Određivanje sinusa kosinusa tangente oštrog pravog ugla. Konsolidacija novog materijala. Formule za smanjenje stepena

Prvo, razmotrite kružnicu poluprečnika 1 i centar na (0;0). Za bilo koji αÊR, polumjer 0A se može nacrtati tako da radijanska mjera ugla između 0A i ose 0x bude jednaka α. Smjer suprotno od kazaljke na satu smatra se pozitivnim. Neka kraj radijusa A ima koordinate (a,b).

Definicija sinusa

Definicija: Broj b, jednak ordinati jediničnog radijusa konstruisanog na opisan način, označava se sa sinα i naziva se sinus ugla α.

Primjer: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Definicija kosinusa

Definicija: Broj a, jednak apscisi kraja jediničnog poluprečnika konstruisanog na opisan način, označava se sa cosα i naziva se kosinus ugla α.

Primjer: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

Ovi primjeri koriste definiciju sinusa i kosinusa kuta u smislu koordinata kraja jediničnog radijusa i jedinični krug. Za vizuelniji prikaz, potrebno je da nacrtate jedinični krug i na njemu ucrtate odgovarajuće tačke, a zatim prebrojite njihove apscise da biste izračunali kosinus i ordinate da biste izračunali sinus.

Definicija tangente

Definicija: Funkcija tgx=sinx/cosx za x≠π/2+πk, kÊZ, naziva se kotangens ugla x. Domain tgx funkcije ovo su svi realni brojevi, osim x=π/2+πn, nÊZ.

Primjer: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Ovaj primjer je sličan prethodnom. Da biste izračunali tangentu ugla, morate ordinatu tačke podijeliti njenom apscisom.

Definicija kotangensa

Definicija: Funkcija ctgx=cosx/sinx za x≠πk, kÊZ naziva se kotangens ugla x. Područje definicije funkcije ctgx = su svi realni brojevi osim tačaka x=πk, kÊZ.

Pogledajmo primjer korištenja pravilnog pravokutnog trokuta

Da bi bilo jasnije šta su kosinus, sinus, tangent i kotangens. Pogledajmo primjer korištenja pravilnog pravokutnog trokuta sa uglom y i strane a,b,c. Hipotenuza c, krakovi a i b redom. Ugao između hipotenuze c i kraka b y.

definicija: Sinus ugla y je omjer suprotne strane i hipotenuze: siny = a/c

definicija: Kosinus ugla y je omjer susjednog kraka i hipotenuze: cosy = v/c

definicija: Tangent ugla y je omjer suprotne i susjedne strane: tgy = a/b

definicija: Kotangens ugla y je omjer susjedne i suprotne strane: ctgy= in/a

Sinus, kosinus, tangent i kotangens se također nazivaju trigonometrijske funkcije. Svaki ugao ima svoj sinus i kosinus. I skoro svako ima svoju tangentu i kotangens.

Vjeruje se da ako nam je zadan ugao, tada su nam poznati sinus, kosinus, tangenta i kotangens! I obrnuto. Dati sinus, odnosno bilo koju drugu trigonometrijsku funkciju, znamo ugao. Stvorene su čak i posebne tablice u kojima su trigonometrijske funkcije zapisane za svaki ugao.

Šta je sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla pomoći će vam da shvatite pravougli trokut.

Kako se zovu strane? pravougaonog trougla? Tako je, hipotenuza i kateta: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica \(AC\)); noge su dvije preostale strane \(AB\) i \(BC\) (one susjedne pravi ugao), i, ako uzmemo u obzir krake u odnosu na ugao \(BC\), onda je krak \(AB\) susjedna noga, a krak \(BC\) je suprotan. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?

Sinus ugla– ovo je omjer suprotnog (udaljenog) kraka i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus ugla– ovo je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.

U našem trouglu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta ugla– ovo je odnos suprotne (udaljene) strane prema susednoj (bliskoj).

U našem trouglu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens ugla– ovo je odnos susedne (bliske) noge i suprotne (daleke).

U našem trouglu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na šta, morate to jasno razumjeti tangenta I kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

Kosinus→dodir→dodir→susedni;

Kotangens→dodir→dodir→susedni.

