Monom u standardnim primjerima oblika. Definicija monoma: povezani pojmovi, primjeri

U ovoj lekciji ćemo dati striktnu definiciju monoma i pogledati različite primjere iz udžbenika. Prisjetimo se pravila za množenje potencija sa po istoj osnovi. Definirajmo standardni oblik monoma, koeficijent monoma i njegov slovni dio. Razmotrimo dvije glavne tipične operacije nad monomima, a to su redukcija na standardni oblik i izračunavanje specifične numeričke vrijednosti monoma za date vrijednosti literalnih varijabli uključenih u njega. Formulirajmo pravilo za svođenje monoma na standardni oblik. Naučimo kako riješiti standardne probleme s bilo kojim monomom.

Predmet:Monomi. Aritmetičke operacije nad monomima

lekcija:Koncept monoma. Standardni oblik monoma

Razmotrite neke primjere:

3. ;

Naći ćemo zajedničke karakteristike za date izraze. U sva tri slučaja, izraz je proizvod brojeva i varijabli podignutih na stepen. Na osnovu ovoga dajemo monomska definicija : Monom je algebarski izraz koji se sastoji od proizvoda stepena i brojeva.

Sada dajemo primjere izraza koji nisu monomi:

Nađimo razliku između ovih izraza i prethodnih. Sastoji se u tome da u primjerima 4-7 postoje operacije sabiranja, oduzimanja ili dijeljenja, dok u primjerima 1-3, koji su monomi, tih operacija nema.

Evo još nekoliko primjera:

Izraz broj 8 je monom jer je proizvod stepena i broja, dok primjer 9 nije monom.

Sad hajde da saznamo akcije na monome .

1. Pojednostavljenje. Pogledajmo primjer br. 3 ;i primjer br. 2 /

U drugom primjeru vidimo samo jedan koeficijent - , svaka varijabla se pojavljuje samo jednom, odnosno varijabla " A" je predstavljen u jednoj kopiji kao "", slično tome, varijable "" i "" pojavljuju se samo jednom.

U primjeru br. 3, naprotiv, postoje dva različita koeficijenta - i , vidimo varijablu "" dva puta - kao "" i kao "", shodno tome, varijabla "" se pojavljuje dva puta. Odnosno, ovaj izraz treba pojednostaviti, tako dolazimo do toga prva radnja koja se izvodi na monomima je svođenje monoma na standardni oblik . Da bismo to učinili, reducirat ćemo izraz iz Primjera 3 na standardni oblik, zatim ćemo definirati ovu operaciju i naučiti kako da svedemo bilo koji monom na standardni oblik.

Dakle, razmotrite primjer:

Prva radnja u operaciji svođenja na standardni oblik je uvijek množenje svih brojčanih faktora:

;

Rezultat ove akcije će biti pozvan koeficijent monoma .

Zatim morate pomnožiti moći. Pomnožimo stepene varijable " X"prema pravilu množenja stepena sa istim osnovama, koje kaže da se pri množenju dodaju eksponenti:

Sada pomnožimo moći" at»:

;

Dakle, evo jednog pojednostavljenog izraza:

;

Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Hajde da formulišemo pravilo standardizacije :

Pomnožite sve numeričke faktore;

Stavite rezultirajući koeficijent na prvo mjesto;

Pomnožite sve stepene, odnosno dobijete dio slova;

To jest, svaki monom karakterizira koeficijent i dio slova. Gledajući unaprijed, primjećujemo da se monomi koji imaju isti dio slova nazivaju sličnima.

Sada moramo da vežbamo tehnika svođenja monoma na standardni oblik . Razmotrimo primjere iz udžbenika:

Zadatak: dovesti monom u standardni oblik, imenovati koeficijent i slovni dio.

Da bismo izvršili zadatak, koristit ćemo pravilo za svođenje monoma na standardni oblik i svojstva potencija.

1. ;

3. ;

Komentari na prvi primjer: Prvo, utvrdimo da li je ovaj izraz zaista monom; da bismo to učinili, provjerimo sadrži li operacije množenja brojeva i potencija i da li sadrži operacije sabiranja, oduzimanja ili dijeljenja. Možemo reći da je ovaj izraz monom jer je gore navedeni uslov zadovoljen. Zatim, prema pravilu za svođenje monoma na standardni oblik, množimo numeričke faktore:

- našli smo koeficijent datog monoma;

; ; ; odnosno dobija se doslovni deo izraza:;

Zapišimo odgovor: ;

Komentari na drugi primjer: Po pravilu izvodimo:

1) pomnožiti numeričke faktore:

2) pomnožiti potencije:

Varijable su predstavljene u jednoj kopiji, odnosno ne mogu se množiti ni sa čim, prepisuju se bez promjena, stepen se množi:

Zapišimo odgovor:

;

U ovom primjeru, koeficijent monoma jednako jedan, a dio slova je .

