UlazRiješite jednačinu logaritmom. Logaritamske jednadžbe s različitim bazama. I. Postavljanje cilja časa
Završni video zapisi u dugoj seriji lekcija o rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovaj put ćemo prvenstveno raditi sa ODZ logaritma – upravo zbog pogrešnog razmatranja (ili čak zanemarivanja) domena definicije najviše grešaka nastaje prilikom rješavanja ovakvih problema.
U ovoj kratkoj video lekciji ćemo se osvrnuti na upotrebu formula za sabiranje i oduzimanje logaritama, a takođe ćemo se pozabaviti i razlomcima racionalnih jednačina, sa kojima mnogi učenici takođe imaju problema.
O čemu ćemo razgovarati? Glavna formula koju bih želio razumjeti izgleda ovako:
log a (f g ) = log a f + log a g
Ovo je standardni prijelaz sa proizvoda na zbir logaritama i nazad. Vjerovatno znate ovu formulu od samog početka proučavanja logaritama. Međutim, postoji jedan problem.
Sve dok su varijable a, f i g obični brojevi, nema problema. Ova formula radi odlično.
Međutim, čim se umjesto f i g pojave funkcije, javlja se problem proširenja ili sužavanja domene definicije ovisno o tome u kojem smjeru transformirati. Procijenite sami: u logaritmu napisanom lijevo, domen definicije je sljedeći:
fg > 0
Ali u količini napisanoj desno, domen definicije je već nešto drugačiji:
f > 0
g > 0
Ovaj skup zahtjeva je stroži od prvobitnog. U prvom slučaju ćemo se zadovoljiti opcijom f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 se izvršava).
Dakle, pri prelasku sa lijeve konstrukcije na desnu dolazi do sužavanja domena definicije. Ako smo u početku imali zbroj, pa ga prepišemo u obliku proizvoda, onda se domen definicije širi.
Drugim riječima, u prvom slučaju mogli bismo izgubiti korijenje, au drugom bismo mogli dobiti dodatne. Ovo se mora uzeti u obzir prilikom rješavanja realnih logaritamskih jednačina.
Dakle, prvi zadatak:
[Natpis za sliku] Na lijevoj strani vidimo zbir logaritama koji koriste istu bazu. Stoga se ovi logaritmi mogu dodati:
[Natpis za sliku] Kao što vidite, na desnoj strani zamijenili smo nulu koristeći formulu:
a = log b b a
Hajdemo još malo da preuredimo našu jednačinu:
log 4 (x − 5) 2 = log 4 1
Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe; možemo precrtati log znak i izjednačiti argumente:
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
Napomena: odakle je došao modul? Da vas podsjetim da je korijen tačnog kvadrata jednak modulu:
[Natpis za sliku] Zatim rješavamo klasičnu jednačinu sa modulom:
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Evo dva odgovora kandidata. Jesu li oni rješenje originalne logaritamske jednadžbe? Nema šanse!
Nemamo pravo sve ostaviti samo tako i zapisati odgovor. Pogledajte korak u kojem zamjenjujemo zbir logaritama jednim logaritmom proizvoda argumenata. Problem je što u originalnim izrazima imamo funkcije. Stoga bi vam trebalo:
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
Kada smo transformisali proizvod, dobijajući tačan kvadrat, promenili su se zahtevi:
(x − 5) 2 > 0
Kada je ovaj uslov ispunjen? Da, skoro uvek! Osim u slučaju kada je x − 5 = 0. To jest nejednakost će se svesti na jednu probušenu tačku:
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
Kao što vidite, proširio se obim definicije, o čemu smo govorili na samom početku lekcije. Posljedično, mogu se pojaviti dodatni korijeni.
Kako možete spriječiti pojavu ovih dodatnih korijena? Vrlo je jednostavno: gledamo naše dobivene korijene i upoređujemo ih s domenom definicije izvorne jednadžbe. izbrojimo:
x (x − 5) > 0
Riješit ćemo metodom intervala:
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
Rezultirajuće brojeve označavamo na liniji. Nedostaju sve tačke jer je nejednakost stroga. Uzmi bilo koji broj veći od 5 i zamijeni:
[Natpis za sliku] Zanimaju nas intervali (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Ako na segmentu označimo naše korijene, vidjet ćemo da nam x = 4 ne odgovara, jer se taj korijen nalazi izvan domene definicije originalne logaritamske jednadžbe.
Vraćamo se na ukupnost, precrtavamo korijen x = 4 i zapisujemo odgovor: x = 6. Ovo je konačni odgovor na originalnu logaritamsku jednačinu. To je to, problem rešen.
Pređimo na drugu logaritamsku jednačinu:
[Natpis za sliku] Hajde da to rešimo. Imajte na umu da je prvi član razlomak, a drugi isti razlomak, ali obrnut. Nemojte se plašiti izraza lgx - to je samo decimalni logaritam, možemo ga napisati:
lgx = log 10 x
Pošto imamo dva obrnuta razlomka, predlažem uvođenje nove varijable:
[Natpis za sliku] Stoga se naša jednadžba može prepisati na sljedeći način:
t + 1/t = 2;
t + 1/t − 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
Kao što vidite, brojilac razlomka je tačan kvadrat. Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac jednaka nuli, a imenilac je različit od nule:
(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0
Rešimo prvu jednačinu:
t − 1 = 0;
t = 1.
Ova vrijednost zadovoljava drugi zahtjev. Stoga možemo reći da smo u potpunosti riješili našu jednačinu, ali samo u odnosu na varijablu t. Sada se prisjetimo šta je t:
[Natpis za sliku]Dobili smo proporciju:
logx = 2 logx + 1
2 logx − logx = −1
logx = −1
Ovu jednačinu dovodimo do njenog kanonskog oblika:
logx = log 10 −1
x = 10 −1 = 0,1
Kao rezultat, dobili smo jedan korijen, koji je, u teoriji, rješenje originalne jednadžbe. Ipak, igrajmo na sigurno i napišimo domenu definicije originalne jednadžbe:
[Natpis za sliku] Dakle, naš root zadovoljava sve zahtjeve. Pronašli smo rješenje originalne logaritamske jednadžbe. Odgovor: x = 0,1. Problem je riješen.
Postoji samo jedna ključna točka u današnjoj lekciji: kada koristite formulu za pomicanje od proizvoda do zbroja i nazad, vodite računa da se opseg definicije može suziti ili proširiti ovisno o tome u kojem smjeru se prijelaz vrši.
Kako razumjeti šta se dešava: kontrakcija ili ekspanzija? Veoma jednostavno. Ako su ranije funkcije bile zajedno, a sada su odvojene, onda se opseg definicije suzio (jer ima više zahtjeva). Ako su u početku funkcije stajale odvojeno, a sada su zajedno, onda je domen definicije proširen (manje zahtjeva se nameće proizvodu nego pojedinačnim faktorima).
Uzimajući u obzir ovu napomenu, želio bih napomenuti da druga logaritamska jednadžba uopće ne zahtijeva ove transformacije, odnosno nigdje ne sabiramo niti množimo argumente. Međutim, ovdje bih vam skrenuo pažnju na još jednu divnu tehniku koja može značajno pojednostaviti rješenje. Radi se o zamjeni varijable.
Međutim, zapamtite da nas nikakve zamjene ne oslobađaju opsega definicije. Zato nakon što su svi korijeni pronađeni, nismo lijeni i vratili smo se na prvobitnu jednačinu da pronađemo njen ODZ.
Često, prilikom zamjene varijable, dolazi do dosadne greške kada učenici pronađu vrijednost t i misle da je rješenje potpuno. Nema šanse!
Nakon što ste pronašli vrijednost t, morate se vratiti na prvobitnu jednačinu i vidjeti šta smo tačno mislili sa ovim slovom. Kao rezultat, moramo riješiti još jednu jednadžbu, koja će, međutim, biti mnogo jednostavnija od originalne.
To je upravo poenta uvođenja nove varijable. Prvobitnu jednačinu podijelimo na dvije međusobne, od kojih svaka ima mnogo jednostavnije rješenje.
Kako riješiti "ugniježđene" logaritamske jednadžbe
Danas nastavljamo sa proučavanjem logaritamskih jednadžbi i analiziraćemo konstrukcije kada je jedan logaritam pod znakom drugog logaritma. Obje jednačine ćemo riješiti koristeći kanonski oblik.
