Pojednostavljivanje logaritamskih izraza. Računanje logaritama, primjeri, rješenja

Problem B7 daje neki izraz koji treba pojednostaviti. Rezultat bi trebao biti običan broj koji se može zapisati na listu za odgovore. Svi izrazi su konvencionalno podijeljeni u tri tipa:

1. logaritamski,
2. indikativno,
3. Kombinovano.

Eksponencijalni i logaritamski izrazi u svom čistom obliku se praktično nikada ne nalaze. Međutim, poznavanje načina njihovog izračunavanja je apsolutno neophodno.

Generalno, problem B7 je riješen prilično jednostavno i sasvim je u okviru mogućnosti prosječnog diplomca. Nedostatak jasnih algoritama nadoknađuje se njegovom standardizacijom i monotonijom. Takve probleme možete naučiti jednostavno rješavati velika količina obuku.

Logaritamski izrazi

Velika većina B7 problema uključuje logaritme u ovom ili onom obliku. Ova tema se tradicionalno smatra teškom, jer se njeno proučavanje obično odvija u 11. razredu - eri masovne pripreme za završne ispite. Kao rezultat toga, mnogi diplomci imaju vrlo nejasno razumijevanje logaritma.

Ali u ovom zadatku nikome nije potrebna dubina teorijsko znanje. Naići ćemo samo na najjednostavnije izraze koji zahtijevaju jednostavno rezonovanje i koji se lako mogu samostalno savladati. Ispod su osnovne formule koje trebate znati da biste se nosili s logaritmima:

Osim toga, morate biti u mogućnosti zamijeniti korijene i razlomke potencijama s racionalnim eksponentom, inače u nekim izrazima jednostavno neće biti ništa za izvaditi ispod znaka logaritma. Zamjenske formule:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Prva dva izraza se pretvaraju kao razlika logaritama:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Da biste izračunali treći izraz, morat ćete izolirati potencije - iu bazi iu argumentu. Prvo, pronađimo unutrašnji logaritam:

Zatim - eksterno:

Konstrukcije oblika log a log b x mnogima se čine složenim i pogrešno shvaćenim. U međuvremenu, ovo je samo logaritam logaritma, tj. log a (log b x ). Prvo se izračunava unutrašnji logaritam (stavite log b x = c), a zatim eksterni: log a c.

Demonstrativni izrazi

Nazvat ćemo demonstrativno izražavanje bilo koja konstrukcija oblika a k, gdje su brojevi a i k proizvoljne konstante, a a > 0. Metode za rad sa takvim izrazima su prilično jednostavne i o njima se govori u časovima algebre 8. razreda.

Ispod su osnovne formule koje svakako trebate znati. Primjena ovih formula u praksi, po pravilu, ne stvara probleme.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n ) m = a n · m ;
4. (a · b) n = a n · b n;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Ako naiđete na složen izraz sa moćima, a nije jasno kako mu pristupiti, koristite univerzalnu tehniku ​​- dekompoziciju na jednostavne faktore. Kao rezultat veliki brojevi u bazama stepeni su zamenjeni jednostavnim i razumljivim elementima. Tada preostaje samo primijeniti gornje formule - i problem će biti riješen.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Rješenje. Razložimo sve baze potencija na jednostavne faktore:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinovani zadaci

Ako znate formule, onda se svi eksponencijalni i logaritamski izrazi mogu riješiti doslovno u jednom redu. Međutim, u zadatku B7 potencije i logaritmi se mogu kombinovati u prilično jake kombinacije.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Prilikom pretvaranja izraza sa logaritmima, navedene jednakosti se koriste i s desna na lijevo i s lijeva na desno.

Vrijedi napomenuti da nije potrebno pamtiti posljedice svojstava: prilikom izvođenja transformacija možete se snaći s osnovnim svojstvima logaritama i drugim činjenicama (na primjer, činjenicom da je za b≥0), iz čega se slijede odgovarajuće posljedice. " Nus-efekat“Ovaj pristup se manifestuje samo u tome što će rješenje biti malo duže. Na primjer, kako bi se bez posljedica, koje se izražavaju formulom , a počevši samo od osnovnih svojstava logaritama, morat ćete provesti lanac transformacija sljedećeg oblika: .

Isto se može reći i za posljednju osobinu sa gornje liste, na koju odgovara formula , budući da to proizilazi i iz osnovnih svojstava logaritama. Glavna stvar koju treba razumjeti je da je uvijek moguće da stepen pozitivnog broja sa logaritmom u eksponentu zamijeni bazu stepena i broj ispod predznaka logaritma. Iskreno rečeno, napominjemo da su u praksi rijetki primjeri koji impliciraju implementaciju ovakvih transformacija. U nastavku teksta ćemo dati nekoliko primjera.

