Online rješenje za kolonu podjele. Podijelite dvocifrenim brojem

U školi se ove radnje proučavaju od jednostavnih do složenih. Stoga je neophodno temeljito razumjeti algoritam za izvođenje ovih operacija jednostavni primjeri. Tako da kasnije neće biti poteškoća s dijeljenjem decimalnih razlomaka u stupac. Uostalom, ovo je najteža verzija takvih zadataka.

Ova tema zahtijeva dosljedno proučavanje. Ovdje su praznine u znanju neprihvatljive. Ovaj princip bi svaki učenik trebao naučiti već u prvom razredu. Stoga, ako propustite nekoliko lekcija zaredom, morat ćete sami savladati gradivo. U suprotnom će se kasnije pojaviti problemi ne samo s matematikom, već i sa drugim predmetima koji su s njom povezani.

Drugi preduvjet za uspješno proučavanje matematike je da se na primjere dugog dijeljenja pređe tek nakon što se savladaju sabiranje, oduzimanje i množenje.

Djetetu će biti teško dijeliti ako nije naučilo tablicu množenja. Usput, bolje je to podučavati pomoću Pitagorine tablice. Nema ništa suvišno, a množenje je u ovom slučaju lakše naučiti.

Kako se množe prirodni brojevi u koloni?

Ako se pojave poteškoće u rješavanju primjera u stupcu za dijeljenje i množenje, tada biste trebali početi rješavati problem s množenjem. Pošto je dijeljenje inverzna operacija množenja:

1. Prije množenja dva broja, morate ih pažljivo pogledati. Odaberite onaj sa više cifara (duži) i prvo ga zapišite. Stavite drugu ispod. Štaviše, brojevi odgovarajuće kategorije moraju biti u istoj kategoriji. To jest, krajnja desna cifra prvog broja treba da bude iznad krajnje desne cifre drugog.
2. Pomnožite krajnju desnu cifru donjeg broja sa svakom cifrom gornjeg broja, počevši od desne. Odgovor upišite ispod crte tako da njegova posljednja znamenka bude ispod one kojom ste pomnožili.
3. Ponovite isto sa drugom cifrom nižeg broja. Ali rezultat množenja mora se pomaknuti za jednu cifru ulijevo. U ovom slučaju, njegova posljednja cifra će biti ispod one kojom je pomnožena.

Nastavite ovo množenje u koloni dok ne ponestane brojeva u drugom faktoru. Sada ih treba saviti. Ovo će biti odgovor koji tražite.

Algoritam za množenje decimala

Prvo, trebate zamisliti da dati razlomci nisu decimali, već prirodni. Odnosno, uklonite zareze iz njih, a zatim nastavite kako je opisano u prethodnom slučaju.

Razlika počinje kada se zapiše odgovor. U ovom trenutku potrebno je izbrojati sve brojeve koji se pojavljuju iza decimalnih zareza u oba razlomka. Toliko ih treba izbrojati od kraja odgovora i tu staviti zarez.

Zgodno je ilustrirati ovaj algoritam na primjeru: 0,25 x 0,33:

Gdje početi učiti odjeljenje?

Prije rješavanja primjera dugog dijeljenja, morate zapamtiti nazive brojeva koji se pojavljuju u primjeru dugog dijeljenja. Prvi od njih (onaj koji je podijeljen) je djeljiv. Drugi (podijeljen sa) je djelitelj. Odgovor je privatan.

Nakon toga, koristeći jednostavan svakodnevni primjer, objasnit ćemo suštinu ove matematičke operacije. Na primjer, ako uzmete 10 slatkiša, onda ih je lako podijeliti na jednake dijelove između mame i tate. Ali šta ako ih trebaš dati roditeljima i bratu?

Nakon toga možete se upoznati s pravilima podjele i savladati ih konkretni primjeri. Prvo jednostavnije, a zatim prijeđite na sve složenije.

Algoritam za dijeljenje brojeva u kolonu

Prvo, predstavimo proceduru za prirodni brojevi, djeljivo sa jednocifreni broj. Oni će također biti osnova za višecifrene djelitelje ili decimalne razlomke. Tek tada biste trebali napraviti male promjene, ali o tome kasnije:

• Prije dugog dijeljenja, morate shvatiti gdje su dividenda i djelitelj.
• Zapišite dividendu. Desno od njega je pregrada.
• Nacrtajte kut s lijeve i donje strane blizu posljednjeg ugla.
• Odredite nepotpunu dividendu, odnosno broj koji će biti minimalan za dijeljenje. Obično se sastoji od jedne cifre, najviše od dvije.
• Odaberite broj koji će biti napisan prvi u odgovoru. To bi trebao biti broj puta kada se djelitelj uklapa u dividendu.
• Zapišite rezultat množenja ovog broja djeliteljem.
• Upišite ga ispod nepotpune dividende. Izvršite oduzimanje.
• Ostatku dodajte prvu cifru nakon dijela koji je već podijeljen.
• Ponovo odaberite broj za odgovor.
• Ponovite množenje i oduzimanje. Ako ostatak jednaka nuli i dividenda je gotova, onda je primjer gotov. U suprotnom, ponovite korake: uklonite broj, pokupite broj, pomnožite, oduzmite.

Kako riješiti dugo dijeljenje ako djelitelj ima više od jedne cifre?

Sam algoritam se potpuno poklapa sa gore opisanim. Razlika će biti broj cifara u nepotpunoj dividendi. Sada bi ih trebalo biti najmanje dva, ali ako se ispostavi da su manji od djelitelja, onda morate raditi s prve tri znamenke.

U ovoj podjeli postoji još jedna nijansa. Činjenica je da ostatak i broj koji mu se dodaje ponekad nisu djeljivi djeliteljem. Zatim morate dodati još jedan broj po redu. Ali odgovor mora biti nula. Ako trocifrene brojeve dijelite u kolonu, možda ćete morati ukloniti više od dvije cifre. Tada se uvodi pravilo: u odgovoru treba biti jedna nula manje od broja uklonjenih cifara.

