Algoritam za rješavanje iracionalnih jednačina. metoda. Kocka prema formuli

Ako jednačina sadrži varijablu ispod predznaka kvadratnog korijena, onda se jednačina naziva iracionalnom.

Ponekad je matematički model stvarne situacije ir racionalna jednačina. Stoga bismo trebali naučiti rješavati barem najjednostavnije iracionalne jednadžbe.

Razmotrimo iracionalnu jednačinu 2 x + 1 = 3.

Obrati pažnju!

Metoda kvadriranja obje strane jednačine je glavna metoda za rješavanje iracionalnih jednačina.

Međutim, ovo je razumljivo: kako se drugačije možemo riješiti znaka kvadratnog korijena?

Iz jednačine \(2x + 1 = 9\) nalazimo \(x = 4\). Ovo je korijen i jednadžbe \(2x + 1 = 9\) i date iracionalne jednačine.

Metoda kvadriranja je tehnički jednostavna, ali ponekad dovodi do problema.

Razmotrimo, na primjer, iracionalnu jednačinu 2 x − 5 = 4 x − 7 .

Kvadratom obe strane dobijamo

2 x − 5 2 = 4x − 7 2 2 x − 5 = 4 x − 7

Ali vrijednost \(x = 1\), iako je korijen racionalne jednačine \(2x - 5 = 4x - 7\), nije korijen date iracionalne jednačine. Zašto? Zamjenom \(1\) umjesto \(x\) u datu iracionalnu jednačinu, dobijamo − 3 = − 3 .

Kako možemo govoriti o ispunjenju numeričke jednakosti ako i njena lijeva i desna strana sadrže izraze koji nemaju smisla?

U takvim slučajevima kažu: \(x = 1\) - vanjski korijen za datu iracionalnu jednačinu. Ispada da data iracionalna jednadžba nema korijen.

Strani korijen nije novi koncept za vas; vanjski korijeni su se već susreli prilikom rješavanja racionalnih jednačina; provjera pomaže da se otkriju.

Za iracionalne jednadžbe, provjera je obavezan korak u rješavanju jednadžbe, koji će pomoći da se otkriju strani korijeni, ako ih ima, i da se odbace (obično kažu "odlijepiti korov").

Obrati pažnju!

Dakle, iracionalna jednačina se rješava kvadriranjem obje strane; Nakon rješavanja rezultirajuće racionalne jednadžbe potrebno je provjeriti i ukloniti moguće strane korijene.

Koristeći ovaj zaključak, pogledajmo primjer.

primjer:

riješiti jednačinu 5 x − 16 = x − 2 .

Kvadratirajmo obje strane jednačine 5 x − 16 = x − 2: 5 x − 16 2 = x − 2 2 .

Transformišemo i dobijamo:

5 x − 16 = x 2 − 4 x 4 ; − x 2 9 x − 20 = 0 ; x 2 − 9 x 20 = 0 ; x 1 = 5 ; x 2 = 4.

Ispitivanje. Zamjenom \(x = 5\) u jednačinu 5 x − 16 = x − 2, dobijamo 9 = 3 - tačnu jednakost. Zamjenom \(x = 4\) u jednačinu 5 x − 16 = x − 2, dobijamo 4 = 2 - tačnu jednakost. To znači da su obje pronađene vrijednosti korijeni jednadžbe 5 x − 16 = x − 2.

Već ste stekli određeno iskustvo u rješavanju raznih jednačina: linearnih, kvadratnih, racionalnih, iracionalnih. Znate da se pri rješavanju jednačina vrše različite transformacije, na primjer: član jednačine se prenosi iz jednog dijela jednačine u drugi sa suprotnim predznakom; obje strane jednačine množe ili dijele istim brojem koji nije nula; oslobađaju se nazivnika, odnosno zamjenjuju jednačinu p x q x = 0 jednačinom \(p(x)=0\); obje strane jednačine su na kvadrat.

Naravno, primijetili ste da bi se kao rezultat nekih transformacija mogli pojaviti strani korijeni, pa ste stoga morali biti oprezni: provjerite sve pronađene korijene. Zato ćemo sada pokušati da sve ovo shvatimo sa teorijske tačke gledišta.