Prije svega, morate zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens, jer omjeri strana trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod istim kutom). Ne vjerujem? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla \(\beta \) . Po definiciji, iz trougla \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus ugla \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!

Za trokut \(ABC \) prikazan na slici ispod, nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)

Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao \(\beta \) .

odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jedinični (trigonometrijski) krug

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim \(1\) . Takav krug se zove single. Bit će vrlo korisno kada proučavate trigonometriju. Stoga, pogledajmo to malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je konstruisan u kartezijanskom koordinatnom sistemu. Radijus kruga jednako jedan, dok centar kružnice leži na početku, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera ose \(x\) (u našem primjeru to je polumjer \(AB\)).

Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata duž ose \(x\) i koordinata duž ose \(y\). Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Razmotrimo trougao \(ACG\) . Pravougaona je jer je \(CG\) okomita na osu \(x\).

Šta je \(\cos \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC\) polumjer jedinične kružnice, što znači \(AC=1\) . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo šta se dešava:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Koliko je jednak \(\sin \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? pa naravno \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Zamijenite vrijednost radijusa \(AC\) u ovu formulu i dobijete:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Dakle, možete li reći koje koordinate ima tačka \(C\) koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Šta ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x\)! I kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Tako je, koordinata \(y\)! Dakle, poenta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čemu su onda jednaki \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \)? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Šta ako je ugao veći? Na primjer, kao na ovoj slici:

Šta se promijenilo u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ugao (kao susedni ugao \(\beta \) ). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ugao ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati \(y\) ; vrijednost kosinusa ugla - koordinata \(x\) ; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi se primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose \(x\). Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene vrijednosti, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu – negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Da li je moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \)? Pa, naravno da možete! u prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dakle, radijus vektor će napraviti jednu punu revoluciju i zaustaviti se na poziciji \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .

u drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri puna okretaja i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da se uglovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj), odgovaraju istoj poziciji radijus vektora.

Slika ispod prikazuje ugao \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara uglu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(niz) \)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(niz) \)

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Imate poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(niz)\)

Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama uglova. Pa, počnimo redom: ugao unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara tački sa koordinatama \(\left(0;1 \right) \) , dakle:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju tačkama sa koordinatama \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Strelica desno \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:

Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(niz) \desno\)\ \text(Morate zapamtiti ili biti u mogućnosti to ispisati!! \) !}

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) dato u tabeli ispod, morate zapamtiti:

Nemojte se plašiti, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:

Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kao i vrijednost tangente ugla u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(niz) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, možete vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojač "\(1 \)" će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a nazivnik "\(\sqrt(\text(3)) \)" će odgovarati \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4\) vrijednosti iz tabele.

Koordinate tačke na kružnici

Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa, naravno da možete! Hajde da ga izvadimo opšta formula da nađemo koordinate tačke. Na primjer, evo kruga ispred nas:

Dato nam je to \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centar kruga. Polumjer kružnice je \(1.5\) . Potrebno je pronaći koordinate tačke \(P\) dobijene rotacijom tačke \(O\) za \(\delta \) stepeni.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \(x\) tačke \(P\) odgovara dužini segmenta \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dužina segmenta \(UK\) odgovara koordinati \(x\) centra kruga, odnosno jednaka je \(3\) . Dužina segmenta \(KQ\) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada imamo da je za tačku \(P\) koordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za tačku \(P\) . dakle,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Dakle, unutra opšti pogled koordinate tačaka određene su formulama:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), Gdje

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate centra kruga,

\(r\) - polumjer kružnice,

\(\delta \) - ugao rotacije vektorskog radijusa.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate centra jednake nuli, a radijus jednak jedan:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!

Lekcija na temu "Sinus, kosinus i tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta"

Ciljevi lekcije:

edukativni - uvesti pojam sinusa, kosinusa, tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu, istražiti zavisnosti i odnose između ovih veličina;

razvoj - formiranje pojma sinusa, kosinusa, tangente kao funkcije ugla, domen definicije trigonometrijskih funkcija, razvoj logičko razmišljanje, razvoj pravilnog matematičkog govora;

vaspitni – razvijanje vještina samostalnog rada, kulture ponašanja, tačnosti u vođenju evidencije.