Ovu podjelu možete razmotriti koristeći primjer - 12082: 863.

• Nepotpuna dividenda u njemu ispada da je broj 1208. Broj 863 se u njega stavlja samo jednom. Dakle, odgovor bi trebao biti 1, a pod 1208 upišite 863.
• Nakon oduzimanja, ostatak je 345.
• Morate mu dodati broj 2.
• Broj 3452 sadrži 863 četiri puta.
• Četiri se moraju zapisati kao odgovor. Štaviše, kada se pomnoži sa 4, to je upravo broj koji se dobije.
• Ostatak nakon oduzimanja je nula. Odnosno, podjela je završena.

Odgovor u primjeru bi bio broj 14.

Šta ako dividenda završi na nuli?

Ili nekoliko nula? U ovom slučaju, ostatak je nula, ali dividenda i dalje sadrži nule. Nema potrebe očajavati, sve je jednostavnije nego što se čini. Dovoljno je jednostavno dodati odgovoru sve nule koje ostaju nepodijeljene.

Na primjer, trebate podijeliti 400 sa 5. Nepotpuna dividenda je 40. Pet se uklapa u nju 8 puta. To znači da odgovor treba napisati kao 8. Prilikom oduzimanja ne ostaje ostatak. Odnosno, podjela je završena, ali u dividendi ostaje nula. Moraće se dodati odgovoru. Dakle, dijeljenje 400 sa 5 jednako je 80.

Šta učiniti ako trebate podijeliti decimalni razlomak?

Opet, ovaj broj izgleda kao prirodan broj, ako ne i zarez koji odvaja cijeli dio od razlomka. Ovo sugerira da je podjela decimalnih razlomaka u stupac slična onoj gore opisanoj.

Jedina razlika će biti tačka i zarez. Treba ga staviti u odgovor čim se ukloni prva znamenka iz razlomka. Drugi način da to kažete je sledeći: ako ste završili sa deljenjem celog dela, stavite zarez i nastavite dalje sa rešenjem.

Kada rješavate primjere dugog dijeljenja s decimalnim razlomcima, morate imati na umu da se bilo koji broj nula može dodati dijelu nakon decimalnog zareza. Ponekad je to neophodno kako bi se upotpunili brojevi.

Dijeljenje dvije decimale

Možda izgleda komplikovano. Ali samo na početku. Uostalom, kako podijeliti stupac razlomaka prirodnim brojem već je jasno. To znači da ovaj primjer trebamo svesti na već poznatu formu.

Lako je to uraditi. Oba razlomka trebate pomnožiti sa 10, 100, 1.000 ili 10.000, a možda i sa milionom ako problem to zahtijeva. Množilac bi trebalo da se bira na osnovu toga koliko nula ima u decimalnom delu djelitelja. Odnosno, rezultat će biti da ćete morati podijeliti razlomak prirodnim brojem.

A ovo će biti najgori scenario. Uostalom, može se dogoditi da dividenda iz ove operacije postane cijeli broj. Tada će se rješenje primjera s dijeljenjem razlomaka po stupcima svesti na najjednostavniju opciju: operacije s prirodnim brojevima.

Kao primjer: podijelite 28,4 sa 3,2:

• Prvo ih je potrebno pomnožiti sa 10, jer drugi broj ima samo jednu cifru iza decimalnog zareza. Množenjem će se dobiti 284 i 32.
• Trebalo bi da budu razdvojeni. Štaviše, cijeli broj je 284 sa 32.
• Prvi broj odabran za odgovor je 8. Množenjem dobije se 256. Ostatak je 28.
• Podjela cijelog dijela je završena, a u odgovoru je potreban zarez.
• Ukloni na ostatak 0.
• Uzmi 8 ponovo.
• Ostatak: 24. Dodajte mu još 0.
• Sada trebate uzeti 7.
• Rezultat množenja je 224, a ostatak je 16.
• Skinite još 0. Uzmite po 5 i dobijete tačno 160. Ostatak je 0.

Podjela je gotova. Rezultat primjera 28.4:3.2 je 8.875.

Šta ako je djelitelj 10, 100, 0,1 ili 0,01?

Kao i kod množenja, ovdje nije potrebno dugo dijeljenje. Dovoljno je samo pomaknuti zarez u željenom smjeru za određeni broj cifara. Štaviše, koristeći ovaj princip, možete rješavati primjere i s cijelim brojevima i s decimalnim razlomcima.

Dakle, ako trebate podijeliti sa 10, 100 ili 1.000, onda se decimalni zarez pomiče ulijevo za isti broj cifara koliko ima nula u djelitelju. To jest, kada je broj djeljiv sa 100, decimalni zarez se mora pomaknuti ulijevo za dvije cifre. Ako je dividenda prirodan broj, onda se pretpostavlja da je zarez na kraju.

Ova akcija daje isti rezultat kao da se broj pomnoži sa 0,1, 0,01 ili 0,001. U ovim primjerima, zarez je također pomjeren ulijevo za broj cifara jednak dužini razlomka.

Prilikom dijeljenja sa 0,1 (itd.) ili množenja sa 10 (itd.), decimalni zarez treba pomaknuti udesno za jednu cifru (ili dvije, tri, ovisno o broju nula ili dužini razlomka).

Vrijedi napomenuti da broj cifara naveden u dividendi možda neće biti dovoljan. Tada se nule koje nedostaju mogu dodati lijevo (u cijelom dijelu) ili desno (nakon decimalnog zareza).

Podjela periodičnih razlomaka

U tom slučaju neće biti moguće dobiti tačan odgovor prilikom podjele u kolonu. Kako riješiti primjer ako naiđete na razlomak s tačkom? Ovdje trebamo prijeći na obične razlomke. A zatim ih podijelite prema prethodno naučenim pravilima.

