Simetrale su proporcionalni segmenti. Koja je simetrala trougla: svojstva vezana za omjer stranica

Teorema. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.

Dokaz. Posmatrajmo trougao ABC (Sl. 259) i simetralu njegovog ugla B. Kroz vrh C povuci pravu liniju CM, paralelnu sa simetralom BC, sve dok se u tački M ne siječe sa nastavkom stranice AB. Budući da je BK simetrala kuta ABC, onda . Nadalje, kao odgovarajući uglovi za paralelne prave, i kao poprečni uglovi za paralelne prave. Stoga i stoga - jednakokraki, odakle . Po teoremi o paralelnim linijama koje sijeku strane kuta, imamo i u pogledu dobijamo , što smo trebali dokazati.

Simetrala spoljašnjeg ugla B trougla ABC (slika 260) ima slično svojstvo: segmenti AL i CL od vrhova A i C do tačke L preseka simetrale sa nastavkom stranice AC proporcionalni su stranice trougla:

Ovo svojstvo se dokazuje na isti način kao i prethodno: na sl. 260 povučena je pomoćna prava SM paralelna simetrali BL. Čitalac će se i sam uvjeriti u jednakost uglova VMS i VSM, a time i stranica VM i BC trougla VMS, nakon čega će se odmah dobiti tražena proporcija.

Možemo reći da simetrala vanjskog ugla dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama; samo treba da se složite da dozvolite “vanjsku podjelu” segmenta.

Tačka L koja leži izvan segmenta AC (na njegovom nastavku) dijeli ga spolja u odnosu ako je Dakle, simetrale ugla trougla (unutrašnja i spoljašnja) dele suprotnu stranu (unutrašnju i spoljašnju) na delove proporcionalne susednim stranicama.

Zadatak 1. Stranice trapeza su jednake 12 i 15, osnovice su jednake 24 i 16. Nađi stranice trougla formiranog od velike osnove trapeza i njegovih proširenih stranica.

Rješenje. U notaciji na sl. 261 imamo proporciju za odsječak koji služi kao nastavak bočne stranice iz koje lako nalazimo.Na sličan način određujemo drugu bočnu stranu trokuta.Treća stranica se poklapa sa velikom bazom: .

Zadatak 2. Osnove trapeza su 6 i 15. Kolika je dužina segmenta koji je paralelan sa osnovama i deli stranice u odnosu 1:2, računajući od vrhova male osnove?

Rješenje. Okrenimo se Sl. 262, koji prikazuje trapez. Kroz vrh C male baze povlačimo liniju paralelnu sa stranicom AB, odsijecajući paralelogram od trapeza. Od , onda odavde nalazimo . Dakle, cijeli nepoznati segment KL jednak je Napomena da za rješavanje ovog problema ne trebamo poznavati bočne strane trapeza.

Zadatak 3. Simetrala unutrašnjeg ugla B trougla ABC seče stranu AC na segmente na kojoj udaljenosti od vrhova A i C će simetrala spoljašnjeg ugla B preseći produžetak AC?

Rješenje. Svaka simetrala ugla B dijeli AC u istom omjeru, ali jedna unutra, a druga spolja. Označimo sa L točku presjeka nastavka AC i simetrale vanjskog ugla B. Pošto je AK ​​Označimo do tada nepoznatu udaljenost AL i imat ćemo proporciju čije rješenje nam daje traženu udaljenost

Dovršite crtež sami.

Vježbe

1. Trapez sa osnovama 8 i 18 podijeljen je pravim linijama paralelnim sa osnovama na šest traka jednake širine. Nađite dužine pravih segmenata koji dijele trapez na trake.

2. Obim trougla je 32. Simetrala ugla A dijeli stranicu BC na dijelove jednake 5 i 3. Nađi dužine stranica trougla.

3. Baza jednakokraki trougao jednaka a, stranica b. Odredite dužinu segmenta koji povezuje tačke preseka simetrala uglova baze sa stranicama.

Geometrija je jedna od najsloženijih i najzbunjujućih nauka. U njemu se ono što se na prvi pogled čini očiglednim vrlo rijetko ispostavi da je tačno. Simetrale, visine, medijane, projekcije, tangente - ogroman broj zaista teških pojmova, koje je vrlo lako zbuniti.