Komentari na treći primjer: a Slično kao u prethodnim primjerima, izvodimo sljedeće radnje:

1) pomnožiti numeričke faktore:

;

2) pomnožiti potencije:

;

Zapišimo odgovor: ;

U ovom slučaju, koeficijent monoma je “”, a dio slova .

Sada razmotrimo druga standardna operacija na monomima . Budući da je monom algebarski izraz koji se sastoji od literalnih varijabli koje mogu poprimiti određene numeričke vrijednosti, imamo aritmetičku numerički izraz, koje treba izračunati. To jest, sljedeća operacija nad polinomima je izračunavanje njihove specifične numeričke vrijednosti .

Pogledajmo primjer. dat monom:

ovaj monom je već sveden na standardni oblik, njegov koeficijent je jednak jedan, a slovni dio

Ranije smo rekli da se algebarski izraz ne može uvijek izračunati, odnosno da varijable koje su u njemu uključene ne mogu poprimiti nikakvu vrijednost. U slučaju monoma, varijable uključene u njega mogu biti bilo koje; ovo je karakteristika monoma.

Dakle, u datom primjeru, trebate izračunati vrijednost monoma na , , , .

Moć monoma

Za monom postoji koncept njegovog stepena. Hajde da shvatimo šta je to.

Definicija.

Moć monoma standardni oblik je zbir eksponenata svih varijabli uključenih u njegov zapis; ako nema varijabli u zapisu monoma i on je različit od nule, tada se smatra njegov stepen jednaka nuli; broj nula se smatra monomom čiji je stepen nedefinisan.

Određivanje stepena monoma omogućava vam da date primjere. Stepen monoma a je jednak jedan, pošto je a 1. Moć monoma 5 je nula, jer nije nula i njegova notacija ne sadrži varijable. A proizvod 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 je monom osmog stepena, pošto je zbir eksponenata svih varijabli a, x i y jednak 2+1+3+2=8.

Usput, stepen monoma nije upisan standardni obrazac, jednak je stepenu odgovarajućeg monoma standardnog oblika. Da bismo to ilustrovali, izračunajmo stepen monoma 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Ovaj monom u standardnom obliku ima oblik −6·x 8 ·y 4, njegov stepen je 8+4=12. Dakle, stepen originalnog monoma je 12.

Monomski koeficijent

Monom u standardnom obliku, koji ima barem jednu varijablu u svojoj notaciji, je proizvod sa jednim numeričkim faktorom - numeričkim koeficijentom. Ovaj koeficijent se naziva monomski koeficijent. Formulirajmo gornje argumente u obliku definicije.

Definicija.

Monomski koeficijent- Ovo numerički faktor monom napisan u standardnom obliku.

Sada možemo dati primjere koeficijenata različitih monoma. Broj 5 je koeficijent monoma 5·a 3 po definiciji, slično tome i monom (−2,3)·x·y·z ima koeficijent od −2,3.

Koeficijenti monoma, jednaki 1 i −1, zaslužuju posebnu pažnju. Poenta je da oni obično nisu eksplicitno prisutni na snimku. Smatra se da je koeficijent monoma standardnog oblika koji nemaju numerički faktor u svojoj notaciji jednak jedinici. Na primjer, monomi a, x·z 3, a·t·x, itd. imaju koeficijent 1, pošto se a može smatrati 1·a, x·z 3 - kao 1·x·z 3, itd.

Slično tome, koeficijent monoma, čiji unosi u standardnom obliku nemaju numerički faktor i počinju sa znakom minus, smatra se minus jedan. Na primjer, monomi −x, −x 3 y z 3, itd. imaju koeficijent −1, budući da −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 i tako dalje.

Inače, koncept koeficijenta monoma često se naziva monomima standardnog oblika, a to su brojevi bez faktora slova. Koeficijenti takvih monoma-brojeva smatraju se ovim brojevima. Tako se, na primjer, koeficijent monoma 7 smatra jednakim 7.

