Simetrala trougla dijeli njegovu stranu na pola. Simetrala ugla. Kompletne lekcije – Hipermarket znanja

Tema lekcije

Simetrala ugla

Ciljevi lekcije

Poboljšati znanje učenika o simetrali ugla i njegovim svojstvima;
Upoznajte se sa nove informacije o simetrali ugla;
Proširiti znanje učenika da se teorema o svojstvima simetrale može dokazati Različiti putevi;
Develop logičko razmišljanje, interesovanje za matematičke nauke, upornost i analitičke sposobnosti.

Ciljevi lekcije

Proširiti znanje učenika o simetrali ugla;
Ojačati vještine konstruiranja simetrale ugla pomoću alata za crtanje;
Nabavite dodatne i zanimljive informacije na ovu temu;
Dati informacije o značaju teoreme u razvoju matematike;
Učvrstiti stečena znanja rješavanjem problema;
Negovati istrajnost, radoznalost i želju za proučavanjem matematičkih nauka.

Plan lekcije

1. Otkrivanje glavna tema lekcija o simetrali ugla;
2. Ponavljanje obrađenog materijala;
3. Zanimljive informacije o simetrali.
4. Istorijska referenca, grčka geometrija.
5. Domaći.

Simetrala ugla

Današnju lekciju posvetit ćemo temi simetrala. Prisjetimo se definicija simetrale.

Simetrala je mjesto tačaka jednako udaljenih od stranica ugla.

Pojednostavljeno rečeno, simetrala je prava koja dijeli ugao na pola.

Simetrala ugla je zraka koja izlazi iz vrha ugla i dijeli ga na dva druga jednaka ugla.

Riječ “simetrala” u prijevodu s francuskog znači nešto što seče ugao na pola ili ga podjednako dijeli na pola.

Simetrala trougla

Osim simetrale ugla, postoji i simetrala trougla, jer trougao sadrži čak tri ugla, odnosno svaki trougao može imati tri različite simetrale.

Šta je simetrala trougla? Simetrala trougla je segment simetrale ugla koji povezuje njegov vrh u trouglu sa tačkom na suprotnoj strani.

Simetrala trougla ima određene jedinstvena svojstva. Na primjer, dijeli suprotnu stranu na segmente koji su proporcionalni s druge dvije strane.

U vezi pravougaonog trougla, tada su njegove simetrale tačne oštri uglovi, kada se seku, formiraju ugao od tačno 45 stepeni.

Osim toga, ne treba zaboraviti takvo svojstvo simetrala trougla, kao što je činjenica da se sijeku strogo u središtu kružnice upisane u trokut.

Pa, najzanimljivije je da će za jednakokraki trokut linija povučena do baze biti simetrala, medijana i visina. Prema tome, obrnuto pravilo je da ako se medijana, visina i simetrala, koja je povučena iz jednog vrha trokuta, poklapaju, onda imamo jednakokraki trokut.

Koja svojstva se možete sjetiti pravouglog i jednakokračnog trougla?

Konstrukcija simetrale

Simetrala ugla se konstruiše pomoću kutomjera koristeći njegovu stepensku mjeru. Da bismo počeli sa konstruisanjem simetrale, uzmemo i podelimo stepen stepena na pola i, stavimo stepen stepena poluugla na jednu stranu vrha, a zatim druga polovina postaje simetrala datog ugla.

Hajde da ga uzmemo specificirani ugao, koji ima stepen od devedeset stepeni, a pomoću simetrale dobijamo dva konstruisana ugla od 45 stepeni.

Pravi ugao koristi simetralu da podijeli ugao na 2 prava ugla. Prilikom konstruiranja simetrale, tupi ugao je dijeli na 2 oštra ugla.

Iz definicije simetrale znamo da je to zraka koja polovi ugao. Da biste konstruirali simetralu, to znači da trebate podijeliti ugao na pola.

Algoritam za konstruisanje simetrale ugla

1. Prvo nacrtajte krug sa centrom na vrhu ugla tako da siječe njegove stranice.

3. Nacrtajte 2 kruga poluprečnika tako da imaju presek unutar ovog ugla.

4. Sada crtamo zraku iz vrha ugla na takav način da prolazi kroz točku presjeka ovih kružnica. Ova zraka je simetrala ovog ugla.