Pretvaranje numeričkih izraza logaritmima

Zapamtili smo svojstva logaritama, sada je vrijeme da naučimo kako ih primijeniti u praksi za transformaciju izraza. Prirodno je započeti s pretvaranjem numeričkih izraza, a ne izraza s varijablama, jer su prikladniji i lakši za učenje osnova. To je ono što ćemo uraditi, i počećemo sa veoma jednostavni primjeri, naučiti kako odabrati željeno svojstvo logaritma, ali ćemo postupno komplikovati primjere, sve do tačke kada će za dobivanje konačnog rezultata biti potrebno primijeniti nekoliko svojstava za redom.

Odabir željenog svojstva logaritama

Postoji mnogo svojstava logaritama i jasno je da morate biti u mogućnosti da od njih odaberete odgovarajući, što će u ovom konkretnom slučaju dovesti do traženog rezultata. Obično to nije teško učiniti poređenjem tipa konvertovanog logaritma ili izraza sa tipovima levog i desnog dela formula koji izražavaju svojstva logaritma. Ako se lijeva ili desna strana jedne od formula poklapa sa datim logaritmom ili izrazom, tada, najvjerovatnije, to svojstvo treba koristiti tokom transformacije. Sljedeći primjeri to jasno pokazuju.

Počnimo s primjerima transformacije izraza pomoću definicije logaritma, koji odgovara formuli a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Primjer.

Izračunajte, ako je moguće: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Rješenje.

U primjeru ispod slova a) jasno je vidljiva struktura a log a b, gdje je a=5, b=4. Ovi brojevi zadovoljavaju uslove a>0, a≠1, b>0, tako da možete bezbedno koristiti jednakost a log a b =b. Imamo 5 log 5 4=4 .

b) Ovde a=10, b=1+2·π, ispunjeni su uslovi a>0, a≠1, b>0. U ovom slučaju se ostvaruje jednakost 10 log(1+2·π) =1+2·π.

c) U ovom primjeru imamo posla sa stepenom oblika a log a b, gdje je i b=ln15. Dakle .

Uprkos tome što pripada istom tipu a log a b (ovde a=2, b=−7), izraz pod slovom g) ne može se pretvoriti pomoću formule a log a b =b. Razlog je taj što je besmislen jer sadrži negativan broj ispod predznaka logaritma. Štaviše, broj b=−7 ne zadovoljava uslov b>0, što onemogućava pribegavanje formuli a log a b =b, jer zahteva ispunjenje uslova a>0, a≠1, b> 0. Dakle, ne možemo govoriti o izračunavanju vrijednosti 2 log 2 (−7) . U ovom slučaju, pisanje 2 log 2 (−7) =−7 bila bi greška.

Slično, u primjeru pod slovom e) nemoguće je dati rješenje oblika , pošto originalni izraz nema smisla.

odgovor:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) izrazi nemaju smisla.

Često je korisna transformacija predstavljanje pozitivnog broja kao stepena nekog pozitivnog ne-jedinstvenog broja sa logaritmom u eksponentu. Zasniva se na istoj definiciji logaritma a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, ali se formula primjenjuje s desna na lijevo, odnosno u obliku b=a log a b . Na primjer, 3=e ln3 ili 5=5 log 5 5 .

Pređimo na korištenje svojstava logaritama za transformaciju izraza.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Rješenje.

U primjerima pod slovima a), b) i c) dati su izrazi log −2 1, log 1 1, log 0 1, koji nemaju smisla, jer osnova logaritma ne bi trebala sadržavati negativan broj, nula ili jedan, jer smo definirali logaritam samo za bazu koja je pozitivna i različita od jedinice. Stoga, u primjerima a) - c) ne može biti govora o pronalaženju značenja izraza.

U svim ostalim zadacima, očigledno, baze logaritma sadrže pozitivne i ne-jedinstvene brojeve 7, e, 10, 3,75 i 5·π 7, respektivno, a pod predznacima logaritma svuda se nalaze jedinice. I znamo svojstvo logaritma jedinice: log a 1=0 za bilo koje a>0, a≠1. Dakle, vrijednosti izraza b) – e) jednake su nuli.

odgovor:

a), b), c) izrazi nemaju smisla, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Primjer.

Izračunajte: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Rješenje.