Na primjer, trebate podijeliti 0.(3) sa 0.6. Prvi razlomak je periodičan. Pretvara se u razlomak 3/9, koji kada se smanji daje 1/3. Drugi razlomak je konačna decimala. Još je lakše zapisati kao i obično: 6/10, što je jednako 3/5. Pravilo za dijeljenje običnih razlomaka zahtijeva zamjenu dijeljenja množenjem, a djelitelja recipročnim. To jest, primjer se svodi na množenje 1/3 sa 5/3. Odgovor će biti 5/9.

Ako primjer sadrži različite razlomke...

Tada je moguće nekoliko rješenja. prvo, običan razlomak Možete ga pokušati pretvoriti u decimalni. Zatim podijelite dvije decimale koristeći gornji algoritam.

Drugo, svaka konačna decimalni može se napisati u običnom obliku. Ali ovo nije uvijek zgodno. Najčešće se takvi razlomci pokazuju ogromnim. A odgovori su glomazni. Stoga se prvi pristup smatra poželjnijim.

Podjela kolona je sastavni dio edukativni materijal učenik mlađe škole. Dalji uspjeh u matematici ovisit će o tome koliko ispravno nauči da izvede ovu radnju.

Kako pravilno pripremiti dijete da percipira novo gradivo?

Podjela na stupce je složen proces koji od djeteta zahtijeva određena znanja. Da biste izvršili dijeljenje, morate znati i moći brzo oduzimati, sabirati i množiti. Poznavanje cifara brojeva je takođe važno.

Svaku od ovih radnji treba dovesti do automatizma. Dijete ne bi trebalo dugo razmišljati, a isto tako biti sposobno oduzimati i sabirati ne samo brojeve od prvih deset, već unutar sto u nekoliko sekundi.

Važno je formirati ispravan koncept dijeljenja kao matematičke operacije. Čak i kada proučava tablice množenja i dijeljenja, dijete mora jasno shvatiti da je dividenda broj koji će se podijeliti na jednake dijelove, djelitelj označava na koliko dijelova treba podijeliti broj, a količnik je sam odgovor.

Kako objasniti algoritam matematičke operacije korak po korak?

Svaka matematička operacija zahtijeva striktno pridržavanje određenog algoritma. Primjere duge podjele treba izvesti ovim redoslijedom:

1. Napišite primjer u kutu, a mjesta dijeljenja i djelitelja moraju se strogo poštovati. Da se dijete ne zbuni u prvim fazama, možemo reći da pišemo lijevo veći broj, a desno je manji.
2. Odaberite dio za prvu podjelu. Mora biti djeljiva dividendom s ostatkom.
3. Pomoću tablice množenja određujemo koliko puta djelitelj može stati u odabrani dio. Važno je naznačiti djetetu da odgovor ne smije biti veći od 9.
4. Dobijeni broj pomnožite djeliteljem i napišite ga na lijevoj strani ugla.
5. Zatim morate pronaći razliku između dijela dividende i rezultirajućeg proizvoda.
6. Rezultirajući broj se upisuje ispod linije i sljedeća znamenka se skida. Takve radnje se izvode sve dok ostatak ne bude 0.

Jasan primjer za učenike i roditelje

Podjela stupaca može se jasno objasniti korištenjem ovog primjera.

1. Zapišite 2 broja u kolonu: dividenda je 536, a djelitelj je 4.
2. Prvi dio za dijeljenje mora biti djeljiv sa 4, a količnik mora biti manji od 9. Za to je pogodan broj 5.
3. 4 se uklapa u 5 samo jednom, tako da u odgovor upisujemo 1, a ispod 5 4.
4. Zatim se vrši oduzimanje: 4 se oduzima od 5 i 1 se upisuje ispod linije.
5. Sljedeća cifra se dodaje jednom - 3. U trinaest (13) - 4 odgovara 3 puta. 4x3 = 12. Dvanaest je upisano ispod 13., a 3 je upisano kao količnik, kao naredni broj.
6. Od 13 se oduzima 12, odgovor je 1. Ponovo se oduzima sljedeća cifra - 6.
7. 16 se ponovo deli sa 4. Odgovor se piše kao 4, au koloni za deljenje - 16, a razlika se povlači kao 0.

Rešavanjem dugih primjera dijeljenja sa svojim djetetom nekoliko puta, možete postići uspjeh u brzom rješavanju zadataka u srednjoj školi.

Školarci već u trećem razredu uče dijeljenje stupaca, tačnije, pisanu tehniku ​​dijeljenja ugla. osnovna škola, ali se ovoj temi često posvećuje toliko malo pažnje da je do 9-11. razreda ne mogu svi učenici tečno koristiti. Podjela kolone po dvocifreni broj odvija se u 4. razredu, baš kao i podjela na trocifreni broj, a zatim se ova tehnika koristi samo kao pomoćna pri rješavanju bilo koje jednačine ili pronalaženju vrijednosti izraza.

Očigledno je da će dijete, obraćanjem više pažnje na dugo dijeljenje nego što je to predviđeno školskim programom, olakšati rješavanje matematičkih zadataka do 11. razreda. A za ovo vam treba malo - razumjeti temu i proučiti, riješiti, držeći algoritam u glavi, dovesti vještinu računanja do automatizma.

Algoritam za dijeljenje dvocifrenim brojem

Kao i kod dijeljenja jednocifrenim brojem, uzastopno ćemo prijeći od dijeljenja većih jedinica brojanja na dijeljenje manjih jedinica.

1. Pronađite prvu nepotpunu dividendu. Ovo je broj koji se dijeli s djeliteljem kako bi se dobio broj veći ili jednak 1. To znači da je prva parcijalna dividenda uvijek veća od djelitelja. Kada se dijeli dvocifrenim brojem, prva parcijalna dividenda mora imati najmanje 2 cifre.