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 7. razred opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Monomi su jedan od glavnih tipova izraza koji se izučavaju u školskom kursu algebre. U ovom materijalu ćemo vam reći koji su to izrazi, definirati njihov standardni oblik i pokazati primjere, a također ćemo razumjeti povezane koncepte, kao što su stepen monoma i njegov koeficijent.

Šta je monom

Školski udžbenici obično daju sljedeću definiciju ovog pojma:

Definicija 1

Monomi uključuju brojevi, varijable, kao i njihove snage sa prirodnim eksponentima i različite vrste djela sastavljena od njih.

Na osnovu ove definicije možemo dati primjere takvih izraza. Dakle, svi brojevi 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 će biti monomi. Sve varijable, na primjer, x, a, b, p, q, t, y, z, također će biti monomi po definiciji. Ovo također uključuje potencije varijabli i brojeva, na primjer, 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 i t 15, kao i izrazi oblika 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z, itd. Imajte na umu da monom može sadržavati jedan broj ili promjenljivu, ili nekoliko, a mogu se spomenuti više puta u jednom polinomu.

Takvi tipovi brojeva kao što su celi brojevi, racionalni brojevi i prirodni brojevi takođe pripadaju monomima. Ovdje također možete uključiti realne i kompleksne brojeve. Dakle, izrazi oblika 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 će takođe biti monomi.

Šta je standardni oblik monoma i kako pretvoriti izraz u njega

Radi lakšeg korištenja, svi monomi se prvo svode na poseban oblik koji se naziva standardni. Hajde da konkretno formulišemo šta ovo znači.

Definicija 2

Standardni oblik monoma naziva se njegov oblik u kojem je proizvod brojčanog faktora i prirodni stepeni različite varijable. Numerički faktor, koji se naziva i koeficijent monoma, obično se piše prvi na lijevoj strani.

Radi jasnoće, izaberimo nekoliko monoma standardnog oblika: 6 (ovo je monom bez varijabli), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Ovo takođe uključuje izraz x y(ovdje će koeficijent biti jednak 1), − x 3(ovdje je koeficijent - 1).

Sada dajemo primjere monoma koje treba dovesti u standardni oblik: 4 a 2 a 3(ovdje trebate kombinirati iste varijable), 5 x (− 1) 3 y 2(ovdje trebate kombinirati numeričke faktore na lijevoj strani).

Obično, kada monom ima nekoliko varijabli napisanih slovima, faktori slova se pišu abecednim redom. Na primjer, poželjno je pisati 6 a b 4 c z 2, kako b 4 6 a z 2 c. Međutim, redoslijed može biti drugačiji ako svrha izračuna to zahtijeva.

Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Da biste to učinili, potrebno je ispuniti sve što je potrebno transformacije identiteta.

Koncept stepena monoma

Prateći koncept stepena monoma je veoma važan. Hajde da zapišemo definiciju ovog koncepta.

Definicija 3

Po snazi ​​monoma, napisan u standardnom obliku, je zbir eksponenata svih varijabli koje su uključene u njegovu notaciju. Ako u njemu nema varijabli, a sam monom se razlikuje od 0, tada će njegov stepen biti nula.

Navedimo primjere potencija monoma.

Primjer 1

Dakle, monom a ima stepen jednak 1, pošto je a = a 1. Ako imamo monom 7, onda će on imati stepen nula, jer nema varijabli i različit je od 0. A evo i snimka 7 a 2 x y 3 a 2 bit će monom 8. stepena, jer će zbir eksponenata svih stupnjeva varijabli uključenih u njega biti jednak 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Monom sveden na standardni oblik i originalni polinom će imati isti stepen.

Primjer 2

Pokazaćemo vam kako da izračunate stepen monoma 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. U standardnom obliku može se napisati kao − 6 x 8 y 4. Izračunavamo stepen: 8 + 4 = 12 . To znači da je stepen originalnog polinoma takođe jednak 12.

Pojam monomskog koeficijenta

Ako imamo monom sveden na standardni oblik koji uključuje barem jednu varijablu, onda o njemu govorimo kao o proizvodu s jednim numeričkim faktorom. Ovaj faktor se naziva numerički koeficijent ili monomalni koeficijent. Hajde da zapišemo definiciju.

Definicija 4

Koeficijent monoma je numerički faktor monoma svedenog na standardni oblik.

Uzmimo za primjer koeficijente raznih monoma.

Primjer 3

Dakle, u izrazu 8 a 3 koeficijent će biti broj 8, i in (− 2 , 3) ​​x y z oni ce − 2 , 3 .

