Linearne jednadžbe i njihovo rješenje. Rješavanje sistema Gaussovom metodom. Vizuelna metoda za rješavanje sistema

itd., logično je upoznati se sa jednadžbama drugih vrsta. Sljedeći na redu su linearne jednačine, čije ciljano učenje počinje na časovima algebre u 7. razredu.

Jasno je da prvo treba objasniti šta je linearna jednačina, dati definiciju linearne jednačine, njene koeficijente, pokazati je opšti oblik. Tada možete shvatiti koliko rješenja linearna jednadžba ima ovisno o vrijednostima koeficijenata i kako se pronalaze korijeni. To će vam omogućiti da prijeđete na rješavanje primjera i na taj način konsolidirate naučenu teoriju. U ovom članku ćemo učiniti ovo: detaljno ćemo se zadržati na svim teorijskim i praktičnim točkama koje se odnose na linearne jednadžbe i njihova rješenja.

Recimo odmah da ćemo ovdje razmatrati samo linearne jednadžbe s jednom varijablom, a u posebnom članku proučavat ćemo principe rješenja linearne jednadžbe sa dvije varijable.

Navigacija po stranici.

Šta je linearna jednačina?

Definicija linearne jednačine je data načinom na koji je zapisana. Štaviše, u različitim udžbenicima matematike i algebre, formulacije definicija linearnih jednačina imaju neke razlike koje ne utiču na suštinu problema.

Na primjer, u udžbeniku algebre za 7. razred Yu. N. Makarychev et al., linearna jednačina je definirana na sljedeći način:

Definicija.

Jednačina oblika a x=b, gdje je x varijabla, a i b neki brojevi, se poziva linearna jednačina sa jednom promenljivom.

Navedimo primjere linearnih jednadžbi koje zadovoljavaju navedenu definiciju. Na primjer, 5 x = 10 je linearna jednadžba s jednom promjenljivom x, ovdje je koeficijent a 5, a broj b je 10. Drugi primjer: −2.3·y=0 je također linearna jednačina, ali sa promjenljivom y, u kojoj je a=−2.3 i b=0. I u linearnim jednačinama x=−2 i −x=3,33 a nisu eksplicitno prisutne i jednake su 1 i −1, respektivno, dok je u prvoj jednačini b=−2, au drugoj - b=3,33.

A godinu dana ranije, u udžbeniku matematike N. Ya. Vilenkina, linearne jednačine sa jednom nepoznatom, pored jednačina oblika a x = b, razmatraju i jednačine koje se mogu dovesti u ovaj oblik prenošenjem članova iz jednog dela jednadžbe na drugu sa suprotnim predznakom, kao i smanjenjem sličnih članova. Prema ovoj definiciji, jednačine oblika 5 x = 2 x + 6, itd. takođe linearni.

Zauzvrat, u udžbeniku algebre za 7. razred A. G. Mordkovicha data je sljedeća definicija:

Definicija.

Linearna jednadžba sa jednom varijablom x je jednačina oblika a·x+b=0, gdje su a i b neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti linearne jednačine.

Na primjer, linearne jednadžbe ovog tipa su 2 x−12=0, ovdje je koeficijent a 2, a b jednako -12, a 0,2 y+4,6=0 sa koeficijentima a=0,2 i b =4,6. Ali u isto vrijeme, postoje primjeri linearnih jednačina koje imaju oblik ne a·x+b=0, već a·x=b, na primjer, 3·x=12.

Pod linearnom jednačinom sa jednom varijablom x i koeficijentima a i b, da ne bude bilo kakvih neslaganja u budućnosti, podrazumijevamo jednačinu oblika a x + b = 0. Čini se da je ova vrsta linearne jednadžbe najopravdanija, jer linearne jednačine jesu algebarske jednačine prvi stepen. A sve ostale gore navedene jednadžbe, kao i jednačine koje se, koristeći ekvivalentne transformacije, svode na oblik a x + b = 0, nazvat ćemo jednadžbe koje se svode na linearne jednačine. Sa ovim pristupom, jednačina 2 x+6=0 je linearna jednačina, a 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, itd. - To su jednačine koje se svode na linearne.

Kako riješiti linearne jednačine?

Sada je vrijeme da shvatimo kako se rješavaju linearne jednačine a·x+b=0. Drugim riječima, vrijeme je da saznamo da li linearna jednadžba ima korijene, i ako ima, koliko ih i kako ih pronaći.

Prisustvo korijena linearne jednadžbe ovisi o vrijednostima koeficijenata a i b. U ovom slučaju, linearna jednačina a x+b=0 ima

• jedini korijen za a≠0,
• nema korijena za a=0 i b≠0,
• ima beskonačno mnogo korijena za a=0 i b=0, u kom slučaju je bilo koji broj korijen linearne jednadžbe.