Danas nastavljamo da proučavamo logaritamske jednačine i analiziraćemo konstrukcije kada je jedan logaritam pod znakom drugog. Obje jednačine ćemo riješiti koristeći kanonski oblik. Da vas podsjetim da ako imamo najjednostavniju logaritamsku jednačinu oblika log a f (x) = b, tada za rješavanje takve jednačine izvodimo sljedeće korake. Prije svega, trebamo zamijeniti broj b:
b = log a a b
Napomena: a b je argument. Slično, u originalnoj jednačini, argument je funkcija f(x). Zatim prepisujemo jednačinu i dobijamo ovu konstrukciju:
log a f (x) = log a a b
Tada možemo izvesti treći korak - osloboditi se znaka logaritma i jednostavno napisati:
f (x) = a b
Kao rezultat, dobijamo novu jednačinu. U ovom slučaju nema ograničenja na funkciju f (x). Na primjer, na njegovom mjestu također može postojati logaritamska funkcija. I tada ćemo opet dobiti logaritamsku jednačinu, koju ćemo opet svesti na njen najjednostavniji oblik i riješiti kroz kanonski oblik.
Međutim, dosta tekstova. Hajde da rešimo pravi problem. Dakle, zadatak broj 1:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2
Kao što vidite, imamo jednostavnu logaritamsku jednačinu. Uloga f (x) je konstrukcija 1 + 3 log 2 x, a uloga broja b je broj 2 (ulogu a imaju i dvojica). Prepišimo ovo dvoje na sljedeći način:
Važno je shvatiti da su nam prve dvije dvije došle iz baze logaritma, tj. da je u originalnoj jednačini bilo 5, onda bismo dobili da je 2 = log 5 5 2. Općenito, baza ovisi isključivo o logaritmu koji je izvorno dat u zadatku. A u našem slučaju ovo je broj 2.
Dakle, prepisujemo našu logaritamsku jednačinu uzimajući u obzir činjenicu da je dva desno zapravo također logaritam. Dobijamo:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
Prijeđimo na posljednji korak naše sheme - oslobađanje od kanonskog oblika. Moglo bi se reći, jednostavno precrtavamo znakove balvana. Međutim, s matematičke točke gledišta, nemoguće je "precrtati dnevnik" - ispravnije bi bilo reći da jednostavno izjednačavamo argumente:
1 + 3 log 2 x = 4
Odavde možemo lako pronaći 3 log 2 x:
3 log 2 x = 3
log 2 x = 1
Ponovo smo dobili najjednostavniju logaritamsku jednačinu, vratimo je u kanonski oblik. Da bismo to uradili potrebno je da izvršimo sledeće promene:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Zašto je dvojka u bazi? Jer u našoj kanonskoj jednadžbi na lijevoj strani postoji logaritam tačno na osnovu 2. Prepisujemo problem uzimajući u obzir ovu činjenicu:
log 2 x = log 2 2
Ponovo se oslobađamo znaka logaritma, tj. jednostavno izjednačavamo argumente. Na to imamo pravo jer su baze iste, a nikakve dodatne radnje nisu vršene ni s desne ni s lijeve strane:
To je sve! Problem je riješen. Pronašli smo rješenje logaritamske jednačine.
Bilješka! Iako se varijabla x pojavljuje u argumentu (tj. postoje zahtjevi za domenu definicije), nećemo postavljati nikakve dodatne zahtjeve.
Kao što sam rekao gore, ova provjera je suvišna ako se varijabla pojavljuje u samo jednom argumentu samo jednog logaritma. U našem slučaju, x se zaista pojavljuje samo u argumentu i samo pod jednim log znakom. Stoga nisu potrebne dodatne provjere.
Međutim, ako nemate povjerenja u ovu metodu, lako možete provjeriti da je x = 2 zaista korijen. Dovoljno je zamijeniti ovaj broj u originalnu jednačinu.
Pređimo na drugu jednačinu, malo je zanimljivija:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
Ako izraz unutar velikog logaritma označimo funkcijom f (x), dobićemo najjednostavniju logaritamsku jednačinu s kojom smo započeli današnju video lekciju. Stoga možemo primijeniti kanonski oblik, za koji ćemo jedinicu morati predstaviti u obliku log 2 2 1 = log 2 2.
Prepišimo našu veliku jednačinu:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
Odmaknimo se od znaka logaritma, izjednačavajući argumente. Na to imamo pravo, jer su i na lijevoj i na desnoj osnovi iste. Dodatno, imajte na umu da log 2 4 = 2:
log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x − 1) = 0
Pred nama je opet najjednostavnija logaritamska jednadžba oblika log a f (x) = b. Pređimo na kanonski oblik, odnosno predstavljamo nulu u obliku log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.
Prepisujemo našu jednačinu i oslobađamo se log znaka, izjednačavajući argumente:
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x − 1 = 1
Opet, odmah smo dobili odgovor. Nisu potrebne dodatne provjere jer u originalnoj jednadžbi samo jedan logaritam sadrži funkciju kao argument.
Stoga nisu potrebne dodatne provjere. Možemo sa sigurnošću reći da je x = 1 jedini korijen ove jednačine.
Ali ako bi u drugom logaritmu bila neka funkcija od x umjesto četiri (ili 2x nije bilo u argumentu, već u bazi) - tada bi bilo potrebno provjeriti domenu definicije. U suprotnom, postoji velika šansa da naletite na dodatne korijene.
Odakle dolaze ovi dodatni korijeni? Ova tačka mora biti shvaćena vrlo jasno. Pogledajte originalne jednadžbe: svugdje je funkcija x pod znakom logaritma. Shodno tome, pošto smo zapisali log 2 x, automatski postavljamo zahtjev x > 0. Inače, ovaj unos jednostavno nema smisla.
Međutim, kako rješavamo logaritamsku jednadžbu, oslobađamo se svih log znakova i dobivamo jednostavne konstrukcije. Ovdje nisu postavljena ograničenja, jer je linearna funkcija definirana za bilo koju vrijednost x.
Upravo je taj problem, kada je konačna funkcija svugdje i uvijek definirana, ali originalna nije svugdje i ne uvijek, razlog zašto se u rješavanju logaritamskih jednačina vrlo često pojavljuju dodatni korijeni.
Ali ponavljam još jednom: to se događa samo u situaciji kada je funkcija ili u nekoliko logaritama ili u osnovi jednog od njih. U problemima koje danas razmatramo, u principu, nema problema sa proširenjem domena definicije.
Slučajevi različitih osnova
Ova lekcija je posvećena višem složene strukture. Logaritmi u današnjim jednačinama više se neće rješavati odmah, već će se prvo morati izvršiti neke transformacije.
Počinjemo rješavati logaritamske jednadžbe sa apsolutnom iz različitih razloga, koje nisu tačne moći jedna drugoj. Nemojte dopustiti da vas takvi problemi uplaše - nije ih teže riješiti od najjednostavnijih dizajna o kojima smo gore govorili.
Ali prije nego što pređemo direktno na probleme, dopustite mi da vas podsjetim na formulu za rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi pomoću kanonskog oblika. Razmotrite ovakav problem:
log a f (x) = b
Važno je da je funkcija f (x) samo funkcija, a uloga brojeva a i b treba da budu brojevi (bez ikakvih varijabli x). Naravno, doslovce za minut ćemo pogledati takve slučajeve kada umjesto varijabli a i b postoje funkcije, ali to sada nije o tome.
Kao što se sjećamo, broj b mora biti zamijenjen logaritmom na istu bazu a, koja je na lijevoj strani. Ovo se radi vrlo jednostavno:
b = log a a b
Naravno, riječi "bilo koji broj b" i "bilo koji broj a" znače vrijednosti koje zadovoljavaju opseg definicije. Konkretno, u ovoj jednačini mi pričamo o tome samo baza a > 0 i a ≠ 1.
Međutim, ovaj zahtjev je automatski zadovoljen, jer izvorni problem već sadrži logaritam za bazu a – sigurno će biti veći od 0, a ne jednak 1. Stoga nastavljamo sa rješavanjem logaritamske jednadžbe:
log a f (x) = log a a b
Takva notacija se zove kanonska forma. Njegova pogodnost leži u činjenici da se možemo odmah riješiti znaka dnevnika izjednačavanjem argumenata:
f (x) = a b
Upravo tu tehniku ćemo sada koristiti za rješavanje logaritamskih jednadžbi varijabilna baza. Dakle, idemo!
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125
Šta je sledeće? Neko će sada reći da treba izračunati pravi logaritam, ili ih svesti na istu bazu, ili nešto drugo. I zaista, sada moramo obje baze dovesti u isti oblik - ili 2 ili 0,5. Ali naučimo jednom za svagda sljedeće pravilo:
Ako logaritamska jednadžba sadrži decimale, obavezno pretvorite ove razlomke iz decimalnog zapisa u obične. Ova transformacija može uvelike pojednostaviti rješenje.
Takav prijelaz mora se izvršiti odmah, čak i prije izvođenja bilo kakvih radnji ili transformacija. Hajde da pogledamo:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8
Šta nam takav zapis daje? Možemo predstaviti 1/2 i 1/8 kao stepene sa negativnim eksponentom:
[Natpis za sliku] Pred nama je kanonski oblik. Izjednačavamo argumente i dobijamo klasiku kvadratna jednačina:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Pred nama je sljedeća kvadratna jednadžba, koja se lako može riješiti korištenjem Vietinih formula. U srednjoj školi trebalo bi da vidite slične prikaze doslovno usmeno:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
To je sve! Originalna logaritamska jednadžba je riješena. Imamo dva korena.