Jasno je da moramo koristiti svojstvo logaritma baze, što odgovara formuli log a a=1 za a>0, a≠1. Zaista, u zadacima pod svim slovima, broj pod znakom logaritma poklapa se s njegovom bazom. Stoga bih odmah htio reći da je vrijednost svakog od datih izraza 1. Međutim, ne treba žuriti sa zaključcima: u zadacima pod slovima a) - d) vrijednosti izraza su zaista jednake jedan, a u zadacima e) i f) originalni izrazi nemaju smisla, pa ne može se reći da su vrijednosti ovih izraza jednake 1.

odgovor:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) izrazi nemaju smisla.

Primjer.

Pronađite vrijednost: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Rješenje.

Očigledno, pod znacima logaritma postoje neke potencije baze. Na osnovu ovoga shvatamo da će nam ovde biti potrebno svojstvo stepena baze: log a a p =p, gde je a>0, a≠1 i p bilo koji realan broj. Uzimajući ovo u obzir, imamo sljedeće rezultate: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . Da li je moguće napisati sličnu jednakost za primjer pod slovom d) oblika log −10 (−10) 6 =6? Ne, ne možete, jer izraz log −10 (−10) 6 nema smisla.

odgovor:

a) log 3 3 11 =11, b) , V) , d) izraz nema smisla.

Primjer.

Predstavite izraz kao zbir ili razliku logaritama koristeći istu bazu: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Rješenje.

a) Pod znakom logaritma nalazi se proizvod, a znamo svojstvo logaritma proizvoda log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. U našem slučaju, broj u osnovi logaritma i brojevi u proizvodu su pozitivni, odnosno zadovoljavaju uvjete odabranog svojstva, stoga ga možemo sigurno primijeniti: .

b) Ovdje koristimo svojstvo kvocijentnog logaritma, gdje je a>0, a≠1, x>0, y>0. U našem slučaju, osnova logaritma je pozitivan broj e, brojilac i nazivnik π su pozitivni, što znači da zadovoljavaju uslove svojstva, tako da imamo pravo koristiti odabranu formulu: .

c) Prvo, imajte na umu da izraz log((−5)·(−12)) ima smisla. Ali u isto vrijeme, za njega nemamo pravo primijeniti formulu za logaritam proizvoda log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, pošto su brojevi −5 i −12 – negativni i ne zadovoljavaju uslove x>0, y>0. Odnosno, ne možete izvršiti takvu transformaciju: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Pa šta da radimo? U takvim slučajevima, originalnom izrazu je potrebna preliminarna transformacija kako bi se izbjegli negativni brojevi. O sličnim slučajevima transformacije izraza sa negativni brojevi pod znakom logaritma, detaljno ćemo govoriti u jednom od njih, ali za sada ćemo dati rješenje za ovaj primjer, koji je unaprijed jasan i bez objašnjenja: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

odgovor:

A) , b) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Primjer.

Pojednostavite izraz: a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Rješenje.

Ovdje će nam pomoći sva ista svojstva logaritma proizvoda i logaritma količnika koje smo koristili u prethodnim primjerima, samo što ćemo ih sada primijeniti s desna na lijevo. To jest, pretvaramo zbir logaritama u logaritam proizvoda, a razliku logaritama u logaritam količnika. Imamo
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

odgovor:

A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Primjer.

Riješite se stepena pod znakom logaritma: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Rješenje.

Lako je vidjeti da imamo posla sa izrazima oblika log a b p . Odgovarajuće svojstvo logaritma ima oblik log a b p =p·log a b, gdje je a>0, a≠1, b>0, p - bilo koji realan broj. To jest, ako su ispunjeni uslovi a>0, a≠1, b>0, iz logaritma snage log a b p možemo preći na proizvod p·log a b. Izvršimo ovu transformaciju sa datim izrazima.

a) U ovom slučaju a=0,7, b=5 i p=11. Dakle, log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Ovdje su ispunjeni uslovi a>0, a≠1, b>0. Zbog toga

c) Izraz log 3 (−5) 6 ima istu strukturu log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Ali za b uslov b>0 nije zadovoljen, što onemogućava upotrebu formule log a b p =p·log a b. Pa šta, ne možete da se nosite sa zadatkom? Moguće je, ali je potrebna preliminarna transformacija izraza, o čemu ćemo detaljno raspravljati u nastavku u odlomku pod naslovom. Rješenje će biti ovako: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

odgovor:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Vrlo često, prilikom izvođenja transformacija, formula za logaritam stepena se mora primijeniti s desna na lijevo u obliku p·log a b=log a b p (isti uslovi moraju biti ispunjeni za a, b i p). Na primjer, 3·ln5=ln5 3 i log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Primjer.

a) Izračunajte vrijednost log 2 5 ako je poznato da su log2≈0,3010 i log5≈0,6990. b) Izrazite razlomak kao logaritam na osnovu 3.