Pokušajmo sada dokazati da je rezultujuća zraka simetrala ovog ugla. Uzmimo primjer dva trougla koja imaju jednu zajedničku stranu, odnosno odsječak od vrha do točke presjeka kružnica, koji smo dobili u 3p.

Drugi par odgovarajućih stranica su segmenti dobijeni u koraku 1 koji idu od vrha ugla do tačaka preseka kruga sa njegovim stranicama.

Treći par odgovarajućih stranica su segmenti dobijeni u 1p. od tačaka preseka kružnice, do tačke preseka kružnica, ali dobijeno u 3p.

Dakle, 2 para ovih segmenata su jednaka, jer su radijusi jedne ili dvije kružnice, ali istog radijusa. Iz toga slijedi da su trouglovi jednaki na sve tri strane. Poznato je da kada su trouglovi jednaki, onda su i njihovi uglovi jednaki. Dakle, na vrhu su dva nova ugla i dati uglovi prema uslovima zadatka jednaki, pa će konstruisani zrak biti simetrala.

Zanimljive informacije o simetrali

Jeste li znali da postoji nauka koja se zove mnemonika, što u prijevodu s grčkog znači umjetnost pamćenja. A da bismo bolje zapamtili definiciju simetrale, postoji mnemoničko pravilo prema kojem je simetrala štakor koji trči oko uglova i dijeli kut na pola.

Jeste li znali da je Arhimed također koristio teoremu o simetrali? Koristio ga je da podijeli bazu na dijelove koji su proporcionalni stranicama kako bi odredio dužinu polovina stranica dvanaestokutnika, 24-kuta itd.

Legenda o simetrali ugla

Priča o dva ugla i simetrali, ili formiranje susjednog ugla.

Jednog dana su se dva ugla susrela na istom trgu. Najstariji ugao je bio oko 130 stepeni, a najmlađi tek pedesetak. Pošto je ovo bajka, zamenimo godine diplomama. Tako su se sreli i počeli raspravljati koji je od njih bolji i važniji. Stariji je vjerovao da je prioritet na njegovoj strani, jer je bio stariji, mudriji i vidio je više u svom životu u svojih 130°. Mlađi je, naprotiv, insistirao da je mlađi, dakle jači i otporniji. A kako spor ne bi trajao vječno, odlučili su da održe turnir. Simetrala je saznala za ova takmičenja i odlučila da istovremeno porazi svoje neprijatelje i povede Geometriju.

I sada je došlo dugo očekivano vrijeme za turnir, gdje su bila 2 kornera. U trenutku kada su bitke bile u punom jeku, pojavila se Bisektor i odlučila da učestvuje. Ali tada je u bitku sa simetralom prvo ušao stariji ugao, zatim se uključio mlađi, a pobjeda je ipak završila na strani simetrale.

SVOJSTVA BISEKTRIKE

Svojstvo simetrale: U trouglu, simetrala dijeli suprotnu stranu na segmente proporcionalne susjednim stranicama.

Simetrala vanjskog ugla Simetrala vanjskog ugla trougla siječe produžetak njegove stranice u tački, udaljenosti od koje do krajeva ove stranice su proporcionalne susjednim stranicama trougla, respektivno. C B A D

Formule za dužinu simetrale:

Formula za određivanje dužina segmenata na koje simetrala dijeli suprotnu stranu trokuta

Formula za pronalaženje omjera dužina odsječaka na koje je simetrala podijeljena točkom presjeka simetrala

Zadatak 1. Jedna od simetrala trougla podijeljena je točkom presjeka simetrala u omjeru 3:2, računajući od temena. Nađite obim trokuta ako je dužina stranice trougla na koju je povučena ova simetrala 12 cm.

Rješenje Koristimo formulu da pronađemo omjer dužina odsječaka na koje je podijeljena simetrala točkom presjeka simetrala u trokutu:   a + c = = 18  P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. Odgovor: P = 30cm.

Zadatak 2. Simetrale BD i CE ∆ ABC seku se u tački O. AB=14, BC=6, AC=10. Pronađite O D.