Da vas podsjetim da u ovom slučaju nije potrebno određivati domen definicije, jer je funkcija sa varijablom x prisutna samo u jednom argumentu. Stoga se opseg definicije izvodi automatski.
Dakle, prva jednačina je riješena. Pređimo na drugo:
log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
Sada imajte na umu da se argument prvog logaritma može zapisati i kao stepen sa negativnim eksponentom: 1/2 = 2 −1. Tada možete izvaditi potencije na obje strane jednačine i podijeliti sve sa −1:
[Natpis za sliku] I sada smo postigli veoma važan korak u rješavanju logaritamske jednadžbe. Možda neko nešto nije primetio, pa da objasnim.
Pogledajte našu jednačinu: i na lijevoj i na desnoj strani nalazi se log znak, ali na lijevoj je logaritam na bazu 2, a na desnoj je logaritam na bazu 3. Tri nije cijeli broj od dva i, obrnuto, ne možete napisati da je 2 3 u cijelom broju stupnjeva.
Posljedično, radi se o logaritmima s različitim bazama koji se ne mogu svesti jedan na drugi jednostavnim zbrajanjem potencija. Jedini način za rješavanje takvih problema je da se riješimo jednog od ovih logaritama. U ovom slučaju, pošto još uvijek razmatramo prilično jednostavni zadaci, logaritam desno je jednostavno izračunat i dobili smo najjednostavniju jednačinu – upravo onu o kojoj smo govorili na samom početku današnje lekcije.
Predstavimo broj 2, koji je desno, kao log 2 2 2 = log 2 4. I onda se riješimo znaka logaritma, nakon čega nam jednostavno ostaje kvadratna jednadžba:
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
Pred nama je obična kvadratna jednačina, ali ona nije redukovana jer je koeficijent od x 2 različit od jedinice. Stoga ćemo to riješiti pomoću diskriminanta:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
To je sve! Pronašli smo oba korijena, što znači da smo dobili rješenje originalne logaritamske jednadžbe. Zaista, u originalnom problemu, funkcija s promjenljivom x je prisutna u samo jednom argumentu. Shodno tome, nisu potrebne nikakve dodatne provjere u domeni definicije - oba korijena za koja smo otkrili sigurno ispunjavaju sva moguća ograničenja.
Ovo bi mogao biti kraj današnje video lekcije, ali u zaključku želim još jednom reći: budite sigurni da ste pretvorili sve decimalne razlomke u obične razlomke kada rješavate logaritamske jednadžbe. U većini slučajeva to uvelike pojednostavljuje njihovo rješenje.
Rijetko, vrlo rijetko, naiđete na probleme u kojima uklanjanje decimalnih razlomaka samo komplikuje proračune. Međutim, u takvim jednadžbama, u pravilu, u početku je jasno da nema potrebe da se riješite decimalnih razlomaka.
U većini drugih slučajeva (naročito ako tek počinjete vježbati rješavanje logaritamskih jednadžbi), slobodno se riješite decimala i pretvorite ih u obične. Jer praksa pokazuje da ćete na taj način značajno pojednostaviti naknadno rješenje i proračune.
Suptilnosti i trikovi rješenja
Danas prelazimo na složenije probleme i rješavamo logaritamsku jednadžbu, koja se ne zasniva na broju, već na funkciji.
Čak i ako je ova funkcija linearna, morat će se napraviti male promjene u shemi rješenja, čije se značenje svodi na dodatne zahtjeve nametnute domeni definicije logaritma.
Složeni zadaci
Ovaj vodič će biti prilično dug. U njemu ćemo analizirati dvije prilično ozbiljne logaritamske jednačine, pri rješavanju kojih mnogi učenici griješe. Tokom prakse kao nastavnik matematike, stalno sam nailazio na dvije vrste grešaka:
- Pojava dodatnih korijena zbog proširenja domena definicije logaritama. Da biste izbjegli takve uvredljive greške, samo pažljivo pratite svaku transformaciju;
- Gubitak korijena zbog činjenice da je student zaboravio razmotriti neke „suptilne“ slučajeve - to su situacije na koje ćemo se danas fokusirati.
Ovo zadnja lekcija, posvećen logaritamskim jednačinama. Biće dugo, analiziraćemo složene logaritamske jednačine. Raskomotite se, skuvajte sebi čaj i krenimo.
Prva jednadžba izgleda sasvim standardno:
log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)
Odmah primijetimo da su oba logaritma obrnute kopije jedan drugog. Prisjetimo se divne formule:
log a b = 1/log b a
Međutim, ova formula ima niz ograničenja koja nastaju ako umjesto brojeva a i b postoje funkcije varijable x:
b > 0
1 ≠ a > 0
Ovi zahtjevi se odnose na bazu logaritma. S druge strane, u razlomku je potrebno da imamo 1 ≠ a > 0, jer ne samo da je varijabla a u argumentu logaritma (dakle a > 0), već je i sam logaritam u nazivniku razlomka . Ali log b 1 = 0, a imenilac mora biti različit od nule, tako da je a ≠ 1.
Dakle, ograničenja za varijablu a ostaju. Ali šta se dešava sa promenljivom b? S jedne strane, baza implicira b > 0, s druge strane varijabla b ≠ 1, jer baza logaritma mora biti različita od 1. Ukupno, iz desne strane formule slijedi da je 1 ≠ b > 0.
Ali evo problema: drugi zahtjev (b ≠ 1) nedostaje u prvoj nejednakosti, koja se bavi lijevim logaritmom. Drugim riječima, kada vršimo ovu transformaciju moramo provjerite posebno, da je argument b različit od jedan!
Pa hajde da to proverimo. Primijenimo našu formulu:
[Natpis za sliku] 1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
Dakle, dobili smo da već iz originalne logaritamske jednadžbe slijedi da i a i b moraju biti veći od 0, a ne jednaki 1. To znači da možemo lako invertirati logaritamsku jednačinu:
Predlažem uvođenje nove varijable:
log x + 1 (x − 0,5) = t
U ovom slučaju, naša konstrukcija će biti prepisana na sljedeći način:
(t 2 − 1)/t = 0
Imajte na umu da u brojniku imamo razliku kvadrata. Otkrivamo razliku kvadrata koristeći skraćenu formulu množenja:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac nula, a imenilac različit od nule. Ali brojilac sadrži proizvod, pa svaki faktor izjednačavamo sa nulom:
t 1 = 1;
t 2 = −1;
t ≠ 0.
Kao što vidimo, odgovaraju nam obje vrijednosti varijable t. Međutim, rješenje se tu ne završava, jer moramo pronaći ne t, već vrijednost x. Vraćamo se na logaritam i dobijamo:
log x + 1 (x − 0,5) = 1;
log x + 1 (x − 0,5) = −1.
Stavimo svaku od ovih jednačina u kanonski oblik:
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1
Riješimo se znaka logaritma u prvom slučaju i izjednačavamo argumente:
x − 0,5 = x + 1;
x − x = 1 + 0,5;
Takva jednadžba nema korijena, stoga prva logaritamska jednadžba također nema korijen. Ali s drugom jednačinom sve je mnogo zanimljivije:
(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)
Rješavajući proporciju, dobijamo:
(x − 0,5)(x + 1) = 1
Da vas podsjetim da je pri rješavanju logaritamskih jednadžbi mnogo zgodnije koristiti sve decimalne razlomke kao obične, pa prepišimo našu jednadžbu na sljedeći način:
(x − 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.
Pred nama je kvadratna jednadžba u nastavku, koja se lako može riješiti korištenjem Vietinih formula:
(x + 3/2) (x − 1) = 0;
x 1 = −1,5;
x 2 = 1.
Dobili smo dva korijena - oni su kandidati za rješavanje originalne logaritamske jednadžbe. Da bismo razumjeli koji će korijeni zapravo ući u odgovor, vratimo se izvornom problemu. Sada ćemo provjeriti svaki od naših korijena da vidimo da li se uklapaju u domenu definicije:
1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.
Ovi zahtjevi su jednaki dvostrukoj nejednakosti:
1 ≠ x > 0,5
Odavde odmah vidimo da nam korijen x = −1,5 ne odgovara, ali nam sasvim dobro odgovara x = 1. Stoga je x = 1 konačno rješenje logaritamske jednačine.
Pređimo na drugi zadatak:
log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625
Na prvi pogled može izgledati da svi logaritmi imaju različite baze i različite argumente. Šta učiniti s takvim strukturama? Prije svega, imajte na umu da su brojevi 25, 5 i 625 potenci od 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
Sada iskoristimo divno svojstvo logaritma. Poenta je da možete izvući moći iz argumenta u obliku faktora:
log a b n = n ∙ log a b
Ova transformacija je također podložna ograničenjima u slučaju kada je b zamijenjen funkcijom. Ali za nas je b samo broj i nema dodatnih ograničenja. Prepišimo našu jednačinu:
2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5
Dobili smo jednačinu sa tri člana koji sadrže log znak. Štaviše, argumenti sva tri logaritma su jednaki.