Objasnimo kako su ovi rezultati dobijeni.

Znamo da za rješavanje jednadžbi možemo prijeći od izvorne jednadžbe na ekvivalentne jednadžbe, odnosno na jednačine s istim korijenima ili, kao i originalna, bez korijena. Da biste to učinili, možete koristiti sljedeće ekvivalentne transformacije:

• prenošenje člana s jedne strane jednačine na drugu sa suprotnim predznakom,
• kao i množenje ili dijeljenje obje strane jednačine istim brojem koji nije nula.

Dakle, u linearnoj jednačini sa jedan varijabla oblika a·x+b=0 možemo pomeriti pojam b sa leve na desnu stranu sa suprotnim predznakom. U ovom slučaju, jednačina će imati oblik a·x=−b.

I onda se postavlja pitanje dijeljenja obje strane jednačine brojem a. Ali postoji jedna stvar: broj a može biti jednak nuli, u kom slučaju je takva podjela nemoguća. Da bismo se pozabavili ovim problemom, prvo ćemo pretpostaviti da je broj a različit od nule, a malo kasnije ćemo posebno razmotriti slučaj da je a jednako nuli.

Dakle, kada a nije jednako nuli, tada možemo podijeliti obje strane jednačine a·x=−b sa a, nakon čega će se ona transformirati u oblik x=(−b):a, ovaj rezultat može biti napisano koristeći razlomku kose crte kao.

Dakle, za a≠0, linearna jednačina a·x+b=0 je ekvivalentna jednadžbi iz koje je vidljiv njen korijen.

Lako je pokazati da je ovaj korijen jedinstven, odnosno da linearna jednadžba nema drugih korijena. Ovo vam omogućava da uradite suprotnu metodu.

Označimo korijen sa x 1. Pretpostavimo da postoji još jedan korijen linearne jednadžbe, koji označavamo sa x 2, i x 2 ≠x 1, što zbog određivanje jednakih brojeva kroz razliku je ekvivalentno uslovu x 1 −x 2 ≠0. Kako su x 1 i x 2 korijeni linearne jednačine a·x+b=0, tada vrijede numeričke jednakosti a·x 1 +b=0 i a·x 2 +b=0. Od ovih jednakosti možemo oduzeti odgovarajuće dijelove, što nam svojstva numeričkih jednakosti dozvoljavaju, imamo a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, od čega je a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 i tada a·(x 1 −x 2)=0 . Ali ova jednakost je nemoguća, jer i a≠0 i x 1 − x 2 ≠0. Tako smo došli do kontradikcije, koja dokazuje jedinstvenost korijena linearne jednačine a·x+b=0 za a≠0.

Tako smo riješili linearnu jednačinu a·x+b=0 za a≠0. Prvi rezultat dat na početku ovog paragrafa je opravdan. Ostala su još dva koja ispunjavaju uslov a=0.

Kada je a=0, linearna jednadžba a·x+b=0 poprima oblik 0·x+b=0. Iz ove jednačine i svojstva množenja brojeva sa nulom proizilazi da bez obzira koji broj uzmemo kao x, kada se on zameni u jednačinu 0 x + b=0, dobiće se numerička jednakost b=0. Ova jednakost je tačna kada je b=0, au drugim slučajevima kada je b≠0 ova jednakost je netačna.

Prema tome, sa a=0 i b=0, bilo koji broj je korijen linearne jednadžbe a·x+b=0, jer pod ovim uvjetima, zamjena bilo kojeg broja za x daje tačnu numeričku jednakost 0=0. A kada je a=0 i b≠0, linearna jednadžba a·x+b=0 nema korijena, jer pod ovim uvjetima, zamjena bilo kojeg broja umjesto x dovodi do netačne numeričke jednakosti b=0.

Navedena opravdanja nam omogućavaju da formuliramo niz radnji koje nam omogućavaju da riješimo bilo koju linearnu jednačinu. dakle, algoritam za rješavanje linearne jednačine je:

• Prvo, pisanjem linearne jednadžbe, nalazimo vrijednosti koeficijenata a i b.
• Ako je a=0 i b=0, onda ova jednadžba ima beskonačno mnogo korijena, naime, bilo koji broj je korijen ove linearne jednadžbe.
• Ako je a različit od nule, onda
• koeficijent b se prenosi na desnu stranu sa suprotnim predznakom, a linearna jednačina se transformiše u oblik a·x=−b,
• nakon čega su obje strane rezultirajuće jednadžbe podijeljene brojem različitom od nule a, što daje željeni korijen originalne linearne jednačine.

Napisani algoritam je sveobuhvatan odgovor na pitanje kako riješiti linearne jednadžbe.

