Meni
Besplatno
Registracija
Dom  /  Papilomi/ Fraktalna lista. O fraktalima i njihovim algoritmima. Fundamentalno pitanje rada

Fraktalna lista. O fraktalima i njihovim algoritmima. Fundamentalno pitanje rada

matematika,
ako dobro pogledaš,
ne odražava samo istinu,
ali i neuporedivu lepotu.
Bertrand Russell.

Naravno, čuli ste za fraktale. Sigurno ste vidjeli ove slike koje oduzimaju dah iz Bryce3d-a koje su stvarnije od same stvarnosti. Planine, oblaci, kora drveta - sve to prevazilazi uobičajenu euklidsku geometriju. Ne možemo opisati stijenu ili granice otoka koristeći prave linije, krugove i trouglove. I tu nam fraktali priskaču u pomoć. Šta su ovi poznati stranci? Kada su se pojavili?

Istorija izgleda.

Prve ideje fraktalne geometrije nastale su u 19. veku. Cantor je, koristeći jednostavnu rekurzivnu (ponavljajuću) proceduru, pretvorio liniju u kolekciju nepovezanih tačaka (tzv. Cantorova prašina). Uzeo bi liniju i uklonio središnju trećinu, a zatim bi ponovio isto sa preostalim dijelovima. Peano je povukao posebnu vrstu linije (slika br. 1). Da bi ga nacrtao, Peano je koristio sljedeći algoritam.

U prvom koraku uzeo je ravnu liniju i zamijenio je sa 9 segmenata 3 puta kraćih od dužine originalne linije (1. i 2. dio na slici 1.). Zatim je učinio isto sa svakim segmentom rezultirajuće linije. I tako u nedogled. Njegova jedinstvenost je u tome što ispunjava čitavu ravan. Dokazano je da se za svaku tačku na ravni može naći tačka koja pripada Peanovoj pravoj. Peanova kriva i Cantorova prašina prevazišli su obične geometrijske objekte. Nisu imali jasnu dimenziju. Činilo se da je Kantorova prašina izgrađena na osnovu jednodimenzionalne prave linije, ali se sastojala od tačaka (dimenzija 0). A Peano kriva je izgrađena na osnovu jednodimenzionalne linije, a rezultat je bila ravan. U mnogim drugim oblastima nauke pojavili su se problemi čije je rešavanje dovelo do čudnih rezultata sličnih gore opisanim (Brownovsko kretanje, cene akcija).

Otac fraktala

Sve do 20. stoljeća prikupljali su se podaci o takvim čudnim objektima, bez ikakvog pokušaja da se oni sistematiziraju. To je bilo sve dok ih nije preuzeo Benoit Mandelbrot, otac moderne fraktalne geometrije i riječi fraktal. Dok je radio kao matematički analitičar u IBM-u, proučavao je buku elektronska kola, što se ne bi moglo opisati pomoću statistike. Postepeno uspoređujući činjenice, došao je do otkrića novog smjera u matematici - fraktalne geometrije.

Šta je fraktal? Sam Mandelbrot je izveo riječ fraktal od latinske riječi fractus, što znači razbijen (podijeljen na dijelove). A jedna od definicija fraktala je geometrijska figura sastavljena od dijelova i koja se može podijeliti na dijelove, od kojih će svaki predstavljati manju kopiju cjeline (barem približno).

Da bismo jasnije zamislili fraktal, razmotrimo primjer dat u knjizi B. Mandelbrota "Fraktalna geometrija prirode", koja je postala klasična - "Kolika je dužina obale Britanije?" Odgovor na ovo pitanje nije tako jednostavan kao što se čini. Sve ovisi o dužini alata koji ćemo koristiti. Mjerenjem obale pomoću kilometrskog ravnala, dobićemo određenu dužinu. Međutim, nedostajaće nam mnogo malih uvala i poluotoka koji su mnogo manji od naše linije. Smanjenjem veličine ravnala na, recimo, 1 metar, uzet ćemo u obzir ove detalje krajolika, pa će, shodno tome, i dužina obale postati veća. Idemo dalje i izmjerimo dužinu obale pomoću milimetarskog ravnala, uzet ćemo u obzir detalje koji su veći od milimetra, dužina će biti još veća. Kao rezultat toga, odgovor na tako naizgled jednostavno pitanje može svakoga zbuniti - dužina britanske obale je beskrajna.

Malo o dimenzijama.

U njegovom Svakodnevni život stalno se susrećemo sa dimenzijama. Procjenjujemo dužinu puta (250 m), saznajemo površinu stana (78 m2) i tražimo zapreminu pivske flaše na naljepnici (0,33 dm3). Ovaj koncept je prilično intuitivan i, čini se, ne zahtijeva pojašnjenje. Prava ima dimenziju 1. To znači da odabirom referentne tačke možemo definirati bilo koju tačku na ovoj pravoj koristeći 1 broj - pozitivan ili negativan. Štoviše, ovo se odnosi na sve linije - krug, kvadrat, parabolu, itd.

Dimenzija 2 znači da možemo jednoznačno definirati bilo koju tačku sa dva broja. Nemojte misliti da dvodimenzionalno znači ravno. Površina sfere je također dvodimenzionalna (može se definirati pomoću dvije vrijednosti - uglova kao što su širina i dužina).

Ako to gledamo s matematičke točke gledišta, tada se dimenzija određuje na sljedeći način: za jednodimenzionalne objekte, udvostručenje njihove linearne veličine dovodi do povećanja veličine (u ovom slučaju, dužine) za faktor dva (2 ^1).

Za dvodimenzionalne objekte, udvostručenje linearnih dimenzija rezultira povećanjem veličine (na primjer, površine pravokutnika) za četiri puta (2^2).

Za 3-dimenzionalne objekte, udvostručenje linearnih dimenzija dovodi do osmostrukog povećanja volumena (2^3) i tako dalje.

Dakle, dimenzija D se može izračunati na osnovu zavisnosti povećanja “veličine” objekta S od povećanja linearnih dimenzija L. D=log(S)/log(L). Za liniju D=log(2)/log(2)=1. Za ravan D=log(4)/log(2)=2. Za volumen D=log(8)/log(2)=3. Može biti malo zbunjujuće, ali generalno nije komplikovano i razumljivo.

Zašto sve ovo pričam? I da bi shvatili kako odvojiti fraktale od, recimo, kobasice. Pokušajmo izračunati dimenziju za Peano krivu. Dakle, imamo originalnu liniju, koja se sastoji od tri segmenta dužine X, zamijenjenih sa 9 segmenata tri puta kraćih. Dakle, kada se minimalni segment poveća za 3 puta, dužina cijele linije se povećava za 9 puta i D=log(9)/log(3)=2 je dvodimenzionalni objekt!!!

Dakle, kada je dimenzija figure dobijene iz nekih jednostavnih objekata (segmenata) veća od dimenzije ovih objekata, imamo posla sa fraktalom.

Fraktali su podijeljeni u grupe. Najveće grupe su:

Geometrijski fraktali.

Tu je počela istorija fraktala. Ova vrsta fraktala se dobija jednostavnim geometrijskim konstrukcijama. Obično, kada konstruišu ove fraktale, oni rade ovo: uzimaju "sjeme" - aksiom - skup segmenata na osnovu kojih će se fraktal graditi. Zatim se na ovo "sjeme" primjenjuje skup pravila, koji ga pretvara u neku vrstu geometrijske figure. Zatim se isti skup pravila ponovo primjenjuje na svaki dio ove figure. Svakim korakom figura će postajati sve složenija, a ako izvršimo (barem u mislima) beskonačan broj transformacija, dobit ćemo geometrijski fraktal.

Peano kriva o kojoj smo gore govorili je geometrijski fraktal. Na slici ispod prikazani su drugi primjeri geometrijskih fraktala (s lijeva na desno Kochova pahulja, List, trokut Sierpinskog).



Snowflake Koch


List


Sierpinski trougao

Od ovih geometrijskih fraktala, prvi, Kochova pahulja, vrlo je zanimljiva i prilično poznata. Izgrađen je na bazi jednakostraničnog trougla. Svaki red u kojem ___ je zamijenjen sa 4 reda svaki 1/3 dužine originalnog _/\_. Dakle, sa svakom iteracijom, dužina krive se povećava za trećinu. A ako napravimo beskonačan broj iteracija, dobićemo fraktal - Kohovu pahulju beskonačne dužine. Ispostavilo se da naša beskonačna kriva pokriva ograničeno područje. Pokušajte učiniti isto koristeći metode i figure iz euklidske geometrije.

Dimenzija Kochove pahulje (kada se pahulja poveća 3 puta, njena dužina se povećava za 4 puta) D=log(4)/log(3)=1,2619...

