Rješavanje eksponencijalnih jednačina sa istim stepenom. Rješavanje eksponencijalnih jednačina. Osnove

Idite na youtube kanal naše web stranice da budete u toku sa svim novim video lekcijama.

Prvo, prisjetimo se osnovnih formula snaga i njihovih svojstava.

Proizvod broja a javlja se na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe– ovo su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

U ovom primjeru, broj 6 je baza; uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili indikator.

Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?

Uzmimo jednostavnu jednačinu:

2 x = 2 3

Ovaj primjer se može riješiti čak i u vašoj glavi. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako formalizirati ovu odluku:

2 x = 2 3
x = 3

Da bismo riješili takvu jednačinu, uklonili smo se identične osnove(odnosno dvojke) i zapisao šta je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.

Sada da rezimiramo našu odluku.

Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li jednadžba ima baze na desnoj i lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačiti stepena i riješi rezultirajuću novu jednačinu.

Pogledajmo sada nekoliko primjera:

Počnimo s nečim jednostavnim.

Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da možemo odbaciti bazu i izjednačiti njihove stupnjeve.

x+2=4 Dobije se najjednostavnija jednačina.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2

U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite: 3 i 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Prvo, pomerimo devetku na desnu stranu, dobićemo:

Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2. Koristimo formulu snage (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Dobijamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sada je jasno da su na lijevoj i desnoj strani baze iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stepene.

3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Pogledajmo sljedeći primjer:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Prije svega, gledamo baze, baze dva i četiri. I trebamo da budu isti. Transformišemo četiri koristeći formulu (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodajte u jednačinu:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate možete vidjeti da na lijevoj strani imamo 2 2x ponovljeno, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz u zagradama:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:

Zamislimo 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze su iste, odbacujemo ih i izjednačavamo stepene.
2x = 2 je najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo jednačinu:

9 x – 12*3 x +27= 0

Pretvorimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primjeru možete vidjeti da prva tri ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju, možete riješiti metoda zamjene. Broj zamjenjujemo najmanjim stepenom:

Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Sve x potencije u jednadžbi zamjenjujemo sa t:

t 2 - 12t+27 = 0
Dobijamo kvadratnu jednačinu. Rješavajući preko diskriminanta, dobijamo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Vraćanje na varijablu x.

Uzmi t 1:
t 1 = 9 = 3 x

To je,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.

Na web stranici možete postaviti sva pitanja koja imate u odjeljku POMOĆ ODLUČITI, mi ćemo vam svakako odgovoriti.

Pridružite se grupi

Oprema:

• kompjuter,
• multimedijalni projektor,
• ekran,
• Aneks 1(PowerPoint slajd prezentacija) “Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina”
• Dodatak 2(Rješavanje jednadžbe poput "Tri različite baze potencija" u Wordu)
• Dodatak 3(dodaci u Wordu za praktičan rad).
• Dodatak 4(dodaci u Wordu za domaći zadatak).

Tokom nastave

1. Organizaciona faza

• poruka o temi lekcije (napisana na tabli),
• potreba za opštom lekcijom u 10-11 razredu:

Faza pripreme učenika za aktivno učenje

Ponavljanje

Definicija.

Eksponencijalna jednačina je jednačina koja sadrži varijablu s eksponentom (odgovori učenika).

Napomena nastavnika. Eksponencijalne jednadžbe pripadaju klasi transcendentalnih jednačina. Ovo neizgovorivo ime sugerira da se takve jednadžbe, općenito govoreći, ne mogu riješiti u obliku formula.

One se mogu riješiti samo približno numeričkim metodama na računarima. Ali šta je sa ispitnim zadacima? Trik je u tome što ispitivač postavlja problem na takav način da omogućava analitičko rješenje. Drugim riječima, možete (i trebali biste!) učiniti sljedeće transformacije identiteta, koji ovu eksponencijalnu jednačinu svode na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu. Ova najjednostavnija jednačina se zove: najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. To se rješava logaritmom.

Situacija s rješavanjem eksponencijalne jednadžbe podsjeća na putovanje kroz labirint, koji je posebno izmislio autor zadatka. Iz ovih vrlo općih argumenata slijede vrlo konkretne preporuke.

Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednačina morate:

1. Ne samo da aktivno poznajete sve eksponencijalne identitete, već i pronađite skupove varijabilnih vrijednosti na kojima su ti identiteti definirani, tako da korištenjem ovih identiteta ne dobijete nepotrebne korijene, a još više, ne izgubite rješenja na jednačinu.

2. Aktivno poznavati sve eksponencijalne identitete.

3. Jasno, detaljno i bez grešaka, izvršiti matematičke transformacije jednačina (prenositi članove iz jednog dijela jednačine u drugi, ne zaboravljajući promijeniti predznak, dovesti razlomke u zajednički imenilac, itd.). To se zove matematička kultura. Istovremeno, sami proračuni treba da se rade automatski ručno, a glava treba razmišljati o općoj niti vodilja rješenja. Transformacije se moraju izvršiti što je moguće pažljivije i detaljnije. Samo to garantuje ispravnu odluku bez greške. I zapamtite: mala aritmetička greška može jednostavno stvoriti transcendentnu jednačinu koja se, u principu, ne može riješiti analitički. Ispostavilo se da ste zalutali i udarili u zid lavirinta.