Vrijeme je da obrnemo logaritme kako bismo ih doveli na istu bazu - 5. Pošto je varijabla b konstanta, ne dolazi do promjena u domenu definicije. Samo prepisujemo:
[Natpis za sliku] Očekivano, isti logaritmi su se pojavili u nazivniku. Predlažem zamjenu varijable:
log 5 x = t
U ovom slučaju, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
Napišimo brojilac i otvorimo zagrade:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
Vratimo se našem razlomku. Brojilac mora biti nula:
[Natpis za sliku] I imenilac je drugačiji od nule:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
Posljednji zahtjevi se ispunjavaju automatski, jer su svi „vezani“ za cijele brojeve, a svi odgovori su iracionalni.
dakle, frakciona racionalna jednačina riješeno, pronalaze se vrijednosti varijable t. Vratimo se rješavanju logaritamske jednadžbe i prisjetimo se šta je t:
[Natpis za sliku] Svodimo ovu jednačinu na kanonski oblik i dobijamo broj sa iracionalnim stepenom. Ne dozvolite da vas ovo zbuni - čak se i takvi argumenti mogu izjednačiti:
[Natpis za sliku] Imamo dva korena. Preciznije, dva kandidata odgovora - hajde da ih proverimo da li su u skladu sa domenom definicije. Budući da je osnova logaritma varijabla x, potrebno je sljedeće:
1 ≠ x > 0;
Sa istim uspjehom tvrdimo da je x ≠ 1/125, inače će se osnova drugog logaritma pretvoriti u jedinicu. Konačno, x ≠ 1/25 za treći logaritam.
Ukupno smo dobili četiri ograničenja:
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
Sada se postavlja pitanje: da li naši korijeni zadovoljavaju ove zahtjeve? Naravno da zadovoljavaju! Zato što će 5 na bilo koji stepen biti veće od nule, a zahtjev x > 0 je automatski zadovoljen.
S druge strane, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, što znači da ova ograničenja za naše korijene (koji, da vas podsjetim, imaju iracionalan broj u eksponentu) su također zadovoljni, a oba odgovora su rješenja problema.
Dakle, imamo konačan odgovor. Ključne točke Dva su u ovom problemu:
- Budite oprezni kada okrećete logaritam kada se argument i baza zamjenjuju. Takve transformacije nameću nepotrebna ograničenja na opseg definicije.
- Nemojte se bojati transformirati logaritme: ne samo da ih možete preokrenuti, već i otvoriti pomoću formule zbroja i općenito ih promijeniti koristeći bilo koju formulu koju ste proučavali prilikom rješavanja logaritamski izrazi. Međutim, uvijek zapamtite: neke transformacije proširuju opseg definicije, a neke ih sužavaju.
Rješavanje logaritamskih jednadžbi. Dio 1.
Logaritamska jednadžba je jednadžba u kojoj je nepoznato sadržano pod znakom logaritma (posebno u bazi logaritma).
Najjednostavniji logaritamska jednačina ima oblik:
Rješavanje bilo koje logaritamske jednadžbe uključuje prijelaz sa logaritama na izraze pod znakom logaritama. Međutim, ova radnja proširuje opseg prihvatljive vrijednosti jednadžba i može dovesti do pojave stranih korijena. Da biste izbjegli pojavu stranih korijena, možete učiniti na jedan od tri načina:
1. Napravite ekvivalentan prelaz od originalne jednadžbe do sistema uključujući
zavisno od koje nejednakosti ili jednostavnije.
Ako jednadžba sadrži nepoznatu u osnovi logaritma:
onda idemo na sistem:
2. Odvojeno pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe, zatim riješite jednadžbu i provjerite da li pronađena rješenja zadovoljavaju jednačinu.
3. Riješite jednačinu, a zatim provjeriti: zamijeniti pronađena rješenja u originalnu jednačinu i provjeriti da li smo dobili tačnu jednakost.
Logaritamska jednadžba bilo kojeg nivoa složenosti se na kraju uvijek svodi na jednostavnu logaritamsku jednačinu.
Sve logaritamske jednadžbe se mogu podijeliti u četiri tipa:
1 . Jednačine koje sadrže logaritme samo na prvi stepen. Uz pomoć transformacija i upotrebe dovode se do forme
Primjer. Rešimo jednačinu:
Izjednačimo izraze pod znakom logaritma:
Provjerimo da li naš korijen jednadžbe zadovoljava:
Da, zadovoljava.
Odgovor: x=5
2 . Jednačine koje sadrže logaritme za stepene različite od 1 (posebno u nazivniku razlomka). Takve jednačine se mogu riješiti korištenjem uvođenje promjene varijable.
Primjer. Rešimo jednačinu:
Nađimo ODZ jednačinu:
Jednačina sadrži logaritme na kvadrat, tako da se može riješiti promjenom varijable.
Bitan! Prije uvođenja zamjene, potrebno je da logaritme koji su dio jednadžbe „razdvojite“ u „cigle“, koristeći svojstva logaritma.
Prilikom "razdvajanja" logaritama, važno je vrlo pažljivo koristiti svojstva logaritama:
Osim toga, ovdje postoji još jedna suptilna točka, a kako bismo izbjegli uobičajenu grešku, koristit ćemo srednju jednakost: stepen logaritma ćemo napisati u ovom obliku:
Isto tako,
Zamijenimo rezultirajuće izraze u originalnu jednačinu. Dobijamo:
Sada vidimo da je nepoznata sadržana u jednadžbi kao dio . Hajde da predstavimo zamenu: . Budući da može uzeti bilo koju realnu vrijednost, ne namećemo nikakva ograničenja varijabli.
primjeri:
\(\log_(2)(x) = 32\)
\(\log_3x=\log_39\)
\(\log_3((x^2-3))=\log_3((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2((x+1))+10=11 \lg((x+1))\)
Kako riješiti logaritamske jednadžbe:
Kada rješavate logaritamsku jednačinu, trebali biste nastojati da je transformirate u oblik \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\), a zatim napravite prijelaz na \(f(x) )=g(x) \).
\(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).
primjer:\(\log_2(x-2)=3\)
|
Rješenje: |
ODZ: |
Veoma važno! Ovaj prelaz se može izvršiti samo ako:
Napisali ste za originalnu jednačinu, a na kraju ćete provjeriti da li su pronađene uključene u DL. Ako se to ne učini, mogu se pojaviti dodatni korijeni, što znači pogrešnu odluku.
Broj (ili izraz) s lijeve i desne strane je isti;
Logaritmi s lijeve i desne strane su "čisti", odnosno ne bi trebalo biti množenja, dijeljenja itd. – samo pojedinačni logaritmi sa obe strane znaka jednakosti.
Na primjer:
Imajte na umu da se jednadžbe 3 i 4 mogu lako riješiti primjenom potrebnih svojstava logaritama.
Primjer . Riješite jednačinu \(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\)
Rješenje :
|
Napišimo ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\) ODZ: \(x>0\) |
Lijevo ispred logaritma je koeficijent, desno je zbir logaritama. Ovo nam smeta. Pomerimo dva u eksponent \(x\) prema svojstvu: \(n \log_b(a)=\log_b(a^n)\). Predstavimo zbir logaritama kao jedan logaritam prema svojstvu: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\) |
|
|
\(\log_8(x^2)=\log_825\) |
Sveli smo jednačinu na oblik \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) i zapisali ODZ, što znači da možemo preći na oblik \(f(x) =g(x)\ ). |
|
|
Desilo se. Riješimo to i dobijemo korijene. |
||
|
\(x_1=5\) \(x_2=-5\) |
Provjeravamo da li su korijeni prikladni za ODZ. Da bismo to učinili, u \(x>0\) umjesto \(x\) zamjenjujemo \(5\) i \(-5\). Ova operacija se može izvesti oralno. |
|
|
\(5>0\), \(-5>0\) |
Prva nejednakost je tačna, druga nije. To znači da je \(5\) korijen jednadžbe, ali \(-5\) nije. Zapisujemo odgovor. |
Odgovori : \(5\)
Primjer : Riješite jednačinu \(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\)
Rješenje :
|
Napišimo ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\) ODZ: \(x>0\) |
Tipična jednačina riješena korištenjem . Zamijenite \(\log_2x\) sa \(t\). |
|
|
\(t=\log_2x\) |
||
|
Dobili smo uobičajeni. Tražimo njegove korijene. |
||
|
\(t_1=2\) \(t_2=1\) |
Izrada obrnute zamjene |
|
|
\(\log_2(x)=2\) \(\log_2(x)=1\) |
Transformišemo desne strane, predstavljajući ih kao logaritme: \(2=2 \cdot 1=2 \log_22=\log_24\) i \(1=\log_22\) |
|
|
\(\log_2(x)=\log_24\) \(\log_2(x)=\log_22 \) |
Sada su naše jednačine \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\), i možemo preći na \(f(x)=g(x)\). |
|
|
\(x_1=4\) \(x_2=2\) |
Provjeravamo podudarnost korijena ODZ-a. Da biste to učinili, zamijenite \(4\) i \(2\) u nejednačinu \(x>0\) umjesto \(x\). |
|
|
\(4>0\) \(2>0\) |
Obje nejednakosti su tačne. To znači da su i \(4\) i \(2\) korijeni jednadžbe. |
Odgovori : \(4\); \(2\).