Takozvani L-sistemi su veoma pogodni za konstruisanje geometrijskih fraktala. Suština ovih sistema je da postoji određeni skup sistemskih simbola, od kojih svaki označava određenu radnju i skup pravila transformacije simbola. Na primjer, opis Kochove pahulje pomoću L-Systems-a u programu Fractint

; Adrian Mariano iz Fraktalne geometrije prirode od Mandelbrota Koch1 ( ;podesite ugao rotacije na 360/6=60 stepeni Ugao 6 ; Inicijalni crtež za izgradnju Aksiom F--F--F ; Pravilo konverzije znakova F=F+F--F+F )

U ovom opisu, geometrijska značenja simbola su sljedeća:

F znači nacrtati liniju + okrenite u smjeru kazaljke na satu - okrenite suprotno

Drugo svojstvo fraktala je samosličnost. Uzmimo, na primjer, trokut Sierpinskog. Da bismo ga konstruirali, "izrezali smo" trokut iz središta jednakostraničnog trougla. Ponovimo isti postupak za tri formirana trougla (osim za centralni) i tako u nedogled. Ako sada uzmemo bilo koji od dobijenih trokuta i povećamo ga, dobićemo tačnu kopiju cjeline. U ovom slučaju imamo posla sa potpunom samosličnošću.

Odmah da rezervišem da je većina fraktalnih crteža u ovom članku dobijena pomoću programa Fractint. Ako ste zainteresovani za fraktale, onda je ovo program koji morate imati. Uz njegovu pomoć možete izgraditi stotine različitih fraktala, dobiti sveobuhvatne informacije o njima, pa čak i slušati kako fraktali zvuče;).

Reći da je program dobar znači ništa ne reći. Odlična je, osim jedne stvari - najnoviju verziju 20.0 je dostupan samo u DOS verziji:(. Ovaj program (najnovija verzija 20.0) možete pronaći na http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html.

Ostavite komentar

Komentari

Pa za užinu zanimljiv primjer Microsoft ExcelĆelije A2 i B2 imaju iste vrijednosti između 0 i 1. Vrijednost od 0,5 nema efekta.

Pozdrav svima koji su uspjeli napraviti program koristeći fratalnu sliku. Ko mi može reći koji metod ciklusa je najbolji za mene da napravim čistinu od fraktalnih paprati sa 3d max podlogom sa dt iteracijom od 100.000 na kamenu sa 2800 mH

Postoji izvorni kod sa programom za crtanje Zmajeve krive, također fraktala.

Članak je odličan. A Excel je vjerovatno greška koprocesora (na posljednjim ciframa nižeg reda)

Fraktalni primjer

„Fraktal“ su matematičari uveli u upotrebu pre manje od pola veka, a ubrzo je, uz sinergiju i atraktor, postao jedan od „tri stuba“ mlade Teorije determinističkog haosa, a danas je već prepoznat kao jedan od osnovnih elemenata strukture univerzuma.

WITH latinska riječ fractus je prevedena kao "polomljen", savremeni latinski jezici su mu dali značenje "pocepan". Fraktal je nešto što je identično cjelini/veći čiji je dio, a istovremeno kopira svaki svoj komponenta. Dakle, „fraktalnost“ je beskonačna sličnost „svega“ sa njegovim komponentama, odnosno to je samosličnost na bilo kom nivou. Svaki nivo fraktalne grane naziva se „iteracija“; što je razvijeniji opisani ili grafički prikazani sistem, posmatrač vidi više fraktalnih iteracija. U ovom slučaju, tačka u kojoj dolazi do podjele (na primjer, deblo na grane, rijeka na dva toka, itd.) naziva se točka bifurkacije.

Termin fraktus odabrao je matematičar Benoit Mandelbrot 1975. za opisivanje naučno otkriće i postao popularan nekoliko godina kasnije - nakon što je razvio temu za širu publiku u svojoj knjizi Fraktalna geometrija prirode.

Danas je fraktal nadaleko poznat kao fantastični obrasci takozvane “fraktalne umjetnosti” koje su kreirali kompjuterski programi. Ali uz pomoć kompjutera možete generirati ne samo prekrasne apstraktne slike, već i vrlo uvjerljive prirodne pejzaže - planine, rijeke, šume. Ovdje je, zapravo, tačka tranzicije nauke u pravi zivot, ili obrnuto, ako pretpostavimo da ih je općenito moguće razdvojiti.

Činjenica je da fraktalni princip pogodan ne samo za opisivanje otkrića u egzaktnim naukama. To je, prije svega, princip strukture i razvoja same prirode. Sve oko nas su fraktali! Najočitija grupa primera su reke sa pritokama, venski sistem sa kapilarima, munje, mrazovi, drveće... U novije vreme naučnici, testirajući fraktalna teorija, eksperimentalno smo se uvjerili čak i da je iz dijagrama jednog stabla moguće izvući zaključke o šumsko područje gde ovo drveće raste. Drugi primjeri fraktalnih grupa: atom - molekula - planetarni sistem - Solarni sistem- galaksije - univerzum... Minut - sat - dan - nedelja - mesec - godina - vek... Čak se i zajednica ljudi organizuje po principima fraktalnosti: ja - porodica - klan - nacionalnost - nacionalnosti - rase.. Pojedinac - grupa - stranka - država. Zaposleni - odjel - odjel - preduzeće - koncern... Čak su i božanski panteoni različitih religija izgrađeni na istom principu, uključujući i kršćanstvo: Bog Otac - Trojstvo - sveci - crkva - vjernici, a da ne spominjemo organizaciju božanskih panteona paganske religije.

Priča navodi da su samoslični skupovi prvi put uočeni u 19. veku u delima naučnika - Poincaréa, Fatoua, Julia, Cantora, Hausdorffa, ali istina je da su nam već paganski Sloveni ostavili dokaz da su ljudi individualno postojanje shvatali kao mali detalj u beskonačnosti univerzuma. Ovo je predmet narodne kulture nazvan "pauk", koji su proučavali istoričari umetnosti Belorusije i Ukrajine. To je svojevrsni prototip skulpture modernog „mobilnog“ stila (dijelovi su u stalno kretanje jedni prema drugima). “Pauk” je često napravljen od slame, sastoji se od malih, srednjih i velikih elemenata istog oblika, okačenih jedan na drugi tako da svaki manji dio tačno ponavlja veći i cijelu strukturu u cjelini. Ovaj dizajn je okačen u glavni kut kuće, kao da označava svoj dom kao element cijelog svijeta.

Teorija fraktalnosti danas funkcioniše svuda, uključujući i filozofiju, koja kaže da tokom svakog života, i bilo kog i čitavog života u celini, fraktala, dolazi do „tačaka bifurkacije“, kada više visoki nivoi razvoj može ići različitim putevima i trenutak kada se osoba „nađe pred izborom“ je prava „tačka bufurkacije“ u fraktalima njegovog života.

Teorija determinističkog haosa kaže da razvoj svakog fraktala nije beskonačan. Naučnici vjeruju da u određenom trenutku dolazi granica iza koje se zaustavlja rast iteracija i fraktal počinje da se „sužava“, postepeno dostižući svoju prvobitnu jediničnu meru, a zatim se proces ponovo odvija u krug – slično udisanju i izdisanju, promjene jutra i noći, zime i ljeta u prirodi.

Fraktalna svojstva nisu hir ili plod besposlene mašte matematičara. Proučavajući ih, učimo da razlikujemo i predvidimo bitne karakteristike objekata i pojava oko nas, koje su prethodno, ako ne i potpuno ignorisane, onda samo približno, kvalitativno, procjenjivane na oko. Na primjer, poređenjem fraktalnih dimenzija složenih signala, encefalograma ili srčanih šumova, doktori mogu dijagnosticirati neke ozbiljne bolesti u ranoj fazi, kada se pacijentu još može pomoći. Također, analitičar, upoređujući prethodno ponašanje cijena, na početku nastanka modela, može predvidjeti njegov daljnji razvoj, čime se izbjegavaju grube greške u predviđanju.

Nepravilnost fraktala

Prvo svojstvo fraktala je njihova nepravilnost. Ako je fraktal opisan funkcijom, onda će svojstvo nepravilnosti u matematičkom smislu značiti da takva funkcija nije diferencibilna, odnosno da nije glatka ni u jednoj tački. Zapravo, ovo ima najdirektniju vezu sa tržištem. Fluktuacije cijena su ponekad toliko promjenjive i nestalne da zbunjuju mnoge trgovce. Naš zadatak je da sredimo sav ovaj haos i dovedemo ga u red.

Znaš li to: tako širok izbor mogućnosti ulaganja, koji Alpari pruža, ne može se pohvaliti nijedan drugi Forex broker.