U stvari, uz pravu želju, možete razumjeti teoriju bilo koje složenosti. Kada su u pitanju simetrale, medijane i visine, morate shvatiti da oni nisu jedinstveni za trouglove. Na prvi pogled, ovo su jednostavne linije, ali svaka od njih ima svoja svojstva i funkcije, čije poznavanje uvelike pojednostavljuje rješenje geometrijski problemi. Dakle, šta je simetrala trougla?

Definicija

Sam izraz "simetrala" dolazi od kombinacije latinskih riječi "dva" i "rezati", "rezati", što indirektno ukazuje na njegova svojstva. Obično, kada se djeca upoznaju s ovim zrakom, dobiju kratku frazu koju treba zapamtiti: “Simetrala je štakor koji trči oko uglova i dijeli ugao na pola.” Naravno, takvo objašnjenje nije prikladno za starije školarce, a osim toga, obično se pitaju ne o kutu, već o geometrijskoj figuri. Dakle, simetrala trougla je zraka koja povezuje vrh trougla sa suprotnom stranom, dok ugao dijeli na dva jednaka dijela. Tačka na suprotnoj strani na koju dolazi simetrala bira se nasumično za proizvoljan trokut.

Osnovne funkcije i svojstva

Ova greda ima nekoliko osnovnih svojstava. Prvo, pošto simetrala trougla deli ugao na pola, svaka tačka koja leži na njemu biće jednako udaljena od stranica koje čine vrh. Drugo, u svakom trokutu možete nacrtati tri simetrale, prema broju dostupnih uglova (dakle, u istom četvorouglu će ih već biti četiri, i tako dalje). Tačka u kojoj se sijeku sve tri zrake je centar kružnice upisane u trokut.

Svojstva postaju složenija

Hajde da malo zakomplikujemo teoriju. Još jedno zanimljivo svojstvo: simetrala ugla trougla dijeli suprotnu stranu na segmente, čiji je omjer jednak omjeru stranica koje čine vrh. Na prvi pogled, ovo je komplikovano, ali zapravo je sve jednostavno: na predloženoj slici, RL: LQ = PR: PK. Inače, ovo svojstvo nazvano je "Teorema simetrale" i prvi put se pojavilo u djelima starogrčkog matematičara Euklida. To se u jednom od ruskih udžbenika setilo tek u prvoj četvrtini XVII veka.

Malo je komplikovanije. U četverokutu simetrala odsijeca jednakokraki trokut. Ova slika prikazuje sve jednake uglove za srednji AF.

A u četverokutima i trapezima simetrale jednostranih uglova su okomite jedna na drugu. Na prikazanom crtežu ugao APB je 90 stepeni.

U jednakokračnom trouglu

Simetrala jednakokračnog trougla je mnogo korisnija zraka. To je istovremeno ne samo djelitelj ugla na pola, već i medijana i visina.

Medijan je segment koji dolazi iz nekog ugla i pada na sredinu suprotne strane, dijeleći ga na jednake dijelove. Visina je okomica koja se spušta od vrha na suprotnu stranu; uz nju se svaki problem može svesti na jednostavnu i primitivnu Pitagorinu teoremu. U ovoj situaciji, simetrala trokuta jednaka je korijenu razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka. Inače, ovo svojstvo se najčešće susreće u geometrijskim problemima.

Za konsolidaciju: u ovom trouglu, simetrala FB je medijana (AB = BC) i visina (uglovi FBC i FBA su 90 stepeni).

U obrisima

Dakle, šta treba da zapamtite? Simetrala trougla je zraka koja deli njegov vrh. Na presjeku tri zraka nalazi se centar kružnice upisan u ovaj trokut (jedini nedostatak ovog svojstva je što nema praktičnu vrijednost i služi samo za kompetentno izvođenje crteža). Također dijeli suprotnu stranu na segmente, čiji je omjer jednak omjeru strana između kojih je ovaj zrak prošao. U četvorouglu svojstva postaju malo komplikovanija, ali se, doduše, praktički ne pojavljuju u problemima na nivou škole, pa se obično ne dotiču u programu.