4. Poznavati metode za rješavanje problema (odnosno znati sve puteve kroz labirint rješenja). Da biste se pravilno kretali u svakoj fazi, morat ćete (svjesno ili intuitivno!):

• definisati tip jednadžbe;
• zapamtite odgovarajući tip metoda rješenja zadataka.

Faza generalizacije i sistematizacije proučenog materijala.

Nastavnik zajedno sa učenicima na računaru vrši pregled svih vrsta eksponencijalnih jednačina i metoda za njihovo rješavanje, sastavlja opšta šema. (Korišćena obuka kompjuterski program L.Ya. Borevskog "Matematički kurs - 2000", autor PowerPoint prezentacije je T.N. Kupcova.)

Rice. 1. Na slici je prikazan opšti dijagram svih vrsta eksponencijalnih jednačina.

Kao što se može vidjeti iz ovog dijagrama, strategija za rješavanje eksponencijalnih jednačina je da se data eksponencijalna jednačina svede na jednačinu, prije svega, sa istim osnovama stepeni , a zatim – i sa istim pokazateljima stepena.

Nakon što ste dobili jednačinu sa istim bazama i eksponentima, ovaj eksponent zamjenjujete novom promjenljivom i dobivate jednostavnu algebarsku jednačinu (obično razlomko-racionalnu ili kvadratnu) u odnosu na ovu novu varijablu.

Nakon što riješite ovu jednačinu i izvršite obrnutu zamjenu, na kraju ćete dobiti skup jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi koje se mogu riješiti u opšti pogled koristeći logaritam.

Ističu se jednadžbe u kojima se nalaze samo proizvodi (parcijalnih) potencija. Koristeći eksponencijalne identitete, moguće je ove jednačine odmah svesti na jednu bazu, posebno na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.

Pogledajmo kako riješiti eksponencijalnu jednačinu s tri različite baze.

(Ako nastavnik ima obrazovni kompjuterski program L.Ya. Borevskog "Kurs matematike - 2000", onda naravno radimo sa diskom, ako ne, možete napraviti ispis ove vrste jednadžbe iz njega za svaki stol, predstavljeno u nastavku.)

Rice. 2. Plan za rješavanje jednačine.

Rice. 3. Počni rješavati jednačinu

Rice. 4. Završite rješavanje jednačine.

Raditi praktičan rad

Odredite vrstu jednačine i riješite je.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Sumiranje lekcije

Ocjenjivanje za lekciju.

Kraj lekcije

Za nastavnika

Vježbajte šemu odgovora.

vježba: sa liste jednadžbi izaberite jednačine navedenog tipa (unesite broj odgovora u tabelu):

1. Tri različite osnove stepena
2. Dvije različite baze - različiti eksponenti
3. Osnove potencija - potencije jednog broja
4. Iste baze – različiti eksponenti
5. Iste osnove stepeni - isti indikatori stepeni
6. Proizvod moći
7. Dvije različite osnove stepena - isti pokazatelji
8. Najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe

1. (proizvod moći)

2. (iste baze - različiti eksponenti)

primjeri:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Prilikom rješavanja bilo koje eksponencijalne jednadžbe nastojimo da je dovedemo u oblik \(a^(f(x))=a^(g(x))\), a zatim izvršimo prijelaz na jednakost eksponenata, odnosno:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na primjer:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Bitan! Iz iste logike, slijede dva zahtjeva za takvu tranziciju:
- broj u lijevo i desno trebaju biti iste;
- stepeni sa leve i desne strane moraju biti "čisti", odnosno ne bi trebalo biti množenja, dijeljenja itd.

Na primjer:

Da bi se jednačina svela na oblik \(a^(f(x))=a^(g(x))\) koriste se i.

Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Rješenje:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Znamo da je \(27 = 3^3\). Uzimajući to u obzir, transformiramo jednačinu.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Svojstvom korijena \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dobijamo da je \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Zatim, koristeći svojstvo stepena \((a^b)^c=a^(bc)\), dobijamo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Također znamo da je \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Primjenjujući ovo na lijevu stranu, dobijamo: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Sada zapamtite to: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ova formula se takođe može koristiti u poleđina: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tada je \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Primjenjujući svojstvo \((a^b)^c=a^(bc)\) na desnu stranu, dobijamo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		A sada su nam baze jednake i nema interferentnih koeficijenata itd. Tako da možemo napraviti tranziciju.
		Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Rješenje: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Ponovo koristimo svojstvo snage \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) u suprotnom smjeru. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Sada zapamtite da je \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) Koristeći svojstva stupnjeva, transformiramo: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Pažljivo gledamo jednačinu i vidimo da se zamjena \(t=2^x\) nameće sama od sebe. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Međutim, pronašli smo vrijednosti \(t\), i treba nam \(x\). Vraćamo se na X, praveći obrnutu zamjenu. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformirajmo drugu jednačinu koristeći svojstvo negativne snage... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...i odlučujemo do odgovora. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odgovori : \(-1; 1\). Ostaje pitanje - kako razumjeti kada koristiti koju metodu? Ovo dolazi sa iskustvom. Dok ga ne dobijete, koristite ga opšta preporuka za rješavanje složenih problema - "ako ne znaš šta da radiš, uradi ono što možeš." Odnosno, potražite kako možete transformisati jednačinu u principu i pokušajte to učiniti - šta ako se dogodi? Glavna stvar je napraviti samo matematički zasnovane transformacije. Eksponencijalne jednadžbe bez rješenja Pogledajmo još dvije situacije koje često zbunjuju učenike: - pozitivan broj na stepen je jednak nuli, na primjer, \(2^x=0\); - pozitivan broj je jednak stepenu negativnog broja, na primjer, \(2^x=-4\). Pokušajmo riješiti grubom silom. Ako je x pozitivan broj, onda kako x raste, cijela snaga \(2^x\) će se samo povećavati: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Takođe od strane. Negativni X-ovi ostaju. Sjećajući se svojstva \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), provjeravamo: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Uprkos činjenici da se broj svakim korakom smanjuje, nikada neće dostići nulu. Dakle, negativan stepen nas nije spasio. Dolazimo do logičnog zaključka: Pozitivan broj u bilo kom stepenu će ostati pozitivan broj. Dakle, obje gornje jednačine nemaju rješenja. Eksponencijalne jednadžbe s različitim bazama U praksi se ponekad susrećemo s eksponencijalnim jednadžbama s različitim bazama koje nisu svodive jedna na drugu, a u isto vrijeme sa istim eksponentima. Oni izgledaju ovako: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdje su \(a\) i \(b\) pozitivni brojevi. Na primjer: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takve jednadžbe se lako mogu riješiti dijeljenjem s bilo kojom stranom jednačine (obično podijeljenom desnom stranom, odnosno sa \(b^(f(x))\). Možete podijeliti na ovaj način jer je pozitivan broj je pozitivan na bilo koji stepen (tj. ne dijelimo sa nulom) Dobijamo: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Rješenje: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Ovdje nećemo moći pretvoriti peticu u trojku, ili obrnuto (barem bez korištenja ). To znači da ne možemo doći do oblika \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Međutim, pokazatelji su isti. Podijelimo jednačinu desnom stranom, odnosno sa \(3^(x+7)\) (to možemo učiniti jer znamo da tri neće biti nula ni u kom stepenu). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Sada zapamtite svojstvo \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i koristite ga s lijeve strane u suprotnom smjeru. S desne strane jednostavno smanjujemo razlomak. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Činilo se da stvari nisu krenule na bolje. Ali zapamtite još jedno svojstvo snage: \(a^0=1\), drugim riječima: "bilo koji broj na nultom stepenu jednak je \(1\)." Obratno je također istinito: "jedan se može predstaviti kao bilo koji broj na nultu potenciju." Iskoristimo ovo tako što ćemo napraviti bazu na desnoj strani kao i na lijevoj. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Otarasimo se baza. Pišemo odgovor. Odgovori : \(-7\). Ponekad “istost” eksponenata nije očigledna, ali vješto korištenje svojstava eksponenata rješava ovaj problem. Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Rješenje: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Jednačina izgleda veoma tužno... Ne samo da se baze ne mogu svesti na isti broj (sedam ni na koji način neće biti jednako \(\frac(1)(3)\)), već su i eksponenti različiti. .. Međutim, upotrijebimo lijevu eksponentnu dvojku. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sjećajući se svojstva \((a^b)^c=a^(b·c)\) , transformiramo s lijeve strane: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sada, prisjećajući se svojstva negativnog stepena \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformiramo s desna: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Indikatori su isti! Djelujući prema shemi koja nam je već poznata, rješavamo prije odgovora. Odgovori : \(2\).

Predavanje: “Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina.”

1 . Eksponencijalne jednadžbe.

Jednačine koje sadrže nepoznanice u eksponentima nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednačina ax = b, gdje je a > 0, a ≠ 1.

1) Na b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 eksponencijalna funkcija, nema rješenja.

2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teoremu o korijenu, jednačina ima jedinstveni korijen. Da bismo ga pronašli, b mora biti predstavljeno u obliku b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.

Eksponencijalne jednadžbe algebarskim transformacijama dovode do standardnih jednadžbi, koje se rješavaju sljedećim metodama:

1) način svođenja na jednu osnovu;

2) način ocjenjivanja;

3) grafički metod;

4) način uvođenja novih varijabli;

5) metod faktorizacije;

6) indikativno – jednačine snage;

7) demonstrativna sa parametrom.

2 . Metoda redukcije na jednu bazu.

Metoda se zasniva na sljedećem svojstvu stupnjeva: ako su dva stepena jednaka i njihove baze su jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj. treba pokušati svesti jednačinu na oblik

Primjeri. Riješite jednačinu:

1 . 3x = 81;

Predstavimo desnu stranu jednačine u obliku 81 = 34 i napišimo jednačinu koja je ekvivalentna originalnom 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">i prijeđimo na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4, x = 0,5 Odgovor: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Imajte na umu da brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 predstavljaju potencije od 5. Iskoristimo ovo i transformiramo originalnu jednačinu na sljedeći način:

, odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, iz čega nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.