Rješenje. Koristimo formulu da pronađemo dužinu simetrale: Imamo: BD = BD = = Prema formuli za omjer segmenata na koje je simetrala podijeljena točkom presjeka simetrala: l = . 2 + 1 = ukupno 3 dijela.

ovo je dio 1  OD = Odgovor: OD =

Zadaci U ∆ ABC nacrtane su simetrale AL i BK. Odredite dužinu odsječka KL ako je AB = 15, AK =7,5, BL = 5. Na ∆ ABC nalazi se simetrala AD, a kroz tačku D prava paralelna sa AC i siječe AB u tački E. Nađite omjer površine ∆ ABC i ∆ BDE , ako je AB = 5, AC = 7. Nađi simetrale oštrih uglova pravouglog trougla sa katetama 24 cm i 18 cm. U pravokutnom trokutu simetrala oštrog ugla dijeli suprotnu nogu na segmente dužine 4 i 5 cm. Odredite površinu trokuta.

5. U jednakokračnom trouglu osnovica i stranica jednake su 5 odnosno 20 cm.Nađi simetralu ugla u osnovi trougla. 6. Pronađite simetralu pravi ugao trougao čiji su kraci jednaki a i b. 7. Izračunaj dužinu simetrale ugla A trougla ABC sa dužinama stranica a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm 8. U trouglu ABC, dužine stranica AB, BC i AC su u odnos 2:4:5, respektivno. Odrediti omjer u kojem su simetrale unutrašnjih uglova podijeljene u tački njihovog sjecišta.

Odgovori: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: AP = 6 AP = 10 cm KL = CP =

Prosječan nivo

Simetrala trougla. Detaljna teorija sa primjerima (2019)

Simetrala trougla i njegova svojstva

Znate li koja je sredina segmenta? Naravno da hoces. Šta je sa centrom kruga? Isto. Koja je sredina ugla? Možete reći da se to ne dešava. Ali zašto se segment može podijeliti na pola, a ugao ne može? Sasvim je moguće - samo ne tačka, ali…. linija.

Sjećate li se šale: simetrala je štakor koji trči oko uglova i dijeli ugao na pola. Dakle, prava definicija simetrale je vrlo slična ovoj šali:

Simetrala trougla- ovo je simetrala ugla trougla koji povezuje vrh ovog ugla sa tačkom na suprotnoj strani.

Nekada su drevni astronomi i matematičari otkrili mnoga zanimljiva svojstva simetrale. Ovo znanje je uveliko pojednostavilo živote ljudi. Postalo je lakše graditi, brojati udaljenosti, čak i prilagođavati paljbu topova... Poznavanje ovih svojstava pomoći će nam da riješimo neke zadatke GIA i Jedinstvenog državnog ispita!

Prvo saznanje koje će pomoći u tome je simetrala jednakokračnog trougla.

Usput, sjećate li se svih ovih pojmova? Sjećate li se po čemu se razlikuju jedni od drugih? Ne? Nije strašno. Hajde da to sada shvatimo.

dakle, osnovica jednakokračnog trougla- ovo je strana koja nije jednaka nijednoj drugoj. Pogledajte sliku, šta mislite koja je to strana? Tako je - ovo je strana.

Medijan je linija povučena iz vrha trougla i koja dijeli suprotnu stranu (to je opet to) na pola.

Zapazite da ne kažemo, "Medijin jednakokračnog trougla." Da li znaš zašto? Zato što medijana povučena iz vrha trougla prepolovi suprotnu stranu u BILO KOM trouglu.

Pa, visina je linija povučena od vrha i okomita na bazu. Primetili ste? Opet govorimo o bilo kojem trouglu, a ne samo o jednakokrakom. Visina u BILO KOM trouglu je uvek okomita na osnovu.

Pa, jeste li shvatili? Skoro. Da biste još bolje razumjeli i zauvijek zapamtili što su simetrala, medijan i visina, morate ih međusobno uporediti i razumjeti u čemu su slični i po čemu se razlikuju jedni od drugih. Istovremeno, radi boljeg pamćenja, bolje je sve opisati „ljudskim jezikom“. Tada ćete lako operisati jezikom matematike, ali u početku ne razumete ovaj jezik i morate sve da razumete na svom jeziku.