Samosličnost fraktala

Drugo svojstvo kaže da je fraktal objekat koji ima svojstvo samosličnosti. Ovo je rekurzivni model, čiji svaki dio u svom razvoju ponavlja razvoj cijelog modela u cjelini i reprodukuje se u različitim razmjerima bez vidljivih promjena. Međutim, dolazi do promjena koje mogu značajno utjecati na našu percepciju objekta.

Samosličnost znači da predmet nema karakterističnu skalu: da ima takvu skalu, odmah biste razlikovali uvećanu kopiju fragmenta od originalne fotografije. Samoslični objekti imaju beskonačno mnogo skala za sve ukuse. Suština samosličnosti može se ilustrovati sljedećim primjerom. Zamislite da je ispred vas fotografija “prave” geometrijske linije, “dužine bez širine”, kako je Euklid definisao liniju, a vi se zabavljate sa prijateljem, pokušavajući da pogodite da li vam pokazuje originalnu fotografiju ( original) ili fotografiju uvećanu za potreban broj puta bilo kojeg fragmenta prave linije. Koliko god se trudili, nikada nećete moći razlikovati original od uvećane kopije fragmenta; ravna linija je u svim svojim dijelovima isto strukturirana, slična je samoj sebi, ali ovo njeno izvanredno svojstvo je donekle prikriveno jednostavnom strukturom same prave linije, njenom „pravošću“ (slika 7).

Ako, na isti način, ne možete razlikovati fotografiju objekta od pravilno uvećane fotografije bilo kojeg njegovog fragmenta, onda imate pred sobom sličan objekt. Svi fraktali koji imaju barem neku simetriju su sami sebi slični. To znači da se neki fragmenti njihove strukture striktno ponavljaju u određenim prostornim intervalima. Očigledno je da ti objekti mogu biti bilo koje prirode, a njihov izgled i oblik ostaju nepromijenjeni bez obzira na veličinu. Primjer samosličnog fraktala:

U finansijama, ovaj koncept nije apstrakcija bez osnova, već teorijsko ponavljanje praktične tržišne poslovice – naime, da su kretanja dionice ili valute na površini slična, bez obzira na vremensku skalu i cijenu. Posmatrač ne može reći izgled grafikon da li se podaci odnose na sedmične, dnevne ili satne promjene.

Naravno, nemaju svi fraktali tako pravilnu, beskonačno ponavljajuću strukturu kao oni divni eksponati budućeg muzeja fraktalne umjetnosti, koji su rođeni iz mašte matematičara i umjetnika. Mnogim fraktalima pronađenim u prirodi (površine rasjeda stijena i metala, oblaci, tečajevi valuta, turbulentni tokovi, pjena, gelovi, konture čestica čađi, itd.) nedostaju geometrijske sličnosti, ali tvrdoglavo reproduciraju statistička svojstva cjeline u svakom fragmentu. Fraktale s nelinearnim oblikom razvoja Mandelbrot je nazvao multifraktalima. Multifraktal je kvazifraktalni objekt s promjenjivom fraktalnom dimenzijom. Naravno, multifraktali mnogo bolje opisuju stvarne objekte i procese.

Ova statistička samosličnost, ili samosličnost u prosjeku, razlikuje fraktale od raznih prirodnih objekata.

Razmotrimo primjer samosličnosti na deviznom tržištu:

Na ovim slikama vidimo da su slične, a da imaju različitu vremensku skalu, na Sl. i skala od 15 minuta, na sl. b sedmična skala cijena. Kao što vidite, ovi citati nemaju svojstvo savršenog ponavljanja jedan drugog, ali ih možemo smatrati sličnima.

Čak i najjednostavniji fraktali – geometrijski samoslični fraktali – imaju neobična svojstva. Na primjer, von Koch pahulja ima obim beskonačne dužine, iako ograničava konačnu površinu (slika 9). Osim toga, toliko je bodljikava da je nemoguće povući tangentu na nju u bilo kojoj tački na konturi (matematičar bi rekao da se von Koch pahulja nigdje ne može razlikovati, odnosno ni u jednoj tački nije glatka).

Mandelbrot je otkrio da su rezultati frakcionog mjerenja ostali konstantni za različite stepene rastuće nepravilnosti objekta. Drugim riječima, za svaku nepravilnost postoji pravilnost (regularnost, urednost). Kada se prema nečemu ponašamo kao da se dešava nasumično, to ukazuje da ne razumijemo prirodu ove nasumice. U tržišnim terminima, to znači da se formiranje istih tipičnih formacija mora dogoditi u različitim vremenskim okvirima. Jednominutni grafikon će opisati formaciju fraktala na isti način kao i mjesečni grafikon. Takva „samosličnost“, koja se nalazi na grafikonima robnih i finansijskih tržišta, pokazuje sve znakove da su tržišne akcije bliže paradigmi ponašanja „prirode“ nego ponašanju ekonomske, fundamentalne analize.

Na ovim slikama možete pronaći potvrdu gore navedenog. Na lijevoj strani je grafikon sa minutnom skalom, sa desne strane je sedmična skala. Ovde su valutni parovi dolar/jen (slika 9 (a)) i evro/dolar (slika 9 (b)) sa različitim skalama cena. Iako valutni par JPY/USD ima drugačiju volatilnost u odnosu na EUR/USD, možemo uočiti istu strukturu kretanja cijena.

Fraktalna dimenzija

Treće svojstvo fraktala je da fraktalni objekti imaju dimenziju različitu od euklidske (drugim riječima, topološka dimenzija). Fraktalna dimenzija je pokazatelj složenosti krive. Analizirajući smjenjivanje područja s različitim fraktalnim dimenzijama i kako na sistem utječu vanjski i unutrašnji faktori, možete naučiti da predvidite ponašanje sistema. I što je najvažnije, dijagnosticirajte i predvidite nestabilna stanja.

U arsenalu moderne matematike, Mandelbrot je pronašao pogodnu kvantitativnu mjeru nesavršenosti objekata - zakrivljenost konture, naboranost površine, lomljenje i poroznost volumena. Predložila su ga dva matematičara - Felix Hausdorff (1868-1942) i Abram Samoilovich Besikovich (1891-1970). Danas zasluženo nosi slavna imena svojih tvoraca (dimenzija Hausdorff – Besicovich) – Hausdorff – Besicovitch dimenzija. Šta je dimenzija i zašto nam je potrebna u odnosu na analizu finansijskih tržišta? Prije toga, poznavali smo samo jednu vrstu dimenzije – topološke (slika 11). Sama riječ dimenzija pokazuje koliko dimenzija ima objekat. Za segment ili ravnu liniju jednaka je 1, tj. imamo samo jednu dimenziju, odnosno dužinu segmenta ili prave linije. Za ravan, dimenzija će biti 2, pošto imamo dvodimenzionalnu dimenziju, dužinu i širinu. Za prostorne ili volumetrijske objekte, dimenzija je 3: dužina, širina i visina.

Pogledajmo primjer sa kompjuterske igrice. Ako je igra napravljena u 3D grafici, onda je prostorna i trodimenzionalna, ako je u 2D grafici, grafika je prikazana u ravni (Sl. 10).

Najneobičnije (pravilnije bi bilo reći neobično) u vezi Hausdorff-Besicovitch dimenzije je to što je mogla uzeti ne samo cjelobrojne vrijednosti, poput topološke dimenzije, već i frakcijske vrijednosti. Jednaka jedinici za pravu liniju (beskonačan, polubeskonačan ili konačan segment), Hausdorff-Besicovitch dimenzija raste kako se zavojitost povećava, dok topološka dimenzija tvrdoglavo ignoriše sve promjene koje se dešavaju sa linijom.

Dimenzija karakterizira složenost skupa (na primjer, linija). Ako se radi o krivulji s topološkom dimenzijom jednakom 1 (prava linija), onda se kriva može zakomplikovati beskonačnim brojem krivina i grana do te mjere da se njena fraktalna dimenzija približi dvije, tj. ispuniće skoro celu ravan (slika 12)

Povećavajući svoju vrijednost, Hausdorff-Besicovitch dimenzija je ne mijenja naglo, kao što bi topološka dimenzija učinila "na svom mjestu", krećući se od 1 ravno u 2. Hausdorff-Besicovitch dimenzija - i to može izgledati neobično i iznenađujuće na prvi pogled — poprima razlomke: jednak je jedan za pravu liniju, postaje jednak 1,15 za blago zakrivljenu liniju, 1,2 za zakrivljeniju liniju, 1,5 za vrlo zakrivljenu, itd.

Upravo da bi posebno naglasio sposobnost Hausdorff-Besicovitch dimenzije da uzima razlomke, necjelobrojne vrijednosti, Mandelbrot je došao do svog neologizma, nazvavši ga fraktalnom dimenzijom. Dakle, fraktalna dimenzija (ne samo Hausdorff-Besicovitch, već i bilo koja druga) je dimenzija koja može imati ne nužno cijele vrijednosti, već i razlomke.