5. 3x = 5. Po definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepišimo jednačinu u obliku 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Dakle x – 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva stepena, zapisujemo jednačinu u obliku 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, zatim 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, tj. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.

Problemska banka br. 1.

Riješite jednačinu:

Test br. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korijena
	1) 7;1 2) bez korijena 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test br. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda evaluacije.

Teorema o korijenu: ako se funkcija f(x) povećava (smanjuje) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednačina f(x) = a ima jedan korijen na intervalu I.

Prilikom rješavanja jednadžbi metodom procjene koristi se ova teorema i svojstva monotonosti funkcije.

Primjeri. Riješite jednačine: 1. 4x = 5 – x.

Rješenje. Prepišimo jednačinu kao 4x +x = 5.

1. ako je x = 1, tada je 41+1 = 5, 5 = 5 tačno, što znači da je 1 korijen jednačine.

Funkcija f(x) = 4x – raste na R, a g(x) = x – raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R, kao zbir rastućih funkcija, tada je x = 1 jedini korijen jednačine 4x = 5 – x. Odgovor: 1.

2.

Rješenje. Prepišimo jednačinu u formu .

1. ako je x = -1, onda , 3 = 3 je tačno, što znači da je x = -1 korijen jednačine.

2. dokazati da je on jedini.

3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x – opada na R=> h(x) = f(x)+g(x) – opada na R, kao zbir opadajuće funkcije. To znači, prema teoremi o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednačine. Odgovor: -1.

Problemska banka br. 2. Riješite jednačinu

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Način uvođenja novih varijabli.

Metoda je opisana u paragrafu 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se vrši nakon transformacije (pojednostavljenja) članova jednačine. Pogledajmo primjere.

Primjeri. R Riješite jednačinu: 1. .

Hajde da prepišemo jednačinu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj.png" width="210" height = "45">

Rješenje. Zapišimo jednačinu drugačije:

Označimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna jednačina. Primećujemo to

Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, što znači da je 2,5 korijen jednačine. Odgovor: 2.5.

Rješenje. Prepišimo jednačinu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobijamo jednačinu

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Korijeni kvadratne jednadžbe su t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Rješenje . Prepišimo jednačinu u formu

i primijetiti da je to homogena jednačina drugog stepena.

Podijelimo jednačinu sa 42x, dobijamo

Zamijenimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odgovor: 0; 0.5.

Problemska banka br. 3. Riješite jednačinu

b)

G)

Test br. 3 sa izborom odgovora. Minimalni nivo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test br. 4 sa izborom odgovora. Opšti nivo.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena

5. Metoda faktorizacije.

1. Riješite jednačinu: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Rješenje. Stavimo 6x iz zagrada na lijevu stranu jednačine, a 2x na desnu. Dobijamo jednačinu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Pošto je 2x >0 za sve x, možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2x bez straha od gubitka rješenja. Dobijamo 3x = 1— x = 0.

3.

Rješenje. Rešimo jednačinu metodom faktorizacije.

Odaberimo kvadrat binoma

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je korijen jednadžbe.

Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test br. 6 Opšti nivo.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponencijalno – jednadžbe snage.

Uz eksponencijalne jednačine su takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, odnosno jednačine oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, onda se jednačina, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).

Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada moramo uzeti u obzir ove slučajeve prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Rješenje. x2 +2x-8 – ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, što znači da je jednačina ekvivalentna ukupnosti

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.

1. Za koje vrijednosti parametra p jednačina 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) ima jedinstveno rješenje?

Rješenje. Uvedemo zamjenu 2x = t, t > 0, tada će jednačina (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminanta jednačine (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Jednačina (1) ima jedinstveno rješenje ako jednačina (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.

1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednačina (2) dobiti oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednačina (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.

2. Ako je p1, onda je 9(p – 1)2 > 0, tada jednačina (2) ima dva različita korijena t1 = p, t2 = 4p – 3. Uslove problema zadovoljava skup sistema

Zamjenom t1 i t2 u sisteme imamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Rješenje. Neka tada će jednačina (3) dobiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)

Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.

Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kvadratni trinom f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Slučaj 2. Jednačina (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako

D = 0, ako je a = – 9, tada će jednačina (4) dobiti oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Slučaj 3. Jednačina (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. To je moguće ako

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dakle, za a 0, jednadžba (4) ima jedan pozitivan korijen . Tada jednačina (3) ima jedinstveno rješenje

Kada a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;

ako je a  0, onda

Uporedimo metode za rješavanje jednačina (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratnu jednačinu, čiji je diskriminanta savršen kvadrat; Dakle, korijeni jednadžbe (2) su odmah izračunati korištenjem formule za korijene kvadratne jednadžbe, a zatim su izvedeni zaključci u vezi s tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednačinu (4), čiji diskriminanta nije savršen kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o lokaciji korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti korištenjem Vietine teoreme.

Hajde da rešimo složenije jednačine.

Problem 3: Riješite jednačinu

Rješenje. ODZ: x1, x2.