Dvije jednadžbe \(f (x) = g(x)\) i \(r(x) = s(x)\) nazivaju se ekvivalentnim ako imaju iste korijene (ili, posebno, ako obje jednačine nemaju korijen ) .

Obično, prilikom rješavanja jednadžbe, pokušavaju zamijeniti ovu jednačinu jednostavnijom, ali joj ekvivalentnom. Takva zamjena naziva se ekvivalentna transformacija jednačine.

Ekvivalentne transformacije jednačine su sljedeće transformacije:

1. prenošenje članova jednačine iz jednog dijela jednačine u drugi suprotnih predznaka.

Na primjer, zamjena jednačine \(2x + 5 = 7x - 8\) s jednačinom \(2x - 7x = - 8 - 5\) je ekvivalentna transformacija jednačine. To znači da su jednačine \(2x + 5 = 7x -8\) i \(2x - 7x = -8 - 5\) ekvivalentne.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Dok izučavaju algebru, školarci se suočavaju sa mnogim vrstama jednačina. Među onima koji su najjednostavniji su linearni, koji sadrže jednu nepoznatu. Ako se varijabla u matematičkom izrazu podigne na određeni stepen, onda se jednačina naziva kvadratna, kubična, bikvadratna itd. Ovi izrazi mogu sadržavati racionalne brojeve. Ali postoje i iracionalne jednačine. Razlikuju se od ostalih po prisutnosti funkcije u kojoj je nepoznato pod predznakom radikala (to jest, čisto izvana, varijabla se ovdje može vidjeti napisana pod kvadratnim korijenom). Rješavanje iracionalnih jednačina ima svoje karakteristike. Prilikom izračunavanja vrijednosti varijable da bi se dobio tačan odgovor, one se moraju uzeti u obzir.

"Neopisivo riječima"

Nije tajna da su antički matematičari uglavnom djelovali racionalni brojevi. To uključuje, kao što je poznato, cijele brojeve izražene kroz obične i decimalne periodične razlomke, predstavnike date zajednice. Međutim, naučnici Bliskog i Bliskog istoka, kao i Indije, razvijajući trigonometriju, astronomiju i algebru, takođe su naučili da rešavaju iracionalne jednačine. Na primjer, Grci su poznavali slične količine, ali stavljajući ih u verbalni oblik, koristili su koncept “alogos”, što je značilo “neiskaziv”. Nešto kasnije, Evropljani su, oponašajući ih, takve brojeve nazvali "gluhim". Oni se razlikuju od svih ostalih po tome što se mogu predstaviti samo u obliku beskonačnog neperiodnog razlomka, čiji je konačni numerički izraz jednostavno nemoguće dobiti. Stoga se češće takvi predstavnici kraljevstva brojeva pišu u obliku brojeva i znakova kao neki izraz koji se nalazi ispod korijena drugog ili višeg stepena.

Na osnovu gore navedenog, hajde da pokušamo da definišemo iracionalnu jednačinu. Takvi izrazi sadrže takozvane "neizrazive brojeve", napisane pomoću znaka kvadratnog korijena. Mogu biti razne prilično složene opcije, ali u svom najjednostavnijem obliku izgledaju kao na slici ispod.

Kada počinjete rješavati iracionalne jednadžbe, prije svega morate izračunati površinu prihvatljive vrijednosti varijabla.

Da li izraz ima smisla?

Potreba za provjerom dobijenih vrijednosti proizlazi iz svojstava.Kao što je poznato, takav izraz je prihvatljiv i ima bilo kakvo značenje samo pod određenim uslovima. U slučajevima korijena parnih stupnjeva, svi radikalni izrazi moraju biti pozitivni ili jednaki nuli. Ako ovaj uslov nije ispunjen, onda se prikazana matematička notacija ne može smatrati smislenom.

Dajemo konkretan primjer kako riješiti iracionalne jednadžbe (na slici ispod).

U ovom slučaju očito je da navedeni uvjeti ne mogu biti zadovoljeni ni za jednu vrijednost ​​​prihvaćenu željenom vrijednošću, jer se ispostavlja da je 11 ≤ x ≤ 4. To znači da samo Ø može biti rješenje.

Metoda analize

Iz navedenog postaje jasno kako riješiti neke vrste iracionalnih jednačina. Ovdje jednostavna analiza može biti efikasan način.