Danas ćemo naučiti kako riješiti najjednostavnije logaritamske jednadžbe, gdje nisu potrebne preliminarne transformacije ili odabir korijena. Ali ako naučite rješavati takve jednadžbe, onda će to biti mnogo lakše.
Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika log a f (x) = b, gdje su a, b brojevi (a > 0, a ≠ 1), f (x) je određena funkcija.
Karakteristična karakteristika svih logaritamskih jednačina je prisustvo varijable x pod znakom logaritma. Ako je ovo jednačina koja je prvobitno data u zadatku, naziva se najjednostavnija. Sve druge logaritamske jednadžbe se svode na najjednostavnije posebnim transformacijama (pogledajte “Osnovne osobine logaritama”). Međutim, brojne suptilnosti moraju se uzeti u obzir: mogu se pojaviti dodatni korijeni, pa će se složene logaritamske jednadžbe razmatrati zasebno.
Kako riješiti takve jednačine? Dovoljno je zamijeniti broj desno od znaka jednakosti logaritmom u istoj osnovi kao lijevo. Tada se možete riješiti predznaka logaritma. Dobijamo:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Imam obična jednačina. Njegovi korijeni su korijeni originalne jednadžbe.
Vađenje diploma
Često se logaritamske jednadžbe, koje spolja izgledaju složeno i prijeteće, rješavaju doslovno u nekoliko redaka bez uključivanja složene formule. Danas ćemo se osvrnuti na upravo takve probleme, gdje se od vas traži samo da pažljivo svedete formulu na kanonski oblik i da se ne zbunite u potrazi za domenom definicije logaritama.
Danas ćemo, kao što ste vjerojatno pogodili iz naslova, rješavati logaritamske jednadžbe koristeći formule za prijelaz u kanonski oblik. Glavni “trik” ove video lekcije bit će rad sa diplomama, odnosno deduciranje stepena iz osnove i argumenta. Pogledajmo pravilo:
Slično, možete izvesti stepen iz baze:
Kao što vidimo, ako kada uklonimo stepen iz argumenta logaritma jednostavno imamo dodatni faktor ispred, onda kada uklonimo stepen iz baze ne dobijamo samo faktor, već obrnuti faktor. Ovo treba zapamtiti.
Konačno, ono najzanimljivije. Ove formule se mogu kombinovati i onda dobijamo:
Naravno, prilikom ovih prijelaza postoje određene zamke povezane s mogućim proširenjem obima definicije ili, obrnuto, sužavanjem obima definicije. Procijenite sami:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Ako bi u prvom slučaju x mogao biti bilo koji broj osim 0, tj. zahtjev x ≠ 0, onda se u drugom slučaju zadovoljavamo samo sa x, koji ne samo da nije jednak, već je striktno veći od 0, jer je domen definicija logaritma je da argument bude striktno veći od 0. Stoga ću vas podsjetiti na jednu divnu formulu iz kursa algebre od 8. do 9. razreda:
Odnosno, našu formulu moramo napisati na sljedeći način:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Tada neće doći do sužavanja opsega definicije.
Međutim, u današnjem video tutorijalu neće biti kvadrata. Ako pogledate naše zadatke, vidjet ćete samo korijene. Stoga ovo pravilo nećemo primjenjivati, ali ga ipak morate imati na umu kako biste u pravom trenutku, kada vidite kvadratna funkcija u argumentu ili bazi logaritma, zapamtit ćete ovo pravilo i pravilno izvesti sve transformacije.
Dakle, prva jednačina je:
Da bih riješio ovaj problem, predlažem da pažljivo pogledamo svaki od pojmova prisutnih u formuli.
Zapišimo prvi član kao stepen s racionalnim eksponentom:
Gledamo drugi član: log 3 (1 − x). Ovdje ne treba ništa raditi, ovdje je sve već transformirano.
Konačno, 0, 5. Kao što sam rekao u prethodnim lekcijama, prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi i formula, toplo preporučujem prelazak sa decimalnih razlomaka na obične. Uradimo ovo:
0,5 = 5/10 = 1/2
Prepišimo našu originalnu formulu uzimajući u obzir rezultirajuće pojmove:
log 3 (1 − x ) = 1
Sada pređimo na kanonski oblik:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Riješimo se znaka logaritma izjednačavanjem argumenata:
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
To je to, riješili smo jednačinu. Međutim, hajde da ipak igramo na sigurno i pronađemo domen definicije. Da bismo to učinili, vratimo se na originalnu formulu i vidimo:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Naš korijen x = −2 zadovoljava ovaj zahtjev, stoga je x = −2 rješenje originalne jednačine. Sada smo dobili strogo, jasno opravdanje. To je to, problem rešen.
Pređimo na drugi zadatak:
Pogledajmo svaki pojam posebno.
Napišimo prvu:
Transformisali smo prvi mandat. Radimo sa drugim terminom:
Konačno, posljednji član, koji je desno od znaka jednakosti:
Zamjenjujemo rezultirajuće izraze umjesto pojmova u rezultirajućoj formuli:
log 3 x = 1
Pređimo na kanonski oblik:
log 3 x = log 3 3
Riješimo se znaka logaritma, izjednačavajući argumente, i dobijamo:
x = 3
Opet, samo da budemo sigurni, vratimo se originalnoj jednadžbi i pogledajmo. U originalnoj formuli, varijabla x je prisutna samo u argumentu, dakle,
x > 0
U drugom logaritmu, x je ispod korijena, ali opet u argumentu, dakle, korijen mora biti veći od 0, tj. radikalni izraz mora biti veći od 0. Gledamo naš korijen x = 3. Očigledno, to zadovoljava ovaj zahtjev. Dakle, x = 3 je rješenje originalne logaritamske jednadžbe. To je to, problem rešen.
Postoje dvije ključne tačke u današnjem video tutorijalu:
1) ne plašite se transformacije logaritma i, posebno, ne plašite se da izvučete stepene iz predznaka logaritma, a da pritom zapamtite našu osnovnu formulu: kada se odstranjuje stepen iz argumenta, on se jednostavno vadi bez promena kao množitelj, a kada se snaga skida sa baze, ova snaga se invertuje.
2) druga tačka se odnosi na sam kanonski oblik. Prijelaz na kanonski oblik izvršili smo na samom kraju transformacije formule logaritamske jednačine. Dozvolite mi da vas podsjetim na sljedeću formulu:
a = log b b a
Naravno, pod izrazom „bilo koji broj b“ mislim na one brojeve koji zadovoljavaju zahtjeve postavljene na osnovu logaritma, tj.
1 ≠ b > 0
Za takav b, a pošto već znamo osnovu, ovaj zahtjev će biti automatski ispunjen. Ali za takve b - bilo koje koje zadovoljavaju ovaj zahtjev - ovaj prijelaz se može izvršiti, i dobićemo kanonski oblik u kojem se možemo riješiti predznaka logaritma.
Proširivanje domena definicije i dodatnih korijena
U procesu transformacije logaritamskih jednadžbi može doći do implicitnog proširenja domena definicije. Učenici to često i ne primjećuju, što dovodi do grešaka i netačnih odgovora.
Počnimo s najjednostavnijim dizajnom. Najjednostavnija logaritamska jednadžba je sljedeća:
log a f (x) = b
Imajte na umu da je x prisutan samo u jednom argumentu jednog logaritma. Kako rješavamo takve jednačine? Koristimo kanonski oblik. Da biste to učinili, zamislite broj b = log a a b, a naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
log a f (x) = log a a b
Ovaj unos se zove kanonski oblik. Na to trebate svesti svaku logaritamsku jednadžbu s kojom ćete se susresti ne samo u današnjoj lekciji, već iu svakom samostalnom i probnom radu.
Kako doći do kanonske forme i koje tehnike koristiti je stvar prakse. Glavna stvar koju treba shvatiti je da čim dobijete takav zapis, problem možete smatrati riješenim. Zato što je sledeći korak da napišete:
f (x) = a b
Drugim riječima, riješimo se znaka logaritma i jednostavno izjednačimo argumente.