Za linearne geometrijske fraktale, dimenzija karakteriše njihovu samosličnost. Pogledajmo sl. 17 (A), linija se sastoji od N=4 segmenta, od kojih svaki ima dužinu r = 1/3. Kao rezultat, dobijamo omjer:

D = logN/log(1/r)

Situacija je potpuno drugačija kada govorimo o multifraktalima (nelinearnim). Ovdje dimenzija gubi svoje značenje kao definicija sličnosti objekta i definira se kroz različite generalizacije, mnogo manje prirodne od jedinstvene dimenzije sebi sličnih objekata.

Na deviznom tržištu, dimenzija može karakterizirati volatilnost kotacija cijena. Svaki valutni par ima svoje ponašanje na skali cijena. Za par funta/dolar (slika 13(a)) je mirnije nego za evro/dolar (slika 13(b)). Najzanimljivije je da se ove valute kreću sa istom strukturom na nivoe cena, međutim, njihove dimenzije su različite, što može uticati na unutardnevno trgovanje i promene u obrascima koji izmiču neupućenom oku.

Na sl. Na slici 14 prikazana je dimenzija u odnosu na matematički model, tako da možete dublje razumjeti značenje ovog pojma. Imajte na umu da sve tri slike prikazuju jedan ciklus. Na sl. a dimenzija je 1,2, na sl. b dimenzija je 1,5, a na Sl. u 1.9. Može se vidjeti da s povećanjem dimenzije percepcija objekta postaje sve složenija, a amplituda vibracija se povećava.

Na finansijskim tržištima, dimenzionalnost se ogleda ne samo u kvalitetu volatilnosti cena, već iu kvalitetu detalja ciklusa (talasa). Zahvaljujući njemu, moći ćemo da razlikujemo da li talas pripada određenoj vremenskoj skali. Na sl. Slika 15 prikazuje par evro/dolar na dnevnoj skali cena. Napominjemo da su formirani ciklus i početak novog, većeg ciklusa jasno vidljivi. Prelaskom na satnu skalu i povećanjem jednog od ciklusa možemo uočiti manje cikluse, a dio većeg koji se nalazi na D1 (Sl. 16). Detalizacija ciklusa, tj. njihova dimenzija nam omogućava da iz početnih uslova odredimo kako se situacija može razvijati u budućnosti. Možemo reći da: fraktalna dimenzija odražava svojstvo invarijantnosti skale skupa koji se razmatra.

Koncept invarijantnosti uveo je Mandelbrot od riječi “zaptivač” – skalabilan, tj. Kada objekt ima svojstvo invarijantnosti, on ima različite skale prikaza.

Na sl. 16, krug A ističe mini ciklus (detaljan talas), krug B – talas većeg ciklusa. Upravo zbog dimenzije ne možemo uvijek odrediti SVE cikluse na istoj cjenovnoj skali.

O problemima definisanja i razvojnih svojstava neperiodičnih ciklusa govorićemo u odeljku „Ciklovi na deviznom tržištu“, a sada nam je bilo najvažnije da shvatimo kako i gde se ta dimenzija manifestuje na finansijskim tržištima.

Dakle, možemo reći da se fraktali kao modeli koriste u slučaju kada se realni objekt ne može predstaviti u obliku klasičnih modela. To znači da imamo posla s nelinearnim odnosima i nedeterminističkom (slučajnom) prirodom podataka. Nelinearnost u ideološkom smislu znači multivarijantne puteve razvoja, prisustvo izbora između alternativnih puteva i određeni tempo evolucije, kao i nepovratnost evolucionih procesa. Nelinearnost u matematičkom smislu označava određenu vrstu matematičkih jednačina (nelinearnih diferencijalnih jednačina) koje sadrže željene veličine u stepenu većim od jedan ili koeficijente u zavisnosti od svojstava medija. Jednostavan primjer nelinearnog dinamičkog sistema:

Johnny raste 2 inča godišnje. Ovaj sistem objašnjava kako se Johnnyjeva visina mijenja tokom vremena. Neka je x(n) Johnnyjeva visina ove godine. Neka se njegov rast sljedeće godine zapiše kao x(n+1). Tada možemo napisati dinamički sistem u obliku jednačine:

x(n+1) = x(n) + 2.

Vidiš? Nije li ovo samo jednostavna matematika? Ako unesemo Johnnyjevu visinu danas kao x(n) = 38 inča, onda na desnoj strani jednačine dobijamo Johnnyjevu visinu sljedeće godine kao x(n+1) = 40 inča:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Kretanje s desna na lijevo u jednačini naziva se iteracija (ponavljanje). Jednačinu možemo ponoviti ponovo umetanjem Johnnyjeve nove visine od 40 inča u ispravnu stranu jednačine (to jest, x(n) = 40) i dobićemo x(n+1) = 42. Ako ponavljamo (ponovimo) jednadžba 3 puta, dobićemo Johnnyjevu visinu nakon 3 godine, odnosno 44 inča, počevši od visine od 38 inča.

Ovo je deterministički dinamički sistem. Ako želimo da ga učinimo nedeterminističkim (stohastičkim), mogli bismo napraviti ovakav model: Johnny raste 2 inča godišnje, manje-više, i zapisati jednačinu kao:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

gde je e mala greška (mala u odnosu na 2), predstavlja neku distribuciju verovatnoće.

Vratimo se originalnoj determinističkoj jednadžbi. Originalna jednadžba, x(n+1) = x(n) + 2, je linearna. Linearno znači da dodajete varijable ili konstante, ili množite varijable sa konstantama. Na primjer, jednadžba

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

je linearan. Ali ako pomnožite varijable ili ih podignete na stepen veću od jedan, jednačina (sistem) će postati nelinearna. Na primjer, jednadžba

x(n+1) = x(n) 2

je nelinearan jer je x(n) na kvadrat. Jednačina

je nelinearan jer se dvije varijable, x i y, množe.

Kada primjenjujemo klasične modele (na primjer, trend, regresija, itd.), kažemo da je budućnost objekta jednoznačno određena, tj. potpuno zavisi od početni uslovi i može se jasno predvideti. Možete sami pokrenuti jedan od ovih modela u Excel-u. Primjer klasičnog modela može se predstaviti kao trend koji se stalno smanjuje ili raste. A njegovo ponašanje možemo predvidjeti znajući prošlost objekta (početni podaci za modeliranje). A fraktali se koriste u slučaju kada objekt ima nekoliko razvojnih opcija i stanje sistema je određeno pozicijom na kojoj se nalazi na ovog trenutka. Odnosno, pokušavamo simulirati haotičan razvoj. Međubankarsko devizno tržište je upravo takav sistem.

Pogledajmo sada kako iz prave linije možete dobiti ono što nazivamo fraktalom, sa svojim svojstvima.

Na sl. 17 (A) prikazuje Kochovu krivu. Uzmimo odsječak, njegova dužina = 1, tj. je i dalje topološka dimenzija. Sada ćemo ga podijeliti na tri dijela (svaki 1/3 dužine) i ukloniti srednju trećinu. Ali srednju trećinu ćemo zamijeniti sa dva segmenta (svaki 1/3 dužine), koji se mogu zamisliti kao dvije stranice jednakostraničnog trougla. Ova faza dva (b) dizajna je prikazana na Sl. 17 (A). U ovom trenutku imamo 4 manja dijela, svaki 1/3 dužine, tako da je cijela dužina 4(1/3) = 4/3. Zatim ponavljamo ovaj proces za svaki od 4 manje dionice linije. Ovo je treća faza (c). Ovo će nam dati 16 još manjih dionica linije, svaka 1/9 dužine. Dakle, cijela dužina je sada 16/9 ili (4/3) 2 . Kao rezultat, dobili smo frakcijsku dimenziju. Ali ovo nije jedina stvar koja razlikuje rezultirajuću strukturu od ravne. Postao je sam sebi sličan i nemoguće je nacrtati tangentu ni u jednoj od njegovih tačaka (slika 17 (B)).

Sadržaj

Samoslični skupovi sa neobičnim svojstvima u matematici

Od kraja 19. stoljeća u matematici se pojavljuju primjeri sebi sličnih objekata sa svojstvima koja su patološka sa stanovišta klasične analize. To uključuje sljedeće:

  • Cantorov skup je nigdje gust nebrojiv savršen skup. Modifikovanjem procedure, takođe se može dobiti nigde gust skup pozitivne dužine;
  • trougao Sierpinskog („stolnjak“) i tepih Sierpinskog analogi su Cantorovog postavljenog na ravni;
  • Mengerov sunđer je analog Cantorovog skupa u trodimenzionalnom prostoru;
  • primjeri Weierstrassa i van der Waerdena nigdje diferencibilne kontinuirane funkcije;
  • Kochova kriva je neprekidna kriva beskonačne dužine koja se ne siječe i nema tangentu ni u jednoj tački;
  • Peano kriva - kontinuirana kriva koja prolazi kroz sve tačke kvadrata;
  • putanja Brownove čestice se također nigdje ne može razlikovati s vjerovatnoćom 1. Njegova Hausdorffova dimenzija je dva [ ] .