Simetrala jednakokračnog trougla je krajnji san svakog učenika. To je i medijana (odnosno, dijeli suprotnu stranu na pola) i visina (okomita na tu stranu). Rješavanje problema s takvom simetralom svodi se na Pitagorinu teoremu.

Poznavanje osnovnih funkcija simetrale, kao i njenih osnovnih svojstava, neophodno je za rješavanje geometrijskih zadataka kako prosjeka tako i visoki nivo teškoće. Zapravo, ovaj zrak se nalazi samo u planimetriji, tako da se ne može reći da će vam pamćenje informacija o njemu omogućiti da se nosite sa svim vrstama zadataka.

Simetrala trougla je segment koji dijeli ugao trougla na dva jednaka ugla. Na primjer, ako je ugao trokuta 120 0, onda ćemo crtanjem simetrale konstruisati dva ugla od po 60 0.

A pošto u trouglu postoje tri ugla, mogu se nacrtati tri simetrale. Svi imaju jednu graničnu tačku. Ova tačka je centar kružnice upisane u trokut. Na drugi način, ova tačka preseka se naziva središte trougla.

Kada se sijeku dvije simetrale unutrašnjeg i vanjskog ugla, dobije se ugao od 90 0. Vanjski ugao u trouglu je ugao koji graniči sa unutrašnjim uglom trougla.

Rice. 1. Trokut koji sadrži 3 simetrale

Simetrala dijeli suprotnu stranu na dva segmenta koji su povezani sa stranicama:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Simetrale su jednako udaljene od stranica ugla, što znači da su na istoj udaljenosti od stranica ugla. Odnosno, ako iz bilo koje točke simetrale ispustimo okomice na svaku od strana kuta trokuta, tada će te okomite biti jednake.

Ako povučete medijan, simetralu i visinu iz jednog vrha, tada će medijana biti najduži segment, a visina najkraća.

Neka svojstva simetrale

U određenim vrstama trouglova simetrala ima posebna svojstva. Ovo se prvenstveno odnosi na jednakokraki trougao. Ova figura ima dvije identične strane, a treća se zove baza.

Ako povučete simetralu iz vrha ugla jednakokračnog trougla do osnove, tada će ona imati svojstva visine i medijane. Prema tome, dužina simetrale poklapa se sa dužinom medijane i visine.

definicije:

• Visina- okomicu povučenu iz vrha trougla na suprotnu stranu.
• Medijan– segment koji spaja vrh trougla i sredinu suprotne stranice.

Rice. 2. Simetrala u jednakokračnom trouglu

Ovo važi i za jednakostranični trougao, odnosno trougao u kome su sve tri strane jednake.

Primjer zadatka

U trouglu ABC: BR je simetrala, sa AB = 6 cm, BC = 4 cm i RC = 2 cm. Oduzmite dužinu treće stranice.

Rice. 3. Simetrala u trouglu

Rješenje:

Simetrala dijeli stranicu trokuta u određenom omjeru. Iskoristimo ovu proporciju i izrazimo AR. Tada ćemo pronaći dužinu treće stranice kao zbir segmenata na koje je ova stranica podijeljena simetralom.

• $(AB\preko(BC)) = (AR\preko(RC))$
• $RC=(6\preko(4))*2=3 cm$

Tada je cijeli segment AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Ukupno primljenih ocjena: 107.

Trougao je mnogougao sa tri strane, ili zatvorena izlomljena linija sa tri karike, ili lik formiran od tri segmenta koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji (vidi sliku 1).

Osnovni elementi trougla abc

Vrhovi – tačke A, B i C;

Zabave – segmenti a = BC, b = AC i c = AB koji spajaju vrhove;

Uglovi – α, β, γ formirana od tri para stranica. Uglovi se često označavaju na isti način kao i vrhovi, sa slovima A, B i C.

Ugao koji čine stranice trougla i koji leži u njegovoj unutrašnjoj površini naziva se unutrašnji ugao, a onaj koji mu se graniči je susedni ugao trougla (2, str. 534).

Visine, medijane, simetrale i srednje linije trougla

Pored glavnih elemenata u trouglu, razmatraju se i drugi segmenti sa zanimljivim svojstvima: visine, medijane, simetrale i srednje linije.