Rješenje.

a) Formula za prelazak na novu logaritamsku bazu omogućava nam da ovaj logaritam predstavimo kao omjer decimalnih logaritama, čije su nam vrijednosti poznate: . Ostaje samo da izvršimo proračune, imamo .

b) Ovdje je dovoljno koristiti formulu za prelazak na novu bazu, i primijeniti je s desna na lijevo, odnosno u obliku . Dobijamo .

odgovor:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

U ovoj fazi smo prilično detaljno ispitali transformaciju najjednostavnijih izraza koristeći osnovna svojstva logaritma i definiciju logaritma. U ovim primjerima morali smo primijeniti jedno svojstvo i ništa više. Sada, mirne savjesti, možete prijeći na primjere, čija transformacija zahtijeva korištenje nekoliko svojstava logaritama i drugih dodatnih transformacija. O njima ćemo se pozabaviti u sljedećem paragrafu. Ali prije toga, pogledajmo ukratko primjere primjene posljedica iz osnovnih svojstava logaritama.

Primjer.

a) Riješite se korijena ispod znaka logaritma. b) Pretvorite razlomak u logaritam sa osnovom 5. c) Oslobodite se moći pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi. d) Izračunajte vrijednost izraza . e) Zamijenite izraz sa stepenom sa osnovom 3.

Rješenje.

a) Ako se prisjetimo posljedica iz svojstva logaritma stepena , tada možete odmah dati odgovor: .

b) Ovdje koristimo formulu s desna na lijevo, imamo .

c) U ovom slučaju, formula vodi do rezultata . Dobijamo .

d) I ovdje je dovoljno primijeniti korolar kojem formula odgovara . Dakle .

e) Svojstvo logaritma nam omogućava da postignemo željeni rezultat: .

odgovor:

A) . b) . V) . G) . d) .

Uzastopna primjena nekoliko svojstava

Pravi zadaci transformacije izraza korištenjem svojstava logaritama obično su složeniji od onih kojima smo se bavili u prethodnom paragrafu. Kod njih se rezultat po pravilu ne dobija u jednom koraku, već se rešenje već sastoji u sekvencijalnoj primeni jednog svojstva za drugom, zajedno sa dodatnim identičnim transformacijama, kao što su otvaranje zagrada, dovođenje sličnih članova, smanjenje razlomaka itd. . Pa da se približimo takvim primjerima. U tome nema ništa komplicirano, glavna stvar je postupati pažljivo i dosljedno, poštujući redoslijed akcija.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Rješenje.

Razlika između logaritama u zagradama, prema svojstvu kvocijentnog logaritma, može se zamijeniti logaritmom log 3 (15:5), a zatim izračunati njegovu vrijednost log 3 (15:5)=log 3 3=1. A vrijednost izraza 7 log 7 5 po definiciji logaritma jednaka je 5. Zamjenom ovih rezultata u originalni izraz, dobijamo (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Evo rješenja bez objašnjenja:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

odgovor:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Primjer.

Kolika je vrijednost numeričkog izraza log 3 log 2 2 3 −1?

Rješenje.

Prvo transformiramo logaritam pod znakom logaritma koristeći formulu za logaritam stepena: log 2 2 3 =3. Dakle, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 i onda log 3 3=1. Dakle, log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

odgovor:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Primjer.

Pojednostavite izraz.

Rješenje.

Formula za prelazak na novu logaritamsku bazu omogućava da se omjer logaritama prema jednoj bazi predstavi kao log 3 5. U ovom slučaju, originalni izraz će imati oblik . Po definiciji logaritma 3 log 3 5 =5, tj , a vrijednost rezultirajućeg izraza, na osnovu iste definicije logaritma, jednaka je dva.

Evo kratke verzije rješenja koje se obično daje: .

odgovor:

.

Da bismo glatko prešli na informacije u sljedećem pasusu, pogledajmo izraze 5 2+log 5 3 i log0.01. Njihova struktura ne odgovara nijednom od svojstava logaritma. Pa šta se dešava, oni se ne mogu konvertovati koristeći svojstva logaritama? Moguće je ako izvršite preliminarne transformacije koje pripremaju ove izraze za primjenu svojstava logaritama. Dakle 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, i log0.01=log10 −2 =−2. Zatim ćemo detaljno pogledati kako se izvodi takva priprema izraza.