Primjeri 76 8:24. Prva nepotpuna dividenda 76
265 :53 26 je manje od 53, što znači da nije prikladno. Trebate dodati sljedeći broj (5). Prva nepotpuna dividenda je 265.

2. Odredite broj cifara u količniku. Da biste odredili broj znamenki u količniku, treba imati na umu da nepotpuna dividenda odgovara jednoj znamenki količnika, a sve ostale cifre dividende odgovaraju još jednoj cifri količnika.

Primeri 768:24. Prva nepotpuna dividenda je 76. Odgovara 1 znamenki količnika. Nakon prvog parcijalnog djelitelja nalazi se još jedna znamenka. To znači da će količnik imati samo 2 znamenke.
265:53. Prva nepotpuna dividenda je 265. Ona će dati 1 znamenku količnika. U dividendi više nema cifara. To znači da će količnik imati samo 1 znamenku.
15344:56. Prva parcijalna dividenda je 153, a nakon nje slijede još 2 cifre. To znači da će količnik imati samo 3 znamenke.

3. Pronađite brojeve u svakoj cifri količnika. Prvo, pronađimo prvu cifru količnika. Biramo cijeli broj takav da kada se pomnoži sa našim djeliteljem dobijemo broj koji je što je moguće bliži prvoj nepotpunoj dividendi. Ispod ugla upisujemo količnik, a od parcijalnog djelitelja oduzimamo vrijednost proizvoda u stupcu. Ostatak zapisujemo. Provjeravamo da je manji od djelitelja.

Zatim nalazimo drugu cifru količnika. Broj koji slijedi nakon prvog parcijalnog djelitelja u dividendi prepisujemo u red s ostatkom. Rezultirajuća nepotpuna dividenda se opet dijeli s djeliteljem i tako svaki naredni broj količnika nalazimo dok ne ponestane cifara djelitelja.

4. Pronađite ostatak(ako ima).

Ako ponestane cifara količnika, a ostatak je 0, tada se dijeljenje vrši bez ostatka. U suprotnom, vrijednost kvocijenta se piše s ostatkom.

Također se vrši dijeljenje bilo kojim višecifrenim brojem (trocifrenim, četverocifrenim itd.).

Analiza primjera dijeljenja kolonom dvocifrenim brojem

Prvo, pogledajmo jednostavne slučajeve dijeljenja, kada kvocijent rezultira jednocifrenim brojem.

Nađimo vrijednost količnika 265 i 53.

Prva nepotpuna dividenda je 265. U dividendi više nema cifara. To znači da će količnik biti jednocifreni broj.

Da bismo lakše odabrali količnik, podijelimo 265 ne sa 53, već sa bliskim okruglim brojem 50. Da biste to učinili, podijelite 265 sa 10, rezultat će biti 26 (ostatak je 5). I podijelite 26 sa 5, bit će 5 (ostatak 1). Broj 5 se ne može odmah upisati u količnik, jer je to probni broj. Prvo morate provjeriti da li odgovara. Pomnožimo 53*5=265. Vidimo da se pojavio broj 5. A sada to možemo zapisati u privatnom kutku. 265-265=0. Podjela je završena bez ostatka.

Količnik 265 i 53 je 5.

Ponekad se prilikom dijeljenja probna cifra količnika ne uklapa i tada je treba promijeniti.

Nađimo vrijednost količnika 184 i 23.

Kvocijent će biti jednocifreni broj.

Da bismo lakše odabrali količnik, podijelimo 184 ne sa 23, već sa 20. Da biste to učinili, podijelite 184 sa 10, rezultat će biti 18 (ostatak 4). I podijelimo 18 sa 2, rezultat je 9. 9 je probni broj, nećemo ga odmah upisati u količnik, ali ćemo provjeriti da li je prikladan. Pomnožimo 23*9=207. 207 je veće od 184. Vidimo da broj 9 nije prikladan. Količnik će biti manji od 9. Pokušajmo vidjeti da li je prikladan broj 8. Pomnožimo 23*8=184. Vidimo da je broj 8 prikladan. Možemo to zapisati privatno. 184-184=0. Podjela je završena bez ostatka.

Količnik 184 i 23 je 8.

Razmotrimo složenije slučajeve podjele.

Nađimo vrijednost količnika 768 i 24.

Prva nepotpuna dividenda je 76 desetica. To znači da će količnik imati 2 znamenke.

Odredimo prvu cifru količnika. Podijelimo 76 sa 24. Da bismo lakše odabrali količnik, podijelimo 76 ne sa 24, već sa 20. To jest, trebate podijeliti 76 sa 10, bit će 7 (ostatak je 6). I podijelite 7 sa 2, dobijete 3 (ostatak 1). 3 je probna cifra kvocijenta. Prvo da provjerimo da li odgovara. Pomnožimo 24*3=72. 76-72=4. Ostatak je manji od djelitelja. To znači da je broj 3 prikladan i sada ga možemo napisati umjesto desetica količnika. Ispod prve nepotpune dividende upisujemo 72, između njih stavljamo znak minus, a ostatak upisujemo ispod crte.

Nastavimo podjelu. Prepišimo broj 8 nakon prve nepotpune dividende u red sa ostatkom. Dobijamo sljedeću nepotpunu dividendu – 48 jedinica. Podijelimo 48 sa 24. Da bismo lakše odabrali količnik, podijelimo 48 ne sa 24, već sa 20. To jest, ako podijelimo 48 sa 10, bit će 4 (ostatak je 8). I podijelimo 4 sa 2, postaje 2. Ovo je probna cifra količnika. Prvo moramo provjeriti da li će stati. Pomnožimo 24*2=48. Vidimo da broj 2 odgovara i stoga ga možemo napisati umjesto jedinica količnika. 48-48=0, dijeljenje se vrši bez ostatka.