Visina

Visine trougla- to su okomite spuštene sa vrhova trougla na suprotne strane.

Da biste iscrtali visinu, morate izvršiti sljedeće korake:

1) nacrtati pravu liniju koja sadrži jednu od stranica trougla (ako je visina povučena iz temena oštrog ugla u tupouglom trouglu);

2) iz vrha koji leži nasuprot nacrtanoj liniji, nacrtajte segment od tačke do ove linije, čineći s njim ugao od 90 stepeni.

Tačka u kojoj visina siječe stranicu trougla naziva se visina osnove (vidi sliku 2).

Svojstva visina trougla

U pravokutnom trokutu, visina povučena iz vrha pravi ugao, dijeli ga na dva trokuta slična originalnom trokutu.

U oštrom trouglu, njegove dvije visine odsijecaju slične trouglove od njega.

Ako je trokut oštar, tada sve osnovice visina pripadaju stranicama trokuta, a u tupouglom trokutu dvije visine padaju na nastavak stranica.

Tri visine oštar trougao seku u jednoj tački i ova tačka se zove ortocentar trougao.

Medijan

Medijani(od latinskog mediana - "sredina") - to su segmenti koji povezuju vrhove trougla sa sredinama suprotnih strana (vidi sliku 3).

Da biste konstruirali medijanu, morate izvršiti sljedeće korake:

1) pronaći sredinu stranice;

2) spoji tačku koja je sredina stranice trougla sa suprotnim vrhom segmentom.

Svojstva medijana trougla

Medijan dijeli trokut na dva trougla jednake površine.

Medijane trougla se sijeku u jednoj tački, koja svaku od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrha. Ova tačka se zove centar gravitacije trougao.

Cijeli trokut podijeljen je svojim medijanama na šest jednakih trouglova.

Simetrala

Simetrale(od latinskog bis - dvaput i seko - rez) su pravi segmenti zatvoreni unutar trougla koji dijele njegove uglove (vidi sliku 4).

Da biste konstruirali simetralu, morate izvršiti sljedeće korake:

1) konstruisati zrak koji izlazi iz vrha ugla i deli ga na dva jednaka dela (simetrala ugla);

2) naći tačku preseka simetrale ugla trougla sa suprotnom stranom;

3) izaberite segment koji povezuje vrh trougla sa tačkom preseka na suprotnoj strani.

Svojstva simetrala trougla

Simetrala ugla trougla dijeli suprotnu stranu u omjeru jednakom omjeru dviju susjednih stranica.

Simetrale unutrašnjih uglova trougla seku se u jednoj tački. Ova tačka se naziva središte upisane kružnice.

Simetrale unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla su okomite.

Ako simetrala vanjskog ugla trougla siječe produžetak suprotne stranice, tada je ADBD=ACBC.

Simetrale jednog unutrašnjeg i dva vanjska ugla trougla seku se u jednoj tački. Ova tačka je centar jedne od tri tačke excircles ovaj trougao.

Osnove simetrala dva unutrašnja i jednog vanjskog ugla trougla leže na istoj pravoj liniji ako simetrala vanjskog ugla nije paralelna sa suprotnom stranom trougla.

Ako simetrale vanjskih uglova trokuta nisu paralelne sa suprotnim stranama, tada njihove osnove leže na istoj pravoj liniji.

Sorokina Vika

Dati su dokazi svojstva simetrale trokuta i razmatrana je primjena teorije na rješavanje problema

Skinuti:

Pregled:

Odbor za obrazovanje uprave Saratov, Oktjabrski okrug općinske autonomne obrazovne ustanove Licej br. 3 nazvan po. A. S. Puškin.

Opštinska naučno-praktična

konferencija

"Prvi koraci"

Predmet: Simetrala i njena svojstva.

Rad uradio: učenik 8.razreda

Sorokina VictoriaNaučni rukovodilac: Nastavnik matematike najviše kategorijePopova Nina Fedorovna.