Hajde da predstavimo zamenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će kao rezultat transformacija jednadžba dobiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nađimo vrijednosti a za koje je barem jedan korijen od jednačina (*) zadovoljava uslov t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odgovor: ako je a > – 13, a  11, a  5, onda ako je a – 13,

a = 11, a = 5, tada nema korijena.

Bibliografija.

1. Guzejev temelji obrazovne tehnologije.

2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.

M. “Direktor škole” br. 4, 1996

3. Guzejev i organizacioni oblici obuke.

4. Guzejev i praksa integralne obrazovne tehnologije.

M." Javno obrazovanje“, 2001

5. Guzeev iz oblika lekcije - seminar.

Matematika u školi br. 2, 1987. str. 9 – 11.

6. Seleuko obrazovne tehnologije.

M. “Narodno obrazovanje”, 1998

7. Episheva školarci da studiraju matematiku.

M. "Prosvjeta", 1990

8. Ivanova priprema nastavu - radionice.

Matematika u školi br. 6, 1990. str. 37 – 40.

9. Smirnovov model nastave matematike.

Matematika u školi br. 1, 1997. str. 32 – 36.

10. Tarasenko načini organizovanja praktičnog rada.

Matematika u školi br. 1, 1993. str. 27 – 28.

11. O jednoj od vrsta individualnog rada.

Matematika u školi br. 2, 1994, str. 63 – 64.

12. Khazankin Kreativne vještineškolska djeca.

Matematika u školi br. 2, 1989. str. 10.

13. Scanavi. Izdavač, 1997

14. i dr. Algebra i počeci analize. Didaktički materijali za

15. Krivonogov zadaci iz matematike.

M. “Prvi septembar”, 2002

16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i

upis na univerzitete. “A S T - press škola”, 2002

17. Zhevnyak za one koji ulaze na univerzitete.

Minsk i Ruska Federacija “Pregled”, 1996

18. Napisano D. Pripremamo se za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999

19. itd. Učenje rješavanja jednačina i nejednačina.

M. "Intelekt - Centar", 2003

20. itd. Obrazovni materijali i materijali za obuku za pripremu za EGE.

M. "Inteligencija - Centar", 2003. i 2004.

21 i dr. CMM opcije. Centar za testiranje Ministarstva odbrane Ruske Federacije, 2002, 2003.

22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" br. 3, 1971

23. Volovich M. Kako uspješno predavati matematiku.

Matematika, 1997. br. 3.

24 Okunev za lekciju, djeco! M. Obrazovanje, 1988

25. Yakimanskaya - orijentirano učenje u školi.

26. Liimets rad u nastavi. M. Znanje, 1975

Ova lekcija je namenjena onima koji tek počinju da uče eksponencijalne jednačine. Kao i uvijek, počnimo s definicijom i jednostavnim primjerima.

Ako čitate ovu lekciju, onda pretpostavljam da već imate barem minimalno razumijevanje najjednostavnijih jednačina - linearnih i kvadratnih: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, itd. Sposobnost rješavanja ovakvih konstrukcija je apsolutno neophodna kako se ne bi „zaglavili“ u temi o kojoj će se sada raspravljati.

Dakle, eksponencijalne jednadžbe. Dozvolite mi da vam dam par primjera:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Neki od njih vam mogu izgledati složeniji, dok su drugi, naprotiv, previše jednostavni. Ali svi imaju jednu zajedničku stvar važan znak: njihova notacija sadrži eksponencijalnu funkciju $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Dakle, hajde da uvedemo definiciju:

Eksponencijalna jednačina je svaka jednačina koja sadrži eksponencijalnu funkciju, tj. izraz oblika $((a)^(x))$. Osim naznačene funkcije, takve jednadžbe mogu sadržavati bilo koje druge algebarske konstrukcije - polinome, korijene, trigonometriju, logaritme itd.

Uredu onda. Sredili smo definiciju. Sada se postavlja pitanje: kako riješiti svo ovo sranje? Odgovor je i jednostavan i složen.

Počnimo s dobrim vijestima: iz mog iskustva podučavanja mnogih učenika, mogu reći da većina njih nalazi eksponencijalne jednačine mnogo lakše nego iste logaritme, a još više trigonometriju.

Ali ima loših vijesti: ponekad pisce zadataka za sve vrste udžbenika i ispita pogodi "inspiracija", a njihov mozak napaljen drogom počinje proizvoditi tako brutalne jednačine da njihovo rješavanje postaje problematično ne samo za studente - čak i za mnoge nastavnike zaglavite na takvim problemima.

Međutim, da ne pričamo o tužnim stvarima. I vratimo se na one tri jednačine koje su date na samom početku priče. Pokušajmo riješiti svaki od njih.