Dakle, kako su oni slični? Simetrala, medijan i visina - svi oni "izađu" iz vrha trokuta i naslanjaju se na suprotnu stranu i "rade nešto" ili sa uglom iz kojeg izlaze, ili sa suprotnom stranom. Mislim da je jednostavno, zar ne?

Po čemu se razlikuju?

• Simetrala dijeli ugao iz kojeg izlazi na pola.
• Medijan dijeli suprotnu stranu na pola.
• Visina je uvijek okomita na suprotnu stranu.

To je to. Lako je razumeti. A kad jednom shvatite, možete se sjetiti.

Sad sljedeće pitanje. Zašto u slučaju jednakokraki trougao Da li je simetrala i medijana i visina?

Možete jednostavno pogledati sliku i uvjeriti se da se medijana dijeli na dva apsolutno jednaka trokuta. To je sve! Ali matematičari ne vole da vjeruju svojim očima. Moraju sve da dokažu. Strašna riječ? Ništa slično - jednostavno je! Pogledajte: oba imaju jednake strane i, generalno, imaju zajedničku stranu i. (- simetrala!) I tako ispada da dva trougla imaju dvije jednake stranice i ugao između njih. Prisjećamo se prvog znaka jednakosti trokuta (ako se ne sjećate, pogledajte u temi) i zaključujemo da je, dakle, = i.

Ovo je već dobro - znači da je ispalo kao medijana.

Ali šta je to?

Pogledajmo sliku - . I dobili smo ga. I tako! Konačno, ura! I.

Da li vam je ovaj dokaz bio malo težak? Pogledajte sliku - dva identična trougla govore sama za sebe.

U svakom slučaju, zapamtite čvrsto:

Sada je teže: brojaćemo ugao između simetrala u bilo kojem trokutu! Ne boj se, nije tako zeznuto. Pogledaj sliku:

Hajde da prebrojimo. Da li se sećate toga? zbir uglova trougla je?

Hajde da primenimo ovu neverovatnu činjenicu.

S jedne strane, od:

To je.

Sada pogledajmo:

Ali simetrale, simetrale!

Prisjetimo se:

Sada kroz pisma

\ugao AOC=90()^\circ +\frac(\ugao B)(2)

Zar nije iznenađujuće? Ispostavilo se da ugao između simetrala dva ugla zavisi samo od trećeg ugla!

Pa, pogledali smo dvije simetrale. Šta ako ih ima tri??!! Hoće li se svi ukrštati u jednom trenutku?

Ili će biti ovako?

Kako misliš? Tako su matematičari mislili i mislili i dokazali:

Zar to nije sjajno?

Želite li znati zašto se to događa?

Dakle... dva pravougla trougla: i. Oni imaju:

• Opšta hipotenuza.
• (jer je simetrala!)

To znači - uglom i hipotenuzom. Dakle, odgovarajući kraci ovih trouglova su jednaki! To je.

Dokazali smo da je tačka podjednako (ili podjednako) udaljena od strana ugla. Tačka 1 je obrađena. Pređimo sada na tačku 2.

Zašto je 2 tačno?

I spojimo tačke i.

To znači da leži na simetrali!

To je sve!

Kako se sve ovo može primijeniti pri rješavanju problema? Na primjer, u problemima se često nalazi sljedeća fraza: “Krug dodiruje stranice ugla...”. Pa, moraš nešto naći.

Onda to brzo shvatite

I možete koristiti jednakost.

3. Tri simetrale u trouglu seku se u jednoj tački

Iz svojstva simetrale da bude lokus tačaka jednako udaljenih od stranica ugla, slijedi sljedeća izjava:

Kako tačno izlazi? Ali pogledajte: dvije simetrale će se sigurno sjeći, zar ne?

A treća simetrala bi mogla ići ovako:

Ali u stvarnosti je sve mnogo bolje!

Pogledajmo presek dve simetrale. Nazovimo to.

Šta smo koristili ovdje oba puta? Da stav 1, naravno! Ako tačka leži na simetrali, onda je jednako udaljena od stranica ugla.

I tako se dogodilo.

Ali pažljivo pogledajte ove dvije jednakosti! Uostalom, iz njih slijedi da i, prema tome, .