Količnik 768 i 24 je 32.

Nađimo vrijednost količnika 15344 i 56.

Prva nepotpuna dividenda je 153 stotine, što znači da će količnik imati tri znamenke.

Odredimo prvu cifru količnika. Podijelimo 153 sa 56. Da bismo lakše pronašli količnik, podijelimo 153 ne sa 56, već sa 50. Da biste to učinili, podijelite 153 sa 10, rezultat će biti 15 (ostatak 3). I podijelimo 15 sa 5, postaje 3. 3 je probna cifra količnika. Zapamtite: ne možete ga odmah zapisati privatno, ali prvo morate provjeriti da li je prikladno. Pomnožimo 56*3=168. 168 je veće od 153. To znači da će količnik biti manji od 3. Provjerimo da li je prikladan broj 2. Pomnožimo 56*2=112. 153-112=41. Ostatak je manji od djelitelja, što znači da je broj 2 prikladan, može se napisati na mjestu stotina u količniku.

Formiramo sljedeću nepotpunu dividendu. 153-112=41. Broj 4 nakon prve nepotpune dividende prepisujemo u isti red. Dobijamo drugu nepotpunu dividendu od 414 desetica. Podijelimo 414 sa 56. Da bismo lakše odabrali količnik, podijelimo 414 ne sa 56, već sa 50. 414:10=41(ost.4). 41:5=8(odmor.1). Zapamtite: 8 je test broj. Hajde da to proverimo. 56*8=448. 448 je veće od 414, što znači da će količnik biti manji od 8. Provjerimo da li je prikladan broj 7. Pomnožimo 56 sa 7, dobićemo 392. 414-392=22. Ostatak je manji od djelitelja. To znači da broj odgovara i u količniku možemo upisati 7 umjesto desetica.

U red sa novim ostatkom upisujemo 4 jedinice. To znači da je sljedeća nepotpuna dividenda 224 jedinice. Nastavimo podjelu. Podijelimo 224 sa 56. Da bismo lakše pronašli količnik, podijelimo 224 sa 50. To jest, prvo sa 10, biće 22 (ostatak je 4). I podijelite 22 sa 5, biće 4 (ostatak 2). 4 je testni broj, hajde da ga proverimo da vidimo da li odgovara. 56*4=224. I vidimo da je taj broj došao. Napišimo 4 umjesto jedinica u količniku. 224-224=0, dijeljenje se vrši bez ostatka.

Količnik 15344 i 56 je 274.

Primjer za dijeljenje s ostatkom

Da napravimo analogiju, uzmimo primjer sličan gornjem primjeru, koji se razlikuje samo po posljednjoj znamenki

Nađimo vrijednost količnika 15345:56

Prvo dijelimo na isti način kao u primjeru 15344:56, dok ne dođemo do posljednje nepotpune dividende 225. Podijelimo 225 sa 56. Da bismo lakše odabrali količnik, podijelimo 225 sa 50. To jest, prvo sa 10 , bit će 22 (ostatak je 5 ). I podijelite 22 sa 5, biće 4 (ostatak 2). 4 je testni broj, hajde da ga proverimo da vidimo da li odgovara. 56*4=224. I vidimo da je taj broj došao. Napišimo 4 umjesto jedinica u količniku. 225-224=1, podjela obavljena sa ostatkom.

Količnik 15345 i 56 je 274 (ostatak 1).

Deljenje sa nulom u količniku

Ponekad se u količniku pokaže da je jedan od brojeva 0, a djeca ga često promaše, pa je stoga pogrešno rješenje. Pogledajmo odakle 0 može doći i kako ga ne zaboraviti.

Nađimo vrijednost količnika 2870:14

Prva nepotpuna dividenda je 28 stotina. To znači da će količnik imati 3 znamenke. Stavite tri tačke ispod ugla. Ovo važna tačka. Ako dijete izgubi nulu, ostat će dodatna tačka, zbog čega će pomisliti da negdje nedostaje broj.

Odredimo prvu cifru količnika. Podijelimo 28 sa 14. Odabirom dobijamo 2. Provjerimo da li odgovara broj 2. Pomnožimo 14*2=28. Pogodan je broj 2; može se napisati umjesto stotina u količniku. 28-28=0.

Rezultat je bio nula ostatka. Označili smo ga ružičastom bojom radi jasnoće, ali ne morate ga zapisivati. Prepisujemo broj 7 iz dividende u red sa ostatkom. Ali 7 nije deljivo sa 14 da bi se dobio ceo broj, pa pišemo 0 umesto desetica u količniku.

Sada prepisujemo posljednju cifru dividende (broj jedinica) u isti red.

70:14=5 Umjesto posljednje tačke u količniku upisujemo broj 5. 70-70=0. Nema ostatka.

Količnik 2870 i 14 je 205.

Dijeljenje se mora provjeriti množenjem.

Primjeri podjela za samotestiranje

Pronađite prvu nepotpunu dividendu i odredite broj cifara u količniku.

3432:66 2450:98 15145:65 18354:42 17323:17

Savladali ste temu, sada vježbajte rješavanje nekoliko primjera u koloni.

1428: 42 30296: 56 254415: 35 16514: 718

Podjela prirodnih brojeva, posebno višecifrenih, prikladno se provodi posebnom metodom, koja se zove podjela po koloni (u koloni). Također možete pronaći ime kutna podjela. Odmah napomenimo da se kolona može koristiti i za dijeljenje prirodnih brojeva bez ostatka i za dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom.

U ovom članku ćemo pogledati koliko dugo se podjela izvodi. Ovdje ćemo govoriti o pravilima snimanja i svim srednjim proračunima. Prvo, hajde da se usredsredimo na dijeljenje višecifrenog prirodnog broja jednocifrenim brojem sa kolonom. Nakon toga ćemo se fokusirati na slučajeve kada su i dividenda i djelitelj višeznačni prirodni brojevi. Cijela teorija ovog članka je opskrbljena tipičnim primjerima dijeljenja kolonom prirodnih brojeva sa detaljnim objašnjenjima rješenja i ilustracijama.