Prva jednadžba: $((2)^(x))=4$. Pa, na koji stepen morate podići broj 2 da biste dobili broj 4? Verovatno drugi? Uostalom, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - i dobili smo tačnu numeričku jednakost, tj. zaista $x=2$. Pa, hvala, Cap, ali ova jednačina je bila toliko jednostavna da je čak i moja mačka mogla da je riješi. :)

Pogledajmo sljedeću jednačinu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ali ovdje je sve malo komplikovanije. Mnogi učenici znaju da je $((5)^(2))=25$ tablica množenja. Neki također sumnjaju da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ u suštini definicija negativnih snaga (slično formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Konačno, samo nekolicina odabranih shvata da se ove činjenice mogu kombinovati i daju sledeći rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Dakle, naša originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ali ovo je već potpuno rješivo! S lijeve strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, s desne strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, nigdje osim njih nema ničega drugog. Stoga možemo "odbaciti" baze i glupo izjednačiti indikatore:

Dobili smo najjednostavniju linearnu jednačinu koju svaki učenik može riješiti u samo nekoliko redova. U redu, u četiri reda:

\[\početak(poravnati)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

Ako ne razumijete šta se dešavalo u zadnja četiri reda, svakako se vratite na temu “ linearne jednačine“i ponovi. Jer bez jasnog razumijevanja ove teme, prerano je da se bavite eksponencijalnim jednadžbama.

\[((9)^(x))=-3\]

Pa kako to možemo riješiti? Prva pomisao: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tako da se originalna jednačina može prepisati na sljedeći način:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Zatim se prisjetimo da se pri podizanju stepena na stepen eksponenti množe:

\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Strelica desno ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\početak(poravnati)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

A za takvu odluku dobićemo pošteno zasluženu dvojku. Jer, sa smirenošću Pokemona, poslali smo znak minus ispred trojke na snagu ove trojice. Ali to ne možete učiniti. I zato. Pogledajte različite moći troje:

\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Prilikom sastavljanja ove tablice nisam se izopačio koliko je to bilo moguće: uzeo sam u obzir pozitivne stupnjeve, i negativne, pa čak i razlomke... pa, gdje postoji barem jedan negativan broj? Otišao je! A ne može biti, jer eksponencijalna funkcija $y=((a)^(x))$, prvo, uvijek uzima samo pozitivne vrijednosti(bez obzira koliko pomnožite jedan ili podijelite sa dva, to će i dalje biti pozitivan broj), a drugo, baza takve funkcije - broj $a$ - je po definiciji pozitivan broj!

Pa, kako onda riješiti jednačinu $((9)^(x))=-3$? Ali nema šanse: nema korijena. I u tom smislu, eksponencijalne jednadžbe su vrlo slične kvadratnim jednadžbama - možda i nema korijena. Ali ako uđete kvadratne jednačine broj korijena određuje diskriminanta (pozitivna diskriminanta - 2 korijena, negativna - nema korijena), tada u eksponencijalima sve ovisi o tome što je desno od znaka jednakosti.

Dakle, hajde da formulišemo ključni zaključak: najjednostavnija eksponencijalna jednačina oblika $((a)^(x))=b$ ima koren ako i samo ako je $b>0$. Znajući ovu jednostavnu činjenicu, lako možete odrediti da li jednadžba koja vam je predložena ima korijen ili ne. One. Vrijedi li to uopće rješavati ili odmah zapisati da nema korijena.

Ovo znanje će nam mnogo puta pomoći kada budemo morali rješavati složenije probleme. Za sada dosta tekstova - vrijeme je da proučimo osnovni algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Dakle, hajde da formulišemo problem. Potrebno je riješiti eksponencijalnu jednačinu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Prema „naivnom“ algoritmu koji smo ranije koristili, potrebno je broj $b$ predstaviti kao potenciju broja $a$:

Osim toga, ako umjesto varijable $x$ postoji bilo koji izraz, dobićemo novu jednačinu koja se već može riješiti. Na primjer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(3))\Strelica desno x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strelica desno ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strelica desno -x=4\Strelica desno x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Strelica desno ((5)^(2x))=((5)^(3))\Strelica desno 2x=3\Strelica desno x=\frac(3)( 2). \\\end(poravnati)\]

I što je čudno, ova shema funkcionira u oko 90% slučajeva. Šta je onda sa preostalih 10%? Preostalih 10% su blago "šizofrene" eksponencijalne jednadžbe oblika:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Pa, na koji stepen trebate podići 2 da biste dobili 3? Prvi? Ali ne: $((2)^(1))=2$ nije dovoljno. Sekunda? Nijedno: $((2)^(2))=4$ je previše. Koji onda?

Upućeni učenici su vjerovatno već pogodili: u takvim slučajevima, kada se to ne može riješiti “lijepo”, u igru ​​dolazi “teška artiljerija” – logaritmi. Da vas podsjetim da se korištenjem logaritma svaki pozitivan broj može predstaviti kao potencija bilo kojeg drugog pozitivnog broja (osim jednog):

Sjećate se ove formule? Kada svojim studentima govorim o logaritmima, uvijek upozoravam: ova formula (koja je ujedno i osnovni logaritamski identitet ili, ako želite, definicija logaritma) će vas dugo proganjati i „iskakati“ u većini slučajeva. neočekivana mjesta. Pa, isplivala je. Pogledajmo našu jednačinu i ovu formulu:

\[\begin(poravnaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(poravnaj) \]

Ako pretpostavimo da je $a=3$ naš originalni broj na desnoj strani, a $b=2$ sama baza eksponencijalne funkcije na koju želimo svesti desnu stranu, dobićemo sljedeće:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strelica desno x=( (\log )_(2))3. \\\end(poravnati)\]