Rekurzivni postupak za dobijanje fraktalnih krivulja

Fraktali kao fiksne tačke kompresijskih preslikavanja

Svojstvo samosličnosti može se matematički striktno izraziti na sljedeći način. Neka biti kontraktivna preslikavanja ravnine. Razmotrimo sljedeće preslikavanje na skup svih kompaktnih (zatvorenih i ograničenih) podskupova ravnine: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

Može se pokazati da je mapiranje Ψ (\displaystyle \psi ) je mapa kontrakcije na skupu kompakta s Hausdorffovom metrikom. Prema tome, prema Banachovoj teoremi, ovo preslikavanje ima jedinstvenu fiksnu tačku. Ova fiksna tačka će biti naš fraktal.

Rekurzivna procedura za dobijanje fraktalnih krivulja opisana je poseban slučaj ove konstrukcije. Sadrži sve displeje ψ i , i = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots,n)- prikazi sličnosti, i n (\displaystyle n)- broj karika generatora.

Popularno je kreirati prelepe grafičke slike zasnovane na složenoj dinamici bojenjem ravnih tačaka u zavisnosti od ponašanja odgovarajućih dinamičkih sistema. Na primjer, da biste dovršili Mandelbrotov set, možete obojiti točke ovisno o brzini aspiracije z n (\displaystyle z_(n)) do beskonačnosti (definisan, recimo, kao najmanji broj n (\displaystyle n), pri čemu | z n | (\displaystyle |z_(n)|)će premašiti fiksnu veliku vrijednost A (\displaystyle A)).

Biomorfi su fraktali izgrađeni na bazi složene dinamike i podsjećaju na žive organizme.

Stohastički fraktali

Prirodni objekti često imaju fraktalni oblik. Stohastički (slučajni) fraktali se mogu koristiti za njihovo modeliranje. Primjeri stohastičkih fraktala:

  • putanja Brownovog kretanja na ravni i u prostoru;
  • granica putanje Brownovog kretanja na ravni. Lawler, Schramm i Werner su 2001. dokazali Mandelbrotovu hipotezu da je njegova dimenzija 4/3.
  • Schramm-Löwnerove evolucije su konformno invarijantne fraktalne krive koje nastaju u kritičnim dvodimenzionalnim modelima statističke mehanike, kao što su Izingov model i perkolacija.
  • različite vrste randomizirani fraktali, odnosno fraktali dobiveni korištenjem rekurzivne procedure u koju se u svakom koraku unosi slučajni parametar. Plazma je primjer upotrebe takvog fraktala u kompjuterskoj grafici.

Prirodni objekti sa fraktalnim svojstvima

Prirodni objekti ( kvazifraktali) razlikuju se od idealnih apstraktnih fraktala po nepotpunosti i netačnosti ponavljanja strukture. Većina fraktalnih struktura koje se nalaze u prirodi (granice oblaka, obale, drveće, lišće biljaka, koralji,...) su kvazifraktali, jer na nekoj maloj skali fraktalna struktura nestaje. Prirodne strukture ne mogu biti savršeni fraktali zbog ograničenja koja nameće veličina žive ćelije i, konačno, veličina molekula.

  • U divljini:
    • Morske zvijezde i ježevi
    • Cvijeće i biljke (brokula, kupus)
    • Krošnje drveća i listovi biljaka
    • voće (ananas)
    • Cirkulatorni sistem i bronhi ljudi i životinja
  • U neživoj prirodi:
    • Granice geografskih objekata (države, regije, gradovi)
    • Smrznuti uzorci na prozorskom staklu
    • Stalaktiti, stalagmiti, heliktiti.

Aplikacija

Prirodne nauke

U fizici, fraktali prirodno nastaju prilikom modeliranja nelinearnih procesa, kao što su turbulentni tok fluida, složeni procesi difuzije-adsorpcije, plamenovi, oblaci i slično. Fraktali se koriste u modeliranju poroznih materijala, na primjer, u petrohemiji. U biologiji se koriste za modeliranje populacija i za opisivanje sistema. unutrašnje organe(sistem krvnih sudova). Nakon kreiranja Kochove krivulje, predloženo je da se ona koristi prilikom izračunavanja opsega obala.

Radio inženjering

Fraktalne antene

Korištenje fraktalne geometrije u dizajnu

Koncepti fraktalne i fraktalne geometrije, koji su se pojavili kasnih 70-ih, postali su čvrsto uspostavljeni među matematičarima i programerima od sredine 80-ih. Riječ fraktal je izvedena od latinskog fractus i znači sastoji se od fragmenata. Predložio ga je Benoit Mandelbrot 1975. da se odnosi na nepravilne, ali sebi slične strukture kojima se on bavio. Rođenje fraktalne geometrije obično se vezuje za objavljivanje Mandelbrotove knjige “Fraktalna geometrija prirode” 1977. godine. Njegovi radovi su koristili naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 na istom polju (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Ali tek u naše vrijeme bilo je moguće spojiti njihov rad u jedan sistem.
Uloga fraktala u kompjuterskoj grafici danas je prilično velika. Oni priskaču u pomoć, na primjer, kada je potrebno, koristeći nekoliko koeficijenata, definirati linije i površine vrlo složenih oblika. Sa stanovišta kompjuterske grafike, fraktalna geometrija je neophodna pri generisanju veštačkih oblaka, planina i morskih površina. U stvari, pronađen je način da se lako predstave složeni neeuklidski objekti, čije su slike vrlo slične prirodnim.
Jedno od glavnih svojstava fraktala je samosličnost. U najjednostavnijem slučaju, mali dio fraktala sadrži informacije o cijelom fraktalu. Mandelbrotova definicija fraktala je: "Fraktal je struktura koja se sastoji od dijelova koji su u nekom smislu slični cjelini."

Postoji veliki broj matematički objekti koji se nazivaju fraktali (Sierpinski trokut, Kochova pahulja, Peano kriva, Mandelbrotov skup i Lorentzov atraktori). Fraktali sa velikom preciznošću opisuju mnoge fizičke pojave i formacije stvarnog svijeta: planine, oblake, turbulentne (vorteksne) tokove, korijenje, grane i lišće drveća, krvne žile, što je daleko od jednostavnog geometrijski oblici. Benoit Mandelbrot je prvi put govorio o fraktalnoj prirodi našeg svijeta u svom temeljnom djelu „Fraktalna geometrija prirode“.
Pojam fraktal uveo je Benoit Mandelbrot 1977. godine u svom temeljnom djelu Fraktali, forma, haos i dimenzija. Prema Mandelbrotu, riječ fraktal dolazi od latinskih riječi fractus - frakcijski i frangere - razbiti, što odražava suštinu fraktala kao „slomljenog“, nepravilnog skupa.

Klasifikacija fraktala.

Da bismo predstavili čitav niz fraktala, zgodno je pribjeći njihovoj općeprihvaćenoj klasifikaciji. Postoje tri klase fraktala.

1. Geometrijski fraktali.

Fraktali ove klase su najvizuelniji. U dvodimenzionalnom slučaju, oni se dobijaju pomoću isprekidane linije (ili površine u trodimenzionalnom slučaju), koja se naziva generator. U jednom koraku algoritma, svaki od segmenata koji čine poliliniju zamjenjuje se generatorskom polilinijom u odgovarajućoj skali. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka, dobija se geometrijski fraktal.

Razmotrimo primjer jednog od ovih fraktalnih objekata - trijadnu Kochovu krivu.

Konstrukcija trijadne Kochove krive.

Uzmimo ravan segment dužine 1. Nazovimo ga sjeme. Podijelimo sjeme na tri jednaka dijela dužine 1/3, odbacimo srednji dio i zamijenimo ga isprekidanom linijom od dvije karike dužine 1/3.

Dobićemo izlomljenu liniju koja se sastoji od 4 karika ukupne dužine 4/3 - tzv. prva generacija.

Da biste prešli na sljedeću generaciju Kochove krive, potrebno je odbaciti i zamijeniti srednji dio svake karike. Shodno tome, dužina druge generacije će biti 16/9, treće - 64/27. ako nastavimo ovaj proces beskonačno, rezultat je trijadna Kochova kriva.