Priprema izraza za korištenje svojstava logaritama

Logaritmi u izrazu koji se pretvara se vrlo često razlikuju po strukturi zapisa od lijevog i desnog dijela formula koje odgovaraju svojstvima logaritama. Ali ne manje često, transformacija ovih izraza uključuje korištenje svojstava logaritama: njihova upotreba zahtijeva samo preliminarnu pripremu. A ova priprema se sastoji od izvođenja određenih transformacije identiteta, dovodeći logaritme u oblik pogodan za primenu svojstava.

Da budemo pošteni, napominjemo da gotovo svaka transformacija izraza može djelovati kao preliminarne transformacije, od banalne redukcije sličnih pojmova do primjene trigonometrijske formule. To je razumljivo, jer izrazi koji se pretvaraju mogu sadržavati bilo koje matematičke objekte: zagrade, module, razlomke, korijene, potencije, itd. Dakle, mora se biti spreman izvršiti bilo koju neophodnu transformaciju kako bi dalje mogao iskoristiti svojstva logaritama.

Recimo odmah da u ovom trenutku ne postavljamo sebi zadatak da klasifikujemo i analiziramo sve zamislive preliminarne transformacije koje bi nam omogućile da naknadno primenimo svojstva logaritma ili definiciju logaritma. Ovdje ćemo se fokusirati na samo četiri od njih, koji su najtipičniji i najčešće se susreću u praksi.

A sada o svakom od njih detaljno, nakon čega, u okviru naše teme, ostaje samo razumjeti transformaciju izraza s varijablama pod znakovima logaritama.

Identifikacija potencija pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi

Počnimo odmah s primjerom. Hajde da imamo logaritam. Očigledno, u ovom obliku njegova struktura nije pogodna za korištenje svojstava logaritama. Da li je moguće nekako transformisati ovaj izraz da ga pojednostavimo, a još bolje da izračunamo njegovu vrijednost? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, pogledajmo bliže brojeve 81 i 1/9 u kontekstu našeg primjera. Ovdje je lako primijetiti da se ovi brojevi mogu predstaviti kao stepen od 3, zaista, 81 = 3 4 i 1/9 = 3 −2. U ovom slučaju, originalni logaritam je predstavljen u obliku i postaje moguće primijeniti formulu . dakle, .

Analiza analiziranog primjera daje povoda na sljedeću misao: ako je moguće, možete pokušati izolovati stepen pod znakom logaritma iu njegovoj osnovi kako biste primijenili svojstvo logaritma stepena ili njegove posljedice. Ostaje samo shvatiti kako razlikovati ove stupnjeve. Hajde da damo neke preporuke po ovom pitanju.

Ponekad je sasvim očito da broj pod predznakom logaritma i/ili u njegovoj osnovi predstavlja neki cjelobrojni stepen, kao u primjeru koji je gore razmotren. Gotovo konstantno imamo posla sa potencijama dvojke, koje su nam dobro poznate: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Isto se može reći i o moćima trojke: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Generalno, neće škoditi ako imate pred očima tabela stepena prirodnih brojeva u roku od desetak. Također nije teško raditi sa cijelim potencijama deset, sto, hiljada, itd.

Primjer.

Izračunajte vrijednost ili pojednostavite izraz: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Rješenje.

a) Očigledno, 216=6 3, pa log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Tabela stepena prirodnih brojeva vam omogućava da brojeve 343 i 1/243 predstavite kao stepene 7 3 i 3 −4, respektivno. Stoga je moguća sljedeća transformacija datog logaritma:

c) Kako je 0,000001=10 −6 i 0,001=10 −3, onda log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

odgovor:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

U složenijim slučajevima, da biste izolirali potencije brojeva, morate pribjeći.

Primjer.

Pretvorite izraz u više jednostavan pogled log 3 648 log 2 3 .

Rješenje.

Pogledajmo šta je faktorizacija 648:

To jest, 648=2 3 ·3 4. dakle, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Sada pretvaramo logaritam proizvoda u zbir logaritama, nakon čega primjenjujemo svojstva logaritma stepena:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Na osnovu posledica iz svojstva logaritma stepena, što odgovara formuli , proizvod log32·log23 je proizvod , i, kao što je poznato, jednak je jedan. Uzimajući ovo u obzir, dobijamo 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

odgovor:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Vrlo često, izrazi pod znakom logaritma i u njegovoj bazi predstavljaju proizvode ili omjere korijena i/ili potencija nekih brojeva, na primjer, , . Takvi izrazi se mogu izraziti kao moći. Da bi se to postiglo, vrši se prijelaz s korijena na moći, i koriste se i. Ove transformacije omogućavaju da se izoluju stepeni pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi, a zatim se primenjuju svojstva logaritma.