Dobili smo pomalo čudan odgovor: $x=((\log )_(2))3$. U nekom drugom zadatku mnogi bi imali nedoumice s takvim odgovorom i počeli bi još jednom provjeravati svoje rješenje: šta ako se negdje uvukla greška? Požurim da vas zadovoljim: tu nema greške, a logaritmi u korijenima eksponencijalnih jednačina su sasvim tipična situacija. Pa navikni se. :)

Sada analogno riješimo preostale dvije jednadžbe:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Strelica desno ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strelica desno ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strelica desno 2x=( (\log )_(4))11\Strelica desno x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Inače, zadnji odgovor se može napisati drugačije:

Uveli smo množitelj u argument logaritma. Ali niko nas ne brani da dodamo ovaj faktor bazi:

Štaviše, sve tri opcije su tačne - jednostavno je različitih oblika evidencije istog broja. Koje ćete odabrati i zapisati u ovo rješenje, na vama je da odlučite.

Dakle, naučili smo rješavati sve eksponencijalne jednadžbe oblika $((a)^(x))=b$, gdje su brojevi $a$ i $b$ striktno pozitivni. kako god surova realnost naš svijet je toliko sličan jednostavni zadaci sretaćete se veoma, veoma retko. Češće nego ne naići ćete na nešto poput ovoga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Pa kako to možemo riješiti? Može li se ovo uopće riješiti? I ako da, kako?

Ne paničite. Sve ove jednadžbe se brzo i lako svode na jednostavne formule koje smo već razmatrali. Samo treba da zapamtite nekoliko trikova iz kursa algebre. I naravno, ne postoje pravila za rad sa diplomama. Sad ću ti ispričati sve ovo. :)

Pretvaranje eksponencijalnih jednadžbi

Prva stvar koju treba zapamtiti: svaka eksponencijalna jednadžba, ma koliko složena bila, na ovaj ili onaj način mora se svesti na najjednostavnije jednadžbe - one koje smo već razmatrali i koje znamo riješiti. Drugim riječima, shema za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe izgleda ovako:

1. Zapišite originalnu jednačinu. Na primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Uradi neka čudna sranja. Ili čak neko sranje zvano "pretvori jednačinu";
3. Na izlazu dobijete najjednostavnije izraze oblika $((4)^(x))=4$ ili nešto slično. Štaviše, jedna početna jednačina može dati nekoliko takvih izraza odjednom.

Sve je jasno sa prvom tačkom - čak i moja mačka može da napiše jednačinu na komadu papira. Čini se da je i treća tačka manje-više jasna - već smo riješili čitavu gomilu takvih jednačina iznad.

Ali šta je sa drugom tačkom? Kakve transformacije? Pretvoriti šta u šta? I kako?

Pa, hajde da saznamo. Prije svega, želio bih napomenuti sljedeće. Sve eksponencijalne jednadžbe su podijeljene u dvije vrste:

1. Jednačina je sastavljena od eksponencijalnih funkcija sa istom bazom. Primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula sadrži eksponencijalne funkcije s različitim bazama. Primjeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Počnimo s jednadžbama prvog tipa - njih je najlakše riješiti. A u njihovom rješavanju pomoći će nam takva tehnika kao što je isticanje stabilnih izraza.

Izolacija stabilnog izraza

Pogledajmo ponovo ovu jednačinu:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

šta vidimo? Četiri su podignuta na različite stepene. Ali sve ove potencije su jednostavne sume varijable $x$ sa drugim brojevima. Stoga je potrebno zapamtiti pravila za rad sa diplomama:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(poravnati)\]

Jednostavno rečeno, sabiranje se može pretvoriti u proizvod stepena, a oduzimanje se može lako pretvoriti u dijeljenje. Pokušajmo primijeniti ove formule na stupnjeve iz naše jednadžbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(poravnati)\]

Prepišimo originalnu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu, a zatim sakupimo sve članove s lijeve strane:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedanaest; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(poravnati)\]

Prva četiri pojma sadrže element $((4)^(x))$ - izvadimo ga iz zagrade:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(poravnati)\]

Ostaje podijeliti obje strane jednadžbe razlomkom $-\frac(11)(4)$, tj. u suštini pomnoži sa obrnutim razlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobijamo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \lijevo(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Originalnu jednačinu smo sveli na njen najjednostavniji oblik i dobili konačni odgovor.

Istovremeno, u procesu rješavanja otkrili smo (pa čak i izvadili iz zagrade) zajednički faktor $((4)^(x))$ - to je stabilan izraz. Može se označiti kao nova varijabla ili je jednostavno možete pažljivo izraziti i dobiti odgovor. U svakom slučaju, ključni princip rješenja je sljedeći:

Pronađite u originalnoj jednadžbi stabilan izraz koji sadrži varijablu koja se lako razlikuje od svih eksponencijalnih funkcija.

Dobra vest je da vam skoro svaka eksponencijalna jednačina omogućava da izolujete tako stabilan izraz.