Navigacija po stranici.

Pravila za snimanje prilikom dijeljenja po stupcu

Počnimo s proučavanjem pravila za pisanje dividende, djelitelja, svih međuizračunavanja i rezultata pri dijeljenju prirodnih brojeva stupcem. Recimo odmah da je najpogodnije podjelu stupaca pisati na papiru kariranom linijom - tako je manja šansa da skrenete sa željenog reda i stupca.

Prvo se u jednom redu slijeva na desno ispisuju dividenda i djelitelj, nakon čega se između ispisanih brojeva uvlači simbol forme. Na primjer, ako je dividenda broj 6 105, a djelitelj 5 5, tada će njihov ispravan zapis prilikom dijeljenja u kolonu biti sljedeći:

Pogledajte sljedeći dijagram da biste ilustrirali gdje treba napisati dividendu, djelitelj, količnik, ostatak i međukalkulacije u dugom dijeljenju.

Iz gornjeg dijagrama je jasno da će traženi količnik (ili nepotpuni količnik pri dijeljenju s ostatkom) biti napisan ispod djelitelja ispod vodoravne linije. A međukalkulacije će se vršiti ispod dividende, i morate unaprijed voditi računa o dostupnosti prostora na stranici. U ovom slučaju treba se voditi pravilom: šta više razlike u broju cifara u unosima dividende i djelitelja, potrebno je više prostora. Na primjer, kada se prirodni broj 614.808 dijeli kolonom sa 51.234 (614.808 je šestocifreni broj, 51.234 je petocifreni broj, razlika u broju znakova u zapisima je 6−5 = 1), srednji proračuni će zahtijevati manje prostora nego kod dijeljenja brojeva 8 058 i 4 (ovdje je razlika u broju znakova 4−1=3). Da bismo potvrdili naše riječi, predstavljamo kompletnu evidenciju dijeljenja kolonom ovih prirodnih brojeva:

Sada možete nastaviti direktno s procesom dijeljenja prirodnih brojeva kolonom.

Dijeljenje prirodnog broja u koloni jednocifrenim prirodnim brojem, algoritam dijeljenja stupaca

Jasno je da je dijeljenje jednog jednocifrenog prirodnog broja drugim prilično jednostavno i nema razloga da se ti brojevi dijele u stupac. Međutim, bit će od pomoći da vježbate svoje početne vještine dugog dijeljenja s ovim jednostavnim primjerima.

Primjer.

Trebamo podijeliti kolonom 8 sa 2.

Rješenje.

Naravno, možemo izvršiti dijeljenje pomoću tablice množenja, i odmah zapisati odgovor 8:2=4.

Ali nas zanima kako podijeliti ove brojeve kolonom.

Prvo zapisujemo dividendu 8 i djelitelj 2 prema metodi:

Sada počinjemo otkrivati ​​koliko puta je djelitelj sadržan u dividendi. Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj s brojevima 0, 1, 2, 3, ... dok rezultat ne bude broj jednak dividendi (ili broj veći od dividende, ako postoji podjela s ostatkom ). Ako dobijemo broj jednak dividendi, onda ga odmah upisujemo ispod dividende, a na mjesto količnika upisujemo broj kojim smo pomnožili djelitelj. Ako dobijemo broj veći od dividende, onda ispod djelitelja upisujemo broj izračunat na pretposljednjem koraku, a umjesto nepotpunog količnika upisujemo broj kojim je djelitelj pomnožen u pretposljednjem koraku.

Idemo: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Dobili smo broj jednak dividendi, pa ga upišemo ispod dividende, a na mjesto količnika upišemo broj 4. U ovom slučaju, zapis će imati sljedeći oblik:

Ostaje završna faza dijeljenja jednocifrenih prirodnih brojeva kolonom. Ispod broja napisanog ispod dividende potrebno je povući vodoravnu liniju, a brojeve iznad ove linije oduzeti na isti način kao što se radi kod oduzimanja prirodnih brojeva u koloni. Broj koji nastane oduzimanjem bit će ostatak dijeljenja. Ako je jednako nuli, tada se originalni brojevi dijele bez ostatka.

U našem primjeru dobijamo

Sada imamo pred sobom završeni snimak dijeljenja stupca broja 8 sa 2. Vidimo da je količnik 8:2 4 (a ostatak je 0).

odgovor:

8:2=4 .

Pogledajmo sada kako kolona dijeli jednocifrene prirodne brojeve s ostatkom.

Primjer.

Podijelite 7 sa 3 koristeći kolonu.

Rješenje.

On početna faza unos izgleda ovako:

Počinjemo otkrivati ​​koliko puta dividenda sadrži djelitelj. Pomnožićemo 3 sa 0, 1, 2, 3, itd. dok ne dobijemo broj jednak ili veći od dividende 7. Dobijamo 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (ako je potrebno, pogledajte članak koji upoređuje prirodne brojeve). Ispod dividende upisujemo broj 6 (dobio je u pretposljednjem koraku), a umjesto nepotpunog količnika upisujemo broj 2 (množenje je obavljeno njime u pretposljednjem koraku).

Ostaje izvršiti oduzimanje, a dijeljenje kolonom jednocifrenih prirodnih brojeva 7 i 3 će biti završeno.

Dakle, parcijalni količnik je 2, a ostatak je 1.

odgovor:

7:3=2 (odmor 1) .

Sada možete prijeći na dijeljenje višecifrenih prirodnih brojeva po kolonama na jednocifrene prirodne brojeve.

Sada ćemo to shvatiti algoritam duge podjele. U svakoj fazi prikazat ćemo rezultate dobivene dijeljenjem višecifrenog prirodnog broja 140.288 jednocifrenim prirodnim brojem 4. Ovaj primjer nije slučajno odabran, jer ćemo se prilikom rješavanja susresti sa svim mogućim nijansama i moći ćemo ih detaljno analizirati.