U zaključku ove tačke, vrijedi reći da se sličan algoritam koristi za rješavanje jednačina oblika a·x=b. Njegova razlika je u tome što kada je a≠0 obje strane jednačine se odmah dijele ovim brojem; ovdje je b već u traženom dijelu jednačine i nema potrebe za prijenosom.

Za rješavanje jednadžbi oblika a x = b koristi se sljedeći algoritam:

• Ako je a=0 i b=0, onda jednadžba ima beskonačno mnogo korijena, koji su bilo koji brojevi.
• Ako je a=0 i b≠0, onda originalna jednadžba nema korijena.
• Ako je a različit od nule, tada su obje strane jednadžbe podijeljene nenultim brojem a, iz kojeg se nalazi jedini korijen jednačine, jednak b/a.

Primjeri rješavanja linearnih jednačina

Pređimo na praksu. Pogledajmo kako se koristi algoritam za rješavanje linearnih jednačina. Dajemo rješenja tipičnim primjerima koji odgovaraju različita značenja koeficijenti linearnih jednačina.

Primjer.

Riješite linearnu jednačinu 0·x−0=0.

Rješenje.

U ovoj linearnoj jednačini, a=0 i b=−0, što je isto kao i b=0. Dakle, ova jednadžba ima beskonačno mnogo korijena; bilo koji broj je korijen ove jednačine.

odgovor:

x – bilo koji broj.

Primjer.

Da li linearna jednadžba 0 x + 2,7 = 0 ima rješenja?

Rješenje.

U ovom slučaju, koeficijent a jednak nuli, a koeficijent b ove linearne jednačine jednak je 2,7, odnosno različit od nule. Prema tome, linearna jednadžba nema korijen.

Učenje rješavanja jednačina jedan je od glavnih zadataka koje algebra postavlja pred učenike. Počevši od najjednostavnijeg, kada se sastoji od jedne nepoznate, pa prelazimo na sve složenije. Ako niste savladali radnje koje je potrebno izvesti sa jednadžbama iz prve grupe, bit će teško razumjeti ostale.

Da biste nastavili razgovor, morate se složiti oko notacije.

Opšti oblik linearne jednadžbe sa jednom nepoznatom i princip njenog rješenja

Bilo koja jednačina koja se može napisati ovako:

a * x = b,

pozvao linearno. Ovo opšta formula. Ali često se u zadacima linearne jednačine pišu u implicitnom obliku. Onda treba da uradite transformacije identiteta da dobijete opšteprihvaćeni unos. Ove radnje uključuju:

• otvarajuće zagrade;
• pomeranje svih pojmova sa promenljivom vrednošću na levu stranu jednakosti, a ostatak na desnu;
• smanjenje sličnih termina.

U slučaju kada je nepoznata količina u nazivniku razlomka, potrebno je odrediti njene vrijednosti pri kojima izraz neće imati smisla. Drugim riječima, morate znati domenu definicije jednačine.

Princip po kojem se rješavaju sve linearne jednačine svodi se na dijeljenje vrijednosti na desnoj strani jednačine koeficijentom ispred varijable. To jest, “x” će biti jednako b/a.

Posebni slučajevi linearnih jednadžbi i njihova rješenja

Tokom rasuđivanja mogu nastati momenti kada linearne jednačine poprime jedan od posebnih oblika. Svaki od njih ima specifično rješenje.

U prvoj situaciji:

a * x = 0, i a ≠ 0.

Rješenje takve jednačine uvijek će biti x = 0.

U drugom slučaju, "a" uzima vrijednost jednaku nuli:

0 * x = 0.

Odgovor na takvu jednačinu će biti bilo koji broj. To jest, ima beskonačan broj korijena.

Treća situacija izgleda ovako:

0 * x = in, gdje je u ≠ 0.

Ova jednadžba nema smisla. Jer ne postoje korijeni koji to zadovoljavaju.

Opći prikaz linearne jednadžbe s dvije varijable

Iz njegovog imena postaje jasno da u njemu već postoje dvije nepoznate količine. Linearne jednadžbe u dvije varijable izgleda ovako:

a * x + b * y = c.

Pošto u zapisu postoje dvije nepoznate, odgovor će izgledati kao par brojeva. Odnosno, nije dovoljno navesti samo jednu vrijednost. Ovo će biti nepotpun odgovor. Par veličina za koje jednačina postaje identičnost je rješenje jednačine. Štaviše, u odgovoru se uvijek prva upisuje varijabla koja je prva u abecedi. Ponekad kažu da ga ovi brojevi zadovoljavaju. Štaviše, može postojati beskonačan broj takvih parova.

Kako riješiti linearnu jednačinu sa dvije nepoznate?

Da biste to učinili, samo trebate odabrati bilo koji par brojeva koji se pokaže ispravnim. Radi jednostavnosti, možete uzeti jednu od nepoznanica jednaku nekom prostom broju, a zatim pronaći drugu.