A sada će to ući u igru tačka 2: ako su udaljenosti do strana ugla jednake, tada tačka leži na simetrali...koji ugao? Pogledajte ponovo sliku:

i su udaljenosti do strana ugla, i jednake su, što znači da tačka leži na simetrali ugla. Treća simetrala je prošla kroz istu tačku! Sve tri simetrale se sijeku u jednoj tački! I kao dodatni poklon -

Radii upisano krugovima.

(Da biste bili sigurni, pogledajte drugu temu).

Pa, sada nikada nećete zaboraviti:

Tačka presjeka simetrala trougla je središte kružnice upisane u nju.

Pređimo na sljedeće svojstvo... Vau, simetrala ima mnogo svojstava, zar ne? I ovo je sjajno, jer što je više svojstava, to je više alata za rješavanje problema simetrale.

4. Simetrala i paralelizam, simetrale susednih uglova

Činjenica da simetrala dijeli kut na pola u nekim slučajevima dovodi do potpuno neočekivanih rezultata. Na primjer,

Slučaj 1

Odlično, zar ne? Hajde da shvatimo zašto je to tako.

S jedne strane crtamo simetralu!

Ali, s druge strane, postoje uglovi koji leže poprečno (zapamtite temu).

A sada se ispostavilo da; izbaci sredinu: ! - jednakokraki!

Slučaj 2

Zamislite trokut (ili pogledajte sliku)

Nastavimo stranu iza tačke. Sada imamo dva ugla:

• - unutrašnji ugao
• - spoljni ugao je napolju, zar ne?

Dakle, sada je neko htio nacrtati ne jednu, već dvije simetrale odjednom: i za i za. Šta će se desiti?

Hoće li uspjeti? pravougaona!

Iznenađujuće, to je upravo slučaj.

Hajde da to shvatimo.

Šta mislite koliki je iznos?

Naravno, - na kraju krajeva, svi zajedno čine takav ugao da se ispostavi da je prava linija.

Sada zapamtite da su i simetrale i vidite da unutar ugla postoji tačno pola iz zbira sva četiri ugla: i - - to jest, tačno. Možete to napisati i kao jednačinu:

Dakle, neverovatno ali istinito:

Ugao između simetrala unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla trougla je jednak.

Slučaj 3

Vidite li da je ovdje sve isto kao i za unutrašnje i vanjske uglove?

Ili hajde da ponovo razmislimo zašto se to dešava?

Opet, što se tiče susednih uglova,

(kao što odgovara paralelnim bazama).

I opet se pomire tačno pola od sume

zaključak: Ako problem sadrži simetrale susjedni uglovima ili simetralama relevantan uglovi paralelograma ili trapeza, onda u ovom zadatku svakako radi se o pravougaonom trokutu, ili možda čak o celom pravougaoniku.

5. Simetrala i suprotna strana

Ispada da simetrala ugla trokuta deli suprotnu stranu ne samo na neki način, već na poseban i vrlo zanimljiv način:

To je:

Neverovatna činjenica, zar ne?

Sada ćemo dokazati ovu činjenicu, ali pripremite se: biće malo teže nego prije.

Opet - izlaz u "prostor" - dodatna formacija!

Idemo pravo.

Za što? Sad ćemo vidjeti.

Nastavimo simetralu dok se ne siječe s pravom.

Je li ovo poznata slika? Da, da, da, potpuno isto kao u tački 4, slučaj 1 - ispada da (- simetrala)

Leži popreko

Dakle, i to.

Pogledajmo sada trouglove i.

Šta možete reći o njima?

Oni su slični. Pa, da, njihovi uglovi su jednaki vertikalnim. Dakle, u dva ugla.

Sada imamo pravo da pišemo odnose relevantnih strana.

A sada ukratko:

Oh! Podseća me na nešto, zar ne? Zar to nije ono što smo hteli da dokažemo? Da, da, upravo to!

Vidite kako se „šetnja u svemir“ pokazala sjajnom – izgradnja dodatne prave linije – bez toga se ništa ne bi dogodilo! I tako, mi smo to dokazali

Sada ga možete bezbedno koristiti! Pogledajmo još jedno svojstvo simetrala uglova trougla - ne brinite, sada je najteže završeno - biće lakše.