Čemu sva ova priča? Činjenica je da je kanonski oblik primjenjiv ne samo na najjednostavnije probleme, već i na sve druge. Posebno one o kojima ćemo odlučiti danas. Hajde da pogledamo.
Prvi zadatak:
Šta je problem sa ovom jednačinom? Činjenica je da je funkcija u dva logaritma odjednom. Problem se može svesti na najjednostavniji način jednostavnim oduzimanjem jednog logaritma od drugog. Ali problemi se javljaju s područjem definicije: mogu se pojaviti dodatni korijeni. Dakle, samo pomjerimo jedan od logaritama udesno:
Ovaj unos je mnogo sličniji kanonskom obliku. Ali postoji još jedna nijansa: u kanonskom obliku, argumenti moraju biti isti. I na lijevoj strani imamo logaritam u bazi 3, a na desnoj u bazi 1/3. On zna da ove baze treba dovesti u isti broj. Na primjer, prisjetimo se koje su negativne moći:
A onda ćemo koristiti eksponent "−1" izvan log kao množitelj:
Imajte na umu: stepen koji je bio u bazi se okreće i pretvara se u razlomak. Dobili smo skoro kanonsku notaciju tako što smo se riješili različitih baza, ali smo zauzvrat dobili faktor “−1” na desnoj strani. Uračunajmo ovaj faktor u argument pretvarajući ga u moć:
Naravno, primivši kanonski oblik, hrabro precrtavamo znak logaritma i izjednačavamo argumente. Ujedno, da vas podsjetim da kada se podigne na stepen "−1", razlomak se jednostavno preokrene - dobije se proporcija.
Iskoristimo osnovno svojstvo proporcije i pomnožimo ga unakrsno:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Pred nama je gornja kvadratna jednadžba, pa je rješavamo pomoću Vietinih formula:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
To je sve. Mislite li da je jednačina riješena? Ne! Za takvo rješenje dobit ćemo 0 bodova, jer originalna jednadžba sadrži dva logaritma s promjenljivom x. Stoga je potrebno voditi računa o domenu definicije.
I tu počinje zabava. Većina učenika je zbunjena: koji je domen definicije logaritma? Naravno, svi argumenti (imamo dva) moraju biti veći od nule:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Svaka od ovih nejednakosti se mora riješiti, označiti na pravoj liniji, presjeći i tek onda vidjeti koji korijeni leže na raskrsnici.
Bit ću iskren: ova tehnika ima pravo na postojanje, pouzdana je i dobit ćete tačan odgovor, ali u njoj ima previše nepotrebnih koraka. Pa hajde da ponovo prođemo kroz naše rešenje i vidimo: gde tačno treba da primenimo opseg? Drugim riječima, morate jasno razumjeti kada se točno pojavljuju dodatni korijeni.
- U početku smo imali dva logaritma. Zatim smo jedan od njih pomjerili udesno, ali to nije utjecalo na područje definicije.
- Zatim uklanjamo potenciju iz baze, ali još uvijek postoje dva logaritma, a u svakom od njih postoji varijabla x.
- Konačno, precrtavamo znakove log i dobijamo klasičnu razlomku racionalnu jednačinu.
U posljednjem koraku širi se opseg definicije! Čim smo prešli na frakciono-racionalnu jednačinu, oslobodivši se log znakova, zahtjevi za varijablu x su se dramatično promijenili!
Shodno tome, domen definicije se može razmatrati ne na samom početku rješenja, već samo na pomenutom koraku – prije direktnog izjednačavanja argumenata.
Tu se krije prilika za optimizaciju. S jedne strane, od nas se traži da oba argumenta budu veća od nule. S druge strane, mi dalje izjednačavamo ove argumente. Dakle, ako je barem jedan od njih pozitivan, onda će i drugi biti pozitivan!
Dakle, ispada da je zahtjev da se dvije nejednakosti ispune odjednom previše. Dovoljno je uzeti u obzir samo jedan od ovih razlomaka. Koji? Onaj koji je jednostavniji. Na primjer, pogledajmo desni razlomak:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Ovo je tipična frakciona racionalna nejednakost; rješavamo je metodom intervala:
Kako postaviti znakove? Uzmimo broj koji je očito veći od svih naših korijena. Na primjer, 1 milijarda. I zamjenjujemo njegov dio. Dobijamo pozitivan broj, tj. desno od korijena x = 5 bit će znak plus.
Tada se znakovi izmjenjuju, jer nigdje nema korijena ravnomjernog mnoštva. Zanimaju nas intervali u kojima je funkcija pozitivna. Dakle, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Sada se prisjetimo odgovora: x = 8 i x = 2. Strogo govoreći, ovo još nisu odgovori, već samo kandidati za odgovor. Koji pripada navedenom skupu? Naravno, x = 8. Ali x = 2 nam ne odgovara u smislu svog domena definicije.
Ukupno, odgovor na prvu logaritamsku jednačinu će biti x = 8. Sada imamo kompetentno, dobro utemeljeno rješenje, uzimajući u obzir domen definicije.
Pređimo na drugu jednačinu:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Dozvolite mi da vas podsjetim da ako u jednadžbi postoji decimalni razlomak, onda biste ga se trebali riješiti. Drugim riječima, prepišimo 0,5 kao običan razlomak. Odmah primjećujemo da se logaritam koji sadrži ovu bazu lako izračunava:
Ovo je veoma važan trenutak! Kada imamo stepene iu bazi iu argumentu, možemo izvesti indikatore ovih stepeni koristeći formulu:
Vratimo se našoj originalnoj logaritamskoj jednadžbi i prepišimo je:
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Dobili smo dizajn prilično blizak kanonskom obliku. Međutim, zbunjeni smo terminima i znakom minus desno od znaka jednakosti. Hajde da predstavimo jedan kao logaritam bazi 5:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Oduzmite logaritme na desnoj strani (u ovom slučaju njihovi argumenti su podijeljeni):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Divno. Tako smo dobili kanonski oblik! Precrtavamo znakove dnevnika i izjednačavamo argumente:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Ovo je proporcija koja se lako može riješiti množenjem unakrsno:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Očigledno, imamo redukovanu kvadratnu jednačinu. Može se lako riješiti korištenjem Vietinih formula:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Imamo dva korena. Ali to nisu konačni odgovori, već samo kandidati, jer logaritamska jednačina zahtijeva i provjeru domena definicije.
Podsjećam vas: nema potrebe tražiti kada svaki argumenata će biti veći od nule. Dovoljno je zahtijevati da jedan argument — bilo x − 9 ili 5/(x − 5) — bude veći od nule. Razmotrite prvi argument:
x − 9 > 0
x > 9
Očigledno, samo x = 10 zadovoljava ovaj zahtjev.Ovo je konačni odgovor. Cijeli problem je riješen.
Još jednom, ključne misli današnje lekcije:
- Čim se varijabla x pojavi u nekoliko logaritama, jednačina prestaje biti elementarna i za nju će se morati izračunati domen definicije. Inače, lako možete napisati dodatne korijene u odgovoru.
- Rad sa samom domenom može se značajno pojednostaviti ako nejednakost ispišemo ne odmah, već tačno u trenutku kada se riješimo log znakova. Na kraju krajeva, kada su argumenti međusobno izjednačeni, dovoljno je zahtijevati da samo jedan od njih bude veći od nule.
Naravno, mi sami biramo koji ćemo argument koristiti za formiranje nejednakosti, pa je logično odabrati najjednostavniji. Na primjer, u drugoj jednačini odabrali smo argument (x − 9) - linearna funkcija, za razliku od razlomka racionalnog drugog argumenta. Slažem se, rješavanje nejednakosti x − 9 > 0 je mnogo lakše od 5/(x − 5) > 0. Iako je rezultat isti.
Ova napomena uvelike pojednostavljuje pretragu za ODZ, ali budite oprezni: možete koristiti jednu nejednakost umjesto dvije samo ako su argumenti tačni su jednake jedna drugoj!
Naravno, neko će se sada zapitati: šta se dešava drugačije? Da, ponekad. Na primjer, u samom koraku, kada pomnožimo dva argumenta koji sadrže varijablu, postoji opasnost od pojave nepotrebnih korijena.
Procijenite sami: prvo je potrebno da svaki od argumenata bude veći od nule, ali nakon množenja dovoljno je da njihov proizvod bude veći od nule. Kao rezultat, slučaj u kojem je svaki od ovih razlomaka negativan je propušten.
Stoga, ako tek počinjete da razumijevate složene logaritamske jednadžbe, ni u kojem slučaju ne množite logaritme koji sadrže varijablu x - to će prečesto dovesti do pojave nepotrebnih korijena. Bolje je napraviti još jedan korak, pomaknuti jedan pojam na drugu stranu i stvoriti kanonski oblik.
Pa, šta učiniti ako ne možete bez množenja takvih logaritama, razgovarat ćemo u sljedećoj video lekciji. :)
Još jednom o snagama u jednadžbi
Danas ćemo ispitati prilično klizavu temu koja se tiče logaritamskih jednačina, tačnije, uklanjanja potencija iz argumenata i baza logaritama.