Saratov 2011

1. Naslovna stranica……………………………………………………………1
2. Sadržaj…………………………………………………………………2
3. Uvod i ciljevi……………………………………………………………………..3
4. Razmatranje svojstava simetrale

• Treći lokus tačaka………………………………….3
• Teorema 1…………………………………………………………………………...4
• Teorema 2…………………………………………………………………………4
• Glavno svojstvo simetrale trougla:

1. Teorema 3…………………………………………………………………………...4
2. Zadatak 1………………………………………………………………………… ….7
3. Zadatak 2………………………………………………………………………….8
4. Zadatak 3…………………………………………………………………………...9
5. Zadatak 4……………………………………………………………………….9-10

• Teorema 4………………………………………………………10-11
• Formule za pronalaženje simetrale:

1. Teorema 5………………………………………………………………………….11
2. Teorema 6………………………………………………………………………….11
3. Teorema 7………………………………………………………………………….12
4. Zadatak 5……………………………………………………………………12-13

• Teorema 8………………………………………………………………………….13
• Zadatak 6………………………………………………………………………….14
• Zadatak 7…………………………………………………………………………14-15
• Određivanje kardinalnih pravaca pomoću simetrale………………15

1. Zaključak i zaključak…………………………………………………………………..15
2. Spisak referenci………………………………………………..16

Simetrala

Na času geometrije, proučavajući temu sličnih trouglova, naišao sam na problem o teoremi o odnosu simetrale prema suprotnim stranicama. Čini se da bi moglo biti nečeg zanimljivog u temi simetrale, ali ova tema me je zainteresirala i htio sam je proučiti dublje. Uostalom, simetrala je vrlo bogata svojim nevjerovatnim svojstvima koja pomažu u rješavanju raznih problema.

Kada budete razmatrali ovu temu, primijetit ćete da udžbenici geometrije vrlo malo govore o svojstvima simetrale, ali na ispitima, poznavajući ih, možete mnogo lakše i brže rješavati zadatke. Osim toga, da bi položili GIA i Jedinstvene državne ispite, moderni studenti moraju sami učiti Dodatni materijališkolskom planu i programu. Zato sam odlučio detaljnije proučiti temu simetrale.

Simetrala (od latinskog bi- "dvostruko" i sectio "rezanje") ugla je zraka s početkom u vrhu ugla, koja dijeli ugao na dva jednaka dijela. Simetrala ugla (zajedno sa njegovom produžetkom) je geometrijsko mjesto tačaka jednako udaljenih od stranica ugla (ili njihovih produžetaka)

Treći lokus tačaka

Slika F je lokus tačaka (skup tačaka) koji imaju neko svojstvo A, ako su ispunjena dva uslova:

1. iz činjenice da tačka pripada figuri F, proizilazi da ima imovinu A;
2. iz činjenice da tačka zadovoljava svojstvo A, proizilazi da pripada figuri F.

Prvo mjesto tačaka koje se razmatraju u geometriji je kružnica, tj. lokus tačaka jednako udaljenih od jedne fiksne tačke. Drugi je okomita simetrala segmenta, tj. lokus tačaka jednako udaljenih od kraja segmenta. I konačno, treća - simetrala - geometrijski lokus tačaka jednako udaljenih od strana ugla

Teorema 1:

Simetrale su jednako udaljene od stranica on je u uglu.

dokaz:

Neka R - simetrala A. Hajdemo s temeP okomice RV and PC na stranama ugla. Tada je VAR = SAR hipotenuzom i oštrim uglom. Dakle, PB = PC

Teorema 2:

Ako je tačka P jednako udaljena od stranica ugla A, onda leži na simetrali.

Dokaz: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR je simetrala.

Među osnovnim geometrijskim činjenicama je teorema da simetrala dijeli suprotnu stranu u odnosu na suprotne stranice. Ova činjenica je dugo ostala u sjeni, ali posvuda ima problema koje je mnogo lakše riješiti ako znate ovu i druge činjenice o simetrali. Zainteresovao sam se i odlučio da dalje istražim ovo svojstvo simetrale.

Glavno svojstvo simetrale ugla trougla

Teorema 3. Simetrala dijeli suprotnu stranu trougla u odnosu na susjedne stranice.

Dokaz 1:

Dato: AL - simetrala trougla ABC

dokazati:

Dokaz: Neka je F tačka preseka linije AL i prava koja prolazi kroz tačku IN paralelno sa AC stranom.