Prilikom rješavanja često morate izvoditi korake da pojednostavite jednadžbu. Zovu se transformacije identiteta. Štaviše, sljedeća svojstva su uvijek tačna za jednačine:

• svaki član se može premjestiti u suprotni dio jednakosti zamjenom njegovog predznaka suprotnim;
• Lijeva i desna strana bilo koje jednačine mogu se podijeliti istim brojem, sve dok nije jednak nuli.

Primjeri zadataka sa linearnim jednadžbama

Prvi zadatak. Riješite linearne jednačine: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

U jednadžbi koja je prva na ovoj listi, jednostavno podijelite 20 sa 4. Rezultat će biti 5. Ovo je odgovor: x = 5.

Treća jednačina zahtijeva da se izvrši transformacija identiteta. Sastojat će se od otvaranja zagrada i donošenja sličnih pojmova. Nakon prvog koraka, jednačina će dobiti oblik: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Zatim trebate premjestiti sve nepoznanice na lijevu stranu jednačine, a ostale na desnu. Jednačina će izgledati ovako: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Nakon dodavanja sličnih pojmova: 14x = 16. Sada izgleda isto kao i prva, a njeno rješenje je lako pronaći. Odgovor će biti x=8/7. Ali u matematici bi trebalo da izolujete ceo deo od nepravilnog razlomka. Tada će se rezultat transformirati, a "x" će biti jednako jednoj cjelini i jednoj sedmici.

U preostalim primjerima, varijable su u nazivniku. To znači da prvo morate saznati na kojim su vrijednostima definirane jednadžbe. Da biste to učinili, morate isključiti brojeve kod kojih imenioci idu na nulu. U prvom primjeru je “-4”, u drugom je “-3”. Odnosno, ove vrijednosti ​​trebaju biti isključene iz odgovora. Nakon toga, trebate pomnožiti obje strane jednakosti sa izrazima u nazivniku.

Otvarajući zagrade i donoseći slične članove, u prvoj od ovih jednačina dobijamo: 5x + 15 = 4x + 16, au drugoj 5x + 15 = 4x + 12. Nakon transformacije, rješenje prve jednačine će biti x = -1. Drugi se ispostavi da je jednak "-3", što znači da potonji nema rješenja.

Drugi zadatak. Riješite jednačinu: -7x + 2y = 5.

Pretpostavimo da je prva nepoznata x = 1, tada će jednadžba poprimiti oblik -7 * 1 + 2y = 5. Pomicanjem faktora “-7” na desnu stranu jednakosti i mijenjanjem njegovog predznaka u plus, ispada da 2y = 12. To znači y =6. Odgovor: jedno od rješenja jednačine x = 1, y = 6.

Opšti oblik nejednakosti sa jednom promenljivom

Ovdje su prikazane sve moguće situacije za nejednakosti:

• a * x > b;
• sjekira< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤v.

Općenito, izgleda kao jednostavna linearna jednadžba, samo je znak jednakosti zamijenjen nejednakošću.

Pravila za transformacije identiteta nejednakosti

Baš kao i linearne jednačine, nejednakosti se mogu modificirati prema određenim zakonima. One se svode na sledeće:

1. na lijevu i desnu stranu nejednakosti možete dodati bilo koje slovo ili numerički izraz, a znak nejednakosti će ostati isti;
2. Također možete množiti ili dijeliti sa istom stvari pozitivan broj, ovo opet ne mijenja znak;
3. Prilikom množenja ili dijeljenja istim negativnim brojem, jednakost će ostati tačna pod uvjetom da je predznak nejednakosti obrnut.

Opšti pogled na dvostruke nejednakosti

U zadacima se mogu predstaviti sljedeće nejednakosti:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Naziva se dvostrukim jer je ograničen znakovima nejednakosti na obje strane. Rješava se korištenjem istih pravila kao i obične nejednačine. A pronalaženje odgovora se svodi na niz identičnih transformacija. Dok se ne dobije najjednostavnije.

Osobine rješavanja dvostrukih nejednačina

Prva od njih je njegova slika na koordinatnoj osi. Koristite ovu metodu za jednostavne nejednakosti nije potrebno. Ali u teškim slučajevima to može jednostavno biti neophodno.

Da biste prikazali nejednakost, morate na osi označiti sve tačke koje su dobijene tokom razmišljanja. To su nevažeće vrijednosti, koje su označene probušenim tačkama, i vrijednosti iz nejednakosti dobijenih nakon transformacija. I ovdje je važno pravilno nacrtati tačke. Ako je nejednakost stroga, tj< или >, onda se ove vrijednosti iskucavaju. U nestriktnim nejednačinama, tačke moraju biti zasjenjene.

Zatim je potrebno naznačiti značenje nejednakosti. To se može učiniti pomoću sjenčanja ili lukova. Njihovo ukrštanje će ukazati na odgovor.