Čak bih rekao da ćemo govoriti o uklanjanju parnih potencija, jer se kod rješavanja realnih logaritamskih jednačina javlja većina poteškoća.
Počnimo od kanonskog oblika. Recimo da imamo jednačinu oblika log a f (x) = b. U ovom slučaju prepisujemo broj b koristeći formulu b = log a a b . Ispada sledeće:
log a f (x) = log a a b
Zatim izjednačavamo argumente:
f (x) = a b
Pretposljednja formula se zove kanonski oblik. Na to pokušavaju svesti svaku logaritamsku jednadžbu, ma koliko ona na prvi pogled izgledala složena i zastrašujuća.
Pa hajde da probamo. Počnimo s prvim zadatkom:
Preliminarna napomena: kao što sam već rekao, sve decimalne razlomke u logaritamskoj jednadžbi bolje je pretvoriti u obične:
0,5 = 5/10 = 1/2
Prepišimo našu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu. Imajte na umu da su i 1/1000 i 100 potencije desetice, a onda hajde da izvadimo potencije gdje god da su: iz argumenata, pa čak i iz baze logaritama:
I ovdje mnogi studenti imaju pitanje: "Odakle je došao modul sa desne strane?" Zaista, zašto jednostavno ne napisati (x − 1)? Naravno, sada ćemo pisati (x − 1), ali uzimanje u obzir domena definicije daje nam pravo na takvu notaciju. Uostalom, drugi logaritam već sadrži (x − 1), a ovaj izraz mora biti veći od nule.
Ali kada uklonimo kvadrat iz baze logaritma, moramo ostaviti tačno modul u bazi. Dozvolite mi da objasnim zašto.
Činjenica je da je, sa matematičke tačke gledišta, sticanje diplome jednako uzimanju korijena. Konkretno, kada kvadriramo izraz (x − 1) 2, u suštini uzimamo drugi korijen. Ali kvadratni korijen nije ništa više od modula. Upravo modul, jer čak i ako je izraz x − 1 negativan, kada je na kvadrat, “minus” će i dalje izgorjeti. Daljnje vađenje korijena će nam dati pozitivan broj - bez ikakvih minusa.
Općenito, da biste izbjegli uvredljive greške, zapamtite jednom za svagda:
Korijen parnog stepena bilo koje funkcije koja je podignuta na isti stepen jednak je ne samoj funkciji, već njenom modulu:
Vratimo se našoj logaritamskoj jednadžbi. Govoreći o modulu, tvrdio sam da ga možemo ukloniti bezbolno. Istina je. Sada ću objasniti zašto. Strogo govoreći, morali smo razmotriti dvije opcije:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Svaka od ovih opcija bi trebala biti riješena. Ali postoji jedna kvaka: originalna formula već sadrži funkciju (x − 1) bez ikakvog modula. A slijedeći domenu definicije logaritama, imamo pravo odmah napisati da je x − 1 > 0.
Ovaj zahtjev mora biti zadovoljen bez obzira na sve module i druge transformacije koje izvodimo u procesu rješenja. Stoga, nema smisla razmatrati drugu opciju - ona se nikada neće pojaviti. Čak i ako dobijemo neke brojeve prilikom rješavanja ove grane nejednakosti, oni ipak neće biti uključeni u konačni odgovor.
Sada smo doslovno na korak od kanonskog oblika logaritamske jednadžbe. Predstavimo jedinicu na sljedeći način:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Osim toga, u argument uvodimo faktor −4, koji je desno:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe. Riješimo se znaka logaritma:
10 −4 = x − 1
Ali pošto je baza bila funkcija (a ne prost broj), dodatno zahtijevamo da ova funkcija bude veća od nule, a ne jednaka jedinici. Rezultirajući sistem će biti:
Pošto je uslov x − 1 > 0 zadovoljen automatski (na kraju krajeva, x − 1 = 10 −4), jedna od nejednakosti se može izbrisati iz našeg sistema. Drugi uslov se takođe može precrtati, jer je x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Ovo je jedini korijen koji automatski zadovoljava sve zahtjeve domena definicije logaritma (međutim, svi zahtjevi su eliminisani kao očigledno ispunjeni u uslovima našeg problema).
Dakle, druga jednačina:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Po čemu se ova jednačina suštinski razlikuje od prethodne? Ako samo zbog činjenice da baze logaritama - 3x i 9x - nisu prirodni stepeni jedan drugog. Stoga prijelaz koji smo koristili u prethodnom rješenju nije moguć.
Oslobodimo se bar diploma. U našem slučaju, jedini stepen je u drugom argumentu:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Međutim, predznak modula se može ukloniti, jer je i varijabla x u osnovi, tj. x > 0 ⇒ |x| = x. Prepišimo našu logaritamsku jednačinu:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Dobili smo logaritme u kojima su argumenti isti, ali su baze različite. Šta dalje? Ovdje postoji mnogo opcija, ali ćemo razmotriti samo dvije od njih, koje su najlogičnije, i što je najvažnije, to su brze i razumljive tehnike za većinu učenika.
Već smo razmotrili prvu opciju: u bilo kojoj nejasnoj situaciji, pretvoriti logaritme s promjenjivom bazom u neku konstantnu bazu. Na primjer, na dvojku. Formula tranzicije je jednostavna:
Naravno, uloga varijable c treba da bude normalan broj: 1 ≠ c > 0. Neka je u našem slučaju c = 2. Sada imamo pred sobom običnu frakcionu racionalnu jednačinu. Sakupljamo sve elemente na lijevoj strani:
Očigledno, bolje je ukloniti log 2 x faktor, jer je prisutan i u prvoj i u drugoj frakciji.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Svaki dnevnik razbijamo u dva pojma:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Prepišimo obje strane jednakosti uzimajući u obzir ove činjenice:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Sada ostaje samo da unesete dvojku pod znakom logaritma (pretvoriće se u stepen: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Pred nama je klasični kanonski oblik, riješimo se znaka logaritma i dobijemo:
Kao što se i očekivalo, pokazalo se da je ovaj korijen veći od nule. Ostaje provjeriti domen definicije. Pogledajmo razloge:
Ali korijen x = 9 zadovoljava ove zahtjeve. Dakle, to je konačna odluka.
Zaključak iz ovu odluku jednostavno: nemojte se plašiti dugih rasporeda! Samo što smo na samom početku nasumično odabrali novu bazu - i to je značajno zakomplikovalo proces.
Ali onda se postavlja pitanje: šta je osnova optimalno? O tome ću govoriti u drugoj metodi.
Vratimo se našoj prvobitnoj jednadžbi:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Sada razmislimo malo: koji bi broj ili funkcija bila optimalna osnova? Očigledno je da najbolja opcija postojaće c = x - ono što je već u argumentima. U ovom slučaju, formula log a b = log c b /log c a će poprimiti oblik:
Drugim riječima, izraz je jednostavno obrnut. U ovom slučaju, argument i osnova mijenjaju mjesta.
Ova formula je vrlo korisna i vrlo se često koristi u rješavanju složenih logaritamskih jednadžbi. Međutim, postoji jedna vrlo ozbiljna zamka kada koristite ovu formulu. Ako zamijenimo varijablu x umjesto baze, tada se na nju nameću ograničenja koja prethodno nisu poštovana:
U originalnoj jednačini nije bilo takvog ograničenja. Stoga bismo trebali posebno provjeriti slučaj kada je x = 1. Zamijenite ovu vrijednost u našu jednačinu:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Dobijamo tačnu brojčanu jednakost. Stoga je x = 1 korijen. Pronašli smo potpuno isti korijen u prethodnoj metodi na samom početku rješenja.
Ali sada kada smo posebno razmotrili ovaj konkretni slučaj, sa sigurnošću pretpostavljamo da je x ≠ 1. Tada će naša logaritamska jednadžba biti prepisana u sljedećem obliku:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Proširujemo oba logaritma koristeći istu formulu kao i prije. Imajte na umu da je log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x)
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 log x 3 = 1
Tako smo došli do kanonskog oblika:
log x 9 = log x x 1
x=9
Dobili smo drugi korijen. Zadovoljava zahtjev x ≠ 1. Dakle, x = 9 zajedno sa x = 1 je konačni odgovor.
Kao što vidite, obim proračuna se neznatno smanjio. Ali kada se rješava realna logaritamska jednadžba, broj koraka će biti mnogo manji i zato što ne morate svaki korak opisati tako detaljno.
Ključno pravilo današnje lekcije je sljedeće: ako problem sadrži paran stepen, iz kojeg se izdvaja korijen istog stepena, onda će izlaz biti modul. Međutim, ovaj modul se može ukloniti ako obratite pažnju na domenu definicije logaritama.