Razmotrimo sada svojstva trijadne Kochove krive i otkrijemo zašto su fraktali nazvani "čudovištima".

Prvo, ova kriva nema dužinu – kao što smo vidjeli, sa brojem generacija njena dužina teži beskonačnosti.

Drugo, nemoguće je konstruisati tangentu na ovu krivu - svaka od njenih tačaka je prevojna tačka u kojoj derivacija ne postoji - ova kriva nije glatka.

Dužina i glatkoća su osnovna svojstva krivih, koje proučavaju i Euklidova geometrija i geometrija Lobačevskog i Rimanna. Pokazalo se da su tradicionalne metode geometrijske analize neprimjenjive na trijadnu Kochovu krivulju, pa se Kochova kriva pokazala kao čudovište - "čudovište" među glatkim stanovnicima tradicionalnih geometrija.

Izgradnja Harter-Haithaway "zmaja".

Da biste dobili drugi fraktalni objekt, morate promijeniti pravila konstrukcije. Neka formirajući element budu dva jednaka segmenta povezana pod pravim uglom. U nultoj generaciji, segment jedinice zamjenjujemo ovim generirajućim elementom tako da je ugao na vrhu. Možemo reći da takvom zamjenom dolazi do pomaka sredine karike. Pri konstruiranju narednih generacija slijedi pravilo: prva karika s lijeve strane zamjenjuje se formirajućim elementom tako da se sredina karike pomjera lijevo od smjera kretanja, a pri zamjeni narednih karika pravci pomicanje sredina segmenata se mora naizmjenično. Slika prikazuje prvih nekoliko generacija i 11. generaciju krivulje izgrađene prema gore opisanom principu. Kriva sa n koja teži beskonačnosti naziva se Harter-Haithway zmaj.
U kompjuterskoj grafici upotreba geometrijskih fraktala neophodna je prilikom dobijanja slika drveća i grmlja. Dvodimenzionalni geometrijski fraktali se koriste za kreiranje trodimenzionalnih tekstura (uzoraka na površini objekta).

2.Algebarski fraktali

Ovo je najveća grupa fraktala. Dobivaju se korištenjem nelinearnih procesa u n-dimenzionalnim prostorima. Dvodimenzionalni procesi su najviše proučavani. Kada se nelinearni iterativni proces tumači kao diskretni dinamički sistem, može se koristiti terminologija teorije ovih sistema: fazni portret, stabilni proces, atraktor itd.
Poznato je da nelinearni dinamički sistemi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem se dinamički sistem nalazi nakon određenog broja iteracija zavisi od njegovog početnog stanja. Dakle, svako stabilno stanje (ili, kako se kaže, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sistem nužno pasti u konačna stanja koja se razmatraju. Tako je fazni prostor sistema podijeljen na područja privlačenja atraktora. Ako je fazni prostor dvodimenzionalni prostor, onda se bojanjem područja privlačnosti različitim bojama može dobiti fazni portret ovog sistema u boji (iterativni proces). Promjenom algoritma za odabir boja, možete dobiti složene fraktalne uzorke s bizarnim višebojnim uzorcima. Iznenađenje za matematičare bila je sposobnost generiranja vrlo složenih netrivijalnih struktura korištenjem primitivnih algoritama.


Mandelbrot set.

Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup. Algoritam za njegovu konstrukciju je prilično jednostavan i baziran je na jednostavnom iterativnom izrazu: Z = Z[i] * Z[i] + C, Gdje Zi I C- kompleksne varijable. Iteracije se izvode za svaku početnu tačku iz pravokutnog ili kvadratnog područja - podskupa kompleksne ravni. Iterativni proces se nastavlja do Z[i] neće ići dalje od kruga poluprečnika 2, čije središte leži u tački (0,0), (to znači da je atraktor dinamičkog sistema u beskonačnosti), ili nakon dovoljno velikog broja iteracija (npr. , 200-500) Z[i]će konvergirati u neku tačku na kružnici. U zavisnosti od broja iteracija tokom kojih Z[i] ostaje unutar kruga, možete podesiti boju tačke C(Ako Z[i] ostaje u krugu dosta dugo velika količina iteracija, proces iteracije se zaustavlja i ova rasterska tačka je obojena crnom bojom).

3. Stohastički fraktali

Druga dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobijaju ako se neki od njegovih parametara nasumično mijenjaju u iterativnom procesu. U ovom slučaju, rezultirajući objekti su vrlo slični prirodnim - asimetrična stabla, neravne obale itd. Dvodimenzionalni stohastički fraktali se koriste u modeliranju terena i morskih površina.
Postoje i druge klasifikacije fraktala, na primjer, podjela fraktala na determinističke (algebarske i geometrijske) i nedeterminističke (stohastičke).

O upotrebi fraktala

Prije svega, fraktali su polje zadivljujuće matematičke umjetnosti, kada se uz pomoć najjednostavnijih formula i algoritama dobijaju slike izuzetne ljepote i složenosti! U konturama konstruisanih slika često su vidljivi lišće, drveće i cvijeće.

Neke od najmoćnijih aplikacija fraktala leže u kompjuterskoj grafici. Prvo, to je fraktalna kompresija slika, a drugo, izgradnja pejzaža, drveća, biljaka i stvaranje fraktalnih tekstura. Moderna fizika i mehanika tek počinju proučavati ponašanje fraktalnih objekata. I, naravno, fraktali se direktno koriste u samoj matematici.
Prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina upakovane datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Fraktalno upakovane slike mogu se skalirati bez izazivanja pikselacije. Ali proces kompresije traje dugo vrijeme a ponekad traje satima. Algoritam pakovanja fraktalnih gubitaka omogućava vam da postavite nivo kompresije, slično jpeg formatu. Algoritam se temelji na traženju velikih dijelova slike koji su slični nekim malim dijelovima. I samo koji komad je sličan kojem se upisuje u izlaznu datoteku. Prilikom kompresije obično se koristi kvadratna mreža (komadići su kvadrati), što dovodi do blagog ugla prilikom vraćanja slike; heksagonalna mreža nema ovaj nedostatak.
Iterated je razvio novi format slike, "Sting", koji kombinuje fraktalnu i "talasnu" (kao što je jpeg) kompresiju bez gubitaka. Novi format omogućava kreiranje slika s mogućnošću naknadnog visokokvalitetnog skaliranja, a volumen grafičkih datoteka je 15-20% volumena nekomprimiranih slika.
Sklonost fraktala da liče na planine, cvijeće i drveće koriste neki grafički urednici, na primjer, fraktalni oblaci iz 3D studija MAX, fraktalne planine u World Builderu. Fraktalna stabla, planine i čitavi pejzaži definisani su jednostavnim formulama, lako se programiraju i ne raspadaju se u zasebne trokute i kocke kada im se priđe.
Ne može se zanemariti upotreba fraktala u samoj matematici. U teoriji skupova, Cantorov skup dokazuje postojanje savršenih nigdje gustih skupova; u teoriji mjera, samoafina funkcija "Kantorove ljestvice" je dobar primjer funkcije distribucije singularne mjere.
U mehanici i fizici, fraktali se koriste zbog njihovog jedinstvenog svojstva ponavljanja obrisa mnogih prirodnih objekata. Fraktali vam omogućavaju da aproksimirate drveće, planinske površine i pukotine sa većom preciznošću od aproksimacija koristeći skupove segmenata ili poligona (sa istom količinom pohranjenih podataka). Fraktalni modeli, kao i prirodni objekti, imaju „hrapavost“, a to svojstvo je očuvano bez obzira koliko je veliko povećanje modela. Prisutnost uniformne mjere na fraktalima omogućava primjenu integracije, teorije potencijala i njihovo korištenje umjesto standardnih objekata u već proučavanim jednačinama.
Fraktalnim pristupom, haos prestaje biti plavi nered i dobija finu strukturu. Fraktalna nauka je još uvek veoma mlada i pred njom je velika budućnost. Ljepota fraktala još nije iscrpljena i još će nam dati mnoga remek-djela – ona koja oduševljavaju oko, i ona koja donose istinsko zadovoljstvo umu.

O konstruisanju fraktala

Metoda sukcesivne aproksimacije

Gledajući ovu sliku, nije teško razumjeti kako možete izgraditi samoslični fraktal (u ovom slučaju piramidu Sierpinskog). Trebamo uzeti pravilnu piramidu (tetraedar), a zatim izrezati njenu sredinu (oktaedar), što rezultira četiri male piramide. Sa svakim od njih izvodimo istu operaciju itd. Ovo je pomalo naivno ali jasno objašnjenje.