Druga karakteristika se odnosi na njegovo snimanje. Ovdje su ponuđene dvije opcije. Prva je krajnja nejednakost. Drugi je u obliku intervala. Kod njega se dešavaju poteškoće. Odgovor u razmacima uvijek izgleda kao varijabla sa znakom članstva i zagradama s brojevima. Ponekad postoji nekoliko razmaka, tada morate napisati simbol "i" između zagrada. Ovi znakovi izgledaju ovako: ∈ i ∩. Razmakne zagrade također igraju ulogu. Okrugli se postavlja kada je tačka isključen iz odgovora, a pravokutni uključuje ovu vrijednost. Znak beskonačnosti je uvijek u zagradi.

Primjeri rješavanja nejednačina

1. Riješite nejednačinu 7 - 5x ≥ 37.

Nakon jednostavnih transformacija dobijamo: -5x ≥ 30. Dijeljenjem sa “-5” možemo dobiti sljedeći izraz: x ≤ -6. Ovo je već odgovor, ali se može napisati i na drugi način: x ∈ (-∞; -6).

2. Riješiti dvostruku nejednačinu -4< 2x + 6 ≤ 8.

Prvo morate svuda oduzeti 6. Dobivate: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Prvi nivo

Linearne jednadžbe. Kompletan vodič (2019)

Šta su "linearne jednačine"

ili u usmeno- tri prijatelja su dobili jabuke svaki na osnovu toga da je Vasja imao sve jabuke koje je imao.

A sada ste već odlučili linearna jednačina
Sada dajmo ovom terminu matematičku definiciju.

Linearna jednadžba - Ovo algebarska jednačina, za koji je ukupan stepen njegovih sastavnih polinoma jednak. izgleda ovako:

Gdje i su bilo koji brojevi i

Za naš slučaj sa Vasjom i jabukama, napisaćemo:

- "ako Vasja da isti broj jabuka sva tri prijatelja, neće mu ostati jabuka"

"Skrivene" linearne jednadžbe, ili važnost transformacija identiteta

Unatoč činjenici da je na prvi pogled sve krajnje jednostavno, pri rješavanju jednadžbi morate biti oprezni, jer se linearnim jednadžbama nazivaju ne samo jednadžbe ovog tipa, već i sve jednadžbe koje se transformacijama i pojednostavljivanjima mogu svesti na ovu vrstu. Na primjer:

Vidimo ono što je desno, što, u teoriji, već ukazuje da jednačina nije linearna. Štaviše, ako otvorimo zagrade, dobićemo još dva pojma u kojima će biti, ali nemojte žuriti sa zaključcima! Prije nego što ocijenimo da li je jednadžba linearna, potrebno je izvršiti sve transformacije i tako pojednostaviti originalni primjer. U ovom slučaju, transformacije se mogu promijeniti izgled, ali ne i samu suštinu jednačine.

Drugim riječima, podaci o transformaciji moraju biti identičan ili ekvivalentan. Postoje samo dvije takve transformacije, ali igraju vrlo, JAKO važnu ulogu prilikom rešavanja problema. Pogledajmo obje transformacije koristeći konkretne primjere.

Transfer lijevo - desno.

Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednačinu:

Takođe u osnovna škola Rečeno nam je: "sa X-ovima - lijevo, bez X-a - desno." Koji je izraz sa X na desnoj strani? Tako je, ali ne kako ne. I ovo je važno, jer ako se ovo pogrešno shvati, čini se jednostavno pitanje, ispada pogrešan odgovor. Koji je izraz sa X na lijevoj strani? U redu, .

Sada kada smo ovo shvatili, sve članove sa nepoznanicama pomeramo na lijevu stranu, a sve što je poznato u desnu, prisjećajući se da ako ispred broja nema znaka, na primjer, onda je broj pozitivan , odnosno ispred njega je znak “ "

Prebačen? šta si dobio?

Ostaje samo da se donesu slični uslovi. Predstavljamo:

Dakle, uspješno smo analizirali prvu identičnu transformaciju, iako sam siguran da ste je znali i aktivno koristili bez mene. Glavna stvar je ne zaboraviti na znakove brojeva i promijeniti ih u suprotne pri prenošenju kroz znak jednakosti!

Množenje-dijeljenje.

Počnimo odmah s primjerom

Pogledajmo i razmislimo: šta nam se ne sviđa u ovom primjeru? Nepoznato je sve u jednom delu, poznato je u drugom, ali nas nešto koči... A ovo nešto je četvorka, jer da ne postoji sve bi bilo savršeno - x je jednako broju - tačno kako nam treba!

Kako ga se možete riješiti? Ne možemo ga pomeriti udesno, jer tada treba da pomerimo ceo množilac (ne možemo ga uzeti i otkinuti), a pomeranje celog množioca takođe nema smisla...

