke:

a) 5/8 i 3/8;
b) 1/7 i 4/7 i formulišite pravilo za poređenje razlomaka sa istim nazivnikom.

Instrukcije

Koristite snop brojeva.

Uporedite brojioce i izvedite zaključak, počevši od riječi: “Od dva razlomka s istim nazivnicima .....”.

Peta grupa: Uporedi razlomke:

a) 1/6 i 1/3;
b) 4/9 i 4/3, koristeći snop brojeva:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Formulirajte pravilo za poređenje razlomaka sa istim brojiocima.

Instrukcije

Uporedite nazivnike i izvući zaključak, počevši od riječi:

“Od dva razlomka sa istim brojiocima………..”.

Šesta grupa: Uporedi razlomke:

a) 4/3 i 5/6; b) 7/2 i 1/2 koristeći snop brojeva

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Formulirajte pravilo za poređenje pravih i nepravilnih razlomaka.

Instrukcije.

Razmislite koji je razlomak uvijek veći, pravilan ili nepravilan.

4. Diskusija o zaključcima u grupama.

Riječ za svaku grupu. Formulisanje učeničkih pravila i poređenje istih sa standardima odgovarajućih pravila. Zatim se daju ispisi pravila za poređenje različitih tipova. obične frakcije svaki student.

5. Vratimo se zadatku postavljenom na početku lekcije. (Hajde da zajedno riješimo problem klovna).

6. Rad u sveskama. Koristeći pravila za upoređivanje razlomaka, učenici, pod vodstvom nastavnika, upoređuju razlomke:

a) 8/13 i 8/25;
b)11/42 i 3/42;
c) 7/5 i 1/5;
d) 18/21 i 7/3;
e) 2 1/2 i 3 1/5;
e) 5 1/2 i 5 4/3;

(moguće je pozvati učenika na tablu).

7. Od učenika se traži da završe test upoređujući razlomke sa dvije opcije.

Opcija 1.

1) uporedi razlomke: 1/8 i 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12

2) Što je veće: 5/13 ili 7/13?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) jednaka

3) Što je manje: 2\3 ili 4/6?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) jednaka

4) Koji je razlomak manji od 1:3/5; 17/9; 7/7?

a) 3/5;
b) 17/9;
c) 7/7

5) Koji je razlomak veći od 1: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Uporedi razlomke: 2 1/5 i 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 >1 7/9

Opcija 2.

1) uporedi razlomke: 3/5 i 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) Što je veće: 10/12 ili 1/12?

a) jednaka;
b) 10/12;
c) 1/12

3) Što je manje: 3/5 ili 1/10?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) jednaka

4) Koji je razlomak manji od 1: 4/3;1/15;16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) Koji je razlomak veći od 1: 2/5;9/8;11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11/12

6) Uporedi razlomke: 3 1/4 i 3 2/3

a) 3 1/4=3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Odgovori na test:

Opcija 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

Opcija 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Još jednom se vraćamo na svrhu lekcije.

Provjeravamo pravila poređenja i dajemo različite domaće zadatke:

Grupe 1,2,3 – osmislite dva primjera poređenja za svako pravilo i riješite ih.

4,5,6 grupa - br. 83 a, b, c, br. 84 a, b, c (iz udžbenika).