Shvatili smo to

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Sorokina Vika

Dati su dokazi svojstva simetrale trokuta i razmatrana je primjena teorije na rješavanje problema

Skinuti:

Pregled:

Odbor za obrazovanje uprave Saratov, Oktjabrski okrug općinske autonomne obrazovne ustanove Licej br. 3 nazvan po. A. S. Puškin.

Opštinska naučno-praktična

konferencija

"Prvi koraci"

Predmet: Simetrala i njena svojstva.

Rad uradio: učenik 8.razreda

Sorokina VictoriaNaučni rukovodilac: Nastavnik matematike najviše kategorijePopova Nina Fedorovna.

Saratov 2011

1. Naslovna stranica……………………………………………………………1
2. Sadržaj…………………………………………………………………2
3. Uvod i ciljevi……………………………………………………………………..3
4. Razmatranje svojstava simetrale

• Treći lokus tačaka………………………………….3
• Teorema 1…………………………………………………………………………...4
• Teorema 2…………………………………………………………………………4
• Glavno svojstvo simetrale trougla:

1. Teorema 3…………………………………………………………………………...4
2. Zadatak 1………………………………………………………………………… ….7
3. Zadatak 2………………………………………………………………………….8
4. Zadatak 3…………………………………………………………………………...9
5. Zadatak 4……………………………………………………………………….9-10

• Teorema 4………………………………………………………10-11
• Formule za pronalaženje simetrale:

1. Teorema 5………………………………………………………………………….11
2. Teorema 6………………………………………………………………………….11
3. Teorema 7………………………………………………………………………….12
4. Zadatak 5……………………………………………………………………12-13

• Teorema 8………………………………………………………………………….13
• Zadatak 6………………………………………………………………………….14
• Zadatak 7…………………………………………………………………………14-15
• Određivanje kardinalnih pravaca pomoću simetrale………………15

1. Zaključak i zaključak…………………………………………………………………..15
2. Spisak referenci………………………………………………..16

Simetrala

Na času geometrije, proučavajući temu sličnih trouglova, naišao sam na problem o teoremi o odnosu simetrale prema suprotnim stranicama. Čini se da bi moglo biti nečeg zanimljivog u temi simetrale, ali ova tema me je zainteresirala i htio sam je proučiti dublje. Uostalom, simetrala je vrlo bogata svojim nevjerovatnim svojstvima koja pomažu u rješavanju raznih problema.

Kada budete razmatrali ovu temu, primijetit ćete da udžbenici geometrije vrlo malo govore o svojstvima simetrale, ali na ispitima, poznavajući ih, možete mnogo lakše i brže rješavati zadatke. Osim toga, da bi položili GIA i Jedinstvene državne ispite, moderni studenti moraju sami učiti Dodatni materijališkolskom planu i programu. Zato sam odlučio detaljnije proučiti temu simetrale.

Simetrala (od latinskog bi- "dvostruko" i sectio "rezanje") ugla je zraka s početkom u vrhu ugla, koja dijeli ugao na dva jednaka dijela. Simetrala ugla (zajedno sa njegovom produžetkom) je geometrijsko mjesto tačaka jednako udaljenih od stranica ugla (ili njihovih produžetaka)

Treći lokus tačaka

Slika F je lokus tačaka (skup tačaka) koji imaju neko svojstvo A, ako su ispunjena dva uslova:

1. iz činjenice da tačka pripada figuri F, proizilazi da ima imovinu A;
2. iz činjenice da tačka zadovoljava svojstvo A, proizilazi da pripada figuri F.

Prvo mjesto tačaka koje se razmatraju u geometriji je kružnica, tj. lokus tačaka jednako udaljenih od jedne fiksne tačke. Drugi je okomita simetrala segmenta, tj. lokus tačaka jednako udaljenih od kraja segmenta. I konačno, treća - simetrala - geometrijski lokus tačaka jednako udaljenih od strana ugla

Teorema 1:

Simetrale su jednako udaljene od stranica on je u uglu.

dokaz:

Neka R - simetrala A. Hajdemo s temeP okomice RV and PC na stranama ugla. Tada je VAR = SAR hipotenuzom i oštrim uglom. Dakle, PB = PC

Teorema 2:

Ako je tačka P jednako udaljena od stranica ugla A, onda leži na simetrali.