Primjer.

Izračunaj: a) , b) .

Rješenje.

a) Izraz u bazi logaritma je proizvod potencija sa po istoj osnovi, odgovarajućim svojstvom moći koje imamo 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Sada transformirajmo razlomak pod znakom logaritma: preći ćemo iz korijena na stepen, nakon čega ćemo koristiti svojstvo omjera potencija s istim bazama: .

Ostaje zamijeniti dobivene rezultate u originalni izraz, koristiti formulu i završi transformaciju:

b) Pošto je 729 = 3 6 i 1/9 = 3 −2, originalni izraz se može prepisati kao .

Zatim primjenjujemo svojstvo korijena stepena, prelazimo iz korijena na stepen i koristimo svojstvo omjera potencija da pretvorimo bazu logaritma u stepen: .

Razmatrati posljednji rezultat, imamo .

odgovor:

A) , b) .

Jasno je da u opštem slučaju, za dobijanje stepena pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi, mogu biti potrebne različite transformacije različitih izraza. Navedimo par primjera.

Primjer.

Šta znači izraz: a) , b) .

Rješenje.

Dalje napominjemo da dati izraz ima oblik log A B p , gdje je A=2, B=x+1 i p=4. Numerički izrazi Ovaj tip smo transformisali u skladu sa svojstvom logaritma snage log a b p =p·log a b , dakle, sa datim izrazom želim da uradim isto, i idem od log 2 (x+1) 4 do 4·log 2 (x+1) . Sada izračunajmo vrijednost originalnog izraza i izraza dobijenog nakon transformacije, na primjer, kada je x=−2. Imamo log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , i 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- besmislen izraz. Ovo postavlja logično pitanje: "Šta smo pogriješili?"

A razlog je sledeći: izvršili smo transformaciju log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , na osnovu formule log a b p =p·log a b , ali imamo pravo da primenimo ovu formulu samo ako su uslovi a >0, a≠1, b>0, p - bilo koji realan broj. To jest, transformacija koju smo uradili se odvija ako je x+1>0, što je isto kao x>−1 (za A i p, uslovi su ispunjeni). Međutim, u našem slučaju, ODZ varijable x za originalni izraz sastoji se ne samo od intervala x>−1, već i od intervala x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Potreba da se uzme u obzir DL

Nastavimo da analiziramo transformaciju izraza koji smo odabrali log 2 (x+1) 4 , a sada da vidimo šta se dešava sa ODZ-om kada pređemo na izraz 4 · log 2 (x+1) . U prethodnom pasusu smo pronašli ODZ originalnog izraza - ovo je skup (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Sada pronađimo raspon prihvatljivih vrijednosti varijable x za izraz 4·log 2 (x+1) . Određuje se uslovom x+1>0, koji odgovara skupu (−1, +∞). Očigledno je da se pri prelasku sa log 2 (x+1) 4 na 4·log 2 (x+1), raspon dozvoljenih vrijednosti sužava. I dogovorili smo se da izbjegavamo transformacije koje dovode do sužavanja DL, jer to može dovesti do raznih negativnih posljedica.

Ovdje je vrijedno napomenuti da je korisno kontrolirati OA u svakom koraku transformacije i spriječiti njegovo sužavanje. A ako je odjednom u nekoj fazi transformacije došlo do sužavanja DL, onda je vrijedno pažljivo pogledati da li je ova transformacija dopuštena i da li smo imali pravo da je izvršimo.

Da budemo pošteni, recimo da u praksi obično moramo raditi s izrazima u kojima je vrijednost promjenljive varijabli takva da, prilikom izvođenja transformacija, možemo koristiti svojstva logaritama bez ograničenja u obliku koji nam je već poznat, oba s lijeva na desno i s desna na lijevo. Na to se brzo naviknete i transformacije počinjete izvoditi mehanički, ne razmišljajući o tome da li ih je moguće izvesti. I u takvim trenucima, srećom, provlače se složeniji primjeri u kojima nepažljiva primjena svojstava logaritama dovodi do grešaka. Zato morate uvijek biti na oprezu i paziti da ne dođe do sužavanja ODZ-a.