Razmotrimo suštinu metode strože. Neka postoji neki IFS sistem, tj. kompresijski sistem mapiranja S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (na primjer, za našu piramidu preslikavanja imaju oblik S i (x)=1/2*x+o i , gdje su o i vrhovi tetraedra, i=1,..,4). Zatim biramo neki kompaktni skup A 1 u R n (u našem slučaju biramo tetraedar). I indukcijom definiramo niz skupova A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Poznato je da skupovi A k sa povećanjem k sve bolje aproksimiraju željeni atraktor sistema S.

Imajte na umu da je svaka od ovih iteracija atraktor rekurentni sistem iteriranih funkcija (engleski termin Digraf IFS, RIFS i takođe IFS usmjeren na graf) i stoga ih je lako napraviti pomoću našeg programa.

Tačku po tačku ili probabilistički metod

Ovo je najlakši način za implementaciju na računaru. Radi jednostavnosti, razmatramo slučaj ravnog samoafinog skupa. Pa neka (S

) - neki sistem afinih kontrakcija. Prikaz S

predstavljen kao: S

Fiksna veličina matrice 2x2 i o

Dvodimenzionalni vektorski stupac.

  • Uzmimo fiksnu tačku prvog preslikavanja S 1 kao početnu tačku:
    x:= o1;
    Ovdje koristimo činjenicu da sve fiksne točke kompresije S 1 ,..,S m pripadaju fraktalu. Možete odabrati proizvoljnu tačku kao početnu tačku i niz tačaka generiranih njome će biti nacrtan u fraktal, ali tada će se na ekranu pojaviti nekoliko dodatnih tačaka.
  • Označimo trenutnu tačku x=(x 1 ,x 2) na ekranu:
    putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
  • Odaberimo nasumično broj j od 1 do m i ponovo izračunajmo koordinate tačke x:
    j:=Random(m)+1;
    x:=S j (x);
  • Idemo na korak 2, ili, ako smo uradili dovoljno veliki broj iteracija, stajemo.

Bilješka. Ako su omjeri kompresije preslikavanja S i različiti, tada će fraktal biti neravnomjerno ispunjen tačkama. Ako su preslikavanja S i slična, to se može izbjeći blagim kompliciranjem algoritma. Da biste to učinili, u trećem koraku algoritma, broj j od 1 do m mora biti izabran sa vjerovatnoćama p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, gdje r i označavaju koeficijente kompresije preslikavanja Si, a broj s (koji se naziva dimenzija sličnosti) nalazi se iz jednačine r 1 s +...+r m s =1. Rješenje ove jednačine može se naći, na primjer, Newtonovom metodom.

O fraktalima i njihovim algoritmima

Fraktal dolazi od latinskog prideva "fractus", a u prijevodu znači koji se sastoji od fragmenata, a odgovarajući latinski glagol "frangere" znači lomiti, odnosno stvarati nepravilne fragmente. Koncepti fraktalne i fraktalne geometrije, koji su se pojavili kasnih 70-ih, postali su čvrsto uspostavljeni među matematičarima i programerima od sredine 80-ih. Izraz je skovao Benoit Mandelbrot 1975. godine kako bi označio nepravilne, ali sebi slične strukture koje su ga zanimale. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem Mandelbrotove knjige “Fraktalna geometrija prirode” 1977. U svojim radovima koristili su naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 u istoj oblasti (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorf).

Podešavanja

Dozvolite mi da napravim neke prilagodbe algoritama predloženim u knjizi H.-O. Peitgen i P.H. Richter “Ljepota fraktala” M. 1993. čisto da bi se iskorijenile greške u kucanju i olakšalo razumijevanje procesa jer mi je nakon proučavanja mnogo toga ostalo misterija. Nažalost, ovi "razumljivi" i "jednostavni" algoritmi vode uzdrman životni stil.

Konstrukcija fraktala zasniva se na određenoj nelinearnoj funkciji složenog procesa sa povratnom spregom z => z 2 +c pošto su z i c kompleksni brojevi, tada je z = x + iy, c = p + iq potrebno ga razložiti u x i y da biste prešli u realnije za običan čovek avion:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Ravan koja se sastoji od svih parova (x,y) može se smatrati kao da ima fiksne vrijednosti p i q, i sa dinamičkim. U prvom slučaju, prolaskom kroz sve tačke (x, y) ravnine u skladu sa zakonom i bojenjem u zavisnosti od broja ponavljanja funkcije potrebnog za izlazak iz iterativnog procesa ili neobojavanja (crna boja) kada prekoračen je dozvoljeni maksimum ponavljanja, dobićemo prikaz Julia seta. Ako, naprotiv, odredimo početni par vrijednosti (x,y) i pratimo njegovu kolorističku sudbinu s dinamički promjenjivim vrijednostima parametara p i q, tada ćemo dobiti slike koje se nazivaju Mandelbrot skupovi.

O pitanju algoritama za bojanje fraktala.

Obično je tijelo skupa predstavljeno kao crno polje, iako je očito da se crna boja može zamijeniti bilo kojom drugom, ali i ovo je malo zanimljiv rezultat. Dobivanje slike skupa obojene u sve boje je zadatak koji se ne može riješiti cikličkim operacijama jer broj iteracija skupova koji formiraju tijelo jednak je maksimalnom mogućem i uvijek je isti. Moguće je obojati skup u različite boje koristeći rezultat provjere izlaznog uvjeta iz petlje (z_magnitude) ili nešto slično tome, ali uz druge matematičke operacije, kao broj boje.

Primjena "fraktalnog mikroskopa"

demonstrirati granične pojave.

Atraktori su centri koji vode borbu za dominaciju na planu. Između atraktora pojavljuje se granica koja predstavlja cvjetasti uzorak. Povećanjem skale razmatranja unutar granica skupa, mogu se dobiti netrivijalni obrasci koji odražavaju stanje determinističkog haosa – uobičajenu pojavu u svijetu prirode.

Objekti koje proučavaju geografi čine sistem sa vrlo složeno organizovanim granicama, pa stoga njihova identifikacija nije jednostavan praktični zadatak. Prirodni kompleksi imaju jezgra tipičnosti koja djeluju kao atraktori koji gube svoj utjecaj na teritoriju kako se ona udaljava.

Koristeći fraktalni mikroskop za skupove Mandelbrot i Julia, može se formirati ideja o graničnim procesima i pojavama koje su podjednako složene bez obzira na skalu razmatranja i tako pripremiti percepciju stručnjaka za susret sa dinamičkim i na prvi pogled , haotična u prostoru i vremenu prirodni objekat, do razumijevanja fraktalne geometrije prirode. Raznobojne boje i fraktalna muzika sigurno će ostaviti dubok trag u glavama učenika.

Hiljade publikacija i ogromni internet resursi posvećeni su fraktalima, ali za mnoge stručnjake daleko od informatike, ovaj termin se čini potpuno novim. Fraktali, kao objekti od interesa za specijaliste u različitim oblastima znanja, trebali bi dobiti odgovarajuće mjesto u kursevima informatike.

Primjeri

SIEPINSKI GRID

Ovo je jedan od fraktala s kojima je Mandelbrot eksperimentirao kada je razvijao koncepte fraktalnih dimenzija i iteracija. Trokuti koji su formirani spajanjem središta većeg trougla izrezani su iz glavnog trougla, formirajući trokut s više rupa. U ovom slučaju, inicijator je veliki trokut, a šablon je operacija izrezivanja trokuta sličnih većem. Također možete dobiti trodimenzionalnu verziju trougla korištenjem običnog tetraedra i izrezivanja malih tetraedra. Dimenzija takvog fraktala je ln3/ln2 = 1,584962501.

Za dobijanje Sierpinski tepih, uzmite kvadrat, podijelite ga na devet kvadrata i izrežite srednji. Isto ćemo učiniti i sa ostalim, manjim kvadratima. Na kraju se formira ravna fraktalna mreža koja nema površinu, ali ima beskonačne veze. U svojoj prostornoj formi, spužva Sierpinski se pretvara u sistem oblika od kraja do kraja, u kojem se svaki element od kraja do kraja stalno zamjenjuje svojom vrstom. Ova struktura je vrlo slična dijelu koštanog tkiva. Jednog dana će takve strukture koje se ponavljaju postati element građevinskih struktura. Njihova statika i dinamika, smatra Mandelbrot, zaslužuju pažljivo proučavanje.
KOCH CURVE

Kochova kriva je jedan od najtipičnijih determinističkih fraktala. Izmislio ga je u devetnaestom veku nemački matematičar po imenu Helge fon Koh, koji je, proučavajući radove Georga Kontora i Karla Vajerštrasea, naišao na opise nekih čudnih krivih neobičnog ponašanja. Inicijator je prava linija. Generator je jednakostranični trokut čije su stranice jednake trećini dužine većeg segmenta. Ovi trokuti se dodaju u sredinu svakog segmenta iznova i iznova. U svom istraživanju, Mandelbrot je opsežno eksperimentirao s Kochovim krivuljama i proizveo figure kao što su Kochova ostrva, Kochovi križevi, Kochove snježne pahulje, pa čak i trodimenzionalne prikaze Kochove krive koristeći tetraedar i dodajući manje tetraedre na svako njegovo lice. Kochova kriva ima dimenziju ln4/ln3 = 1,261859507.
MANDELBROT FRACTAL