Posebnu pažnju treba obratiti na koeficijente jednake jedan i minus jedan. Oni po pravilu nisu eksplicitno naznačeni. Vjeruje se da je u monomu standardnog oblika, u kojem nema numeričkog faktora, koeficijent jednak 1, na primjer, u izrazima a, x · z 3, a · t · x, jer se mogu smatra se kao 1 · a, x · z 3 – Kako 1 x z 3 itd.

Slično, u monomima koji nemaju numerički faktor i koji počinju sa predznakom minus, možemo smatrati - 1 koeficijentom.

Primjer 4

Na primjer, izrazi − x, − x 3 · y · z 3 će imati takav koeficijent, jer se mogu predstaviti kao − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1 ) · x 3 y z 3 itd.

Ako monom uopće nema faktor jednog slova, onda možemo govoriti o koeficijentu u ovom slučaju. Koeficijenti takvih monoma-brojeva bit će sami ovi brojevi. Tako će, na primjer, koeficijent monoma 9 biti jednak 9.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Koncept monoma

Definicija monoma: monom je algebarski izraz koji koristi samo množenje.

Standardni oblik monoma

Koji je standardni oblik monoma? Monom se piše u standardnom obliku, ako ima brojčani faktor na prvom mjestu i taj faktor se zove koeficijent monoma, u monomu je samo jedan, slova monoma su raspoređena po abecednom redu i svako slovo pojavljuje se samo jednom.

Primjer monoma u standardnom obliku:

ovdje je na prvom mjestu broj, koeficijent monoma, a ovaj broj je samo jedan u našem monomu, svako slovo se pojavljuje samo jednom i slova su poređana po abecednom redu, u ovom slučaju to je latinica.

Još jedan primjer monoma u standardnom obliku:

svako slovo se javlja samo jednom, poređano je latiničnim abecednim redom, ali gdje je koeficijent monoma, tj. numerički faktor koji bi trebao biti prvi? Ovdje je jednako jedan: 1adm.

Može li koeficijent monoma biti negativan? Da, možda, primjer: -5a.

Može li koeficijent monoma biti razlomak? Da, možda, primjer: 5.2a.

Ako se monom sastoji samo od broja, tj. nema slova, kako da ga dovedem u standardni oblik? Svaki monom koji je broj već je u standardnom obliku, na primjer: broj 5 je monom u standardnom obliku.

Svođenje monoma na standardni oblik

Kako dovesti monom u standardni oblik? Pogledajmo primjere.

Neka je zadan monom 2a4b; trebamo ga dovesti u standardni oblik. Pomnožimo njegova dva brojčana faktora i dobijemo 8ab. Sada je monom zapisan u standardnom obliku, tj. ima samo jedan numerički faktor, napisan na prvom mjestu, svako slovo u monomu se pojavljuje samo jednom i ova slova su raspoređena po abecednom redu. Dakle 2a4b = 8ab.

Dato je: monom 2a4a, dovesti monom u standardni oblik. Pomnožimo brojeve 2 i 4, zamjenjujući proizvod aa drugom potencijom od 2. Dobijamo: 8a 2 . Ovo je standardni oblik ovog monoma. Dakle 2a4a = 8a 2 .

Slični monomi

Šta su slični monomi? Ako se monomi razlikuju samo po koeficijentima ili su jednaki, onda se nazivaju sličnima.

Primjer sličnih monoma: 5a i 2a. Ovi monomi se razlikuju samo po koeficijentima, što znači da su slični.

Jesu li monomi 5abc i 10cba slični? Dovedemo drugi monom u standardni oblik i dobijemo 10abc. Sada možemo vidjeti da se monomi 5abc i 10abc razlikuju samo po svojim koeficijentima, što znači da su slični.

Sabiranje monoma

Koliki je zbir monoma? Možemo samo sabrati slične monome. Pogledajmo primjer sabiranja monoma. Koliki je zbir monoma 5a i 2a? Zbir ovih monoma će biti monom sličan njima, čiji koeficijent jednak zbiru koeficijenti pojmova. Dakle, zbir monoma je 5a + 2a = 7a.

Još primjera zbrajanja monoma:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Opet. Možete dodati samo slične monome; sabiranje se svodi na sabiranje njihovih koeficijenata.

Oduzimanje monoma

Koja je razlika između monoma? Slične monome možemo samo oduzeti. Pogledajmo primjer oduzimanja monoma. Koja je razlika između monoma 5a i 2a? Razlika ovih monoma će biti njima sličan monom, čiji je koeficijent jednak razlici koeficijenata ovih monoma. Dakle, razlika monoma je 5a - 2a = 3a.