Ne bi škodilo da se posebno istaknu glavne transformacije zasnovane na svojstvima logaritama, koje se moraju provesti vrlo pažljivo, što može dovesti do sužavanja OD-a, a kao rezultat - i do grešaka:

Neke transformacije izraza zasnovane na svojstvima logaritama mogu dovesti i do suprotnog - proširenja ODZ-a. Na primjer, prijelaz sa 4·log 2 (x+1) na log 2 (x+1) 4 proširuje ODZ iz skupa (−1, +∞) na (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Takve transformacije se dešavaju ako ostanemo u okvirima ODZ-a za izvorni izraz. Tako se upravo spomenuta transformacija 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 odvija na ODZ-u varijable x za originalni izraz 4·log 2 (x+1), tj. x+1> 0, što je isto kao (−1, +∞).

Sada kada smo razgovarali o nijansama na koje morate obratiti pažnju kada transformirate izraze s varijablama koristeći svojstva logaritama, ostaje da shvatimo kako ispravno izvršiti ove transformacije.

X+2>0 . Da li radi u našem slučaju? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, pogledajmo ODZ varijable x. Određuje se sistemom nejednakosti , što je ekvivalentno uslovu x+2>0 (ako je potrebno, pogledajte članak rješavanje sistema nejednačina). Dakle, možemo bezbedno primeniti svojstvo logaritma stepena.

Imamo
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Možete postupiti drugačije, jer vam ODZ to dozvoljava, na primjer ovako:

odgovor:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Ali što učiniti kada uvjeti koji prate svojstva logaritama nisu ispunjeni u ODZ-u? To ćemo razumjeti na primjerima.

Neka se od nas traži da pojednostavimo izraz log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Transformacija ovog izraza, za razliku od izraza iz prethodnog primjera, ne dozvoljava slobodno korištenje svojstva logaritma stepena. Zašto? ODZ varijable x u ovom slučaju je unija dva intervala x>−2 i x<−2 . При x>−2 lako možemo primijeniti svojstvo logaritma stepena i ponašati se kao u gornjem primjeru: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Ali ODZ sadrži još jedan interval x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 i dalje zbog svojstava stepena k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Rezultirajući izraz se može transformirati korištenjem svojstva logaritma stepena, budući da je |x+2|>0 za bilo koju vrijednost varijable. Imamo log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Sada se možete osloboditi modula, pošto je obavio svoj posao. Budući da provodimo transformaciju na x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Pogledajmo još jedan primjer kako bi vam rad s modulima postao poznat. Hajde da zamislimo iz izraza idemo na zbir i razliku logaritama linearnih binoma x−1, x−2 i x−3. Prvo nalazimo ODZ:

Na intervalu (3, +∞) vrijednosti izraza x−1, x−2 i x−3 su pozitivne, tako da lako možemo primijeniti svojstva logaritma zbira i razlike:

A na intervalu (1, 2) vrijednosti izraza x−1 su pozitivne, a vrijednosti izraza x−2 i x−3 negativne. Dakle, na razmatranom intervalu predstavljamo x−2 i x−3 koristeći modul kao −|x−2| i −|x−3| respektivno. Gde

Sada možemo primijeniti svojstva logaritma proizvoda i količnika, budući da su na razmatranom intervalu (1, 2) vrijednosti izraza x−1 , |x−2| i |x−3| - pozitivno.

Imamo

Dobijeni rezultati se mogu kombinovati:

Općenito, slično razmišljanje omogućava, na osnovu formula za logaritam proizvoda, omjera i stepena, da se dobiju tri praktično korisna rezultata, koja su prilično zgodna za korištenje:

• Logaritam proizvoda dva proizvoljna izraza X i Y oblika log a (X·Y) može se zamijeniti zbirom logaritama log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• Logaritam određenog oblika log a (X:Y) može se zamijeniti razlikom logaritama log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X i Y su proizvoljni izrazi.
• Od logaritma nekog izraza B na parni stepen p oblika log a B p možemo preći na izraz p·log a |B| , gdje je a>0, a≠1, p paran broj, a B proizvoljan izraz.

Slični rezultati su dati, na primjer, u uputama za rješavanje eksponencijalnih i logaritamske jednačine u zbirci zadataka iz matematike za one koji upisuju univerzitete, koju je uredio M. I. Skanavi.

Primjer.

Pojednostavite izraz .

Rješenje.