Vrijeme je da se prisjetimo podjele, pa hajde da podijelimo sve po! Sve - to znači i lijeva i desna strana. Ovako i samo ovako! Šta mi radimo?

Evo odgovora.

Pogledajmo sada još jedan primjer:

Možete li pogoditi šta treba učiniti u ovom slučaju? Tako je, pomnožite lijevu i desnu stranu sa! Kakav ste odgovor dobili? U redu. .

Sigurno ste već znali sve o transformaciji identiteta. Smatrajte da smo jednostavno osvježili ovo znanje u vašem sjećanju i vrijeme je za nešto više - Na primjer, da riješimo naš veliki primjer:

Kao što smo ranije rekli, gledajući je, ne možete reći da je ova jednadžba linearna, ali moramo otvoriti zagrade i izvršiti identične transformacije. Pa počnimo!

Za početak, prisjetimo se formula za skraćeno množenje, posebno kvadrata zbira i kvadrata razlike. Ako se ne sjećate o čemu se radi i kako se otvaraju zagrade, toplo preporučujem da pročitate temu, jer će vam ove vještine biti korisne prilikom rješavanja gotovo svih primjera na koje se susrećete na ispitu.
Otkriveno? uporedimo:

Sada je vrijeme da donesemo slične pojmove. Sjećate li se kako su nam u tim istim razredima osnovne govorili “nemojmo mušice i kotlete spajati”? Evo podsjećam vas na ovo. Sve dodajemo posebno - faktore koji imaju, faktore koji imaju i preostale faktore koji nemaju nepoznanice. Kada donesete slične pojmove, pomjerite sve nepoznate ulijevo, a sve što je poznato udesno. šta si dobio?

Kao što vidite, X-ovi u kvadratu su nestali i vidimo nešto sasvim normalno. linearna jednačina. Ostaje samo da ga nađete!

I na kraju, reći ću još jednu vrlo važnu stvar o transformacijama identiteta - transformacije identiteta su primjenjive ne samo za linearne jednadžbe, već i za kvadratne, frakcijske racionalne i druge. Treba samo zapamtiti da kada prenosimo faktore kroz znak jednakosti, mijenjamo predznak u suprotan, a pri dijeljenju ili množenju nekim brojem množimo/dijelimo obje strane jednačine ISTIM brojem.

Šta ste još izvukli iz ovog primjera? Da gledanjem u jednačinu nije uvijek moguće direktno i tačno odrediti da li je linearna ili ne. Potrebno je prvo potpuno pojednostaviti izraz, pa tek onda suditi o čemu se radi.

Linearne jednadžbe. Primjeri.

Evo još nekoliko primjera koje možete sami vježbati - utvrdite je li jednadžba linearna i ako jeste, pronađite njezin korijen:

odgovori:

1. Is.

2. Nije.

Otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove:

Izvršimo identičnu transformaciju - podijelimo lijevu i desnu stranu na:

Vidimo da jednačina nije linearna, pa nema potrebe tražiti njene korijene.

3. Is.

Izvršimo identičnu transformaciju - pomnožimo lijevu i desnu stranu sa da se riješimo nazivnika.

Razmislite zašto je to toliko važno? Ako znate odgovor na ovo pitanje, prijeđite na dalje rješavanje jednadžbe; ako ne, svakako pogledajte temu kako ne biste pogriješili u više složeni primjeri. Inače, kao što vidite, situacija je nemoguća. Zašto?
Dakle, idemo naprijed i preuredimo jednačinu:

Ako ste sve uspjeli bez poteškoća, hajde da pričamo o linearnim jednadžbama s dvije varijable.

Linearne jednadžbe u dvije varijable

Sada pređimo na malo složenije - linearne jednadžbe sa dvije varijable.

Linearne jednadžbe sa dvije varijable imaju oblik:

Gdje, i - bilo koji brojevi i.

Kao što vidite, jedina razlika je u tome što se jednadžbi dodaje još jedna varijabla. I tako je sve isto - nema x na kvadrat, nema dijeljenja promjenljivom itd. i tako dalje.

Kakav životni primer da vam dam... Uzmimo istog Vasju. Recimo da je odlučio da će svakom od 3 prijatelja dati isti broj jabuka, a jabuke zadržati za sebe. Koliko jabuka Vasja treba da kupi ako svakom prijatelju da po jednu jabuku? O čemu? Šta ako do?

Odnos između broja jabuka koje će svaka osoba dobiti i ukupnog broja jabuka koje treba kupiti izrazit će se jednadžbom:

• - broj jabuka koje će osoba dobiti (, ili, ili);
• - broj jabuka koje će Vasya uzeti za sebe;
• - koliko jabuka Vasya treba kupiti, uzimajući u obzir broj jabuka po osobi?