Dokaz: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR je simetrala.

Među osnovnim geometrijskim činjenicama je teorema da simetrala dijeli suprotnu stranu u odnosu na suprotne stranice. Ova činjenica je dugo ostala u sjeni, ali posvuda ima problema koje je mnogo lakše riješiti ako znate ovu i druge činjenice o simetrali. Zainteresovao sam se i odlučio da dalje istražim ovo svojstvo simetrale.

Glavno svojstvo simetrale ugla trougla

Teorema 3. Simetrala dijeli suprotnu stranu trougla u odnosu na susjedne stranice.

Dokaz 1:

Dato: AL - simetrala trougla ABC

dokazati:

Dokaz: Neka je F tačka preseka linije AL i prava koja prolazi kroz tačku IN paralelno sa AC stranom.

Tada je BFA = FAC = BAF. Stoga, B.A.F. jednakokraki i AB = BF. Iz sličnosti trouglova Imamo ALC i FLB

odnos

gdje

Dokazi 2

Neka je F tačka koju sijeku prava AL i prava linija koja prolazi kroz tačku C paralelnu sa bazom AB. Zatim možete ponoviti obrazloženje.

Dokazi 3

Neka su K i M osnove okomica spuštenih na pravu AL iz tačaka B i C respektivno. Trokuti ABL i ACL su slični pod dva ugla. Zbog toga
. A iz sličnosti BKL i CML imamo

Odavde

Dokaz 4

Koristimo metodu površine. Izračunajmo površine trouglova ABL i ACL dva načina.

Odavde.

Dokazi 5

Neka je α= VI,φ= BLA. Po teoremi sinusa u trouglu ABL

I u trouglu ACL.

jer ,

Zatim, dijeleći obje strane jednakosti na odgovarajuće dijelove druge, dobivamo.

Problem 1

Dato: U trouglu ABC, VC je simetrala, BC = 2, KS = 1,

Rješenje:

Problem 2

Dato:

Nađi simetrale oštrih uglova pravokutnog trokuta s katetama 24 i 18

Rješenje:

Neka je strana AC = 18, strana BC = 24,

A.M. - simetrala trougla.

Koristeći Pitagorinu teoremu nalazimo,

da je AB = 30.

Od tada

Na sličan način pronađimo drugu simetralu.

odgovor:

Problem 3

U pravouglu ABC sa pravim uglom B simetrala ugla A prelazi stranu B.C.

U tački D. Poznato je da je BD = 4, DC = 6.

Pronađite površinu trokuta ADC

Rješenje:

Po svojstvu simetrale trougla

Označimo AB = 2 x, AC = 3 x. Po teoremu

Pitagora BC 2 + AB 2 = AC 2, ili 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Odavde to nalazimo x = Tada je AB = , S ABC=

dakle,

Problem 4

Dato:

U jednakokračnom trouglu ABC strana AB jednako 10, osnova Klima je 12.

Simetrale uglova A i C seku u tački D. Pronađite BD.

Rješenje:

Budući da se simetrale trokuta sijeku u

Jedna tačka, tada je BD simetrala od B. Nastavimo BD do raskrsnice sa AC u tački M. Tada je M središte AC, BM AC. Zbog toga

Jer CD - simetrala trougla BMC onda

Stoga,.

odgovor:

Teorema 4. Tri simetrale trougla seku se u jednoj tački.

Zaista, hajde da prvo razmotrimo tačku P preseka dve simetrale, na primer AK 1 i VK 2 . Ova tačka je podjednako udaljena od stranica AB i AC, jer leži na simetraliA, i jednako je udaljena od stranica AB i BC, jer pripada simetraliB. To znači da je jednako udaljena od stranica AC i BC i stoga pripada trećoj simetrali SC 3 , odnosno u tački P sijeku se sve tri simetrale.