Bilo bi dobro primijeniti svojstva logaritma stepena, zbira i razlike. Ali možemo li ovo uraditi ovdje? Da bismo odgovorili na ovo pitanje moramo poznavati DZ.

Hajde da ga definišemo:

Sasvim je očigledno da izrazi x+4, x−2 i (x+4) 13 u opsegu dozvoljenih vrednosti varijable x mogu poprimiti i pozitivne i negativne vrednosti. Stoga ćemo morati djelovati kroz module.

Svojstva modula vam omogućavaju da ga prepišete kao , so

Također, ništa vas ne sprječava da koristite svojstvo logaritma stepena, a zatim donesete slične pojmove:

Drugi niz transformacija dovodi do istog rezultata:

a pošto na ODZ izraz x−2 može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, onda kada se uzme paran eksponent 14

Jedan od elemenata primitivne algebre nivoa je logaritam. Ime dolazi iz grčkog jezika od riječi "broj" ili "moć" i označava snagu na koju se broj u bazi mora podići da bi se pronašao konačni broj.

Vrste logaritama

• log a b – logaritam broja b prema bazi a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – decimalni logaritam (logaritam na osnovu 10, a = 10);
• ln b – prirodni logaritam (logaritam prema bazi e, a = e).

Kako riješiti logaritme?

Logaritam od b prema bazi a je eksponent koji zahtijeva da se b podigne na bazu a. Dobijeni rezultat se izgovara ovako: "logaritam od b prema bazi a." Rješenje logaritamski problemi je da treba da odredite dati stepen brojevima na osnovu navedenih brojeva. Postoje neka osnovna pravila za određivanje ili rješavanje logaritma, kao i za pretvaranje same notacije. Koristeći ih, rješavaju se logaritamske jednadžbe, pronalaze derivati, rješavaju integrali i izvode mnoge druge operacije. U osnovi, rješenje samog logaritma je njegova pojednostavljena notacija. Ispod su osnovne formule i svojstva:

Za bilo koji a ; a > 0; a ≠ 1 i za bilo koji x ; y > 0.

• a log a b = b – osnovni logaritamski identitet
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , za k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formula za prelazak na novu bazu
• log a x = 1/log x a

Kako riješiti logaritme - upute korak po korak za rješavanje

• Prvo zapišite traženu jednačinu.

Napomena: ako je osnovni logaritam 10, unos se skraćuje, što rezultira decimalnim logaritmom. Ako vredi prirodni broj e, onda ga zapisujemo, skraćujući ga na prirodni logaritam. To znači da je rezultat svih logaritama snaga na koju se podiže osnovni broj da bi se dobio broj b.

Direktno, rješenje leži u izračunavanju ovog stepena. Prije rješavanja izraza logaritmom, on se mora pojednostaviti prema pravilu, odnosno korištenjem formula. Glavne identitete možete pronaći ako se malo vratite u članak.

Kada sabirate i oduzimate logaritme sa dva različita broja, ali sa istim osnovama, zamijenite jednim logaritmom sa umnoškom ili podjelom brojeva b i c, respektivno. U tom slučaju možete primijeniti formulu za prelazak na drugu bazu (vidi gore).

Ako koristite izraze za pojednostavljenje logaritma, postoje neka ograničenja koja treba uzeti u obzir. A to je: osnova logaritma a je samo pozitivan broj, ali nije jednako jedan. Broj b, kao i a, mora biti veći od nule.

Postoje slučajevi u kojima, pojednostavljivanjem izraza, nećete moći numerički izračunati logaritam. Dešava se da takav izraz nema smisla, jer su mnoge potencije iracionalni brojevi. Pod ovim uslovom ostavite stepen broja kao logaritam.

Slijedi iz njegove definicije. I tako logaritam broja b na osnovu A definira se kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x=log a b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b na osnovu a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritama usko povezana sa temom stepena broja.

Sa logaritmima, kao i sa svakim brojevima, možete operacije sabiranja, oduzimanja i transformisati na svaki mogući način. Ali zbog činjenice da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede njihova posebna pravila, koja se nazivaju glavna svojstva.

Sabiranje i oduzimanje logaritama.

Uzmimo dva logaritma sa istim osnovama: log a x I log a y. Tada je moguće izvršiti operacije sabiranja i oduzimanja:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

Od logaritamski kvocijent teorema Može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Opšte je poznato da log a 1= 0, dakle

log a 1 /b=log a 1 - log a b= - log a b.

To znači da postoji jednakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi dva recipročna broja iz istog razloga će se međusobno razlikovati isključivo po znaku. dakle:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.