Prvo pogledamo prvu cifru s lijeve strane u zapisu dividende. Ako je broj definiran ovom cifrom veći od djelitelja, onda u sljedećem pasusu moramo raditi s ovim brojem. Ako je ovaj broj manji od djelitelja, tada u razmatranje trebamo dodati sljedeću cifru s lijeve strane u zapisu dividende i nastaviti raditi s brojem koji su određene dvije cifre koje se razmatraju. Radi praktičnosti, u našoj notaciji ističemo broj s kojim ćemo raditi.

Prva cifra slijeva u zapisu dividende 140288 je cifra 1. Broj 1 je manji od djelitelja 4, pa gledamo i sljedeću cifru s lijeve strane u zapisu dividende. U isto vrijeme vidimo broj 14, s kojim moramo dalje raditi. Ovaj broj ističemo u zapisu dividende.

Sljedeći koraci od drugog do četvrtog ponavljaju se ciklički dok se ne završi dijeljenje prirodnih brojeva po stupcu.

Sada moramo odrediti koliko puta je djelitelj sadržan u broju s kojim radimo (zbog pogodnosti, označimo ovaj broj sa x). Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj sa 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj x ili broj veći od x. Kada se dobije broj x, upisujemo ga ispod označenog broja prema pravilima snimanja koja se koriste pri oduzimanju prirodnih brojeva u koloni. Broj kojim je izvršeno množenje upisuje se umjesto količnika tokom prvog prolaza algoritma (u narednim prolazima od 2-4 tačke algoritma, ovaj broj se upisuje desno od brojeva koji su već tamo). Kada se dobije broj veći od broja x, tada ispod označenog broja upisujemo broj dobijen u pretposljednjem koraku, a na mjesto količnika (ili desno od brojeva koji su već tamo) upisujemo broj kao pri čemu je množenje izvršeno u pretposljednjem koraku. (Mi smo izvršili slične akcije u dva primjera o kojima smo gore govorili).

Množite djelitelj 4 brojevima 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj koji je jednak 14 ili veći od 14. Imamo 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Pošto smo u poslednjem koraku dobili broj 16 koji je veći od 14, onda ispod označenog broja upisujemo broj 12 koji je dobijen na pretposljednjem koraku, a na mjesto količnika upisujemo broj 3, jer u pretposljednja tačka množenje je izvršeno upravo njime.


U ovoj fazi, od odabranog broja, pomoću stupca oduzmite broj koji se nalazi ispod njega. Rezultat oduzimanja upisuje se ispod vodoravne linije. Međutim, ako je rezultat oduzimanja jednak nuli, onda ga ne treba zapisivati ​​(osim ako je oduzimanje u tom trenutku posljednja radnja koja u potpunosti završava proces dugog dijeljenja). Ovdje, radi vlastite kontrole, ne bi bilo loše uporediti rezultat oduzimanja sa djeliteljem i uvjeriti se da je manji od djelitelja. Inače je negdje napravljena greška.

Od broja 14 kolonom trebamo oduzeti broj 12 (za ispravnost zapisa moramo zapamtiti da stavimo znak minus lijevo od brojeva koji se oduzimaju). Nakon završetka ove akcije, ispod vodoravne linije pojavio se broj 2. Sada provjeravamo naše izračune upoređujući rezultirajući broj sa djeliteljem. Pošto je broj 2 manji od djelitelja 4, možete bezbedno preći na sljedeću tačku.


Sada, ispod vodoravne linije desno od brojeva koji se tamo nalaze (ili desno od mjesta gdje nismo zapisali nulu), upisujemo broj koji se nalazi u istoj koloni u zapisu dividende. Ako u evidenciji dividende u ovoj koloni nema brojeva, onda se podjela po kolonu završava tamo. Nakon toga, izaberemo broj formiran ispod horizontalne linije, prihvatimo ga kao radni broj i sa njim ponovimo tačke 2 do 4 algoritma.

Ispod vodoravne crte desno od broja 2 koji je već tamo upisujemo broj 0, jer je to broj 0 koji se nalazi u zapisu dividende 140.288 u ovoj koloni. Dakle, broj 20 se formira ispod horizontalne linije.


Odabiremo ovaj broj 20, uzimamo ga kao radni broj i s njim ponavljamo radnje druge, treće i četvrte tačke algoritma.

Množite djelitelj 4 sa 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj 20 ili broj koji je veći od 20. Imamo 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Oduzimanje izvodimo u stupcu. Pošto oduzimamo jednake prirodne brojeve, onda je na osnovu svojstva oduzimanja jednakih prirodnih brojeva rezultat nula. Ne zapisujemo nulu (pošto ovo nije konačna faza dijeljenja sa stupcem), ali pamtimo mjesto gdje bismo je mogli napisati (radi praktičnosti, ovo mjesto ćemo označiti crnim pravougaonikom).


Ispod horizontalne linije desno od zapamćenog mjesta upisujemo broj 2, jer se upravo on nalazi u evidenciji dividende 140.288 u ovoj koloni. Dakle, ispod horizontalne linije imamo broj 2.


Uzimamo broj 2 kao radni broj, označimo ga i još jednom ćemo morati izvršiti radnje 2-4 tačke algoritma.

Pomnožimo djelitelj sa 0, 1, 2 i tako dalje, a dobijene brojeve uporedimo sa označenim brojem 2. Imamo 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Dakle, ispod označenog broja upisujemo broj 0 (dobio je na pretposljednjem koraku), a na mjesto količnika desno od broja koji je već tamo upisujemo broj 0 (pomnožili smo sa 0 u pretposljednjem koraku ).