Formule za pronalaženje simetrale
Teorema 5: (prva formula za simetralu): Ako je u trouglu ABC odsječak AL simetrala A, tada AL² = AB·AC - LB·LC.

dokaz: Neka je M tačka preseka prave AL sa kružnicom opisanom oko trougla ABC (slika 41). Ugao BAM jednaka uglu MAC po stanju. Uglovi BMA i BCA su kongruentni kao upisani uglovi savijeni istom tetivom. To znači da su trouglovi BAM i LAC slični u dva ugla. Prema tome, AL: AC = AB: AM. To znači AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Teorema 6: . (druga formula za simetralu): U trouglu ABC sa stranicama AB=a, AC=b iA jednako 2α i simetrala l, vrijedi jednakost:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Dokaz : Neka je ABC dati trougao, AL njegova simetrala, a=AB, b=AC, l=AL. Zatim S ABC = S ALB + S ALC . Dakle, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorema je dokazana.

Teorema 7: Ako su a, b stranice trokuta, Y je ugao između njih,je simetrala ovog ugla. Onda.

Unutrašnji uglovi trokuta nazivaju se simetrala trokuta.
Simetrala ugla trougla se takođe shvata kao segment između njegovog vrha i tačke preseka simetrale sa suprotnom stranom trougla.
Teorema 8. Tri simetrale trougla seku se u jednoj tački.
Zaista, prvo razmotrimo tačku P presjeka dvije simetrale, na primjer AK 1 i VK 2. Ova tačka je podjednako udaljena od stranica AB i AC, jer leži na simetrali ugla A, i podjednako udaljena od stranica AB i BC, koliko pripada simetrali ugla B. To znači da je podjednako udaljena od stranica ugla B. stranice AC i BC i time pripada trećoj simetrali CK 3, odnosno u tački P seku se sve tri simetrale.
Osobine simetrala unutrašnjih i spoljašnjih uglova trougla
Teorema 9. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.
Dokaz. Razmotrimo trougao ABC i simetralu njegovog ugla B. Provucimo kroz vrh C pravu liniju CM, paralelnu sa simetralom BC, sve dok se u tacki M ne sece sa nastavkom stranice AB. Kako je VC simetrala ugla ABC, onda je ∠ ABC = ∠ KBC. Dalje, ∠ AVK=∠ VSM, kao odgovarajući uglovi za paralelne prave, i ∠ KVS=∠ VSM, kao poprečni uglovi za paralelne prave. Stoga je ∠ VSM=∠ VMS, pa je trougao VSM jednakokrak, pa je VS=VM. Prema teoremi o paralelnim pravima koje seku stranice ugla, imamo AK:K C=AB:VM=AB:BC, što je i trebalo dokazati.
Teorema 10 Simetrala spoljašnjeg ugla B trougla ABC ima slično svojstvo: segmenti AL i CL od vrhova A i C do tačke L preseka simetrale sa nastavkom stranice AC proporcionalni su stranicama trougla: AL: C.L.=AB:BC.
Ovo svojstvo se dokazuje na isti način kao i prethodno: na slici je povučena pomoćna prava SM paralelna sa simetralom BL. Uglovi BMC i BC su jednaki, što znači da su stranice BM i BC trougla BMC jednake. Iz čega dolazimo do zaključka AL:CL=AB:BC.

Teorema d4. (prva formula za simetralu): Ako je u trouglu ABC segment AL simetrala ugla A, onda je AL? = AB·AC - LB·LC.

dokaz: Neka je M tačka preseka prave AL sa kružnicom opisanom oko trougla ABC (slika 41). Ugao BAM jednak je kutu MAC po uvjetu. Uglovi BMA i BCA su kongruentni kao upisani uglovi savijeni istom tetivom. To znači da su trouglovi BAM i LAC slični u dva ugla. Prema tome, AL: AC = AB: AM. Dakle, AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Što je trebalo dokazati. Napomena: za teoremu o segmentima tetiva koje se sijeku u krugu i o upisanim uglovima, pogledajte tematski krug i kružnicu.

Teorema d5. (druga formula za simetralu): U trouglu ABC sa stranicama AB=a, AC=b i uglom A jednakim 2? i simetrala l vrijedi jednakost:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

dokaz: Neka je ABC dati trougao, AL njegova simetrala (slika 42), a=AB, b=AC, l=AL. Tada je S ABC = S ALB + S ALC. Dakle, absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Teorema je dokazana.