Navedimo nekoliko primjera koji će to opet jasno pokazati (na slici ispod).

U prvom slučaju, nakon pažljivog ispitivanja izraza, odmah se ispostavilo da je krajnje jasno da on ne može biti istinit. Zaista, na lijevoj strani jednakosti trebamo dobiti pozitivan broj, što nikako ne može biti jednako -1.

U drugom slučaju može se uzeti u obzir zbir dva pozitivna izraza jednaka nuli, samo kada je x - 3 = 0 i x + 3 = 0 u isto vrijeme. A ovo je opet nemoguće. A to znači da odgovor treba ponovo napisati Ø.

Treći primjer je vrlo sličan onom o kojem je već bilo riječi ranije. Zaista, ovdje uvjeti ODZ zahtijevaju da bude zadovoljena sljedeća apsurdna nejednakost: 5 ≤ x ≤ 2. I takva jednačina na isti način ne može imati razumna rješenja.

Neograničeno zumiranje

Priroda iracionalnog može se najjasnije i najpotpunije objasniti i spoznati samo kroz beskonačan niz brojeva decimalni. I konkretno, sjajan primjer jedan od članova ove porodice je πi. Nije bez razloga da je ova matematička konstanta poznata od davnina, jer se koristi za izračunavanje obima i površine kruga. No, među Evropljanima su to prvi uveli u praksu Englez William Jones i Švicarac Leonard Euler.

Ova konstanta nastaje na sljedeći način. Ako uporedimo krugove različitih opsega, onda je omjer njihovih duljina i promjera nužno jednak istom broju. Ovo je pi. Ako to izrazimo kroz običan razlomak, tada dobijamo otprilike 22/7. To je prvi učinio veliki Arhimed, čiji je portret prikazan na gornjoj slici. Zato sličan broj dobio njegovo ime. Ali ovo nije eksplicitna, već približna vrijednost možda najnevjerovatnijeg broja. Briljantni naučnik je pronašao željenu vrijednost sa tačnošću od 0,02, ali, u stvari, ova konstanta nema pravo značenje, već se izražava kao 3,1415926535... To je beskonačan niz brojeva, koji se neograničeno približava nekoj mitskoj vrijednosti.

Kvadratura

No, vratimo se iracionalnim jednačinama. Da bi pronašli nepoznato, u ovom slučaju vrlo često pribjegavaju jednostavna metoda: kvadrat na obje strane postojeće jednakosti. Ova metoda obično daje dobri rezultati. Ali treba uzeti u obzir podmuklost iracionalnih veličina. Svi korijeni dobiveni kao rezultat toga moraju se provjeriti, jer možda nisu prikladni.

Ali nastavimo gledati primjere i pokušati pronaći varijable koristeći novopredloženu metodu.

Uopće nije teško, koristeći Vietin teorem, pronaći željene vrijednosti veličina nakon što smo, kao rezultat određenih operacija, formirali kvadratna jednačina. Ovdje se ispostavilo da će među korijenima biti 2 i -19. Međutim, prilikom provjere, zamjene rezultirajućih vrijednosti u originalni izraz, možete se uvjeriti da nijedan od ovih korijena nije prikladan. Ovo je uobičajena pojava u iracionalnim jednačinama. To znači da naša dilema opet nema rješenja, a odgovor bi trebao ukazivati ​​na prazan skup.

Složeniji primjeri

U nekim slučajevima potrebno je kvadrirati obje strane izraza ne jednom, već nekoliko puta. Pogledajmo primjere gdje je to potrebno. Oni se mogu vidjeti u nastavku.

Nakon što ste dobili korijene, ne zaboravite ih provjeriti, jer se mogu pojaviti dodatni. Trebalo bi objasniti zašto je to moguće. Prilikom primjene ove metode, jednadžba je donekle racionalizirana. Ali oslobađanje od korijena koje ne volimo, koje nas sprečava da proizvodimo aritmetičke operacije, čini se da proširujemo postojeći raspon vrijednosti, što je bremenito (kako se može razumjeti) posljedicama. Predviđajući to, vršimo provjeru. U ovom slučaju postoji šansa da se uvjerite da je samo jedan od korijena prikladan: x = 0.