Oduzimanje izvodimo u stupcu, ispod vodoravne linije dobivamo broj 2. Provjeravamo se upoređujući rezultirajući broj sa djeliteljem 4. Od 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Ispod vodoravne linije desno od broja 2 dodajte broj 8 (pošto se nalazi u ovoj koloni u unosu za dividendu 140 288). Dakle, broj 28 se pojavljuje ispod vodoravne linije.


Ovaj broj uzimamo kao radni broj, označavamo ga i ponavljamo korake 2-4.

Ovdje ne bi trebalo biti nikakvih problema ako ste do sada bili oprezni. Nakon što ste izvršili sve potrebne korake, dobiva se sljedeći rezultat.

Ostaje samo da posljednji put izvršite korake iz tačaka 2, 3, 4 (ovo prepuštamo vama), nakon čega ćete dobiti potpunu sliku dijeljenja prirodnih brojeva 140,288 i 4 u stupac:

Imajte na umu da je broj 0 napisan u samom donjem redu. Da ovo nije zadnji korak dijeljenja po stupcu (odnosno da su u zapisu o dividendi ostali brojevi u stupcima s desne strane), onda ovu nulu ne bismo pisali.

Tako, gledajući kompletiran zapis dijeljenja višecifrenog prirodnog broja 140.288 jednocifrenim prirodnim brojem 4, vidimo da je količnik broj 35.072 (a ostatak dijeljenja je nula, nalazi se na samom dnu linija).

Naravno, kada dijelite prirodne brojeve kolonom, nećete tako detaljno opisati sve svoje postupke. Vaša rješenja će izgledati otprilike poput sljedećih primjera.

Primjer.

Izvršite dugo dijeljenje ako je dividenda 7 136, a djelitelj je jednocifreni prirodni broj 9.

Rješenje.

U prvom koraku algoritma za dijeljenje prirodnih brojeva po stupcima, dobijamo zapis oblika

Nakon izvođenja radnji iz druge, treće i četvrte tačke algoritma, zapis podjele stupaca će poprimiti oblik

Ponavljajući ciklus, imaćemo

Još jedan prolaz će nam dati potpunu sliku kolone podjele prirodnih brojeva 7,136 i 9

Dakle, parcijalni količnik je 792, a ostatak je 8.

odgovor:

7 136:9=792 (odmor 8) .

I ovaj primjer pokazuje kako bi duga podjela trebala izgledati.

Primjer.

Podijelite prirodni broj 7.042.035 jednocifrenim prirodnim brojem 7.

Rješenje.

Najpogodniji način za podjelu je po koloni.

odgovor:

7 042 035:7=1 006 005 .

Deljenje višecifrenih prirodnih brojeva u kolonama

Žurimo da vas zadovoljimo: ako ste temeljito savladali algoritam podjele stupaca iz prethodnog odlomka ovog članka, gotovo već znate kako to izvesti kolonska podjela višecifrenih prirodnih brojeva. To je tačno, budući da faze 2 do 4 algoritma ostaju nepromijenjene, a samo se manje promjene pojavljuju u prvoj tački.

U prvoj fazi dijeljenja višecifrenih prirodnih brojeva u stupac, ne morate gledati na prvu znamenku s lijeve strane u zapisu dividende, već na njihov broj jednak broju znamenki sadržanih u notaciji djelitelja. Ako je broj definisan ovim brojevima veći od djelitelja, onda u sljedećem pasusu moramo raditi s ovim brojem. Ako je ovaj broj manji od djelitelja, onda moramo razmatranju dodati sljedeću cifru s lijeve strane u zapisu dividende. Nakon toga se izvode radnje navedene u paragrafima 2, 3 i 4 algoritma dok se ne dobije konačni rezultat.

Ostaje samo vidjeti primjenu algoritma dijeljenja stupaca za viševrijedne prirodne brojeve u praksi prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Izvršimo kolonu dijeljenja višecifrenih prirodnih brojeva 5,562 i 206.

Rješenje.

Pošto djelitelj 206 sadrži 3 znamenke, gledamo prve 3 cifre na lijevoj strani u dividendi 5,562. Ovi brojevi odgovaraju broju 556. Pošto je 556 veći od djelitelja 206, uzimamo broj 556 kao radni broj, odabiremo ga i prelazimo na sljedeću fazu algoritma.

Sada množimo djelitelj 206 brojevima 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj koji je ili jednak 556 ili veći od 556. Imamo (ako je množenje teško, onda je bolje množiti prirodne brojeve u stupcu): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Pošto smo dobili broj veći od broja 556, onda ispod označenog broja upisujemo broj 412 (dobio je na pretposljednjem koraku), a na mjesto količnika upisujemo broj 2 (pošto smo njime množili na pretposljednjem koraku). Unos podjele stupaca ima sljedeći oblik:

Vršimo oduzimanje stupaca. Dobijamo razliku 144, ovaj broj je manji od djelitelja, tako da možete sigurno nastaviti s izvođenjem traženih radnji.

Ispod vodoravne linije desno od broja upisujemo broj 2, pošto se on nalazi u evidenciji dividende 5562 u ovoj koloni:

Sada radimo sa brojem 1.442, biramo ga i ponovo prolazimo kroz korake od dva do četiri.

Množite djelitelj 206 sa 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijete broj 1442 ili broj veći od 1442. Idemo: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Oduzimanje izvodimo u koloni, dobijamo nulu, ali ne zapisujemo je odmah, samo pamtimo njenu poziciju, jer ne znamo da li se deljenje završava ovde, ili ćemo morati da ponavljamo ponovo koraci algoritma:

Sada vidimo da ispod horizontalne linije desno od zapamćene pozicije ne možemo napisati nijedan broj, jer u zapisu dividende u ovoj koloni nema cifara. Dakle, ovim se završava podjela po stupcima i završavamo unos:

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede opšteobrazovnih ustanova.
• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5. razred opšteobrazovnih ustanova.