Napredak lekcije:

1. Organiziranje vremena

„Obrazovanje nije broj oduzetih lekcija, već broj shvaćenih. Dakle, ako želite ići naprijed, požurite polako i budite oprezni."

2. Motivacija časa.

Jedan mudrac je rekao: „Najviša manifestacija duha je um. Najviša manifestacija razuma je geometrija. Geometrijska ćelija je trokut. Neiscrpan je kao Univerzum. Krug je duša geometrije. Upoznajte krug i ne samo da ćete upoznati dušu geometrije, već ćete uzdići svoju dušu.”

Pokušat ćemo zajedno s vama malo istražiti. Hajde da podijelimo vaše ideje koje vam padaju na pamet i ne bojte se pogriješiti, svaka misao može nam dati novi smjer traženja. Možda se nekome naša postignuća neće činiti sjajna, ali to će biti naša vlastita postignuća!

3. Ažuriranje osnovnih znanja.

Koji uglovi mogu postojati?

Šta su trouglovi?

Koji su glavni elementi koji definiraju trokut?

Koje vrste trouglova postoje u zavisnosti od stranica?

Koje vrste trouglova postoje u zavisnosti od uglova?

Šta je noga?

Šta je hipotenuza?

Kako se zovu stranice pravouglog trougla?

Koje odnose između stranica i uglova ovog trougla znate?

Zašto trebate znati odnose između stranica i uglova?

Koji problemi u životu mogu dovesti do potrebe za izračunavanjem nepoznatih strana u trouglu?

Izraz “hipotenuza” dolazi od grčke riječi “hyponeinouse”, što znači “natezanje preko nečega”, “skupljanje”. Riječ potiče od slike starogrčkih harfi, na kojima su žice nategnute na krajevima dva međusobno okomita stalka. Izraz "cathetus" dolazi od grčke riječi "kathetos", što znači početak "visice", "okomice".

Euklid je rekao: “Noge su stranice koje zatvaraju pravi ugao.”

IN Ancient Greece već je bio poznat metod za konstruisanje pravouglog trougla na tlu. Da bi to učinili, koristili su uže na kojem je bilo vezano 13 čvorova, na istoj udaljenosti jedan od drugog. Tokom izgradnje piramida u Egiptu, na ovaj način su napravljeni pravougli trouglovi. To je vjerovatno razlog zašto je pravougli trokut sa stranicama 3,4,5 nazvan egipatskim trouglom.

4. Proučavanje novog gradiva.

U davna vremena ljudi su posmatrali zvezde i na osnovu ovih zapažanja vodili kalendar, računali datume setve i vreme rečnih poplava; brodovi na moru i karavani na kopnu vodili su svoje putovanje po zvijezdama. Sve je to dovelo do potrebe da naučimo kako izračunati stranice u trouglu, čija su dva vrha na tlu, a treći je predstavljen tačkom na zvjezdanom nebu. Na osnovu te potrebe nastala je nauka trigonometrija - nauka koja proučava veze između stranica trougla.

Mislite li da su odnosi koje već poznajemo dovoljni za rješavanje takvih problema?

Svrha današnje lekcije je da se istraže nove veze i zavisnosti, da se izvedu odnosi, pomoću kojih ćete u narednim časovima geometrije moći da rešavate ovakve probleme.

Osjetimo se u ulozi naučnika i, slijedeći antičke genije Talesa, Euklida, Pitagoru, koračamo putem traganja za istinom.

Za ovo nam je potrebna teorijska osnova.

Označite ugao A i krak BC crvenom bojom.

Istaknite zeleno leg AC.