Tada je BFA = FAC = BAF. Stoga, B.A.F. jednakokraki i AB = BF. Iz sličnosti trouglova Imamo ALC i FLB

odnos

gdje

Dokazi 2

Neka je F tačka koju sijeku prava AL i prava linija koja prolazi kroz tačku C paralelnu sa bazom AB. Zatim možete ponoviti obrazloženje.

Dokazi 3

Neka su K i M osnove okomica spuštenih na pravu AL iz tačaka B i C respektivno. Trokuti ABL i ACL su slični pod dva ugla. Zbog toga
. A iz sličnosti BKL i CML imamo

Odavde

Dokaz 4

Koristimo metodu površine. Izračunajmo površine trouglova ABL i ACL dva načina.

Odavde.

Dokazi 5

Neka je α= VI,φ= BLA. Po teoremi sinusa u trouglu ABL

I u trouglu ACL.

jer ,

Zatim, dijeleći obje strane jednakosti na odgovarajuće dijelove druge, dobivamo.

Problem 1

Dato: U trouglu ABC, VC je simetrala, BC = 2, KS = 1,

Rješenje:

Problem 2

Dato:

Nađi simetrale oštri uglovi pravougaonog trougla sa nogama 24 i 18

Rješenje:

Neka je strana AC = 18, strana BC = 24,

A.M. - simetrala trougla.

Koristeći Pitagorinu teoremu nalazimo,

da je AB = 30.

Od tada

Na sličan način pronađimo drugu simetralu.

odgovor:

Problem 3

U pravouglu ABC sa pravim uglom B simetrala ugla A prelazi stranu B.C.

U tački D. Poznato je da je BD = 4, DC = 6.

Pronađite površinu trokuta ADC

Rješenje:

Po svojstvu simetrale trougla

Označimo AB = 2 x, AC = 3 x. Po teoremu

Pitagora BC 2 + AB 2 = AC 2, ili 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Odavde to nalazimo x = Tada je AB = , S ABC=

dakle,

Problem 4

Dato:

U jednakokračnom trouglu ABC strana AB jednako 10, osnova Klima je 12.

Simetrale uglova A i C seku u tački D. Pronađite BD.

Rješenje:

Budući da se simetrale trokuta sijeku u

Jedna tačka, tada je BD simetrala od B. Nastavimo BD do raskrsnice sa AC u tački M. Tada je M središte AC, BM AC. Zbog toga

Jer CD - simetrala trougla BMC onda

Stoga,.

odgovor:

Teorema 4. Tri simetrale trougla seku se u jednoj tački.

Zaista, hajde da prvo razmotrimo tačku P preseka dve simetrale, na primer AK 1 i VK 2 . Ova tačka je podjednako udaljena od stranica AB i AC, jer leži na simetraliA, i jednako je udaljena od stranica AB i BC, jer pripada simetraliB. To znači da je jednako udaljena od stranica AC i BC i stoga pripada trećoj simetrali SC 3 , odnosno u tački P sijeku se sve tri simetrale.

Formule za pronalaženje simetrale
Teorema 5: (prva formula za simetralu): Ako je u trouglu ABC odsječak AL simetrala A, tada AL² = AB·AC - LB·LC.

dokaz: Neka je M tačka preseka prave AL sa kružnicom opisanom oko trougla ABC (slika 41). Ugao BAM jednaka uglu MAC po stanju. Uglovi BMA i BCA su kongruentni kao upisani uglovi savijeni istom tetivom. To znači da su trouglovi BAM i LAC slični u dva ugla. Prema tome, AL: AC = AB: AM. To znači AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Teorema 6: . (druga formula za simetralu): U trouglu ABC sa stranicama AB=a, AC=b iA jednako 2α i simetrala l, vrijedi jednakost:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Dokaz : Neka je ABC dati trougao, AL njegova simetrala, a=AB, b=AC, l=AL. Zatim S ABC = S ALB + S ALC . Dakle, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorema je dokazana.

Teorema 7: Ako su a, b stranice trokuta, Y je ugao između njih,je simetrala ovog ugla. Onda.