Još primjera oduzimanja monoma:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Množenje monoma

Šta je proizvod monoma? Pogledajmo primjer:

one. proizvod monoma je jednak monomu čiji su faktori sastavljeni od faktora originalnih monoma.

Drugi primjer:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Kako je došlo do ovog rezultata? Svaki faktor sadrži "a" na stepen: u prvom - "a" na stepen 2, au drugom - "a" na stepen 5. To znači da će proizvod sadržavati "a" na stepen od 7, jer se pri množenju identičnih slova eksponenti njihovih potencija savijaju:

A 2 * a 5 = a 7 .

Isto važi i za faktor “b”.

Koeficijent prvog faktora je dva, a drugog jedan, pa je rezultat 2 * 1 = 2.

Ovako je rezultat izračunat: 2a 7 b 12.

Iz ovih primjera je jasno da se koeficijenti monoma množe, a identična slova zamjenjuju zbrojima njihovih potencija u proizvodu.

Primetili smo da bilo koji monom može biti dovesti u standardni oblik. U ovom članku ćemo razumjeti što se naziva dovođenje monoma u standardni oblik, koje radnje omogućuju da se ovaj proces provede i razmotriti rješenja primjera s detaljnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Šta znači reducirati monom na standardni oblik?

Pogodno je raditi sa monomima kada su napisani u standardnom obliku. Međutim, vrlo često se monomi specificiraju u obliku različitom od standardnog. U ovim slučajevima, uvijek možete prijeći od originalnog monoma do monoma standardnog oblika izvodeći transformacije identiteta. Proces izvođenja takvih transformacija naziva se svođenje monoma na standardni oblik.

Hajde da sumiramo gornje argumente. Reduciraj monom na standardni oblik- to znači izvođenje identičnih transformacija s njim tako da poprimi standardni oblik.

Kako dovesti monom u standardni oblik?

Vrijeme je da shvatimo kako svesti monome na standardni oblik.

Kao što je poznato iz definicije, monomi nestandardnog oblika su proizvodi brojeva, varijabli i njihovih potencija, a moguće i onih koji se ponavljaju. A monom standardnog oblika može sadržavati u svojoj notaciji samo jedan broj i neponavljajuće varijable ili njihove moći. Sada ostaje razumjeti kako dovesti proizvode prve vrste u tip druge?

Da biste to učinili, trebate koristiti sljedeće pravilo za svođenje monoma na standardni oblik koji se sastoji od dva koraka:

• Prvo se vrši grupisanje brojčanih faktora, kao i identičnih varijabli i njihovih snaga;
• Drugo, proizvod brojeva se izračunava i primjenjuje.

Kao rezultat primjene navedenog pravila, svaki monom će se svesti na standardni oblik.

Primjeri, rješenja

Ostaje samo naučiti kako primijeniti pravilo iz prethodnog paragrafa prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Smanjite monom 3 x 2 x 2 na standardni oblik.

Rješenje.

Grupirajmo numeričke faktore i faktore sa promenljivom x. Nakon grupisanja, originalni monom će poprimiti oblik (3·2)·(x·x 2) . Proizvod brojeva u prvim zagradama jednak je 6, a pravilo za množenje potencija sa istim osnovama dozvoljava da se izraz u drugim zagradama predstavi kao x 1 +2=x 3. Kao rezultat, dobijamo polinom standardnog oblika 6 x 3.

Evo kratkog sažetka rješenja: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

odgovor:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

Dakle, da biste monom doveli u standardni oblik, morate biti u stanju da grupišete faktore, množite brojeve i radite sa potencijama.

Da bismo konsolidirali gradivo, riješimo još jedan primjer.

Primjer.

Predstavite monom u standardnom obliku i navedite njegov koeficijent.

Rješenje.

Originalni monom ima jedan brojčani faktor u svojoj notaciji −1, pomjerimo ga na početak. Nakon ovoga, mi ćemo posebno grupirati faktore sa varijablom a, posebno sa varijablom b, a varijablu m nema sa čime da grupišemo, ostavićemo je kako jeste, imamo . Nakon izvođenja operacija sa potencijama u zagradama, monom će poprimiti standardni oblik koji nam je potreban, iz kojeg možemo vidjeti koeficijent monoma jednak −1. Minus jedan se može zamijeniti znakom minus: .