Izračunajmo koji je dio suprotne strane za oštar ugao A u odnosu na njegovu hipotenuzu; da bismo to učinili, sastavimo omjer suprotne strane prema hipotenuzi:

Ova veza ima posebno ime - takvo da to razumije svaka osoba u svakoj tački planete mi pričamo o tome o broju koji predstavlja omjer suprotne strane oštrog ugla prema hipotenuzi. Ova riječ je sinusna. Zapisati. Pošto riječ sinus bez naziva ugla gubi svako značenje, matematička notacija je sljedeća:

Sada sastavite omjer susjednog kraka i hipotenuze za oštar ugao A:

Ovaj omjer se naziva kosinus. Njegova matematička notacija:

Razmotrimo drugi omjer za oštar ugao A: omjer suprotne strane prema susjednoj strani:

Ovaj omjer se naziva tangenta. Njegova matematička notacija:

5. Konsolidacija novog materijala.

Objedinimo naša posredna otkrića.

Sinus je...

kosinus je...

Tangenta je...

sin A =	grijeh O =	grijeh A 1 =
cos A =	cos O =	cos A 1 =
tan A =	tg O =	tan A 1 =

Usmeno riješiti br. 88, 889, 892 (rad u parovima).

Koristeći stečeno znanje za rješavanje praktičnog problema:

“Sa tornja svjetionika, visine 70 m, vidljiv je brod pod uglom od 3° prema horizontu. Kako to izgleda

udaljenost od svjetionika do broda?

Problem se rješava frontalno. U toku diskusije pravimo crtež i potrebne beleške na tabli i u sveskama.

Prilikom rješavanja problema koriste se Bradisove tabele.

Razmotrite rješenje problema na stranici 175.

Riješi br. 902(1).

6. Vježba za oči.

Ne okrećući glavu, pogledajte oko zida učionice oko perimetra u smjeru kazaljke na satu, tablu oko perimetra u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, trougao prikazan na postolju u smjeru kazaljke na satu i jednak trokut u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Okrenite glavu ulijevo i pogledajte liniju horizonta, a sada i vrh nosa. Zatvorite oči, izbrojite do 5, otvorite oči i...

Stavićemo dlanove na oči,
Raširimo naše jake noge.
Okretanje udesno
Pogledajmo okolo veličanstveno.
I ti trebaš ići lijevo
Pogledaj ispod dlanova.
I - desno! I dalje
Preko levog ramena!
Sada nastavimo sa radom.

7. Samostalan rad studenti.

Reši br.

8. Sažetak lekcije. Refleksija. D/z.

Koje ste nove stvari naučili? na lekciji:

da li si razmatrao...

analizirao si...

Dobili ste…

zaključili ste...

proširili ste svoj vokabular sljedećim terminima...

Svjetska nauka je započela geometrijom. Osoba se ne može istinski kulturno i duhovno razvijati ako nije učila geometriju u školi. Geometrija je nastala ne samo iz praktičnih, već i iz duhovnih potreba čovjeka.

Ovako je poetski objasnila svoju ljubav prema geometriji

Volim geometriju...

Predajem geometriju jer je volim

Potrebna nam je geometrija, bez nje ne možemo nikuda.

Sinus, kosinus, obim - ovdje je sve važno,

Ovdje je sve potrebno

Samo treba da naučite i razumete sve veoma jasno,

Rešite zadatke i testove na vreme.

Kosinus je dobro poznata trigonometrijska funkcija, koja je također jedna od glavnih funkcija trigonometrije. Kosinus ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjedne stranice trokuta i hipotenuze trokuta. Najčešće je definicija kosinusa povezana s trokutom pravokutnog tipa. Ali takođe se dešava da se ugao za koji je potrebno izračunati kosinus u pravougaonom trokutu ne nalazi baš u ovom pravougaonom trokutu. Šta onda učiniti? Kako pronaći kosinus ugla trougla?

Ako trebate izračunati kosinus kuta u pravokutnom trokutu, onda je sve vrlo jednostavno. Samo trebate zapamtiti definiciju kosinusa, koja sadrži rješenje ovog problema. Samo trebate pronaći isti odnos između susjedna noga, kao i hipotenuzu trougla. Zaista, ovdje nije teško izraziti kosinus ugla. Formula je sljedeća: - cosα = a/c, ovdje je “a” dužina kateta, a stranica “c”, respektivno, je dužina hipotenuze. Na primjer, kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta može se naći pomoću ove formule.