Rješavajući ovaj problem, dobijamo da ako Vasya jednom prijatelju da jabuku, onda on treba kupiti komade, ako daje jabuke itd.

I uopšteno govoreći. Imamo dvije varijable. Zašto ovaj odnos ne nacrtati na grafikonu? Koordinatama gradimo i obilježavamo vrijednost naše, odnosno tačaka!

Kao što vidite, oni zavise jedno od drugog linearno, otuda i naziv jednadžbi - “ linearno».

Hajde da apstrahujemo od jabuka i pogledajmo različite jednadžbe grafički. Pažljivo pogledajte dva konstruisana grafika - pravu liniju i parabolu, određene proizvoljnim funkcijama:

Pronađite i označite odgovarajuće tačke na obje slike.
šta si dobio?

To vidite na grafikonu prve funkcije sam odgovara jedan, odnosno one linearno zavise jedna od druge, što se ne može reći za drugu funkciju. Naravno, možete tvrditi da u drugom grafu x - takođe odgovara, ali ovo je samo jedna tačka, odnosno poseban slučaj, jer još uvijek možete pronaći onu koja odgovara više od jedne. A konstruisani graf ni na koji način ne liči na pravu, već je parabola.

Ponavljam, još jednom: grafik linearne jednačine mora biti PRAVA linija.

S obzirom na to da jednadžba neće biti linearna ako idemo do bilo kojeg stepena - to je jasno na primjeru parabole, iako možete napraviti još nekoliko jednostavnih grafova za sebe, na primjer ili. Ali uvjeravam vas - nijedan od njih neće biti PRAVA LINIJA.

Ne vjerujem? Napravite ga i onda uporedite sa onim što sam dobio:

Šta se događa ako nešto podijelimo, na primjer, nekim brojem? Hoće li linearna zavisnost I? Hajde da se ne svađamo, već da gradimo! Na primjer, napravimo graf funkcije.

Nekako ne izgleda kao da je konstruisana kao prava linija... prema tome, jednadžba nije linearna.
Hajde da rezimiramo:

1. Linearna jednačina - je algebarska jednadžba u kojoj je ukupan stepen njenih sastavnih polinoma jednak.
2. Linearna jednadžba sa jednom promenljivom ima oblik:
   , gdje i su bilo koji brojevi;
   Linearna jednadžba sa dvije varijable:
   , gdje i su bilo koji brojevi.
3. Nije uvijek moguće odmah odrediti da li je jednačina linearna ili ne. Ponekad, da bi se ovo razumjelo, potrebno je izvršiti identične transformacije, pomjeriti slične članove lijevo/desno, ne zaboravljajući promijeniti predznak, ili obje strane jednačine pomnožiti/podijeliti istim brojem.

LINEARNE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

1. Linearna jednačina

Ovo je algebarska jednadžba u kojoj je ukupan stepen njenih sastavnih polinoma jednak.

2. Linearna jednačina s jednom promjenljivom ima oblik:

Gdje i su bilo koji brojevi;

3. Linearna jednadžba s dvije varijable ima oblik:

Gdje, i - bilo koji broj.

4. Transformacije identiteta

Da bismo utvrdili da li je jednadžba linearna ili ne, potrebno je izvršiti identične transformacije:

• pomerajte slične pojmove levo/desno, ne zaboravljajući da promenite znak;
• pomnožite/podijelite obje strane jednačine istim brojem.

U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koja se zove najjednostavnija?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije korištenjem algoritma:

1. Proširite zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Navedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija koeficijent varijable $x$ pokaže jednakim nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

1. Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
2. Zatim kombinirajte slično
3. Na kraju, izolujte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje pomjerite na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slične sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom “x” i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji, ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Ove suptilnosti ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, od samog jednostavni zadaci.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom “x”.

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak br. 1

Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Bilješka: mi pričamo o tome samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:

Slične termine predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga, pređimo na četvrti korak: podijeljeno sa koeficijentom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tako da smo dobili odgovor.

Zadatak br. 2

U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:

Evo nekoliko sličnih:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak br. 3

Treća linearna jednačina je zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Postoji nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, već im samo prethodi razni znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hajde da izračunamo:

Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali; ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.

Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Idemo dalje složene jednačine. Sada će konstrukcije postati složenije i prilikom izvođenja različitih transformacija pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, onda će se tijekom procesa transformacije sigurno poništiti svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju.

Primjer br. 1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Sada pogledajmo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekoliko sličnih:

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:

\[\varnothing\]

ili nema korijena.