Ovo NIJE Mandelbrotov set, koji često viđate. Mandelbrotov skup je baziran na nelinearnim jednačinama i složen je fraktal. Ovo je također varijanta Kochove krive, iako joj ovaj objekt nije sličan. Inicijator i generator se također razlikuju od onih koji se koriste za stvaranje fraktala na osnovu principa Kochove krive, ali ideja ostaje ista. Umjesto da se pridružite jednakostranični trouglovi segmentu krive, kvadrati se dodaju kvadratu. Zbog činjenice da ovaj fraktal zauzima tačno polovinu dodijeljenog prostora na svakoj iteraciji, ima jednostavnu fraktalnu dimenziju 3/2 = 1,5.
DARER PENTAGON

Fraktal izgleda kao gomila pentagona stisnutih zajedno. Zapravo, formira se korištenjem petougla kao pokretača i jednakokračnih trokuta u kojima je omjer veće i manje strane tačno jednak takozvanom zlatnom omjeru (1,618033989 ili 1/(2cos72)) kao generator . Ovi trokuti su izrezani iz sredine svakog petougla, što rezultira oblikom koji izgleda kao 5 malih peterokuta zalijepljenih za jedan veliki.

Varijanta ovog fraktala može se dobiti korištenjem šesterokuta kao inicijatora. Ovaj fraktal se zove Davidova zvijezda i prilično je sličan heksagonalnoj verziji Kochove pahuljice. Fraktalna dimenzija Darerovog pentagona je ln6/ln(1+g), gdje je g omjer dužine veće stranice trougla i dužine manje. U ovom slučaju, g je Golden Proportion, tako da je fraktalna dimenzija približno 1,86171596. Fraktalna dimenzija Davidove zvijezde ln6/ln3 ili 1,630929754.

Kompleksni fraktali

U stvari, ako povećate malu površinu bilo kojeg složenog fraktala, a zatim učinite isto s malom površinom tog područja, dva povećanja će se značajno razlikovati jedno od drugog. Dvije slike će biti vrlo slične u detaljima, ali neće biti potpuno identične.

Slika 1. Aproksimacija Mandelbrotovog skupa

Uporedite, na primjer, slike Mandelbrotovog skupa prikazane ovdje, od kojih je jedna dobivena povećanjem određene površine druge. Kao što vidite, oni apsolutno nisu identični, iako na oba vidimo crni krug, iz kojeg se plameni pipci protežu u različitim smjerovima. Ovi elementi se neograničeno ponavljaju u Mandelbrotovom skupu u opadajućim proporcijama.

Deterministički fraktali su linearni, dok kompleksni fraktali nisu. Budući da su nelinearni, ovi fraktali su generirani onim što je Mandelbrot nazvao nelinearnim algebarske jednačine. Dobar primjer je proces Zn+1=ZnÍ + C, što je jednačina koja se koristi za konstruisanje Mandelbrotovog i Julijinog skupa drugog stepena. Rješavanje ovih matematičkih jednačina uključuje kompleksne i imaginarne brojeve. Kada se jednačina grafički interpretira u kompleksnoj ravni, rezultat je čudna figura u kojoj se prave linije pretvaraju u krivulje i pojavljuju se efekti samosličnosti, iako ne bez deformacija, na različitim razinama. Istovremeno, cijela slika u cjelini je nepredvidiva i vrlo haotična.

Kao što možete vidjeti gledajući slike, složeni fraktali su zaista vrlo složeni i ne mogu se stvoriti bez pomoći kompjutera. Da bi dobio živopisne rezultate, ovaj računar mora imati moćan matematički koprocesor i monitor visoke rezolucije. Za razliku od determinističkih fraktala, složeni fraktali se ne izračunavaju u 5-10 iteracija. Skoro svaka tačka na ekranu računara je kao poseban fraktal. Prilikom matematičke obrade svaka tačka se tretira kao poseban crtež. Svaka točka odgovara određenoj vrijednosti. Jednačina je ugrađena za svaku tačku i izvodi se, na primjer, 1000 iteracija. Da bi se dobila relativno neiskrivljena slika u vremenskom periodu prihvatljivom za kućne računare, moguće je izvršiti 250 iteracija za jednu tačku.

Većina fraktala koje danas vidimo su prelijepo obojene. Možda fraktalne slike dobijaju tako veliki estetski značaj upravo zbog svojih shema boja. Nakon što je jednačina izračunata, računar analizira rezultate. Ako rezultati ostanu stabilni ili fluktuiraju oko određene vrijednosti, tačka obično postaje crna. Ako vrijednost na jednom ili drugom koraku teži beskonačnosti, tačka je obojena drugom bojom, možda plavom ili crvenom. Tokom ovog procesa, računar dodeljuje boje svim brzinama kretanja.

Obično su tačke koje se brzo kreću obojene crvenom bojom, dok su one sporije žute boje i tako dalje. Tamne mrlje su vjerovatno najstabilnije.

Kompleksni fraktali se razlikuju od determinističkih fraktala u smislu da su beskonačno složeni, ali se ipak mogu generirati vrlo jednostavnom formulom. Deterministički fraktali ne zahtijevaju formule ili jednačine. Samo uzmite malo papira za crtanje i možete napraviti sito Sierpinski do 3 ili 4 iteracije bez ikakvih poteškoća. Probajte ovo sa puno Julije! Lakše je izmjeriti dužinu engleske obale!

MANDELBROT SET

Slika 2. Mandelbrotov set

Mandelbrot i Julia skupovi su vjerovatno dva najčešća među složenim fraktalima. Mogu se naći u mnogim naučnim časopisima, naslovnicama knjiga, razglednicama i čuvarima ekrana računara. Mandelbrotov skup, koji je konstruirao Benoit Mandelbrot, vjerovatno je prva asocijacija koju ljudi imaju kada čuju riječ fraktal. Ovaj fraktal, koji podsjeća na mašinu za češljanje sa zapaljenim drvećem i kružnim područjima pričvršćenim za njega, generira se jednostavnom formulom Zn+1=Zna+C, gdje su Z i C kompleksni brojevi, a a pozitivan broj.

Mandelbrotov skup, koji se najčešće može videti, je Mandelbrotov skup 2. stepena, odnosno a = 2. Činjenica da Mandelbrotov skup nije samo Zn+1=ZnÍ+C, već i fraktal čiji eksponent u formuli može biti bilo koji pozitivan broj mnoge je doveo u zabludu. Na ovoj stranici vidite primjer Mandelbrotovog skupa za različita značenja indikator a.
Slika 3. Pojava mjehurića na a=3,5

Proces Z=Z*tg(Z+C) je takođe popularan. Uključujući tangentnu funkciju, rezultat je Mandelbrotov skup okružen površinom koja liči na jabuku. Kada se koristi kosinusna funkcija, dobijaju se efekti zračnih mjehurića. Ukratko, postoji beskonačan broj načina da se Mandelbrot set konfiguriše da proizvodi različite prelepe slike.

PUNO JULIJE

Iznenađujuće, Julia skupovi se formiraju koristeći istu formulu kao Mandelbrotov skup. Julia skup je izumio francuski matematičar Gaston Julia, po kome je skup i dobio ime. Prvo pitanje koje se nameće nakon vizuelnog upoznavanja sa Mandelbrotovim i Julijinim skupovima je „ako su oba fraktala generisana prema istoj formuli, zašto su toliko različiti?“ Prvo pogledajte slike Julia seta. Čudno, postoje različite vrste Julia kompleta. Prilikom crtanja fraktala koristeći različite početne točke (za početak procesa iteracije), generiraju se različite slike. Ovo se odnosi samo na Julia set.

Slika 4. Julia set

Iako se ne može vidjeti na slici, Mandelbrotov fraktal je zapravo mnogo Julijinih fraktala povezanih zajedno. Svaka tačka (ili koordinata) Mandelbrotovog skupa odgovara Julia fraktalu. Julia skupovi se mogu generirati koristeći ove točke kao početne vrijednosti u jednačini Z=ZI+C. Ali to ne znači da ako odaberete tačku na Mandelbrotovom fraktalu i povećate je, možete dobiti Julia fraktal. Ove dvije tačke su identične, ali samo u matematičkom smislu. Ako uzmete ovu tačku i izračunate je koristeći ovu formulu, možete dobiti Julia fraktal koji odgovara određenoj tački Mandelbrotovog fraktala.