Ako vas zanima koliko je kosinus kuta u proizvoljnom trokutu jednak, tada u pomoć dolazi kosinusna teorema koju vrijedi koristiti u takvim slučajevima. Teorema kosinusa kaže da je kvadrat stranice trokuta a priori jednak zbiru kvadrata preostalih stranica istog trokuta, ali bez udvostručavanja proizvoda ovih stranica kosinusom ugla koji se nalazi između njih.

1. Ako trebate pronaći kosinus oštrog ugla u trokutu, onda trebate koristiti sljedeću formulu: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Ako treba da pronađete kosinus tupog ugla u trokutu, onda treba da koristite sledeću formulu: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Oznake u formuli - a i b - su duljine stranica koje su susjedne željenom kutu, c - je dužina stranice koja je suprotna od željenog kuta.

Kosinus ugla se takođe može izračunati korišćenjem teoreme o sinusima. Kaže da su sve strane trokuta proporcionalne sinusima suprotnih uglova. Koristeći teoremu sinusa, možete izračunati preostale elemente trokuta, koji imaju informacije samo o dvije strane i kutu koji je suprotan jednoj strani, ili iz dva ugla i jedne strane. Razmotrite ovo na primjeru. Uslovi problema: a=1; b=2; c=3. Ugao koji je naspram stranice „A“ označava se sa α, tada, prema formulama, imamo: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Odgovor: 1.

Ako kosinus ugla treba izračunati ne u trokutu, već u nekom drugom proizvoljnom geometrijska figura, onda stvari postaju malo komplikovanije. Veličina ugla prvo se mora odrediti u radijanima ili stepenima, a tek onda se iz ove vrijednosti mora izračunati kosinus. Kosinus po numeričkoj vrijednosti se određuje korištenjem Bradisovih tablica, inženjerskih kalkulatora ili posebnih matematičkih aplikacija.

Posebne matematičke aplikacije mogu imati funkcije kao što je automatsko izračunavanje kosinusa uglova na određenoj slici. Ljepota ovakvih aplikacija je u tome što daju tačan odgovor, a korisnik ne gubi vrijeme rješavajući ponekad prilično složene probleme. S druge strane, stalnim korištenjem isključivo aplikacija za rješavanje zadataka, gube se sve vještine u radu na rješavanju matematičkih zadataka na pronalaženju kosinusa uglova u trouglovima, kao i drugih proizvoljnih figura.

Omjer suprotne strane prema hipotenuzi se naziva sinusa oštrog ugla pravougaonog trougla.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta

Zove se omjer susjednog kraka i hipotenuze kosinus oštrog ugla pravougaonog trougla.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta oštrog ugla pravouglog trougla

Omjer suprotne i susjedne strane naziva se tangenta oštrog ugla pravougaonog trougla.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens oštrog ugla pravokutnog trokuta

Odnos obližnje noge prema Suprotna strana pozvao kotangens oštrog ugla pravougaonog trougla.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus proizvoljnog ugla

Zove se ordinata tačke na jediničnom krugu kojoj odgovara ugao \alpha sinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

\sin \alpha=y

Kosinus proizvoljnog ugla

Apscisa tačke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara ugao \alpha se naziva kosinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta proizvoljnog ugla

Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangenta proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens proizvoljnog ugla

Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Primjer pronalaženja proizvoljnog ugla

Ako je \alpha neki ugao AOM, gdje je M tačka jedinične kružnice, onda

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na primjer, ako \ugao AOM = -\frac(\pi)(4), tada je: ordinata tačke M jednaka -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je jednaka \frac(\sqrt(2))(2) i zato

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.

Tabela vrijednosti sinusa kosinusa tangenta kotangensa

Vrijednosti glavnih uglova koji se često javljaju date su u tabeli:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(6)\desno)	45^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(4)\desno)	60^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(3)\desno)	90^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(2)\desno)	180^(\circ)\lijevo(\pi\desno)	270^(\circ)\lijevo(\frac(3\pi)(2)\desno)	360^(\circ)\lijevo(2\pi\desno)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—