Primjer br. 2

Izvodimo iste radnje. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekoliko sličnih:

Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa ćemo je napisati na sljedeći način:

\[\varnothing\],

ili nema korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, obje jednostavno nemaju korijen.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva člana i pomnoženi.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Više nećete morati da izvodite toliko transformacija svaki put; sve ćete pisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak br. 1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Učinimo malo privatnosti:

Evo nekoliko sličnih:

Završimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak br. 2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:

Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:

Pomerimo termine sa "X" ulevo, a one bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Još jednom smo dobili konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to se radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prve i množimo sa svakim elementom iz drugi; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat toga, imaćemo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.

Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima

Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:

1. Otvorite zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slične.
4. Podijelite omjerom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije i nakon prve radnje, odnosno uklanjanje razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorite zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slične.
5. Podijelite omjerom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer br. 1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada da proširimo:

Izdvajamo varijablu:

Vršimo redukciju sličnih pojmova:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, idemo na drugu jednačinu.

Primjer br. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem je riješen.

To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brini ako vidiš kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljih transformacija smanjiti.
• Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Pratite nas, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!

Pomoću ovog matematičkog programa možete riješiti sistem od dvije linearne jednačine sa dva varijabilna metoda metoda zamjene i dodavanja.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i daje detaljno rješenje sa objašnjenjima koraka rješenja na dva načina: metodom zamjene i metodom sabiranja.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami voditi svoju obuku i/ili obuku. mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Pravila za unos jednačina

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.

Prilikom unosa jednačina možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, jednačine se prvo pojednostavljuju. Jednačine nakon pojednostavljenja moraju biti linearne, tj. oblika ax+by+c=0 sa tačnošću reda elemenata.
Na primjer: 6x+1 = 5(x+y)+2

Možete koristiti ne samo cijele brojeve u jednačinama, već i razlomci brojeva u obliku decimala i običnih razlomaka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cjelobrojni i razlomci u decimale može se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer: 2.1n + 3.5m = 55

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Imenilac ne može biti negativan.
Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &

Primjeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Riješiti sistem jednačina

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Rješavanje sistema linearnih jednačina. Metoda zamjene

Redoslijed radnji pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi metodom zamjene:
1) izraziti jednu varijablu iz neke jednačine sistema u terminima druge;
2) zameniti dobijeni izraz drugom jednačinom sistema umesto ove varijable;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Izrazimo y u terminima x iz prve jednačine: y = 7-3x. Zamjenom izraza 7-3x u drugu jednačinu umjesto y, dobijamo sistem:
$$ \left\( \begin(niz)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(niz) \desno. $$

Lako je pokazati da prvi i drugi sistem imaju ista rješenja. U drugom sistemu, druga jednačina sadrži samo jednu varijablu. Hajde da riješimo ovu jednačinu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Zamijenivši broj 1 umjesto x u jednakost y=7-3x, nalazimo odgovarajuću vrijednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rješenje sistema

Zovu se sistemi jednačina u dvije varijable koje imaju ista rješenja ekvivalentan. Sistemi koji nemaju rješenja također se smatraju ekvivalentnim.

Rješavanje sistema linearnih jednačina sabiranjem

Razmotrimo još jedan način rješavanja sistema linearnih jednačina - metod sabiranja. Prilikom rješavanja sistema na ovaj način, kao i kod rješavanja zamjenom, prelazimo sa ovog sistema na drugi, ekvivalentni sistem, u kojem jedna od jednačina sadrži samo jednu varijablu.

Redoslijed radnji pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja:
1) pomnožiti jednačine sistemskog člana po članu, birajući faktore tako da koeficijenti jedne od varijabli postanu suprotni brojevi;
2) sabirati levu i desnu stranu jednačine sistema pojam po član;
3) rešiti dobijenu jednačinu sa jednom promenljivom;
4) pronaći odgovarajuću vrijednost druge varijable.

Primjer. Rešimo sistem jednačina:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

U jednačinama ovog sistema, koeficijenti za y su suprotni brojevi. Sabiranjem leve i desne strane jednačine član po član dobijamo jednačinu sa jednom promenljivom 3x=33. Zamenimo jednu od jednačina sistema, na primer prvu, jednačinom 3x=33. Idemo po sistem
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Iz jednačine 3x=33 nalazimo da je x=11. Zamjenom ove vrijednosti x u jednačinu \(x-3y=38\) dobijamo jednačinu sa varijablom y: \(11-3y=38\). Hajde da riješimo ovu jednačinu:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Tako smo pronašli rješenje sistema jednadžbi sabiranjem: \(x=11; y=-9\) ili \((11;-9)\)

Koristeći činjenicu da su u jednačinama sistema koeficijenti za y suprotni brojevi, mi smo njegovo rješenje sveli na rješenje ekvivalentnog sistema (sabiranjem obje strane svake od jednadžbi originalnog sistema), u kojem je jedna jednačina sadrži samo jednu varijablu.

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Iscrtavanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih institucija Rusije Katalog ruskih univerziteta Lista zadataka