Ali loša vijest je da ovi izrazi mogu biti prilično zeznuti i da ih je prilično teško identificirati. Pa pogledajmo još jedan problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možda će neko sada imati pitanje: „Paša, jesi li kamenovan? Ovdje postoje različite baze – 5 i 0,2.” Ali hajde da pokušamo pretvoriti snagu u bazu 0,2. Na primjer, riješimo se decimalnog razlomka tako što ćemo ga svesti na običan:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Kao što vidite, broj 5 se ipak pojavio, iako u nazivniku. Istovremeno, indikator je prepisan kao negativan. A sada da se prisjetimo jednog od njih najvažnija pravila rad sa diplomama:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \desno))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ovdje sam, naravno, malo lagao. Jer za potpuno razumijevanje, formula za otklanjanje negativnih pokazatelja morala je biti napisana ovako:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

S druge strane, ništa nas nije spriječilo da radimo samo sa razlomcima:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((5)^(-1)) \ desno))^(-\left(x+1 \desno)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Ali u ovom slučaju, morate biti u mogućnosti da povećate snagu na drugu snagu (da vas podsjetim: u ovom slučaju, indikatori se zbrajaju). Ali nisam morao da "preokrećem" razlomke - možda će nekome ovo biti lakše. :)

U svakom slučaju, originalna eksponencijalna jednačina će biti prepisana kao:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(poravnati)\]

Tako se ispostavilo da se originalna jednadžba može riješiti još jednostavnije od one koja je prethodno razmatrana: ovdje čak ni ne morate odabrati stabilan izraz - sve je smanjeno samo od sebe. Ostaje samo zapamtiti da je $1=((5)^(0))$, od čega dobijamo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Dobili smo konačni odgovor: $x=-2$. U isto vrijeme, želio bih napomenuti jednu tehniku ​​koja nam je uvelike pojednostavila sve proračune:

U eksponencijalnim jednačinama, obavezno ih se riješite decimale, pretvorite ih u obične. To će vam omogućiti da vidite iste baze stupnjeva i uvelike pojednostavite rješenje.

Idemo sada na više složene jednačine, u kojem postoje različite baze koje uopće nisu svodive jedna na drugu korištenjem stupnjeva.

Korištenje svojstva stupnjeva

Da vas podsjetim da imamo dvije posebno oštre jednadžbe:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Glavna poteškoća je u tome što nije jasno šta dati i na osnovu čega. Gdje su stabilni izrazi? Gdje su iste osnove? Nema ništa od ovoga.

Ali hajde da pokušamo da idemo drugim putem. Ako nema spremnih identične osnove, možete ih pokušati pronaći faktoringom postojećih baza.

Počnimo s prvom jednačinom:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Strelica desno ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(poravnati)\]

Ali možete učiniti suprotno - napravite broj 21 od brojeva 7 i 3. Ovo je posebno lako učiniti s lijeve strane, jer su indikatori oba stepena isti:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Uzeli ste eksponent izvan proizvoda i odmah dobili prekrasnu jednadžbu koja se može riješiti u nekoliko redaka.

Pogledajmo sada drugu jednačinu. Ovde je sve mnogo komplikovanije:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

U ovom slučaju, razlomci su se pokazali nesvodljivim, ali ako se nešto može smanjiti, svakako to smanjite. Često će se pojaviti zanimljivi razlozi s kojima već možete raditi.

Nažalost, za nas se ništa posebno nije pojavilo. Ali vidimo da su eksponenti na lijevoj strani u proizvodu suprotni:

Da vas podsjetim: da biste se riješili znaka minus u indikatoru, samo trebate "okrenuti" razlomak. Pa, hajde da prepišemo originalnu jednačinu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\lijevo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(poravnati)\]

U drugom redu smo jednostavno izveli opšti indikator iz proizvoda van zagrada prema pravilu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, a u potonjem je jednostavno pomnožio broj 100 s razlomkom.

Sada imajte na umu da su brojevi na lijevoj strani (u osnovi) i na desnoj strani donekle slični. Kako? Da, očigledno je: to su moći istog broja! Imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \desno))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]

Dakle, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\desno))^(2))\]

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \desno))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

U ovom slučaju, na desnoj strani također možete dobiti diplomu s istom bazom, za koju je dovoljno jednostavno "preokrenuti" razlomak:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Naša jednačina će konačno poprimiti oblik:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(poravnati)\]

To je rešenje. Njegova glavna ideja se svodi na to da čak i sa različitim osnovama pokušavamo, na udicu ili na iviku, te osnove svesti na istu stvar. U tome nam pomažu elementarne transformacije jednadžbi i pravila za rad sa potencijama.

Ali koja pravila i kada koristiti? Kako shvatiti da u jednoj jednadžbi trebate obje strane podijeliti s nečim, a u drugoj morate rastaviti bazu eksponencijalne funkcije?

Odgovor na ovo pitanje doći će s iskustvom. Isprva se okušaj jednostavne jednačine, a zatim postepeno komplikujte zadatke - i vrlo brzo će vaše vještine biti dovoljne za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe sa istog Jedinstvenog državnog ispita ili bilo kojeg samostalnog/testnog rada.

I da vam pomognem u ovoj teškoj stvari, predlažem da preuzmete skup jednadžbi za nezavisna odluka. Sve jednačine imaju odgovore, tako da se uvijek možete testirati.