Ali budite oprezni: nakon ove lekcije većina učenika misli da sve razumije. Ali kada se rješavaju stvarni problemi, oni ne mogu reproducirati cijeli logički lanac. Kao rezultat toga, jednadžba dobiva nepotrebne korijene, a odgovor se ispostavlja netačnim.
Logaritamske jednadžbe. Od jednostavnog do složenog.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta je logaritamska jednačina?
Ovo je jednadžba sa logaritmima. Iznenađen sam, zar ne?) Onda ću pojasniti. Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima unutar logaritma. I samo tamo! Važno je.
Evo nekoliko primjera logaritamske jednačine:
log 3 x = log 3 9
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Pa razumes... )
Bilješka! Locirani su najraznovrsniji izrazi sa X-ovima isključivo unutar logaritma. Ako se iznenada pojavi X negdje u jednadžbi vani, Na primjer:
log 2 x = 3+x,
ovo će biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Usput, postoje jednadžbe gdje su unutar logaritma samo brojevi. Na primjer:
Šta da kažem? Imaš sreće ako naiđeš na ovo! Logaritam sa brojevima je neki broj. To je sve. Za rješavanje takve jednačine dovoljno je poznavati svojstva logaritma. Poznavanje posebnih pravila, tehnika prilagođenih posebno za rješavanje logaritamske jednadžbe, ovdje nije potrebno.
dakle, šta je logaritamska jednačina- Shvatili smo.
Kako riješiti logaritamske jednadžbe?
Rješenje logaritamske jednačine- stvar zapravo nije baš jednostavna. Dakle, naša sekcija je četiri... Potrebna je pristojna količina znanja o svim vrstama srodnih tema. Osim toga, u ovim jednačinama postoji posebna karakteristika. A ova karakteristika je toliko važna da se može sa sigurnošću nazvati glavnim problemom u rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovaj problem ćemo se detaljno pozabaviti u sljedećoj lekciji.
Za sada, ne brini. Ići ćemo pravim putem od jednostavnog do složenog. On konkretni primjeri. Glavna stvar je da se udubite u jednostavne stvari i ne budite lijeni pratiti linkove, stavio sam ih tamo s razlogom... I sve će vam uspjeti. Neophodno.
Počnimo s najelementarnijim, najjednostavnijim jednadžbama. Da biste ih riješili, preporučljivo je imati ideju o logaritmu, ali ništa više. Samo nemam pojma logaritam, doneti odluku logaritamski jednadžbe - nekako čak i nespretne... Vrlo hrabro, rekao bih).
Najjednostavnije logaritamske jednadžbe.
Ovo su jednadžbe oblika:
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2x-3) = log 7 x
3. log 7 (50x-1) = 2
Proces rješenja bilo koja logaritamska jednadžba sastoji se u prijelazu iz jednadžbe s logaritmima u jednačinu bez njih. U najjednostavnijim jednačinama ovaj prijelaz se izvodi u jednom koraku. Zato su i najjednostavniji.)
A takve logaritamske jednačine je iznenađujuće lako riješiti. Uvjerite se sami.
Da riješimo prvi primjer:
log 3 x = log 3 9
Da biste riješili ovaj primjer, ne morate znati gotovo ništa, da... Čisto intuicija!) Šta nam treba posebno ne sviđa vam se ovaj primjer? Šta-šta... Ne volim logaritme! U redu. Pa hajde da ih se rešimo. Pažljivo pogledamo primjer i u nama se javlja prirodna želja... Baš neodoljiva! Uzmite i izbacite logaritme u potpunosti. A ono što je dobro je to Može uradi! Matematika dozvoljava. Logaritmi nestaju odgovor je:
Odlično, zar ne? To se uvijek može (i treba) učiniti. Eliminacija logaritama na ovaj način jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Naravno, postoje pravila za takvu likvidaciju, ali ih je malo. Zapamtite:
Možete bez straha eliminisati logaritme ako imaju:
a) iste numeričke baze
c) logaritmi s lijeva na desno su čisti (bez koeficijenata) i u sjajnoj su izolaciji.
Dozvolite mi da pojasnim poslednju tačku. U jednačini, recimo
log 3 x = 2log 3 (3x-1)
Logaritmi se ne mogu ukloniti. Dvojica sa desne strane to ne dozvoljavaju. Koeficijent, znate... U primjeru
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
Također je nemoguće potencirati jednačinu. Na lijevoj strani nema usamljenog logaritma. Ima ih dvoje.
Ukratko, možete ukloniti logaritme ako jednadžba izgleda ovako i samo ovako:
log a (.....) = log a (.....)
U zagradama, tamo gdje je elipsa, može biti bilo kakvih izraza. Jednostavno, super složeno, sve vrste. Kako god. Bitno je da nam nakon eliminisanja logaritama ostaje jednostavnija jednačina. Pretpostavlja se, naravno, da već znate rješavati linearne, kvadratne, razlomke, eksponencijalne i druge jednadžbe bez logaritama.)
Sada možete lako riješiti drugi primjer:
log 7 (2x-3) = log 7 x
Zapravo, to se odlučuje u umu. Potenciramo, dobijamo:
Pa, je li jako teško?) Kao što vidite, logaritamski dio rješenja jednačine je samo u eliminisanju logaritama... A onda dolazi rješenje preostale jednačine bez njih. Trivijalna stvar.
Rešimo treći primjer:
log 7 (50x-1) = 2
Vidimo da je na lijevoj strani logaritam:
Podsjetimo da je ovaj logaritam broj na koji se baza mora podići (tj. sedam) da bi se dobio sublogaritamski izraz, tj. (50x-1).
Ali ovaj broj je dva! Prema jednadžbi To je:
To je u osnovi sve. Logaritam nestao, Ono što ostaje je bezopasna jednačina:
Ovu logaritamsku jednačinu riješili smo samo na osnovu značenja logaritma. Da li je još lakše eliminisati logaritme?) Slažem se. Usput, ako napravite logaritam od dva, ovaj primjer možete riješiti eliminacijom. Bilo koji broj se može pretvoriti u logaritam. Štaviše, onako kako nam je potrebno. Vrlo korisna tehnika u rješavanju logaritamskih jednačina i (posebno!) nejednačina.
Ne znate kako napraviti logaritam od broja!? Uredu je. Odjeljak 555 detaljno opisuje ovu tehniku. Možete ga savladati i iskoristiti u potpunosti! To uvelike smanjuje broj grešaka.
Četvrta jednačina se rješava na potpuno sličan način (po definiciji):
To je to.
Hajde da rezimiramo ovu lekciju. Na primjerima smo pogledali rješenje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi. To je veoma važno. I ne samo zato što se takve jednadžbe pojavljuju u testovima i ispitima. Činjenica je da se čak i najzlobnije i najkomplikovanije jednadžbe nužno svode na najjednostavnije!
Zapravo, najjednostavnije jednačine su završni dio rješenja bilo koji jednačine. I ovaj završni dio mora se striktno razumjeti! I dalje. Obavezno pročitajte ovu stranicu do kraja. Tu je iznenađenje...)
Sada odlučujemo sami. Hajde da se popravimo, da tako kažem...)
Pronađite korijen (ili zbir korijena, ako ih ima nekoliko) jednadžbi:
ln(7x+2) = ln(5x+20)
log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0,5x-1,5) = 0,25
log 0,2 (3x-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
log 2 (14x) = log 2 7 + 2
Odgovori (naravno u neredu): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.
Šta, ne ide sve? Dešava se. Ne brini! Odjeljak 555 objašnjava rješenje za sve ove primjere na jasan i detaljan način. Tamo ćete sigurno shvatiti. Također ćete naučiti korisne praktične tehnike.
Sve je ispalo!? Svi primjeri "jedan lijevo"?) Čestitamo!
Vrijeme je da vam otkrijem gorku istinu. Uspješno rješavanje ovih primjera ne garantuje uspjeh u rješavanju svih ostalih logaritamskih jednačina. Čak i najjednostavniji poput ovih. Avaj.
Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednadžbe (čak i najelementarnije!) sastoji od dva jednaka dela. Rješavanje jednadžbe i rad sa ODZ-om. Savladali smo jedan dio - rješavanje same jednačine. Nije tako teško zar ne?
Za ovu lekciju posebno sam odabrao primjere u kojima DL ni na koji način ne utiče na odgovor. Ali nisu svi ljubazni kao ja, zar ne?...)
Stoga je imperativ ovladati drugim dijelom. ODZ. Ovo je glavni problem u rješavanju logaritamskih jednačina. I ne zato što je težak - ovaj dio je čak lakši od prvog. Ali zato što ljudi jednostavno zaborave na ODZ. Ili ne znaju. Ili oboje). I padaju iz vedra neba...
U sledećoj lekciji bavićemo se ovim problemom. Tada možete sa sigurnošću odlučiti bilo koji jednostavne logaritamske jednadžbe i pristupaju sasvim solidnim zadacima.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.