Sistemi

Šta da radimo u slučajevima kada treba da rešavamo sisteme iracionalnih jednačina, a imamo ne jednu, već dve nepoznanice? Ovdje postupamo na isti način kao u običnim slučajevima, ali uzimajući u obzir gornja svojstva ovih matematičkih izraza. I u svakom novom zadatku, naravno, treba koristiti kreativan pristup. Ali, opet, bolje je razmotriti sve konkretan primjer predstavljeno u nastavku. Ovdje ne samo da trebate pronaći varijable x i y, već i navesti njihov zbir u odgovoru. Dakle, postoji sistem koji sadrži iracionalne količine (pogledajte sliku ispod).

Kao što vidite, takav zadatak ne predstavlja ništa natprirodno teško. Samo treba biti pametan i pogoditi da je lijeva strana prve jednadžbe kvadrat zbira. Slični zadaci se nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu.

Iracionalno u matematici

Svaki put, potreba za stvaranjem novih tipova brojeva pojavila se među čovječanstvom kada nije imalo dovoljno „prostora“ da riješi neke jednačine. Iracionalni brojevi nisu izuzetak. Kao što svedoče činjenice iz istorije, veliki mudraci su na to prvi obratili pažnju još pre naše ere, u 7. veku. To je uradio matematičar iz Indije poznat kao Manava. On je to od nekih jasno razumio prirodni brojevi nemoguće je izvaditi korijen. Na primjer, ovo uključuje 2; 17 ili 61, kao i mnoge druge.

Jedan od Pitagorejaca, mislilac po imenu Hipas, došao je do istog zaključka pokušavajući da izračuna sa numeričke izraze strane pentagrama. Otkrivajući matematičke elemente koji se ne mogu izraziti brojčanim vrijednostima i nemaju svojstva običnih brojeva, toliko je naljutio kolege da je bačen preko broda u more. Činjenica je da su drugi pitagorejci njegovo razmišljanje smatrali pobunom protiv zakona univerzuma.

Znak radikala: evolucija

Pri rješavanju se počeo koristiti korijenski znak za izražavanje brojčane vrijednosti „gluhih“ brojeva iracionalne nejednakosti a jednačine nisu odmah dostupne. Evropski, a posebno italijanski matematičari prvi su počeli da razmišljaju o radikalu oko 13. veka. Istovremeno su došli na ideju da za označavanje koriste latinicu R. Ali njemački matematičari su u svojim radovima postupili drugačije. Više im se dopalo slovo V. U Njemačkoj su se ubrzo proširile oznake V(2), V(3), koje su trebale izraziti kvadratni korijen od 2, 3 i tako dalje. Kasnije su Holanđani intervenisali i modifikovali znak radikala. I Rene Descartes je završio evoluciju, dovodeći znak kvadratnog korijena do modernog savršenstva.

Oslobađanje od iracionalnog

Iracionalne jednadžbe i nejednačine mogu uključivati ​​varijablu ne samo ispod predznaka kvadratnog korijena. Može biti bilo kog stepena. Najčešći način da ga se riješite je podizanje obje strane jednadžbe na odgovarajući stepen. Ovo je glavna radnja koja pomaže u operacijama s iracionalnim. Radnje u parnim slučajevima se ne razlikuju posebno od onih o kojima smo već govorili ranije. Ovdje se moraju uzeti u obzir uvjeti za nenegativnost radikalnog izraza, a na kraju rješenja potrebno je filtrirati vanjske vrijednosti varijabli na isti način kao što je prikazano u već razmatranim primjerima .

Među dodatnim transformacijama koje pomažu u pronalaženju tačnog odgovora, često se koristi množenje izraza njegovim konjugatom, a često je potrebno uvesti i novu varijablu, što olakšava rješenje. U nekim slučajevima, preporučljivo je koristiti grafove za pronalaženje vrijednosti nepoznanica.

Jednačine koje sadrže nepoznatu količinu pod predznakom korijena nazivaju se iracionalne. To su, na primjer, jednadžbe

U mnogim slučajevima, primjenom eksponencijacije obje strane jednačine jednom ili više puta, moguće je iracionalnu jednačinu svesti na algebarsku jednačinu jednog ili drugog stepena (koja je posljedica originalne jednačine). Budući da se prilikom podizanja jednačine na stepen mogu pojaviti vanjska rješenja, onda nakon rješavanja algebarska jednačina, na koju smo sveli ovu iracionalnu jednačinu, pronađene korijene treba provjeriti zamjenom u izvornu jednačinu i zadržati samo one koji je zadovoljavaju, a ostale - vanjske - treba odbaciti.

Kada rješavamo iracionalne jednadžbe, ograničavamo se samo na njihove realne korijene; svi korijeni parnog stepena u pisanju jednačina shvataju se u aritmetičkom smislu.

Pogledajmo neke tipične primjere iracionalnih jednačina.

A. Jednačine koje sadrže nepoznatu pod znakom kvadratnog korijena. Ako data jednadžba sadrži samo jedan kvadratni korijen, pod čijim se znakom nalazi nepoznanica, onda taj korijen treba izolirati, odnosno smjestiti u jedan dio jednačine, a sve ostale članove prenijeti u drugi dio. Nakon kvadriranja obje strane jednačine, oslobodit ćemo se iracionalnosti i dobiti algebarsku jednačinu za

Primjer 1. Riješite jednačinu.

Rješenje. Izoliramo korijen na lijevoj strani jednadžbe;

Dobivenu jednakost kvadriramo:

Pronalazimo korijene ove jednadžbe:

Provjera pokazuje da zadovoljava samo originalnu jednačinu.

Ako jednadžba uključuje dva ili više korijena koji sadrže x, tada se kvadriranje mora ponoviti nekoliko puta.

Primjer 2. Riješite sljedeće jednačine:

Rješenje, a) Kvadratujemo obje strane jednačine:

Izoliramo korijen:

Ponovo kvadriramo rezultirajuću jednačinu:

Nakon transformacije dobijamo sljedeću kvadratnu jednačinu:

hajde da to riješimo:

Zamjenom u izvornu jednačinu uvjeravamo se da postoji njen korijen, ali da je za njega strani korijen.

b) Primjer se može riješiti istom metodom kao primjer a). Međutim, koristeći činjenicu da desna strana ove jednačine ne sadrži nepoznatu količinu, postupit ćemo drugačije. Pomnožimo jednačinu sa izrazom konjugiranim na njegovu lijevu stranu; dobijamo

Desno je proizvod zbira i razlike, odnosno razlika kvadrata. Odavde

Na lijevoj strani ove jednačine bio je zbir kvadratni korijeni; na lijevoj strani sada dobivene jednadžbe je razlika istih korijena. Zapišimo ovo i rezultirajuće jednačine:

Uzimajući zbir ovih jednačina, dobijamo

Kvadratirajmo posljednju jednačinu i nakon pojednostavljenja dobijemo

Odavde nalazimo. Provjerom smo se uvjerili da je korijen ove jednadžbe samo broj . Primjer 3: Riješite jednačinu

Ovdje, već pod radikalnim znakom, imamo kvadratne trinome.

Rješenje. Pomnožimo jednačinu sa izrazom konjugiranim na njegovu lijevu stranu:

Oduzmi posljednju jednačinu od ovoga:

Kvadirajmo ovu jednačinu:

Iz posljednje jednačine nalazimo . Provjerom smo se uvjerili da je korijen ove jednadžbe samo broj x = 1.

B. Jednačine koje sadrže korijene trećeg stepena. Sistemi iracionalnih jednačina. Ograničimo se na pojedinačne primjere takvih jednačina i sistema.

Primjer 4: Riješite jednačinu

Rješenje. Pokazat ćemo dva načina rješavanja jednačine (70.1). Prvi način. Stavimo na kocku obje strane ove jednadžbe (vidi formulu (20.8)):

(ovdje smo zamijenili iznos kubnih korijena broj 4, koristeći jednadžbu).

Tako da imamo

tj. nakon pojednostavljenja,

odakle oba korijena zadovoljavaju originalnu jednačinu.

Drugi način. Hajde da stavimo

Jednačina (70.1) će biti zapisana u obliku . Osim toga, jasno je da . Iz jednačine (70.1) prešli smo na sistem

Dijelimo prvu jednačinu sistemskog člana po članu drugom, nalazimo